最新高中数学构造函数专题

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高中数学人教A版选择性必修二17函数与导数专题(二)构造新函数专题

（2）设函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，函数 g(x) 是定义在 R 上的偶函数，且 g(x) 0 ，当 x 0 时， f (x)g(x) f (x)g(x) 0 ，若 f (2) 0 ，则不等式 f (x) 0 的解集是___________________
g(x)
例 2（1） f (x) 是可导函数,且 xf '(x) f (x) 0 ,若 a b ,则 (
（2）已知 f (x) f (x) 0, 构造 H (x) ex f (x)
（3）已知 xf (x) f (x) 0, 构造 H (x) xf (x)
（4）已知 xf (x) nf (x) 0, 构造 H (x) xn f (x)
关系是“减号”型
（1）已知 f (x)g(x) g(x) f (x) 0, 构造 H (x) f (x) (g(x) 0) g(x)
2、若函数
f
(x)
在区间
R
上的导数为
f
' ( x) ， [
f (x) ex
]'
_______________
3、若函数 f (x) 在区间 R 上的导数为 f ' (x) ， f (x) cosx =
2 课时
4、抽象导函数常见模型总结：关系是“加号”型
（1）已知 f (x)g(x) g(x) f (x) 0, 构造 H (x) f (x)g(x)
2、定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) f (x) 0 ，若 f(0) 1, 则不等式 ex f ( x) 1的解集为
3、定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) - f (x) 0 ，若 f(0) 1, 则不等式 f (x) ex 的解集为______________

2025高考数学二轮复习导数应用中的函数构造技巧

函数形式出现的是“-”法形式时,优先考虑构造 y=型函数.
(2)利用f(x)与ex(enx)构造
() ()

常用的构造形式有 e f(x),e f(x), e , e ,这类形式一方面是对 y=uv,y=型函
x
nx
数形式的考查,另外一方面也是对(ex)'=ex,(enx)'=nenx 的考查.所以对于
f'(x)cos x-f(x)sin x>0,所以 F'(x)>0,即函数
由于
f
π
6
f
π
6
π
0<6
<
π
4
π
π
cos6<f 4
<
3
π
3
3
<
π
3
<
π
,所以
2
π
π
cos4<f 3
π
F(x)在区间(0,2)
π
4
<F
π
cos3,因此可得
π
6
,故选 AD.
F
π
6
<F
f
π
x∈(0,2)时,
π
3
<
内单调递增.
,即
锐角三角形,则( D )
A.f(sin A)sin2B>f(sin B)sin2A
B.f(sin A)sin2B<f(sin B)sin2A
C.f(cos A)sin2B>f(sin B)cos2A
D.f(cos A)sin2B<f(sin B)cos2A
解析因为
() '
2

(新)高中数学《导数中的构造函数》小专题

专题5导数中函数的构造问题命制人：丁晓光使用时间：2021年3月17日班级：姓名：一、教学目标：1、掌握构造适当的函数解决问题的方法。

2、体会函数与方程、转化与化归的数学思想，锻炼逻辑推理、数学运算等核心素养。

二、教学重点：应用函数性质，构造函数解决问题。

三、教学难点：变化式子结构特征找到要构建的函数。

四、复习回顾：（课前预热练习）（一）利用()f x 与x （n x ）构造1、)(x f 是定义在R 上的偶函数，当 0<x 时， f (x ) + xf '(x ) < 0 ，且 f (-4) = 0，则不等式 xf (x ) > 0的解集为__________2、已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数)('x f ，且满足0)1(=-f ，当0>x 时，)(')(2x xf x f >，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是（二）利用()f x 与x e 构造3、已知定义在R 上的函数f(x)满足()(),f x f x '>且f(1)=0,则关于x 的不等式f(x)>0的解集为（） A.(2,)+∞ B.(,1)-∞ C.(,2]-∞ D.(1,)+∞（三）利用()f x 与x ln构造 4、设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x ，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是 .（四）利用()f x 与sin x ，cos x 构造5、已知函数()y f x =对于任意)2,2(ππ-∈x 满足0sin )(cos )('>+x x f x x f （其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（）A ．)4()3(2ππf f -ββαα，则下列结论正确的是（） A ．αβ> B ．22αβ> C ．αβ< D ．0αβ+>五、高考真题例一、1、【2020年全国2卷12】若2233x y x y ---<-，则A.0)1ln(>+-x yB.0)1ln(<+-x yC. 0ln >-y xD. 0ln <-y x2、【2020年新课标1卷12】若b a b a 42log 24log 2+=+，则（）A.b a 2>B.b a 2<C.2b a >D.2b a <3、【八省联考8】已知5<a 且a e ae 55=，4b>c B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c总结：六、拓展延伸例二、1、已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x ，都有，当时，若，则实数a 的取值范围是（）A ．]32,0[B ．]0,32[- C ． D ．2、已知)(x f 是定义在R 上的减函数，其导函数)('x f 满足1)()('<+x x f x f ，则下列结论正确的是（） A.对于任意的R x ∈,0)(<x f B.对于任意的R x ∈，0)(>x fC.当且仅当)1,(-∞∈x 时，0)(<x fD.当且仅当),1(+∞∈x 时，0)(>x f变式训练2：设函数)(x f 是定义在），（0-∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有2')()(2x x xf x f >+，则不等式0)2(4)2020()2020(2>--++f x f x 的解集为总结：七、课堂演练：1、已知定义在)2,0(π上的函数)(x f ，)('x f 是它的导函数，且恒有x x f x f tan )()('<成立，则（）A.)3(2)4(3ππf f >B.1sin )6(2)1(πf f <C.)4()6(2ππf f >D.)3()6(3ππf f <2、设是定义在上的可导偶函数，若当时，0)(2)('<+xx f x f ，则函数21)()(x x f x g -=的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．0或2八、课后作业构造导数专题小测九、构造函数的方法总结：1. ()()f x xf x '+，构造()F x =()xf x ； ()()nf x xf x '+，构造()F x =()n x f x2. ()()0xf x f x ->'，构造()()f x F x x =； ()()0xf x nf x ->'，构造()()n f x F x x=． 3. ()()f x f x '+，构造()F x =e ()x f x ． ()()f x nf x '+，构造()F x =e ()nx f x ⋅. 4. ()()f x f x '-，构造()()e x f x F x =， ()()f x nf x '-，构造()()e nx f x F x =， 5. x x f x x f cos )(sin )('+；构造x x f x sin )()(F =6. x x x f x x f 2'sin cos )(sin )(-；构造xx f x sin )()(F = 7. x x f x x f sin )(cos )('-；构造x x f x cos )()(F = 8. x x x f x x f 2'cos sin )(cos )(+．构造xx f x cos )()(F = 9. 1'()ln ()f x x f x x +，构造()F x =()ln x f x ⋅.10. 0)()(>'x f x f ，构造()F x =)(ln x f。

