高中数学：构造函数方法
构造函数的八种方法
构造函数的八种方法
1、响应式构造函数：响应式构造函数是指针对某种特定的对象实例而定义的构造函数，它能够根据参数的不同，生成不同的对象实例。
2、工厂模式构造函数：工厂模式构造函数是一种构造函数的实现方式，它使用一种工厂函数来简化创建对象的操作，使代码更加简洁，更容易维护。
3、函数构造函数：函数构造函数是指使用函数来构造对象实例的方式，它能够通过传入参数，创建出特定类型的对象实例。
4、构建对象构造函数：构建对象构造函数是指使用一个对象来构造另一个对象的方式，它可以动态地构造一个指定类型的实例，也可以复用已有的对象实例。
5、构造函数派生：构造函数派生是指从一个基础类型派生出另一个更加具体的子类型的方式，它可以使用基类的构造函数在子类中定义对象实例。
6、运行时参数构造函数：运行时参数构造函数是指在运行时传入参数，动态构造出一个指定类型的实例。
7、仿函数构造函数：仿函数构造函数是指使用仿函数的方式来构造对象实例，它可以更加简洁地实现一些比较复杂的对象构造操作。
8、多态构造函数：多态构造函数是指通过指定一个类型参数，在运行时执行特定的构造函数，从而实现多种类型的对象的。
高中数学6种构造函数法
高中数学6种构造函数法1、几何体构造法：几何体构造法是高中数学中常见的构造函数，即根据给定的条件，从原点出发，通过叠加若干条定义运算，利用实际工具画出题目要求构造的图形或者要求构造的几何体。
例如：根据给定的定义三角形ABC，在其外接圆上构造一个直角，使得构造出的四边形的一条边和三角形的一条边等长。
2、用线段构造法：用线段构造法是高中数学中常见的构造函数，是根据给定的条件，几何体和直线的位置，及题目要求的其他条件，按照一定的步骤和规律来画出要构造的几何体或其他东西。
例如：依据给定的线段AB，在其上端点A处构造一个半径等于原线段AB一半长度的圆，使得线段AB的端点A和圆的交点坐标相同；并在构造出的圆上构造一个到线段AB 端点B距离等于原线段AB一半长度的直线段。
3、从原点构造法：从原点构造法是高中数学中常见的构造函数，是指从某一原点出发，根据给定的情况，经过若干步的构造，建立若干定义关系，确定一个几何体的形状和大小，并与给定的几何体完全相同或满足给定条件的几何体。
例如：在原点构造一个半径等于原点O到给定点A的距离的圆，从这个圆上构造与 OA 相等的直线段，在这个直线段依次画上给定的点B、C。
4、标准图形构造法：标准图形构造法是在高中数学中学习的构造函数，即根据给定的它定义的图形和要求画出的图形之间的规律，采用实际的工具画出要求的图形。
例如：构造出与正方形相等的长方形(15cm×20cm)，方法为：在一根边长15cm的尺子上划分出4等分点，然后再在另一根尺子上划分出5等分点，将它们相互链接，即可构造出长方形。
5、参数方程构造法：参数方程构造法是高中数学中学习的构造函数，即根据给定的参数条件所决定的几何体的特征，可利用参数方程的技巧，根据参数条件用参数方程来求出构造出几何体的函数，并且利用函数求出相应的构造过程，或者利用参数方程既定的几何图形，求出给定点的位置。
例如：求出构造出半径为 2 的半圆的函数，可以用参数方程 x = 2cos t，其中x 为构造出的半圆的横坐标，t 为角度参数。
几种高等数学中的构造函数法1汇总
几种高等数学中的构造函数法1汇总在高等数学中，构造函数法是一种常用的证明方法，它通过构造一个特定的函数来满足一些条件，从而证明定理或问题。
构造函数法在解决一些特定问题时非常有效，并且可以应用于各个数学分支，例如微积分、线性代数等。
以下是几种常见的构造函数法的应用及其原理：1.构造逼近函数法：构造逼近函数法是利用一组函数来逼近所求函数的方法。
它在证明极限存在、连续性、可导性等问题时很常用。
例如，在证明函数的极限存在时，可以通过构造一个逼近函数序列来逼近所求函数的极限。
在证明函数的连续性时，可以构造逼近函数序列使其在一定条件下逐点收敛于所求函数。
在证明函数可导性时，可以通过构造一组逼近函数，利用它们的导数性质来推导出所求函数的导函数。
2.构造反函数法：构造反函数法是通过构造函数的反函数来证明其中一种性质。
例如，在证明奇偶函数特性时，可以构造一个函数的反函数，并根据函数的特性来判断所求函数的奇偶性。
在证明函数的双射性时，可以通过构造函数的反函数来证明。
3.构造矩阵法：构造矩阵法是在线性代数中常用的一种证明方法。
它通过构造一个特定的矩阵，利用矩阵的性质来证明一些结论。
例如，在证明矩阵的逆存在时，可以构造一个矩阵来满足逆矩阵的定义，并证明其逆矩阵存在。
4.构造序列法：构造序列法是利用一组序列来证明一些定理或性质。
例如，在证明函数的一致连续性时，可以构造一组满足一致收敛条件的序列来逼近所求函数，从而证明其一致连续性。
在证明函数的可积性时，可以构造一组逼近函数序列，并利用其可积性质来推导出所求函数的可积性。
5.构造映射法：构造映射法是在集合论和离散数学中常用的一种证明方法。
它通过构造一个特定的映射关系来证明一些性质。
例如，在证明两个集合的等势时，可以构造一个双射映射来证明它们的元素个数相等。
在证明一些图的性质时，可以构造一个映射关系来对应图的元素和其相邻元素之间的关系。
以上是几种常见的构造函数法的应用及原理。
利用求导法则构造函数
利用求导法则构造函数求导法则是微积分中非常重要的工具，它可以帮助我们简化对函数的求导过程。
下面我将介绍一些常用的求导法则，并给出一些例子来说明如何利用这些法则来构造函数。
