线性代数练习题及答案精编
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 队列式一、单项选择题1． 以下摆列是 5 阶偶摆列的是 ().(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523(D)243512．假如 n 阶摆列 j 1 j 2j n 的逆序数是 k , 则摆列 j n j 2 j 1 的逆序数是 (). (A) k (B) n kn! kn(n 1)k(C)(D)223. n 阶队列式的睁开式中含 a 11a 12 的项共有 ()项 .(A) 0(B) n 2(C) (n2)!(D) (n1)!0 0 0 14．0 10 ( ).0 1 0 0 1 0 0(A) 0(B) 1(C) 1(D) 20 0 1 00 1 0 0 ).5.0 0 (0 1 10 0 0(A) 0(B) 1(C) 1(D) 22x x 1 11 x 12 ).6． 在函数 f ( x)2 x 中 x3 项的系数是 (33 01(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2a11a12a131，则 D 12a 11 a 13 a 112a 127. 若 Da21 a22 a232a 21 a23a212a 22().a31a32a3322a 31a33 a312a 32(A) 4(B) 4(C) 2 (D)28． 若 a 11a 12a ，则 a 12ka 22().a 21 a 22a 11ka 21(A) ka(B) ka(C) k 2 a (D) k 2a9． 已知 4 阶队列式中第 1 行元挨次是4,0,1,3, 第 3行元的余子式挨次为2, 5,1, x , 则 x ().(A) 0(B) 3(C) 3(D) 28 7 4 310.若 D6 2 31 ).1 1 1，则 D 中第一行元的代数余子式的和为 ( 14375(A) 1(B) 2(C) 3(D) 03 04 011. 若 D1 11 1，则 D 中第四行元的余子式的和为 ().0 1 0 05322(A) 1(B) 2(C) 3(D) 0x 1 x 2 kx 3 012. k 等于以下选项中哪个值时，齐次线性方程组x 1kx 2 x 3 0 有非零解 .kx 1 x 2x 3 0()(A) 1(B) 2 (C) 3(D) 0二、填空题优选1. 2n 阶摆列24 (2n)13 ( 2n 1) 的逆序数是.2．在六阶队列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是.3．四阶队列式中包括a22a43且带正号的项是.4．若一个n阶队列式中起码有n2 n 1 个元素等于0 , 则这个队列式的值等于.1 1 1 05.0 1 0 1队列式1 1.0 10 0 1 00 1 0 00 0 2 06．队列式.0 0 0 n 1n 0 0 0a11 a1(n1)a1n7．队列式a21 a2 (n 1) 0 .an1 0 0a11a12a13a11a13 3a12 3a128．假如D a21 a22a23 M ，则D1a21a23 3a22 3a22 .a31 a32a33a31a33 3a32 3a329．已知某 5 阶队列式的值为5，将其第一行与第 5 行互换并转置，再用 2 乘所有元素，则所得的新队列式的值为.1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 10． 队列式x 1 1 .1 1 x 11 1 11 11 11111． n 阶队列式.11112． 已知三阶队列式中第二列元素挨次为 1,2,3, 其对应的余子式挨次为 3,2,1，则该队列式的值为.1 2 3 45 6 7 8 1, 2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式，13．设队列式 D 3 2 ，A 4 j ( j 4 1 8 7 6 5则 4A 41 3A 4214． 已知 D2 A 43 A 44.a bc ac b a b ， D 中第四列元的代数余子式的和为.b a cca cb d1 2 3 415． 设队列式 D3 34 4 6 ， A 4 j 为 a 4 j ( j 1, 2, 3, 4) 的代数余子式，则1 5 6 711 22A 41A42， A 43A44.优选1 3 5 2n 11 2 0 016．已知队列式 D 1 0 3 0 ， D 中第一行元的代数余子式的和为1 0n.kx 1 2x 2x 3 017．齐次线性方程组 2x 1 kx 2 0 仅有零解的充要条件是.x 1x 2 x 3 0x 12x 2 x 3 018． 若齐次线性方程组2x 25x 30 有非零解，则 k = .3x 1 2x 2 kx 3三、计算题a b c dx y x ya 2b 2c 2d 21.;2．y x y x ；a3b3c3d3x yxy b c d a c d a b d a b cx a 1 a 20 1x 1a 1 x a 2．解方程 1 0 1 x 0 ；4． a 1 a 2 x3x 1 1 01 x1 0a 1 a 2 a 3a 1 a 2 a 3a n 2 1 a n 21 a n21 ；x1a n 1 1a0 1 1 11 a1 1 15. 1 1 a2 1 ( a j1, j 0,1, , n )；1 1 1a n1 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 1111(n 1) b1 1 1 1b1 a1 a1 a17. b1 b2 a2 a2 ；b1b2b3a n1 x12 x1 x2 x1x n9. x2 x1 1 x22 x2xn ;x n x1 x n x2 1 x n21 a a 0 0 01 1 a a 0 0 11． D 0 1 1 a a 0 .0 0 1 1 a a0 0 0 1 1 ax a1 a2 a na1 x a2 a n 8． a1 a2 x a n ;a1a2a3x2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 0 10.0 0 0 2 10 0 0 1 2优选四、证明题a 2 1a1 1a2ab 2 1b1 1 1． 设 abcd 1，证明：b 2b0 . 211c c1c 2 cd 21d1 1d 2 da 1b 1 x a 1x b 1c 1 a 1 b 1 c 12． a 2 b 2 x a 2 x b 2c 2 (1 x 2 ) a 2 b 2 c 2 .a 3b 3x a 3x b 3c 3a 3b 3c 31 1 1 1 abcd3．2b 2c 2d 2 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)( d c)(a b c d ) . aa 4b 4c 4d 41 1 1 a 1a 2a n222na 1a 2a na i(a j a i ) .4．i 11 ij na 1n 2a 2n 2a n n 2a 1na 2na n n1 1 15． 设 a,b, c 两两不等，证明 a b c 0 的充要条件是 a b c0 .a 3b 3c 3参照答案一．单项选择题ADACCDABCDBB二．填空题1. n ;2. “ ” ;3. a 14 a 22 a 31a 43 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1)n 1 n! ;n( n 1)7. ( 1)2a 1n a 2 (n 1) a n1 ; 8. 3M; 9. 160; 10. x 4 ; 11. ( n) n 1 ;12. 2 ;13.0 ; 14.0; 15.12,9; n117. k2,3; 18. k 716. n! (1) ;k 1k三．计算题1． ( a b cd)(b a)(c a)( d a)(cb)(db)(d c) ； 2.2( x 3y 3 ) ；x2,0,1n1a k )3.4.( x;k 1nn15.(a k1)(16.(2 b)(1 b) ((n2) b) ;0 ak) ;k 0k 1( 1) n nnn7.(b ka k ) ;8. ( xa k )( x a k ) ;k 1k 1k 1n9. 1x k ; 10. n 1;k 111. (1 a)(1 a 2a 4 ) .四 . 证明题 (略)优选第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为 n 阶方阵，则以下各式中建立的是 ( ) 。
线性代数习题集带答案
线性代数习题集带答案第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是（）.(A ） 24315 (B ） 14325 （C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ). （A ）k （B)k n - （C)k n -2! （D ）k n n --2)1(3。
