p 图乘计算的例题 精
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图乘法及其应用
38
4 128EI
温 度
4. 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
已有基础： 1. 静定结构的内力计算； 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移； 3. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:
P
MM Pds EI
FN FNds EA
1 EI
( l ql 2 28
l 1 22
1 l 3ql 2 32 8
3 l) 42
1 (ql 4 3ql 4 ) 5ql 4 ( )
EI 64 128 128EI
?
解法一、
q
ql 2
2
ql 2
A
l2
C l2
B
8
B
A
C
MP 图
Cy
1 EI
[( l ql 2 28
38
2
1 ql 3 24 EI
（
）
例 2. 已知 EI 为常数，求刚架C、D两点
距离的改变 CD 。
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
p117
2
yc h
CD
yc
EI
1 EI
2 ql 2 l h 38
qhl 3 ( ) 12 EI
例 3. 已知 EI 为常数，求刚架A点的竖向位
4k
由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为
MMP ds Fk FPk
EI
k
例 5. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
q
A
l2
第五节图乘法
4m C 4m
MP图(kN·m)
须注意两点：一是对于斜杆CD， 解：求解本题∆DV时，须注意两点：一是对于斜杆 ，应以杆 轴为基线计算；二是对于阶形住AC，应按EI不同分段图乘 不同分段图乘。 轴为基线计算；二是对于阶形住 ，应按 不同分段图乘。 (1)作MP图 作
A1 = 2 × 12.65 × 45 = 379.5 3
§6-5 图乘法
求简支梁在均布荷载作用下A端转角 引例 求简支梁在均布荷载作用下 端转角
1 ∆=∑ ∫ M P Mdx EI
q
A
ql 2 8
ql M p = x(l − x) 2
Mp
x M 1 = 1− l
1 ∆=∑ ∫ M P Mdx = ? EI
利用积分的方式求解，计算繁复！ 利用积分的方式求解，计算繁复！ 简化计算的方法？ 简化计算的方法？ 1
2.5kN/m D 2EI (12.65m) 3EI B 8m 4EI A 12m
20kN 100 A2 C A3 20 B A4 A A5
(45)
A1
D
4m C 4m
140
MP图(kN·m)
1 A2 = × 12.65 × 100 = 632.5 2
A4 =
A5 =
1 × 8 × 20 = 80 2
A q B l/2 l
ql 2 ( ) 32
ql
C l/2
并按A 作MP图，并按 1、A2、A3、A4四部 分划分，如图6-22b所示 分划分，如图 所示
∆CV 1 = ( A1 y01 + A2 y02 + A3 y03 − A4 y04 ) EI 1 = EI 1 l ql 2 l l ql 2 3 )× + ( × )× l ( × × 3 2 2 4 2 2 2
静定结构的位移计算-图乘法
这种利用内力图相乘代替积分的方法称为图乘法。
如果两个图形均为直线，则可取其中任一图形面积和 另一图形纵距相乘；如果两个图形都为曲线，则不能用图 乘法。
利用图乘法应注意：
（1）要满足3个条件；
（2）形心的纵距需取自直线图形； （3）正、负号规定：两个内力图在基线同侧时，乘 积为正。
例 1 计算图示结构 C 点转角
FP
FP B
C
0.5EI
a
EI A
a
C
5FP a 2 2EI
(
)
例 2 ：计算图示结构 B 点转角。
A
B
EI
20kN
m 10m40kN
m
B
500 3EI
(
)
当内力图是由迭加得到时，图乘也可用迭加法。
对于两个图形都是梯形的情况（同侧）
1
2
Mp M dx 1 y1 2 y 2
y1
(2c 3
d)
FP
EI
A
C
B
l/2 l/2
例 8： 计算图示结构A点竖向位移
FP＝0.5qL q
A
EI B
L
例 9（课后完成） : 计算图示结构 C点竖向位移 q
A l/2C l/2 B
作业： 5—20、5—23
第五章 静定结构的位移计算
§5-5 图乘法
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件：
（1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图Mp、MK中至少有一个是直线
K
M P M ds Mp M C
EI
EI
(d )
公式（d）的意义在于：当两个内力图形中有一条为 直线时，其积分结果为曲线图形积分段内的面积ω与其形 心相对应的直线图形中纵距的乘积。
图乘法
分析： 分析： 在直杆结构中总是直线。 M在直杆结构中总是直线。 满足上式推导中f(x)的条件 满足上式推导中f(x)的条件 f(x)
y0 o A
MM P 1 ∆ = ∑∫ ds = ωy 0 EI EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院 结构力学教研室 李保德副教授
MM P 1 ds = ∑ ωy 0 ∆ = ∑∫ EI EI
1 1 2 ω 3 = × qL 2 8 3 y3 = L 4
C
B L/2
