试题精选_山东省德州市平原县第一中学2015届高三上学期第一次月考数学(文)调研试卷(扫描版)_精校完美版
山东省德州市平原一中高二数学上学期第一次月考试卷(含解析)
2014-2015学年山东省德州市平原一中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．等差数列{a n}中，S n是{a n}前n项和，已知S6=2，S9=5，则S15=（）A．15 B．30 C．45 D．602．在△ABC中，已知∠B=45°，c=2，b=，则∠A的值是（）A．15° B．75° C．105°D．75°或15°3．公差不为0的等差数列{a n}的第2，3，7项恰为等比数列{b n}的连续三项，则{b n}的公比为（）A．1 B．2 C．3 D．44．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．35．已知等比数列{a n}中有a3a11=4a7，数列{b n}是等差数列，且a7=b7，则b5+b9=（）A．2 B．4 C．8 D．166．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为（）A．B．C．D．97．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．118．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，三边 a，b，c成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．1010．定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为（）A．2n﹣1 B．4n﹣3 C．4n﹣1 D．4n﹣5二、填空题（本大题有5小题，每题5分，共25分）11．已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则= ．12．在△ABC中，已知2a2=c2+（b+c）2，则∠A= ．13．等差数列{a n}中，若3a1=5a2，且a1＞0，S n为前n项和，当S n取得最大值时，n= ．14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．15．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？[题]在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C. D.[解法1]△ABC有两解，asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x，即，故选C．[解法2]，．△ABC有两解，bsinA＜a＜b，，即0＜x＜2，故选B．你认为是正确的（填“解法1”或“解法2”）三、解答题（6个题，共计50分）16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=1，S11=33．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证：{b n}是等比数列．17．在△ABC中，已知a=，A=60°，b﹣c=﹣1，求b，c和B，C．18．已知数列{2n a n}的前n项和S n=9﹣6n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{T n}的前n项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．20．某海轮以30n mile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40min后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80min到达C点，求P、C间的距离．21．在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且2a1，2a2+2，5a3﹣1成等比数列．（1）求d，a n；（2）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|2014-2015学年山东省德州市平原一中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．等差数列{a n}中，S n是{a n}前n项和，已知S6=2，S9=5，则S15=（）A．15 B．30 C．45 D．60考点：等差数列的前n项和．分析：由等差数列前n项和公式，条件要由前n项和转化为有关项的形式，再由等差数列性质求得解答：解：∵s9﹣s6=a7+a8+a9=3a8=3∴a8=1又∵∴s15=15故选A点评：本题主要考查等差数列前n项和公式两种形式的灵活选择和性质的运用．2．在△ABC中，已知∠B=45°，c=2，b=，则∠A的值是（）A．15° B．75° C．105°D．75°或15°考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由B的度数求出sinB的值，再由b与c的值，利用余弦定理求出a的值，再由a，sinB，以及b的值，利用正弦定理求出sinA的值，即可确定出A的度数．解答：解：∵在△ABC中，∠B=45°，c=2，b=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即=a2+8﹣4a，解得：a=2+或a=2﹣，由正弦定理=得：sinA==或，∵sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=，∴∠A=75°或15°．故选D点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．3．公差不为0的等差数列{a n}的第2，3，7项恰为等比数列{b n}的连续三项，则{b n}的公比为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：先由第2，3，7项恰为等比数列{b n}的连续三项得到，再利用等比数列公比的求法求出即可．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，由得解得2d2=﹣3a1d∵d≠0∴∴{b n}的公比为故选D．点评：本题是对等差数列和等比数列的综合考查．在求等比数列的公比时，只要知道数列中的任意两项就可求出公比4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．3考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．解答：解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．故选：C．点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．5．已知等比数列{a n}中有a3a11=4a7，数列{b n}是等差数列，且a7=b7，则b5+b9=（）A．2 B．4 C．8 D．16考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由a3a11=4a7，解出a7的值，由 b5+b9=2b7 =2a7求得结果．解答：解：等比数列{a n}中，由a3a11=4a7，可知a72=4a7，∴a7=4，∵数列{b n}是等差数列，∴b5+b9=2b7 =2a7 =8，故选C．点评：本题考查等差数列、等比数列的性质，求出a7的值，是解题的关键．6．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为（）A．B．C．D．9考点：解三角形．专题：计算题．分析：先利用余弦定理求得三角形第三边长，进而根据同角三角函数的基本关系求得第三边所对角的正弦，最后利用正弦定理求得外接圆的半径．解答：解：由余弦定理得：三角形第三边长为=3，且第三边所对角的正弦值为=，所以由正弦定理可知2R=，求得R=．故选C点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形问题常用公式如正弦定理和余弦定理公式，勾股定理，三角形面积公式等，应作为平时训练的重点．7．数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0 B．3 C．8 D．11考点：数列递推式．专题：计算题．分析：先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10，联立方程求得b1和d，进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．解答：解：依题意可知求得b1=﹣6，d=2∵b n=a n+1﹣a n，∴b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3故选B．点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．8．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，三边 a，b，c成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形考点：三角形的形状判断；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：三角函数的求值．分析：根据题意，利用等差数列及等比数列的性质列出关系式，再利用内角和定理求出B 的度数，利用正弦定理化简，再利用积化和差公式变形，利用特殊角的三角函数值计算求出cos=1，确定出A=C，即可确定出三角形形状．解答：解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，三边a，b，c成等比数列，∴2B=A+C，b2=ac，∵A+B+C=180°，∴B=60°，利用正弦定理化简b2=ac得：sin2B=sinAsinC=，即=，∴cos=1，即=0，∴A﹣C=0，即A=C=60°，则这个三角形的形状为等边三角形．故选D点评：此题考查了三角形形状的判断，等差数列、等比数列的性质，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（）A．10 B．10C．10D．10考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．解答：解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，=∴BC==10∴x=10∴x=故塔高AB=点评：本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题．10．定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为（）A．2n﹣1 B．4n﹣3 C．4n﹣1 D．4n﹣5考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据“均倒数”的定义，得到=，然后利用a n与S n的关系即可得到结论．解答：解：根据“均倒数”的定义可知，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则=，即a1+a2+a3+…a n=n（2n﹣1）=2n2﹣n，则当n≥2时，a1+a2+a3+…a n﹣1=2（n﹣1）2﹣（n﹣1），两式相减得a n=2n2﹣n﹣2（n﹣1）2+（n﹣1）=4n﹣3，当n=1时，a1=2﹣1=1，满足，a n=4n﹣3，故数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣3，故选：B点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用a n与S n的关系是解决本题的关键．二、填空题（本大题有5小题，每题5分，共25分）11．（5分）（2010•重庆校级模拟）已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则= ．考点：等差数列的性质；等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质求出a1+a2的值，利用等比数列的性质求出b2，代入求解即可．解答：解：∵1，a1，a2，4成等差数列，∴a1+a2=1+4=5；∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，∴b22=1×4=4，又b2=1×q2＞0，∴b2=2；∴=．故答案为．点评：本题综合考查了等差数列和等比数列的性质，计算简单、明快，但要注意对隐含条件b2=1×q2＞0的挖掘．12．在△ABC中，已知2a2=c2+（b+c）2，则∠A= ．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：将原式化简整理得，b2+c2﹣a2=﹣bc，再由余弦定理得，cosA=﹣，由于0＜A＜π，即可得到A．解答：解：由于2a2=c2+（b+c）2，则2a2=2c2+2bc+2b2，即有b2+c2﹣a2=﹣bc，由余弦定理，得cosA==﹣，由于0＜A＜π，则A=．故答案为：．点评：本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．13．等差数列{a n}中，若3a1=5a2，且a1＞0，S n为前n项和，当S n取得最大值时，n= 3 ．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可得d=﹣a1＜0．故此数列是递减数列，由a n=a1+（n﹣1）d=a1≥0可得n的最大值，从而得到答案．解答：解：由题意可得3a1=5（a1+d），∴d=﹣a1＜0．故此数列是递减数列，所有的非负项的和最大，由a n=a1+（n﹣1）d=a1≥0 可得n≤3.5，又n为正整数，故n为3时，S n取得最大值，故答案为：3．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，判断此数列是递减数列，所有的非负项的和最大，是解题的关键．14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第5节的容积．解答：解：由题设知，解得，∴=．故答案为：．点评：本题考查等式数列的通项公式和前n项和公式，解题时要注意公式的灵活运用．15．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？[题]在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C. D.[解法1]△ABC有两解，asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x，即，故选C．[解法2]，．△ABC有两解，bsinA＜a＜b，，即0＜x＜2，故选B．你认为解法1 是正确的（填“解法1”或“解法2”）考点：进行简单的演绎推理．专题：解三角形．分析：若a＜b，则A＜B，结合B=45°，可得△ABC只有一解，故可得结论．