高中数学解题方法与技巧---构造函数法证明导数不等式的六种方法
【高考数学】构造函数法证明导数不等式的八种方法
构造函数法证明不等式的八种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：一、移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
人教版数学高二-备课资料不等式证明的常用方法和技巧
不等式证明的常用方法和技巧不等式证明是学习的难点，其方法灵活多样，它又可以和很多内容结合.如果思路不开阔，方法不灵活，做题时就陷入困境.下面介绍有关不等式证明的六种常用方法和技巧，有助于同学们对这部分知识的掌握与应用. 一、 比较法例1 已知x 、y 、R z ∈，a 、b 、*∈R c ，求证：)(2222zx yz xy z cb a y b ac x a c b ++≥+++++. 证明：∵)(2222zx yz xy z cb a y b ac x a c b ++-+++++ =222222222z cb yz y bc z c a zx x a c y b a xy x a b +-++-++- =0)()()(222≥-+-+-z cb y bcz c a x ac y b a x ab. ∴)(2222zx yz xy z cb a y b ac x a c b ++≥+++++. 【点评】⑴作差比较法的依据是0>-⇔>b a b a ，作差后要判定差式的符号.其难点．．是对差式变形，常常将差式化为几个可判号因式．．．．．．．．．．．．．．连乘积或几个偶次因式和．．．．．．．．．．．的形式；⑵作差比较法的适用范围：多项式的大小比较、对数式的大小比较；⑶本题证明配方技巧的实现关键在于合理分项. 二、 综合法 例2 求证：1)4141(log 21-+≤+b a b a .证明：∵1)1()21(2222414124141-+-+---==⋅⋅=⨯≥+b a b a b a b a ba . 又因为x y log 21=在区间（0，∞+）上是减函数，所以1)21()4141(12121log log -+=≤+-+b a b a b a .当且仅当b a 4141=，即b a =时等号成立.【点评】⑴综合法的证明思路：由已知条件出发，根据要证不等式左右的结构特点，借助不等式的性质和有关定理，按逻辑推理导出欲证结论，其特点是“由因导果”；⑵本题用到了基本不等式，又用到了对数函数的单调性，函数的单调性是函数与不等式有机结合的最佳结合点. 三、 分析法 例3是否存在常数c，使得不等式yx y y x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正实数x 、y 恒成立，证明你的结论.证明：假设存在常数c，使得不等式yx yy x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正实数x 、y 恒成立，则当y x =时，可得32=c . 下面分两部分给出证明当32=c 时，不等式yx yy x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正实数x 、y 恒成立：① 先证3222≤+++y x y y x x .∵x 、*∈R y ，∴欲证3222≤+++y x y y x x ，只需证)2)(2(2)2(3)2(3y x y x y x y y x x ++≤+++，即证222y x xy +≤.∵x 、R y ∈，222y x xy +≤成立，∴证式成立.② 再证3222≥+++y x y y x x .∵x 、*∈R y ，∴欲证3222≥+++y x y y x x ，只需证)2)(2(2)2(3)2(3y x y x y x y y x x ++≥+++，即证xy y x 222≥+，∵x 、R y ∈，xy y x 222≥+成立，∴证式成立. 综上①、②可知，存在常数32=c 对任意正实数x 、y ，题中的不等式成立.【点评】⑴常数c 的正确寻找是解决问题的关键.依据题设条件给x 、y 赋特殊值求出c 的值是常用的基本方法；⑵当证明从正面打不开思路时，可以考虑用分析法从结论出发，“执果索因”. 四、 反证法例4 证明由小于1的三个正数a 、b 、c 所组成的三个乘积b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-不能同时大于41.