1 L 1 2 ω1 = × × qL 3 2 8
1 L 1 2 ω 2 = × × y2 = L 6
∆B =
1 (ω1 y1 + ω 2 y 2 + ω 3 y3 ) EI
41qL4 = 384 EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
3. 常见图形的面积和形心
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
注意: 注意:
标准抛物线
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
4. 图乘的一般方法
两图均是直线图形，y0可取其中的任一图形
ω
y0
y0
ω
武汉理工大学土木工程与建筑学院
武汉理工大学土木工程与建筑学院
C
B L/2
∆B =
1 ωM P y EI
1 1 2 PL3 = × L × PL × L = EI 2 3 EI
B
MP
或
1 ∆B = ωM y EI
1 1 2 PL3 = × L × L × PL = EI 2 3 EI
M
结构力学教研室
李保德副教授
y0 o A
MM P 1 ∆ = ∑∫ ds = ωy 0 EI EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院 结构力学教研室 李保德副教授
MM P 1 ds = ∑ ωy 0 ∆ = ∑∫ EI EI
1 1 2 ω 3 = × qL 2 8 3 y3 = L 4
C
B L/2
1 L 1 2 ω1 = × × qL 3 2 8
1 L 1 2 ω 2 = × × y2 = L 6
∆B =
1 (ω1 y1 + ω 2 y 2 + ω 3 y3 ) EI
41qL4 = 384 EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
3. 常见图形的面积和形心
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
注意: 注意:
标准抛物线
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
4. 图乘的一般方法
两图均是直线图形，y0可取其中的任一图形
ω
y0
y0
ω
武汉理工大学土木工程与建筑学院
武汉理工大学土木工程与建筑学院
C
B L/2
∆B =
1 ωM P y EI
1 1 2 PL3 = × L × PL × L = EI 2 3 EI
B
MP
或
1 ∆B = ωM y EI
1 1 2 PL3 = × L × L × PL = EI 2 3 EI
M
结构力学教研室
李保德副教授
结构力学-图乘法
1
NP
N
1
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第23页
DP
M M P ds EI
F N FNP l EA
1 1 4 1 2 2 ( 2 2 8 ) 3 ( 2 2 2 ) 3 ( 3 2 0 . 5 ) 1 EI 4 1 2 2 1 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 4 2 ) 1 2 EI 2 3 2 3 3 1 1 EA
Δ Cy
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第17页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
72
2 16 8 4 2 16 8
20
4
MP图
y5 y 4 y 3
y1 y2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第18页
Cy
yc
EI
[( 4 20 )( 4 ) ( 4 4 )( 4 )] EI 2 3 3 2
B
xd
A
xc
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第4页
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形 心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 y c ，再除以EI。 这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。
NP
N
1
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第23页
DP
M M P ds EI
F N FNP l EA
1 1 4 1 2 2 ( 2 2 8 ) 3 ( 2 2 2 ) 3 ( 3 2 0 . 5 ) 1 EI 4 1 2 2 1 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 4 2 ) 1 2 EI 2 3 2 3 3 1 1 EA
Δ Cy
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第17页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
72
2 16 8 4 2 16 8
20
4
MP图
y5 y 4 y 3
y1 y2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第18页
Cy
yc
EI
[( 4 20 )( 4 ) ( 4 4 )( 4 )] EI 2 3 3 2
B
xd