解答：解：解法1正确∵若a＜b，则A＜B，∵B=45°，∴△ABC只有一解，故解法2不正确故答案为：解法1点评：本题考查解三角形，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力．三、解答题（6个题，共计50分）16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=1，S11=33．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证：{b n}是等比数列．考点：等比关系的确定；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）分别利用等差数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式由a2=1，S11=33表示出关于首项和公差的两个关系式，联立即可求出首项与公差，即可得到数列的通项公式；（2）根据（1）求出的首项与公差，欲证明：{b n}是等比数列，只须利用等比数列的定义进行证明即可．解答：解：（1）依题意有，解之得，∴．（2）由（1）知，，∴，∴∵，∴{b n}构成以为首项，公比为的等比数列．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式，灵活运用等比关系的确定的方法解决问题，是一道中档题．17．在△ABC中，已知a=，A=60°，b﹣c=﹣1，求b，c和B，C．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由a，cosA的值，利用余弦定理列出关系式，记作①，将已知等式b﹣c=﹣1两边平方，得到关系式，记作②，①﹣②得到bc的值，与b﹣c=﹣1联立求出b与c的长，由sinA，b及a的值，利用正弦定理求出sinB的值，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，即可确定出C的度数．解答：解：由余弦定理得，6=b2+c2﹣2bccos60°，∴b2+c2﹣bc=6，①由b﹣c=﹣1平方得：b2+c2﹣2bc=4﹣2，②①、②两式相减得bc=2+2，联立得：，解得：，由正弦定理sinB===，∵＜+1，∴B=75°或105°，∵a2+c2＞b2，∴B为锐角，∴B=75°，C=45°．点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．已知数列{2n a n}的前n项和S n=9﹣6n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{T n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）在已知的数列递推式中分别取n=1和n≥2求解数列的通项公式，验证首项后得答案；（2）利用等比数列的前n项和求数列{a n}的前n项和．解答：解：（1）当n=1时，2a1=3，，当n≥2时，2n a n=S n﹣S n﹣1=9﹣6n﹣[9﹣6（n﹣1）]=﹣6，∴，验证n=1时上式不成立，∴；（2）==．点评：本题考查了由数列前n项和求数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是中档题．19．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p2，进而利用cosB的范围确定p2的范围，进而确定pd 范围．解答：（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求点评：本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．20．某海轮以30n mile/h的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40min后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80min到达C点，求P、C间的距离．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：在△ABP中，根据正弦定理，求BP，再利用余弦定理算出PC的长，即可算出P、C 两地间的距离．解答：解：如图，在△ABP中，AB=30×=20，∠APB=30°，∠BAP=120°，根据正弦定理，=得：=，∴BP=20．在△BPC中，BC=30×=40．由已知∠PBC=90°，∴PC==20（n mile）答：P、C间的距离为20 n mile．点评：本题给出实际应用问题，求两地之间的距离，着重考查了正弦定理、余弦定理和解三角形的实际应用等知识，属于中档题．21．在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且2a1，2a2+2，5a3﹣1成等比数列．（1）求d，a n；（2）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3﹣1成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（2）利用（1）中的结论，得到等差数列{a n}的前3项大于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（1）由题意得2a1•（5a3﹣1）=（2a2+2）2，整理得d2﹣28d﹣124=0．解得d=32或d=﹣4．当d=32时，a n=a1+（n﹣1）d=10+32（n﹣1）=32n﹣22．当d=﹣4时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣4（n﹣1）=﹣4n+14．所以a n=32n﹣22或a n=﹣4n+14；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（1）得d=﹣4，a n=﹣4n+14．则当n≤3时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=n（﹣2n+12）．当n≥4时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S3=2n2﹣12n+36．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．。
山东省德州市平原县第一中学高二数学上学期10月月考试
山东省德州市平原县第一中学2014-2015学年高二上学期10月月考文科试卷数学（文）本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分.共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q =( )A ．21-B ．2-C ．2D ．212. 在ABC ∆中，已知222a b c +=+，则C ∠=( )A ．030 B ．045 C ．0150 D ．0135 3. 等比数列{}n a 中，12a =,2q =,126n S =,则n =( )A.6B.7C. 8D.9 4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（ ）A ．13B ．35C ．49D ． 63 5.公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为（ ） A ．1 B.2 C.3 D.4 6. 在ABC ∆中, 80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解7. 已知,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos cos a A b B =，则ABC ∆一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．某船开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A ．15kmB ．30kmC ．D ． km9. 两个等差数列}{n a 和}{n b ,其前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S nn 则157202b b a a ++等于( )A. 49B. 837C. 1479D. 2414910.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=L ( )A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把各题答案填写在答题纸相应位置．）11.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n S n22+=，则=9a12.在ABC ∆中，已知2,120,c A a =∠==o，则B ∠= ．13. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列， 且a=1，ABC S b ∆=则,3等于 .14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655S S -=，则4a = .15. 在数列{an}中，其前n 项和Sn ＝a +n4，若数列{an}是等比数列，则常数a 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分.将每题答案写在答题纸相应位置，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．(本小题满分12分) 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列.（Ⅰ）求{n a }的公比q ；（Ⅱ）若1a －3a ＝3，求n S .17．(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=. (Ⅰ)确定角C 的大小；（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为233,求a ＋b 的值.18.（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 中，公差0,d >又231445,14a a a a ⋅=+=.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）记数列11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和记为n S ，求n S .19．(本小题满分12分)如图，海中小岛A 周围40海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险?20. (本小题满分13分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，C=2A,10a =+c ，43cos =A .（Ⅰ）求a c的值；（Ⅱ）求b 的值.21．(本小题满分14分)已知点（1，2）是函数()(01)xf x a a a =>≠且的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和()1n S f n =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1log n a n b a +=，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．17.解：32sin a c A =及正弦定理得，sin sin 3a A cC ==， 3sin 0,sin A C ≠∴=Q ABC ∆Q 是锐角三角形，3C π∴=. （Ⅱ）7,.3c C π==Q 由面积公式得，133sin 623ab ab π==即 ①由余弦定理得，22222cos7,73a b ab a b ab π+-=+-=即 ②由②变形得25,5a b =+=2（a+b)故. 18．19. 解: 在△ABC 中,BC=30,∠B=30°,∠C=135°,所以∠A=15°. ．．．．．．．．．．．．．2分由正弦定理知 即 所以 ．．．．．．．．．．７分于是，A 到BC 边所在直线的距离为：(海里)，．．．．．．．．．．．．．10分由于它大于40海里，所以船继续向南航行没有触礁的危险. ．．．．．．．．．． ．．．11分 答：此船不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险.．．．．．．．．．． ．．．12分 20.解：（Ⅰ）23cos 2sin 2sin sin sin ====A A A AC a c . sin sin BC AC A B =，30sin15sin 30AC=︒︒，30sin 3060cos1560cos(45-30)sin1560(cos 45cos30sin 45sin 30)62).AC ︒==︒=︒︒︒=︒︒+︒︒=2sin 4515(62)31)40.982AC ︒=⨯=≈（Ⅱ）由10a =+c 及23=a c 可解得a=4,c=6.由432cos 222=-+=bc a c b A 化简得，02092=+-b b . 解得b=4或b=5.经检验知b=4不合题意，舍去.所以b=5.21.。
山东省德州市某中学2015届高三数学上学期周考试题 文 新人教A版
