第2章 自动控制系统的数学模型习题答案
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习题
2-1、试列写图2-40中各电路的微分方程，图中1u 、2u 为输入、输出电压。
答：（a ）
设中间变量i1,i2,i3如图所示，则根据基尔霍夫电压回路、节点电流定律，得
dt C i R i u ⎰+
=12
111 -------------------（1）
22312
u R i dt C i +=⎰ --------------------（2） dt C i u ⎰
=2
3
2 -------------------（3） 321i i i += --------------------（4）
将（3）整理得： 223'u C i = ---------------------（5） 将（5）带入到（2），得
222212
'u u C R dt C i +=⎰ ---------------------（6）
即 2122212'"u C u R C C i += ---------------------（7） 将（5）、（7）带入到（4）及（6）带入到（1），整理得
=+=⎰
dt C i R i u 1
2
1112222132')(u u C R R i i +++ (a)
(b)
图2-40 习题2-1用图
自动控制原理及应用
·16· 2222122212221')''"(u u R C R u C u C u R C C ++++=
即
1222222121122211'''"u u u C R u C R u C R u C R C R =++++
设111C R T =，222C R T =，213C R T =，则
122321221')("u u u T T T u T T =++++
（b ）
设中间变量i1,i2,i3如图所示，则根据基尔霍夫电压回路、节点电流定律，得 2111'Li R i u += -------------------（1） 2232'u R i Li += --------------------（2）
dt C
i
u ⎰=32 -------------------（3）
321i i i += --------------------（4）
将（3）变形得： 23'Cu i = ---------------------（5） 将（5）带入到（2），得
2222''u Cu R Li += ---------------------（6）
即 ⎰+=
dt u L
u L C R i 22221
---------------------（7） 将（5）、（7）带入到（4）及（6）带入到（1），整理得
=+=2111'Li R i u 222132')(u Cu R R i i +++
22212222')'1
(
u Cu R R Cu dt u L
u L C R ++++=⎰ ------（8） 对（8）两边求导，整理得
121221221'')1(
")(u u L
R
u C R L R u C R C R =++++
第2章 自动控制系统的数学模型
·17·
设C R T 11=，C R T 22=，1
3R L
T =
，则有 123
232221'1
')1(
")(u u T u T T u T T =++++ 或者为
1322322321'')(")(u T u u T T u T T T =++++
2-2 、设机械系统如图2-41所示，图中r θ、c θ为输入、输出角位移（角度），试列写该机械
系统的微分方程。
[提示]扭力矩M 与角位移θ、弹性系数k 成正比。风阻M 与角速度'θ、阻尼系数f 成正比。
解：根据牛顿第二定律：（对直线运动
∑=ma F ，而旋转运动∑=="
'θ
ωJ J M ）
)"()(11a r a r J k θθθθ-=- -------------------（1） )"(')(22c a c c a J f k θθθθθ-=-- -------------------（2）
在零初始条件下，对式（1）、（2）两试进行拉氏变换，得：
)()()()(212111s s J s s J k s k s a r a r θθθθ-=- -------（3）
)()()()()(222222s s J s s J s fs k s k s c a c c a θθθθθ-=-- -------（4）
由式（3）、（4）得：
)()(2112
11s s
J k s J k s r
a θθ+-= -------------------（5）
自动控制原理及应用
·18·
)()(2
222
22s s
J k s J fs k s c a θθ--+= -------------------（6） 将式（6）除以式（4）得：
)
)(()
)(()()(211222211222s J k s J fs k s J k s J k s s r c +-+--=
θθ -------------------（7） 即：
2
112
2112314212
121221421)()()()(k k fs k s J k J k s fJ s J J k k s J k J k s J J s s r c ++-++-++-=θθ -------（8） 即：
)
(])([)(])([212
12214
212112*********s k k s J k J k s J J s k k fs k s J k J k s fJ s J J r c θθ++-=++-++-
即：
)()()()()()()()()()(212
21
22144212112
221123314421t k k dt t d J k J k dt t d J J t k k dt t d f k dt
t d J k J k dt t d fJ dt t d J J r r r c c c c c θθθθθθθθ++-=++-++-
2-3 、在如图2-42所示系统中，用一台交流电动机拖动一台直流发电机，设交流电动机的角速度ω为系统的输入，电阻R 两端的电压u 为输出，直流电机的内阻a R 、电感为a L ，试列写该机械系统的微分方程。
解：直流发电机输出电压ωφωe e a E C u ==，其中e C 为由直流发电机决定的电势常数，而φ为直流发电机的定子励磁磁通。设各支路电流如图所示，根据基尔霍夫电压回路定律，有
u