证明：假设b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-都大于41，则有641)1()1()1(>-⋅-⋅-a c c b b a ，但由2)21()1(0a a a a +-≤-<， 即41)1(0≤-<a a .同理有41)1(0≤-<b b ，41)1(0≤-<c c .即有641)1()1()1(≤-⋅-⋅-a c c b b a .这与假设产生矛盾，从而原命题成立.【点评】⑴反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题，或带有‘至多有一个’、‘至少有一个’等字样的问题”；⑵常见的矛盾有三种表现形式：与已知矛盾；与假设产生矛盾；与公理、定理等事实矛盾. 五、 放缩法 例5当2≥n ，且*∈N n ，求证：n nn 121312*********-<++++<+- . 证明：∵)1()1(2->>+k k k k k ，∴)1(11)1(12-<<+k k k k k ，即k k k k k 11111112--<<+-，分别令2=k 、3、4、…、n . 得 2112131212-<<-， 31213141312-<<-， ……nn n n n 11111112--<<+- 将这些不等式同时相加， 得<+-++-+-)111()4131()3121(n n 222131211n++++)111()3121()211(nn -+++-+-< ，即n n n 11131211121222-<+++<+- ， ∴n nn 121312111123222-<++++<+-. 【点评】⑴放缩法常用的思路：欲证B A >，则找出过度量，使B DC A >>>；⑵放缩法常用的技巧：①舍去一些正项（或负项）；②在和或积中换大（或换小）某些项；③扩大（或缩小）分式的分子（或分母）；④应用基本不等式进行放缩.如（ⅰ）22)21(43)21(+>++a a ；（ⅱ）)1(112-<k k k ，)1(112+>k k k ；（ⅲ）)1(2121-+=--<k k k k k ，)1(2121--=-+>k k k k k .六、 三角换元法例7 已知2122≤+≤y x ，求证：32122≤+-≤y xy x .证明：∵2122≤+≤y x ，可设⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，其中21≤≤r ，πθ20<≤.∴)2sin 211(cos sin 22222θθθ-=-=+-r r r y xy x .∵πθ20<≤，∴232sin 21121≤-≤θ，∴22223)2sin 211(21r r r ≤-≤θ.而21212≥r ， 3232≤r ，∴32122≤+-≤y xy x .【点评】⑴本例证明，不等式中的两个等号不能同时成立.做三角代换，应注意换元后对r 和角θ的限制，即三角不等式与代数不等式的等价转化应引起足够的重视；⑵三角换元法多用于条件不等式的证明，若条件是222a y x =+（a 为常数），则可设⎩⎨⎧==θθsin cos a y a x ；若222a y x ≤+（a 为常数），则可设⎩⎨⎧==θθsin cos a y a x .。
证明导数不等式常见八法
ln(1 m) ln(1 n) 原不等式成立
m
n
(log a
x)'
1 x
log a
e
(e x )' e x ;
(a x )' a x ln a
默写:导数的四运算
[ f (x) g(x)]' f '(x) g'(x) 函数和差的导 ,等于导的和差
[ f (x) g(x)]' f '(x)g(x) f (x)g'(x)
[ f (x)]' g(x)
f ''(x) 2x 0(x 0) 由定理2知f '(x)在(0,)上单调递增, 1 x
f '(x) f '(0) 0(x 0) f (x)在(0,)上单调递增
f (x) f (0) 0 2x x2 2(x 1) ln(1 x) 0
6、构造二阶导数函数证明导数的单调性(两次求导)
例6.已知函数f (x) aex 1 x2 2
6、构造二阶导数函数证明导数的单调性(两次求导)
例6.已知函数f (x) aex 1 x2 2
(2)记F(x) f (x) (1 x) ex 1 x2 x 1(x 0) 2
A
在x 2处的导数值
f (x) x1
f
'(x)
x 11
1 x2
B
x的变化量:由分子" f (?)"
中的"?"确定, 不能由分母定.