n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有（ )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n （D) )!1(-n4．=0001001001001000（ ).(A ） 0 （B)1- （C) 1 (D ） 25. =0001100000100100（）。
（A ） 0 （B)1- （C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（）。
(A ） 0 （B)1- （C ） 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （）. （A ） 4 (B) 4- （C) 2 （D ） 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）.(A ）ka （B ）ka - (C)a k 2 （D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-，则=x ( ）。
(A) 0 (B ）3- (C) 3 （D ） 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。
(A)1- (B ）2- （C ）3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为（）.(A)1- （B ）2- （C ）3- （D ）012。
最全线性代数习题及参考答案
第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
线性代数习题集(带答案)
. .. . ..第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题. .. . ..1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .. .. . ..16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.. .. . ..四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略). .. . ..第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
(完整版)线性代数试题和答案精选版
线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内.错选或未选均无分。
1。
设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A. m+n B。
—（m+n) C。
n—m D. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。
13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A＊是Aの伴随矩阵,则A *中位于（1，2）の元素是（ )A。
–6 B。
6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A. A =0B。
B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。
|A｜≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1B. 2C. 3D. 46。
设两个向量组α1，α2，…,αs和β1，β2,…，βs均线性相关，则（）A。
有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs(αs+βs)=0C。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs(αs-βs)=0D.有不全为0の数λ1,λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A。
所有r-1阶子式都不为0 B。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
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线性代数练习题一 选择题1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（ ）(A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B ==2设1011,1101a b c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）(A)01.11⎛⎫ ⎪-⎝⎭(B)11.10-⎛⎫⎪⎝⎭(C)11.11-⎛⎫⎪⎝⎭(D)11.01⎛⎫⎪-⎝⎭3若 A 为n m ⨯矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立.（A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。
（B ）A 是满秩矩阵。
（C ）A 经初等变换可化为⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE （D ）A 中r 阶子式不全为零。
4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量.（B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关.（C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示.5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解.（B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解.（C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解.6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( )(A) B AX =一定无解。
(B) θ=AX 只有零解。
(C) θ=AX 必有非零解。
(D) B AX =一定有无穷多组解。
7线性方程组⎩⎨⎧=+=-01ay bx by ax ， 若 b a ≠,则方程组 ( )(A)无解 (B)有唯一解 (C)有无穷多解 (D)其解需要讨论多种情况 8 设A 、B 都是n 阶矩阵，且0=AB , 则A 和B 的秩（ ）()A 必有一个为0, ()B 必定都小于n ,()C 必有一个小于n ， ()D 必定都等于n二 填空题1方程组123123202470x x x x x x +-=⎧⎨++=⎩的通解为_____.2设5阶方阵A 的行列式为A =-2 ，则2A =__________.3已知 20521134X ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求X =三 计算题1 2531131301151423D --=-----2 2223331111134213421342D =解：(31)(41)(21)(43)(23)(24)12D =------=3 002200020002x x D x x=解：1440020202(1)021602002x x D x x x x x+=+-=-4 a x x x x a x x D x x axx xx a =、()()()()3111111110003330000x a x x a x D x a x a x a a x x x a x a x x xx aa x-=+=+=+---5设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=432432864A , 求矩阵A 的秩。