构造函数之专题训练

.. “构造函数”之专题训练一、选择题1.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＞0，且2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）对x∈（0，+∞）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A.＜＜B.＜＜C.＜＜D.＜＜2.已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（）A. B.＜C.＞D.f（0）＞e2f（4）3.若函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xe x，f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，′的最大值为（）A. B.2 C.2 D.44.己知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），且当x≠2时，其导函数f′（x）满足f′（x）＞xf′（x），若a∈（2，3），则（）A.f（log2a）＜f（2a）＜f（2）B.f（2a）＜f（2）＜f（log2a）C.f（2a）＜f（log2a）＜f（2）D.f（2）＜f（log2a）＜f（2a）5.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有′＜0恒成立，则＞的解集为（）A.（-2，0）∪（2，+∞）B.（-2，0）∪（0，2）C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-∞，-2）∪（0，2）6.已知奇函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x），当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，且f（-1）=0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，1）∪（0，1）C.（0，1）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（-1，0）7.已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.（-1，0）∪（1，+∞）D.（-1，0）∪（0，1）8.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=，b=-3f（-3），c=，则a，b，c的大小关系正确的是（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.c＜a＜b9.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜1，则不等式f（1g2x）＜1g2x 的解集为（）A.，B.（10，+∞）C.，D.，，∞10.定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＜e，f（0）=e+2（其中e为自然对数的底数），则不等式e x f（x）＞e x+1+2的解集为（）A.（-∞，0）B.（-∞，e+2）C.（-∞，0）∪（e+2，+∞）D.（0，+∞）11.设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有xf′（x）＜f（x）成立，则（）A.3f（2）＞2f（3）B.3f（2）=2f（3）C.3f（2）＜2f（3）D.3f（2）与2f（3）的大小不确定．12.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，f′（x）为其导函数，若对于任意实数，都有f（x）＞f′（x），其中e为自然对数的底数，则（）A.ef（2015）＞f（2016）B.ef（2015）＜f（2016）C.ef（2015）=f（2016）D.ef（2015）与f（2016）大小关系不确定13.设函数f′（x）的偶函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，f（2）=0且当x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，则使f（x）＜0成立的x的取值范围为（）A.（-∞，-2）∪（0，2）B.（-2，0）∪（0，2）C.（-2，0）∪（2，+∞）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）14.对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f′（x）≥0，则必有（）A.f（0）+f（2）＜2f（1）B.f（0）+f（2）≤2f （1）C.f（0）+f（2）≥2f（1）D.f（0）+f（2）＞2f （1）15.函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2015，对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，则不等式f（x）＜x3+2016的解集为（）A.（-1，+∞）B.（-1，0）C.（-∞，-1）D.（-∞，+∞）16.已知函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（1，0），f′（x）为函数f（x）的导函数，e 为自然对数的底数，若x＞0，xf′（x）＞1下恒成立，则不等式f（x）≤lnx的解集为（）A.（0，]B.（0，1]C.（0，e]D.（1，e]17.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1-x）的解集是（）A.（，+∞）B.（-∞，）C.（-∞，0）∪（0，）D.（0，）18.已知函数y=f（x）定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时xf′（x）＜-f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（），b=f（1），c=-2f（log2），则a，b，c的大小关系是（）A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.a＞c＞b19.定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（）A.8＜＜16B.4＜＜8C.3＜＜4D.2＜＜320.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＞f（x），则下列结论正确的是（）A.f（1）＞ef（0）B.f（1）＜ef（0）C.f（1）＞f（0）D.f（1）＜f（0）21.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=-1，且当x＞0时，有xf′（x）＞f（x），则不等式f（x）＞x的解集是（）A.（-1，0）B.（1，+∞）C.（-1，0）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.D8.B9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C高中数学试卷第2页，共10页.. “构造函数”之专题训练答案和解析【答案】1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.D8.B9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C【解析】1. 解：令g（x）=，x∈（0，+∞），g′（x）=′，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴f（x）＞0，0＜′，∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴＜，∴＜．令h（x）=，x∈（0，+∞），h′（x）=′，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴h′（x）=′＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴＞，∴＜．综上可得：＜＜，故选：B．分别构造函数g（x）=，x∈（0，+∞），h（x）=，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2. 解：∵f（x）+2f′（x）＞0，可设f（x）=，∴f（1）=，f（0）=e0=1，∴f（1）＞，故选：A．根据题意可设f（x）=，然后代入计算判断即可．本题主要考查了初等函数的导数运算公式，关键是构造函数，属于基础题．3. 解：由题意，（）′=2x，∴=x2+b，∴f（x）=（x2+b）e x，∵f（0）=1，∴b=1，∴f（x）=（x2+1）e x，f′（x）=（x+1）2e x，∴当x＞0时，′=1+≤2，当且仅当x=1时取等号，∴当x＞0时，′的最大值为2．故选：B．利用函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xe x，f（0）=1，求出f（x），再代入利用基本不等式即可得出结论．本题考查导数知识的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，确定f（x）是关键．4. 解：∵定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），∴函数f（x）关于x=2对称，由f′（x）＞xf′（x），得（x-2）f′（x）＜0，则x＞2时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＜2时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．∴当x=2时，f（x）取得极大值，同时也是最大值．若a∈（2，3），则4＜2a＜8，1＜log2a＜2，∴2＜4-log2a＜3，∴2＜4-log2a＜2a，即f（2）＞f（4-log2a）＞f（2a），即f（2a）＜f（log2a）＜f（2），故选：C根据条件得到函数关于x=2对称，由f′（x）＞xf′（x），得到函数的单调性，利用函数的单调性和对称轴即可得到结论．本题主要考查函数单调性和对称性的应用，利用导数和函数单调性的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．5. 解：设g（x）=，f（x）是R上的奇函数，∴g（x）为偶函数；x＞0时，′′＜；∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（2）=0；∴由g（x）＞0得，g（x）＞g（2）；∴g（|x|）＞g（2）；∴|x|＜2，且x≠0；∴-2＜x＜0，或0＜x＜2；∴＞的解集为（-2，0）∪（0，2）．故选：B．可设g（x）=，根据条件可以判断g（x）为偶函数，并可得到x＞0时，g′（x）高中数学试卷第4页，共10页.＜0，从而得出g（x）在（0，+∞）上单调递减，并且g（2）=0，从而由g（x）＞g （2）便可得到|x|＜2，且x≠0，这样即可得出原不等式的解集．考查奇函数、偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性解不等式的方法，知道偶函数g（x）＞g（2）等价于g（|x|）＞g（2）．6. 解：设g（x）=，则g′（x）=′，∵当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，∴当x＞0时，g′（x）＜0，此时函数g（x）为减函数，∵f（x）是奇函数，∴g（x）=是偶函数，即当x＜0时，g（x）为增函数．∵f（-1）=0，∴g（-1）=g（1）=0，当x＞0时，f（x）＜0等价为g（x）=＜0，即g（x）＜g（1），此时x＞1，当x＜0时，f（x）＜0等价为g（x）=＞0，即g（x）＞g（-1），此时-1＜x＜0，综上不等式的解集为（-1，0）∪（1，+∞），故选：A根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性，以及将不等式进行转化是解决本题的关键．7. 解：根据题意，设函数，当x＞0时，′′＜，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（x）为偶函数，所以g（x）为偶函数，又f（1）=0，所以g（1）=0，故g（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零，即f（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零．故选：D．构造函数设函数，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）为偶函数，根据f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．8. 解：定义域为R的奇函数y=f（x），设F（x）=xf（x），∴F（x）为R上的偶函数，∴F′（x）=f（x）+xf′（x）∵当x≠0时，f′（x）+＞0．∴当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．.F（）=a=f（）=F（ln），F（-3）=b=-3f（-3）=F（3），F（ln）=c=（ln）f （ln）=F（ln3），∵ln＜ln3＜3，∴F（ln）＜F（ln3）＜F（3）．即a＜c＜b，故选：B．根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+＞0．当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0；当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小．本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．9. 解：设g（x）=f（x）-x，则函数的导数g′（x）=f′（x）-1，∵f′（x）＜1，∴g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）-1=1-1=0，则不等式g（x）＜0等价为g（x）＜g（1），则不等式的解为x＞1，即f（x）＜x的解为x＞1，∵f（1g2x）＜1g2x，∴由1g2x＞1得1gx＞1或lgx＜-1，解得x＞10或0＜x＜，故不等式的解集为，，∞，故选：D构造函数g（x）=f（x）-x，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出不等式f（x）＜x的解为x＞1，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．10. 解：设g（x）=e x f（x）-e x+1-2（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x+1=e x[f（x）+f′（x）-e]，∵f（x）+f′（x）＜e，∴f（x）+f′（x）-e＜0，∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减，∵f（0）=e+2，∴g（0）=e0f（0）-e-2=e+2-e-2＞0，∴g（x）＞g（0），∴x＜0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x+1-2（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质高中数学试卷第6页，共10页.和函数值，即可求解．本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．11. 解：设函数y=，则y′=′，∵xf′（x）＜f（x），∴y′＜0，可得y=对任意x∈R，函数y是减函数，∴＜，可得3f（2）＞2f（3）．故选：A．构造函数，利用函数的单调性判断即可．本题考查函数的单调性的判断与应用，构造函数，求解导函数判断单调性是解题的关键．12. 解：令g（x）=，由题意，则g′（x）=′＜0，从而g（x）在R上单调递减，∴g（2016）＜g（2015）．即＜，∴e2015f（2016）＜e2016f（2015），即ef（2015）＜f（2016），故选：A．造函数g（x）=，通过求导判断其单调性，从而确定选项．本题是构造函数的常见类型，大多数题型是结合着选项中的结构和题中的条件来构造函数，形式灵活多变，考生需要多看多做多总结，才容易掌握此题型．13. 解：令g（x）=，∴g′（x）=′，∵x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，∴x＞0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（2）=0，∴g（2）==0，当0＜x＜2，g（x）＜g（2）=0，即f（x）＜0，当x＞2时，g（x）＞g（2）=0，即f（x）＞0，∵f（x）是偶函数，∴当-2＜x＜0，f（x）＜0，故不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）∪（0，2），故选：B．构造函数g（x）=，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）.为奇函数，根据f（2）=0，解得f（x）＜0的解集．本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．14. 解：∵（x-1）f′（x）≥0，∴当x≥1时，f′（x）≥0，当x＜1时，f′（x）≤0；故f（x）在（-∞，1）上不增，在[1，+∞）上不减，故f（0）≥f（1），f（2）≥f（1）；故f（0）+f（2）≥2f（1），故选C．由题意，当x≥1时，f′（x）≥0，当x＜1时，f′（x）≤0；从而可得f（x）在（-∞，1）上不增，在[1，+∞）上不减，故f（0）≥f（1），f（2）≥f（1）；从而可得．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．15. 解：令g（x）=f（x）-x3-2016，g′（x）=f′（x）-3x2，∵对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，∴对任意的x∈R，g′（x）＜0，∴g（x）=f（x）-x3-2016在R上是减函数，且g（-1）=f（-1）+1-2016=2015+1-2016=0，故不等式f（x）＜x3+2016的解集为（-1，+∞），故选：A．令g（x）=f（x）-x3-2016，求导g′（x）=f′（x）-3x2，从而确定不等式的解集．本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用．16. 解：构造函数g（x）=f（x）-lnx（x＞0），则g′（x）=f′（x）-=′＞0，∴g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上单调递增，∵f（x）≤lnx，∴g（x）≤0=g（1），∴0＜x≤1，故选：B．构造函数g（x）=f（x）-lnx（x＞0），确定g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上单调递增，f（x）≤lnx，化为g（x）≤0=g（1），即可得出结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．17. 解：∵f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，∴f（-x）=f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）在（-∞，0）递减；由不等式g（x）＜g（1-x），∴＞＞＜或＜＜＞，高中数学试卷第8页，共10页.解得：0＜x＜，或x＜0∴不等式g（x）＜g（1-x）的解集为：{x|0＜x＜或x＜0}．故选：C．f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，可得：f（-x）=f（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（-x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 解：当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜-f（x），即xf′（x）+f（x）＜0，∴[xf（x）]′＜0，∴令F（x）=xf（x），由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，则F（x）为偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=-2f（log2）=-2f（-2）=2f（2）=g（2），a=f（）=g（），b=f（1）=g（1），由1＜＜2，可得b＜a＜c．故选：A．由f（x）为奇函数得到f（-x）=-f（x），有xf′（x）+f（x）＜0，由导数的积的运算得到[xf（x）]′＜0，令F（x）=xf（x），则F（x）为偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=-2f（-2）=2f（2）=g（2），a=f（）=g （），b=f（1）=g（1），即可得到所求大小关系．本题主要考查函数的性质及应用，考查奇偶函数的定义及应用，函数的单调性及应用，以及应用导数的运算法则构造函数的能力，是函数的综合题．19. 解：令g（x）=，则g′（x）=′=′，∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）-3f（x）＜0，∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，即有g（x）在（0，+∞）递减，可得g（2）＜g（1），即＜，由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则＜8；令h（x）=，h′（x）=′=′，∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）-2f（x）＞0，∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即有h（x）在（0，+∞）递增，可得h（2）＞h（1），即＞f（1），则＞4．即有4＜＜8．故选：B．令g（x）=g（x）=，h（x）=，求出g（x），h（x）的导数，得到函数g（x），.h（x）的单调性，可得g（2）＜g（1），h（2）＞h（1），由f（1）＞0，即可得到4＜＜8．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造g（x）=，h（x）=，求出g（x）和h（x）的导数，得到函数g（x）和h（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．20. 解：令g（x）=，则g′（x）=′=′，∵f′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0，g（x）递增，∴g（1）＞g（0），即＞，∴f（1）＞ef（0），故选：A．令g（x）=，利用导数及已知可判断该函数的单调性，由单调性可得答案．该题考查利用导数研究函数的单调性，由选项恰当构造函数是解决该题的关键所在．21. 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，令g（x）=，∴g（x）为偶函数，又当x＞0时，xf′（x）＞f（x），∴g′（x）=′＞0；∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数；又f（-1）=-1，∴f（1）=1，g（1）=1；当x＞0时，∵不等式f（x）＞x，∴＞1，即g（x）＞g（1），∴有x＞1；当x＜0时，∵不等式f（x）＞x，∴＜1，即g（x）＜g（-1），∴有-1＜x＜0；当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）＞x不成立；综上，不等式f（x）＞x的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．构造函数g（x）=，根据题意得出g（x）为偶函数，且x＞0时，g′（x）＞0，g（x）是增函数；讨论x＞0、x＜0和x=0时，不等式f（x）＞x的解集情况，求出解集即可．本题考查了函数奇偶性的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了构造函数的应用问题以及分类讨论的应用问题，是综合性题目．高中数学试卷第10页，共10页。

