【重点推荐】2019高中数学 专题07 对数函数庖丁解题 新人教A版必修1

专题07 对数函数考点38 对数与对数运算1．如果a x＝N （a >0，且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N ．3．对数的运算：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 log a （M ·N ）＝log a M ＋log a N ； log a MN＝log a M －log a N ； log a M n＝n log a M （n ∈R ）．【例】计算下列各式：（1）10lg3－10log 41＋2log 26； （2）22＋log 23＋32－log 39．【解析】（1）10lg3－10log 41＋2log 26＝3－0＋6＝9．（2）22＋log 23＋32－log 39＝22×2log 23＋323log 39＝4×3＋99＝12＋1＝13．1．对数式log a －2（5－a ）＝b 中，实数a 的取值范围是 A ．（－∞，5） B ．（2，5）C ．（2，＋∞）D ．（2，3）∪（3，5）【答案】D【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a －2>0，a －2≠1，∴2<a <3或3<a <5．【易错易混】本题在求解中因漏掉底数的限制条件而导致错解． 2．下列各式中正确的个数是①lg （lg10）＝0；②lg （ln e ）＝0；③若10＝lg x ，x ＝10；④若log 25x ＝12，得x ＝±5．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B3．lg8＋3lg5的值为 A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3【答案】D【解析】lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3（lg2＋lg5）＝3lg10＝3． 4．已知a ＝log 32，用a 来表示log 38－2log 36 A ．a －2B ．5a －2C ．3a －（1＋a ）2D ．3a －a 2－1【答案】A【解析】log 38－2log 36＝3log 32－2（log 32＋log 33）＝3a －2（a ＋1）＝a －2．【解题技巧】（1）利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．（2）对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积（商）的对数拆成两对数之和（差）；②“收”；将同底对数的和（差）收成积（商）的对数． 5．计算：3log 29= A ．4 B ．2C ．log 23D ．不确定【答案】A 【解析】3log 29=（32===4．【解题指南】解答本题可将9写成32的形式，然后利用指数幂的运算性质及对数恒等式即可求出原式的值．6．化简：2lg （lg a 100）2＋lg （lg a ）的结果是A ．12B ．1C ．2D ．41．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12＝A．a2＋b B．2a＋bC．a＋2b D．a＋b2【答案】B【解析】lg12＝lg4＋lg3＝2lg2＋lg3＝2a＋b．2．方程lg x＋lg（x－1）＝1－lg5的根是．A．–1 B．2C．1或2 D．–1或2【答案】B【解析】方程变形为lg[x（x－1）]＝lg2，所以x（x－1）＝2，解得x＝2或x＝－1．经检验x＝－1不合题意，舍去，所以原方程的根为x＝2，故选B．3．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则log x（y x）的值是A．1 B．0C．x D．y【答案】B4．已知f（x）=lg x，若f（ab）=1，求f（a2）+f（b2）．【答案】2【解析】因为f（ab）=1，所以lg（ab）=1，即lg a+lg b=1，所以f（a2）+f（b2）=lg a2+lg b2=2（lg a+lg b）=2．赌徒谬误一战期间，为了躲避炮火，前线的士兵们往往藏身于弹坑之中．士兵们一般都愿意找新弹坑而不是老弹坑，他们相信老弹坑比较危险，被新一轮炮弹命中的可能性较大，而新弹坑在一段时间内将会比较安全一些……该现象被逻辑学家和数学家称为“赌徒谬误”——输了钱之后，赌徒总觉得下一轮的运气会比较好，但事实真的如此吗？考点39 换底公式的应用换底公式：log a b ＝log c blog ca （a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0）．用换底公式证明以下结论：①log a b ＝1log b a ；②log a b ·log b c ·log c a ＝1；③log a n b n ＝log a b ；④log a n b m＝m n log a b ；⑤1log a b ＝－log a b ．【例】已知2x＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为A ．3B ．8C ．4D ．log 48【规律小结】将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．