高三周考数学试卷〔文科〕一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．1．设x∈Z ，集合A为偶数集，假设命题p：∀x∈Z，2x∈A，如此￢p〔〕A．∀x∈Z，2x ∉A B．∀x∉Z，2x∈A C．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A 2．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x|x=b﹣a，a∈A，b∈B}，如此C中元素的个数是〔〕A．3B．4C．5D．63．〔2013•烟台一模〕幂函数y=f〔x〕的图象过点，如此log2f〔2〕的值为〔〕A．B．﹣C．2D．﹣24．在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，假设，如此△ABC为〔〕A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形5．假设当x∈R时，函数f〔x〕=a|x|〔a＞0且a≠1〕满足f〔x〕≤1，如此函数y=log a〔x+1〕的图象大致为〔〕A．B．C．D．6．，给出如下四个结论：①a＜b②a+b＜ab③|a|＞|b|④ab＜b2其中正确结论的序号是〔〕A．①②B．②④C．②③D．③④7．等差数列{a n}的前20项和为300，如此a4+a6+a8+a13+a15+a17等于〔〕A．60 B．80 C．90 D．1208．〔5分〕函数〔a∈R〕，假设函数f〔x〕在R上有两个零点，如此a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣1〕B．〔﹣∞，1] C．[﹣1，0〕D．〔0，1]9．函数〔ω＞0〕的最小正周期为π，将函数y=f〔x〕的图象向右平移m〔m＞0〕个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，如此m的最小值为〔〕A．B．C．D．10．定义在R上的函数f〔x〕满足：对任意x∈R，都有f〔x〕=f〔2-x〕成立，且当x∈〔-∞，1〕时，〔x-1〕f′〔x〕＜0〔其中f'〔x〕为f〔x〕的导数〕．设a＝f(0)，b＝1 ()2 f，c＝f(3)，如此a、b、c三者的大小关系是〔〕A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a二、填空题：本大题共5小题．每一小题5分，共25分．11．a2e e(a e)a e⊥-已知向量的模为，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为．12．〔2014•广东模拟〕计算÷= _________ ．13．假设，如此= _________ ．14．一元二次不等式f〔x〕＜0的解集为{，如此f〔2x〕＞0的解集为_________ ．15．给出如下命题：①假设y=f〔x〕是奇函数，如此y=|f〔x〕|的图象关于y轴对称；②假设函数f〔x〕对任意x∈R满足f〔x〕•f〔x+4〕=1，如此8是函数f〔x〕的一个周期；③假设log m3＜log n3＜0，如此0＜m＜n＜1；④假设f〔x〕=e|x﹣a|在[1，+∞〕上是增函数，如此a≤1．其中正确命题的序号是_________ ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤．16．〔12分〕全集U=R，集合A={}，B={x|}．〔Ⅰ〕求〔∁U A〕∪B；〔Ⅱ〕假设集合C={x|x+m2≥}，命题p：x∈A，命题q：x∈C，且p命题是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．17．〔12分〕函数〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的最大值和单调区间；〔Ⅱ〕△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，c=2且sinB=3sinA，求△ABC的面积．18．〔12分〕如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小一样的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值．19.20．〔13分〕公比为q 的等比数列{a n }是递减数列，且满足〔Ⅰ〕求数列{a n }的通项公式；〔Ⅱ〕求数列{〔2n ﹣1〕•a n }的前n 项和T n ．21．〔14分〕f 〔x 〕=aln 〔x ﹣1〕，g 〔x 〕=x 2+bx ，F 〔x 〕=f 〔x+1〕﹣g 〔x 〕，其中a ，b ∈R ． 〔I 〕假设y=f 〔x 〕与y=g 〔x 〕的图象在交点〔2，k 〕处的切线互相垂直，求a ，b 的值； 〔Ⅱ〕当b=2﹣a ，a ＞0时，求F 〔x 〕的最大值；〔Ⅲ〕假设x=2是函数F 〔x 〕的一个极值点，x 0和1是F 〔x 〕的两个零点，且x 0∈〔n ，n+1〕，n ∈N ，求n ．高三数学试卷〔文科〕答案一、选择题： 1-5 DBACC ， 6-10 BCDAB 二、填空题 11．312．-20 13．7 14．{x|x ＜﹣1或x ＞1} 15．①②④ 16. ：A={}={}={y|≤y≤2}，B={x|}={x|1﹣|x|≥0}={x|﹣1≤x≤1}，∴∁U A={y|y＞2或y＜}，〔∁U A〕∪B={x|x≤1或x＞2}．〔Ⅱ〕∵命题p是命题q的充分条件，∴A ⊆C，∵C={x|x≥﹣m2}，∴﹣m2≤，∴m2≥，∴m≥或m≤﹣∴实数m的取值范围是〔﹣∞，﹣]∪[，+∞〕．17．解：=2sinxcosx+sin 2x﹣cos2x==．〔I〕∵2sin〔2x﹣〕≤2，∴函数f〔x〕的最大值为2．由﹣+2kπ≤≤+2kπ⇒﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈z．∴函数f〔x 〕的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，〔k∈Z 〕由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+⇒kπ+≤x≤kπ+，k∈z，∴函数f〔x〕的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z ．〔II 〕∵，∴，又﹣＜＜，∴=，，∵sinB=3sinA，∴b=3a，∵c=2，4=a2+9a2﹣2×a×3a，∴a2=，∴S △ABC=absinC=×3a2sinC=×3××=．18．解：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，如此3xy=800，∴y=．即矩形区域ABCD的面积S=〔3x+4〕〔y+2〕=〔3x+4〕〔+2〕=800+6x++8≥808+2=968．当且仅当6x=，即x=时取“=〞，∴矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方米．20．解：由a1a2a3=，与等比数列性质得=，解得a2=，由a1+a2+a3=得a1+a3=由以上得，∴=，即3q2﹣10q+3=0，解得q=3，或q=．∵{a n}是递减数列，故q=3舍去，∴q=，由a2=，得a1=1．故数列{a n}的通项公式为a n=〔n∈N*〕．〔II〕由〔I〕知〔2n﹣1〕•a n=，∴T n=1+++…+①，T n=+++…++②．①﹣②得：T n=1++++…+﹣=1+2〔+++…+〕﹣=1+2•﹣=2﹣﹣，∴T n=3﹣．21．解：〔I〕f′〔x〕=，g'〔x〕=2x+b…〔1分〕由题知，即…〔2分〕解得a=﹣，b=﹣2．〔Ⅱ〕当b=2﹣a时，F〔x〕=alnx﹣[x2+〔2﹣a〕x]，∴F′〔x〕=﹣2x﹣〔2﹣a〕==，﹣﹣﹣﹣〔6分〕∵a＞0，∴＞0，又x＞0，x+1＞0，如此由F′〔x〕=0，解得x=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔7分〕F〔x〕与F′〔x〕的变化情况如下表：x 〔0，〕〔，+∞〕F′〔x〕+0 ﹣F〔x〕↗极大值↘∴F〔x〕max=F〔〕=aln﹣[]=aln+﹣a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔9分〕〔Ⅲ〕F〔x〕=f〔x+1〕﹣g〔x〕=alnx﹣〔x2+bx〕，F′〔x〕=﹣2x﹣b由题知，即，即解得a=6，b=﹣1…〔11分〕∴F〔x〕=6lnx﹣〔x2﹣x〕，F′〔x〕=﹣2x+1=，∵x＞0，由F'〔x〕＞0，解得0＜x＜2；由F'〔x〕＜0，解得x＞2∴F〔x〕在〔0，2〕上单调递增，在〔2，+∞〕单调递减，故F〔x〕至多有两个零点，其中x1∈〔0，2〕，x2∈〔2，+∞〕…〔12分〕又F〔2〕＞F〔1〕=0，F〔3〕=6〔ln3﹣1〕＞0，F〔4〕=6〔ln4﹣2〕＜0∴x0∈〔3，4〕，故n=3 …〔14分〕。
山东省德州市平原一中2015届高三上学期第一次月考数学(文)试卷Word版含解析
2014-2015学年山东省德州市平原一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分．1．已知函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x＜1且x≠0} B．{x|x≤1且x≠0} C．{x|x＞1} D．{x|x≤1}2．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题3．已知a=log23，b=log46，c=log49，则（）A．a=b＜c B．a＜b＜c C．a=c＞b D．a＞c＞b4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位5．设函数f（x）=sin（wx+）+sin（wx﹣）（w＞0）的最小正周期为π，则（）A．f（x）在（0，）上单调递增B．f（x）在（0，）上单调递减C．f（x）在（0，）上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x=0与，则（）A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数7．在△ABC中，，则sin∠BAC=（）A． B． C．D．8．已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量5﹣3=（）A．（﹣7，﹣16） B．（﹣7，﹣34） C．（﹣7，﹣4）D．（﹣7，14）9．平行四边形ABCD中，=（1，0），=（2，2），则等于（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣210．O是△ABC所在的平面内的一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．斜三角形二、填空题：每小题5分．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为．12．设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数m= ．13．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则= ．14．已知向量，的夹角为120°，且||=1，||=2，则向量﹣在向量+方向上的投影是．15．已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．已知向量=（cosx，sinx），=（﹣cosx，cosx），=（﹣1，0）（1）若x=，求向量，的夹角；（2）当x∈[，]时，求函数f（x）=2•+1的最小值．17．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．18．已知函数f（x）=2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a 的最小值．19．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且a2=b2+c2+bc（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试求内角B、C的大小．20．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象过点（0，），最小正周期为，且最小值为﹣1．（1）求函数f（x）的解析式．（2）若x∈[，m]，f（x）的值域是[﹣1，﹣]，求m的取值范围．21．已知函数f（x）=（x﹣a）lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围．2014-2015学年山东省德州市平原一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分．1．已知函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x＜1且x≠0} B．{x|x≤1且x≠0} C．{x|x＞1} D．{x|x≤1}考点：函数的定义域及其求法；交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：由函数y=lgx的定义域是{x|x＞0}和y=的定义域是{x|x≠0}，即可求出答案．解答：解：∵1﹣x＞0，得x＜1，∴函数f（x）=lg（1﹣x）的定义域M={x|x＜1}．∵x≠0时，函数有意义，∴函数的定义域N={x|x≠0}．∴M∩N={x|x＜1}∩{x|x≠0}={x|x＜1，且x≠0}．故选A．点评：本题考查函数的定义域，充分理解函数y=lgx和y=的定义域是解决问题的关键．2．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题考点：命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．解答：解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．点评：此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．3．已知a=log23，b=log46，c=log49，则（）A．a=b＜c B．a＜b＜c C．a=c＞b D．a＞c＞b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数的性质和对数的换底公式，即可比较大小．解答：解：根据对数的换底公式可知log23=log49，∴a=c，∵函数y=log4x，为增函数，∴log46＜log49，即a=c＞b，故选：C．点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数的单调性和对数的换底公式是解决本题的关键．4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；数形结合．分析：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，我们易分析出函数的周期、最值，进而求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式，设出平移量a后，根据平移法则，我们可以构造一个关于平移量a的方程，解方程即可得到结论．解答：解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由∴φ=∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x解得a=﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选A点评：本题考查的知识点是由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象确定其中解析式，函数f （x）=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中根据已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象，求出函数f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式，是解答本题的关键．5．设函数f（x）=sin（wx+）+sin（wx﹣）（w＞0）的最小正周期为π，则（）A．f（x）在（0，）上单调递增B．f（x）在（0，）上单调递减C．f（x）在（0，）上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与两角差的正弦可化简得f（x）=﹣sinwx，依题意知w=2，利用正弦函数的单调性可得答案．解答：解：∵f（x）=sin（wx+）+sin（wx﹣）=﹣sinwx+coswx﹣sinwx﹣coswx=﹣sinwx，又f（x）的最小正周期为π，w＞0，∴w=2．∴f（x）=﹣sin2x，∵y=sin2x在[﹣，]上单调递增，∴f（x）=﹣sin2x在[﹣，]上单调递减，∴f（x）在（0，）上单调递减，故选：B．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查两角和与两角差的正弦及正弦函数的单调性与周期性，属于中档题．