2015届高考二轮复习 专题五 第2讲 空间中的平行与垂直

则m，n可能平行、相交或异面，A错； 若 m⊥α ， n⊂α ，则 m⊥n ，因为直线与平面垂直时， 它垂直于平面内任一直线，B正确；
若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；
若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也 可能n⊂α，D错.
1
2
真题感悟
方法二
如图，在正方体ABCD－
A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α. A项中，若m为A′B′，n为B′C′， 满足m∥α，n∥α，
2 2 8 ＝－ x ＋ x(0<x<4). 3 3
本讲规律总结
1.证明线线平行的常用方法 (1) 利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直
线平行；
(2)利用平行四边形进行转换；
(3)利用三角形中位线定理证明；
(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明.
2.证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证
解析
A：应该是b∥α或b⊂α；
B：如果是墙角出发的三个面就不符合题意；
C：α∩β＝m，若a∥m时，满足a∥α，a∥β，但是 α∥β不正确，所以选D.
答案 D
(2)平面α∥平面β的一个充分条件是(
)
A.存在一条直线a，a∥α，a∥β
B.存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
(1)PA⊥底面ABCD；
思维启迪
利用平面PAD⊥底面ABCD的性质，得线面垂直；
证明
因为平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA⊥底面ABCD.
(2)BE∥平面PAD；
证明
思维启迪
BE∥AD易证；
因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后
热点一
空间线面位置关系的判定
例1
(1)设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，
)
思维启迪
则下列命题中正确的是( A.若a⊥α且a⊥b，则b∥α
B.若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β
C.若a∥α且a∥β，则α∥β
判断空间线面关系的基本
思路：利用定理或结论；借
D.若γ∥α且γ∥β，则α∥β
助实物模型作出肯定或否定.
所以CD⊥平面PAD.
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 所以CD⊥平面BEF.
又CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见
类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
思 维 (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 升 (4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转 华
由(1)知，DH⊥平面EBCF，故AE∥DH，
所以四边形AEHD是矩形，DH＝AE，
故以B，F，C，D为顶点的三棱锥D－BCF的高
DH＝AE＝x.
1 1 又 S△BCF＝ BC· BE＝ ×4×(4－x)＝8－2x， 2 2
1 所以三棱锥 D－BCF 的体积 f(x)＝ S△BFC· DH 3 1 1 ＝ S△BFC· AE＝ (8－2x)x 3 3
所以四边形ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明
思维启迪 EF是△CPD的中位线.
因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.
所以BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥底面ABCD.
所以PA⊥CD.
个命题： ①若α⊥β，m∥α，则m⊥β ②若m⊥α，n⊥α，则m∥n
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α ④若n⊥α，n⊥β，则β∥α
其中真命题的序号为( )
A.①③
ห้องสมุดไป่ตู้
B.②③
C.①④ D.②④
解析
①若α⊥β， m∥α，则m与 β可以是直线与平
面的所有关系，所以①错误；
②若m⊥α，n⊥α，则m∥n，所以②正确；
的变化量和不变量 . 一般情况下，折线同一侧线
段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，
思 维 (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形， 升 华 既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形
抓住不变量是解决问题的突破口.
.
变式训练3
如图(1)，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝ π ， 2 AB ＝ BC ＝ 2AD ＝ 4 ， E ， F 分别是 AB ， CD 上的点， EF∥BC ， AE ＝ x. 沿 EF 将 梯 形 ABCD 翻 折 ， 使 平 面 AEFD⊥平面EBCF(如图(2)所示)，G是BC的中点.
线线平行；
(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证
面面平行.
3.证明面面平行的方法
证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条
相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转
化为证线面平行，再转化为证线线平行.
4.证明线线垂直的常用方法 (1) 利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩
真题感悟 押题精练
1
2
真题感悟
1.(2014· 辽宁 )已知 m， n表示两条不同直线， α 表示
平面.下列说法正确的是( A.若m∥α，n∥α，则m∥n )
B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α
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2
真题感悟
解析 方法一
若m∥α，n∥α，
D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解析
若 α∩β ＝ l ， a∥l ， a⊄α ， a⊄β ，则 a∥α ，
a∥β，故排除A.
若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.
若 α∩β ＝ l ， a⊂α ， a∥l ， b⊂β ， b∥l ， 则 a∥β ，
b∥α，故排除C.故选D.
专题五 立体几何
第 2讲
空间中的平行与垂直
主干知识梳理
热点分类突破
真题与押题
1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的
基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定
理对命题的真假进行判断，属基础题.
考 情 面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱 解 柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考 读
2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与
但m与n是相交直线，故A错.
B项中，m⊥α，n⊂α，
∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确.
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真题感悟
C项中，若m为AA′，n为AB， 满足m⊥α，m⊥n，但n⊂α，故C错.
形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；
(2)利用勾股定理逆定理；
(3) 利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明
一线垂直于另一线所在平面即可.
5.证明线面垂直的常用方法
(1) 利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化
为证明线线垂直； (2) 利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为
证面面垂直；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，所以③错误；
④若n⊥α，n⊥β，则β∥α，所以④正确. 故选D. 答案 D
热点二
平行、垂直关系的证明
例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，
AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平 面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和
F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
线面垂直的
性质定理
a⊥ α ⇒a∥b b⊥ α
2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理
面面垂直的
a⊥ α ⇒α⊥β a⊂ β
α⊥β α∩β＝c
判定定理
面面垂直的
性质定理
a⊂ α a⊥ c
⇒ a ⊥ β
面面平行的
判定定理
⇒ α∥ β a∥α，b∥α
例3
如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E
分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，
将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，
如图(2).
(1)求证：DE∥平面A1CB；
思维启迪
折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些
量没有变化.第(1)问证明线面平行，可以证明DE∥BC；
所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，
所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE， 所以A1F⊥BE.
(3) 线段 A1B 上是否存在点 Q ，使 A1C⊥ 平面 DEQ ？
请说明理由.
思维启迪 第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ.
解 线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面
DEQ.理由如下： 如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，
答案 D
解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主
要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种
情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理
思 和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、 维 升 长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意 华