2025新高考重难点之构造函数学生版

重难点之构造函数1.对于不等式f x >k k≠0，构造函数g x =f x -kx+b2.对于不等式xf x +f x >0，构造函数g x =xf x3.对于不等式xf x -f x >0，构造函数g x =f xxx≠04.对于不等式xf x +nf x >0，构造函数g x =x n f(x)5.对于不等式xf x -nf x >0，构造函数g x =f(x) x n6.对于不等式f x -f x >0，构造函数g x =f(x) e x7.对于不等式f x +f x >0，构造函数g x =e x f(x)8.对于不等式f x +kf x >0，构造函数g x =e kx f(x)9.对于不等式f x sin x+f x cos x>0，构造函数g x =sin xf(x)10.对于不等式f x sin x-f x cos x>0，构造函数g x =f(x)sin x 11.对于不等式f x cos x-f x sin x>0，构造函数g x =cos xf(x)12.对于不等式f x cos x+f x sin x>0，构造函数g x =f(x) cos x重难点题型(一)、与一次函数或幂函数有关的构造函数1.(23-24高三下·重庆)已知函数f x 的定义域为-∞,0，f-1=-1，其导函数f x 满足xf x -2f x >0，则不等式f x+2025+x+20252<0的解集为()A.-2026,0B.-2026,-2025C.-∞,-2026D.-∞,-20252.(2021·安徽高三月考(理))设函数f x 是定义在0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f 'x ，且有2f x >xf 'x ，则不等式4f x -2021 >x -2021 2f 2 的解集为()A.2021,2023B.0,2022C.0,2020D.2022,+∞3.(2022·四川省眉山第一中学模拟预测(理))已知可导函数f (x )的定义域为(0,+∞)，满足xf (x )-2f (x )<0，且f (2)=4，则不等式f (x )>x 2的解集是．4.(23-24高三上·云南昆明)已知定义域为R 的函数f x ，对任意的x ∈R 都有f x >2x ，且f 1 =2，则不等式f 2x -4x 2-1>0的解集为()A.0,+∞B.12,+∞C.1,+∞D.2,+∞1.(22-23高三下·广东)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x >0时，有xf (x )+2f (x )<0恒成立，则()A.4f (1)>f 12B.f (2)9<f (3)4C.9f 12>4f -13D.9f (-1)<f -132.(22-23高三下·广东东莞)已知函数f x 的定义域为-∞,0 ,其导函数f x 满足xf x -2f x >0,则不等式f x +2023 -x +2023 2f -1 <0的解集为()A.(-2024,-2023)B.(-2024,0)C.(-∞,-2023)D.(-∞,-2024)3.(22-23高三上·山东泰安·阶段练习)已知f x 是定义在R 上的偶函数，f x 是f x 的导函数，当x ≥0时，f x -2x >0，且f 1 =2，则f x >x 2+1的解集是()A.-1,0 ∪(1,+∞)B.-∞,-1 ∪1,+∞C.-1,0 ∪0,1D.-∞,-1 ∪0,14.(2024·陕西商洛·模拟预测)已知函数f x =2x ln x -ax 2，若对任意的x 1,x 2∈0,+∞ ，当x 1>x 2时，都有2x 1+f x 2 >2x 2+f x 1 ，则实数a 的取值范围为()A.12e,+∞ B.1,+∞C.1e,+∞ D.2,+∞重难点题型(二)、与指数函数或对数函数有关的构造函数5.(2023·广东佛山·校考模拟预测)已知f x 是函数y =f x x ∈R 的导函数，对于任意的x ∈R 都有f x +f x >1，且f 0 =2023，则不等式e x f x >e x +2022的解集是()A.2022,+∞B.-∞,0 ∪2023,+∞C.-∞,0 ∪0,+∞D.0,+∞6.(2023·安徽黄山·统考三模)已知定义域为R 的函数f x ，其导函数为f (x )，且满足f (x )-2f x <0，f 0 =1，则()A.e 2f -1 <1B.f 1 >e 2C.f 12<e D.f 1 >ef 1e7.(22-23高三下·天津)已知可导函数f x 的导函数为f x ,f 0 =2023，若对任意的x ∈R ，都有f x <f x ，则不等式f x <2023e x 的解集为()A.0,+∞B.2023e 2,+∞C.-∞,2023e 2D.-∞,08.(22-23高三下·全国)定义域为R 的可导函数f x 的导函数为f x ，满足f x -f x <0，且f 0 =1，则不等式f xex <1的解集为()A.0,+∞B.2,+∞C.-∞,0D.-∞,21.(2023·山东烟台·二模)已知函数f x 的定义域为R ，其导函数为f x ，且满足f x +f x =e -x ，f 0 =0，则不等式e 2x -1 f x <e -1e的解集为( )．A.-1,1eB.1e ,eC.-1,1D.-1,e2.(2022·青海西宁·二模(理))已知定义在R 上的可导函数f x 的导函数为f x ，满足f x <f x ，且f x +3 为偶函数，f 6 =1，则不等式f x >e x 的解集为．3.(23-24高三下·广东佛山)已知函数f x 的定义域为0，+∞ ，且f x >-f x ln2恒成立，则不等式f ln x 4<f 22ln x 的解集为()A.1,e 2B.0,e 2C.1,e 3D.0,e 34.(23-24高三下·福建)设f (x )在R 上存在导数f (x )，满足f (x )+f (x )>0，且有f (2)=2,e x -2f (x )>2的解集为( )．A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)重难点题型(三)、与三角函数有关的构造函数1.(22-23高三上·重庆沙坪坝)已知f x 是函数f x 的导函数，f x -f -x =0，且对于任意的x ∈0,π2有f x cos x >f -x sin -x ．则下列不等式一定成立的是()A.32f -12 <f -π6 cos 12B.f -π6 >62f -π4C.f -1 <2f π4cos1 D.22f π4 >f -π32.(2023秋·陕西西安)已知函数f x 的定义域为-π2,π2 ，其导函数是f x .有f x x cos +f x xsin <0，则关于x 的不等式f x <2f π3x cos 的解集为()A.π3,π2B.π6,π2 C.-π6,-π3D.-π2,π63.(22-23高三上·全国·阶段练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为-π,0 ，f -π6=-2，3f (x )cos x +f (x )sin x >0，则不等式f (x )sin 3x -14>0的解集为()A.-π3,0 B.-π6,0 .C.-π6,-π3D.-π,-2π34.(2021·甘肃省武威第二中学高三期中(理))对任意x ∈0,π2，不等式sin x ⋅f x <cos x ⋅f x 恒成立，则下列不等式错误的是()A.f π3>2f π4 B.f π3 >2cos1⋅f 1 C.f π4<2cos1⋅f 1 D.f π4<62f π65.(2020高三·全国·专题练习)已知偶函数y =f (x )对于任意的x ∈0,π2满足f (x )⋅cos x +f (x )⋅sin x >0(其中f (x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式中不成立的是()A.2f -π3 <f π4B.2f -π3 >f π4C.f (0)<2f -π4D.f π6<3f π31.(21-22高三上·江西南昌·期末)设函数f x 是定义在0，π 上的函数f x 的导函数，有f (x )cos x -f (x )sin x >0，若a =0，b =12f π3 ，c =-22f 3π4，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a2.(2021·东莞市东华高级中学高二期末)已知函数y =f (x )为R 上的偶函数，且对于任意的x ∈0,π2满足f '(x )cos x +f (x )sin x <0，则下列不等式成立的是()A.3f π3>f π6 B.f (0)>2f -π4C.f π4<2f -π3 D.-3f -π3>f -π6 3.(2022·安徽·合肥一中模拟)已知函数y =f x -1 图象关于点1,0 对称，且当x >0时，f x sin x +f x cos x >0则下列说法正确的是()A.f 5π6<-f 7π6 <-f -π6 B.-f 7π6<f 5π6 <-f -π6 C.-f -π6<-f 7π6 <f 5π6 D.-f -π6<f 5π6 <-f 7π6 4.(2024·重庆·模拟预测)若函数f x 的导函数为f x ，对任意x ∈-π,0 ,f x sin x <f x cos x 恒成立，则()A.2f -5π6 >f -3π4 B.f -5π6>2f -3π4 C.2f -5π6<f -3π4 D.f -5π6<2f -3π4 5.(21-22高三上·内蒙古赤峰·阶段练习)已知函数y =f (x )对任意的x ∈(0,π)满足f x cos x >f (x )sin x (其中f x 为函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是()A.f π6>3f π3 B.f π6<3f π3 C.3f π6>f π3 D.3f π6<f π3。