1.常数法则：对于常数c，它的导数等于0。
例如，对于函数f(x)=5x+3，我们可以直接应用常数法则，得到f'(x)=52.幂法则：对于函数f(x)=x^n，其中n是常数，它的导数等于n*x^(n-1)。
例如，对于函数f(x)=x^3，根据幂法则，我们可以得到f'(x)=3*x^23.和差法则：对于函数f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)和h(x)是可导的函数，它的导数等于g'(x)+h'(x)。
例如，对于函数f(x)=x^2+3x，我们可以应用和差法则，得到f'(x)=2x+34.积法则：对于函数f(x)=g(x)*h(x)，其中g(x)和h(x)是可导的函数，它的导数等于g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
例如，对于函数f(x)=x^2*(2x+1)，我们可以利用积法则计算导数。
首先计算g'(x)=2x和h'(x)=2，然后带入公式，得到f'(x)=2x*(2x+1)+x^2*2=6x^2+2x。
5.商法则：对于函数f(x)=g(x)/h(x)，其中g(x)和h(x)是可导函数，且h(x)不为零，它的导数等于(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h(x)^2例如，对于函数f(x)=(x^2+1)/x，我们可以利用商法则计算导数。
首先计算g'(x)=2x，h'(x)=1，然后带入公式，得到f'(x)=(2x*x-(x^2+1)*1)/x^2=1/x。
6.复合函数法则：对于由两个函数组成的复合函数f(g(x))，它的导数等于g'(x)*f'(g(x))。
例如，对于函数f(x)=(2x)^3，我们可以将它看作f(g(x))，其中g(x)=2x。
高中数学常见函数构造
高中数学常见函数构造以高中数学常见函数构造为题，我们来探讨一下数学中常见的函数及其构造方法。
一、线性函数线性函数是最简单的函数之一，其表达式为f(x) = kx + b，其中k 和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，其斜率k决定了直线的倾斜方向和斜率的大小，截距b则决定了直线与y轴的交点位置。
二、二次函数二次函数是高中数学中重要的函数之一，其表达式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由a的正负决定，开口向上为a > 0，开口向下为a < 0。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，对称轴为x = -b/2a。
三、指数函数指数函数是以底数为常数的指数函数，其表达式为f(x) = a^x，其中a为常数且a > 0且a ≠ 1。
指数函数的图像是一条过点(0, 1)的递增曲线。
指数函数的特点是在自变量增大时，函数值以指数形式增长。
四、对数函数对数函数是指数函数的反函数，其表达式为f(x) = logₐx，其中a为常数且a > 0且a ≠ 1。
对数函数的图像是指数函数的镜像，其特点是在自变量增大时，函数值以对数形式增长。
对数函数的底数a 决定了函数的增长速度。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
这些函数的图像是周期性的曲线。
正弦函数的表达式为f(x) = sin(x)，余弦函数的表达式为f(x) = cos(x)，正切函数的表达式为f(x) = tan(x)。
三角函数的图像在一个周期内重复，其中正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
六、反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
这些函数的图像是非周期性的曲线。
反三角函数的表达式为f(x) = arcsin(x)，f(x) = arccos(x)和f(x) = arctan(x)。
微专题 常用构造函数的四种方法 2023高考数学二轮复习课件
所以 H(x0)＞H1e，即－x02－x0＋1＞－e12－1e＋1， 而－e12－1e＋1＞1e，所以－x02－x0＋1＞1e，即 F(x)min＝F(x0)＞1e＝G(x)max. 故当x＞0时，F(x)＞G(x)恒成立， 所以f(x)＞g(x)成立，得证． |技法点拨| 由本例知，将问题转化为证明 xln x＋x2＋1＞exx，构造双函数，即设 G(x) ＝exx(x＞0)，求导判断其单调性，求解最大值，再设 F(x)＝xln x＋x2＋1，求导 判断其单调性，求解最小值，从而可证明不等式．
目录
|技法点拨| 与ex和ln x相关的常见同构模型
(1)aea≤bln b⇔ealn ea≤bln b，构造f(x)＝xln x(或aea≤bln b⇔aea≤(ln b)eln b， 构造g(x)＝xex)；
(2)
ea a
＜
b ln b
⇔
ea ln ea
＜
b ln b
，
构
造
f(x)
＝
x ln x
目录
lnx－1a在 x∈12，1上恒成立．令 g(x)＝x－lnx－1ax∈12，1，则 g′(x)＝ x－x－1a－1a 1，又 x∈12，1，a＞2，所以 x－1a－1＜0，x－1a＞0，即 g′(x)＜0，故 g(x)在12，1上单调递减，所以 ln a≤g(x)min＝g(1)＝1－ln1－1a，故 ln a＋ ln1－1a≤1，即 ln(a－1)≤1，可得 a≤e＋1.综上，2＜a≤e＋1，故 a 的最大值 为 e＋1.故选 A．