解：234A 010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()2R A = 6设1222123,136A B A -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求B 解：2221232136A ==， 1112B A A -===7 解矩阵方程:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011323641302X 解: 1203146323-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1205511099211275125⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭11205520311111461019932300211275125X -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭151917135⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭8 解矩阵方程:203182146036323005X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭9 解: 1203146323-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1205511099211275125⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭11205518220318211036146036099005323005211275125X -⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=--=-=-- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭201642751357617954510112727⎛⎫--⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10求线性方程组⎩⎨⎧=++-=+++1543243214321x x x x x x x x 的通解解: 1234511111B ⎛⎫=⎪-⎝⎭57102332401133⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭知()()24R A R B ==<, 故原方程组有无穷多组解,同解方程组为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+--=+--=4433432431343237235x x x x x x x x x x ，43,x x 为自由未知量,原方程组的通解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1012013235003437214321k k x x x x , 21,k k 任意常数10求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-=+++=+++3331254522242143243214321x x x x x x x x x x x x x x 的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个基础解系。
解:1211210330251450112101121000001303300000B -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪= ⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()()24R A R B ==<, 故原方程组有无穷多组解, 同解方程组为：1342343321x x x x x x =-+⎧⎨=-+⎩，43,x x 为自由未知量,原方程组的通解为：121234033112010001x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 21,k k 任意常数11求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++-=+++=+++03345522231432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个基础解系。
解: 1111110114321120122501215000105433000000B ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知()()34R A R B ==<, 故原方程组有无穷多组解,同解方程组为：132344250x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，3x 为自由未知量,原方程组的通解为：123441520100x x k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, k 任意常数12当a 为何值时下列线性方程组有解？有解时用向量形式表示出它的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-++-=+++-=+-+1223222431432143214321x x x a x x x x x x x x x x x x 解: 211121211312113011021122000121011100001B a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，当1a =时, ()()3R A R B ==,线性方程组有解。
1211310103011020110200012000120000000000B--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知()()34R A R B ==<, 故原方程组有无穷多组解, 同解方程组为：13234322x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，3x 为自由未知量,原方程组的通解为：123431210120x x kx x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, k 任意常数 13判断下列向量组的线性相关性并求它的一个最大无关组 （1）);1,3,0();2,1,1();3,1,2(321-=-==ααα（2）α1=(1,0,1), α2=(0,1,-1), α3=(2,0,1) α4=(0,1,2)解：（1）210113113012321001A -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭向量组123,,ααα线性无关，且123,,ααα就是一个最大无关组解：（2）102010200101010111120013A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭向量组1234,,,αααα线性相关，123,,ααα或124,,ααα是最大无关组 14 已知向量组()43211=α，()54322=α ，()65433=α，()76544=α，求向量组的秩。
解:1234123411111111234511111234012334561111000000004567111100000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234(,,,)2R αααα=15已知向量组()11211-=α ，()0022t =α ，()25403--=α的秩为2，求t 。
解:12012012020404401115025025102022000A t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭若123(,,)2R ααα=,则25t +=,所以3t =. 16讨论向量组()1111=α ，()3212=α ，()t 313=α ，当t 为何值时，向量组线性相关。
解: 11111111112301201213021005A t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭若向量组线性相关,则123(,,)()3R R A ααα=< 所以50t -=,即5t =四 证明题1．设,A B 相乘可交换，且A 可逆，证明1A -与B 相乘也可交换. 证：由AB BA = 得B A BA=-1 故BAA B --=11.2．设A 是可逆的n 阶矩阵，求证().11---=-A A证： 由()().11E A A A A ==---- 故().11---=-A A线性代数练习题答案一．选择题１．（Ｃ） 0|0|||||||===B A AB 。