【新高考数学专用】专题16 构造函数用函数单调性判断函数值的大小(原卷+解析)22年难点解题方法突破

专题16 构造函数用函数单调性判断函数值的大小一、单选题 1．设ln 2ln 3ln ,,23a b c ππ===则下列判断中正确的是（） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>2．()f x 是定义在(0,)+∞上的非负､可导函数，且满足()()0xf x f x '-≤，对任意正数a ，b 若a b ≤，则必有（） A ．22()()a f b b f a ≤ B ．22()()a f b b f a ≥ C ．22()()a f a b f b ≤D ．22()()a f a b f b ≥3．()f x 是定义在非零实数集上的函数，()'f x 为其导函数，且0x >时，'()()0xf x f x -<，记0.2220.222(2)(0.2)(log 5)20.2log 5f f f a b c ===，，，则（）A ．a b c < A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①5．已知奇函数f (x )的定义域为(,),22ππ-且()'f x 是f (x )的导函数.若对任意(,0),2x π∈-都有()cos ()sin 0,f x x f x x '+<则满足()2cos ()3f f πθθ<⋅的θ的取值范围是（）A ．(,)23ππ-B ．(,)(,)2332ππππ--⋃ C ．(,)33ππ-D ．(,)32ππ 6．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()()0f x xf x '+>，若()660.70.7a f =，()()0.70.7log 6log 6b f =，()0.60.666c f =⋅，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，()20f =，则不等式2()x x e f x e e <-的解集为（）A ．()(),00,2∞⋃-B ．()(),02,-∞+∞C ．()0+∞，D ．(),2∞-8．若定义域为R 的函数()f x 的导函数为()'f x ，并且满足()()2f x f x '<-，则下列正确的是（） A ．(2021)(2020)2(1)f ef e -<- B ．(2021)(2020)2(1)f ef e ->- C ．(2021)(2020)2(1)f ef e ->+D ．(2021)(2020)2(1)f ef e -<+9．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，对于任意的π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭总有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则下列不等式成立的有（）A ()π026f ⎛⎫>⎪⎝⎭B ．ππ43f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ππ46⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>11．已知()'f x 是定义在上的函数()f x 的导函数，且2(1)(1)x f x f x e +=-，当1x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断正确的是（） A ．()()523e f f ->B ．()()523f e f ->C ．()()523e f f <-D ．()()523f e f >-12．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π4a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π3b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）.A ．a b c <>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>14．已知函数()f x （x ∈R ）满足()34f =，且()f x 的导函数()1f x '<，则不等式()221f x x -<的A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．(D ．((),3,-∞+∞15．已知直线l 与曲线()xf x e =和()lng x x =分别相切于点()11,A x y ，()22,B x y .有以下命题：（1）90AOB ∠>︒(O 为原点)；（2）()11,1x ∈-；（3）当10x <时，)2121x x ->.则真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．316．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()220182018420x f x f +++-<的解集为（） A ．(),2016-∞- B ．(2016,2012)-- C ．(2020,2016)-- D ．(2016,0)-17．已知定义在(0,)2π上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且对于任意的(0,)2x π∈，都有'()cos ()sin f x x f x x <，则（）A ()()43f ππ>B ()()64ππ<C ()()64ππD ()()63f ππ<18．设()f x '是定义域为R 的函数()f x 的导函数，()3f x '<，()32f -=-，则()37f x x >+的解集为（） A ．(),1-∞- B ．(),3-∞- C ．()()3,01-+∞， D ．()()1,01-+∞，19．已知函数()x x g x e e -=-，()()f x xg x =，若53(),(),(3)22a fb fc f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <12，则不等式1()22x f x <+的解集（） A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]①[1，＋∞)D ．(－1，1)21．设函数()()x f x F x e=是定义在R 上的函数，其中()f x 的导函数()'f x 满足()()f x f x '<对于x ∈R 恒A ．(2)f 2(0)e f >，2020(2020)(0)f e f >B ．(2)f 2(0)e f <，2020(2020)(0)f e f >C ．(2)f 2(0)e f <，2020(2020)(0)f e f <D ．(2)f 2(0)e f >，2020(2020)(0)f e f <22．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（） A ．(2)(1)2f f >B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 23．已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f '+<=，则不等式()13x f x e +>解集为（） A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞24．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x'+<，若(1)a f =，()33b f =--，2(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <>+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ B ．()1223131log 18log 22f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+>> ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ C ．()1232131log log 1822f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+>> ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ D ．()122313log 181log 22f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥>+> ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦26．若1201x x ，则（）A ．2121ln ln x x e e x x ->-B ．2121ln ln x x e e x x -<-C ．1221x x x e x e >D ．1221x x x e x e <27．设()()f x g x 、是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当a x b <<时有（）A ．()()()()f x g x f b g b >B ．()()()()f x g b f b g x >C ．()()()() >f x g a f a g xD ．()()()()f x g x f x a g >28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x '<-，()11f e =-，则不等式()1xf x e +>的解集为（） A ．()1,+∞B ．(),1-∞C ．(),e +∞D ．(),0-∞29．已知3ln 2t a =，2ln3t b =，23ln c t =，其中()3,4t ∈，则下列选项正确的是（） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b c a >> D ．c b a >>二、多选题30．下列命题正确的是（） A ．若110a b<<，则2233a b > B ．若1a b >-≥，则11a ba b≥++ C ．若ln ln a b b a >，则b a <D ．若ln3ln5,b 35a ==，则11a b a b +<+31．已知数列{a n }满足：0＜a 1＜1，()14n n n a a ln a +-=-．则下列说法正确的是（） A ．数列{a n }先增后减 B ．数列{a n }为单调递增数列 C ．a n ＜3D ．202052a >32．定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立.下列结论正确的是（）A ．()()22315f f ->B ．若()12f =，1x >，则()21122f x x x >++ C ．()()3217f f -<D ．若()12f =，01x <<，则()21122f x x x >++ 33．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列结论正确的是（） A ．()()2112x f x x f x 34．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且(1)()0x f x '-<，若1(0),,(3)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的有（）A ．b a >B ．c b >C ．b c >D ．c a >35．已知函()sin cos f x x x =-且π2a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,b f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22c f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C ．a c b >>D ．b a c >>36．已知函数()ln f x x x =，若120x x << ，则下列结论正确的是( ) A ．2112()()x f x x f x -时，112221()()2()x f x x f x x f x +>37．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 38．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；①当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；①当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（）A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =39．下列不等式正确的有（） A．ln32< B．ln π<C．15<D ．ln 22e <三、填空题40．设()f x '是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有()()()0x f x f x f x '-+>⎡⎤⎣⎦，且()12020f e =，则不等式()20200x xf x e -≥的解集为_______.41．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且()()0f x f x +'>，则()2ln2a f =，()1b ef =，()0c f =的大小关系为_____42．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中， ①函数()f x 的图象关于原点对称； ①当(0,)x π∈时，()0f x π-<<； ①若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x >； ①若sin ax x bx <<对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.所有正确结论的序号为______.43．已知函数()()f x x R ∈满足()11f =，()f x 的导数()1'2f x <，则不等式()22122x f x <+的解集为____.44．已知函数()f x 定义在R 上的函数，若2()()0x f x e f x --=，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，则不等式21()(1)x f x e f x -≥-的解集为__________45．已知实数),a b ∈+∞，且满足2211ln ba b a->，则a ，b ______． 46．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()'f x 满足21()()ln ,()x f x xf x x f e e'+==，则不等式1()f x e x e+>+的解集是____.47．已知函数()f x 的定义域为[]3,3-，其导函数为()f x '，对任意x ∈R ，()()f x f x '>恒成立，且()11f =，则不等式()x ef x e >的解集为________.48．已知函数()(0)x f x ae a =>与2()2(0)g x x m m =->的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为______________.四、解答题49．已知函数2()ln 2f x x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求证：存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -；（3）比较(1.18)f 与 2.18-的大小，并加以证明. 50．已知()()2ln f x x a x =-()a R ∈()1当a =e 是自然对数的底数），求()()f xg x x=的单调区间； ()2若()f x 既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.专题16 构造函数用函数单调性判断函数值的大小一、单选题 1．设ln 2ln 3ln ,,23a b c ππ===则下列判断中正确的是（） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】B 【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数分析()f x 的单调性，从而判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】设()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=，令()0f x '=，所以x e =，所以()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(),x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，因为()ln 22ln 2ln 44244f ===，且()()()34f f f π>>，所以b c a >>，故选：B. 【点睛】方法点睛：利用构造函数思想比较大小的方法：（1）先分析所构造函数的导函数，由此分析出函数的单调性；（2）先比较处于同一单调区间的函数值大小；（3）再通过一定方法（函数性质、取中间值等）将非同一单调区间的函数值转化到同一单调区间，即可完成比较大小.2．()f x 是定义在(0,)+∞上的非负､可导函数，且满足()()0xf x f x '-≤，对任意正数a ，b 若a b ≤，则必有（） A ．22()()a f b b f a ≤ B ．22()()a f b b f a ≥ C ．22()()a f a b f b ≤ D ．22()()a f a b f b ≥【答案】A 【分析】构造新函数()()(0);f x g x x x=>求导利用新函数的单调性得解. 【详解】设()()(0);f x g x x x =>则2()()();xf x f x g x x -''=因为()()0xf x f x '-≤；所以0x >时，()0,g x '≤则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上是减函数或常函数；所以对任意正数a ，b ，若a b ≤，则必有()()()().f a f b g a g b a b=≥=()f x 是定义在(0,)+∞上的非负､可导函数,()()0bf a af b ∴≥>110,0,a b a b <≤∴≥>两式相乘得2211()()()()bf a af b b f a a f b a b⨯≥⨯⇒≥故选A 【点睛】本题考查导数的运算，构造新函数，利用函数单调性比较大小，属于中档题..3．()f x 是定义在非零实数集上的函数，()'f x 为其导函数，且0x >时，'()()0xf x f x -<，记0.2220.222(2)(0.2)(log 5)20.2log 5f f f a b c ===，，，则（）A ．a b c <时，'()()0xf x f x -<，得'()0g x <，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又22log 5>log 42=，0.2122<<，20.04100.2=<<，可得0.222log 5>20.2＞，故0.222(log 5)(2()0.2g g g <<)，故c a b <<，故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性比较数值大小，关键在于由已知条件构造出合适的函数，属于中档题. 4．已知函数ln ()1xf x x=+在0x x =处取得最大值，则下列判断正确的是（）①()00f x x =，①()001f x x =，①()012f x <，①()012f x > A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①【答案】B 【分析】()211ln ()1x x f x x +-'=+，令()11ln g x x x=+-，可知()g x 在()0,∞+上单调递减，()()20g e g e ⋅<，所以存在()20,x e e∈使得()00011ln 0g x x x=+-=，进而可得()001f x x =，然后利用作差法可得()012f x <. 【详解】ln ()1xf x x=+的定义域为()0,∞+， ()()()22111ln 1ln ()11x xx x x f x x x +-+-'==++，令()11ln g x x x =+-在()0,∞+上单调递减， ()11ln 0g e e e =+->，()2222111ln 10g e e e e=+-=-<，所以20e x e <<，()00011ln 0g x x x =+-=，所以0011ln x x +=， 00000011ln 1()11x x f x x x x +===++，()00002111222x f x x x --=-=，因为20e x e <<，所以020x -<，所以()0102f x -<，即()012f x <；所以①①正确；故选：B 【点睛】思路点睛：要判断不等式或等式成立，首先要对函数求导，判断单调性，如果导函数大于或小于0无法求出解集，若导函数的分子符号是定的，需要看导函数的分子是否有单调性，如果看不出导函数分子的单调性，就要设分子为一个新的函数，再求导，利用零点存在定理，即可得出新函数的符号，即可判断原导函数的符号，即可解决问题. 5．已知奇函数f (x )的定义域为(,),22ππ-且()'f x 是f (x )的导函数.若对任意(,0),2x π∈-都有()cos ()sin 0,f x x f x x '+<则满足()2cos ()3f f πθθ<⋅的θ的取值范围是（）A ．(,)23ππ-B ．(,)(,)2332ππππ--⋃C ．(,)33ππ- D ．(,)32ππ【答案】D 【分析】令()()cos f x g x x =，先判断函数()g x 为奇函数，再判断函数()g x 在区间(2π-，)2π上单调递减，由()2cos ()3f f πθθ<⋅，得()()3g g πθ<，即可求出．【详解】令()()cos f x g x x=，(2x π∈-，)2π，()f x 为奇函数，cos y x =为偶函数，()g x ∴为奇函数．(2x π∀∈-，0)，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，2()cos ()sin ()0f x x f x xg x cos x'+∴'=<，()g x ∴在区间(2π-，0)上单调递减，又()g x 为奇函数， ()g x ∴在区间(2π-，)2π上单调递减，当(2x π∈-，)2π，cos 0x >，()2cos ()3f f πθθ<⋅，∴()()3cos cos 3f f πθπθ<，()()3g g πθ∴<，∴32ππθ<<故选：D 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；①若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 6．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()()0f x xf x '+>，若()660.70.7a f =，()()0.70.7log 6log 6b f =，()0.60.666c f =⋅，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】A 【分析】令()()g x xf x =，得到()()g x xf x =是定义在R 上的奇函数，且在R 上是增函数，结合单调性，即可求解. 【详解】令()()g x xf x =，由()y f x =是定义在R 上的偶函数，可得()()g x xf x =是定义在R 上的奇函数，又因为[)0,x ∈+∞时，()()0y f x xf x ''=+>，所以()()g x xf x =在[)0,+∞上是增函数，所以()()g x xf x =是定义在R 上的增函数，又由60.60.7log 600.716<<<<，所以()060.6.7(0.7)l )og 6(6g g g <<，即b a c <<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比较大小问题，其中解答中构造新函数()()g x xf x =，求得函数()g x 的奇偶性和单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，()20f =，则不等式2()x x e f x e e <-的解集为（） A ．()(),00,2∞⋃-B ．()(),02,-∞+∞C ．()0+∞，D ．(),2∞-【答案】D 【分析】构造函数()()xxF x e f x e =-，则由题意可证得()F x 在R 上单调递增，又()20f =，()()22222F e f e e =-=-，故2()x x e f x e e <-可转化为()()2F x F <，解得2x <.【详解】令()()x xF x e f x e =-，则()()()()()1x x x x F x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-⎡⎤⎣⎦，因为()()1f x f x '+>，所以()()()0x F x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()F x 在R 上单调递增，又()20f =，所以()()22222F e f e e =-=-故当2()x x e f x e e <-时，有2()x x e f x e e -<-，即()()2F x F <，由()F x 的单调性可知2x <. 故选：D. 【点睛】本题考查导数与函数的应用，考查构造函数法，根据函数的单调性求解不等式，难度一般.8．