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《线性代数》习题集(含答案)

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线性代数练习题(有答案)

线性代数练习题(有答案)

《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。

线性代数习题集及其答案

线性代数习题集及其答案

第一章行列式一.填空题1.四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.解.a 12a 21a 33a 44中行标的排列为1234,逆序为0;列标排列为2134,逆序为1.该项符号为“－”,所以答案为a 12a 21a 33a 44.2.排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n －1…i 2i 1.解.排列i 1i 2…i n 可经过1+2+…+(n －1)=n(n －1)/2次对换后变成排列i n i n －1…i 2i 1.3.在五阶行列式中3524415312)23145()15423()1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a .解.15423的逆序为5,23145的逆序为2,所以该项的符号为“－”.4.在函数xx x x x x f 21112)(---=中,x 3的系数是______.解.x 3的系数只要考察234222x x xxx x +-=--.所以x 3前的系数为2.5.设a ,b 为实数,则当a =______,且b =______时,010100=---a b b a .解.0)(11010022=+-=--=---b a ab ba ab b a .所以a =b =0.6.在n 阶行列式D =|a ij |中,当i <j 时a ij =0(i ,j =1,2,…,n ),则D =______.解.nnn n a a a a a a a a 221121222111000=7.设A 为3×3矩阵,|A |=－2,把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A ,其中A j (j =1,2,3)是A 的第j 行,则行列式=-121332A A A A ______.解.=-121332A A A A 6||33233211213=-=-=-A A A A A A A A .二．计算证明题1.设4322321143113151||-=A 计算A 41+A 42+A 43+A 44=?,其中A 4j (j=1,2,3,4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解.A 41+A 42+A 43+A 441111321143113151-=210320206)1(000121013201206114--=-=+=62103202061=--2.计算元素为a ij =|i －j |的n 阶行列式.解.111111110021201110||--------=n n n n n A 每行减前一行由最后一行起，)1(2)1(1000201201121--=--------n n n n n n n列每列加第3.计算n 阶行列式nx x x nx x x nx x x D n n n n +++++++++=212121222111(n ≥2).解.当2>n n x x x n x x x n x x x D n n n n ++++++=222222111+n x x n x x n x x n n ++++++ 2121212211=n x x x x n x x x x n x x x x n n nn++++++ 33322221111+nx x x n x x x n x x x n n n++++++ 323232222111+nx x x n x x x n x x x n n n ++++++ 313131222111+nx x n x x n x x n n ++++++ 32132********=－n x x x n x x x n x x x n n n++++++ 313131222111=－n x x x n x x x n x x x n n n+++ 111222111－nx x nx x n x x n n+++ 3131312211=0当2=n 2122112121x x x x x x -=++++4.证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明:||||)1(||||||,A A A A A A A nTT-=-=-==-=(n 为奇数).所以|A |=0.5.试证:如果n 次多项式nn x C x C C x f ++=10)(对n +1个不同的x 值都是零,则此多项式恒等于零.(提示:用范德蒙行列式证明)证明:假设多项式的n +1个不同的零点为x 0,x 1,…,x n .将它们代入多项式,得关于C i 方程组0010=++nn x C x C C 01110=++n n x C x C C …………10=++n n n n x C x C C 系数行列式为x 0,x 1,…,x n 的范德蒙行列式,不为0.所以010====n C C C 6.设).(',620321)(232x F xx x x x xx F 求=解.x x x x x x x F 620321)(232==x x x x x x 3103211222=x x x x x x 310201222=xxx x x 3102101222=32220021012xxx x x x =26)('x x F =第二章矩阵一.填空题1.设α1,α2,α3,α,β均为4维向量,A =[α1,α2,α3,α],B =[α1,α2,α3,β],且|A |=2,|B |=3,则|A －3B |=______.解.βαααα3222|3|321----=-B A =βαααα38321-⨯-=αααα321(8⨯-56|)|3|(|8)3321=--=-B A βααα2.若对任意n ×1矩阵X ,均有AX =0,则A =______.解.假设[]m A αα 1=,αi 是A 的列向量.对于j =1,2,…,m ,令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010 j X ,第j 个元素不为0.所以[]m αα 10010==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j α (j =1,2,…,m ).所以A =0.3.设A 为m 阶方阵,存在非零的m ×n 矩阵B ,使AB =0的充分必要条件是______.解.由AB =0,而且B 为非零矩阵,所以存在B 的某个列向量b j 为非零列向量,满足Ab j =0.即方程组AX =0有非零解.所以|A |=0;反之:若|A |=0,则AX =0有非零解.则存在非零矩阵B ,满足AB =0.所以,AB =0的充分必要条件是|A |=0.4.设A 为n 阶矩阵,存在两个不相等的n 阶矩阵B ,C ,使AB =AC 的充分条件是______.解.0||0)(=⇔-=-⇔=≠A C B C B A AC AB C B 非零且且5.[]42121b b b a a a n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=______.解.[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a 212221212111421216.设矩阵12,23,3211-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B E A A B A 则=______.解.=2A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841E A A B 232+-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841－⎥⎦⎤⎢⎣⎡-9633+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021221||*1==-B B B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2210=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--112107.设n 阶矩阵A 满足12,032-=++A E A A 则=______.解.由,0322=++E A A 得E E A A 3)2(-=+.所以0|3||2|||≠-=+E E A A ,于是A 可逆.由,0322=++E A A 得)2(31,03211E A A AE A +-==++--8.设)9()3(,10002010121E A E A A -+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-则=______.解.=2A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100040201=-E A 92⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208,=+E A 3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400050104→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001400050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4100010001100050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000104101100050004 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000510161041100010001 ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+-4100051161041)3(1E A )9()3(21E A E A -+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-4100051161041⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2000101029.设.______])2[(______,)(_______,,3342122111*1*1=-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=---A A A A 则解.