原式
1 2
lim h0
f
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧导数与构造函数是微积分中的重要概念，它们在证明不等式中起着重要作用。
本文将介绍一些导数与构造函数在证明不等式中的技巧，并通过具体的例子来加深理解。
1. 利用导数的性质进行不等式证明在证明不等式时，可以通过导数的性质来进行推导。
当需要证明一个函数在某个区间上单调递增或单调递减时，可以通过求导数并分析导数的正负性来进行证明。
假设一个函数f(x)在区间[a, b]上可导，求出其导数f'(x)并分析f'(x)的正负性，如果f'(x)恒大于零，那么函数f(x)在区间[a, b]上就是单调递增的；如果f'(x)恒小于零，那么函数f(x)在区间[a, b]上就是单调递减的。
通过这种方法，可以利用导数的性质来证明函数的单调性质，从而进一步推导出不等式。
2. 构造函数进行不等式证明构造函数是指通过一些技巧将原函数进行变形，从而更好地应用各种数学性质来进行不等式证明。
当需要证明一个不等式时，可以通过构造一个辅助函数来简化原不等式的证明过程。
通过巧妙地构造函数，可以使得不等式的证明更加直观、简单。
例1：证明当x>0时，有e^x>1+x。
解：可以通过在函数f(x) = e^x - (1+x)上应用导数的性质来证明这个不等式。
求导数得f'(x) = e^x - 1，显然f'(x)恒大于零，因此f(x)在区间(0, +∞)上单调递增。
又当x=0时，有f(0) = e^0 - (1+0) = 0，因此在区间(0, +∞)上有f(x)>0，即e^x>1+x。
通过导数的性质，成功证明了不等式e^x>1+x。
通过以上两个例子，可以看到导数与构造函数在不等式证明中的重要作用。
通过分析导数的性质以及巧妙地构造辅助函数，可以更好地理解、应用和证明各种不等式。
在实际的数学问题中，通常会遇到各种复杂的不等式，通过灵活运用导数与构造函数的技巧，可以更加轻松地解决这些问题。
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧导数是微积分中的一个重要概念。
它可以描述函数在各个点上的变化率，也可以用来求函数的最大值、最小值以及拐点等重要信息。
而构造函数则是数学中一种非常常见的证明不等式的方法。
本文将介绍一些常用的导数和构造函数证明不等式的技巧。
一、使用导数证明不等式1. 求导数确定函数的单调性对于一个函数$f(x)$，如果它在某个区间上的导数$f'(x)$大于0，说明它在该区间上单调递增；如果导数$f'(x)$小于0，则说明它在该区间上单调递减。
因此，如果要证明一个不等式在某个区间上成立，可以先求出函数在该区间上的导数，确定其单调性，然后再比较函数在两个端点处的取值即可。
例如，对于函数$f(x)=x^2-4x+3$，我们可以求出它的导数为$f'(x)=2x-4$。
由于$f'(x)>0$时$f(x)$单调递增，因此当$x<2$时，$f(x)<f(2)$，当$x>2$时，$f(x)>f(2)$，即$f(x)$在$x<2$和$x>2$的区间上都小于$f(2)$，因此我们可以得到不等式$f(x)<f(2)$，即$x^2-4x+3<1$。
2. 求导数判断函数的最值对于一个函数$f(x)$，如果它在某个点$x_0$处的导数$f'(x_0)=0$，且$f^{''}(x_0)>0$（即$f(x)$的二阶导数大于0）则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最小值；如果$f^{''}(x_0)<0$，则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最大值。
因此，如果要证明一个不等式最值的存在性，可以先求出函数的导数，再找出导数为0的点即可。
3. 构造特殊的函数如果一个不等式的两边都是多项式，可以考虑构造一个较为特殊的函数，来证明不等式的成立性。
例如，对于不等式$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\leq\dfrac{3}{2\sqrt[3]{abc}}$，我们可以考虑构造一个函数$f(x)=\dfrac{1}{a+b+x}+\dfrac{1}{b+c+x}+\dfrac{1}{c+a+x}-\dfrac{3}{2\sqrt[3]{(a+x)(b+x)(c+x)}}$，并证明$f(x)\leq 0$。
构造函数证明不等式的八种方法
构造函数证明不等式的八种方法下面将介绍构造函数证明不等式的八种常见方法：1.特殊赋值法：这种方法通过为变量赋特殊的值来构造函数，使得不等式成立。
例如，对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2，当a=2，b=1时，即f(2)>f(1)，从而得到a^2>b^22.梯度法：这种方法通过构造一个变化率为正（或负）的函数来推导出不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x-a)^2-(x-b)^2，当x>(a+b)/2时，即f'(x)>0，从而得到a^2>b^23.极值法：这种方法通过构造一个函数的极大值（或极小值）来证明不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2-b^2，当x=a时，f(x)>0，从而得到a^2>b^24.差的平方法：这种方法通过构造一个差的平方形式的函数来证明不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x+a)^2-(x+b)^2，当x>(a+b)/2时，即f(x)>0，从而得到a^2>b^25.相似形式法：这种方法通过构造一个与要证明的不等式形式相似的函数来证明不等式。
例如对于不等式(a+b)^4 > 8(ab)^2，可以构造函数f(x) = (x+1)^4- 8(x-1)^2，令x = ab，当x > 1时，即f(x) > 0，从而得到(a+b)^4 > 8(ab)^26.中值定理法：这种方法通过应用中值定理来证明不等式。
例如对于不等式f(a)>f(b)，可以构造函数g(x)=f(x)-f(b)，当a>b时，存在c∈(b,a)，使得g'(c)>0，从而得到f(a)>f(b)。
7.逼近法：这种方法通过构造一个逼近函数序列来证明不等式。
例如对于不等式a > b，可以构造一个逼近函数序列f_n(x) = (a+x)^n - (b+x)^n，当n 趋近于正无穷时，即lim(n→∞)(a+x)^n - (b+x)^n = ∞，从而得到a > b。
构造函数法证明不等式的八种方法
构造函数法证明不等式的八种方法一、构造函数法是一种常用的数学证明方法，通过巧妙地构造函数，并对其性质进行分析，可以证明各种数学不等式。
下面就列举八种常用的构造函数法证明不等式的方法。
1.构造平方函数法：对于形如x^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。