log 49343等于 A ．7 B ．2 C ．23 D ．32【答案】D【解析】log 49343＝lg343lg49＝3lg72lg7＝32．2．log 29×log 34＝A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D【解析】log 29×log 34＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4．【解题技巧】利用对数的换底公式将原式中的对数转化为常用对数，再计算． 3．化简：log 225·log 38·log 59＝． A ．4 B ．8 C ．12D ．164．化简：（log 32＋log 92）（log 43＋log 83） A ．0 B ．54 C ．1 D ．54【答案】D【解析】原式＝（log 32＋12log 32）×（12log 23＋13log 23）＝32log 32×56log 23＝54．【规律总结】换底公式可将不同底的对数换算为常用对数或自然对数，是对数运算中非常重要的工具．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论， 如（1）log log 1a b b a =； （2）log log log log a b c a b c d d =； （3）log log m n a a nb b m=； （4）log n a a n =；（5）lg2lg51+=等，将会达到事半功倍的效果．5．已知ln2＝a ，ln3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为A ．a －bB ．a bC ．abD ．a ＋b【答案】B【解析】log 32＝ln 2ln 3＝ab．6．计算248525125(log 125log 25log 5)(log 2log 4log 8)++++的值．解法二：lg125lg 25lg5lg 2lg 4lg8()()lg 2lg 4lg8lg5lg 25lg125=++++原式 3lg52lg5lg5lg 22lg 23lg 2()()lg 22lg 23lg 2lg52lg53lg5=++++ 13lg5lg 2()(3)133lg 2lg5==． 解法三：12312332123222555(log 5log 5log 5)(log 2log 2log 2)=++++原式 2225551(3log 5log 5log 5)(log 2log 2log 2)3=++++2513(31)log 5log 23=⨯++133133=⨯=．1．log 89log 23＝ A ．23 B ．32 C ．1D ．2【答案】A【解析】原式＝lg9lg8lg3lg2＝2lg33lg2lg3lg2＝23，故选A ．2．若log 23·log 3m ＝12，则m ＝A ．2B ． 2C ．4D ．1【答案】B【解析】∵log 23·log 3m ＝log 2m ＝12，∴m ＝2 12 ＝2，故选B ．3．log 242＋log 243＋log 244等于 A ．1 B ．2C ．24D ．12【答案】A【解析】log 242＋log 243＋log 244＝log 24（2×3×4）＝log 2424＝1． 4．已知log 23＝a ，log 37＝b ，求log 1456（用含a ，b 的式子表示）．换底公式歌换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子．考点40 对数函数的定义对数函数的概念（1）函数y ＝y ＝log a x （a >0，且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量．a 叫做对数函数的底数。

函数的定义域是（0,+∞）,值域是R ．（2）特别地,我们称以10为底的对数函数y =lg x 为常用对数函数,称以无理数e 为底的对数函数y =㏑x 为自然对数函数．【例】已知，且，下列四组函数中表示相等函数的是A ．与B ．与C ．与D ．与【答案】C【易错易混】要注意不因要化简以后的解析式形同，定义域也要相同．1．/下列函数是对数函数的是 A ．y ＝log a （2x ） B ．y ＝lg10xC ．y ＝log a （x 2＋x ） D ．y ＝ln x【答案】D【解析】由对数函数的概念，知D 正确．【概念辨析】对于对数函数的概念应注意以下三个方面：①定义域：因为对数函数y ＝log a x 是由指数函数y ＝a x变化而来的，对数函数的自变量x 恰好对应指数函数的函数值y ，所以对数函数y ＝log a x 的定义域是指数函数y ＝a x的值域，即x ∈（0，＋∞）．②底数：对数函数y ＝log a x 的底数a >0，且a ≠1．③形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y ＝log a x （a >0，且a ≠1，x >0）中，log a x 前面的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则不是对数函数． 2．