|A|=－3－12+8+8+6－6=1→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100010001334212211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----104012001570230211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------104031320015703210211 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----137320313203131310032103401 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----137322524933100010001 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------372252493100010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-3722524931A ====---||)(,||,||1*1**1A AA A A A A AA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3342122111131*4)2(||)2()2(|2|)2(---=--=--=-A A A A A A 414)4(])2[(111*===----A A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----33421221110.设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3111522100110012A ,则A 的逆矩阵1-A =______.解.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211111121,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-215331521使用分块求逆公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111100B CAB A BC A －⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11212153⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1173019所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-21117533019002100111A 二.单项选择题1.设A 、B 为同阶可逆矩阵,则(A)AB =BA(B)存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1(C)存在可逆矩阵C ,使BAC C T=(D)存在可逆矩阵P 和Q ,使BPAQ =解.因为A 可逆,存在可逆E AQ P Q P A A A A =使,.因为B 可逆,存在可逆E BQ P Q P B B B B =使,.所以A A AQ P =B B BQ P .于是BQ AQ P P B A A B =--11令A B P P P 1-=,1-=BA Q Q Q .(D)是答案.2.设A 、B 都是n 阶可逆矩阵,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1002B A T等于(A)12||||)2(--B A n(B)1||||)2(--B A n(C)||||2B A T-(D)1||||2--B A 解.121||||)2(002---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-B A B A n T.(A)是答案.3.设A 、B 都是n 阶方阵,下面结论正确的是(A)若A 、B 均可逆,则A +B 可逆.(B)若A 、B 均可逆,则AB 可逆.(C)若A +B 可逆,则A －B 可逆.(D)若A +B 可逆,则A ,B 均可逆.解.若A 、B 均可逆,则111)(---=A B AB .(B)是答案.4.设n 维向量)21,0,,0,21( =α,矩阵ααTE A -=,ααT E B 2+=其中E 为n 阶单位矩阵,则AB =(A)0(B)－E(C)E(D)ααTE +解.AB =)(ααTE -)2(ααT E +=ααT E -+2ααT －2ααT ααT =E .)21(=ααT (C)是答案.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=233322322131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P ,设有P 2P 1A =B ,则P 2=(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010101(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010101解.P 1A 表示互换A 的第一、二行.B 表示A 先互换第一、二行,然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行.所以P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001.(B)是答案.6.设A 为n 阶可逆矩阵,则(－A )*等于(A)－A *(B)A *(C)(－1)n A *(D)(－1)n －1A *解.(－A )*=*111)1()1(1||)1()(||A A A A A n n ----=--=--.(D)是答案.7.设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥2),A *是A 的伴随矩阵,则(A)A A A n 1**||)(-=(B)A A A n 1**||)(+=(C)AA A n 2**||)(-=(D)AA A n 2**||)(+=解.1*||-=AA A AA A A A A A A A A A A A n n 211111*1**||||||||)|(|||||)|(|)(-------====(C)是答案.8.设A 为m ×n 矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r 1,矩阵B =AC 的秩为r,则(A)r >r 1(B)r <r 1(C)r =r 1(D)r 与r 1的关系依C 而定解.n C r C A B n n n m ==⨯⨯)(,,所以1)()()(r n C r A r AC r r =-+≥=又因为1-=BC A ,于是rn C r B r BC r r =-+≥=--)()()(111所以r r =1.(C)是答案.9.设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且AB =0,则A 和B 的秩(A)必有一个等于零(B)都小于n (C)一个小于n ,一个等于n(D)都等于n解.若0,0.,)(1===-B AB A n A r 得由存在则,矛盾.所以n A r <)(.同理n B r <)(.(B)是答案.三.计算证明题1.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143522011B .求:i.AB －BA ii.A 2－B 2iii.B T A T解.=-BA AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1618931717641,=-22B A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1326391515649=T T A B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2211531517652.求下列矩阵的逆矩阵i.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------111111*********1ii.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000cos sin 0sin cos ααααiii.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000iv.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-110210000120025解.i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------10000100001000011111111111111111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------1010101001100010220202022001111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1001001102102100010220220010101111 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------110000110210210210212200220010100101 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1100002121021021021021220011010100101 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11110021210210210212104000110010101001→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----414141410021210210210212101000110010101001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------414141414141414141414141414141411000010000100001 ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-414141414141414141414141414141411A ii.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos 1.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1110000B A B A 得到:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100cos sin 0sin cos 1ααααA iii.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-011001101.