2.构造递增函数法：对于形如a≥b的不等式，可以构造f(x)=x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。
3.构造递减函数法：对于形如a≤b的不等式，可以构造f(x)=-x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。
4.构造两个函数之差法：对于形如a-b≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=(x-a)(x-b)，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
5. 构造函数的和法：对于形如(a+b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2+b^2+2ab，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
6.构造函数的积法：对于形如(a·b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2·b^2，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
7.构造函数的倒数法：对于形如1/(a·b)≥0的不等式，可以构造f(x)=1/x和g(x)=a·b，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
8.构造指数函数法：对于形如e^x≥1的不等式，可以构造f(x)=e^x 和g(x)=1，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
以上就是八种常用的构造函数法证明不等式的方法。
在实际证明过程中，需要注意选择合适的函数，并结合函数的性质进行分析，以确定不等式的成立情况。
此外，还需要注意构造的函数在给定范围内是否满足所要求的性质，以确保证明的正确性。
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧在高中数学中，不等式是经常会遇到的题目类型，也是数学竞赛中经常涉及到的一类题目。
在证明不等式的过程中，我们可以运用导数与构造函数等技巧来简化证明难度，提高证明效率。
一、运用导数证明不等式当我们需要证明一个函数的值在某个范围内时，我们可以考虑用导数来帮助我们进行证明，具体可分为以下步骤：1、确定函数的定义域和值域，并确定要证明的不等式形式。
2、通过求导得到函数的单调性或极值点。
3、根据函数的单调性或极值点，利用数轴或图象来确定函数的取值范围及是否满足要证明的不等式。
例如，要证明关于 $x$ 的不等式 $\frac{3}{2}x^2-6x+5>0$ 成立，可按以下步骤进行证明：1、由不等式左边的式子可得到 $f(x)=\frac{3}{2}x^2-6x+5$，其定义域为实数集，值域为 $[0,\infty)$。
2、对 $f(x)$ 求导，得到 $f'(x)=3x-6$。
当 $f'(x)>0$ 时，$f(x)$ 单调上升，当$f'(x)<0$ 时，$f(x)$ 单调下降。
当 $f'(x)=0$ 时，$f(x)$ 有极值，即当 $x=2$ 时，$f(x)$ 取得极小值 $-1$。
3、据此得到 $f(x)$ 的图象如下图所示，可知在 $x<2$ 和 $x>2$ 的区间内，$f(x)$ 的取值为正，因此原不等式成立。
构造函数法是一种运用代数方法构造一个函数来满足指定条件的证明方法。
具体可分为以下步骤：1、根据不等式的形式或特点，分析解析式中可能出现的约束条件或不等式关系。
2、构造一个函数并确定其满足条件的范围。
3、证明所构造的函数满足所要证明的不等式条件。
1、根据不等式的形式，可考虑构造分式函数。
2、构造函数 $f(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}$，其定义域为$D=\{(x,y)\mid x\neq0,y\neq0,x\neq y\}$。
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高中数学解题方法与技巧构造函数法证明不等式的六种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的六种方法：一、移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f −+=)1ln()(，求证：当1−>x 时，恒有x x x ≤+≤+−)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(−+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+−=−+=′x x x x f ∴当01<<−x 时，0)(>′x f ，即)(x f 在)0,1(−∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<′x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(−，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞−上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1−>x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤−+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(−+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+−+=′x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>′+∞∈<′−∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(−∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞−上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1−>x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥−+++x x ∴111)1ln(+−≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤−+−>)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f +=求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F −=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