若定义域为R 的函数()f x 的导函数为()'f x ，并且满足()()2f x f x '<-，则下列正确的是（） A ．(2021)(2020)2(1)f ef e -<- B ．(2021)(2020)2(1)f ef e ->- C ．(2021)(2020)2(1)f ef e ->+ D ．(2021)(2020)2(1)f ef e -<+【答案】B 【分析】根据题意，可知()()20f x f x '-->，构造函数()2()xf xg x e+=，利用导数研究函数的单调性，可知()g x 在R 上单调递增，得出(2021)(2020)g g >，整理即可得出答案．【详解】解：由题可知()()2f x f x '<-，则()()20f x f x '-->，令()2()xf xg x e +=，而0x e >，则()()2()0xf x f xg x e '--'=>，所以()g x 在R 上单调递增，故(2021)(2020)g g >，即20212020(2021)2(2020)2f f e e ++>，故(2021)2(2020)2f ef e +>+，即(2021)(2020)22f ef e ->-，所以(2021)(2020)2(1)f ef e ->-. 故选：B. 【点睛】本题考查根据函数的单调性比较大小，考查构造函数和利用导数解决函数单调性问题，属于中档题． 9．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，对于任意的π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭总有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则下列不等式成立的有（）A ()π026f ⎛⎫>⎪⎝⎭B ．ππ43f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ππ46⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【分析】构造函数()()cos f x F x x=，对其求导，根据题中条件，得到()F x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，可判断AB 错误；再由()f x 与cos y x =均为偶函数，可得()F x 为偶函数，进而可判断C 正确，D 错误.【详解】构造函数()()cos f x F x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xF x x'+'=，因为对于任意的π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭总有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，所以当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0F x '>，所以()F x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数， ①()π06F F ⎛⎫<⎪⎝⎭，ππ43F F ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()π06πcos0cos 6f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，ππ43ππcos cos43f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<，()π026f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，ππ43f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A ，B 错误；又()f x 与cos y x =均为偶函数，所以() F x 为偶函数，因此πππ336F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即ππ36ππcos cos36f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；ππ46⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：C . 【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，考查导数的方法研究函数的单调性，属于常考题型.10．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】D 【分析】将a 、b 、c 分别表示为ln 55a =，ln e b e =，ln88c =，然后构造函数()ln xf x x =，利用导数分析函数()y f x =的单调性，并利用单调性比较a 、b 、c 三个数的大小．【详解】根据题意，ln55a =，1ln =e b e e -=，ln88c =. 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，由()0f x '<得x e >；由()0f x '>得0x e <<；则函数()f x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减，又58e <<，所以()()()58f e f f >>，因此b a c >>．故选：D ．【点睛】本题主要考查由函数单调性比较函数值大小，熟记导数的方法判定函数单调性即可，属于常考题型. 11．已知()'f x 是定义在上的函数()f x 的导函数，且2(1)(1)x f x f x e +=-，当1x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断正确的是（） A ．()()523e f f ->B ．()()523f e f ->C ．()()523e f f <-D ．()()523f e f >-【答案】A 【分析】构造函数()()xf xg x e =，由(1)(1)g x g x -=+，可得()g x 的图象关于直线1x =对称，利用导数研究函数的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】构造函数()()x f x g x e =，因为2(1)(1)xf x f x e +=-，所以11(1)(1)x xf x f x e e+-+-=，则(1)(1)g x g x -=+，所以()g x 的图象关于直线1x =对称，因为当1x >时，()()f x f x '>，所以()()()0xf x f xg x e''-=>，所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以有(3)(2),(2)(3)g g g g ->->，即3223(3)(2)(2)(3),f f f f e e e e---->>，即5(3)(2)e f f ->，5(2)(3)e f f ->，故选：A. 【点睛】本题考查了导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数，属于中档题.12．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π4a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π3b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】D 【分析】首先设函数()()sin f x g x x=，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小. 【详解】设()()sin f x g x x=， ()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数，并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin4fa gππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333sin3fb f g gπππππ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-==-=⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎪⎝⎭，222sin2fc f gππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g gπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a b c>>.故选：D【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型. 13．下列三个数：33ln22a=-，lnbππ=-，ln33c=-，大小顺序正确的是（）A．a c b>>B．a b c>>C．b c a>>D．b a c>>【答案】A【分析】构造函数()lnf x x x=-，对其求导，判断单调性，进而可得出结果.【详解】构造函数()lnf x x x=-，因为1()10f xx'=-<对一切(1,)x∈+∞恒成立，所以函数()lnf x x x=-在(1,)x∈+∞上是减函数，从而有3(3)()2f f fπ⎛⎫>>⎪⎝⎭，即a c b>>.故选：A．【点睛】本题主要考查根据函数单调性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.14．已知函数()f x（x∈R）满足()34f=，且()f x的导函数()1f x'<，则不等式()221f x x-<的解集为（）A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C．( D．((),3,-∞+∞【答案】B 【分析】构造函数()()g x f x x =-，求导后可证得()g x 在R 上单调递减，将原不等式可转化为()()()221133f x x f ---<-，即()()213g x g -<，再利用函数单调性的定义求解.【详解】令()()g x f x x =-，则()()10g x f x ''=-<，所以()g x 在R 上单调递减.因为不等式()221f x x -<可等价于()()()221133f x x f ---<-，即()()213g x g -<，所以213x ->，解得2x >或2x <-，故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及利用函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．已知直线l 与曲线()xf x e =和()lng x x =分别相切于点()11,A x y ，()22,B x y .有以下命题：（1）90AOB ∠>︒(O 为原点)；（2）()11,1x ∈-；（3）当10x <时，)2121x x ->.则真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】先利用导数求斜率得到直线l 的方程，可得出()1121211ln 1x x e xe x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，分类讨论1x 的符号，计算化简()111x x OA OB x e e -⋅=-并判断其符号即得命题①正确；由()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩结合指数与对数的互化，得到111101xx e x +=>-，即得1x 的范围，得命题①错误；构造函数1111()1x x F x e x +=--，研究其零点132,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，再构造函数()x h x e x -=-并研究其范围，即得到12112x x x e x --=->，得到命题①正确. 【详解】()x f x e =，()x f x e '∴=，所以直线l 的斜率11x k e =，直线l 的方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x x y e x x e =+-，同理根据()ln g x x =可知，直线l 的方程为()221ln 1y x x x =+-，故()1121211ln 1x x e xe x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，得1221ln ln x x x ==-. 命题①中，若10x =，由121x e x =可得21x =，此时等式()1121ln 1xe x x -=-不成立，矛盾； 10x ≠时，()()11111212111x x x x OA OB x x y y x e e x x e e --⋅=+=+⋅-=-，因此，若10x <，则110x x ->>，有110x x e e -->，此时0OA OB ⋅<；若1>0x ，则110x x -<<，有110x x e e --<，此时0OA OB ⋅<. 所以根据数量积定义知，cos 0AOB ∠<，即90AOB ∠>，故①正确；命题①中，由()1121211ln 1x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩得1211111ln 1110111x x x x e x x x ---+===>---，得11x <-或11x >，故①错误；命题①中，因为21ln 2111x x x x ex e x --=-=-，由①知，11111xx e x +=-，11x <-或11x >，故当10x <时，即11x <-，设1111()1x x F x e x +=--，则()1212()01x F x e x '=+>-，故()F x 在(),1-∞-是增函数，而21(2)03F e --=-<，3231025F e -⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，故1111()01x x F x e x +=-=-的根132,2x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，因为21ln 2111x x x x e x e x --=-=-，故构造函数()xh x e x -=-，32,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，则()10x h x e -'=--<，故()h x 在32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以32333()52222xh x e x g e -⎛⎫=->-=+>+> ⎪⎝⎭，故)2121x x ->，故①正确.故选：C. 【点睛】本题考查了利用导数几何意义求曲线的切线，考查了利用函数的单调性研究函数的零点问题，属于函数的综合应用题，属于难题.16．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()220182018420x f x f +++-<的解集为（） A ．(),2016-∞- B ．(2016,2012)-- C ．(2020,2016)-- D ．(2016,0)-【答案】A 【分析】构造新函数()()2g x x f x =，根据条件可得()g x 是奇函数且单调递增，将所求不等式化为()()()()222018+20184222x f x f f +<--=，即()()20182g x g +<，解得20182x +<，即2016x <-【详解】解：因为()f x 为R 上奇函数，所以()()f x f x -=-，设()()2g x x f x =，所以22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，所以()g x 为R 上奇函数，对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦，而当(0,)x ∈+∞时，有()()220f x xf x x '>+≥故(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 单调递增，又()g x 为R 上奇函数，(,0)x ∈-∞时，()g x 单调递增，()g x 在R 上可导，()g x 在0x =处连续，所以()g x 在R 上单调递增，不等式()()()22018+2018420x f x f ++-<()()()22018+201842x f x f +<--， ()()()22018+201842x f x f +<即()()20182g x g +<所以20182x +<，解得2016x <- 故选：A 【点睛】本题考查构造新函数并利用其单调性求解不等式、利用导数判断函数的单调性，函数的奇偶性的应用，题目较综合，有一定的技巧性，是中档题. 17．已知定义在(0,)2π上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且对于任意的(0,)2x π∈，都有'()cos ()sin f x x f x x <，则（）A ()()43f ππ>B ()()64ππ<C ()()64ππD ()()63f ππ<【答案】A 【分析】构造函数()cos ()g x x f x =⋅，利用导数判断出函数()g x 的单调性，即可判断正确选项．【详解】解：由题意：构造函数()cos ()g x x f x =⋅，则()()cos ()sin 0g x f x x f x x '='-<在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，所以()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以3ππ4π6g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以coscoscos6644ππππππ33f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1624πππ23f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3π4πf ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4π6π⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π6πf ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性比较函数值的大小，是中档题．18．设()f x '是定义域为R 的函数()f x 的导函数，()3f x '<，()32f -=-，则()37f x x >+的解集为（） A ．(),1-∞- B ．(),3-∞- C ．()()3,01-+∞， D ．()()1,01-+∞，【答案】B 【分析】根据()3f x '<，构造函数()()3g x f x x =-，由()()30g x f x ''=-<，得到()g x 在R 上递减，然后将不等式()37f x x >+转化为()37f x x ->，利用函数单调性定义求解. 【详解】因为()3f x '<，即()30f x '-<，设函数()()3g x f x x =-，()()30g x f x ''=-<， ()g x 在R 上递减，又()32f -=-，所以()()()33337g f -=--⨯-=，不等式()37f x x >+转化为：()37f x x ->，即()()3g x g >-，所以3x <-，故选：B 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及利用函数单调性的定义解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．已知函数()x x g x e e -=-，()()f x xg x =，若53(),(),(3)22a fb fc f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，()g x ∴在R 上单调递增，当0x >时，有()(0)0g x g >=，()()()0f x g x xg x '=+'>，即()f x 在(0,)+∞上递增，所以355()()()(3)222f f f f <-=<，故选:C ．【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性的综合运用，同时涉及了运用导数判断函数的单调性，属于中档题． 20．已知函数f (x )(x ①R )满足(1)1f =，且()f x 的导数f ′(x )>12，则不等式1()22x f x <+的解集（） A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]①[1，＋∞)D ．(－1，1)【答案】A 【分析】根据f ′(x )>12，构造函数 ()()122x g x f x =-- ，又()()1111022=--=g f ，然后将不等式1()22x f x <+，转化为1()022--<x f x ，利用单调性的定义求解. 【详解】因为f ′(x )>12，所以()102f x '-> 所以()()()()()110222x g x f x g x f x g x =--⇒=->⇒'' 在R 上递增，又()()1111022=--=g f ，所以不等式1()22x f x <+，即为1()022--<x f x ，即为：()()1g x g <，所以1x <，故选：A 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了构造转化求解问题的能力，属于中档题. 21．设函数()()x f x F x e=是定义在R 上的函数，其中()f x 的导函数()'f x 满足()()f x f x '<对于x ∈R 恒成立，则（）A ．(2)f 2(0)e f >，2020(2020)(0)f e f >B ．(2)f 2(0)e f <，2020(2020)(0)f e f >C ．(2)f 2(0)e f <，2020(2020)(0)f e f <D ．(2)f 2(0)e f >，2020(2020)(0)f e f < 【答案】C 【分析】对()F x 求导得()()()xf x f x F x e '-'=，可证得()F x 在R 上单调递减，于是有F （2）(0)F <和(2020)(0)F F <，从而得解.【详解】()()x f x F x e =，()()()0xf x f x F x e -∴='<'， ()F x ∴在R 上单调递减，F ∴（2）(0)F <，即2(2)(0)1f f e <，f （2）2(0)e f <； (2020)(0)F F <，即2020(2020)(0)1f f e <，2020(2020)(0)f e f <. 故选：C . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的转化思想和逻辑推理能力，属于中档题.22．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（） A ．(2)(1)2f f > B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 【答案】D 【分析】令()()F x xf x =，结合已知条件可知()F x 为R 上的增函数，故可根据()()21F F >得到正确的选项. 【详解】令()()F x xf x =，则()()()0xf x x F x f '='+>，故()F x 为R 上的增函数，所以()()21F F >即()()221f f >，故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性，注意根据导数满足的关系合理构建新函数，本题属于基础题.23．已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f '+<=，则不等式()13x f x e +>解集为（） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞【答案】C【分析】构造函数()()1xf xg x e+=,再分析()g x 的单调性以及()0g 求解()13xf x e +>即可. 【详解】构造函数()()1xf xg x e+=,则()()()10x f x f x e g x '--=>',故()g x 在R 上为增函数. 又()()00103f g e+==,故()13xf x e +>即()13x f x e +>,即()()0g x g >.解得0x >. 故选：C 【点睛】本题主要考查了构造函数求解不等式的问题,需要根据题中所给的导数不等式或者所求的不等式,构造合适的函数,再根据函数的单调性求解.属于中档题.24．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x'+<，若(1)a f =，()33b f =--，2(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】B 【分析】先设()()g x xf x =，对()()g x xf x =求导，结合题中条件，判断()g x 的单调性，再根据函数()y f x =为奇函数，得到()g x 的奇偶性，进而可得出结果. 【详解】设()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+，因为当0x ≠时，()()0f x f x x'+<，所以当0x >时,()()0f x xf x '+<，即()0g x '<；当0x <时,()()0f x xf x '+>，即()0g x '>；所以()g x 在()0-∞，上单调递增，在()0+∞，上单调递减；又函数()y f x =为奇函数，所以()()f x f x -=-，因此()()()()g x xf x xf x g x -=--==，。

