高中数学构造函数专题
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题2
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。
其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。
高中数学：构造函数方法
高中数学：构造函数常见构造函数方法：1.利用和差函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f 或；（2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f 或；（3）kx x f x F k x f )()()(k )(或；2.利用积商函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f 或；（2）)0)(()(g )()()0(0)()(-)(g )(x g x x f x F x g x f x x f 或；（3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f 或；（4）)0(x)()()0(0)(-)(x x x f x F x f x f 或；（5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n或;(6))0(x)()()0(0)(n -)(x nxx f x F x f x f 或;(7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x或;(8))0(e)()()0(0)(-)(xxx f x F x f x f 或;(9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx或;(10))0(e)()()0(0)(k -)(kxxx f x F x f x f 或;(11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f 或; (12))0(sin sinx )()()0(0tan )(-)(xx f x F xx f x f 或;(13))0(cos cos )()()0(0)(tanx )(xxx f x F x f x f 或;(14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f 或;(15)()+lna ()0(0)()()xf x f x F x a f x 或;(16)()()lna ()0(0)()xf x f x f x F x a或;考点一。
高中数学x求参数范围--构造函数法
构造函数法--求解参数范围例题解析原题：已知函数3321lg )(a x f x x ++= 当]1,(-∞∈x 时有意义，求ａ的取值范围。
解：要使)(x f 有意义，只须0321>++a x x ，使])32()31[(x x a +->在]1,(-∞∈x 时恒成立。
关键在与求当1≤x 时])32()31[(x x +-的最大值。
函数x x )32(,)31(都是减函数，所以])32()31[(x x +-在]1,(-∞∈x 上是增函数，当1=x 时取得最大值1)3231(-=+-。
由此1->a ，所以a 的取值范围为),1(+∞-。
一、以方程为载体在含有参数的方程中，变为方程的一端只含参数，另一端与参数无关的主变元函数。
只要求出主变元函数的值域，则参数的取值范围就可以确定了。
【例1】 方程0322=--k x x 在)1,1(-上有实根，求k 的取值范围。
〖解〗：构造函数x x k 322-= )1,1(-∈x 则原题可等价地转化为求此函数的值域，利用配方法 x x k 322-==169)43(2--x x ∵)1,1(-∈x ∴当16943min -==k x ， 当251==k x ， ∴)25,169[-∈k 。
【例2】 求方程a x a x 2cos sin =-恒成立时a 的取值范围。
〖解〗:构造函数xx a cos 2sin += 则原题可等价地转化为求此函数的值域。
利用数形结合的思想或利用万能公式变换求得a 的范围是]33,33[-。
二、不等式为载体 不等式中参数的取值问题，可将参数分离出来，转化为形如“)()(x g a f <”或“)()(x g a f >”（其中a 为参数）的不等式，且函数)(x g 在其定义域上的值域可求，并通过它来制约另一端的范围，从而求得原不等式在其定义域内恒成立的两个充要条件是：命题1：若c x g A x 或〈）()(,≤∈(c 为常数)，则)()(x g a f >在A x ∈恒成立的充要条件是)()(c a f ≥>或。
2025新高考重难点之构造函数 学生版
重难点之构造函数1.对于不等式f x >k k≠0，构造函数g x =f x -kx+b2.对于不等式xf x +f x >0，构造函数g x =xf x3.对于不等式xf x -f x >0，构造函数g x =f xxx≠04.对于不等式xf x +nf x >0，构造函数g x =x n f(x)5.对于不等式xf x -nf x >0，构造函数g x =f(x) x n6.对于不等式f x -f x >0，构造函数g x =f(x) e x7.对于不等式f x +f x >0，构造函数g x =e x f(x)8.对于不等式f x +kf x >0，构造函数g x =e kx f(x)9.对于不等式f x sin x+f x cos x>0，构造函数g x =sin xf(x)10.对于不等式f x sin x-f x cos x>0，构造函数g x =f(x)sin x 11.