《股票指数基金管理的优化策略》(博时基金)(2011年5月)

股票指数基金管理的优化策略 上海证券交易所——博时基金管理有限公司联合课题组课题主持人：王政、卢涛课题组成员：黄仕宇、王政，卢涛内容提要本文的目的在于探讨如何采用优化技术来构建指数基金。

我们首先介绍刻画投资者风险规避和交易费用的效用函数，再深入说明风险和交易费用模型的结构，并简要地讨论优化中约束条件的作用。

我们以上证A股指数为例，演示优化策略在创建跟踪上证A股指数的指数基金中的实际应用，并通过抽样调查不同资产管理公司中指数基金的管理策略，指出优化策略不仅应用在组合管理中，在指数构建里也扮演着重要角色。

目录股票指数基金管理的优化策略 (1)1. 效用函数‐ 公式和直观性 (4)2.1风险模型 (6)2.2交易成本模型 (7)2.3约束和惩罚 (8)3. 利用优化策略创建上证指数投资组合 (10)3.1上证综合指数 (10)3.2 优化指数投资组合‐股票数和跟踪误差间的权衡 (10)3.3 时间序列表现‐测试包含100只股票的组合 (12)4. 不同资产管理公司指数基金经理管理应用回顾 (13)5. 优化复制在指数构建中的应用 (15)6. 结论 (17)1. 引言本文所指的优化策略是指运用数学方法构建和管理股票型指数投资组合的策略，它在因无法买入某些股票或流动性较差带来高额交易费用而无法完全复制指数时尤其适用。

优化策略本质上是遵循一系列的约束条件，将目标函数最大化（或最小化）的一种技术手段。

优化策略应用于投资组合管理时，其目标用 “效用” 函数来描述，即通过构建数学模型来权衡投资组合中股票的收益与风险以及组合构建成本之间的关系，同时满足投资者和市场对于证券持有的限制等约束条件。

给定以上参数，优化过程搜寻出能够实现最大效用的投资组合。

在使用优化策略之前，基金经理只能使用数学方法模拟投资组合构建过程。

必须承认的是模拟过程可能非常困难，但一经建立，将使得投资组合构建可以通过更加连贯和系统的方式实现。

1.效用函数‐ 公式和直观性指数基金经理希望构建一个跟基准指数表现接近的投资组合。

他们并不太关心基金的绝对收益，而更关注相对标的指数的表现。

基金经理不在乎组合中个股的贡献(预期收益)，但希望能够尽量的减少持有股票权重与基准权重的差异带来的主动风险(跟踪误差)并保持较低的交易成本。

主动风险或跟踪误差通常使用组合回报与基准回报的差的年化标准差来衡量。

基金经理需要利用风险模型估计跟踪误差，利用交易成本模型估计用构建目标投资组合产生的固定成本和可变成本。

另外，基金经理需要遵循组合构建时的某些约束条件。

基金经理的优化策略问题可以简单的用以下形式表示：最大化U(h) = ‐ λ ∗风险– 交易费用= ‐ λ h T V h – (h – h0)T T (h – h0) (1) 限制:• 95% 证券持有 + 5% 现金持有•只做多其中:• U(h)-效用函数，标量；•h-投资域中各资产的主动权重向量；•h0 - 投资域中各资产的初始主动权重向量；•(h- h0)-由于交易主动权重的变化；•V -资产协方差矩阵；•T-各种资产交易成本的相关系数的对角矩阵；•λ -基金经理用来平衡更高的主动风险或更高的交易成本容忍度的风险规避参数；•上标 “ T ”-矩阵转置符号。

公式显示风险随主动权重的增加而呈二次曲线增加（正向或反向）。

同样，交易成本模型反映了交易成本随交易量（买进或卖出）的增加亦呈二次曲线增加。

风险或交易成本的增加降低了投资者的效用；相反，风险或交易成本的减少，可以使投资者效用增加，也就是，减少了负面效用。

基金经理可以在某种程度上控制预期的跟踪误差水平满足投资者的预期，使用优化器找到最有效的交易来建立这样一个投资组合。

基金经理可以通过将其投资组合紧贴指数的方法降低跟踪误差，但同时他需要支付更高的交易费用。

为了更深入的了解效用函数，我们做如下的假设:1. 等式中的目标函数(1)没有约束条件。

2. 投资域中的资产之间不相关。

协方差矩阵V可以简化成对角线上为方差，其余项为0的对角矩阵。

最大效用来自于对矩阵等式(1)一阶求导，设定导数值为0。

∂U(h) / ∂h = ‐2 λ V h – 2 T (h ‐ h0)= 0 (2)重新整理后，提取h，将其当做最佳主动权重向量，h opt表示为，h opt = (λ V + T)‐1 (T h0) (3)我们可以从等式(3)直观的看出最佳主动权重随着交易费用和风险如何变化。

当矩阵T中的交易费用系数越高，也就是交易费用越贵时，h opt接近h0。

就是我们不太可能交易该资产。

如果交易费用非常低（交易费用的相关系数趋近为0），主动权重趋于0，则更可能持有接近指数的权重。

股票的波动（对角矩阵V的变化）对主动权重有反向的影响。

因为主动权重h opt与V的逆矩阵成比例，我们更可能对风险高（低）的股票持有更少的（更多的）主动权重。

2.1风险模型为了更适当确定效用函数，选定风险模型非常重要。

风险模型的作用是用来估计基金经理在投资时间内股票和投资组合的总风险和/或主动风险。

风险通常使用收益的标准差或方差进行测量。

金融行业中，风险的替代测度方法包括测量半方差（下降风险），损失概率和风险价值（VaR），但这些风险测度都因为计算困难和不如方差的概念直观而没有被广泛的使用。

目前风险模型的起源可以追溯到1952年哈里•马克维茨发表的论文《资产组合选择》。

马克维茨在文中引入了预期回报，用标准方差测量风险，协方差和投资者偏好的概念，及其在投资组合选择中的作用。

威廉·夏普在此基础上于1964年建立了资本资产定价模型（CAPM），模型中引入了市场组合，用Beta系数将预期回报和任意证券的风险分解为市场因素和单个证券的特殊风险组成。