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---0000111A B B A 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00010010010010001A iv.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---111000B A B A 得到:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-313100323100005200211A 3.已知三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα.其中T)2,2,1(1=α,T )1,2,2(2-=α,T )2,1,2(3--=α.试求矩阵A .解.由本题的条件知:=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---212122221A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---622342641→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100010001212122221 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----102012001630360221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----0313231032001120210221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3231323103232031300210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----9291923103232031100210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---929192919292929291100010001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=232323235032037929192919292929291622342641A 4.k 取什么值时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11100001k A 可逆,并求其逆.解.01110001||≠=-=k k A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10011101000001001 k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101110010010001001 k →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111100010010001001k k 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1110100011k k A 5.设A 是n 阶方阵,且有自然数m ,使(E +A )m =0,则A 可逆.解.因为)(1=+==+∑∑==mi i i m mi iimmA c E A c A E所以∑=-=-mi i im E A c A 11)(.所以A 可逆.6.设B 为可逆矩阵,A 是与B 同阶方阵,且满足A 2+AB +B 2=0,证明A 和A +B 都是可逆矩阵.解.因为022=++B AB A ,所以2)(B B A A -=+.因为B 可逆,所以0||)1(||22≠-=-B B n所以0|||)(|2≠-=+B B A A .所以B A A +,都可逆.7.若A ,B 都是n 阶方阵,且E +AB 可逆,则E +BA 也可逆,且AAB E B E BA E 11)()(--+-=+解.AAB E B BA E BA E A AB E B E BA E 11)()())()((--++-+=+-+=AAB E AB E B BA E A AB E BAB B BA E 11))(())((--++-+=++-+=E BA BA E =-+所以A AB E B E BA E 11)()(--+-=+.8.设A ,B 都是n 阶方阵,已知|B |≠0,A －E 可逆,且(A －E )－1=(B －E )T ,求证A 可逆.解.因为(A －E )－1=(B －E )T ,所以(A －E )(B －E )T =E 所以E E B E B A T T =+--)(,TT B E B A =-)(由|B |≠0知11)(--TB B ，存在.所以E B E B A T T =--1))((.所以A 可逆.9.设A ,B ,A +B 为n 阶正交矩阵,试证:(A +B )－1=A－1+B －1.解.因为A ,B ,A +B 为正交矩阵,所以111,,)()(---==+=+B B A A B A B A TTT所以111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T 10.设A ,B 都是n 阶方阵,试证明:||E AB BE EA -=.解.因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡AB E B E B E E A E A E E E 0000所以ABE BEB E E A E A E E E -=-0000||)1(01)1(2E AB AB E BEB E E A n n --=-=⋅⋅-因为n n )1()1(2-=-,所以||E AB BE EA -=11.设A 为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵,E 为四阶单位矩阵)0,0(00000000000000>>⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k l k B i.试计算|E +AB |,并指出A 中元素满足什么条件时,E +AB 可逆;ii.当E +AB 可逆时,试证明(E +AB )－1A 为对称矩阵.解.i.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44342414342313242312141312000a a a a a a a a a a a a a A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k a a a a a a a a a a a a a AB 000000000000000044342414342313242312141312⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000343424231413ka la la ka la ka AB E +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001001001343424231413ka la la ka la ka ,2341||kla AB E -=+所以当2341a kl≠时,E +AB 可逆.ii.11111)()]([)(-----+=+=+B A AB E A A AB E 因为A ,B 为实对称矩阵,所以B A +-1为实对称矩阵,所以(E +AB )－1A 为对称矩阵.12.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ100100A ,求A n .解.使用数学归纳法.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2222210200100100100100λλλλλλλλλλλA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλλλ1001002102002223A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+323233)21(0300λλλλλλ假设k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k kk k k λλλλλλ121)11(000则1+k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k k k k k λλλλλλ121)11(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ100100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++-++1111)1()1(0)1(00k k k k k k k k k λλλλλλ 所以n A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---nn n n n n n n n λλλλλλ121)11(000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----n n n n n nn n n n λλλλλλ1212)1(00013.A 是n 阶方阵,满足A m =E ,其中m 是正整数,E 为n 阶单位矩阵.今将A 中n 2个元素a ij 用其代数余子式A ij 代替,得到的矩阵记为A 0.证明E A m=0.解.因为A m =E ,所以1||=m A ,所以A 可逆.11*0)(||]|[|)(--===T T T A A A A A A 所以EE A A A A A A m T m m m T m ====---1110||])[(||])(|[|14.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010101001A i.证明:n ≥3时,E A A A n n-+=-22(E 为三阶单位矩阵)ii.求A 100.解.i.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*******A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110013A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011102001+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+010*******E A A -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0111020013A =所以E A A A -+=-2233假设EA A A k k -+=-22则=-+=-+A A A A k k 311A E A A A k --++-21=EA A k -+-+221）（所以EA A A n n -+=-22ii.