下列函数表达式中，是对数函数的有 ①y =log a x （a ∈R ）； ②y =log 8x ； ③y =ln x ；④y =log x （x +2）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B【解析】由于形如y =log a x （a >0，且a ≠1）的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有②、③，其他的均不符合．故选B ． 3．已知下列函数： ①12log ()(0)y x x =-＜；②42log (1)(1)y x x =-＞； ③ln (0)y x x =＞；④2()log (0)a a y x x a +=＞，是常数．其中是对数函数的是_______（只填序号）． 【答案】③4．函数f （x ）=（a 2+a –5）log a x 为对数函数，则f （x ）=．【易错易混】判断函数是否为对数函数：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的正常数；（3）自变量为正数．5．下列各组函数中，表示同一函数的是 A ．和B ．和C ．和D ．和【答案】D【解析】对于，定义域不同，对于，对应法则不同，对于，定义域不同，对于，，故选6．已知对数函数f （x ）＝（m 2－m －1）log （m ＋1）x ，求f （27）． 【解析】若f （x ）＝（m 2－m －1）log （m ＋1）x 为对数函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，m ＋1＞0，m ＋1≠1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－1，m ＞－1，m ≠0.∴m ＝2，∴f （x ）＝log 3x ， ∴f （27）＝log 327＝3．1．/对数函数y =log （a +1）x 中实数a 的取值范围是 【答案】{a |a >–1且a ≠0}【解析】由a +1>0且a +1≠1，得a >–1且a ≠0．所以对数函数y =log （a +1）x 中实数a 的取值范围是{a |a >–1且a ≠0}． 故答案为{a |a >–1且a ≠0}． 2．下列函数中是对数函数的是【答案】A【解析】形如y ＝log a x （a >0，且a ≠1）的函数才是对数函数，只有A 是对数函数，故选A ． 3．若对数有意义，则的取值范围是A ．B ．C ．或D ．4．函数f（x）＝（a2－a＋1）log（a＋1）x是对数函数，求实数a的值．【答案】1【解析】∵函数f（x）＝（a2－a＋1）log（a＋1）x是对数函数．∴a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1．又a＋1>0，a＋1≠1，∴a＝1．神奇的梦俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没有解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人提示他解答的方法．醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔．“对数”一词就是纳皮尔首先创造的，意思是比数，他最早用“人造的数”来表示对数，那么“对数”到底是什么？需要我们来研究对数．考点41 对数函数的定义域求含有对数的函数的定义域问题，一要遵循常规的求定义域的原则，即对分式、偶次根式、零指数幂等考虑限制条件，同时注意对数的真数大于零，底数大于零且不等于1的条件．【例】函数y =的定义域是A ．()4,1--B ．()4,1-C ．()1,1-D ．(]1,1-【答案】C【解析】要使原题有意义，必须满足：210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<．【易错易混】定义域要写成区间或集合的形式．1．下列各组函数中，定义域相同的一组是A ．y ＝a x 与y ＝log a x （a >0，且a ≠1）B ．y ＝x 与y ＝xC ．y ＝lg x 与y ＝lg xD ．y ＝x 2与y ＝lg x 2【答案】C2．函数y ＝log 2x 的定义域是 A ．（0,1] B ．（0，＋∞） C ．（1，＋∞） D ．[1，＋∞）【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ≥0，x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ≥log 21，x >0，解得x ≥1．【解题技巧】直接利用对数函数真数大于零进行计算即可． 3．已知函数f （x ）＝11－x的定义域为M ，g （x ）＝ln （1＋x ）的定义域为N ，则M ∩N 等于A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅【答案】C【解析】由题意得M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}，则M ∩N ＝{x |－1<x <1}．【规律总结】定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念．（1）若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；（2）若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1． 