2020年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题
2020年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试卷
好记星书签 第1页 共5页 机密★启封前2020年湖北省普通高中学业水平合格性考试(真题)数 学本试卷共5页25题，全卷满分100分，考试用时90分钟．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂匀、涂实，未涂、错涂、多涂或填涂不规范均不得分．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效．在试卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束后，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并上交．一、选择题(本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设复数z 满足z +i =2−i ，则z 的共轭复数z =A ．2−2iB ．−2−2iC ．−2+2iD ．2+2i2．设集合A = 1，3，5，7 ，B = 1，2，3，5，8 ，则A ∩B =A ． 1，3B ． 3，5C ． 1，3，5D ． 1，2，3，5，7，83．若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CD= A ．CA +CB B ．12 CA +CB C ．CA −CB D ．12 CA−CB 4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在我省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中有一道求“困盖”体积的题：困下周六丈，高二丈，求积．即已知圆锥的底面周长为6丈，高为2丈，求圆锥的体积．《算数书》中将圆周率π近似取为3，，则该盖的体积（单位：立方丈）约为A ．2B ．3C ．4D ．6。
2020年湖北省名校数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
2020年湖北省名校数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,a b 为实数，则“2ab b >”是“0a b >>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：由0a b >>，则2ab b >成立，反之：如2,1a b =-=-，即可判断关系．详解：由0a b >>，则2ab b >成立，反之：如2,1a b =-=-，则0a b >>不成立，所以“2ab b >”是“0a b >>”的必要不充分条件，故选B ．点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．给出下列四个五个命题：①“22a b >”是“22log log a b >”的充要条件②对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥；③命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程2x x m +-= 0没有实数根，则0m ≤”； ④函数(3)ln(1)()2x x f x x --=-只有1个零点； ⑤m ∃∈R 使243()(1)mm f x m x -+=-是幂函数，且在(,0)-∞上单调递减. 其中是真命题的个数为：A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】 分析：由充分必要条件的判定方法判断①，写出特称命题的否定判断②，根据逆否命题与原命题的等价性，只需要判断原命题的真假即可判断③正确，求出方程的根即可判断④正确，求出2m =时()1f x x -=是幂函数，且在()0-∞，上单调递减，故⑤正确 详解：对于①，由22a b >得到a b >，由22log a log b >可得0a b >>a b >是0a b >>的必要不充分条件，∴“22a b >”是“22log a log b >”的必要不充分条件，故①是假命题对于②，对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥；根据含量词的命题的否定形式，将∃与∀互换，且结论否定，故正确对于③，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤”，满足逆否命题的形式，故正确对于④函数()()()312x ln x f x x --=-，令()0f x =可以求得3x =，∴函数()()()312x ln x f x x --=-只有1个零点，故正确对于⑤，令11m -=，解得2m =，此时()1f x x -=是幂函数，且在()0-∞，上单调递减，故正确 综上所述，真命题的个数是4故选C点睛：本题主要考查的是命题的真假判断，根据各知识点即可进行判断，本题较为基础。
2020学年湖北省荆州市高考数学学业质量监测试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =2．已知函数()32cos f x x x =+，若a f =，(2)b f =，2(log 7)c f =,则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<3．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 4．若1tan 2α=，则cos2=α( )A ．45- B ．35C ．45D ．355．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 6．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．327．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan21tan 2αα-=+（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．28．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B ．213C ．926D ．3139．当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n ==D ．1,2m n =-=-11．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1B 2C ．22D 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省武汉市2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题含解析
湖北省武汉市2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数32()log f x x x =-的一个零点所在的区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】【分析】根据函数零点的判定定理进行判断即可【详解】 32()log f x x x =-是连续的减函数，又()()3221log 20;3103f f =->=-< 可得f （2）f （3）＜0，∴函数f （x ）的其中一个零点所在的区间是(2,3)故选C【点睛】本题考查了函数零点的判定定理，若函数单调，只需端点的函数值异号即可判断零点所在区间，是一道基础题．2．若()22z i i -=-（i 是虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数z 的模.【详解】因为()22z i i -=-，所以()()()()2234434434343425252i i i i i z i i i i i i i -+---=====--+--+-，所以15z ==，故选D. 【点睛】本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.3．已知点O 是ABC ∆的外接圆圆心, 3,4AB AC ==.若存在非零实数,x y 使得AO x AB y AC =+且21x y +=,则cos BAC ∠的值为 （ ）A ．13 B．3 C．3 D ．23【答案】D【解析】【分析】根据AO x AB y AC =+且21x y +=判断出,O B 与线段AC 中点三点共线，由此判断出三角形ABC 的形状，进而求得cos BAC ∠的值.