=-+=E A A A298100E A E A A 4950222296-==-+ -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=50050050500050⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡490004900049⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1050015000115.当⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A 时,A 6=E .求A 11.解.121232321||=-=A ,所以==-||*1A A A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321因为1112116--===EA A A A E A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2123232116.已知A ,B 是n 阶方阵,且满足A 2=A ,B 2=B ,与(A －B )2=A +B ,试证:AB =BA =0.解.因为(A －B )2=A +B ,所以))(())(()(3B A B A B A B A B A -+=+-=-于是2222B AB BA A B AB BA A --+=-+-,所以BAAB =BA B BA AB A B A B A +=+--+=-222,)(因为A 2=A ,B 2=B ,所以2AB =0,所以0==BA AB .第三章向量一.填空题1.设)1,2,0,1(),,1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2(4321-=-=--=-=ααααk ,则k =______时,α1,α2,α3,α4线性相关.解.考察行列式1102131181105213000011182105213000211142k k k -----=-----=-----316102038++-+--=k k =13k +5=0.135-=k 2.设)0,,3,1(),4,3,5,0(),2,0,2,1(),0,3,1,2(4321t -=-=-=-=αααα,则t =______时,α1,α2,α3,α4线性相关.解.考察行列式4243355504243335551000042030335211012---=----=----t tt t 0603020306020=--+++-=t t .所以对任何t ,α1,α2,α3,α4线性相关.3.当k =______时,向量β=(1,k ,5)能由向量),1,1,2(),2,3,2(21-=-=αα线性表示.解.考察行列式,012513211=--k 得k =－8.当k =－8时,三个向量的行列式为0,于是21,,ααβ线性相关.显然21,αα线性无关,所以β可用21,αα线性表示.4.已知)1,4,0,1,1(),3,1,3,0,2(),10,5,1,2,0(),1,2,2,1,1(4321-=-=-==αααα,则秩(α1,α2,α3,α4)=______.解.将α1,α2,α3,α4表示成矩阵→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---131********210211201→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------21102550211002201201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------211052110211001101201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→20052000200001101201.所以r (α1,α2,α3,α4)=35.设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A ,则秩(A)=______.解.→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3224211631711614040921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------3408012550755110140800921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→8351051510117510815100921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→410004030008845000815100921所以r (A )=3.6.已知),2,0,1,0(,)2,1,0,1(=-=βαT矩阵A =α·β,则秩(A )=______.解.A =α·β=()→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-402020100000201020102101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0020000000002010所以r (A )=1.7.已知向量),6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321t ====αααα,且秩(α1,α2,α3,α4)=2,则t =______.解.A =(α1,α2,α3,α4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 654654354324321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=16630642032104321t ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=700000032104321t 所以当t =7时,r (A )=2.二.单项选择题1.设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是(A)α1+α2,α2+α3,α3+α1(B)α1,α1+α2,α1+α2+α3(C)α1－α2,α2－α3,α3－α1(D)α1+α2,2α2+α3,3α3+α1解.由0)()()(133322211=-+-+-ααααααk k k 得)()()(323212131=-+-+-αααk k k k k k 因为向量组α1,α2,α3线性无关,所以得关于321,,k k k 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131k k k k k k 321,,k k k 的系数行列式为011110011101=-=---.所以321,,k k k 有非零解,所以α1－α2,α2－α3,α3－α1线性相关.(C)是答案.2.设矩阵A m ×n 的秩为R (A )=m <n ,E m 为m 阶单位矩阵,下列结论正确的是(A)A 的任意m 个列向量必线性无关(B)A 的任意一个m 阶子式不等于零(C)若矩阵B 满足BA =0,则B =0(D)A 通过行初等变换,必可以化为(E m ,0)的形式解.(A),(B)都错在“任意”;(D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A 变成(E m ,0)的形式;(C)是正确答案.理由如下:因为BA =0,所以0)()()()()(B r m m B r m A r B r BA r =-+=-+≥=.所以)(B r =0.于是B =0.3.设向量组(I):T T T a a a a a a a a a ),,(,),,(,),,(332313332221223121111===ααα;设向量组(II):T T T a a a a a a a a a a a a ),,,(,),,,(,),,,(433323133423222122413121111===βββ,则(A)(I)相关⇒(II)相关(B)(I)无关⇒(II)无关(C)(II)无关⇒(I)无关(B)(I)无关⇔(II)无关解.由定理:若原向量组线性无关,则由原向量组加长后的向量组也线性无关.所以(B)是答案.4.设β,α1,α2线性相关,β,α2,α3线性无关,则(A)α1,α2,α3线性相关(B)α1,α2,α3线性无关(C)α1可用β,α2,α3线性表示(D)β可用α1,α2线性表示解.因为β,α1,α2线性相关,所以β,α1,α2,α3线性相关.又因为β,α2,α3线性无关,所以α1可用β,α2,α3线性表示.(C)是答案.5.设A ,B 是n 阶方阵,且秩(A )=秩(B ),则(A)秩(A －B )=0(B)秩(A +B )=2秩(A)(C)秩(A －B )=2秩(A)(D)秩(A +B )≤秩(A )+秩(B )解.(A)取B A ≠且|A |≠0,|B |≠0则A －B ≠0,则r (A －B )≠0.排除(A);(B)取A =－B ≠0,则秩(A +B )≠2秩(A);(C)取A =B ≠0,则秩(A －B )≠2秩(A).有如下定理:秩(A +B )≤秩(A )+秩(B ).所以(D)是答案.三.计算证明题1.设有三维向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2113α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21k k β问k 取何值时i.β可由α1,α2,α3线性表示,且表达式唯一;ii.β可由α1,α2,α3线性表示,但表达式不唯一;iii.β不能由α1,α2,α3线性表示.解.)1(22221111112-=-=k k k k k k i.10≠≠k k 且时,α1,α2,α3线性无关,四个三维向量一定线性相关,所以β可由α1,α2,α3线性表示,由克莱姆法则知表达式唯一;ii.当k =1时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121111111111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010********* .系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2.所以所以β可由α1,α2,α3线性表示,但表示不惟一;iii.当0=k 时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→011011100101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→100011100101 .系数矩阵的秩等于2,增广矩阵的秩为3,所以所以β不能由α1,α2,α3线性表示.2.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问i.α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论;ii.α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论解.i.α1不一定能由α2,α3线性表出.反例:T )1,1(1=α,T )0,1(2=α,T )0,2(3=α.向量组α1,α2,α3线性相关,但α1不能由α2,α3线性表出;ii.