考研线性代数习题集(带答案)
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(14年)行列式【】A．(ad－bc)2B．－(ad－bc)2C．a2d2－b2c2D．b2c2－a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于D＝＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数2．(89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有【】A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜B．AB＝BAC．｜AB｜＝｜BA｜D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1正确答案：C 涉及知识点：线性代数3．(94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则【】A．r＞r1．B．r＜r1．C．r＝r1．D．r与r1的关系依C而定．正确答案：C解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)．知识模块：线性代数4．(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则【】A．(A*)*＝｜A｜n-1AB．(A*)*＝｜A｜n+1AC．(A*)*＝｜A｜n-2AD．(A*)*＝｜A｜n+2A正确答案：C解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确．知识模块：线性代数5．(97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则【】A．AB＝BA．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝B．C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝B．D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ＝B．正确答案：D解析：因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA＝E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB＝E．故有PA＝MB，PAM-1＝B，记M-1＝Q，则P、Q可逆，使PAQ＝B．于是知D正确．知识模块：线性代数6．(98年)设n(n≥3)阶矩阵A＝的秩为n－1，则a必为【】A．1B．C．－1D．正确答案：B解析：因为r(A)＝n－1＜n，故必有｜A｜＝0，而因此，或者a＝，或者a＝1．显然，当a＝1时，有r(A)＝1＜n－1,所以，有a＝，而且当a＝时，A 的左上角的n－1阶子式等于，可知此时确有r(A)＝n一1，故选项B正确．知识模块：线性代数7．(01年) 其中A可逆，则B-1等于【】A．A-1P1P2B．P1A-1P2C．P1P2A-1D．P2A-1P1正确答案：C解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B＝AP2P1，故B-1＝P1-1P2-1A-1，而P1-1＝P1，P2-1＝P2，故有B-1＝P1P2A-1．知识模块：线性代数8．(03年)设三阶矩阵A＝，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有【】A．a＝b或a＋2b＝0．B．a＝b或a＋2b≠0．C．a≠b且a＋2b＝0．D．a≠b且a＋2b≠0．正确答案：C 涉及知识点：线性代数9．(04年)设n阶矩阵A与B等价，则必有【】A．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝a．B．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝－a．C．当｜A｜≠0时，｜B｜＝0．D．当｜A｜＝0时，｜B｜＝0．正确答案：D解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有｜B｜＝－｜A｜，｜B｜＝k｜A｜(常数k≠0)，｜B｜＝｜A｜．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有D正确．知识模块：线性代数10．(05年)设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，其中A*为A的伴随矩阵，A*为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为【】A．B．3C．D．正确答案：A解析：由题设条件A*＝AT，即其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，3)，得aij＝Aij(i，j＝1，2，3)，故有再从AT＝A*两端取行列式，得｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜＝｜A｜2，即｜A｜(1－｜A｜)＝0 由此得｜A｜＝1．所以，有知识模块：线性代数11．(06年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】A．C＝p-1AP．B．C＝PAP-1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，只有选项B正确．知识模块：线性代数填空题12．(88年)＝_______．正确答案：－3解析：把行列式的各行都加到第1行，得知识模块：线性代数13．(16年)行列式＝_______．正确答案：λ4＋λ3＋2λ2＋3λ＋4解析：按第1列展开，得行列式为知识模块：线性代数14．(88年)设矩阵A＝，则A-1＝_______．正确答案：解析：利用初等行变换法：故A-1＝A．知识模块：线性代数15．(91年)设A和B为可逆矩阵，X＝为分块矩阵，则X-1＝_______．正确答案：解析：设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设其中X12，X21分别为m阶、n阶方阵，则有XX-1＝Em+n，即由分块矩阵的乘法，得AX21＝Em，AX22＝0，BX11＝0，BX12＝En 因为A、B均为可逆矩阵，所以解得X21＝A-1，X22＝0，X11＝0，X12＝B-1 于是得知识模块：线性代数16．(92年)设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，C ＝，则｜C｜＝_______．正确答案：(－1)mnab解析：从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作，z次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有知识模块：线性代数17．(93年)设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．正确答案：0解析：因为r(A4×4)＝2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A*＝O，从而有r(A*)＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
(完整版)线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分 选择题 （共 28 分）、单项选择题（本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
C. 3D. 46.设两个向量组 α1，α2，⋯， αs 和β 1，β2，⋯， βs 均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数λ 1，λ2，⋯，λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ 1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+⋯+λs （ α s + β s ）=0C. 有不全为 0 的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 使λ1（α 1- β1）+λ2（α2- β2）+⋯+λs （αs - βs ）=0D.有不全为 0的数λ 1，λ 2，⋯，λ s 和不全为 0的数μ 1，μ 2，⋯，μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中（ ）A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， η1，η2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ，a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于（2.设矩阵 A=0 ，则 A - 1 等于（ 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于 41，2）的元素是（A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC ，则必有（ A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（ A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ，则行列式10.设 A 是一个 n （≥3）阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα，则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α，使（λE- A ）α=0，则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1，λ 2，λ 3是A 的 3个互不相同的特征值， α1，α2，α3依次是 A 的属于λ 1，λ2， λ3的特征向量，则 α 1，α 2， α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根， A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ，则必有（ ）222（a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23） +（a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23） +（a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23） =.18. 设向量（ 2， -3， 5）与向量（ -4， 6， a ）线性相关，则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵，其秩为 3，若η1，η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解，则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵， A 的秩为 r （<n ） ，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（A. 秩 （A ）<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵， C 是实可逆矩阵，A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 ）B.|A|必为 1D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则（ ） 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题（共 72 分）2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 ， |A|=2 ， A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- β）=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2个特征值 -1和 4，则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ，已知 α = 1 是它的一个特征向量，则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f （x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）的秩为 4，正惯性指数为 3，则其规范形为 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6分，共 42分）26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110， 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1，3 α2=， α=， α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1， α2，α3 的线性组合；若是， 则求出组合系数。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