目录
|技法点拨| 构造新函数的方法
题目中出现含f(x)，f′(x)的不等式，一般应考虑逆用导数的运算法则构造 新函数，然后再逆用单调性等解决问题． (1)对于f′(x)＞a，构造h(x)＝f(x)－ax＋b； (2)对于xf′(x)＋f(x)＞0(＜0)，构造h(x)＝xf(x)；一般地，对于xf′(x)＋nf(x)＞ 0(＜0)，构造h(x)＝xnf(x)； (3)对于 xf′(x)－f(x)＞0(＜0)，构造 h(x)＝f（xx）；一般地，对于 xf′(x)－nf(x) ＞0(＜0)，构造 h(x)＝f（xxn）；
导数小题中构造函数的技巧
导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。
（一）利用)(x f 进行抽象函数构造1、利用)(x f 与x 构造；常用构造形式有x x f x xf )(),(；这类形式是对vuv u ,⋅型函数导数计算的推广及应用，我们对vuv u ,⋅的导函数观察可得知，v u ⋅型导函数中体现的是“+”法，vu型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造v u ⋅型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造vu，我们根据得出的“优先”原则，看一看例1，例2.【例1】)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0<x 时，0)()('<+x xf x f ，且0)4(=-f ，则不等式0)(>x xf 的解集为____________【解析】可以推出【例2】设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0)1(=f ，当0<x 时，有0)()('>-x f x xf 恒成立，则不等式0)(>x f 的解集为________________x f x xf )(),(是比较简单常见的)(x f 与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.我们根据得出的结论去解决例3题【例3】已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数为)('x f ，且满足0)1(=-f ，当0>x 时，)()(2'x xf x f >，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是___________【变式提升】设函数)(x f 满足x x f x x f x ln 1)(3)(2'3+=+，且ee f 21)(=，则0>x 时，)(x f （）A 、有极大值，无极小值B 、有极小值，无极大值【例4】设)(x f 是定义在R 上的奇函数，在)0,(-∞上有0)2()2(2'<+x f x xf ，且0)2(=-f ，则不等式0)2(<x xf 的解集为___________.('x F（2）利用)(x f 与x e 构造；)(x f 与x e 构造，一方面是对uv u ,⋅函数形式的考察，另外一方面是对x x e e =)(的考察.所以对于)()('x f x f ±类型，我们可以等同xx f x xf )(),(的类型处理，“+”法优先考虑构造x e x f x F ⋅=)()(，“-”法优先考虑构造x ex f x F )()(=.【例5】已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的函数，导函数)('x f 满足)()('x f x f <对于R x ∈恒成立，则（）A 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f >>B 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f ><C 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f <>D 、)0()2014(),0()2(20142f e f f e f <<【解析】构造同样xx x f x f e )(),(是比较简单常见的)(x f 与xe 之间的函数关系式，如果碰我们根据得出的结论去解决例6题.【例6】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,0)(2)('=>-f x f x f ，则不等式x e x f 2)(>的解集为___________【解析】构造【变式提升】若定义在R 上的函数)(x f 满足1)0(,04)(2)('-=>--f x f x f ，则不等式2)(2->x e x f 的解集为___________【例7】已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：()()(1)[]0x f x f x '-->，()22(2)x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（）（A）)0()1(f f <（B）)0()2(2f e f >（C）)0()3(3f e f >（D）)0()4(4f e f <【解析】构造（3）利用)(x f 与x x cos ,sin 构造.x x cos ,sin 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.