α4不一定能由α1,α2,α3线性表出.反例:T )0,0,2(1=α,T )0,0,1(2=α,T )0,1,0(3=α,T )1,0,0(4=α.α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性无关,α4不能由α1,α2,α3线性表出.3.已知m 个向量α1,α2,…αm 线性相关,但其中任意m －1个都线性无关,证明:i.如果存在等式k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0则这些系数k 1,k 2,…k m 或者全为零,或者全不为零;ii.如果存在两个等式k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0l 1α1+l 2α2+…+l m αm =0其中l 1≠0,则mm l k l k l k === 2211.解.i.假设k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0,如果某个k i =0.则k 1α1+…+k i －1αi －1+k i+1αi+1…+k m αm =0因为任意m －1个都线性无关,所以k 1,k 2,…k i －1,k i+1,…,k m 都等于0,即这些系数k 1,k 2,…k m 或者全为零,或者全不为零;ii.因为l 1≠0,所以l 1,l 2,…l m 全不为零.所以m m l l l l ααα12121---= .代入第一式得:0)(2212121=+++---m m m m k k l l l l k αααα 即0)()(1122112=+-+++-m m m k k l l k k l l αα 所以02112=+-k k l l ,…,011=+-m m k k l l 即mm l k l k l k === 22114.设向量组α1,α2,α3线性无关,问常数a ,b ,c 满足什么条件a α1－α2,b α2－α3,c α3－α1线性相关.解.假设0)()()(133322211=-+-+-ααααααc k b k a k 得)()()(323212131=-+-+-αααk c k k b k k a k 因为α1,α2,α3线性无关,得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131ck k bk k k ak当行列式0100110=---cba 时,321,k k k 有非零解.所以1=abc 时,a α1－α2,b α2－α3,c α3－α1线性相关.5.设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组A k x =0有解向量α,且A k －1α≠0,证明:向量组α,A α,⋯,A k －1α是线性无关的.解.假设01110=+++--αααk k A a A a a .二边乘以1-k A 得010=-αk A a ,0=a 由0111=++--ααk k A a A a .二边乘以1-k A 得011=-αk A a ,1=a ………………………………最后可得011=--αk k A a ,1=-k a 所以向量组α,A α,⋯,A k －1α是线性无关.6.求下列向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i.)3,2,1,2(),7,4,3,1(),6,5,1,4(),3,1,2,1(4321=----=---==αααα.ii.).10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα解.解.i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------3763245113122141→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------34180039031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---3200320031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000320031902141所以321,,ααα是极大线性无关组.由3322114ααααk k k ++=得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-+323924332321k k k k k k 解得2331-==k k ,212=k 所以3214232123αααα-+-=ii.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1001424527121203121301→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220101103133021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220313301011021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→04000010001011021301所以421,,ααα是极大线性无关组.由4322115ααααk k k ++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401233231k k k k k 解得21=k ,12=k ,03=k 所以421502αααα++=由4322113ααααk k k ++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401333231k k k k k 解得31=k ,12=k ,03=k 所以421303αααα++=7.已知三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x yyy x y y yxA ,讨论秩(A)的情形.解.i.0==y x ,)(=A r ii.0,00,0=≠≠=y x y x 或,3)(=A r iii.0≠=y x ,1)(=A r iv.0≠-=y x ,3)(=A r iv.yx y x ±≠≠≠,0,0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x y y y x yy yxA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→2222x xyxy xy x xy y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→2222222200y x y xy y xy y x y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→y x yy y x y yx00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→)2(00y x x yy x y y x 所以,当y x 2-=时,2)(=A r ;当y x 2-≠时,3)(=A r 8.设三阶矩阵A 满足A 2=E(E 为单位矩阵),但A ≠±E ,试证明:(秩(A －E )－1)(秩(A +E )－1)=0解.由第十一题知3)()(=-++E A r E A r 又因为A ≠±E ,所以0)(≠+E A r ,0)(≠-E A r 所以)(E A r +,)(E A r -中有一个为1所以(秩(A －E )－1)(秩(A +E )－1)=09.设A 为n 阶方阵,且A 2=A ,证明:若A 的秩为r ,则A －E 的秩为n －r ,其中E 是n 阶单位矩阵.解.因为A 2=A ,所以)(=-E A A 所以n E A r A r E A A r --+≥-=)()())((0所以nE A r A r ≤-+)()(又因为n E r A E A r A E r A r E A r A r ==-+≥-+=-+)()()()()()(所以n E A r A r =-+)()(.所以rn E A r -=-)(10.设A 为n 阶方阵,证明:如果A 2=E ,则秩(A +E )+秩(A －E )=n.解.因为A 2=E ,所以))((0E A E A +-=所以n E A r E A r E A E A r --++≥-+=)()()))(((0所以nE A r E A r ≤-++)()(又因为n E r A E E A r A E r E A r E A r E A r ==-++≥-++=-++)2()()()()()(所以n E A r E A r =-++)()(.第四章线性方程组一.填空题1.在齐次线性方程组A m ×n x =0中,若秩(A)=k 且η1,η2,…,ηr 是它的一个基础解系,则r =_____;当k =______时,此方程组只有零解.解.k n r -=,当n k =时,方程组只有零解.2.若n 元线性方程组有解,且其系数矩阵的秩为r,则当______时,方程组有唯一解;当______时,方程组有无穷多解.解.假设该方程组为A m ×n x =b,矩阵的秩r A r =)(.当n r =,方程组有惟一解;当n r <,方程组有无穷多解.3.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++0302032321321x kx x x x x kx x 只有零解,则k 应满足的条件是______.解.03011211≠kk ,53,0623≠≠--+k k k k 时,方程组只有零解.4.设A 为四阶方阵,且秩(A)=2,则齐次线性方程组A *x =0(A *是A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.解.因为矩阵A 的秩31412)(=-=-<=n A r ,所以0)(*=A r ,A *x =0的基础解系所含解向量的个数为4－0=4.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=112011121A ,则A x =0的通解为______.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=000110101110110121112011121A 2)(=A r ,基础解系所含解向量个数为3－2=1.⎩⎨⎧=-=-003231x x x x ,取1,1123===x x x 则.基础解系为(1,1,1)T.A x =0的通解为k (1,1,1)T,k 为任意常数.6.设α1,α2,…αs 是非齐次线性方程组A x =b 的解,若C 1α1+C 2α2+…+C s αs 也是A x =b 的一个解,则C 1+C 2+…+C s =______.解.因为A b A i 且,=α(C 1α1+C 2α2+…+C s αs )=b,所以b b C C s =++)(1 ,11=++s C C .7.方程组A x =0以TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.解.方程组A x =0的基础解系为TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη,所以2)(=-A r n ,即2)(3=-A r ,)(A r =1.