【详解】 由于22AC AO xAB y AC xAB y =+=+，由于21x y +=，所以,O B 与线段AC 中点三点共线，根据圆的几何性质可知直线OB 垂直平分AC ，于是ABC ∆是以AC 为底边的等腰三角形，于是22cos 3ACBAC AB ∠==，故选D. 【点睛】本小题主要考查平面向量中三点共线的向量表示，考查圆的几何性质、等腰三角形的几何性质，属于中档题.4．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种B ．150种C ．96种D ．114种【答案】D【解析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有335360C A =种情况； ②三个路口人数情况2，2，1，共有2235332290C C A A ⋅=种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有234336C A =种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种.故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.5．已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为αβγ，，，则（ ）A ．αβγ==B ．αβγ<<C ．αβγ>>D ．前三个答案都不对 【答案】C【解析】【分析】通过作出图形，分别找出正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角，通过计算余弦值比较大小即可知道角度大小关系.【详解】如图，正三棱锥P ABC -，正四棱锥P ABCD -，正五棱锥P ABCDE -，设各棱长都为2，在正三棱锥中，取AC 中点D ，连接PD,BD ，可知PDB ∠即为侧面与底面所成角，可知，==3PD BD ，由余弦定理得1cos 3α=；同理3cos β=，11cos 12γ=，于是cos cos cos αβγ<<，而由于αβγ，，为锐角，所以αβγ>>，故选C.【点睛】本题主要考查面面角的相关计算，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力，难度中等. 6．中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里【答案】C【解析】【分析】每天行走的里程数{}n a 是公比为12的等比数列，且前6和为378，故可求出数列的通项n a 后可得45a a +. 【详解】设每天行走的里程数为{}n a ，则{}n a 是公比为12的等比数列， 所以16126112378112a a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-，故1192a =（里），所以4534111921923622a a +=⨯+⨯=（里），选C.【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题. 7．己知命题P ：单位向量的方向均相同，命题q ：实数a 的平方为负数。
2020学年湖北省鄂州市新高考高二数学下学期期末学业水平测试试题
提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若偶函数()f x ()x R ∈满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时,(),f x x =则方程()3log f x x =的根的个数是( ) A ．2个B ．4个C ．3个D ．多于4个2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为( )A ．22188x y -=B ．2211616x y -=C ．22188y x -=D ．22188x y -=或22188y x -=3．已知为坐标原点，点、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，且，与轴交于点，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是（ ）A ．30B ．40C ．-10D ．-205．已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为A ．1B ．2C ．-1D ．-26．已知a ，b 是两个向量，则“0a b ⋅=”是“0a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知1z ，2z ∈C ．“120z z ==”是“1||z 220z +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1APD ∠的取值范围是（0，2π] C ．11B D PC -三棱锥的体积为定值 D ．11DC D P ⊥9．已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．1B ．12 C ．13D ．1410．已知复数z 满足方程2iz ai =+，复数z 的实部与虚部和为1，则实数a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．使得()3nx n N x x +⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．712．将曲线πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭按照伸缩变换3,12x x y y =⎧⎪⎨=''⎪⎩后得到的曲线方程为（ ）A ．π2sin 4y x ⎛⎫''=-⎪⎝⎭B ．1πsin 24y x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭ C ．1πsin 924y x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭ D ．π2sin 94y x ⎛⎫''=-⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题13．设()3f x x x =-，过下列点()()()()3230,0,0,2,2,1,,2,0A B C D E --⎝⎭分别作曲线()f x 的切线，其中存在三条直线与曲线()y f x =相切的点是__________． 14．若复数z 满足2z =，则33z z ++-的取值范围是______．15．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中φ为实数，若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立，且()f ()2f ππ>，则()f x 的单调递增区间是______.16．已知'()f x是函数f(x)的导函数，()()22ln1(0)xf x x f'=++⋅,则(1)f'=________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖北省鄂州市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
湖北省鄂州市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知32,43,23a b c ===，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】分析：由32a =，43b =，23c =，可得34log 2,log 3a b ==，2log 3c =，则01,01,1a b c <<<，利用做差法结合基本不等式可得结果.详解：34log 2,log 3a b ==，2log 3c =，则01,01,1a b c <<<222lg 2lg 4lg 3lg 2lg3lg 2lg 4lg 320lg3lg 4lg3lg 4lg3lg 4a b +⎛⎫- ⎪⋅-⎝⎭-=-=≤=<⋅⋅， 即a b < ， 综上a b c <<，故选A.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 2．