6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x=0与，则（）A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为f（x）=2sin（ωx﹣），由题意可得=，解得ω的值，即可确定函数的解析式为f（x）=2sin（2x﹣），由此求得周期，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间，从而得出结论．解答：解：∵函数=2[sin（ωx﹣cosωx]=2sin（ωx﹣），∴函数的周期为．再由函数图象相邻的两条对称轴方程为x=0与，可得=，解得ω=2，故f（x）=2sin（2x﹣）．故f（x）=2sin（2x﹣）的周期为=π．由 2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，故函数在上为单调递增函数，故选C．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的图象、周期性及单调性，属于中档题．7．在△ABC中，，则sin∠BAC=（）A． B． C．D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值．解答：解：∵∠ABC=，AB=，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5，∴AC=，则由正弦定理=得：sin∠BAC==．故选C点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．8．已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量5﹣3=（）A．（﹣7，﹣16） B．（﹣7，﹣34） C．（﹣7，﹣4）D．（﹣7，14）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用向量垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵，∴，解得m=2，∴=（5，﹣10）﹣（12，6）=（﹣7，﹣16）．故选A．点评：熟练掌握向量垂直与数量积的关系是解题的关键．9．平行四边形ABCD中，=（1，0），=（2，2），则等于（）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则和数量积的运算即可得出．解答：解：如图所示：由向量的加减可得：=（1，2）；====（0，2），∴==（1，2）•（0，2）=0+4=4．故选A．点评：熟练掌握向量的运算法则和数量积的运算是解题的关键．10．O是△ABC所在的平面内的一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．斜三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用向量的运算法则将等式中的向量用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．解答：解：∵====0，∴∴△ABC为等腰三角形．故选C点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的平行四边形法则，平面向量的数量积运算，向量模的计算，以及等腰三角形的判定方法，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．二、填空题：每小题5分．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．考点：圆的参数方程；平面向量坐标表示的应用．专题：平面向量及应用；坐标系和参数方程．分析：设滚动后圆的圆心为O'，切点为A，连接O'P．过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（2，1），算出θ=﹣2，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2），即为向量的坐标．解答：解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ∵⊙O'的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）∴∠AO'P=2，可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）∴的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．故答案为：（2﹣sin2，1﹣cos2）点评：本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．12．设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数m= ﹣1 ．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理和平面向量基本定理即可得出．解答：解：∵与平行，∴存在实数k使得，∴=，∵、是平面内两个不平行的向量，∴，解得m=k=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了向量共线定理和平面向量基本定理，属于基础题．13．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则= 4 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意建立直角坐标系，可得及，的坐标，而原式可化为，代入化简可得答案．解答：解：由题意可建立如图所示的坐标系可得A（2，0）B（0，2），P（，）或P（，），故可得=（，）或（，），=（2，0），=（0，2），所以+=（2，0）+（0，2）=（2，2），故==（，）•（2，2）=4或=（，）•（2，2）=4，故答案为：4点评：本题考查平面向量的数量积的运算，建立坐标系是解决问题的关键，属基础题．14．已知向量，的夹角为120°，且||=1，||=2，则向量﹣在向量+方向上的投影是﹣．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用求模运算得到，，进而得到向量﹣与向量+的夹角余弦，根据投影定义可得答案．解答：解：=1+2cos120°+4=3，所以，=1﹣2×1×2cos120°+4=7，所以，则cos＜，＞==，所以向量﹣在向量+方向上的投影是==﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查平面向量数量积的含义及其物理意义，考查向量模的求解投影等概念，属基础题．15．已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k．解答：解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：点评：本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律、考查向量模的平方等于向量的平方．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．已知向量=（cosx，sinx），=（﹣cosx，cosx），=（﹣1，0）（1）若x=，求向量，的夹角；（2）当x∈[，]时，求函数f（x）=2•+1的最小值．考点：平面向量的综合题．专题：三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）根据数量积条件下的夹角公式，将已知条件代入可求得两向量夹角的余弦值，再根据余弦函数的单调性及向量夹角的范围确定夹角；（2）通过利用三角变换先将f（x）=2•+1化简成一个角，一次，一种三角函数（正弦或余弦）的形式，再借助于换元思想研究该函数的最小值．解答：解：（1）当x=时，===又因为0≤π，∴=．（2）f（x）==2（﹣cos2x+sinxcosx）+1=2sinxcosx﹣（2cos2x﹣1）==sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）∵x∈[]，∴∈[]，故sin（）∈[﹣1，]，∴当，即x=时，f（x）=﹣．点评：本题是一道平面向量与三角函数的综合题，一般是先利用数量积的定义将所求表示成三角函数的形式，再借助于三角恒等变换将函数化简成形如y=Asin（ωx+θ）+C的形式，然后再求解．要注意计算准确．17．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：平面向量及应用．分析：（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．解答：解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题．18．已知函数f（x）=2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a 的最小值．考点：余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数的最大值，从而可得f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）利用f（A）=sin（2A+）+1=，求得A，在△ABC中，根据余弦定理，利用b+c=2，及，即可求得实数a的最小值．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=2=（1+cos2x）﹣（sin2xcos﹣cos2xsin）=1+sin2x+=1+sin（2x+）．∴函数f（x）的最大值为2．要使f（x）取最大值，则sin（2x+）=1，∴2x+=2kπ+（k∈Z）∴x=kπ+（k∈Z）．故x的取值集合为{x|x=kπ+（k∈Z）}．（Ⅱ）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简得sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴2A+∈，∴2A+=，∴A=在△ABC中，根据余弦定理，得=（b+c）2﹣3bc．由b+c=2，知，即a2≥1．∴当b=c=1时，实数a取最小值1．点评：本题考查三角函数的化简，考查函数的最值，考查余弦定理的运用，考查基本不等式，综合性强．19．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且a2=b2+c2+bc（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试求内角B、C的大小．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由a2=b2+c2+bc，利用余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，求得cosA的值，即可求得A的大小．（Ⅱ）由A的值求得B+C的值，利用两角和差的正弦公式求得 sin（B+）=1，从而求得B+的值，求得B的值，进而求得C的大小．解答：解：（Ⅰ）∵a2=b2+c2+bc，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，故cosA=，A=120°．（Ⅱ）∴B+C=，∵sinB+sinC=1，∴，∴，∴=1．又∵B为三角形内角，∴B+=，故B=C=．点评：本题主要考查余弦定理，两角和差的正弦、余弦公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．20．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象过点（0，），最小正周期为，且最小值为﹣1．（1）求函数f（x）的解析式．（2）若x∈[，m]，f（x）的值域是[﹣1，﹣]，求m的取值范围．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）依题意，易求A=1，ω=3，由函数的图象过点（0，），0＜φ＜，可求得φ=，从而可得函数f（x）的解析式．（2）x∈[，m]⇒≤3x+≤3m+，依题意，利用余弦函数的性质可得π≤3m+≤，从而可求m的取值范围．解答：解：（1）由函数的最小值为﹣1，A＞0，得A=1，∵最小正周期为，∴ω==3，∴f（x）=cos（3x+φ），又函数的图象过点（0，），∴cosφ=，而0＜φ＜，∴φ=，∴f（x）=cos（3x+），（2）由x∈[，m]，可知≤3x+≤3m+，∵f（）=cos=﹣，且cosπ=﹣1，cos=﹣，由余弦定理的性质得：π≤3m+≤，∴≤m≤，即m∈[，]．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）确定函数解析式，着重考查余弦函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=（x﹣a）lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=0时，可得函数f（x）的解析式，求导数，令导数为0，解出x的值，利用导函数值的正负来求其单调区间，进而求得其极小值；（Ⅱ）求导函数，由于函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，转化为f'（x）≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，分离参数，利用导数求g（x）=xlnx+x的最小值，即可求实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）定义域（0，+∞）．当a=0时，f（x）=xlnx，f'（x）=lnx+1．令f'（x）=0，得．当时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；当时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．所以函数f（x）的极小值是．（Ⅱ）由已知得．因为函数f（x）在（0，+∞）是增函数，所以f'（x）≥0，对x∈（0，+∞）恒成立．由f'（x）≥0得，即xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立．设g（x）=xlnx+x，要使“xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立”，只要a≤g（x）min．因为g'（x）=lnx+2，令g'（x）=0得．当时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；当时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．所以g（x）在（0，+∞）上的最小值是．故函数f（x）在（0，+∞）是增函数时，实数a的取值范围是．点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．。
山东省德州市高三数学上学期1月月考试题 文(含解析)