所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A ,假设),,(1312111a a a =α.由01=ηA ,得02201),,(1311131211=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a a a a 由02=ηA ,得0110),,(1312131211=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a a a 取2,1,0111213-===a a a 得.所以)1,1,2(1-=α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A (其中2,1k k 为任意常数).8.设A x =b,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A ,则使方程组有解的所有b 是______.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A ,05112210321||≠=-=A ,所以)(A r =3.因为A x =b 有解,所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-b r r 112210321112210321所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123112201321k k k b ,其中321,,k k k 为任意常数.9.设A,B 为三阶方阵,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110121211A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11202314k B ,且已知存在三阶方阵X ,使得B AX =,则k =___________.解.由题设B X A =⨯⨯3333,又因为0110121211||=-=A ,所以0||||||==X A B ,即0266411202314=+--=--k k k ,2-=k .二.单项选择题1.要使ξ1=(1,0,1)T ,ξ2=(－2,0,1)T 都是线性方程组0=Ax 的解,只要系数矩阵A 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213321(B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211121(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123020010(D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-020010解.因为21,ξξ的对应分量不成比例,所以21,ξξ线性无关.所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数大于2.(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112213321A ,3)(,0112213321||=≠=A r A .因为A 是三阶矩阵,所以0=Ax 只有零解,排除(A);(B)2)(,211121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A r A .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3－1)(=A r .排除(B);(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123020010A ,2)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3－1)(=A r .排除(C);(D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=020010A ,1)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3－2)(=A r ,(D)是答案.2.设0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表成(A)321,,ξξξ的一个等阶向量组(B)321,,ξξξ的一个等秩向量组(C)321211,,ξξξξξξ+++(C)133221,,ξξξξξξ---解.由0)()(321321211=+++++ξξξξξξk k k ,得0)()(332321321=+++++k k k k k k ξξξ.因为0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系,所以321,,ξξξ线性无关.于是⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ,所以0321===k k k ,则321211,,ξξξξξξ+++线性无关.它也可以是方程组的基础解系.(C)是答案.(A)不是答案.例如321,,ξξξ和21321,,,ξξξξξ+等价,但21321,,,ξξξξξ+不是基础解系.3.n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是(A)任一行向量都是非零向量(B)任一列向量都是非零向量(C)b Ax =有解(D)当0≠x 时,0≠Ax ,其中Tn x x x ),,(1 =解.对(A),(B):反例⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121A ,不可逆;对于(C)假设A 为n×n 矩阵,A 为A 的增广矩阵.当n A r A r <=)()(时,b Ax =有无穷多解,但A 不可逆;(D)是答案,证明如下:当0≠x 时,0≠Ax ,说明0=Ax 只有零解.所以1,0||-≠A A 存在.4.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r,则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A )n r =(B )n r ≥(C )n r <(D )n r >解.(C )为答案.5.设n m A ⨯为矩阵,m n B ⨯为矩阵,则线性方程组0)(=x AB (A )当m n >时仅有零解.(B )当m n >时必有非零解.(C )当n m >时仅有零解.(D )当n m >时必有非零解.解.因为AB 矩阵为m m ⨯方阵,所以未知数个数为m 个.又因为n A r AB r ≤≤)()(,所以,当n m >时,m n A r AB r <≤≤)()(,即系数矩阵的秩小于未知数个数,所以方程组有非零解.(D )为答案.6.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0*≠A ,若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A )不存在(B )仅含一个非零解向量(C )含有二个线性无关解向量(D )含有三个线性无关解向量解.因为⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,*)(n A r n A r n A r n A r 因为0*≠A ,所以1)(-≥n A r ;又因为4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解,所以b Ax =的解不唯一,所以1)(-≤n A r ,所以1)(-=n A r .于是:基础解系所含解向量个数1)1()(=--=-=n n A r n (B )为答案.三.计算证明题1.求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=----=+-+-=-+-174952431132542143214321x x x x x x x x x x x 的通解,并求满足方程组及条件16354321-=-++x x x x 的全部解.解.将条件方程与原方程组构成矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------56144280287214028721401132511163517409152413113251⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→0000000000287214017409100000000002872140113251 i.条件方程与原方程组兼容,即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解;ii.2)()(==A r A r ,方程组有解.齐次方程组的基础解系含解向量的个数为2)(4=-A r ;iii.齐次方程的基础解系:⎩⎨⎧=-+-=++07214049432421x x x x x x 令27,41,03142=-===x x x x 得令7,90,13142=-===x x x x 得基础解系为:T T)0,7,1,9(,)1,27,0,4(--iv.非齐次方程的通解:⎩⎨⎧=-+--=++2872141749432421x x x x x x 令2,10,02143-====x x x x 得所以全部解为:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-127040719002121k k 2.设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++=++kmx x x x x x x x x 3213213214132303,问m,k 为何值时,方程组有惟一解?有无穷多组解?有无穷多组解时,求出一般解.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110010700131170107001314113230131k m k m k m i.当3)()(,1==-≠A r A r m 时,方程组有惟一解;ii.当)()(,1,1A r A r k m ≠≠-=时,方程组无解;iii.当32)()(,1,1<===-=A r A r k m 时,方程组有无穷多解.此时基础解系含解向量个数为1)(3=-A r 齐次方程组:⎩⎨⎧==++07032321x x x x ,所以02=x .令1,113-==x x 得.基础解系解向量为:T)1,0,1(-.非齐次方程组:⎩⎨⎧==++17032321x x x x ,所以712=x .令73,013-==x x 得.非齐次方程特解为:T)0,71,73(-.通解为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10107173k x 3.问λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 有解,并求出解的一般形式.。