设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a -->【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】先分析四个答案，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-，120a a +>而230a a +<，A 错误，B 举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120a a +>，B 错误，D 选项，2132,,a a d a a d -=-=-22132()()0,a a a a d ∴--=-≤故D 错，下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于22213111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>，则故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.3．已知函数()()()2121x f x e a x a x =---+在()1,2上单调，则实数a 的取值范围为（）A ．211,,24e e ⎛⎫--⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B ．211,,24e e ⎡⎫--⎛⎤-∞-+∞⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎭U C ．211,,24e e ⎛⎫--⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．211,,24e e ⎡⎫--⎛⎤-∞+∞⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎭U 【答案】D 【解析】 【分析】求得导数()21xf x e ax '=--，根据()f x 在()1,2上单调，得出()0f x '≥或()0f x '≤在()1,2上恒成立，分离参数构造新函数，利用导数求得新函数的单调性与最值，即可求解。
★试卷3套汇总★湖北省鄂州市2020年高一数学下学期期末学业水平测试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（） A ．高一学生被抽到的可能性最大 B ．高二学生被抽到的可能性最大 C ．高三学生被抽到的可能性最大 D ．每位学生被抽到的可能性相等2．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234yx a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4-B ．()1,4-C ．[]4,1-D ．()4,1-3．在等比数列{}n a 中，34a =，516a =，则9a 等于（ ） A ．256B ．-256C ．128D ．-1284．已知向量a =(3，4)，b =(2，1)，则向量a 与b 夹角的余弦值为( )A B ．-C D 5．函数()22f x x x m =--的零点有两个，求实数m 的取值范围（ ） A ．10m -<<B ．0m >或1m =-C ．0m >或10m -≤<D ．01m <<6．在ABC ∆中，1AB =，设向量AC 与CB 的夹角为α，若cos α=，则AC 的取值范围是（ ）A ．(0,2]B ．(0,2)C ．2⎛ ⎝⎦D ．(1,2]7．为了得到函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 8．在等差数列{}n a 中，1713a a a π++=，则212cos()a a +的值=（）A ．B ．12-C ．12D 9．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图像如图所示，关于()f x 有以下5个结论:（1）3ω=；（2）2A =，6π=ϕ；（3）将图像上所有点向右平移1318π个单位得到的图形所对应的函数是偶函数；（4）对于任意实数x 都有7799f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（5）对于任意实数x 都有5501818f x f x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；其中所有正确结论的编号是（ ） A ．(1)(2)(3)B ．(1)(2)(4)(5)C ．(1)(2)(4)D ．(1)(3)(4)(5)10．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交的两条数轴，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，且12,120e e =︒，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标.假设OP 在坐标系xOy 中的坐标为()2,1-，则OP =（ )A ．3B ．5C ．6D ．711．如图，已知正三棱柱111ABC A B C －的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）cm ．A ．12B ．13C ．14D ．1512．已知ϕ是常数，如果函数()5cos 2y x ϕ=-+的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（ ） A ．3πB ．4π C ．6π D ．2π二、填空题：本题共4小题13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________. 14．若3cos()45πα-=，则sin 2α=_________________ 15．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 . 16．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为___． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2023年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试卷含答案解析
2023年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学一、单选题(共45 分)1设集合A={1,2,3,4}B={1,2,3,a}且A=B则a=（）A1B2C3D4【答案】D【分析】根据集合相等直接得解【详解】因为A={1,2,3,4}B={1,2,3,a}且A=B所以a=4故选：D2设z=1−i则z2+i=（）A1B i C−i D−1【答案】C【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得【详解】因为z=1−i所以z2+i=(1−i)2+i=12−2i+i2+i=−i故选：C3已知a⃗=(1,√3)b⃗⃗=(2,0)则向量a⃗在向量b⃗⃗上的投影向量是（）A(0,2)B(2,0)C(0,1)D(1,0)【答案】D【分析】首先求出a⃗⋅b⃗⃗|b⃗⃗|再根据投影向量的定义计算可得【详解】因为a ⃗=(1,√3)b⃗⃗=(2,0) 所以a ⃗⋅b⃗⃗=2|b ⃗⃗|=2 所以向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量是a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗|×b ⃗⃗|b ⃗⃗|=12b ⃗⃗=12(2,0)=(1,0) 故选：D4设abcd 都是不等于1的正数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 在同一直角坐标系中的图象如图所示则abcd 的大小关系是（ ）A a <b <c <dB b <a <d <cC c <d <a <bD d <c <b <a【答案】B【分析】 先根据指数函数的单调性确定abcd 与1的关系再由x =1时函数值的大小判断【详解】因为当底数大于1时指数函数是定义域上的增函数当底数大于0且小于1时指数函数是定义域上的减函数所以cd 大于1ab 大于0且小于1由图知：c 1>d 1 即c >d b 1<a 1即b <a所以b <a <1<d <c故选：B5已知sinα=−35且π<α<3π2则cosα=（ ） A −45B −34C 34D 45 【答案】A【分析】应用平方关系求余弦值注意角的范围确定值的符号【详解】由题设cosα=−√1−sin2α=−45故选：A6设向量a⃗=(x,2)b⃗⃗=(6,3)．