(研究生入学考试)线性代数习题册答案3
03 第三章：向量
习题答案3-
总结词
理解向量的加 法
总结词
掌握向量的数 乘
理解向量的模
总结词
总结词
掌握向量的点 乘
习题答案3-
01
总结词
理解向量的减法
总结词
理解向量的模
03
02
总结词
掌握向量的数乘
总结词
掌握向量的点乘
04
习题答案3-
总结词
理解向量的数乘
总结词
理解向量的点乘
总结词
掌握向量的模
总结词
01
$y+z=7$
02
$z+x=8$
03
解得：$x=3, y=2, z=5$
第四章：线性方程组 习题答案4-
第四章：Байду номын сангаас性方程组 习题答案4-
• $\Rightarrow x-y=0$
第四章：线性方程组 习题答案4-
01 02 03
$y-z=5$ $z-x=-5$ 解得：$x=-5, y=-5, z=0$
$Rightarrow begin{bmatrix} x y z end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 0 & 1 & -2 -1 & 2 & 1 end{bmatrix}^{-1} begin{bmatrix} -1 0 2 end{bmatrix}$
第四章：线性方程组 习题答案4-
begin{bmatrix} 1 -1 end{bmatrix}$
第四章：线性方程组 习题答案4-
$Rightarrow begin{bmatrix} x y end{bmatrix} = begin{bmatrix} 5 -3 end{bmatrix}$
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题 （1） 二阶行列式2a ab bb=___________。
（2） 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。
（3） 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。
（4） 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。
（5） 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。
答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2a b -；4.3333x y z xyz ++-；5.4abc 。
【2】选择题（1）若行列式12513225x-=0，则x=（）。
A -3；B -2；C 2；D 3。
（2）若行列式1111011x x x=，则x=（）。
A -1， B 0， C 1， D 2，（3）三阶行列式231503201298523-=（）。
A -70；B -63；C 70；D 82。
（4）行列式00000000a ba b b a ba=()。
A 44a b -；B ()222a b-；C 44b a -；D 44a b 。
（5）n 阶行列式0100002000100n n -=（）。
A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()11!n n +-•。
答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。
【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。
答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。
考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析)
考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。
若A3=O，则( )A．E—A不可逆，E＋A不可逆。
B．E—A不可逆，E+A可逆。
C．E—A可逆，E+A可逆。
D．E—A可逆，E+A不可逆。
正确答案：C解析：利用单位矩阵E，将A3=O变形为E—A3=E和A3+E=E，进一步分解为(E—A)(E＋A＋A2)=E一A3=E，(E＋A)(E—A＋A2)=E+A3=E，则E—A，E+A均可逆。
2．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则( )A．交换A*的第1列与第2列得B*。
B．交换A*的第1行与第2行得B*。
C．交换A*的第1列与第2列得一B*。
D．交换A*的第1行与第2行得一B*。
正确答案：C解析：由题设，存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得E12A=B，由于A可逆，可知B也可逆，故B*=(E12A)*一｜E12A｜(E12A)－1=一｜A｜A－1E12－1=一A*E12－1，即A*E12=－B*，故选C。
3．设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P－1AP=。
若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q－1AQ=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：4．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则( )A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关。
B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关。
D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关。
正确答案：D5．设向量组，α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( ) A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关。
考研线性代数习题及答案(二)
习题二 （A ）1．设矩阵232121a b a c A b c a b c +--⎡⎤=⎢⎥+--+-⎣⎦，且A O =，求a ，b ，c 的值.解: A =0时2302102100a b a c b c a b c +=⎧⎪--=⎪⎨+-=⎪⎪-++=⎩,则3,2,5a b c ==-=2．设201312A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，112215B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦求（1）2A B +，（2）3A B -.解: 20111231022312215431A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 201112537333122159217A B ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．如果矩阵X 满足2X A B X -=-,其中2112A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0220B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦求X .解：2X A B X -=- 22X A B =+ 12X A B =+ 21022211220222---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭4．某石油公司所属的三个炼油厂A 1，A 2，A 3在2003年和2004年所生产的四种油品B 1，B 2，B 3，B 4的数量如下表（单位：104t ）：（1）作矩阵34A ⨯和34B ⨯分别表示2003年、2004年工厂A i 产油品B j 的数量； （2）计算A B +和B A -，分别说明其经济意义；（3）计算1()2A B +，并说明其经济意义.解: 1) 582715472201856525143A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 632513590302078028185B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2) 1215228916260381214553328A B ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭上式表明:123,,A A A 三个在2003年,2004年生产1234,,,B B B B 四种油品的总产量.52211802215342B A --⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭上式表明：123,,A A A 三厂在2004年生产的1234,,,B B B B 四种与2003年相比的增加量.3) 12192614221()813019621455316422A B ⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上式表明123,,A A A 三厂在2003年、2004年生产1234,,,B B B B 四种油品的平均产量.5．计算下列矩阵的乘积：（1）01121043⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （2）5112207432-⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦； （3）（-1，3，2）304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （4）213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（-1，2）； （5）112120124305--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（6）（1，-1，2）120201013112-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦解：1) 4312⎛⎫=⎪⎝⎭2) 126241114⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 3) =54) 241236-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭5) 1332⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭6) =156．设311212123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111210111B -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求（1）AB 和BA ；（2）AB-BA .解：1) 612610842AB -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 400410222AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2) 212220660AB BA -⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭7．求所有与A 可交换的矩阵： （1）1011A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）11001101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.解：1) 设ab Xcd ⎛⎫=⎪⎝⎭,则 XA =AX 得 a =d b =0 0a X c a ⎛⎫∴=⎪⎝⎭2) 设111222ab c Y a b c a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则 YA AY =得 1220a a b === 12b c a == 1c b =00a b c Y a b a ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭8．设矩阵A 与B 可交换.证明：（1）22()()A B A B A B +-=-；（2）222()2A B A AB B ±=±+.解：1) 2222()()A B A B A AB BA B A B +-=-+-=- 2) 22222()2A B A AB BA B A AB B ±=±±+=±+9．