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设A为3阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=（）A. -4B. -8C. 4D. 82. 设向量α=(1,2,3)，β=(4,5,6)，则向量α与β的点积为（）A. 32B. 14C. 22D. 43. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}\]，则矩阵A的秩为（）A. 1B. 2C. 3D. 04. 设A为3阶方阵，且A的行列式为0，则A（）A. 可逆B. 不可逆C. 有逆矩阵D. 没有逆矩阵5. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\1 & 2\end{bmatrix}\]，则AB-BA=（）A. \[\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{bmatrix}\]B. \[\begin{bmatrix}-2 & 0\\-2 & 0\end{bmatrix}\]C. \[\begin{bmatrix}2 & 0\\2 & 0\end{bmatrix}\]D. \[\begin{bmatrix}0 & 2\\2 & 0\end{bmatrix}\]二、填空题（每题5分，共20分）6. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，B=\[\begin{bmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{bmatrix}\]，则AB=（）。

7. 设向量α=(1,2,3)，β=(2,3,4)，则向量α与β的叉积为（）。

(完整版)线性代数习题集(带答案)

(完整版)线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).（A) 24315 （B) 14325 (C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). （A ）k (B)k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.（A ） 0 (B ）2-n （C) )!2(-n (D ） )!1(-n4．=0001001001001000( )。

（A) 0 (B ）1- (C) 1 （D) 25。

=0001100000100100( ).（A) 0 (B)1- (C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（ ).(A) 0 （B)1- (C) 1 （D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ）. （A) 4 （B ） 4- （C ） 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a （ )。

（A ）ka （B)ka - （C ）a k 2 (D ）a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ )。

(A) 0 （B)3- (C) 3 (D) 210。

若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。

(A ）1- （B)2- （C)3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).（A)1- （B)2- （C)3- (D ）012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. （ )（A ）1- (B ）2- （C)3- (D)0二、填空题1。

线性代数练习题及答案10套

线性代数练习题及答案10套

1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行或列的最大数目D. 矩阵的对角线元素的个数3. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程个数等于未知数个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩4. 向量空间的基具有什么性质？A. 基向量的数量必须为1B. 基向量必须是正交的C. 基向量必须是线性无关的D. 基向量必须是单位向量5. 特征值和特征向量的定义是什么？A. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量B. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^Tv=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量C. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^-1v=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量D. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=v，则λ是A的特征值，v是A的特征向量6. 线性变换的矩阵表示是什么？A. 线性变换的逆矩阵B. 线性变换的转置矩阵C. 线性变换的雅可比矩阵D. 线性变换的对角矩阵7. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量B. 矩阵C. 行列式D. 微积分8. 什么是线性方程组的齐次解？A. 方程组的所有解B. 方程组的特解C. 方程组的零解D. 方程组的非平凡解9. 矩阵的迹是什么？A. 矩阵的对角线元素的和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆10. 什么是正交矩阵？A. 矩阵的转置等于其逆矩阵B. 矩阵的所有行向量都是单位向量C. 矩阵的所有列向量都是单位向量D. 矩阵的所有行向量都是正交的答案：1-5 C C C C A；6-10 D D C A A二、简答题（每题10分，共20分）11. 请简述线性代数中的向量空间（Vector Space）的定义。

线性代数试题(完整试题与详细答案)

线性代数试题(完整试题与详细答案)

线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数习题及解答完整版

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线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

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《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题 （1） 二阶行列式2a ab bb=___________。

（2） 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。

（3） 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。

（4） 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。

（5） 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。

答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2a b -；4.3333x y z xyz ++-；5.4abc 。