文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B =（ ）（A ）{13}x x -≤<（B ）{13}x x -<<（C ）{1}x x <- （D ）{3}x x >2.函数2()log 3f x x =-（）的定义域为（ ） （A ）{}3,x x x R ≤∈ （B ） {}3,x x x R ≥∈（C ） {}3,x x x R >∈ （D ） {}3,x x x R <∈3.已知点(1,1)A -，点(2,)B y ，向量=(1,2)a ，若//AB a ，则实数y 的值为（ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】C4.已知ABC ∆中，1,2a b ==，45B =，则角A 等于（ ）（A ）150 （B ）90 （C ）60 （D ）305.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ） （A ）35a a （B ）35S S （C ）n n a a 1+（D ）nn S S1+6.等比数列{a n }中，其公比q<0，且a 2=1-a 1,a 4=4-a 3,则a 4+a 5等于（ ） A. 8B. -8C.16D.-167.椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．24x y += C ． 2314x y += D ．28x y += 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可设该弦所在直线的斜率为k ，若k 不存在则不合题意，则可设该所在的直线方程为y kx b =+，直线与椭圆的交点为()11,A x y 、()22,B x y ，则11y kx b =+、22y kx b =+，1212482x x x x +=⇒+=，1212242y y y y +=⇒+=，又22111369x y +=，22221369x y +=，两式作差化简得()1224099k x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，当12x x =时直线与x 轴平行，不合题意，所以有24099k +=，解得12k =-，由点斜式可求得该弦所在直线方程为28x y +=，所以正确答案为D. 考点：直线与椭圆关系8.函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间是 ( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎦⎥⎤－1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，49.已知函数()m x x x f +-=23212（m 为常数）图象上A 处的切线与03=+-y x 平行，则点A 的横坐标是（ ） A. 31-B 1 C. 13 或12 D. 31-或1210.已知向量a ()()4,3,1,2==-b ，若向量k +a b 与-a b 垂直，则k 的值为（ ）A ．323B ．7C ．115-D ．233-11.已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则（ ） A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在 B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意 C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意12.函数f (x )＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可以为( )A ．x ＝π12B ．x ＝5π12C ．x ＝π3D ．x ＝π6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是__________．14.点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是________．15.若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为_____.【答案】4 【解析】试题分析：由约束条件作出可行域区域图，令目标函数2z x y =+，则2y x z =-+，先作16.双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为_____； 若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =，则直线l 的斜率为_____.所以1211k k -=--+或者1211k k =+-解得3k =±. 考点：1.双曲线；2.向量三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数2()3sin 22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,3)P -在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.18.已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e .（Ⅰ）若3e =，求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点. 若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围.yxF 23,0()NM OB x 2,y 2()A x 1,y 1()B试题解析：（Ⅰ）由题意得33c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩23a =………………2分结合222a b c =+，解得212a =，23b =. ………………3分所以，椭圆的方程为131222=+y x . ………………4分19.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．【答案】（1）3a =-，4b =；（2）(1)(9)-∞-+∞，，【解析】试题分析：（1）由函数()322338f x x ax bx c =+++，可得()2663f x x ax b '=++，又函数()f x 在1x =与2x =处取得极值，所以()()1020f f '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，从而解得3a =-，4b =.（2）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<；20.已知数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n()1,2,3,n =．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项n b ； （Ⅲ）若nb ac nn n ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．（Ⅱ）∵)12(1-+=+n b b n n ∴112=-b b ， 323=-b b ，534=-b b ，………21. 已知椭圆221:14x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率. (1)求椭圆2C 的方程;(2)设O 为坐标原点,点A,B 分别在椭圆1C 和2C 上, 2OBOA ,求直线AB 的方程.【答案】（1）221164y x +=；（2）y x =或y x =- 【解析】试题分析：（1）由题意可设，所求椭圆2C 的方程为()222124x y a a +=>，且其离心率可由椭圆1C 的方程知4132e -==，因此()2432a a -=>，解之得4a =，从而可求出椭圆2C 的方程为221164y x +=.由2OBOA ,得224B Ax x =,即221616414k k =++解得1k =±,故直线AB 的方程为y x =或y x =- ……12分 解法二 ,A B 两点的坐标分别记为(,),(,)A A B B x y x y由2OBOA 及(1)知,,,O A B 三点共线且点A ,B 不在y 轴上,22.已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.（Ⅱ）由()()()()()122210ax x f x ax a x x x --'=-++=>，令()0f x '=，则11x a=，22x =，因此需要对a 与0，12，2比较进行分类讨论：①当0a 时，在区间()0,2上有()0f x '>，在区间(2,)+∞上有()0f x '<；②当时102a <<，在区间(0,2)和1(,)a+∞上有()0f x '>，在区间1(2,)a 上有()0f x '<；③当时12a =，有()()222x f x x -'=；④当12a >时，区间1(0,)a和(2,)+∞上有()0f x '>，在区间1(,2)a上有()0f x '<，综上得()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a.（Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =. ………………3分 （Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ………………5分①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………………6分 ②当102a <<时，12a >， 在区间(0,2)和1(,)a+∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a. …………7分。
山东省德州市某中学2015届高三上学期10月月考数学文科Word版含答案
高三月考数学试题（文）2014.10一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．山东省中学联盟网1．已知集合{}{}1,2,4,2,3,4A B ==，那么集合A B 等于（ ）A 、{}1,2B 、{}2,4C 、{}1,2,3,4D 、{}1,2,3 2．求：0sin 600的值是 ( )A 、12 B 、- D 、 12- 3．函数,0()(1->=a a x f x 且1)a ≠的图象一定过定点（ ）A 、(0,1)B 、(1,1)C 、(1,0)D 、(0,0) 4．曲线31y x =+在点(1,0)-处的切线方程为（ ）A ．330x y ++=B ．330x y -+=C ．30x y -=D ．330x y --=5．命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是（ ）A.R ∉∀x ，x x ≠2B.R ∈∀x ，x x =2C.R ∉∃x ，x x ≠2D.R ∈∃x ，x x =26．下列函数在定义域内为奇函数的是（ ）A. 1y x x=+B. sin y x x =C. 1y x =-D. cos y x = 7．计算()()516log 4log 25⋅= （ ）A ．2B ．1C ．12 D ．148．函数()y f x =的图象如图1所示，则()y f x '=的图象可能是（ ）9．在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）A ．1233b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ． 2133b c +10．要得到函数y x =的图象，只需将函数)4y x π=+的图象上所有的点A ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度C ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8π个单位长度二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.函数()tan(2)4f x x π=+是周期函数，它的周期是__ ．12．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ．13．已知命题:0p m <，命题2:,10q x R x mx ∀∈++>成立，若“p ∧q ”为真命题，则实数m 的取值范围是_ _ ． 14. 求值：23456coscoscos cos cos cos 777777ππππππ=_ _ ． 15. 已知下列给出的四个结论:①命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为:“若方程20x x m +-= 无实数根,则m ≤0”；②x,y R,sin(x y )sin x sin y ∃∈-=-； ③在△ABC 中,“30A ∠=”是“1sin 2A =”的充要条件； ④设,R ∈ϕ则”“2πϕ=是)sin()(ϕ+=x x f “为偶函数”的充分而不必要条件；则其中正确命题的序号为_________________(写出所有正确命题的序号).三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置． 16．（本小题满分12分）（1）已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，4,30a b A === ，则B 等于多少？（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若02,3,60a b C ===，求边AB 上的高h 是多少？ 17．（本小题满分12分）已知函数3211()2132f x x x x =--+， （1）求函数()f x 的极值；（2）若对[2,3]x ∀∈-，都有s ≥()f x 恒成立，求出s 的范围； （3）0[2,3]x ∃∈-，有m ≥0()f x 成立，求出m 的范围；18．（本小题满分12分）已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+， (1)求函数)(x f 的对称轴所在直线的方程； (2)求函数()f x 单调递增区间.19．（本小题满分12分）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其它费用为每小时1250元.(1)请把全程运输成本y （元）表示为速度x （海里/小时）的函数,并指明定义域；(2)为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 20．（本小题满分13分）（1）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，其中h 是边AB 上的高，请同学们利用所学知识给出这个不等式：a b +.（2）在ABC ∆中，h 是边AB 上的高，已知cos cos 2sin sin B AB A+=，并且该三角形的周长是12；①求证：2c h =；②求此三角形面积的最大值. 21．