若a⃗//b⃗⃗则x=（）A4B3C2D1【答案】A【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得【详解】因为向量a⃗=(x,2)b⃗⃗=(6,3)且a⃗//b⃗⃗所以3x=2×6解得x=4故选：A7下列函数中定义域和值域都是R的是（）A y=x3B y=2xC y=lgxD y=tanx 【答案】A【分析】根据幂指对及正切函数的定义域、值域判断各项是否符合要求即可【详解】幂函数y=x3的定义域和值域都是R A符合；指数函数y=2x的值域为(0,+∞)B不符合；对数函数y=lgx的定义域为(0,+∞)C不符合；正切函数y=tanx的定义域为{x|x≠kπ+π2},k∈Z D不符合；故选：A8若x>y>0则下列不等式正确的是（）A|x|<|y|B x2<y2C1x <1yD x+y2<√xy【答案】C 【分析】应用不等式性质、基本不等式判断各项的正误即可【详解】由x>y>0则|x|>|y|x2>y21x <1yA、B错C对由x+y2≥√xy且x>y>0故等号取不到则x+y2>√xy D错故选：C9设x∈R则“sinx=0”是“cosx=1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据同角三角函数平方关系结合必要不充分性的判断即可求解【详解】由sinx=0则sin2x=1−cos2x=0⇒cosx=±1故充分性不成立由cosx=1则cos2x=1−sin2x=1⇒sinx=0故必要性成立故“sinx=0”是“cosx=1”的必要不充分条件故选：B10为建设美丽中国增强民众幸福感市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为10m、宽为6m的矩形花园其四周种植花卉中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同且草坪的面积不超过总面积的三分之一那么花卉带的宽度可能为（）A1m B2m C3m D4m【答案】B【分析】设花卉带的宽度为x m由题设有(10−2x)(6−2x)10×6≤13且{10−2x>06−2x>0求x范围即可得答案【详解】设花卉带的宽度为x m 则(10−2x)(6−2x)10×6≤13 所以(5−x)(3−x)≤5即(x −4)2≤6可得4−√6≤x ≤4+√6又{10−2x >06−2x >0⇒x <3故4−√6≤x <3而1<4−√6<2则x 可能取值为2 故选：B11有20种不同的绿色食品每100克包含的能量（单位：kJ ）如下：110 120 120 120 123 123 140 146 150 162164 174 190 210 235 249 280 318 428 432根据以上数据估计这些食品每100克包含能量的第50百分位数是（ ）A165B164 C163 D162 【答案】C【分析】由百分位数的求法求第50百分位数【详解】由已知数据知：20×50%=10则这些食品每100克包含能量的第50百分位数是162+1642=163故选：C12“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具升装满后沿升口刮平称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台上、下底面边长分别为15cm 和12cm 高为10cm （厚度不计）则该升的1平升约为（ ）（精确到0.1L,1L =1000cm 3）A 1.0LB 1.8LC 2.4LD 3.6L【答案】B【分析】 应用棱台的体积公式求1平升即可得答案【详解】由题设上底面积为S 1=225 cm 2下底面积为S 2=144 cm 2所以1平升为13×10×(225+√225×144+144)=1830 cm 3约为1.8L故选：B13如图在任意四边形ABCD 中EF 分别是ADBC 的中点且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λEF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗则实数λ=（ ）A 32B2 C 52 D3【答案】B【分析】 先将AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗分别用AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗表示再结合题意即可得解 【详解】AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2EF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λEF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以λ=2故选：B14某对夫妇打算生育三个孩子假设生男孩、女孩是等可能的且不考虑多胞胎情形则这三个孩子中男、女孩均有的概率是（ ）A 12B 58C 34D 78 【答案】C【分析】列表法求三个孩子中男、女孩均有的概率即可【详解】三个孩子性别依次如下表：所以这三个孩子中男、女孩均有的情况有6种而一共有8种情况则这三个孩子中男、女孩均有的概率是34故选：C15为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图设AB分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG使得HGB三点在同一直线上在GH两点用测角仪测得A的仰角分别是α和βCD=a测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB若α=75°,β=45°则此建筑物的高度是（）A√3+12a+ℎB√3+14a+ℎC√3+12a−ℎD√3+14a−ℎ【答案】A【分析】在△ACD中利用正弦定理求出AC再解Rt△ACE求出AE即可得解【详解】在△ACD中CD=a,∠ADC=45°,∠CAD=75°−45°=30°由正弦定理得ACsin∠ADC =CDsin∠CAD所以AC=a×√2212=√2asin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√6+√24在Rt△ACE中AE=ACsin∠ACE=√2a×√6+√24=√3+12a所以AB=AE+BE=√3+12a+ℎ即此建筑物的高度是√3+12a+ℎ故选：A二、多选题(共9 分)16随着我国高水平对外开放持续提速2022年货物进出口再创新高首次突破42万亿元．根据下图判断下列说法正确的是（）A从2018年开始货物进口额逐年增大B从2018年开始货物进出口总额逐年增大C从2018年开始2020年的货物进出口总额增长率最小D从2018年开始2021年的货物进出口总额增长率最大【答案】BCD【分析】根据统计图一一分析即可【详解】由图可知2020年的货物进口额小于2019年的货物进口额故A错误；2018年货物进出口总额为14.09+16.41=30.52019年货物进出口总额为14.33+17.24=31.572020年货物进出口总额为14.29+17.93=32.222021年货物进出口总额为17.36+21.69=39.052022年货物进出口总额为18.1+23.97=42.07所以从2018年开始货物进出口总额逐年增大故B正确；其中2019年的货物进出口总额增长率为31.57−30.530.5≈0.0352020年的货物进出口总额增长率为32.22−31.5731.57≈0.0212021年的货物进出口总额增长率为39.05−32.2232.22≈0.2122022年的货物进出口总额增长率为42.07−39.0539.05≈0.077所以从2018年开始2020年的货物进出口总额增长率最小故C正确；从2018年开始2021年的货物进出口总额增长率最大故D正确；故选：BCD17十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数f(x)满足f(x)⋅f(−x)=1则称f(x)为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是（）A f(x)=1B f(x)=x2C f(x)=e xD f(x)=lnx【答案】AC【分析】根据所给定义一一计算可得【详解】对于A：f(x)=1则f(−x)=1所以f(x)⋅f(−x)=1故A正确；对于B：f(x)=x2则f(2)⋅f(−2)=16故B错误；对于C：f(x)=e x则f(−x)=e−x所以f(x)⋅f(−x)=e x⋅e−x=e0=1故C正确；对于D：f(x)=lnx定义域为(0,+∞)则当x∈(0,+∞)时−x∈(−∞,0)此时f(−x)无意义故D错误；故选：AC18“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现被刻在他的墓碑上当圆柱容球时圆柱的底面直径和高都等于球的直径．