计算（1）31111⎡⎤⎢⎥--⎣⎦； （2）1301n⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）2212301111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； （4）000000na b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （5）311110111001101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （6）1111111111111111n---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦解：1) 0000⎛⎫=⎪⎝⎭ 2) 1301n ⎛⎫=⎪⎝⎭3) 507527622⎛⎫⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭4) 000000n n n a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭5) 13610013600130001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6) 2,1,nE n n A n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为偶数2为奇数10．设2210()f x a x a x a =++，A 是n 阶矩阵，定义2210()f A a A a A a E =++. （1）如果2()1f x x x =-+211312110A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求()f A .（2）如果35)(2+-=x x x f⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3312A 求)(A f .解：1) 2713()823210f A A A E ⎛⎫⎪=-+= ⎪ ⎪-⎝⎭2) 200()5300f A A A E ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭11．设521341A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，320201B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 计算（1）AB T ；（2）B T A ；（3）A T A .解：1) 32521199203411701TAB --⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭2) 21211042341TB A ---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 3) 34222206262TA A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭12．设某港口在一月份出口到三个地区的两种货物的数量以及两种货物的单位价格、重量、体积如下表：（1）利用矩阵乘法计算经该港口出口到三个地区的货物总价值、总重量、总体积各为多少？ （2）利用（1）的结果计算经该港口出口的货物总价值、总重量、总体积为多少？解：1) 0.20.35820655335200010008000.0110.05827633.8120013005000.120.5840770346⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2) 82065533511810827633.81191.884077034611956⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭总价值为1810,总重量为191.8,总体积为195613．设A 为n 阵对称矩阵，k 为常数.试证kA 仍为对称矩阵.证明: 设111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭,则 111212122212()n n T n n nn ka ka ka ka ka ka kA kA ka ka ka ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则kA 为对称矩阵14．（1）证明：对任意的m ×n 矩阵A ，A T A 和AA T 都是对称矩阵.（2）证明；对任意的n 阶矩阵A ，A +A T 为对称矩阵，而A -A T 为反对称矩阵. 解：1) 证明: ()()T T T T T TA A A A A A == ()()T T T T T TAA A A AA == ,T TA A AA ∴都是对称矩阵2) ()(),T T T T T T TA A A A A A A A A A +=+=+=++为对称矩阵 ()()()T T T T T TA A A A A A A A -=-=-=-- 则TA A -为对称矩阵15．设A 、B 是同阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .解：()TTTAB AB B A AB BA AB =⇔=⇔=16．判断下列矩阵是否可逆.若可逆，利用伴随矩阵法求其逆矩阵：（1）5432⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）1326-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； （3）021111312⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； （4）100120123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.解：1) 1123522A --⎛⎫ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭2)不可逆3) 1153444131444131222A -⎛⎫- ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭4) 11001102211033A -⎛⎫⎪⎪⎪=-⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭17．设n 阶矩阵A 可逆，且det A =a ，求1det A -，det *A .解：1AA E -= 111det det AA a-==∴ *det AA A E =⋅∴*11det (det )n n A A a --==18．设A 为n 阶矩阵，A ≠O 且存在正整数k ≥2，使k A O =.求证：E A -可逆，且121()k E A E A A A ---=++++证明: 21()()k E A E A A A--+++2121()k k k E A A A A A A E A E E A --=++++----=-=- 21K E A A A -=+++19．已知n 阶阵A 满足232A A E O --=.求证：A 可逆，并求A -1。
文登考研数学--线性代数--习题集及其答案
第一章 行列式一. 填空题1. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.解. a 12a 21a 33a 44中行标的排列为1234, 逆序为0; 列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“－”, 所以答案为a 12a 21a 33a 44.2. 排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n －1…i 2i 1.解. 排列i 1i 2…i n 可经过1 + 2 + … + (n －1) = n(n －1)/2 次对换后变成排列i n i n －1…i 2i 1. 3. 在五阶行列式中3524415312)23145()15423()1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a .解. 15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“－”. 4. 在函数xx x xxx f 21112)(---=中, x 3的系数是______. 解. x 3的系数只要考察234222x x xx x x+-=--. 所以x 3前的系数为2.5. 设a , b 为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, 010100=---abb a.解. 0)(11010022=+-=--=---b a ab ba abb a. 所以a = b = 0.6. 在n 阶行列式D = |a ij |中, 当i < j 时a ij = 0 (i , j =1, 2, …, n ), 则D = ______.解.nn n n a a a a a a a a 2211212221110=7. 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A , 其中A j (j = 1, 2, 3)是A 的第j 行, 则行列式=-121332A A A A ______.解.=-121332A A A A 6||33233211213=-=-=-A A A A A A A A .二．计算证明题1. 设4322321143113151||-=A计算A 41 + A 42 + A 43 + A 44 = ?, 其中A 4j (j= 1, 2, 3, 4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解. A 41 + A 42 + A 43 + A 44 1111321143113151-=210320206)1(000121013201206114--=-=+ =62103202061=-- 2. 计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解. 111111110021201110||--------=n n n n n A 每行减前一行由最后一行起，)1(2)1(1201201121--=--------n n n n n n n列每列加第 3. 计算n 阶行列式nx x x nx x x nx x x D n n n n +++++++++=212121222111(n ≥ 2).解. 当2>nn x x x n x x x nx x x D n n n n ++++++=222222111+n x x nx x nx x n n ++++++ 2121212211=nx x x x n x x x x nx x x x n n nn++++++33322221111+nx x x nx x x nx x x n n n++++++ 323232222111+n x x x n x x x nx x x n n n ++++++313131222111+n x x nx x nx x n n ++++++ 3213213212211=－n x x x nx x x n x x x n n n ++++++ 313131222111=－nx x x n x x x nx x x n n n+++ 111222111－nx x nx x n x x n n+++ 3131312211= 0当2=n2122112121x x x x x x -=++++4. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明: ||||)1(||||||,A A A A A A A nTT-=-=-==-=(n 为奇数). 所以|A | = 0.5. 试证: 如果n 次多项式nn x C x C C x f ++=10)(对n + 1个不同的x 值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x 0, x 1, …, x n . 将它们代入多项式, 得关于C i 方程组 00010=++nn x C x C C 01110=++n n x C x C C …………010=++n n n n x C x C C系数行列式为x 0, x 1, …, x n 的范德蒙行列式, 不为0. 所以010====n C C C6. 设).(',62321)(232x F xx x x x xx F 求=解. x x x x x x x F 620321)(232==x x x x x x 3103211222=x x x x x x 310201222=xx x x x 3102101222=32220021012x xx x x x =26)('x x F =第二章 矩阵一. 填空题1. 设α1, α2, α3, α, β均为4维向量, A = [α1, α2, α3, α], B = [α1, α2, α3, β], 且|A | = 2, |B | = 3, 则|A －3B | = ______. 解. βαααα3222|3|321----=-B A =βαααα38321-⨯-=αααα321(8⨯-56|)|3|(|8)3321=--=-B A βααα2. 若对任意n ×1矩阵X , 均有AX = 0, 则A = ______.解. 假设[]m A αα 1=, αi 是A 的列向量. 对于j = 1, 2, …, m , 令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010 j X , 第j 个元素不为0. 