根据得出的关系式，我们来看一下例8【例8】已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（）A、(()34f ππ<(()34f ππ-<-C、(0)()4f π<D、(0)2()3f f π<【解析】构造【变式提升】定义在)2,0(π上的函数，函数)('x f 是它的导函数，且恒有x x f x f tan )()('<成立，则（）A、)(2(3ππf f >B、1sin (2)1(πf f <C、)()(2ππf f >D、)()(3ππf f <（二）构造具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.【例9】]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα，则下列结论正确的是（）A、βα>B、22βα>C、βα<D、0>+βα【解析】构造【变式提升】定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且对21)(,'<∈∀x f R x 则不等式21log )(log 22+>x x f 的解集为_________.【例10】等比数列}{n a 中，21=a ，48=a ，函数))...()(()(821a x a x a x x x f ---=，则=)0('f （）A 、62B 、92C 、122D 、152('x f【例11】已知实数c b a ,,满足1112=--=-d cb e a a ，其中e 是自然对数的底数，那么22)()(d bc a -+-的最小值为()c-1【变式提升】已知实数b a ,满足0ln 522=--b a a ，R c ∈，则22)()(c b c a ++-【课后作业】设函数)(x f 在R 上的导函数)('x f ，在),0(+∞上x x f 2sin )('<，且R x ∈∀，有x x f x f 2sin 2)()(=+-，则以下大小关系一定正确的是（）A、)34()65(ππf f <B、)()4(ππf f <C、34(65(ππ-<-f f D、)(4(ππ->-f f构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力，是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。
高中数学：构造函数方法(经典)
高中数学：构造函数常见构造函数方法：1.利用和差函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f +=⇒<>'+'或；（2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f =⇒<>''或；（3）kx x f x F k x f -=⇒<>')()()(k )(或；2.利用积商函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f =⇒<>'+'或；（2）)0)(()(g )()()0(0)()(-)(g )(≠=⇒<>''x g x x f x F x g x f x x f 或；（3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f =⇒<>+'或；（4）)0(x)()()0(0)(-)(x ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或；（5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n =⇒<>+'或;(6))0(x)()()0(0)(n -)(x n ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或;(7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x =⇒<>+'或;(8))0(e )()()0(0)(-)(x≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或;(9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx =⇒<>+'或;(10))0(e )()()0(0)(k -)(kx≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或;(11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f =⇒<>'+或;(12))0(sin sinx)()()0(0tan )(-)(≠=⇒<>'x x f x F x x f x f 或;(13))0(cos cos )()()0(0)(tanx )(≠=⇒<>+'x xx f x F x f x f 或;(14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f =⇒<>'或;(15)()+lna ()0(0)()()x f x f x F x a f x '><⇒=或;(16)()()lna ()0(0)()x f x f x f x F x a '-><⇒=或;考点一。