对于不等式f x cos x-f x sin x>0，构造函数g x =cos xf(x)12.对于不等式f x cos x+f x sin x>0，构造函数g x =f(x) cos x重难点题型(一)、与一次函数或幂函数有关的构造函数1.(23-24高三下·重庆)已知函数f x 的定义域为-∞,0，f-1=-1，其导函数f x 满足xf x -2f x >0，则不等式f x+2025+x+20252<0的解集为()A.-2026,0B.-2026,-2025C.-∞,-2026D.-∞,-20252.(2021·安徽高三月考(理))设函数f x 是定义在0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f 'x ，且有2f x >xf 'x ，则不等式4f x -2021 >x -2021 2f 2 的解集为()A.2021,2023B.0,2022C.0,2020D.2022,+∞3.(2022·四川省眉山第一中学模拟预测(理))已知可导函数f (x )的定义域为(0,+∞)，满足xf (x )-2f (x )<0，且f (2)=4，则不等式f (x )>x 2的解集是．4.(23-24高三上·云南昆明)已知定义域为R 的函数f x ，对任意的x ∈R 都有f x >2x ，且f 1 =2，则不等式f 2x -4x 2-1>0的解集为()A.0,+∞B.12,+∞C.1,+∞D.2,+∞1.(22-23高三下·广东)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x >0时，有xf (x )+2f (x )<0恒成立，则()A.4f (1)>f 12B.f (2)9<f (3)4C.9f 12>4f -13D.9f (-1)<f -132.(22-23高三下·广东东莞)已知函数f x 的定义域为-∞,0 ,其导函数f x 满足xf x -2f x >0,则不等式f x +2023 -x +2023 2f -1 <0的解集为()A.(-2024,-2023)B.(-2024,0)C.(-∞,-2023)D.(-∞,-2024)3.(22-23高三上·山东泰安·阶段练习)已知f x 是定义在R 上的偶函数，f x 是f x 的导函数，当x ≥0时，f x -2x >0，且f 1 =2，则f x >x 2+1的解集是()A.-1,0 ∪(1,+∞)B.-∞,-1 ∪1,+∞C.-1,0 ∪0,1D.-∞,-1 ∪0,14.(2024·陕西商洛·模拟预测)已知函数f x =2x ln x -ax 2，若对任意的x 1,x 2∈0,+∞ ，当x 1>x 2时，都有2x 1+f x 2 >2x 2+f x 1 ，则实数a 的取值范围为()A.12e,+∞ B.1,+∞C.1e,+∞ D.2,+∞重难点题型(二)、与指数函数或对数函数有关的构造函数5.(2023·广东佛山·校考模拟预测)已知f x 是函数y =f x x ∈R 的导函数，对于任意的x ∈R 都有f x +f x >1，且f 0 =2023，则不等式e x f x >e x +2022的解集是()A.2022,+∞B.-∞,0 ∪2023,+∞C.-∞,0 ∪0,+∞D.0,+∞6.(2023·安徽黄山·统考三模)已知定义域为R 的函数f x ，其导函数为f (x )，且满足f (x )-2f x <0，f 0 =1，则()A.e 2f -1 <1B.f 1 >e 2C.f 12<e D.f 1 >ef 1e7.(22-23高三下·天津)已知可导函数f x 的导函数为f x ,f 0 =2023，若对任意的x ∈R ，都有f x <f x ，则不等式f x <2023e x 的解集为()A.0,+∞B.2023e 2,+∞C.-∞,2023e 2D.-∞,08.(22-23高三下·全国)定义域为R 的可导函数f x 的导函数为f x ，满足f x -f x <0，且f 0 =1，则不等式f xex <1的解集为()A.0,+∞B.2,+∞C.-∞,0D.-∞,21.(2023·山东烟台·二模)已知函数f x 的定义域为R ，其导函数为f x ，且满足f x +f x =e -x ，f 0 =0，则不等式e 2x -1 f x <e -1e的解集为( )．A.-1,1eB.1e ,eC.-1,1D.-1,e2.(2022·青海西宁·二模(理))已知定义在R 上的可导函数f x 的导函数为f x ，满足f x <f x ，且f x +3 为偶函数，f 6 =1，则不等式f x >e x 的解集为．3.(23-24高三下·广东佛山)已知函数f x 的定义域为0，+∞ ，且f x >-f x ln2恒成立，则不等式f ln x 4<f 22ln x 的解集为()A.1,e 2B.0,e 2C.1,e 3D.0,e 34.(23-24高三下·福建)设f (x )在R 上存在导数f (x )，满足f (x )+f (x )>0，且有f (2)=2,e x -2f (x )>2的解集为( )．A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)重难点题型(三)、与三角函数有关的构造函数1.(22-23高三上·重庆沙坪坝)已知f x 是函数f x 的导函数，f x -f -x =0，且对于任意的x ∈0,π2有f x cos x >f -x sin -x ．则下列不等式一定成立的是()A.32f -12 <f -π6 cos 12B.f -π6 >62f -π4C.f -1 <2f π4cos1 D.22f π4 >f -π32.(2023秋·陕西西安)已知函数f x 的定义域为-π2,π2 ，其导函数是f x .有f x x cos +f x xsin <0，则关于x 的不等式f x <2f π3x cos 的解集为()A.π3,π2B.π6,π2 C.