（本小题满分14分）已知函数3()f x x x =- (I)判断()f x x的单调性； (Ⅱ)求函数()y f x =的零点的个数；(III)令2()lng x x =+，若函数()y g x =在(0，1e )内有极值，求实数a 的取值范围.高三月考数学答案(文)11、答案：π 12、答案：2 13、答案： 20m -<< 14、答案： 164-15、答案：①②④；16．【答案】（1）由正弦定理：sin sin a b A B =，则：04sin 30sin B=，解得：sin 2B =… … … 3分 又由于B 是三角形中的角，且由于,a b A B <<，于是：060B =或0120 … … 6分（2）由余弦定理：2222cos 4967c a b ab C =+-=+-=，这样，c = … 9分由面积公式11sinC 22S ab ch ==，解得： 7h = … … １２分 17、【答案】2()2(2)(1)0f x x x x x '=--=-+=，解得122,1x x ==-，… … … １分因此极大值是6，极小值是3-… … … 6分 （2）1(2)3f -=，1(3)2f =-… … … 7分因此在区间[2,3]-的最大值是136，最小值是73-，s ≥136… … … 10分（3）由（2）得：m ≥73-… … … 12分 18、【答案】(Ⅰ)ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+1111(cos )(cos )sin 22224x x x x x =--+ 221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824x x x +-=--+1(cos 2sin 2)2x x =-24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ … … … 6分 令2,4x k k Z ππ+=∈，解得,28k x k Z ππ=-∈，… … … 8分(II)由 222,4k x k k z ππππ-≤+≤∈ ,得 5,88k x k k z ππππ-≤≤-∈函数)(x f 的 单调递增区间为5[,],88k k k z ππππ--∈ … … … 12分19.【答案】 (1)由题意得：2600750000(12500.5)300y x x x x =+=+，即： 750000300(060)y x x x=+<≤ … … … 6分 (2)由（1）知，2750000'300,y x =-+令'0y =，解得x =50,或x =-50(舍去).… … …8分当050x <<时，'0y <，当5060x <<时，'0y >（均值不等式法同样给分，但要考虑定义域）， … … … 10分因此，函数750000300y x x =+，在x =50处取得极小值，也是最小值.故为使全程运输成本最小，轮船应以50海里/小时的速度行驶. … … … 12分20．【答案】要证明：a b +222a ab b ++≥224c h +，利用余弦定理和正弦定理即证明：22cos ab ab C +≥22222sin C 44a b h c =，即证明：1cos C +≥222222sin C 2(1cos C)2(1cosC)(1cosC)ab ab ab c c c-+-==，因为1cos 0C +>， 即证明：2c ≥2222(1cosC)2ab ab a b c -=--+，完全平方式得证. … … … 6分 (2)cos cos sin 2sin sin sinBsinAB AC B A +==，使用正弦定理，2sin 2c a B h ==.… … 9分（3）122h -=，解得：h ≤6，于是：2S h =≤108-，最大值108- … 13分21.【答案】设()2(2)1h x x a x =-++，则()0h x =有两个不同的根12,x x ，且一根在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内, 不妨设110x e<<，由于121x x ⋅=，所以,2x e >…………………12分 由于()01h =,则只需10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()211210,a e e-++<………13分解得:12a e e>+-………………………………………………………14分。
山东省德州市平原一中2015届高三数学上学期第一次月考试卷理(含解析)
2014-2015学年山东省德州市平原一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0，1] B．[0，1）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣3x+2＞0}，B={x|x﹣a≤0}，若∁U B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2] C．[1，+∞）D．[2，+∞）3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=e x﹣e﹣x C．y=x3﹣x D．y=xlnx4．若实数则函数f（x）=asinx+cosx的图象的一条对称轴方程为（）A．x=0 B．C．D．5．下列命题中的假命题是（）A．∀x＞0，3x＞2x B．∀x∈（0，+∞），e x＞1+xC．∃x0∈（0，+∞），x0＜sinx0D．∃x0∈R，lgx0＜06．已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）为增函数，且函数y=f（x+2）为偶函数，则下列结论不成立的是（）A．f（0）＞f（1）B．f（0）＞f（2）C．f（1）＞f（3）D．f（1）＞f（2）7．函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切时，a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．29．已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．10．对于函数，下列选项中正确的是（）A．内是递增的 B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）的最大值为1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置）11．已知，，则= ．12．由曲线y=x2和直线x=1以及y=0所围成的图形的面积是．13．不等式的解集为．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）=2f（x），若当﹣1≤x≤0时，f（x）=x（1+x）；则当0≤x≤1时，f（x）= ．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4= ．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．是命题p：函数f（x）=（a﹣）x是R上的减函数，命题q：f（x）=x2﹣3x+3在[0，a]上的值域为[1，3]，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．17．已知函数（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当，求函数y=f（x）的值域．18．某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是元．（Ⅰ）要使生产该产品1小时获得的利润不低于1200元，求x的取值范围；（Ⅱ）要使生产120千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．19．设函数f（x）=（1+x）2﹣21n（1+x）．（1）求f（x）的单调区间；（2）试讨论关于x的方程：f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上的根的个数．20．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．2014-2015学年山东省德州市平原一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A．[0，1] B．[0， 1） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）考点：交集及其运算；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：由集合A={x|y=ln（1﹣x）}，表示函数y=ln（1﹣x）的定义域，集合B={y|y=x2}，表示y=x2的值域，我们不难求出集合A，B，再根据集合交集的定义，不难得到答案．解答：解：∵A={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，B={y|y=x2}={y|y≥0}，∴A∩B=[0，1）．故选B点评：遇到两个连续数集的运算，其步骤一般是：①求出M和N；②借助数轴分析集合运算结果，方法是：并集求覆盖的最大范围，交集求覆盖的公共范围．2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣3x+2＞0}，B={x|x﹣a≤0}，若∁U B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2] C．[1，+∞）D．[2，+∞）考点：一元二次不等式的解法；补集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的解法即可化简集合A，B，再利用集合的运算即可．解答：解：对于集合A：∵x2﹣3x+2＞0，∴（x﹣1）（x﹣2）＞0，解得x＞2或x＜1，∴A=（﹣∞，1）∪（2，+∞）．∵B={x|x﹣a≤0}，∴C U B=（a，+∞）．∵∁U B⊆A，∴a≥2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）．故选D．点评：本题考查了一元二次不等式的解法、集合的运算性质，属于基础题．3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=e x﹣e﹣x C．y=x3﹣x D．y=xlnx考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：分别根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．解答：解：A．函数y=x+是奇函数，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴A不满足条件．B．设y=f（x）=e x﹣e﹣x，则f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣f（x）．函数为奇函数，∵y=e x单调递增，y=e﹣x，单调递减，∴y=e x﹣e﹣x在区间（0，+∞）上单调递增，∴B满足条件．C．函数y=x3﹣x为奇函数，到x＞0时，y'=3x2﹣1，由y'＞0，解得x＞或x，∴f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，∴C不满足条件．D．函数y=xlnx的定义域为（0，+∞），关于原点不对称，∴D不满足条件．故选：B．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性．4．若实数则函数f（x）=asinx+cosx的图象的一条对称轴方程为（）A．x=0 B．C．D．考点：定积分；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．专题：导数的综合应用；三角函数的图像与性质．分析：利用微积分基本定理可得：实数a===1．因此函数f（x）=sinx+cosx=，即可得到对称轴：，令k=﹣1，即可得出．解答：解：实数a===lne=1．∴函数f（x）=sinx+cosx==，令x+=，解得，令k=﹣1，可得x=﹣．故可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程为．故选B．点评：本题考查了微积分基本定理、三角函数的图象与性质、两角和差的正弦公式等基础知识与基本技能方法，属于基础题．5．下列命题中的假命题是（）A．∀x＞0，3x＞2x B．∀x∈（0，+∞），e x＞1+xC．∃x0∈（0，+∞），x0＜sinx0D．∃x0∈R，lgx0＜0考点：特称命题；命题的否定．专题：规律型．分析：根据含有量词的命题的真假判断方法和命题的否定分别进行判断．解答：解：A．根据指数函数的性质可知，当x＞0时，，∴3x＞2x成立，∴A正确．B．设f（x）=e x﹣（1+x）．则f'（x）=e x﹣1，当x≥0时，f'（x）=e x﹣1≥0，即函数f（x）单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，即∀x∈（0，+∞），e x＞1+x，∴B正确．C．设f（x）=x﹣sinx，则f'（x）=1﹣cosx，当x≥0时，f'（x）=1﹣cosx≥0，即函数f （x）单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，即∀x∈（0，+∞），x＞sinx，∴C错误．D．当0＜x＜1时，lgx＜0，∴∃x0∈R，lgx0＜0成立，∴D正确．故选：C．点评：本题主要考查含有量词的命题的真假判断和命题的否定，比较基础．6．已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）为增函数，且函数y=f（x+2）为偶函数，则下列结论不成立的是（）A．f（0）＞f（1）B．f（0）＞f（2）C．f（1）＞f（3）D．f（1）＞f（2）考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．专题：数形结合．分析：由定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）为增函数，且函数y=f（x+2）为偶函数，我们不难判断函数f（x）在定义域为R的单调性，并可以画出其草图，根据草图对四个答案逐一分析，即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）在（2，+∞）为增函数∴函数y=f（x+2）在（0，+∞）为增函数又∵函数y=f（x+2）为偶函数，∴函数y=f（x+2）在（﹣∞，0）为减函数即函数y=f（x）在（﹣∞，2）为减函数则函数y=f（x）的图象如下图示：由图可知：f（0）＞f（1），f（0）＞f（2），f（1）＞f（2）均成立只有f（1）与f（3）无法判断大小故选C点评：本题考查的知识是函数的单调性和函数的奇偶性，这两个函数综合应用时，要注意：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反．7．函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由函数=0，得，分别作出函数的图象，利用图象的交点确定函数零点的个数．解答：解：因为函数，所以由=0，得，分别作出函数的图象，如图由图象可知两个函数的交点个数有2个，即函数的零点个数是2个．故选C．点评：本题主要考查函数与方程之间的关系，利用数形结合是解决函数交点问题中最基本的方法，要求熟练掌握．