高考数学构造函数试题(含答案)

构造函数一、考点一f(x)与f′(x)共存的不等式问题例题1.(1)定义在R上的函数f(x)，满足f(1)=1，且对任意x∈R都有f′(x)<12，则不等式f xlg>lg x+12的解集为(0,10).(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，若当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(-3) =0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞，-3)∪(0,3)．【解析】(1)由题意构造函数g(x)=f(x)-12x，则g′(x)=f′(x)-12<0，所以g(x)在定义域内是减函数．因为f(1)=1，所以g(1)=f(1)-12=12，由f(lg x)>lg x+12，得f(lg x)-12lg x>12.即g(lg x)=f(lg x)-12lg x>12=g(1)，所以lg x<1，解得0<x<10.所以原不等式的解集为(0,10)．(2)借助导数的运算法则，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0⇔[f(x)g(x)]′>0，所以函数y=f(x)g(x)在(-∞，0)上单调递增．又由题意知函数y=f(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(-3,0)，(3,0)．数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞，-3)∪(0,3)．【答案】(1)(0,10)；(2)(-∞，-3)∪(0,3)[解题技法](1)对于不等式f′(x)+g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)+g(x)．(2)对于不等式f′(x)-g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)-g(x)．特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)=f(x)-kx.(3)对于不等式f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)g(x)．(4)对于不等式f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f xg x(g(x)≠0)．例题2.(1)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0,当x>0时，xf′(x)-f(x)<0，则使得f(x) >0成立的x的取值范围是(A)A.-∞,-1∪(0,1) B.(-1,0)∪1,+∞C.-∞,-1∪(-1,0) D.(0,1)∪1,+∞(2)设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)+xf′(x)>x2，则下列不等式在R上恒成立的是(A)A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)>xD.f(x)<x【解析】(1)令g(x)=f xx，则g′(x)=xf′x -f xx2.由题意知，当x>0时，g′(x)<0，∴g(x)在(0，+∞)上是减函数．∵f(x)是奇函数，f(-1)=0，∴f(1)=-f(-1)=0，∴g(1)=f(1)=0，∴当x∈(0,1)时，g(x)>0，从而f(x)>0；当x ∈(1，+∞)时，g (x )<0，从而f (x )<0.又∵f (x )是奇函数，∴当x ∈(-∞，-1)时，f (x )>0；当x ∈(-1,0)时，f (x )<0.综上，所求x 的取值范围是(-∞，-1)∪(0,1)．(2)令g (x )=x 2f (x )-14x 4，则g ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x )-x 3=x [2f (x )+xf ′(x )-x 2]．g 0 =0.当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )>g (0)，即x 2f (x )-14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x <0时，g ′(x )<0，∴g (x )>g (0)，即x 2f (x )-14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x =0时，由题意可得2f (0)>0，∴f (0)>0.综上可知，f (x )>0.【答案】(1)A ；(2)A[解题技法](1)对于xf ′(x )+nf (x )>0型，构造F (x )=x n f (x )，则F ′(x )=x n -1[xf ′(x )+nf (x )](注意对x n -1的符号进行讨论)，特别地，当n =1时，xf ′(x )+f (x )>0，构造F (x )=xf (x )，则F ′(x )=xf ′(x )+f (x )>0.(2)对于xf ′(x )-nf (x )>0(x ≠0)型，构造F (x )=f x x n ，则F ′(x )=xf ′x -nf xx n ＋1(注意对x n +1的符号进行讨论)，特别地，当n =1时，xf ′(x )-f (x )>0，构造F (x )=f x x ，则F ′(x )=xf ′x -f xx 2>0例题3.(1)已知f (x )为R 上的可导函数，且∀x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则有(D )A.e 2019f (-2019)<f (0)，f (2019)>e 2019f (0)B.e 2019f (-2019)<f (0)，f (2019)<e 2019f (0)C.e 2019f (-2019)>f (0)，f (2019)>e 2019f (0)D.e 2019f (-2019)>f (0)，f (2019)<e 2019f (0)(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+2f ′(x )>0恒成立，且f (2)=1e(e 为自然对数的底数)，则不等式e x f (x )-e x2>0的解集为(2，+∞)．【解析】(1)构造函数h (x )=f x e x ，则h ′(x )=f ′x -f xe x<0，即h (x )在R 上单调递减，故h (-2019)>h (0)，即f -2019 e －2019>f 0e⇒e 2019f (-2019)>f (0)；同理，h (2019)<h (0)，即f (2019)<e 2019f (0)，故选D .(2)由f (x )+2f ′(x )>0得212f x +f ′x>0，可构造函数h (x )=e x2f (x )，则h ′(x )=12e x2[f (x )+2f ′(x )]>0，所以函数h (x )=e x2f (x )在R 上单调递增，且h (2)=ef (2)=1.不等式e x f (x )-e x2>0等价于e x2f (x )>1，即h (x )>h (2)⇒x >2，所以不等式e xf (x )-e x2>0的解集为(2，+∞)．【答案】(1)D ；(2)(2，+∞)[解题技法](1)对于不等式f 'x +f x >0(或<0)，构造函数F (x )=e x f (x )(2)对于不等式f 'x -f x >0(或<0)，构造函数F (x )=f (x )e x(3)对于不等式nf 'x +f x >0(或<0)，构造函数F (x )=e xn f (x )(4)对于不等式nf'x -f x >0(或<0)，构造函数F(x)=f x e x n(5)对于不等式f'x +nf x >0(或<0)，构造函数F(x)=e nx f(x)(6)对于不等式f'x -nf x >0(或<0)，构造函数F(x)=f x e nx1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立，则(A) A.4f(-2)<9f(3) B.4f(-2)>9f(3) C.2f(3)>3f(-2) D.3f(-3)<2f(-2)【答案】A【解析】根据题意，令g(x)=x2f(x)，其导函数g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)，又对任意的x>0都有2f(x)+ xf′(x)>0成立，则当x>0时，有g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]>0恒成立，即函数g(x)在(0，+∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(-x)=f(x)，则有g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g (x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(-2)=g(2)，且g(2)<g(3)，则有g(-2)<g(3)，即有4f(-2)<9f(3)．2.f(x)在0,+∞上的导函数为f′(x)，xf′(x)>2f(x)，则下列不等式成立的是(A) A.20182f(2019)>20192f(2018) B.20182f(2019)<20192f(2018)C.2018f(2019)>2019f(2018)D.2018f(2019)<2019f(2018)【答案】A【解析】令g(x)=f xx2，x∈(0，+∞)，则g′(x)=x2f′x -2xf xx4=xf′x -2f xx3>0，则g(x)在(0，+∞)上为增函数，即f201920192>f201820182，∴20182f(2019)>20192f(2018)。

2024高考数学常考题型导数中构造函数比大小问题题型总结(解析版)