-π6,-π3D.-π2,π63.(22-23高三上·全国·阶段练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为-π,0 ，f -π6=-2，3f (x )cos x +f (x )sin x >0，则不等式f (x )sin 3x -14>0的解集为()A.-π3,0 B.-π6,0 .C.-π6,-π3D.-π,-2π34.(2021·甘肃省武威第二中学高三期中(理))对任意x ∈0,π2，不等式sin x ⋅f x <cos x ⋅f x 恒成立，则下列不等式错误的是()A.f π3>2f π4 B.f π3 >2cos1⋅f 1 C.f π4<2cos1⋅f 1 D.f π4<62f π65.(2020高三·全国·专题练习)已知偶函数y =f (x )对于任意的x ∈0,π2满足f (x )⋅cos x +f (x )⋅sin x >0(其中f (x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式中不成立的是()A.2f -π3 <f π4B.2f -π3 >f π4C.f (0)<2f -π4D.f π6<3f π31.(21-22高三上·江西南昌·期末)设函数f x 是定义在0，π 上的函数f x 的导函数，有f (x )cos x -f (x )sin x >0，若a =0，b =12f π3 ，c =-22f 3π4，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a2.(2021·东莞市东华高级中学高二期末)已知函数y =f (x )为R 上的偶函数，且对于任意的x ∈0,π2满足f '(x )cos x +f (x )sin x <0，则下列不等式成立的是()A.3f π3>f π6 B.f (0)>2f -π4C.f π4<2f -π3 D.-3f -π3>f -π6 3.(2022·安徽·合肥一中模拟)已知函数y =f x -1 图象关于点1,0 对称，且当x >0时，f x sin x +f x cos x >0则下列说法正确的是()A.f 5π6<-f 7π6 <-f -π6 B.-f 7π6<f 5π6 <-f -π6 C.-f -π6<-f 7π6 <f 5π6 D.-f -π6<f 5π6 <-f 7π6 4.(2024·重庆·模拟预测)若函数f x 的导函数为f x ，对任意x ∈-π,0 ,f x sin x <f x cos x 恒成立，则()A.2f -5π6 >f -3π4 B.f -5π6>2f -3π4 C.2f -5π6<f -3π4 D.f -5π6<2f -3π4 5.(21-22高三上·内蒙古赤峰·阶段练习)已知函数y =f (x )对任意的x ∈(0,π)满足f x cos x >f (x )sin x (其中f x 为函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是()A.f π6>3f π3 B.f π6<3f π3 C.3f π6>f π3 D.3f π6<f π3。
利用求导法则构造函数
利用求导法则构造函数近年高考试卷中常出现一种客观题，考查导数运算法则的逆用、变形应用能力。
这种题目的背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)”等特征式，旨在考查学生对导数运算法则的掌握程度。
解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题。
本文结合实例介绍此类问题的几种常见形式及相应解法。
常用的构造函数有：1.和与积联系：如f(x)+xf'(x)，构造xf(x)；2xf(x)+x^2f'(x)，构造x^2f(x)；3f(x)+xf'(x)，同样构造x^2f(x)；3f(x)+xf'(x)，构造x^3f(x)；………；nf(x)+xf'(x)，构造x^n f(x)；f'(x)+f(x)，构造e^xf(x)等等。
2.减法与商联系：如xf'(x)-f(x)>0，构造F(x)=f(x)/x；x^2f'(x)-2f(x)>0，构造F(x)=f(x)/x^2；xf'(x)-nf(x)>0，构造F(x)=f(x)/x^n；f'(x)-f(x)，构造F(x)=f(x)/e^x；2xe^xf'(x)-2f(x)，构造F(x)=f(x)/(2xe^x)等等。
在构造函数时，有时候不唯一，关键是要合理构造函数。
给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。
一种常见形式是巧设“y=f(x)±g(x)”型可导函数。
当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f'(x)±g'(x)”时，不妨联想、逆用“f'(x)±g'(x)=[f(x)±g(x)]'”，构造可导函数y=f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题。
2024高考数学常考题型 导数中构造函数比大小问题题型总结(解析版)