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高中数学：构造函数常见构造函数方法：1.利用和差函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f 或；（2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f 或；（3）kx x f x F k x f )()()(k )(或；2.利用积商函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f 或；（2）)0)(()(g )()()0(0)()(-)(g )(x g x x f x F x g x f x x f 或；（3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f 或；（4）)0(x)()()0(0)(-)(x x x f x F x f x f 或；（5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n或;(6))0(x)()()0(0)(n -)(x nxx f x F x f x f 或;(7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x或;(8))0(e)()()0(0)(-)(xxx f x F x f x f 或;(9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx或;(10))0(e)()()0(0)(k -)(kxxx f x F x f x f 或;(11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f 或; (12))0(sin sinx )()()0(0tan )(-)(xx f x F xx f x f 或;(13))0(cos cos )()()0(0)(tanx )(xxx f x F x f x f 或;(14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f 或;(15)()+lna ()0(0)()()xf x f x F x a f x 或;(16)()()lna ()0(0)()xf x f x f x F x a或;考点一。
直接构造法1．（1）已知()(4)f x f x ，且当2x 时，其导函数()f x 满足()2()xf x f x ，若24a，则（）A.2(2)(3)(log )af f f a B.2(3)(log )(2)af f a f C.2(log )(3)(2)af a f f D.2(log )(2)(3)af a f f 解：由题：对称轴x=2,单增，时，单减，当时，当（)(f 2x)(f 2x)()2xx x x f C,1624,2log 12选aa。
（2）设a ＞0，b ＞0．() A ．若a2222ba b ，则a ＞b B ．若a2222ba b ，则a ＜b C ．若a 2222bab ，则a ＞bD ．若a2222bab ，则a ＜b解：对选项A ：构造函数：22xf xx ，则2l n 220xfx恒成立，故有函数22xf xx在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．【答案】A 。
（3）已知函数()f x 满足(2)1f ，且()f x 的导函数()1f x x ，求解不等式21()12f x xx 。
解：2x,0)2(g )(g 01)()(,121)()(g 2故解集为：单增，，则x x x f x g x xx f x 。
（4）已知函数f x满足：1,00,f x f x f fx f x 是的导函数，求解不等式1xxe f xe。
解：x ,0)0(g (g ,0)1)()(()(,1)()(g 故解集为：）单增，则令x x f x f e x g ex f e x xxx。
（5）若)(x f 满足1)(')(x f x f ，4)0(f ，求解不等式3()1xf x e。
解：令)(3)(13)(f )(g xxxxxex h eex f e ex x ，)1)()(()(h x f x f e x x>0,g(x)单调递增，g(0)=f(0)-4=0,则g(x)>0,故x>0.（6）若函数f(x)满足：2()()f x f x 成立，若2)4ln (f ，求解不等式2()x f x e。
解：令g(x)=2)(f xex ,则222)()21)()(()(g x x e x f x f e x >0,则单调递增，1)4(l n )4(l n g 24ln ef ，则g(x)>g(ln4),不等式2()xf x e 的解为：x>ln4.考点二。
找原函数构造法2.（1）若奇函数f(x ）满足：(1)0f ，当0x时，'()()0xf x f x ，求解不等式()0f x 。