A
xc
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第4页
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形 心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 y c ，再除以EI。 这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。
《结构力学图乘法》PPT课件
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
（3）图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1
EI x tan α M Pdx
tan α EI
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 MP 图，如右图所示。 A 2m C 2m B
分段：M ，M P 分为AC、CB两段。16
分块： M P图的AC段分为两块。
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
结构力学典型例题
结构力学典型例题(共19页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-第2章平面体系的几何构造分析典型例题1. 对图体系作几何组成分析。
图分析：图等效图（去掉二元体）。
对象：刚片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；联系：刚片Ⅰ、Ⅲ有虚铰A（杆、2）；刚片Ⅱ、Ⅲ有虚铰C（无穷远）（杆3、4）；刚片Ⅰ、Ⅱ有虚铰B（杆5、6）；结论：三铰共线，几何瞬变体系。
2. 对图体系作几何组成分析。
图分析：去掉二元体（杆12、杆34和杆56图），等效图。
对象：刚片Ⅰ和Ⅱ；联系：三杆：7、8和9；结论：三铰不共线，无多余约束的几何不变体系。
3. 对图体系作几何组成分析。
图分析：图对象：刚片Ⅰ（三角形原则）和大地Ⅱ；联系：铰A和杆1；结论：无多余约束的几何不变体系。
对象：刚片Ⅲ（三角形原则）和大地Ⅱ；联系：杆2、3和4；结论：无多余约束的几何不变体系。
第3章静定结构的受力分析典型题1. 求图结构的内力图。
图解（1）支座反力（单位：kN）由整体平衡，得＝100．= ，＝．（2）内力（单位：制）取AD为脱离体：，，；，，。
取结点D为脱离体：，，取BE为脱离体：，，。
取结点E为脱离体：，，（3）内力图见图~d。
2. 判断图和b桁架中的零杆。
图分析：判断桁架零杆的常用方法是找出桁架中的L型结点和T型结点。
如果这两种结点上无荷载作用．那么L型纪点的两杆及T型结点的非共线杆均为零杆。
解：图：考察结点C、D、E、I、K、L，这些结点均为T型结点，且没有荷载作用，故杆件CG、DJ、EH、IJ、KH、LF均为零杆。
考察结点G和H，这两个结点上的两竖向链杆均已判断为零杆，故这两个结点的受力也已成为T型结点的情形．由于没有荷载作用，故杆件AG、BH也为零杆。
整个结构共有8根零杆．如图虚线所示。
图：考察结点D，为“K”型结点且无荷载作用，故；对称结构对称荷载（A支座处的水平反力为零），有，故杆件DE和DF必为零杆。
考察结点E和F，由于DE、DF已判断为零杆．故杆件AE、BF也是零杆。
结构力学第三章图乘法
24 EI
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
B
1 EI
(1 2
10 40
2 3
1 10 20 1) 500 ( )
2
3 3EI
20 A
20kN m A
B 40 B 40kN m
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
3ql2 / 32 q
3l / 4 q l/4 q
q(3l / 4)2 / 8 3ql 2 / 32
q(l / 4)2 / 8 3ql2 / 32
Mi
3l /16
B
1 EI
(2 3
3l 4
q(3l / 4)2 8
1 2
3l 16
1 3l 24
3ql 2
32
2 3
3l 16
2 l q(l / 4)2 1 3l 1 l 3ql 2 2 3l 19ql 4
EI EI 2
3
4EI
5Pl 3 () 8EI
已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD,并画出变形图。
ql
C
l
q
A
l
D ql
q
B ql2
MP
1
1
l l Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc 1 ( 1 l ql 2 2 l 1 l ql 2 l 2 l ql 2 l)
EI EI 2
32
38
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
B
1 EI
(1 2
10 40
2 3
1 10 20 1) 500 ( )
2
3 3EI
20 A
20kN m A
B 40 B 40kN m
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
3ql2 / 32 q
3l / 4 q l/4 q
q(3l / 4)2 / 8 3ql 2 / 32
q(l / 4)2 / 8 3ql2 / 32
Mi
3l /16
B
1 EI
(2 3
3l 4
q(3l / 4)2 8
1 2
3l 16
1 3l 24
3ql 2
32
2 3