1973年尤金·法玛和肯尼思•弗兰奇提出了三因素模型，模型用市场组合，市值和市净率来测量股票收益。

斯蒂芬·罗斯1976年提出的套利定价模型（APT）进一步概括了资产定价的概念，认为证券回报可能受到多个因子影响，但未明确什么因子和需要多少个因子。

由巴尔·罗森伯格创立的Barra公司，利用证券可以使用多重因子模拟的想法，在1975年，开发并提供了最早的商业上可用的多因子风险预测模型。

Barra和他的竞争对手仍在提供各种风险模型用以估计股票，固定收益和衍生品市场的风险。

为了计算多元资产风险模型，需要估计投资域中的所有股票的方差和协方差。

这需要在数据收集、数据整理和计算方面的大量工作。

如果有1000只股票，资产的协方差矩阵的维数会达到1000x1000，所以需要估计1000个方差和499500个协方差。

即便能估计，考虑到其巨大的数量和存在无法计算逆矩阵的问题，使用这样的矩阵进行优化投资组合仍有计算上的困难。

早期学术上关于股票回报和风险可以通过多因子来模拟的研究为简化协方差矩阵估计提供了突破口。

估计资产的协方差可以简化为如下：1. 挑选一组适当的共同风险因子。

2. 计算资产对于这些因子的曝光度。

3. 估计因子的协方差矩阵。

4. 估计资产中未被共同风险因子解释的剩余风险（特殊风险）。

实际使用中，共同因子的选择通常分成三个种类 - 股票基本面特征，宏观经济或外部因素，和统计因子。

股票基本面特征包括公司规模，股票估值比率，股价波动性，公司杠杆和公司所处的行业。

以宏观经济或外部因素为基础的风险模型试图在一组简单的股票特征（估值，行业）之外，通过宏观经济因素（如利率，商品价格和汇率等）模拟风险。

统计风险模型利用数据和某个数学模型（如主成分分析法）测定一组因子，用来说明大部分的股票回报的变化。

通过计算获得的统计因子很难联系到股票特征和经济因素，所以很难有合理的经济解释。

比较重要的统计因子可能随时间发生变化，这就更进一步限制了该风险模型的直观性。

计算方面，多因子风险模型的计算强度远低于直接从资产估算风险模型。

例如，基本面风险模型，可能用到70个因子来表现股票的共同风险特征，而统计模型使用到的会更少。

要计算股票对基本面因素的曝光度，就要计算一组衡量股票的变量，并用来标准化和评价每一只股票。

对于70x70的对称矩阵，只需估计2485个元素的协方差矩阵。

特殊风险需要分别对投资域中的每只股票进行计算，但对于1000只股票的投资域只需1000个估计值。

综上，等式(1)中的效用函数中的风险可以写作如下：风险 = h T V h = h T ( X F X T + Δ )h (4)资产协方差矩阵V表述为因子协方差矩阵F和证券特殊风险的对角矩阵X　，X是反映证券对模型中各因子的曝光度矩阵。

2.2交易成本模型交易成本模型非常重要，尤其是当基金经理需要从一组股票中进行选择，而其中部分股票的流动性较差时。

在等式(1)中，当我们将效用函数公式化时，我们使用了简化的交易成本模型，仅用二次项代表了交易带来的影响。

更全面的模型应当具有以下形式：交易费用 = T Fix |(h – h0)| + (h – h0)T T Imp (h – h0) (5)T Fix是固定交易成本向量，和交易量（h – h0）成线性关系。

固定成本通常因股票而不同，通常反映了佣金，印花税，和每只股票的买卖价差。

T Imp是成本冲击系数的对角矩阵，用来衡量交易成本随每笔交易量的指数式增长。

它用来捕捉大笔交易的机会成本，这是因为这些交易可能不能立刻执行，而执行价格可能与下单价格有偏差。

另外，他还能捕捉交易时向市场的信息泄露的成本，也就是其他投资者在此交易完成前，提前进行他们的交易所带来的成本。

当交易量占该股票的日均交易量较小时，冲击成本通常可以忽略不计，较高的交易成本会对投资组合的收益有绝对和相对的减损。

2.3约束和惩罚效用函数利用惩罚风险和成本，提供了简洁的公式来表示投资者偏好。

尽管如此，绝大部分情况，它并不能得出投资者能够真正持有的投资组合。

在优化中使用约束条件可以帮助解决这个问题。

比如，基金经理构建了一个只做多的投资组合，附带某些变化的需要，避免投资受限证券。

添加限制条件可能使优化问题更加复杂，其结果是构建了一个与单纯使用风险和交易成本相比“次优”的投资组合。

投资经理还可以针对投资者特殊的需要构建组合。

约束条件需要谨慎使用。

基金经理使用过多的限制，会碰到约束有冲突，导致不能实际构建优化投资组合。

比如，基金经理对某一只股票或在一个行业内规定了投资上限，并对持有某一特定股票有限制。

如果他不允许持有某只股票，则需要将这部分投资转移其他公司上；然而，再调整后，他的组合可能超过了任何一家公司或行业的投资上限，将面临限制冲突。

如果允许，基金经理会选择使用惩罚代替限制。

限制条件可以视为硬规定，在组合构建过程中必须遵守的规定，如 “只做多”限制或预算限制。

相反，惩罚则可以视为是软规定。