记球的表面积为S球体积为V球；圆柱的表面积为S圆柱体积为V圆柱则（）A S圆柱:S球=3:2B V圆柱:V球=3:2C S圆柱:V圆柱=3:2D S球:V球=3:2【答案】AB【分析】设球的半径为R根据圆柱和球的表面积公式及体积公式分别求出其表面积与体积再逐一判断即可【详解】设球的半径为R则圆柱的底面圆的半径为R高为2R则S球=4πR2,V球=43πR3S圆柱=2πR2+2πR⋅2R=6πR2,V圆柱=πR2⋅2R=2πR3所以S圆柱:S球=6πR2:4πR2=3:2故A正确；V圆柱:V球=2πR3:43πR3=3:2故B正确；S圆柱:V圆柱=6πR2:2πR3=3:R故C错误；S 球:V球=4πR2:43πR3=3:R故D错误故选：AB三、填空题(共3 分)19已知两个单位向量a⃗与b⃗⃗的夹角是60°则a⃗⋅b⃗⃗=________．【答案】12## 0.5【分析】根据数量积的定义计算可得【详解】因为两个单位向量a⃗与b⃗⃗的夹角是60°所以a⃗⋅b⃗⃗=|a⃗|⋅|b⃗⃗|cos60°=1×1×12=12故答案为：12四、双空题(共3 分)20已知mn是两条不同直线αβ是两个不同平面．给出下列四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β．以其中三个论断作为条件余下一个论断作为结论写出一个正确命题：若_________则_________．（注：用序号作答．．．．．）【答案】(1) ①③④（答案不唯一）(2) ②（答案不唯一）【分析】由m⊥nm⊥α得n//α或n⊂α分类讨论并结合n⊥β及平面的基本性质、面面垂直的判定有α⊥β可得一个正确命题【详解】由m⊥nm⊥α则n//α或n⊂α当n⊂αn⊥β则α⊥β；当n//α过n作平面交α于l则n//l而n⊥β所以l⊥β而l⊂α则α⊥β；综上m⊥nm⊥αn⊥β则α⊥β故答案为：①③④②（答案不唯一）五、填空题(共3 分)21沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图AB⌢是以O为圆心OA为半径的圆弧C是AB的中点D在AB⌢上且CD⊥AB．记AB⌢的弧长的近似值为s“会圆术”给出了的一种计算公式：s=AB+CD 2OA．若OA=1∠AOB=90°则根据该公式计算s=_________．【答案】32## 1.5 【分析】连接OC 分别求出AB,OC,CD 再根据题中公式即可得出答案 【详解】 如图连接OC因为C 是AB 的中点 所以OC ⊥AB又CD ⊥AB 所以O,C,D 三点共线 即OD =OA =OB =1 又∠AOB =90°所以AB =√OA 2+OB 2=√2 则OC =√OA 2−AC 2=√22故CD =OD −OC =2−√22所以s =AB +CD 2OA=√2+(2−√22)2=32故答案为：32 六、双空题(共3 分)22为响应“强身健体智慧学习”倡议复兴中学开展了一次学生体质健康监测活动．已知高三（2）班有50名学生其中男生28人女生22人按男生、女生进行分层用分层随机抽样的方法从高三（2）班全体学生中抽取一个容量为25的样本．如果各层中按照比例分配样本则（1）女生应抽取的人数为_________人；（2）已知样本中男生、女生的平均体重分别为60.8kg和46.4kg．估计高三（2）班全体学生的平均体重为_________kg（精确到0.1kg）．【答案】(1) 11(2) 54.5【分析】（1）应用分层抽样等比例性质求女生应抽取的人数；（2）应用平均数的求法求样本均值即估计高三（2）班全体学生的平均体重【详解】（1）由分层抽样等比例性质知：女生应抽取的人数为25×2250=11人；（2）由（1）知：样本中男生人数为14人故样本均值为60.8×14+46.4×1125≈54.5kg故答案为：1154.5七、问答题(共6 分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据如下表：23 将上表数据补充完整填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．并写出函数y=f(x)的解析式；24 将函数y=f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度得到函数y=g(x)的图象求使g(x)≥0成立的x的取值集合．【答案】23 数据补充见解析f(x)=2sin(x+π6)；24 {x|2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3},k∈Z【分析】（1）根据已知数据求参数可得f(x)=2sin(x+π6)进而补充表格数据；（2）由图象平移得g(x)=2sin(x+π3)结合正弦型函数性质解不等式求解集即可【23题详解】由表格知：A=2且T2=5π3−2π3=π即T=2π故ω=2πT=1由ωπ2+φ=π2+φ=2π3⇒φ=π6则f(x)=2sin(x+π6)所以表格补充如下：【24题详解】由题设g(x)=f(x+π6)=2sin(x+π3)≥0即2kπ≤x+π3≤2kπ+π,k∈Z所以2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3,k∈Z即{x|2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3},k∈Z八、作图题(共6 分)如图长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=16,BC=10,AA1=8点EF分别在A1B1C1D1上且A1E= D1F=4．25 求AF的长；26 过点EF的平面与长方体的面相交交线围成一个正方形EFGH．在答题卡对应的图中．．．．．．．．．作出点GH并说明作法及理由．【答案】25 6√526 答案见解析【分析】（1）利用勾股定理计算即可；（2）根据基本题意结合勾股定理作出这个正方形【25题详解】连接AD1因为C1D1⊥平面ADD1A1AD1⊂平面ADD1A1所以C1D1⊥AD1则AD1=√AD2+DD12=√100+64=2√41故AF=√AD12+D1F2=√164+16=6√5；【26题详解】因为A1E=D1F=4所以EF//A1D1且EF=A1D1=10过点E作EM⊥AB于M则EM=8,AM=4因为四边形EFGH为正方形所以EH=EF=10则MH=√102−82=6>4所以点H在线段MB上且AH=10在AB,DC上分别取H,G使得AH=DG=10连接EH,FG,GH 此时的四边形EFGH即为题中所要画的图形由上可知四边形EFGH为棱形因为A1D1⊥平面ABB1A1所以EF⊥平面ABB1A1又EH⊂平面ABB1A1所以EF⊥EH所以四边形EFGH为正方形九、证明题(共6 分)已知函数f(x)=pa x+qa−x(a>0,a≠1,且p,q∈R)．27 当|p|=|q|时讨论函数f(x)的奇偶性；28 从①②两组条件中选取一组作为已知条件证明：f(x)为增函数．①a>1,p>0,q<0；②0<a<1,p<0,q>0．注：如果选择两组条件分别解答按第一个解答计分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．【答案】27 答案见解析；28 所选条件及证明见解析【分析】（1）讨论p=q、p=−q≠0利用奇偶性定义证明；)再根据所选的条件判断（2）应用单调性定义令x1>x2f(x1)−f(x2)=(a x1−a x2)(p−qa x1a x2f(x1),f(x2)大小即可证【27题详解】由f(x)定义域为R当p=q则f(x)=p(a x+a−x)而f(−x)=p(a−x+a x)=f(x)即f(x)为偶函数；当p=−q则f(x)=p(a x−a−x)而f(−x)=p(a−x−a x)=−p(a x−a−x)=−f(x)即f(x)为奇函数；【28题详解】)令x1>x2则f(x1)−f(x2)=p(a x1−a x2)+q(a−x1−a−x2)=(a x1−a x2)(p−qa x1a x2>0选①a>1,p>0,q<0则a x1>a x2>0所以a x1−a x2>0p−qa x1a x2即f(x1)>f(x2)所以f(x)为增函数得证；<0选②0<a<1,p<0,q>0则a x2>a x1>0所以a x1−a x2<0p−qa x1a x2即f(x1)>f(x2)所以f(x)为增函数得证；。
湖北省武汉市2020年高二下数学期末学业质量监测试题含解析
湖北省武汉市2020年高二下数学期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】此题考查的是排列组合思路：先从五双鞋中选出一双，有种。
再从剩余的四双中选两只但是不能为一双，先从四双中选两双有中，再从两双中选不同的两只有4种。
答案 A点评：选的时候一定注意不要重复和遗漏。