所以[]m αα 10010==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j α (j = 1, 2, …, m ). 所以A = 0.3. 设A 为m 阶方阵, 存在非零的m ×n 矩阵B , 使AB = 0的充分必要条件是______.解. 由AB = 0, 而且B 为非零矩阵, 所以存在B 的某个列向量b j 为非零列向量, 满足Ab j = 0. 即方程组AX = 0有非零解. 所以|A | = 0;反之: 若|A | = 0, 则AX = 0有非零解. 则存在非零矩阵B , 满足AB = 0. 所以, AB = 0的充分必要条件是|A | = 0.4. 设A 为n 阶矩阵, 存在两个不相等的n 阶矩阵B , C , 使AB = AC 的充分条件是______. 解. 0||0)(=⇔-=-⇔=≠A C B C B A AC AB C B 非零且且5. []42121b b b a a a n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ = ______.解. []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a212221212111421216. 设矩阵12,23,3211-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B E A A B A 则= ______. 解. =2A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841E A A B 232+-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841－⎥⎦⎤⎢⎣⎡-9633 + ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0212 21||*1==-B B B⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2210=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--11210 7. 设n 阶矩阵A 满足12,032-=++A E A A 则= ______.解. 由,0322=++E A A 得E E A A 3)2(-=+. 所以0|3||2|||≠-=+E E A A , 于是A 可逆. 由,0322=++E A A 得)2(31,03211E A A A E A +-==++--8. 设)9()3(,10002010121E A E A A -+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-则=______.解. =2A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100040201=-E A 92⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208, =+E A 3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400050104 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001400050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4100010001100050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000104101100050004 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000510161041100010001 , ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+-4100510161041)3(1E A)9()3(21E A E A -+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-4100051161041⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200010102 9. 设.______])2[(______,)(_______,,3342122111*1*1=-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=---A A A A 则解. |A| = －3－12 + 8 + 8 + 6－6 = 1→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100010001334212211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----104012001570230211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------104031320015703210211 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----137320313203131310032103401→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----137322524933100010001 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------372252493100010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-3722524931A====---||)(,||,||1*1**1A AA A A A A A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3342122111131*4)2(||)2()2(|2|)2(---=--=--=-A A A A A A414)4(])2[(111*===----A A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----33421221110. 设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3111522100110012A , 则A 的逆矩阵1-A = ______.解. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211111121, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-215331521使用分块求逆公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111100B CAB A BC A －⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11212153⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1173019 所以 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-21117533019002100111A二. 单项选择题1. 设A 、B 为同阶可逆矩阵, 则(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P , 使B AP P =-1 (C) 存在可逆矩阵C , 使B AC C T= (D) 存在可逆矩阵P 和Q , 使B PAQ = 解. 因为A 可逆, 存在可逆E AQ P Q P A A A A =使,. 因为B 可逆, 存在可逆E BQ P Q P B B B B =使,.所以 A A AQ P = B B BQ P . 于是B Q AQ P P B A A B =--11令 A B P P P 1-=, 1-=B A Q Q Q . (D)是答案.2. 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1002B A T等于 (A) 12||||)2(--B A n(B) 1||||)2(--B A n (C) ||||2B A T - (D) 1||||2--B A解. 121||||)2(002---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-B A B A n T. (A)是答案. 3. 设A 、B 都是n 阶方阵, 下面结论正确的是(A) 若A 、B 均可逆, 则A + B 可逆. (B) 若A 、B 均可逆, 则AB 可逆. (C) 若A + B 可逆, 则A －B 可逆. (D) 若A + B 可逆, 则A , B 均可逆. 解. 若A 、B 均可逆, 则111)(---=A B AB . (B)是答案.4. 设n 维向量)21,0,,0,21( =α, 矩阵ααTE A -=, ααTE B 2+=其中E 为n 阶单位矩阵, 则AB =(A) 0 (B) －E (C) E (D) ααTE +解. AB =)(ααTE -)2(ααT E +=ααT E - + 2ααT －2ααT ααT= E . )21(=ααT(C)是答案.5. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=233322322131131211232221a a a a a a a a a a a a B , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P , 设有P 2P 1A = B , 则P 2 =(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001 (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001 (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010101 (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010101 解. P 1A 表示互换A 的第一、二行. B 表示A 先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行. 所以P 2 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001.(B)是答案. 6. 设A 为n 阶可逆矩阵, 则(－A )*等于(A) －A * (B) A * (C) (－1)n A * (D) (－1)n －1A * 解. (－A )* =*111)1()1(1||)1()(||A A A A A n n ----=--=--. (D)是答案. 7. 设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥ 2), A *是A 的伴随矩阵, 则 (A) A A A n 1**||)(-= (B) A A A n 1**||)(+= (C) A A A n 2**||)(-= (D) A A A n 2**||)(+=解. 1*||-=A A AA A A A A A A A A A A A A n n 211111*1**||||||||)|(|||||)|(|)(-------====(C)是答案.8. 设A 为m ×n 矩阵, C 是n 阶可逆矩阵, 矩阵A 的秩为r 1, 矩阵B = AC 的秩为r , 则 (A) r > r 1 (B) r < r 1 (C) r = r 1 (D) r 与r 1的关系依C 而定 解. n C r C A B n n n m ==⨯⨯)(,, 所以1)()()(r n C r A r AC r r =-+≥= 又因为 1-=BC A , 于是r n C r B r BC r r =-+≥=--)()()(111 所以 r r =1. (C)是答案.9. 设A 、B 都是n 阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A 和B 的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n , 一个等于n (D) 都等于n解. 若0,0.,)(1===-B AB A n A r 得由存在则, 矛盾. 所以 n A r <)(. 同理n B r <)(. (B)是答案.三. 计算证明题1. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143522011B . 求: i. AB －BA ii. A 2－B 2 iii. B T A T 解. =-BA AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1618931717641, =-22B A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1326391515649=T T A B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2211531517652. 求下列矩阵的逆矩阵i. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------111111*********1 ii. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000cos sin 0sin cos αααα iii. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000 iv .⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1100210000120025解. i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------10000100001000011111111111111111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------10010101001100010220202022001111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1001001102102100010220220010101111 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------110000110210210*********2200110011→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11000021210210210210212200110010100101→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1111002121021021021210400110010101001→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----41414141002121021021021210100110010101001⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------414141414141414141414141414141411000010000100001 , ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-414141414141414141414141414141411A ii. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos 1. 由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---111000B A B A 得到: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100cos sin 0sin cos 1ααααA iii. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-011001101. 由矩阵分块求逆公式: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---0000111A B B A 所以 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00010010010010001Aiv . 由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1110000B A B A得到: ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-313100323100005200211A 3. 已知三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα. 其中T)2,2,1(1=α, T )1,2,2(2-=α, T )2,1,2(3--=α. 试求矩阵A .解. 由本题的条件知: =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---212122221A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---622342641 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100010001212122221 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----102012001630360221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----0313231032001120210221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3231323103232031300210201→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----9291923103232031100210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---929192919292929291100010001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=232323235032037929192919292929291622342641A 4. k 取什么值时, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11100001k A 可逆, 并求其逆. 解. 011100001||≠=-=k kA→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10011101000001001 k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101110010010001001 k→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111100010010001001k k 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1110100011kkA 5. 设A 是n 阶方阵, 且有自然数m , 使(E + A )m = 0, 则A 可逆. 解. 因为 0)(1=+==+∑∑==mi i im mi iimmA c E A cA E 所以 ∑=-=-mi i imE A cA 11)(. 所以A 可逆.6. 设B 为可逆矩阵, A 是与B 同阶方阵, 且满足A 2 + AB + B 2 = 0, 证明A 和A + B 都是可逆矩阵. 解. 因为022=++B AB A , 所以2)(B B A A -=+. 因为B 可逆, 所以0||)1(||22≠-=-B B n所以 0|||)(|2≠-=+B B A A . 所以B A A +,都可逆. 7. 若A , B 都是n 阶方阵, 且E + AB 可逆, 则E + BA 也可逆, 且 A AB E B E BA E 11)()(--+-=+解. A AB E B BA E BA E A AB E B E BA E 11)()())()((--++-+=+-+ =A AB E AB E B BA E A AB E BAB B BA E 11))(())((--++-+=++-+ =E BA BA E =-+ 所以 A AB E B E BA E 11)()(--+-=+.8. 设A , B 都是n 阶方阵, 已知|B | ≠ 0, A －E 可逆, 且(A －E )－1 = (B －E )T , 求证A 可逆.解. 因为(A －E )－1 = (B －E )T , 所以(A －E )(B －E )T = E所以 E E B E B A TT=+--)(, TT B E B A =-)(由 |B | ≠ 0 知11)(--T B B ，存在. 所以 E B E B A TT=--1))((. 所以A 可逆.9. 设A , B , A + B 为n 阶正交矩阵, 试证: (A + B )－1 = A －1 + B －1.解. 因为A , B , A + B 为正交矩阵, 所以111,,)()(---==+=+B B A A B A B A TTT所以 111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T10. 设A , B 都是n 阶方阵, 试证明:||E AB BEE A -=. 解. 因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡AB E BE B E E A E A E E E 0000所以ABE B E B E E A E A E EE -=-0000||)1(01)1(2E AB AB E B E B EE A n n --=-=⋅⋅-因为 n n )1()1(2-=-, 所以||E AB BEE A -=11. 设A 为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E 为四阶单位矩阵)0,0(00000000000000>>⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k l k Bi. 试计算|E +AB |, 并指出A 中元素满足什么条件时, E + AB 可逆;ii. 当E + AB 可逆时, 试证明(E + AB )－1A 为对称矩阵.解. i. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44342414342313242312141312000a a a a a a a a a a a a a A , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k a a a a a a a a a a a a a AB 0000000000000000044342414342313242312141312⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000343424231413ka la la ka la ka AB E +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001001001343424231413ka la la ka la ka , 2341||kla AB E -=+ 所以当 2341a kl≠时, E + AB 可逆. ii. 11111)()]([)(-----+=+=+B A AB E A A AB E因为A , B 为实对称矩阵, 所以B A +-1为实对称矩阵, 所以(E + AB )－1A 为对称矩阵.12. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ100100A , 求A n . 解. 使用数学归纳法.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222221020010100100100λλλλλλλλλλλA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλλλ1001002102002223A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+323233)21(0300λλλλλλ 假设 k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k k k k k λλλλλλ121)11(000则 1+k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k k k k k λλλλλλ121)11(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ100100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++-++1111)1()1(0)1(00k kk k kk k k k λλλλλλ 所以 n A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---n n n n n nn n n λλλλλλ121)11(000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----n n n n n nn n n n λλλλλλ1212)1(00013. A 是n 阶方阵, 满足A m = E , 其中m 是正整数, E 为n 阶单位矩阵. 今将A 中n 2个元素a ij 用其代数余子式A ij 代替,得到的矩阵记为A 0. 证明E A m=0.解. 因为A m = E , 所以1||=mA , 所以A 可逆.11*0)(||]|[|)(--===T T T A A A A A A所以 E E A A A A A A m T m m m T m ====---1110||])[(||])(|[|14. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010101001A i. 