【2】选择题（1）若行列式12513225x-=0，则x=（）。

A -3；B -2；C 2；D 3。

（2）若行列式1111011x x x=，则x=（）。

A -1， B 0， C 1， D 2，（3）三阶行列式231503201298523-=（）。

A -70；B -63；C 70；D 82。

（4）行列式00000000a ba b b a ba=()。

A 44a b -；B ()222a b-；C 44b a -；D 44a b 。

（5）n 阶行列式0100002000100n n -=（）。

A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()11!n n +-•。

答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。

【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。

【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。

答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。

（2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。

（3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。

【5】计算下列的逆序数： （1）135（2n-1）246（2n ）；（2）246（2n ）135（2n-1）。

答案：（1）12n （n-1）；（2）12n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：（1）152332445166a a a a a a ；（2）215316426534a a a a a a ；（3）615243342516a a a a a a 答案：（1）正号；（2）负号。

【7】根据定义计算下列各行列式：（1）0000100020003000400050000；(2)11142223323341440000000a a a a a a a a ；（3）0001020100000n n -；（4）0001002100000000n n-答案：（1）5！=120；（2）()()114414412233233211223344112332441422334114223341a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --=--+；（3）(1)2(1)!n n n --•；（4）(1)(2)2(1)!n n n ---。

【8】计算下列行列式：（1）1312153404115136----；（2）3111131111311113；（3）1111123414916182764；（4）222233331111a b c d a b c d a b c d 。

答案：（1）-136；（2）48；（3）12；（4）（b-a ）（c-a ）（d-a ）（c-b ）（d-b ）（d-c ） 【9】计算下列n 阶行列式：（1）10001110000110000011；（2）111112221233123n；（3）123n -103n-1-20n -1-2-3n ；（4）3222232222322223； （5）1232341112121n n n n n n ---。

答案：（1）1+12(1)n n n +⎧-=⎨⎩为奇数为偶数；（2）1；（3）n ！（4）2n+1；（5）n n-1n-1n+1n 2⋅（）2（-1）。

【10】计算下列行列式：（1）11121212223132312nnn n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ------------；（2）0000000000000000a b a ba ab b a（n 阶）；（3）2(1)0000000000000a a h a h a n h a nhaa a a a aa+++-+---；（4）11223000000000000011111n n a a a a a a a ----。

答案：（1）n=2时，行列式等于b b 2121（-)(a -a )；n ≥3，行列式为0； （2）1(1)n n b ++-na ；（3）1(1)(2)2nn a nh a ++；（4）1(1)(1)nni i n a =-+∏【11】计算n+1阶行列式：1201111001001na a a （i a ≠0；i=1，2，n ）答案：1211nni ia a a a =-∑(0;1,2,,)a i n ≠=.【12】解下列线性方程组：（1）12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩；（2）1234512345123451234512345464504650446064404640x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎪++++=⎨⎪++++=⎪⎪++++=⎩。

答案：（1）12341,2,3,1x x x x ====-； (2)123450x x x x x =====.【13】计算n 阶行列式123a x a a a aa x a a D a a a x a aaaa++=+ 于是12111111n n n D ax x x x x a -⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭【14】证明()2cos 100012cos 100012cos 00sin 1sin 0002cos 1012cos n n D θθθθθθθ+==由归纳假设，得()sin 1sin n n D θθ+⎡⎤⎣⎦=【15】计算五阶行列式1234512345123451234512345x a a a a a x a a a D a a x a a a a a x a a a a a x = 可以得到()123123123111231n nnnin i i i i i i nx a a a a x a a a a a x a x a x a a a a x ==⎛⎫=+•- ⎪-⎝⎭∑∏ 【16】证明123121111111111111111111nn n i i na a D a a a a a a =++⎛⎫=+=•+ ⎪⎝⎭+∑ 证明：略【17】.证明'''111213111213212223212223313233313233111213111213'''212223212313233()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()a t a t a t a t a t a t da t a t a t a t a t a t dta t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a a t a t a t =++223'''313233()()()()()t a t a t a t a t答案与提示：提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。

【18】.计算n阶行列式：（1）211112122221333211sin sin sin1sin sin sin1sin sin sin1sin sin sinnnnnn n nϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ----；（2）121111222212cos cos cos1 cos cos cos1cos cos cos1 n nn nn nn n nϕϕϕϕϕϕϕϕϕ------。

答案与提示：（1）(1)211(sin sin)2cos sin22n ni j i ji jj i n j i nϕϕϕϕϕϕ-≤≤≤≤+--=∏∏（2）n n-1(1)211(cos cos)2sin sin22n ni j i ji jj i n j i nϕϕϕϕϕϕ-≤≤≤≤+--=∏∏（）2（-1）【19】.利用拉普拉斯定理计算下列行列式：（2）1231112212322223312312212110001000111000x x xa b ca b x x x ca b x x x cx x x；（3）11111111112222221111!111n n n nn n n nn n n nn n n n n na ab a b ba ab a b ba ab a b b------++++++(0,1,2,,1)ia i n≠=+；（4）a baba b b a bab a ba答案与提示：（2）222213232()()()x x x x x x ---；（3）11()j j i j i n b a a bj ≤≤+-∏（4）22()na b - 【20】.证明下列等式：（1）110001000101n n αβαβαβαβαβαβαβαβ++++-=+-+；（2）cos 100002cos 100cos 012cos 012cos n ααααα=。

答案与提示：（1）提示：将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。

（2）提示：用归纳法证。

【21】3 04 02 2 2 20 -7 0 053 -2 2D =（01403）设行列式，则第四行各元素余子式之和的值为（ ）【22】（96503）五阶行列式1 a a 0 0 0 -1 1-a a 0 00 -1 1-a a 00 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-ad -== .第二章【1】填空题设A 是三阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式A =12，则行列式1*(3)2A A --=___________。

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