第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造()xxx f ln =比较大小此函数定义域为()+∞,0，求导()2ln 1x xx f -='，当()e x ,0∈时，()0>'x f ，故()x f 为增函数，当()+∞∈,e x 时，()0<'x f ，故()x f 为减函数，当e x =时，()x f 取得极大值为()ee f 1=，且()()222ln 42ln 244ln 4f f ====，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若1ln 2ln 3,,e 23a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．a b c>>【答案】A 【解析】【分析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数()ln xf x x=，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：1ln e ln 2ln 4ln 3,,e e 243a b c =====，设()()2ln 1ln ,x x f x f x x x -'==，则e x >时，()0f x '<，故()f x 在()e,∞+上单调递减，则()()()3e 4f f f >>，即ln e ln 3ln 4e34>>，所以a c b >>．故选：A.【例2】（2023·全国·高三专题练习）设24ln 4a e -=，ln 22b =，1c e =，则（）A ．a c b <时,()0f x '<,函数单调递减,当0e x <<时,()0f x '>,函数单调递增,故当e x =时,函数取得最大值()1e ef =,因为()2222e ln 22ln22e e e 22a f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()()4ln2l e n 4e 1,24b f c f =====,2e 42e << ,当e x >时,()0f x '<,函数单调递减,可得()()2e 4e 2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即b a c <<.故选:C【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（）①ln 32<；②ln π<；③15<；④3e ln 2>．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以构造函数()ln x f x x =，然后通过导数计算出函数()ln xf x x=的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数()ln xf x x=的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，e x >时，()0f x '<，所以函数()ln xf x x=在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，所以当e x =时()f x 取得最大值1e，ln 322ln 2ln 22<⇔⇔，2e <<可得()2ff <，故①正确；lnπ<⇔e <<，可得f f <，故②错误；ln 2ln 4152ln1524<⇔<⇔<<，因为函数()ln xf x x=在()e,+∞上递减，所以()4f f<，故③正确；因为e >，所以(()e f f <，ln ee <1e <，则3e <即3e ln 2<④错误，综上所述，有2个正确.故选：B ．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 55ln a a =，ln 66ln b b =，ln 77ln c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，函数()F x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为765e >>>，所以()()()765f f f <<，因为a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 5ln 5a a =，ln 6ln 6b b =，ln 7ln 7c c=，所以()()()f a f b f c >>，所以a b c >>，故选：B.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设ln 28a =，21e b =，ln 612c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b<<【答案】B 【解析】【分析】根据a 、b 、c 算式特征构建函数()2ln xf x x =，通过求导确定函数单调性即可比较a 、b 、c 的大小关系.【详解】令()2ln x f x x =，则()42ln 0x x xx x f x '-==⇒=因此()2ln xf x x =在)∞+上单调递减，又因为ln 2ln 4(4)816a f ===，22ln e1=(e)e e b f ==，ln 612c f ===，因为4e >>>a b c <<．故选：B ．【题型专练】1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若ln212ln3,,29e a b c ===，则（）A ．b a c>>B ．b c a>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】令()ln xf x x=，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a 、c ，即可得解；【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以当0e x <<时()0f x '>，当e x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max ln e 1e e e f x f ===，所以1e ln22>又94ln22ln39ln 24ln 3ln 2ln 3ln 512ln 91029181818----===>所以ln22ln329>，即b a c >>.故选：A2.（2022·浙江台州·高二期末）设24ln 4e a -=，ln 22b =，c =，则（）A ．a b c <，可得21ln ()x f x x -'=，所以()0f x '>有0e x <<，则(0,e)上()f x 递增；()0f x '<有e x >，则(e,)+∞上()f x 递减；又2e 43e 2>>>，故c a b >>.故选：B3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1ln 32）43ln 34<e （3）ee ππ>.三个不等式中，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】【分析】根据题目特点，构造函数()ln x f x x =，则可根据函数()ln xf x x=的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数()ln xf x x=，则()21ln xf x x -'=，令()0,f x '>解得0e x <<，令()0,f x '<解得e x >，故()ln xf x x=在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,+∞单调递减，所以，（1）ff <ln 3>，则正确；（2）()43e 3f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即4343lne ln33e <，即43e ln 34⋅>，则错误；（3）()()πf e f >，即e e e e e e ππππππln ln ln ln ln ln >⇒>⇒>，所以，e e ππ>，则正确故选：C.4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若ln 33a =，1eb =，3ln 28c =，则（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A 【解析】【分析】设函数ln (),(0)xf x x x=>，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 递增，当e x >时，()0f x '<，()f x 递减，当e x =时，函数取得最小值，由于e 38<<，故lne ln 3ln 8e 38>>，即b a c >>，故选：A5.（2022·山东日照·高二期末）π是圆周率，e 是自然对数的底数，在e 3，3e ，33，e e ，πe ，3π，π3，e π八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】e e π3【解析】【分析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e 以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数()ln xf x x=的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是e e .函数3x y =是增函数，且e 3π<<，∴e 3π333<<；函数e x y =是增函数，且e 3π<<，e 3πe e e <<；函数πx y =是增函数，且e 3π<<，e 3ππ<；函数e y x =在()0,∞+是增函数，且e 3π<<，e e e e 3π<<，则八个数中最小的数是e e 函数πy x =在()0,∞+是增函数，且e 3<，ππe 3<，八个数中最大的数为3π或π3，构造函数()ln xf x x=，求导得()21ln xf x x -'=，当()e,x ∈+∞时()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞是减函数，()()3πf f >，即ln 3ln π3π>，即πln 33ln π>，即π3ln 3ln π>，π33π∴>，则八个数中最大的数是π3.故答案为：e e ；π3．6.（2022·安徽省宣城中学高二期末）设24ln41,,e ea b c -===,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <，利用导数求得()f x 的单调性和最值，化简可得2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(e)b f =，(2)c f =，根据函数解析式，可得ln 4(4)(2)4f f ==且2e e 42<<，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设ln ()(0)xf x x x=>，则221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==，当(0,e)x ∈时，()0f x '>，则()f x 为单调递增函数，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 为单调递减函数，所以max 1()(e)ef x f ==，又222222e ln 4ln42(ln e e 2e e e 22ln 2)a f ⎛⎫-==-== ⎪⎝⎭，1(e)e b f ==，1ln 2(2)2c f ===，又2ln 4ln 2ln 2(4)(2)442f f ====，2e e 42<<，且()f x 在(e,)+∞上单调递减，所以2e (2)(4)2f f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以b a c >>.故选：D7.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <，构造函数ln (),(0)xf x x x=>，判断01x <<时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b 的大小，即可得答案.【详解】由ln ln ln 0e a a b cb c==-<，得01,01,1a b c <<<<>，设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，因为01a <<，所以e 1>>a a ，所以ln ln e a aa a>，故()()ln ln ln e =>∴>a a b a f b f a b a ，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<.故选：C.题型二：利用常见不等式关系比较大小1、常见的指数放缩：)1();0(1=≥=+≥x ex e x x e xx证明：设()1--=x e x f x，所以()1-='xe xf ，所以当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ，所以()x f 为减函数，当当()+∞∈,0x 时，()0>'x f ，所以()x f 为增函数，所以当0=x 时，()x f 取得最小值为()00=f ，所以()0≥x f ，即1+≥x e x2.常见的对数放缩：)(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =≤=-≤≤-3.常见三角函数的放缩：x x x x tan sin ,2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈π【例1】（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x=+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】（2022·山东菏泽·高二期末）已知910a =，19eb -=，101ln 11c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <+≠，从而得到11b a>，设()ln 1g x x x =-+，利用导数得到()ln 11x x x <-≠，从而得到111ln 1010<和c a >，即可得到答案.【详解】解：设()e 1x f x x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x ¢=，解得0x =.(),0x ∈-∞，()0f x ¢<，()f x 单调递减，()0,x ∞∈+，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以()()00f x f ≥=，即e 10x x --≥，当且仅当0x =时取等号.所以()e 10xx x >+≠.又1911101e 199b a=>+==，0,0a b >>，故11b a >，所以b a <；设()ln 1g x x x =-+，()111xg x x x-'=-=，令()0g x ¢=，解得1x =.()0,1∈x ，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x ¢<，()g x 单调递减.所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，当且仅当1x =时取等号.所以()ln 11x x x <-≠，故11111ln 1101010<-=，又1011011lnln ln ln1011101110c a -=+>+==，所以c a >，故b a c <<.故选：B.【例3】（2022·四川凉山·高二期末（文））已知0.01e a =， 1.01b =，1001ln 101c =-，则（）．A ．c a b >>B ．a c b>>C ．a b c>>D ．b a c>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()e 1x f x x =--，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设()e 1x f x x =--，则e ()10x f x '=->，在0x >时恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以e 1(0)0x x f -->=，即e 1x x >+，0x >，∴0.01e 1.01>，又ln1.010>，∴ln1.01e 1ln1.01>+，即1001.011ln 101>-，所以a b c >>．故选：C ．【例4】（2022·四川绵阳·高二期末（理））若8ln 7a =，18=b ,7ln 6c =，则（）A ．a c b <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可比较得出a 、b 的大小关系，利用对数函数的单调性可得出c 、a 的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数()1ln 1f x x x=+-，其中1x >，则()221110x f x x x x -'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，故()()10f x f >=，则88781ln 1ln 077878f ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，即a b >，78lnln 67> ，因此，b a c <<.故选：D.【例5】（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解.【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A 【题型专练】1.（2022·福建·莆田一中高二期末）设ln1.01a =， 1.0130e b =，1101c =，则（）A ．a b c <），证明ln 1≤-x x ，令 1.01x =，排除选项A,B,再比较,a b 大小，即得解.【详解】解：构造函数()ln 1f x x x =-+（0x >），()10f =，()111xf x x x-'=-=，所以()f x 在()0,1上()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 在()1,+∞上()0f x '<，()f x 单调递减，所以max ()(1)0,ln 10,ln 1f x f x x x x ==∴-+≤∴≤-，令 1.01x =，则 ln a x =，30e x b =，11c x=-，考虑到ln 1≤-x x ，可得11ln 1x x ≤-，1ln 1x x -≥-等号当且仅当 1x =时取到，故 1.01x =时a c >，排除选项A ，B.下面比较,a b 大小，由ln 1≤-x x 得 1.01ln1.01 1.0130e<<，故b a >，所以c a b <<.故选：D.2.（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知1cos 5a =，4950b =，15sin 5=c ，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数21()cos 12f x x x =+-，利用导数求解函数()f x 的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设21()cos 1,(01)2f x x x x =+-<<，则()sin f x x x '=-，设()sin ,(01)g x x x x =-<<，则()1cos 0g x x '=->，故()g x 在区间(0,1)上单调递增，即()(0)0g x g >=，即()0f x '>，故()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，可得149cos 550>，故a b >，利用三角函数线可得0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以11tan 55>，即1sin1515cos 5>，所以115sincos 55>，故c a >综上，c a b >>故选：D.3（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x =+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.