证明: n ≥ 3时, E A A A n n-+=-22(E 为三阶单位矩阵)ii. 求A 100.解. i. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*******A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110013A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011102001+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+010*******E A A -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0111020013A = 所以 E A A A -+=-2233 假设 E A A A k k -+=-22则 =-+=-+A A A A k k 311A E A A A k --++-21=E A A k -+-+221）（所以 E A A A n n -+=-22 ii. =-+=E A A A 298100E A E A A4950222296-==-+-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=50050050500050⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡490004900049⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10500150001 15. 当⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A 时, A 6 = E . 求A 11. 解. 121232321||=-=A , 所以 ==-||*1A AA ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321因为 1112116--===EA A A A E A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2123232116. 已知A , B 是n 阶方阵, 且满足A 2 = A , B 2 = B , 与(A －B )2 = A + B , 试证: AB = BA = 0. 解. 因为(A －B )2 = A + B , 所以 ))(())(()(3B A B A B A B A B A -+=+-=- 于是 2222B AB BA A B AB BA A --+=-+-, 所以 BA AB =B A B BA AB A B A B A +=+--+=-222,)(因为 A 2 = A , B 2 = B , 所以 2AB = 0, 所以0==BA AB .第三章 向量一. 填空题1. 设)1,2,0,1(),,1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2(4321-=-=--=-=ααααk , 则k = ______时, α1, α2, α3, α4线性相关. 解. 考察行列式110213118110521300001118215213000211142kkk-----=-----=-----316102038++-+--=k k = 13k +5 = 0. 135-=k 2. 设)0,,3,1(),4,3,5,0(),2,0,2,1(),0,3,1,2(4321t -=-=-=-=αααα, 则t = ______时, α1, α2, α3, α4线性相关. 解. 考察行列式424335550424333555100004230335211012---=----=----t t t t 0603020306020=--+++-=t t . 所以对任何t , α1, α2, α3, α4线性相关.3. 当k = ______时, 向量β = (1, k , 5)能由向量),1,1,2(),2,3,2(21-=-=αα 线性表示. 解. 考察行列式,012513211=--k 得k =－8. 当k =－8时, 三个向量的行列式为0, 于是21,,ααβ线性相关. 显然21,αα线性无关,所以β可用21,αα线性表示.4. 已知)1,4,0,1,1(),3,1,3,0,2(),10,5,1,2,0(),1,2,2,1,1(4321-=-=-==αααα, 则秩(α1, α2, α3, α4) = ______. 解. 将α1, α2, α3, α4表示成矩阵→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---13114152031210211201→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------21102550211002201201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------211052110211001101201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→2052000200001101201. 所以 r (α1, α2, α3, α4) = 3 5. 设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A , 则秩(A) = ______.解. →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3224211631711614040921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------3408012550755110140800921 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→3510151011751015100921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→4100040300045000815100921所以 r (A ) = 3.6. 已知),2,0,1,0(,)2,1,0,1(=-=βαT矩阵A = α·β, 则秩(A ) = ______.解. A = α·β = ()→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-402020100000201020102101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0020000000002010所以 r (A ) = 1.7. 已知向量),6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321t ====αααα, 且秩(α1, α2, α3, α4) = 2, 则t = ______.解. A = (α1, α2, α3, α4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 654654354324321 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=16630642032104321t ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=7000000032104321t所以当t = 7时, r (A ) = 2.二. 单项选择题1. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 则下列向量组线性相关的是 (A) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 (B) α1, α1 + α2, α1+ α2 + α3 (C) α1－α2, α2－α3, α3－α1 (D) α1 + α2, 2α2 + α3, 3α3 + α1解. 由 0)()()(133322211=-+-+-ααααααk k k 得 0)()()(323212131=-+-+-αααk k k k k k因为向量组α1, α2, α3线性无关, 所以得关于321,,k k k 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131k k k k k k321,,k k k 的系数行列式为 01111011101=-=---. 所以321,,k k k 有非零解, 所以α1－α2, α2－α3, α3－α1线性相关. (C)是答案.2. 设矩阵A m ×n 的秩为R (A ) = m < n , E m 为m 阶单位矩阵, 下列结论正确的是 (A) A 的任意m 个列向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零(C) 若矩阵B 满足BA = 0, 则B = 0 (D) A 通过行初等变换, 必可以化为(E m , 0)的形式解. (A), (B)都错在“任意”; (D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A 变成(E m , 0)的形式; (C)是正确答案. 理由如下:因为 BA = 0, 所以 0)()()()()(B r m m B r m A r B r BA r =-+=-+≥=. 所以)(B r = 0. 于是B = 0.3. 设向量组 (I): TT T a a a a a a a a a ),,(,),,(,),,(332313332221223121111===ααα;设向量组 (II):T T T a a a a a a a a a a a a ),,,(,),,,(,),,,(433323133423222122413121111===βββ, 则(A) (I)相关⇒(II)相关 (B) (I)无关⇒(II)无关 (C) (II)无关⇒(I)无关 (B) (I)无关⇔ (II)无关解. 由定理: 若原向量组线性无关, 则由原向量组加长后的向量组也线性无关. 所以(B)是答案. 4. 设β, α1, α2线性相关, β, α2, α3线性无关, 则(A) α1, α2, α3线性相关 (B) α1, α2, α3线性无关 (C) α1可用β, α2, α3线性表示 (D) β可用α1, α2 线性表示解. 因为β, α1, α2线性相关, 所以β, α1, α2, α3线性相关. 又因为β, α2, α3线性无关, 所以α1可用β, α2, α3线性表示. (C)是答案.5. 设A , B 是n 阶方阵, 且秩(A ) = 秩(B ), 则(A) 秩(A －B ) = 0 (B) 秩(A + B ) = 2秩(A) (C) 秩(A －B ) = 2秩(A) (D) 秩(A + B ) ≤秩(A ) + 秩(B )解. (A) 取B A ≠且|A | ≠ 0, |B | ≠ 0则A －B ≠ 0, 则r (A －B ) ≠ 0. 排除(A);(B) 取A =－B ≠ 0, 则秩(A + B ) ≠ 2秩(A); (C) 取A = B ≠ 0, 则秩(A －B ) ≠ 2秩(A). 有如下定理: 秩(A + B ) ≤秩(A ) + 秩(B ). 所以(D)是答案.三. 计算证明题1. 设有三维向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111k α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2113α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21k k β问k 取何值时i. β可由α1, α2, α3线性表示, 且表达式唯一; ii. β可由α1, α2, α3线性表示, 但表达式不唯一; iii. β不能由α1, α2, α3线性表示.解. )1(22221111112-=-=k k k k kki. 10≠≠k k 且时, α1, α2, α3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以β可由α1, α2, α3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一; ii. 当k = 1 时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121111111111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010********* . 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所以β可由α1, α2, α3线性表示, 但表示不惟一; iii. 当0=k 时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→011011100101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→100011100101 .系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以β不能由α1, α2, α3线性表示.2. 设向量组α1, α2, α3线性相关, 向量组α2, α3, α4线性无关, 问 i. α1能否由α2, α3线性表出? 证明你的结论; ii. α4能否由α1, α2, α3线性表出? 