4．函数f （x ）＝ln （x 2－x ）的定义域为 A ．（0，1]B ．[0，1]C ．（－∞，0）∪（1，＋∞）D ．（－∞，0]∪[1，＋∞）【答案】C【解析】由x 2－x >0，得x >1或x <0．5．函数f （x ）＝11－x ＋lg （1＋x ）的定义域是．A ．（－∞，－1）B ．（1，＋∞）C ．（－1,1）∪（1，＋∞）D ．（－∞，＋∞）【答案】C【解析】要使函数有意义，须满足：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，解之得x >－1且x ≠1．故其定义域为（－1，1）∪（1，＋∞）．6．设函数f （x ）＝ln （x 2＋ax ＋1）的定义域为A ． （1）若1∈A ，－3∉A ，求实数a 的取值范围；（2）若函数y ＝f （x ）的定义域为R ，求实数a 的取值范围．1．函数()()ln 1f x x =+的定义域为A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,-+∞D ．()1,+∞ 【答案】C【解析】使函数有意义，满足01>+x ，得1->x ，函数的定义域()+∞-,1，故答案为C ． 2．函数f （x ）=log 2（x 2+2x –3）的定义域是 A ．B ．C ．∪D ．∪（1，+∞）【答案】D【解析】由对数函数的真数大于零可知，x 2+2x –3>0，解得x <–3，或x >1，所以函数f （x ）=log 2（x 2+2x –3）的定义域是∪（1，+∞）．3．函数y =x311log 7-的定义域___________________．【答案】{x|x <31} 【解析】由101,133130x x x ⎧>⎪<-⎨⎪-≠⎩得∴所求函数定义域为{x |x <31}4．/求下列函数的定义域． （1）y =． （2）y =ln （x +1）+．【答案】（1）{x |x >–1且x ≠1}；（2）{x |–1<x<1}高考志愿小王在填报高考志愿时犯了难，他既感到南开大学的应用数学专业不错，又觉得复旦大学的应用物理专业也挺好，他拿不定主意，最后老师给他定了一个填报原则：如果数学分数超过130分，就报南开；如果理综分数超过220分，就报复旦；如果数学分数超过了130分，理综分数也超过了220分，就报南开；如果数学分数没超过130分，理综分数也没超过220分，就报复旦．人的一生中会遇到很多选择，依据自身条件作出适合自已的选择是人生不可回避的问题．考点42 对数函数的单调性与特殊点对数函数的性质（1）对数函数的图象都经过点（1,0），且图象都在第一、四象限．（2）当0<a <1时函数为减函数，图象向上无限接近y 轴；当a>1时函数为增函数，图象向下无限接近y 轴．【例】函数f （x ）＝3log a （2x－7）－3（a >0，且a ≠1）的图象经过定点P ，则点P 的坐标为________． 【答案】（3，－3）【解析】令2x－7＝1，得x ＝3．又f （3）＝3log a 1－3＝－3，所以f （x ）的图象经过定点P （3，－3）．【解题技巧】在求解定点时，用换元的思想，令对数的真数为1，求解y 的值即得．1．下列区间中，函数()()2ln +=x x f 在其上为减函数的是． A ．（－∞，1]B ．[)1,-+∞C ．(]2,0-D ．(]2,1-- 【答案】D2．函数f （x ）＝log 5（2x ＋1）的单调增区间是________． 【答案】1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】由2x＋1>0得，函数f（x）的定义域为1,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，令t＝2x＋1（t>0），则y＝log5t．∵y＝log5t在（0，＋∞）上为增函数，t＝2x＋1在1,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭上为增函数，∴函数y＝log5（2x＋1）的单调增区间是1,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭．3．函数12f(x)=|log x|的单调递增区间是A．1(0,]2B．（0,1]C．（0，＋∞）D．[1，＋∞）【答案】D【解析】f（x）的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞）．【易错易混】确定单调区间，还要考虑到函数自身的定义域．4．下列区间中，函数f（x）＝|ln（2－x）|在其上为增函数的是A．（－∞，1] B．4 1,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．[1,2）【答案】D5．已知f（x）＝log a|x－1|在（0,1）上递减，那么f（x）在（1，＋∞）上A．递增无最大值B．递减无最小值C．递增有最大值D．递减有最小值【答案】C【解析】设u＝|x－1|，则y＝log a u．∵当x∈（0,1）时，u＝|x－1|为减函数，∴由f（x）＝log a|x－1|在（0,1）上递减可得，a>1．∵x∈（1，＋∞）时，u＝x－1为增函数，且无最大值，∴f （x ）＝log a （x －1）在（1，＋∞）上为增函数，且无最大值． 【易错易混】对a 分a >1和0<a <1两种情况分别求函数f （x ）的最值。