题型三：构造其它函数比大小（研究给出数据结构，合理构造函数）【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知1ln 22a a -=，1ln 33b b -=，e ln e cc -=，其中12a ≠，13b ≠，e c ≠，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．c a b <，并求()f x '，利用函数()f x 的图象去比较a b c 、、三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得11ln ln 22a a -=-，11ln ln 33b b -=-，ln e ln e c c -=-，构造函数()()ln 0f x x x x =->，()111x f x x x-'=-=，令()0f x '=，得1x =，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，函数()f x 的大致图象如图所示．因为()12f a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()e f c f =，且12a ≠，13b ≠，e c ≠，则由图可知1b a >>，01c <<，所以c a b <<．故选：A ．【例2】（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设 1.01e a =，3eb =，ln 3c =，其中e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】可判断 1.012e a =>，e32b =<，ln 32c =<，再令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解： 1.012e a =>，e 32b =<，ln 32c =<，令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，11()0e e e x f x x x-'=-=<，故()f x 在[e ，)∞+上是减函数，故()()e 3f f <，即3ln 30e-<，故 1.013l e e n 3<<，即c b a <<，故选：D ．【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知ln 32a =，1e 1b =-，ln 43c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件构造函数ln ()e)1xf x x x =≥-，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数ln ()(e)1x f x x x =≥-，求导得()211ln ()1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--，则()210,(e)xg x x x -'=<≥，故()11ln g x x x =--，(e)x ≥单调递减，又()111ln101g =--=，故()0,(e)g x x <≥，即()0,(e)f x x '<≥，而e 34<<，则(e)(3)(4)f f f >>，即1ln 3ln 4e 123>>-，所以b a c >>，故选：A【例4】（山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设110a =，ln1.1b =，910ec -=，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质可比较,a c 的大小，再构造函数()ln(1)f x x x =-+，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出,a b ，从而可比较出三个数的大小【详解】因为e x y =在R 上为增函数，且9110-<-，所以9110e e --<，因为11e 10-<，所以9101e 10-<，即a c <，令()ln(1)f x x x =-+（0x >），得1()1011xf x x x'=-=>++，所以()f x 在(0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f >=，所以ln(1)x x >+，令0.1x =，则0.1ln1.1>，即1ln1.110>，即a b >，所以b a c <<，故选：D【例5】（2022·四川南充·高二期末（理））设0.010.01e a =，199b =，ln 0.99c =-，则（）A ．c a b <>，则ln ln ln [ln ln(1)]ln(1)y t x x x x x x -=+---=+-，令()ln(1)f x x x =+-，1)x ∈-，求导得1()1011x f x x x '=+=<--，即()f x 在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0f x f <=，即ln ln y t y t <⇔<，因此当1)x ∈时，e 1xx x x<-，取0.01x =，则有0.010.0110.01e10.0199a b =<==-，令()e ln(1)xg x y u x x =-=+-，1)x ∈-，21(1)e 1()(1)e 11x xx g x x x x -+'=++=--，令2()(1)e 1x h x x =-+，1)x ∈，2()(21)e 0x h x x x '=+-<，()h x在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0h x h <=，有()0g x '>，则()g x 在1)上单调递增，1)x ∀∈，()(0)0g x g >=，因此当1)x ∈时，e ln(1)x x x >--，取0.01x =，则有0.010.01e ln(10.01)ln 0.99a c =>--=-=，所以c a b <<.故选：A 【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．b a c>>【答案】B 【解析】【分析】作差法比较出a b >，构造函数，利用函数单调性比较出c a >，从而得出c a b >>.【详解】2220.30.90.3π0.90.330.90ππππa b -⨯--=-=>=，所以0a b ->，故a b >，又()πsin 3f x x x =-，则()πcos 3f x x '=-在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()0π30f '=->，π306f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以存在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且在()00,x x ∈时，()0f x '>，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即()πsin 3f x x x =-在()00,x x ∈上单调递增，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，且ππ30124f ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以0π12x >，又因为()00f =，所以当()00,x x ∈时，()πsin 30f x x x =->，其中因为1π1012<，所以()010,10x ∈，所以1πsin 0.10.3010f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故sin 0.10.3π>，即c a b >>.故选：B【例7】（2022·河南洛阳·三模（理））已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()18ln f x x x =-，8x ≥，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.【详解】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥，()18ln 1f x x x+'=--，()18ln 1f x x x+'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln 81ln 8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'，所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减，所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln 98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>.故选：D 【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】（2022·河南·模拟预测（理））若0.2e a =，b =ln 3.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a>>【答案】B 【解析】构造函数()()e 10xf x x x =-->，利用导数可得0.2e 1.2b a >>=，进而可得 1.2e 3.2>，可得a c >，再利用函数()()21ln 1x g x x x -=-+，可得ln 3.2 1.1>，即得.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，∴()f x 在()0,∞+上单调递增，∴0.20.21 1.2e a b >+=>=，0.2 1.21.e ln 2e a >==，ln 3.2c =，∵()()()6551.262.7387.4,3.2335.5e e >≈≈=，∴ 1.2e 3.2>，故a c >，设()()21ln 1x g x x x -=-+，则()()()()()22221211011x xx g x x x x x +--=-=≥++'，所以函数在()0,∞+上单调递增，由()10g =，所以1x >时，()0g x >，即()21ln 1x x x ->+，∴()()22121.6155ln 3.2ln 2ln1.611 1.1211.613950--=+>+=>=++，又1 1.2 1.21,1 1.1b <<<<，∴ 1.1c b >>，故a c b >>.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式()e 10xx x >+>与()21ln (1)1x x x x ->>+进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1（2022·山东烟台·高二期末）设a =0.9，b =9ln e10c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B【分析】构造函数()ln 1f x x x =--，()g x x =-.【详解】令()ln 1f x x x =--，因为11()1x f x x x'-=-=所以，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以(0.9)0.9ln 0.91(1)0f f =-->=，即90.9ln 0.91ln(e)10>+=，a c >；令()g x x =()1g x '=-所以，当114x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以(0.9)(1)g g <，即0.90<，0.9a b <.综上，c a b <<.故选：B2.（2022·山东青岛·高二期末）已知ln 3a π=，2b =，1sin 0.042c ⎫=-⎪⎪⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c>>C ．b a c>>D ．a c b>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数得出,a b 大小，又0c <即得出结论.【详解】构造函数()()()2ln 212ln 1f x x x x x =--=-+，则a b f -=，()1210f x x ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭在()1,+∞上恒成立，则()y f x =在()1,+∞上单调递减，故()10a b f f -=<=，则0b a >>，()π103x x =+>，则()π30121100433.x .-+-=>=，由对于函数()πsin 02g x x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭-，()πcos 1002g x x ,x ⎛⎫'=<<< ⎪⎝⎭-恒成立，所以，()()sin 00g x x x g =<=-即sin x x <在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立.所以，1sin0.04sin sin 02x x x ⎫<=<-<⎪⎭（注：004009020305.x .,...<<<<）所以，b a c >>故选：C3.（2022·湖北襄阳·高二期末）设253e 4a =，342e 5b =，35c =，则（）A ．b c a < ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断出a b >.记()()e 2,01xg x x x =-<<，推理判断出b c >.【详解】24452533e23e 542e e 534a b ==.记()()e ,01x f x x x =<<，则()()2e 10x xf x x -'=<，所以()e xf x x =在()0,1上单调递减.所以2354f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >.433422e e 5325354b c ⎛⎫-= ⎪⨯⎝--⎭=.记()()e 2,01x g x x x =-<<，则()e 2xg x '=-.所以在()0,ln 2x ∈上，()0g x '<，则()g x 单调递减；在()ln 2,1x ∈上，()0g x '>，则()g x 单调递增；所以()()()ln 2min ln 2e 2ln 221ln 20g x g ==-⨯=->，所以()min 304g g x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即3422e 0534b c ⨯⎛⎫-> ⎪⎝⎭=-.所以b c >.综上所述：c b a <<.故选：C4.（2022·福建宁德·高二期末）已知a ，R b ∈，且221a b >>，则（）A ．ln ln a b a b -<-e eB ．ln ln b a a b <C ．e a b ba->D ．sin sin 1a ba b-<-【答案】D 【解析】【分析】由题设有0a b >>，分别构造e ln x y x =-、ln xy x=、e x y x =、sin y x x =-，利用导数研究在,()0x ∈+∞上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由221a b >>，即0a b >>，A ：若e ln x y x =-且,()0x ∈+∞，则1e xy x'=-，故12|20x y ='=-<，1|e 10x y ='=->，即y '在1(,1)2上存在零点且y '在(0,)+∞上递增，所以y 在(0,)+∞上不单调，则e ln e ln a b a b -<-不一定成立，排除；B ：若ln x y x =且,()0x ∈+∞，则21ln xy x -'=，所以(0,e)上0y '>，y 递增；(e,)+∞上0y '<，y 递减；故y 在(0,)+∞上不单调，则ln ln a ba b<不一定成立，排除；C ：若e x y x =且,()0x ∈+∞，则e (1)0x y x '=+>，即y 在(0,)+∞上递增，所以e e a b a b >，即e a b ba-<，排除；D ：若sin y x x =-且,()0x ∈+∞，则1cos 0y x '=-≥，即y 在(0,)+∞上递增，所以sin sin a a b b ->-，即sin sin 1a ba b-<-，正确.故选：D5.（2022·贵州贵阳·高二期末（理））设 1.01e a =，3eb =，ln3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】分析可得2a >，(1,2)b ∈，(1,2)c ∈，令()ln ,[e,)e xf x x x =-∈+∞，利用导数可得()f x 的单调性，根据函数单调性，可比较ln 3和3e的大小，即可得答案.【详解】由题意得 1.011e e 2a =>>，3(2e 1,)b =∈，ln 3(1,2)c =∈，令()ln ,[e,)exf x x x =-∈+∞，则11e ()0e ex f x x x -'=-=≤，所以()f x 在[e,)+∞为减函数，所以(3)(e)f f <，即3eln 3ln e 0e e-<-=，所以3ln 3e<，则 1.013e ln 3e >>，即a b c >>.故选：D6.（2022·重庆南开中学高二期末）已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b<<【答案】A 【解析】【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.7.（2022·湖北恩施·高二期末多选）已知212ln 204a a -=>，22122ln 0eb b --=>，221ln 303c c -=>，则（）A ．c b >>，对三个式子变形可得2211ln ln 44a a -=-，222211ln ln e eb b -=-，2211ln ln 33c c -=-，设函数()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=.由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x <，得01x <<,则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为211101e 43<<<<，所以222b a c >>,所以c a b <<.故选：AC.8.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知01x y z ∈、、（，），且满足2e 2e x x =，3e 3e y y =，4e 4e z z =，则（）A ．x y z <<B ．x z y<<C ．z y x<<D ．z x y<<【答案】C 【解析】【分析】先对已知条件取对数后得到ln ln22x x -=-，ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.根据式子结构，构造函数()ln m x x x =-，利用导数判断单调性，比较大小.【详解】由2e 2e x x =得2ln ln2,x x +=+即ln ln22x x -=-.同理得：ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.令()ln ,m x x x =-则()111xm x x x-=-='.故()m x 在()0,1上单调递增，1∞+（，）上单调递减.所以z y x <<.故选：C.。

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