2．已知定义在R 上的偶函数()1cos x kf x ex --=-（其中e 为自然对数的底数），记()20.3a f =，()0.32b f =，()3log 6c f k =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性，求出1k =-，得到()cos xf x e x =-，再由指数函数单调性，以及余弦函数单调性，得到()cos xf x e x =-在()0,π上单调递增，进而可得出结果.【详解】 因为()1cos x kf x ex --=-是定义在R 上的偶函数，所以()()1f x f -=，即2cos1cos(1)k ke e ----=--，即2k k e e +=，所以2k k =+，解得：1k =-，所以()cos xf x e x =-，当0x >时，()cos xf x e x =-，因为xy e =是单调递增函数，cos y x =在()0,π上单调递减，所以()cos xf x e x =-在()0,π上单调递增，又20.33300.30.09log 61log 212π<=<-=<<<，所以()()()3230.0.3log621f f f <-<，即a c b <<.故选：A. 【点睛】本题主要考查由函数单调比较大小，由函数奇偶性求参数，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型. 3．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算210K =，则下列选项正确的是A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】根据附表可得2107.879K =>,所以有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响，选A4．欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数的虚部为（ ）A ．12B ．12i C D ．2【答案】C 【解析】 【分析】先由题意得到3cos sin33ie i πππ=+，进而可求出结果.【详解】 由题意可得：313cossin 332πππ=+=+i e i i ，所以虚部为3. 故选C 【点睛】本题主要考查复数的应用，熟记复数的概念即可，属于常考题型. 5．已知函数()2f x x ln x =-，则函数()y f x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果． 【详解】由题意()()2ln f x x x f x -=--=，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D ； 又()211ln110f =-=>，所以排除B,C ．故选A ． 【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一． 6．已知随机变量X 的分布如下表所示，则()E X 等于（ ）X 1-1P0.50.2pA ．0B ．－0.2C ．－1D ．－0.3【答案】B 【解析】 【分析】先根据题目条件求出p 值，再由离散型随机变量的期望公式得到答案。
2023年湖北省高中学业水平合格性考试数学模拟试卷(答案详解)
2023年湖北省普通高中学业水平合格性考试（模拟）数学一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数z 满足()1i 3i z -=-，则z =（）AB C ．D 2．设集合(){}2A log 12x x =+>，集合{}23100B x x x =--<，则A B ⋂=（）A ．{}23x x -<<B ．{}3x x >C ．{}25x x -<<D ．{}35x x <<3．已知平面向量()2,1a =-r ，()3,1b x x =+ ，若a b ⊥，则x 的值为（）A ．13-B ．15C ．32D ．254．某校高一（6）班有男生30人，女生20人，现采用分层随机抽样的方法从该班级抽取10人参加“楚天杯”有奖知识竞答，且这10人中要选取2人担任领队，则2名领队中至少有1名男生的概率为（）A ．715B ．45C ．1315D ．9105．下列函数的图象关于y 轴对称的是（）A ．2e e ()x xf x x -+=B ．e e ()2x xf x --=C ．()2()ln 2f x x x =+D ．1()1x f x x +=-6．已知正实数x 、y 满足22x y +=，则12x y+的取值可能为（）A ．72B ．113C ．165D ．2147．在正三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB ==，点M 为棱1CC 的中点，则异面直线AB 与1A M所成角的余弦值为（）A B C D 8．设a 、R b ∈，记p ：0a b -<，q ：ln ln a b <，则p 是q 的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数()1f x -的定义域为[]2,1-，则函数()21f x +的定义域为（）A ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．[]3,0-C ．3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]2,1-10．方程e 230x x --=的正实数根所在的区间为（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,311．已知tan 2θ=-，则sin 2cos 2θθ-的值为（）A ．34-B ．23C ．25D ．15-12．在矩形ABCD 中，点E 为边AD 的中点，点M 为对角线AC 上一点，且2AM MC =，记AE p = ，CD q = ，则AM =（）A ．4233p q--B ．4233p q+C ．4233p q-D ．4233p q-+13．某高校数学与应用数学专业计划招收190名本科新生，现有1000名考生达到该校最低录取分数线且均填报了该校数学与应用数学专业，该高校对这1000名考生组织了一次数学学科能力测试（满分100分），按成绩由高到低择优录取，并绘制了考试成绩的频率分布直方图，据此可以估计该校数学与应用数学专业的最低录取分数线为（）A ．86分B ．87分C ．88分D ．90分14．现有甲、乙两个不透明的盒子，里面均装有大小、质地一样的红球和白球各1个，从两个盒子各取出1个球，记事件A 为“从甲盒子中取出红球”，记事件B 为“从乙盒子中取出红球”，记事件C 为“从两个盒子中取出的球颜色相同”．下列说法正确的是（）A ．A 与B ，A 与C 均相互独立B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥C ．A 与B ，A 与C 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立15．将函数()sin(2)2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位长度后得到的函数图像关于y 轴对称，则实数ϕ的值为（）A ．3πB ．4πC ．512πD ．6π二、选择题（本题共3小题，每小题3分，共9分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的得0分．）16．下列函数，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．()()ln 1f x x =+B ．25()21x f x x -=-C ．()2xf x e =-D ．22()2xx f x --=17．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列说法错误的是（）A ．若a b ⊥r r，b α⊂，则a α⊥B ．若αβ∥，b β⊂，则b α∥C ．若a α⊂，b β⊂，αβ⊥，则a b⊥r rD ．若a α⊥，a β∥，则αβ⊥18．已知函数122()log (2)log (4)f x x x =-+-+，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的定义域为(]4,2-B ．函数()1f x -为偶函数C ．函数()f x 的单调递增区间为(]1,2-D ．函数()f x 的图像关于直线=1x -对称二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．）19．函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为________.20．在三棱锥-P ABC 中，侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，2PA =，PB =3PC =，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．21．已知平面内两个向量()2,1a k = ，1,2b k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若a 与b的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是_________．