8．直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切时，a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程，又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．三个方程联立即可求出a的值．解答：解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，且y0=ln（x0+a），又∵切线方程y=x+1的斜率为1，即==1，∴x0+a=1，∴y0=0，x0=﹣1，∴a=2．故选D．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．学生在解方程时注意利用消元的数学思想．9．已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：根据函数y=﹣xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可．解答：解：由函数y=﹣xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增；当﹣1＜x＜0时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减；当0＜x＜1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减；当x＞1时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增．综上所述，y=f（x）的图象可能是B，故选：B．点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题．10．对于函数，下列选项中正确的是（）A．内是递增的 B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的最小正周期为2πD．f（x）的最大值为1考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：函数f（x）解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性，对称性，周期性，以及值域，即可做出判断．解答：解：函数f（x）=[1+cos（2x﹣）+1﹣cos（2x+）]﹣1=（cos2x+sin2x﹣cos2x+sin2x）=sin2x，令﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，当x∈（，）时，2x∈（，π），此时函数为减函数，选项A错误；当x=0时，f（x）=0，且正弦函数关于原点对称，选项B正确；∵ω=2，∴最小正周期T==π，选项C错误；∵﹣1≤sin2x≤1，∴f（x）=sin2x的最大值为，选项D错误，故选：B．点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，以及正弦函数的对称性，熟练掌握公式是解本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置）11．已知，，则= ﹣1 ．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由α的范围，根据sinα的值，求出cosα的值，进而确定出tanα的值，原式利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα=﹣，则tan（α﹣）===﹣1．故答案为：﹣1点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．12．由曲线y=x2和直线x=1以及y=0所围成的图形的面积是．考点：定积分．分析：关键定积分的几何意义，所求图形的面积等于定积分dx的值．解答：解：由题意，==，所以由曲线y=x2和直线x=1以及y=0所围成的图形的面积是；故答案为：．点评：本题考查利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积；明确意义后确定积分的上限和下限是关键．13．不等式的解集为（．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：由两数相除商为负数，得到两数异号，将原不等式转化为两个不等式组，求出不等式组的解集，即可确定出原不等式的解集．解答：解：≤0，可化为或，解得：﹣＜x≤1，则原不等式的解集为（﹣，1]．故答案为：（﹣，1]点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，其转化的依据为两数相除的取符合法则．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）=2f（x），若当﹣1≤x≤0时，f（x）=x（1+x）；则当0≤x≤1时，f（x）= ．考点：抽象函数及其应用；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：设0≤x≤1，则﹣1≤x﹣1≤0，根据当﹣1≤x≤0时，f（x）=x（1+x），可得f（x ﹣1）的表达式，再利用f（x﹣1）=2f（x），即可得到f（x）的表达式．解答：解：设0≤x≤1，则﹣1≤x﹣1≤0，∵当﹣1≤x≤0时，f（x）=x（1+x），∴f（x﹣1）=（x﹣1）x，∵f（x﹣1）=2f（x），∴2f（x）=（x﹣1）x，∴f（x）=（﹣1≤x≤0）．故答案为：．点评：本题考查了抽象函数及其应用，涉及了求函数解析式，对于求函数解析式的方法，一般有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4= ﹣8 ．考点：奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．专题：数形结合．分析：由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．解答：解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为﹣8．点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说、证明过程或演算步骤）16．是命题p：函数f（x）=（a﹣）x是R上的减函数，命题q：f（x）=x2﹣3x+3在[0，a]上的值域为[1，3]，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据指数函数的单调性，二次函数的值域求出命题p，q下的a的取值范围，因为“p 或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以p，q中一真一假，求p真q假，p假q真时的a 的取值范围，再求并集即可．解答：解：命题p：函数f（x）=（a﹣）x是R上的减函数；∴0＜，∴；命题q：令x2﹣3x+3=1得，x=1，或2；令x2﹣3x+3=3得，x=0，或3；∴a=1；若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假；若p真q假，，解得a；若p假q真，，解得a=1；∴实数a的取值范围为{a|，或a=1}．点评：考查指数函数的单调性，二次函数的值域，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系．17．已知函数（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当，求函数y=f（x）的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的单调增区间，求f（x）的单调递增区间；（2）通过，求出相位的范围，利用正弦函数的值域即可求函数y=f（x）的值域．解答：解：函数===由，k∈Z可得，k∈Z．∴函数的单调增区间：k∈Z．（2）∵，∴，∴，∴函数的值域是：．点评：本题考查两角和与差的三角函数以及二倍角公式的应用，三角函数的单调区间以及函数的值域的求法，考查计算能力．18．某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是元．（Ⅰ）要使生产该产品1小时获得的利润不低于1200元，求x的取值范围；（Ⅱ）要使生产120千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（Ⅰ）求出生产该产品1小时获得的利润，建立不等式，然后解一元二次不等式即可求x的取值范围；（Ⅱ）确定生产120千克该产品获得的利润函数，利用配方法，从而可求出最大利润．解答：解：（Ⅰ）生产该产品1小时获得的利润为100（4x+1﹣）×1=100（4x+1﹣），根据题意，100（4x+1﹣）≥1200，即4x2﹣11x﹣3≥0∴x≥3或x≤﹣1，∵1≤x≤10，∴3≤x≤10，即x的取值范围是3≤x≤10；（Ⅱ）设生产120千克该产品获得的利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（4x+1﹣）×=12000[﹣3（﹣）2+]，∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为49000元，故该厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为49000元．点评：本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．属于中档题．19．设函数f（x）=（1+x）2﹣21n（1+x）．（1）求f（x）的单调区间；（2）试讨论关于x的方程：f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上的根的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，即可求f（x）的单调区间；（2）利用参数分离法，转化为a=1+x﹣21n（1+x），然后利用导数求出g（x）=1+x﹣21n（1+x）在区间[0， 2]上的极值和最值即可得到结论．解答：解：（1）函数的定义域为（﹣1，+∞），则函数的导数f′（x）=2（x+1）﹣=，若f′（x）＞0，则x＞0，此时函数单调递增，若f′（x）＜0，则﹣1＜x＜0，此时函数单调递减，即f（x）的单调增区间为（0，+∞）；f（x）的单调减区间为（﹣1，0）；（2）由f（x）=x2+x+a，得（1+x）2﹣21n（1+x）=x2+x+a，则a=1+x﹣21n（1+x），设g（x）=1+x﹣21n（1+x），则g′（x）=1﹣=，当1＜x＜2时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，即当x=1时，函数g（x）取得极小值，同时也是最小值g（1）=2﹣2ln2，∵g（0）=1，g（2）=3﹣2ln3＜1，∴若a＜2﹣2ln2，则方程a=1+x﹣21n（1+x）在区间[0，2]无解，若a=2﹣2ln2，则方程a=1+x﹣21n（1+x）在区间[0，2]有1解，若2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3，则方程a=1+x﹣21n（1+x）在区间[0，2]有2解，若3﹣2ln3＜a≤1，则方程a=1+x﹣21n（1+x）在区间[0，2]有1解，若a＞1则方程a=1+x﹣21n（1+x）在区间[0，2]无解．点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系，以及方程根的个数的判断，考查学生的推理能力．20．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．考点：函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x的值，注意验证即可；（2）方程可化为，设1﹣x=t∈（0，1]，构造函数，可得单调性和最值，进而可得吗的范围．解答：解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）由，可解得﹣1＜x＜1，所以函数F（x）的定义域为（﹣1，1）令F（x）=0，则…（*）方程变为，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0解得x1=0，x2=﹣3，经检验x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0即函数F（x）的零点为0．（2）方程可化为=，故，设1﹣x=t∈（0，1]函数在区间（0，1]上是减函数当t=1时，此时x=0，y min=5，所以a m≥1①若a＞1，由a m≥1可解得m≥0，②若0＜a＜1，由a m≥1可解得m≤0，故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0点评：本题考查函数的零点与方程的跟的关系，属中档题．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f （﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）点评：本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．。
山东省德州市第一中学2015届高三数学10月月考试卷 文(含解析)新人教A版