证明你的结论解. i. α1不一定能由α2, α3线性表出. 反例: T)1,1(1=α, T )0,1(2=α, T )0,2(3=α. 向量组α1, α2, α3线性相关, 但α1不能由α2, α3线性表出;ii. α4不一定能由α1, α2, α3线性表出. 反例: T )0,0,2(1=α, T )0,0,1(2=α, T )0,1,0(3=α, T)1,0,0(4=α. α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, α4不能由α1, α2, α3线性表出.3. 已知m 个向量α1, α2, …αm 线性相关, 但其中任意m －1个都线性无关, 证明: i. 如果存在等式k 1α1 + k 2α2 + … + k m αm = 0则这些系数k 1, k 2, …k m 或者全为零, 或者全不为零; ii. 如果存在两个等式k 1α1 + k 2α2 + … + k m αm = 0 l 1α1 + l 2α2 + … + l m αm = 0 其中l 1 ≠ 0, 则mm l k l k l k === 2211. 解. i. 假设k 1α1 + k 2α2 + … + k m αm = 0, 如果某个k i = 0. 则k 1α1 +…+ k i －1αi －1 + k i+1αi+1 … + k m αm = 0因为任意m －1个都线性无关, 所以k 1, k 2, …k i －1, k i+1, …, k m 都等于0, 即这些系数k 1, k 2, …k m 或者全为零, 或者全不为零;ii. 因为l 1 ≠ 0, 所以l 1, l 2, …l m 全不为零. 所以 m m l l l l ααα12121---= .代入第一式得: 0)(2212121=+++---m m m m k k l l l l k αααα 即 0)()(1122112=+-+++-m m m k k l l k k l l αα 所以 02112=+-k k l l , …, 011=+-m m k k l l 即mm l k l k l k === 2211 4. 设向量组α1, α2, α3线性无关, 问常数a , b , c 满足什么条件a α1－α2, b α2－α3, c α3－α1线性相关. 解. 假设 0)()()(133322211=-+-+-ααααααc k b k a k 得 0)()()(323212131=-+-+-αααk c k k b k k a k因为 α1, α2, α3线性无关, 得方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131ck k bk k k ak当行列式 010110=---cb a时, 321,k k k 有非零解. 所以 1=abc 时, a α1－α2, b α2－α3, c α3－α1线性相关.5. 设A 是n 阶矩阵, 若存在正整数k , 使线性方程组A k x = 0有解向量α, 且A k －1α ≠ 0, 证明: 向量组α, A α, ⋯, A k －1α是线性无关的.解. 假设 01110=+++--αααk k A a A a a . 二边乘以1-k A 得 010=-αk A a , 00=a由 0111=++--ααk k A a A a . 二边乘以1-k A 得011=-αk A a , 01=a ………………………………最后可得 011=--αk k A a , 01=-k a所以向量组α, A α, ⋯, A k －1α是线性无关.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. )3,2,1,2(),7,4,3,1(),6,5,1,4(),3,1,2,1(4321=----=---==αααα.ii. ).10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα解. 解. i. →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------3763245113122141→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------34180039031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---3200320031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→000032003192141所以 321,,ααα是极大线性无关组. 由 3322114ααααk k k ++= 得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-+323924332321k k k k k k 解得 2331-==k k , 212=k所以 3214232123αααα-+-= ii. →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1001424527121203121301→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220101103133021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220313301011021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→04000010001011021301所以 421,,ααα是极大线性无关组. 由 4322115ααααk k k ++= 得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401233231k k k k k 解得 21=k , 12=k , 03=k所以 421502αααα++= 由 4322113ααααk k k ++= 得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401333231k k k k k 解得 31=k , 12=k , 03=k所以 421303αααα++=7. 已知三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x yyy x y y y x A , 讨论秩(A)的情形. 解. i. 0==y x , 0)(=A rii. 0,00,0=≠≠=y x y x 或, 3)(=A r iii. 0≠=y x , 1)(=A r iv . 0≠-=y x , 3)(=A r iv . y x y x ±≠≠≠,0,0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x y y y x yy y xA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→2222x xyxy xy x xy y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→2222222200y x y xy y xy y x y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→y x yy y x y y x00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→)2(00y x x yy x yy x 所以, 当 y x 2-=时, 2)(=A r ; 当y x 2-≠时, 3)(=A r 8. 设三阶矩阵A 满足A 2 = E(E 为单位矩阵), 但A ≠ ± E , 试证明:(秩(A －E )－1)(秩(A + E )－1) = 0 解. 由第十一题知3)()(=-++E A r E A r又因为 A ≠ ± E , 所以 0)(≠+E A r , 0)(≠-E A r 所以 )(E A r +, )(E A r -中有一个为1所以 (秩(A －E )－1)(秩(A + E )－1) = 09. 设A 为n 阶方阵, 且A 2 = A , 证明: 若A 的秩为r , 则A －E 的秩为n －r , 其中E 是n 阶单位矩阵. 解. 因为 A 2 = A , 所以 0)(=-E A A 所以 n E A r A r E A A r --+≥-=)()())((0 所以 n E A r A r ≤-+)()(又因为 n E r A E A r A E r A r E A r A r ==-+≥-+=-+)()()()()()( 所以 n E A r A r =-+)()(. 所以 r n E A r -=-)(10. 设A 为n 阶方阵, 证明: 如果A 2 = E , 则秩(A + E ) + 秩(A －E ) = n.解. 因为 A 2 = E , 所以 ))((0E A E A +-=所以 n E A r E A r E A E A r --++≥-+=)()()))(((0 所以 n E A r E A r ≤-++)()(又因为 n E r A E E A r A E r E A r E A r E A r ==-++≥-++=-++)2()()()()()( 所以 n E A r E A r =-++)()(.第四章 线性方程组一. 填空题1. 在齐次线性方程组A m ×n x = 0中, 若秩(A) = k 且η1, η2, …, ηr 是它的一个基础解系, 则r = _____; 当k = ______时, 此方程组只有零解.解. k n r -=, 当n k =时, 方程组只有零解.2. 若n 元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r , 则当______时, 方程组有唯一解; 当______时, 方程组有无穷多解.解. 假设该方程组为A m ×n x = b, 矩阵的秩r A r =)(.当n r =, 方程组有惟一解; 当n r <, 方程组有无穷多解.3. 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++0302032321321x kx x x x x kx x 只有零解, 则k 应满足的条件是______.解. 03011211≠k k , 53,0623≠≠--+k k k k 时, 方程组只有零解.4. 设A 为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A *x = 0(A *是A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.解. 因为矩阵A 的秩31412)(=-=-<=n A r , 所以0)(*=A r , A *x = 0的基础解系所含解向量的个数为4－0 = 4.5. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=112011121A , 则A x = 0的通解为______. 解. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=000110101110110121112011121A 2)(=A r , 基础解系所含解向量个数为3－2=1.⎩⎨⎧=-=-003231x x x x , 取1,1123===x x x 则. 基础解系为(1, 1, 1)T .A x = 0的通解为k (1, 1, 1)T , k 为任意常数.6. 设α1, α2, …αs 是非齐次线性方程组A x = b 的解, 若C 1α1 + C 2α2 + … + C s αs 也是A x = b 的一个解, 则C 1 + C 2 + … + C s = ______.解. 因为A b A i 且,=α(C 1α1 + C 2α2 + … + C s αs ) = b, 所以b b C C s =++)(1 , 11=++s C C . 7. 方程组A x = 0以TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.解. 方程组A x = 0的基础解系为TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη, 所以2)(=-A r n , 即2)(3=-A r , )(A r = 1.所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A , 假设),,(1312111a a a =α. 由 01=ηA , 得02201),,(1311131211=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a a a a 由 02=ηA , 得0110),,(1312131211=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a a a 取 2,1,0111213-===a a a 得. 所以)1,1,2(1-=α, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A (其中2,1k k 为任意常数). 8. 设A x = b, 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A , 则使方程组有解的所有b 是______. 解. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A , 0511221321||≠=-=A , 所以)(A r = 3.