22．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数依次记为m 、n ，则使得函数2()3f x x mx n =-+-在区间()2,+∞上不单调且该函数与y 轴交点的纵坐标大于1的概率为_________．四、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分．）23．已知平面向量212cos ,sin 2a θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，),2b θ= ，记函数()f a b m θ=⋅+．(1)若14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求m 的值；(2)求函数()f θ的对称轴方程、单调递减区间和最小值．24．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA PB =，平面PAB ⊥平面ABCD ，点M 为CD 中点．(1)证明：AB PM ⊥；(2)若2PA AD AB ==，四棱锥P ABCD -PC 与平面ABCD 所成角的余弦值．25．已知函数()12e xf x x x +=+．(1)用定义法证明：函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增；(2)判断函数()f x 在(),0∞-上的零点个数（不需要证明）．1．B 【分析】根据复数代数形式的除法法则化简复数z ，再根据复数模的计算公式计算可得；【详解】解：因为()1i 3i z -=-，所以()()()()23i 1i 3i 33i i i 2i 1i 1i 1i 2z -+-+--====+--+，所以z ==；故选：B 2．D 【分析】先解出集合A,B,再求交集即可.【详解】解：因为(){}2A log 12x x =+>，由合2log (1)2x +>，解得3x >，所以A {|3}x x =>，又因为{}2B 3100x x x =--<，由23100x x --<，解得25x -<<，所以B {|25}x x =-<<，所以A B={|3}{|-2<<5}={|3<<5}x x x x x x ⋂>⋂.故选：D.3．B 【分析】依题意可得0a b ⋅=，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】解：因为()2,1a =-r ，()3,1b x x =+ 且a b ⊥，所以()()23110a b x x ⋅=-⨯+⨯+= ，解得15x =；故选：B 4．C先按照分层抽样的原理求出男生和女生的人数，再计算领队全为女生的概率，再根据对立事件求解即可.【详解】根据分层抽样原理，男生人数为3010650⨯=，女生人数为4，领队全为女生的概率24210C 2C 15P ==，“至少有1名男生”与“全为女生”是对立事件，∴至少有1名男生的概率为113115P P =-=，故选：C.5．A 【分析】根据偶函数的定义判断即可；【详解】解：对于A ：2e e ()x xf x x -+=定义域为{}|0x x ≠，所以()22e e e e ()()x x x x f x f x x x --++-===-，故2e e ()x xf x x-+=为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故A 正确；对于B ：e e ()2x x f x --=定义域为R ，且e ()()e e 2e 2x x x xf x f x -----==-=-，故e e ()2x xf x --=为奇函数，函数图象关于原点对称，故B 错误；对于C ：()2()ln 2f x x x =+定义域为()(),20,-∞-⋃+∞，定义域不关于原点对称，故函数()2()ln 2f x x x =+是非奇非偶函数，故C 错误；对于D ：1()1x f x x +=-定义域为{}|1x x ≠，定义域不关于原点对称，故函数1()1x f x x +=-是非奇非偶函数，故D 错误；故选：A 6．D 【分析】利用基本不等式求得12x y+的最小值判断.解：因为正实数x 、y 满足22x y +=，所以()121122252122+⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭y x x y x y y y x x，95212⎛+= ⎝≥，当且仅当22y x x y =，即23x y ==时，等号成立，故选：D 7．C 【分析】作出异面直线AB 与1A M 所成角，利用余弦定理求得该角的余弦值.【详解】根据正三棱柱的性质可知11//AB A B ，所以11B A M ∠是异面直线AB 与1A M 所成角，设11B A M α∠=，在三角形11A B M中，11111,A B A M B M ==由余弦定理得cos 4α=.故选：C8．B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：当0,0a b <<时，ln ,ln a b 无意义，故不充分；当ln ln a b <时，因为ln y x =在()0,∞+上递增，则a b <，即0a b -<，故必要，故选：B 9．A 【分析】根据抽象函数定义域计算规则计算可得；【详解】解：因为函数()1f x -的定义域为[]2,1-，即21x -≤≤，所以310x -≤-≤，令3210x -≤+≤，解得122x -≤≤-，所以函数()21f x +的定义域为12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；故选：A 10．C 【分析】根据零点存在定理判断即可.解：令()e 23(0)x f x x x =-->,(1)e 50f =-<,22(2)e 7 2.777.2970.290f =-≈-=-=>,所以函数的零点在（1,2）内,又因为323(e 602f =-=，所以函数的零点在3,22⎛⎫⎪⎝⎭内.故选：C.11．D 【分析】利用同角关系计算即可.【详解】222sin 1tan 2,sin 2cos ,sin cos 1,cos cos 5θθθθθθθθ==-∴=-+== ，()221sin 2cos 22sin cos 2cos 16cos 15θθθθθθ-=--=-+=-；故选：D.12．C 【分析】作图，根据图中的几何关系，将,AE CD作为基底即可.【详解】如图：()()22242233333AM AC AD DC AE CD p q ==+=-=- ，13．B 【分析】根据录取率为0.19，利用频率分布直方图求解.【详解】解：设该校数学与应用数学专业的最低录取分数线为x ，由题意得()900.030.01100.19x -⨯+⨯=，解得87x =，故选：B 14．A 【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概念判断即可；【详解】解：因为事件A 为“从甲盒子中取出红球”，事件B 为“从乙盒子中取出红球”，所以事件A 与B 相互独立，且()12P A =，()12P B =，事件A 与事件B 可以同时发生，故事件A 与事件B 不互斥，又()111111122222P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()111224P AC =⨯=，即()()()P AC P A P C =⋅，所以事件A 与事件C 相互独立，故选：A 15．D 【分析】根据给定条件，求出平移后的解析式，再利用正余弦函数的性质列式作答即可.【详解】依题意，平移后所得图象对应的函数解析式是：2()sin[2()]sin[2()]33f x x x ππϕϕ=-+=+-，因函数()f x 的图象关于y 轴对称，即函数()f x 是偶函数，因此，2,Z 32k k ππϕπ-=-∈，即,Z 6k k πϕπ=+∈，而2πϕ<，所以6πϕ=.故选：D.16．ABD【分析】根据基本初等函数和其复合函数的性质，逐项分析即可.【详解】对于A ，()()ln 1f x x =+，()()()ln 1,0ln 1,10x x f x x x ⎧+≥⎪∴=⎨-+-<<⎪⎩，当12x >时是增函数；对于B ，()25412121x f x x x --==+--，由反比例函数的性质可知，当12x >时是增函数；对于C ，()e 2x f x =-，由于12e 2<，当1,ln 22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e x f x =-是减函数；对于D ，()222x x f x --=，二次函数2y x x 2=--的对称轴是12，当12x >时，2y x x 2=--是增函数，所以()f x 也是增函数；故选：ABD.17．