3l 16
2 l q(l / 4)2 1 3l 1 l 3ql 2 2 3l 19ql 4
EI EI 2
3
4EI
5Pl 3 () 8EI
已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD,并画出变形图。
ql
C
l
q
A
l
D ql
q
B ql2
MP
1
1
l l Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc 1 ( 1 l ql 2 2 l 1 l ql 2 l 2 l ql 2 l)
EI EI 2
32
38
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E 1I1 3q82l2 l38l1q2E 4l8I ( )
计算结果为正，表示ΔCV的方向与 所设单位力的方向相同，即ΔCV向下。
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移
绘出在荷载作用下的M图。 在C截面虚加一竖向单位力 F =1， 绘出M1图。 因M图和M1图都为折线，故必须 分AC、CB两段图乘后相加，得
θ B E 1A I C y E 1(1 2 I l F 4) 1 2 l 1 F E 2 6(lI )
计算结果为负，表示qB的转向与所设单位
力偶的转向相反，即逆时针转向。
1 11l Fll F 3 l
Δ C V E A I C y E [2 I ( 2 4 ) 6 ] 2 4E 8( I )
计算结果为正，表示ΔCV的方向与所设单位力的方向相同，即ΔCV向下。
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移
绘出在荷载作用下的M图。 在B截面虚加一单位力偶 Me =1， 绘出M2图。 将M图与M2图相乘，得
例 10−13 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移ΔCV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
解 绘出在荷载作用下的M图。 在C截面虚加一竖向单位力 F =1，
绘出M图。 将AB段的M图分解为三角形和抛物
线形，分AB、BC两段图乘后相加，得
CV E 1A I CyE 1I1 2q82ll3 l3 2q82ll4 l
计算结果为正，表示ΔCV的方向与所设单位力的方向相同，即ΔCV向下。
（2）角位移qB 。
q B E 1A I C y E 1 1 2 I l F 4 l1 2 1 F E 2 6l(I)
计算结果为负，表示qB的转向与所设单位力偶的转向相反，即逆时针转向。
第10章 静定结构的内力与位课研制：江河苏北建水筑利职业电技力术学学院院
主讲教师：闫礼平
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移
例 10−12 试用图乘法求图示简支梁跨中点C截面的竖向位移ΔCV和B
截面的角位移qB 。设梁的弯曲刚度EI为常数。
解 （1）求竖向位移ΔCV 。
C V E 1A I C y E 1 1 2 I 2 l F 4 l6 l 2 4 F E 3 8(lI )
计算结果为正，表示ΔCV的方向与 所设单位力的方向相同，即ΔCV向下。
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移
绘出在荷载作用下的M图。 在C截面虚加一竖向单位力 F =1， 绘出M1图。 因M图和M1图都为折线，故必须 分AC、CB两段图乘后相加，得
θ B E 1A I C y E 1(1 2 I l F 4) 1 2 l 1 F E 2 6(lI )
计算结果为负，表示qB的转向与所设单位
力偶的转向相反，即逆时针转向。
1 11l Fll F 3 l
Δ C V E A I C y E [2 I ( 2 4 ) 6 ] 2 4E 8( I )
计算结果为正，表示ΔCV的方向与所设单位力的方向相同，即ΔCV向下。
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移
绘出在荷载作用下的M图。 在B截面虚加一单位力偶 Me =1， 绘出M2图。 将M图与M2图相乘，得
例 10−13 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移ΔCV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
解 绘出在荷载作用下的M图。 在C截面虚加一竖向单位力 F =1，
绘出M图。 将AB段的M图分解为三角形和抛物
线形，分AB、BC两段图乘后相加，得
CV E 1A I CyE 1I1 2q82ll3 l3 2q82ll4 l
计算结果为正，表示ΔCV的方向与所设单位力的方向相同，即ΔCV向下。
（2）角位移qB 。
q B E 1A I C y E 1 1 2 I l F 4 l1 2 1 F E 2 6l(I)
计算结果为负，表示qB的转向与所设单位力偶的转向相反，即逆时针转向。
第10章 静定结构的内力与位课研制：江河苏北建水筑利职业电技力术学学院院
主讲教师：闫礼平
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移
例 10−12 试用图乘法求图示简支梁跨中点C截面的竖向位移ΔCV和B
截面的角位移qB 。设梁的弯曲刚度EI为常数。
解 （1）求竖向位移ΔCV 。
C V E 1A I C y E 1 1 2 I 2 l F 4 l6 l 2 4 F E 3 8(lI )