因为 A x = b 有解, 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-b r r 112210321112210321 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123112201321k k k b , 其中321,,k k k 为任意常数.9. 设A, B 为三阶方阵, 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110121211A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11202314k B , 且已知存在三阶方阵X , 使得B AX =, 则k = ___________.解. 由题设 B X A =⨯⨯3333, 又因为0110121211||=-=A , 所以0||||||==X A B , 即0266411202314=+--=--k k k, 2-=k .二. 单项选择题1. 要使ξ1 = (1, 0, 1)T , ξ2 = (－2, 0, 1)T 都是线性方程组0=Ax 的解, 只要系数矩阵A 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213321 (B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211121 (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123020010 (D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-020010 解. 因为21,ξξ的对应分量不成比例, 所以21,ξξ线性无关. 所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数大于2.(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112213321A , 3)(,0112213321||=≠=A r A . 因为A 是三阶矩阵, 所以0=Ax 只有零解, 排除(A);(B) 2)(,211121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A r A . 所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数: 3－1)(=A r . 排除(B);(C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123020010A , 2)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3－1)(=A r . 排除(C); (D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=020010A , 1)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数: 3－2)(=A r , (D)是答案.2. 设0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系, 则该方程组的基础解系还可以表成 (A) 321,,ξξξ的一个等阶向量组 (B) 321,,ξξξ的一个等秩向量组(C) 321211,,ξξξξξξ+++ (C) 133221,,ξξξξξξ--- 解. 由 0)()(321321211=+++++ξξξξξξk k k , 得0)()(332321321=+++++k k k k k k ξξξ. 因为0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系, 所以321,,ξξξ线性无关. 于是⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k , 所以0321===k k k , 则321211,,ξξξξξξ+++线性无关. 它也可以是方程组的基础解系. (C)是答案.(A) 不是答案. 例如321,,ξξξ和21321,,,ξξξξξ+等价, 但21321,,,ξξξξξ+不是基础解系. 3. n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是(A) 任一行向量都是非零向量 (B) 任一列向量都是非零向量(C) b Ax =有解 (D) 当0≠x 时, 0≠Ax , 其中Tn x x x ),,(1 = 解. 对(A), (B): 反例 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121A , 不可逆; 对于(C) 假设A 为n ×n 矩阵, A 为A 的增广矩阵. 当n A r A r <=)()(时, b Ax =有无穷多解, 但A 不可逆; (D) 是答案, 证明如下: 当0≠x 时, 0≠Ax , 说明0=Ax 只有零解. 所以1,0||-≠A A 存在. 4. 设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r , 则0=Ax 有非零解的充分必要条件是 ( A ) n r = ( B ) n r ≥ ( C ) n r < ( D ) n r > 解. ( C )为答案.5. 设n m A ⨯为矩阵, m n B ⨯为矩阵, 则线性方程组0)(=x AB ( A ) 当m n >时仅有零解. ( B ) 当m n >时必有非零解. ( C ) 当n m >时仅有零解. ( D ) 当n m >时必有非零解.解. 因为AB 矩阵为m m ⨯方阵, 所以未知数个数为m 个. 又因为n A r AB r ≤≤)()(, 所以,当n m >时,m n A r AB r <≤≤)()(, 即系数矩阵的秩小于未知数个数, 所以方程组有非零解. ( D )为答案.6. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0*≠A , 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解, 则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系( A ) 不存在 ( B ) 仅含一个非零解向量( C ) 含有二个线性无关解向量 ( D ) 含有三个线性无关解向量解. 因为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,*)(n A r n A r n A r n A r 因为 0*≠A , 所以 1)(-≥n A r ; 又因为4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解, 所以 bAx =。
线性代数考研测试题及答案
线性代数考研测试题及答案线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于科学、工程和经济学等领域。
下面提供一套考研线性代数测试题及答案，供参考。
### 线性代数考研测试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵中线性无关行的最大数目D. 矩阵中线性无关列的最大数目2. 方程组 \( Ax = b \) 有唯一解的充分必要条件是：A. \( A \) 是方阵B. \( A \) 是可逆矩阵C. \( b \) 不为零向量D. \( A \) 的列向量线性无关3. 向量空间 \( V \) 的基具有以下性质：A. 基是唯一的B. 基向量的数量是固定的C. 基向量可以任意选取D. 基向量可以进行线性组合4. 线性变换 \( T \) 的核是指：A. \( T \) 的值域B. \( T \) 的零空间C. \( T \) 的逆映射D. \( T \) 的特征向量5. 特征值和特征向量的概念在以下哪个矩阵中不适用：A. 可逆矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 单位矩阵二、填空题（每题2分，共10分）6. 若矩阵 \( A \) 可逆，则 \( A \) 的伴随矩阵 \( \text{adj}(A) \) 与 \( A \) 的乘积等于______。
7. 向量 \( \mathbf{v} = (1, 2, 3) \) 在基 \( \{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3\} \) 下的坐标表示为 \( (x, y, z) \)，若 \( \mathbf{b}_1 = (1, 0, 1) \)，\( \mathbf{b}_2 = (0, 1, 1) \)，则 \( x + z = ______ \)。
8. 若 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，且 \( A^2 = A \)，则称 \( A \) 为______。
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第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-0100002000010 n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211 ，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001031002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 210001200000210001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
(a)22AA =(b)))((22B A B A B A +-=- (c)AB A A B A -=-2)((d)T T T B A AB =)( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时，B=C 。
(a) AB =BA (b) 0≠A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=kA ( )。
(a) A k (b)A k (c) A k n (d)A k n4.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则( )。
(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合(c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A ，B 为n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。
(a) 111)(---+=+B A B A (b) B A AB T =)((c) B A B A T +=+--11)( (d) 111)(---+=+B A B A 6.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则( )。
(a) (a) 1*-=A A (b) A A =* (c) 1*+=n AA (d) 1*-=n AA7. 设A 为3阶方阵,行列式1=A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列式=--*12)2(A A ( )。
(a) 827-(b) 278- (c) 827 (d) 2788. 设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( )。
(a) B A = (b) B A -= (c) B A = (d) 22B A = 9. 设A ，B 均为n 阶方矩阵,则必有( )。
(a) B A B A +=+ (b) BA AB = (c) BA AB = (d) 22B A = 10.设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。
（a ）T A A 22= (b) 112)2(--=A A(c) 111])[(])[(---=T T T A A (d) T T T T A A ])[(])[(11--=11.如果⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221331332123111333231232221131211333a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ，则=A （ ）。
（a ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-103010001 (b) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010301 (c) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010300 (d) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-130010001 12.已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=113022131A ，则（ ）。