AC【分析】根据线面、面面关系的性质定理与判定定理一一判断即可；【详解】解：对于A ：若a b ⊥r r ，b α⊂，则a α⊥或//a α或a α⊂或a 与α相交不垂直，故A 错误；对于B ：若//αβ，b β⊂，根据面面平行的性质可得b α∥，故B 正确；对于C ：若a α⊂，b β⊂，αβ⊥，则a b ⊥r r 或//a b 或a 与b 相交或a 与b 异面，故C 错误；对于D ：若a α⊥，//a β，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故D 正确；故选：AC18．BD【分析】先求出()f x 的定义域，再对()f x 化简，根据对数函数和其复合函数的性质逐项分析即可.【详解】()f x 的定义域为：2040x x -+>⎧⎨+>⎩，()4,2x ∴∈-，()()()()()12222log 2log 4log 2log 4f x x x x x =-+-+=--+-+=()22log 28x x ---+；对于A ，错误；对于B ，()()()221log 3log 3f x x x -=--+-+，()()()()221log 3log 31f x x x f x --=-+--+=-是偶函数，正确；对于C ，2x =不在定义域内，错误；对于D ，二次函数228y x x =--+的对称轴是x =-1，∴()f x 是关于x =-1对称的，正确；故选：BD.19．511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】由题意利用正弦函数的单调性，求得该函数的单调减区间．【详解】对于函数2sin(2)3y x π=-，令3222232k x k πππππ+-+，Z k ∈,求得5111212k x k ππππ++，可得它的单调递减区间为5[12k ππ+，11]12k ππ+，Z k ∈，故答案为5[12k ππ+，1112k ππ+，Z k ∈．【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．20．16π【分析】将三棱锥-P ABC 补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积．【详解】将三棱锥-P ABC 补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R ，则()22222222422316R R PA PB PC ==++=++=，所以球的表面积为24π16πS R ==．故选答案为：16π．21．()(),11,0-∞--U 【分析】当两向量的夹角是钝角时，其数量积是负数，但必须排除两向量反向（夹角为180︒）.【详解】由题意，20,02k a b k k =+<∴< ，当,a b 反向时，有21012k k =<，解得1k =-，∴k 的取值范围是()(),11,0-∞--U ；故答案为：()(),11,0-∞--U .22．19【分析】先求出满足题意的m ，n 的范围，再求出在所求范围内的数对(),m n 的概率即可.【详解】对于函数()23f x x mx n =-+-，欲使得在()2,+∞上不单调，并且与y 轴交点的纵坐标大于1，则必须3122n m ->⎧⎪⎨>⎪⎩，即4,4m n >>，由于{},1,2,3,4,5,6m n ∈，数对(),m n 共有36对，即基本事件为36，满足4,4m n >>的有()()()()5,5,5,6,6,5,6,64种，∴4,4m n >>的概率为41369=；故答案为：19.23．(1)-1(2)对称轴为()26k k Z πθπ=+∈，单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，最小值为-2+m 【分析】（1）根据数量积坐标运算法则计算出()f θ的解析式，将4πθ=代入即可；（2）用整体代入法直接对()f θ分析即可.(1)21cos 2sin 2cos 22sin 226a b πθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()2sin 26f m πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将4πθ=代入，2sin 1426f m πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，m =-1；(2)由于()2sin 26f m πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对称轴为()2,6226k k k Z πππθπθπ+=+=+∈，当322,2622k k πππθππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭()k Z ∈时，()f θ单调递减，∴单调递减区间为2,63k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()k Z ∈，最小值为-2+m ；综上，m =-1，对称轴为26k πθπ=+()k Z ∈，单调递减区间为2,63k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()k Z ∈，最小值为-2+m.24．(1)证明见解析8【分析】（1）取AB 的中点O ，连接OP 、OM ，即可得到AB PO ⊥、OM AB ⊥，从而得到AB ⊥平面POM ，即可得证；（2）令AB a =，即可求出ABCD S ，PO ，再根据面面垂直的性质得到PO ⊥平面ABCD ，连接OC ，可得PCO ∠即为直线PC 与平面ABCD 所成角，根据锥体的体积公式求出a ，即可求出cos PCO ∠，从而得解；（1）证明：取AB 的中点O ，连接OP 、OM ，因为PA PB =，所以AB PO ⊥，在矩形ABCD 中，点M 为CD 中点，所以//OM BC ，所以OM AB ⊥，又PO OM O = ，,PO OM ⊂平面POM ，所以AB ⊥平面POM ，PM ⊂平面POM ，所以AB PM ⊥；（2）解：令AB a =，则22PA AD AB a ===，所以22ABCD S a =，22152a PO PA OA =-=，因为AB PO ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以211152333152P ABCD ABCD V O a S P a -=⋅==⨯⨯，解得1a =，所以152PO =连接OC ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以PCO ∠即为直线PC 与平面ABCD 所成角，又OC ==PC ==在Rt POC △中，cosOC PCO PC ∠==，即直线PC 与平面ABCD 所成角的余弦值为8；25．(1)证明见解析(2)1个【分析】（1）利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）依题意可得()()1e x f x x x +=+，令()1e x x x g +=+，(),0x ∈-∞，利用函数的单调性及特殊点的函数值判断即可；(1)证明：设()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，则()()121211211222e e x xf x f x x x x x ++--=+-()()()2121221121e e x x x x x x x x x -+-+-+=因为120x x <<，所以120x x -<，120x x +>，所以12e 1x x -<，21e e x +>，所以1211e x x x x -<，所以1212120e x x x x x x -<--<，所以()212112e e0x x x x x -+-<，()()12120x x x x -+<，所以()()()2121212121e 0e x x x x x x x x x -+-+-<+，即()()120f x f x -<，所以函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增；(2)解：因为()()121e e x x f x x x x x ++=+=+，(),0x ∈-∞，令()1e x x x g +=+，(),0x ∈-∞，因为1e x y +=与y x =在(),0∞-上单调递增，所以()1e x x x g +=+在(),0∞-上单调递增，又()0e g =，()111e 10g --=-=，所以当1x <-时()0g x <，当10x -<<时()0g x >，所以当1x <-时()0f x >，当10x -<<时()0f x <，()10f -=，所以()f x 在(),0∞-上有且仅有1个零点；。