【解】设)()()(x f x g x F −=，即x x x x F ln 2132)(23−−=， 则x x x x F 12)(2−−=′=xx x x )12)(1(2++− 当1>x 时，)(x F ′=xx x x )12)(1(2++− 从而)(x F 在),1(∞+上为增函数，∴061)1()(>=>F x F ∴当1>x 时 0)()(>−x f x g ，即)()(x g x f <， 故在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方。
【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。
读者也可以设)()()(x g x f x F −=做一做，深刻体会其中的思想方法。
3、换元法构造函数证明【例3】证明：对任意的正整数n，不等式3211)11ln(nn n −>+ 都成立.分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令x n=1，则问题转化为：当0>x 时，恒有32)1ln(x x x −>+成立，现构造函数)1ln()(23++−=x x x x h ，求导即可达到证明。
【解】令)1ln()(23++−=x x x x h ， 则1)1(31123)(232+−+=++−=′x x x x x x x h 在),0(+∞∈x 上恒正， 所以函数)(x h 在),0(+∞上单调递增，∴),0(+∞∈x 时，恒有，0)0()(=>h x h即0)1ln(23>++−x x x ，∴32)1ln(x x x −>+对任意正整数n，取3211)11ln(),0(1nn n n x −>++∞∈=，则有 【警示启迪】我们知道，当()F x 在[,]a b 上单调递增，则x a >时，有()F x ()F a >．如果()f a ＝()a ϕ，要证明当x a >时，()f x >()x ϕ，那么，只要令()F x ＝()f x －()x ϕ，就可以利用()F x 的单调增性来推导．也就是说，在()F x 可导的前提下，只要证明'()F x >０即可．4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f ′>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，求证：．a )(a f >b )(b f【解】由已知 x )(x f ′+)(x f >0 ∴构造函数 )()(x xf x F =，则=)('x F x )(x f ′+)(x f >0， 从而)(x F 在R 上为增函数。
Q b a > ∴)()(b F a F > 即 a )(a f >b )(b f【警示启迪】由条件移项后)()(x f x f x +′，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(x xf x F =，求导即可完成证明。
若题目中的条件改为)()(x f x f x >′，则移项后)()(x f x f x −′，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。
5、主元法构造函数例．已知函数x x x g x x x f ln )(,)1ln()(=−+=(1)求函数)(x f 的最大值；(2)设b a <<0,证明 ：2ln )()2(2)()(0a b b a g b g a g −<+−+<. 分析：对于（II）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：证明：对x x x g ln )(=求导,则1ln )('+=x x g . 在)2(2)()(b a g b g a g +−+中以b 为主变元构造函数, 设)2(2)()()(x a g x g a g x F +−+=,则2ln ln )]2([2)()('''x a x x a g x g x F +−=+−=. 当a x <<0时，0)('<x F ,因此)(x F 在),0(a 内为减函数.当a x >时,0)('>x F ,因此)(x F 在),(+∞a 上为增函数.从而当a x =时, )(x F 有极小值)(a F .因为,,0)(a b a F >=所以0)(>b F ,即.0)2(2)()(>+−+b a g b g a g 又设2ln )()()(a x x F x G −−=.则)ln(ln 2ln 2ln ln )('x a x x a x x G +−=−+−=.当0>x 时,0)('<x G .因此)(x G 在),0(+∞上为减函数.因为,,0)(a b a G >=所以0)(<b G ,即2ln )()2(2)()(a b b a g b g a g −<+−+. 6、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例．已知函数21()2x f x ae x =− (1)若f (x )在R 上为增函数,求a 的取值范围;(2)若a =1,求证:x＞0时,f (x )>1+x解：(1)f′(x )＝ ae x －ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f′(x )≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x )e -x ，当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０．知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数,∴g (x )在x =1时,取得最大值，即g (x )max =g (1)=1/e , ∴a≥1/e ,即a 的取值范围是[1/e , + ∞)(2)记F (X )=f (x ) －(1+x ) =)0(1212>−−−x x x e x 则F′(x )=e x -1-x ,令h (x )= F′(x )=e x -1-x ,则h′(x )=e x -1当x >0时, h′(x )>0, ∴h (x )在(0,+ ∞)上为增函数,又h (x )在x =0处连续, ∴h (x )>h (0)=0即F′(x )>0 ,∴F (x ) 在(0,+ ∞)上为增函数,又F (x )在x =0处连续,∴F (x )>F (0)=0,即f (x )>1+x ．小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为)(x f m >(或)(x f m <)恒成立，于是m 大于)(x f 的最大值（或m 小于)(x f 的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．。