山东省德州市第一中学2015届高三数学10月月考试卷 文（含解析）新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合{}{}1,2,4,2,3,4A B ==那么集合AB 等于（ ）A 、{}1,2B 、{}2,4C 、{}1,2,3,4D 、{}1,2,3 【答案】C 【解析】试题分析： {}{}1,2,4,2,3,4A B ==，=⋃∴B A {}1,2,3,4，故答案为C ． 考点：集合的并集．2．求0sin 600的值是 （ ）A 、12 B 、 D 、12-【答案】B【解析】试题分析：2360sin 240sin 600sin -=-==． 考点：三角函数求值． 3．函数,0()(1->=a ax f x 且1)a ≠的图象一定过定点（ ）A 、(0,1)B 、(1,1)C 、(1,0)D 、(0,0) 【答案】B 【解析】试题分析：令101=⇒=-x x ，此时10==a y ，所以得点()1,1与a 无关，所以函数,0()(1->=a a x f x 且1)a ≠的图象过定点(1,1)．考点：指数函数的性质．4．曲线31y x =+在点(1,0)-处的切线方程为（ ）A ．330x y ++=B ．330x y -+=C ．30x y -=D ．330x y --= 【答案】B 【解析】试题分析：2'33,1x y x y =∴+= ，3|1'=∴=x y ，∴曲线31y x =+在点(1,0)-处的切线的斜率3=k ，∴切线方程为330x y -+=．考点：导数的几何意义．5．命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是（ ） A ．R ∉∀x ，x x ≠2 B ．R ∈∀x ，x x =2 C ．R ∉∃x ，x x ≠2 D ．R ∈∃x ，x x =2 【答案】D 【解析】试题分析： 命题“R ∈∀x ，x x ≠2”是全称命题，∴命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是R ∈∃x ，x x =2 ．考点：命题的否定．6．下列函数在定义域内为奇函数的是（ ） A ．1y x x=+ B ．sin y x x = C ．1y x =- D ．cos y x = 【答案】A 【解析】试题分析：由奇函数的定义可知：()()x f x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=-11，所以选A 考点：函数的性质．7．计算()()516log 4log 25⋅= （ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．14【答案】B 【解析】试题分析：()()516log 4log 25⋅=lg 4lg 25lg 42lg51lg5lg16lg52lg 4⋅=⋅=考点：对数运算．8．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．1233b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．2133b c + 【答案】D【解析】 试题分析：由题意可得：()a b AB AC AB AC AB BC AB BD AB AD 313231323232+=+=-+=+=+=，故答案为D ．考点：向量表示．9．要得到函数y x =的图象，只需将函数)4y x π=+的图象上所有的点A ．横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度B ．横坐标缩短到原的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C ．横坐标缩短到原的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度D ．横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度【答案】A【解析】试题分析：因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42cos 2πx y ，所以横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos 2πx y 的图像，再向左平行移动4π个单位长度得到函数y x =的图像，所以选A ．考点：图像平移．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）10．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意可得：22121121==⇒=⇒⨯=⇒=rll l lr s α． 考点：扇形的面积公式．11．已知命题:0p m <，命题2:,10q x R x mx ∀∈++>成立，若“q p ∧”为真命题，则实数m 的取值范围是_ _ ． 【答案】20m -<< 【解析】试题分析：因为命题2:,10q x R x mx ∀∈++>成立，所以2204422<<-⇒<-=-=∆m m ac b ；又因为“q p ∧”为真命题，所以02220<<-⇒⎩⎨⎧<<-<m m m ．考点：命题间的关系． 12．求值：23456cos coscos cos cos cos 777777ππππππ=_ _ ． 【答案】164- 【解析】试题分析：原式=7cos72cos 73cos 73cos 72cos 7cos 76cos 75cos 74cos 73cos 72cos 7cos ππππππππππππ-=7sin 473cos 72cos 72sin 7sin 73cos 72cos 7cos 7sin 73cos 72cos 7cos 222222222222ππππππππππππ-=-=-=6417sin 4447sin 7sin 44478sin 7sin 4474cos 74sin 2222222-=⨯⨯-=⨯⨯-=⨯-=πππππππ．考点：三角求值．13．已知下列给出的四个结论①命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为“若方程20x x m +-= 无实数根,则m ≤0”；②x,y R,sin(x y )sin x sin y ∃∈-=-； ③在△ABC 中,“30A ∠=”是“1sin 2A =”的充要条件； ④设,R ∈ϕ则”“2πϕ=是)sin()(ϕ+=x x f “为偶函数”的充分而不必要条件； 则其中正确命题的序号为_________________（写出所有正确命题的序号）．【答案】①②④ 【解析】试题分析：命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为“若方程20x x m +-= 无实数根,则m ≤0”，①正确；()0sin 0sin 00sin ,0,0-=-==∃y x ②正确；在ABC ∆中，30A ∠=⇒1sin 2A =，反之1sin 2A =⇒ 30=∠A 或 150=∠A ③错误；2πϕ=⇒)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，反之)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数⇒Z k k ∈+=,2ππϕ,所以④正确．考点：命题真假的判断．三、解答题（题型注释）14．（1）已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，4,30a b A ===，则B 等于多少？（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若02,3,60a bC ===，求边AB 上的高h 是多少？【答案】（1）060B =或0120 ；（2）h = 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理列出关系式，把A b a sin ,,的值代入公式求出B sin 的值，即可确定B 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把C b a cos ,,的值代入公式求出C 的值，利用三角形的面积公式即可求出AB 边上的高．试题解析：（1）由正弦定理：sin sin a bA B=，则：04sin 30=，解得：sin B =又由于B 是三角形中的角，且由于,a b A B <<，于是：060B =或0120（2）由余弦定理：2222cos 4967c a b ab C =+-=+-=，所以c =由面积公式11sinC 22S ab ch ==，解得：h =考点：正、余弦定理的应用． 15．已知函数3211()2132f x x x x =--+， （1）求函数()f x 的极值；（2）若对[2,3]x ∀∈-，都有s ≥()f x 恒成立，求出s 的范围； （3）0[2,3]x ∃∈-，有m ≥0()f x 成立，求出m 的范围； 【答案】（1）极大值是136，极小值是73-；（2）s ≥136；（3）m ≥73-． 【解析】试题分析：（1）利用导数求函数的极值即：先求函数3211()2132f x x x x =--+的导数，再列表观察；由题意可得：只要满足max f s ≥即可，利用导数求函数的极值，进而比较得出函数的最大值; 由题意可得：只要满足min f s ≥即可，利用导数求函数的极值，进而比较得出函数的最小值． 试题解析：（1）2()2(2)(1)0f x x x x x '=--=-+=，解得122,1x x ==-，因此函数的极大值是136，极小值是73-． （2）因为3211()2132f x x x x =--+，所以1(2)3f -=，1(3)2f =-，因此由（1）可知：函数3211()2132f x x x x =--+在区间[2,3]-的最大值是136，最小值是73-，所以s ≥136．由（2）得：函数3211()2132f x x x x =--+在区间[2,3]-的最大值是136，最小值是73-，所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈613,37x f ，所以m ≥73-．考点：函数的极值问题以及恒成立问题． 16．已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+， （1）求函数)(x f 的对称轴所在直线的方程； （2）求函数()f x 单调递增区间． 【答案】（1）,28k x k Z ππ=-∈；（2）5[,],88k k k z ππππ--∈【解析】试题分析：（1）利用两角和、差的余弦公式和降幂公式化简，得到()ϕω+=x A y sin 的形式； 根据2,4x k k Z ππ+=∈得出函数的对称轴,28k x k Z ππ=-∈； （3）把ϕω+x 看作一个整体代入x y sin =相应的单调范围即：222,4k x k k z ππππ-≤+≤∈，注意首先应把ω化为正数,这也是容易出错的地方． 试题解析：（1）ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+1111(cos )(cos )sin 22224x x x x x =+-+ 221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824x x x +-=--+1(cos 2sin 2)2x x =-24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,4x k k Z ππ+=∈，解得,28k x k Z ππ=-∈， （2）由 222,4k x k k z ππππ-≤+≤∈ ,得 5,88k x k k z ππππ-≤≤-∈ 函数)(x f 的 单调递增区间为5[,],88k k k z ππππ--∈考点：三角函数的化简及性质．17．某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0．5，其它费用为每小时1250元．（1）请把全程运输成本y （元）表示为速度x （海里/小时）的函数,并指明定义域； （2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？【答案】（1）750000300(060)y x x x=+<≤；（2）50．【解析】 试题分析：（1）利用轮船每小时的燃料费与轮船的速度成反比且比例系数为0．5，其它费用为每小时1250元，可得全程运输成本y 与速度x 的函数；（2）根据导数确定函数的单调性，即可求出当速度达到多少时可使全程运输成本最小． 试题解析： （1）由题意得：2600750000(12500.5)300y x x x x =+=+，即：750000300(060)y x x x=+<≤ （2）由（1）知，2750000'300,y x =-+令'0y =，解得50=x ,或50-=x （舍去）． 当050x <<时，'0y <，当5060x <<时，'0y >，因此，函数750000300y x x =+，在50=x 处取得极小值，也是最小值．故为使全程运输成本最小，轮船应以50海里/小时的速度行驶． 考点：函数性质的应用．18．（1）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，其中h 是边AB 上的高，请同学们利用所学知识给出这个不等式：a b + （2）在ABC ∆中，h 是边AB 上的高，已知cos cos 2sin sin B AB A+=，并且该三角形的周长是12； ①求证：2c h =；②求此三角形面积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）108-． 【解析】试题分析：（1）首先利用分析法证明可以得到222a ab b ++≥224c h +，然后再利用正余弦定理和面积公式可得22cos ab ab C +≥22222sin C44a b h c=进而整理即可； （2）利用（1）的结论及三角的和与差的正弦公式转换得到2sin 2c a B h ==，即可证明，最后利用三角形的面积公式求得结果． 试题解析：要证明：a b +≥224c h +，即证明：222a ab b ++≥224c h +，利用余弦定理和正弦定理即证明：22cos ab ab C +≥22222sin C44a b h c =，即证明：1cos C +≥222222sin C 2(1cos C)2(1cosC)(1cosC)ab ab ab c c c-+-==，因为1cos 0C +>， 即证明：2c ≥2222(1cosC)2ab ab a b c -=--+，完全平方式得证． （2）、cos cos sin 2sin sin sinBsinAB AC B A +==，使用正弦定理，2sin 2c a B h ==． 122h -≥22422c h h +=，解得：h ≤626-，于是：2S h =≤108722-，最大值1082- 考点：正、余弦定理的应用． 19．已知函数3()f x x x x =-（1）判断()f x x的单调性； （2）求函数()y f x =的零点的个数；（3）令2()ln ()ax ax g x x f x x+=++，若函数()y g x =在（0，1e ）内有极值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调递增;（2）2；（3）12a e e>+- 【解析】试题分析：（1）首先表示出函数的解析式()xx x 112--=ϕ，然后根据导数判断单调性即可；（2）首先确定函数的定义域，并利用导数研究函数3()f x x x x =-的单调性，结合函数的特殊值，由函数的零点存在性定理可判断零点的个数；首先确定函数2()ln ()ax axg x x f x x+=++的定义域，化简其解析式并求其导数，根据可导函数极值存在的条件将问题转化为()y g x =的导数在（0，1e）内有零点，然后再用一元二次方程根的分布理论去求解． 试题解析：（1）设()()xx x x f x 112--==ϕ，()0>x ()02123'>+=xx x ϕ，所以()x y ϕ=在()+∞,0上单调递增；由（1）知：()11-=ϕ，()02132>-=ϕ且()x y ϕ=在()+∞,0上单调递增， 所以()x y ϕ=在()2,1上有一个零点，又()()x x x x x x f ϕ=--=3，显然0=x 是()0=x f 的一个零点，所以()x f y =在()+∞,0上有两个零点；因为()ln g x x =+=x x x ax ax ln 32+-+x x aln 1+-=，所以()()()()xx x a x x x a x g 222'11211-++-=+--=， 设()2(2)1h x x a x =-++，则()0h x =有两个不同的根12,x x ，且一根在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内, 不妨设110x e<<，由于121x x ⋅=，所以,2x e > 由于()01h =,则只需10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()211210,a e e-++< 解得12a e e>+- 考点：函数的单调性、零点存在的判断以及性质的综合应用．。