单增偶，奇奇为奇单减，又当解：令,0x)(g )(f )(0)()()(,0x,)()x (g 2x x x g xx f x f x x g xx f ，且g(1)=g(-1)=0,故解集为：x<-1或0<x<1.（2）若f(x)满足：f(0)=1,且)()(4,3)()(f 3x f x f x f x 求解不等式。
解：不合题意但0)0(f 1)(f 3xex ，则32ln 042)()(f 412)(f 33xex f x ex xx，故。
考点三。
比大小，证明3.（1）证明对任意正整数n ，不等式3211)11(ln nnn。
解：令x=n1，设函数f(x)=)1ln(x23x x(0<x 1)，112x3)(f2x xx =1x 12323x xx=1x )1(323x x>0恒成立，所以f(x)单调增加，所以f(x)>f(0)=0，即得证原命题。
（2）f(x)=xe, 设a<b,比较aa fb f b f a f b)()(2)()(与的大小。
解：作差法：aba fb f b f a )()(2)()(f =aab ee a b a b a)-b 2)2(2)(（，令g(x)=x+2+(x-2)xe,则g （0）=0,xex x )1(1)(g 在），（0单调递增,即0(0)g (x)g ，故g(x)在），（0单调递增，g(x)>g(0)=0,即aba fb f b f a f )()(2)()(。
（3）已知函数f(x)=-x-ln(-x)，x [-e ，0)，证明：xx x )ln()(f >21。
解：设x x x f x g )ln()()(=xx x x )ln()ln(，令u=-x ∈(0, e]，g(u)=uu u ln -ln u，只需证g(u)>21，g'(u)=222uln 1-1ln 11u u u uu u，uu uu u h u u uu 12u112)(,1-ln )(h 22令,则),2,1(u0)()(0)(h ，单增，令u h u h u （1）当u ∈(0, 1]，lnu-1<0，1-u 1<0，g'(u)<0，g(u)递减，g(u)≥g(1)=1>21，不等式成立。
（2）当u ∈(1, 2)，lnu<u-1（函数性质），g(u)=u-lnu-uu ln >u-(u-1)-u1-u =u1>21，不等式成立。
（3）当u ∈[2, e)，ln(u)-1>0，1-u1>0，g'(u)>0，g(u)递增，g(u)≥g(2)=e ln 2322ln 23-2=21，不等式成立。
考点四。
放缩构造法4.（1）已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax ＋32x＋1＋2xcos x ．当x ∈[0,1]时，(1)求证：1－x ≤f(x)≤11x；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．证明：(1)要证x ∈[0,1]时，(1＋x)e －2x≥1－x ，只需证明(1＋x)e－x≥(1－x)e x.记h(x)＝(1＋x)e－x－(1－x)e x，则h ′(x)＝x(e x－e－x)，当x ∈(0,1)时，h ′(x)＞0，因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.所以f(x)≥1－x ，x ∈[0,1]．要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤11x，只需证明e x ≥x ＋1.记K(x)＝e x －x －1，则K ′(x)＝e x－1，当x ∈(0,1)时，K ′(x)＞0，因此K(x)在[0,1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.所以f(x)≤11x，x ∈[0,1]．综上，1－x ≤f(x)≤11x，x ∈[0,1]．(2)f(x)－g(x)＝(1＋x)e －2x－312cos 2xaxx x≥1－x －ax －1－32x－2xcos x ＝－x(a ＋1＋22x＋2cos x)．设G(x)＝22x＋2cos x ，则G ′(x)＝x －2sin x.记H(x)＝x －2sin x ，则H ′(x)＝1－2cos x ，当x ∈(0,1)时，H ′(x)＜0，于是G ′(x)在[0,1]上是减函数，从而当x ∈(0,1)时，G ′(x)＜G ′(0)＝0，故G(x)在[0,1]上是减函数．于是G(x)≤G(0)＝2，从而a ＋1＋G(x)≤a ＋3.所以，当a ≤－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立．下面证明当a ＞－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．f(x)－g(x)≤3112cos 12xaxx xx＝32cos 12x xaxx x x＝212cos 12xxaxx ，记I(x)＝2112cos ()121xax a G x xx，则I ′(x)＝21'()(1)G x x ，当x ∈(0,1)时，I ′(x)＜0，故I(x)在[0,1]上是减函数，于是I(x)在[0,1]上的值域为[a＋1＋2cos 1，a ＋3]．因为当a ＞－3时，a ＋3＞0，所以存在x 0∈(0,1)，使得I(x 0)＞0，此时f(x 0)＜g(x 0)，即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．。