第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结【典型例题】题型一：构造()xxx f ln =比较大小此函数定义域为()+∞,0，求导()2ln 1x xx f -='，当()e x ,0∈时，()0>'x f ，故()x f 为增函数，当()+∞∈,e x 时，()0<'x f ，故()x f 为减函数，当e x =时，()x f 取得极大值为()ee f 1=，且()()222ln 42ln 244ln 4f f ====，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若1ln 2ln 3,,e 23a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．a b c>>【答案】A 【解析】【分析】通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数()ln xf x x=，通过求导分析其单调性即可得到答案【详解】解：1ln e ln 2ln 4ln 3,,e e 243a b c =====，设()()2ln 1ln ,x x f x f x x x -'==，则e x >时，()0f x '<，故()f x 在()e,∞+上单调递减，则()()()3e 4f f f >>，即ln e ln 3ln 4e34>>，所以a c b >>．故选：A.【例2】（2023·全国·高三专题练习）设24ln 4a e -=，ln 22b =，1c e =，则（）A ．a c b <<B ．a b c<<C ．b a c<<D ．b c a<<【答案】C【解析】【分析】结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数()ln xf x x=,然后结合导数与单调性关系分析出e x =时,函数取得最大值()1e ef =,可得c 最大,然后结合函数单调性即可比较大小.【详解】设()ln x f x x =,则()21ln xf x x -'=,当e x >时,()0f x '<,函数单调递减,当0e x <<时,()0f x '>,函数单调递增,故当e x =时,函数取得最大值()1e ef =,因为()2222e ln 22ln22e e e 22a f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()()4ln2l e n 4e 1,24b f c f =====,2e 42e << ,当e x >时,()0f x '<,函数单调递减,可得()()2e 4e 2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即b a c <<.故选:C【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（）①ln 32<；②ln π<；③15<；④3e ln 2>．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以构造函数()ln x f x x =，然后通过导数计算出函数()ln xf x x=的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数()ln xf x x=的单调性即可比较出大小．【详解】解：构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，e x >时，()0f x '<，所以函数()ln xf x x=在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，所以当e x =时()f x 取得最大值1e，ln 322ln 2ln 22<⇔⇔，2e <<可得()2ff <，故①正确；lnπ<⇔e <<，可得f f <，故②错误；ln 2ln 4152ln1524<⇔<⇔<<，因为函数()ln xf x x=在()e,+∞上递减，所以()4f f<，故③正确；因为e >，所以(()e f f <，ln ee <1e <，则3e <即3e ln 2<④错误，综上所述，有2个正确.故选：B ．【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 55ln a a =，ln 66ln b b =，ln 77ln c c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，函数()F x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为765e >>>，所以()()()765f f f <<，因为a ，b ，c 均为区间()0,e 内的实数，且ln 5ln 5a a =，ln 6ln 6b b =，ln 7ln 7c c=，所以()()()f a f b f c >>，所以a b c >>，故选：B.【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设ln 28a =，21e b =，ln 612c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b<<【答案】B 【解析】【分析】根据a 、b 、c 算式特征构建函数()2ln xf x x =，通过求导确定函数单调性即可比较a 、b 、c 的大小关系.【详解】令()2ln x f x x =，则()42ln 0x x xx x f x '-==⇒=因此()2ln xf x x =在)∞+上单调递减，又因为ln 2ln 4(4)816a f ===，22ln e1=(e)e e b f ==，ln 612c f ===，因为4e >>>a b c <<．故选：B ．【题型专练】1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若ln212ln3,,29e a b c ===，则（）A ．b a c>>B ．b c a>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】令()ln xf x x=，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断a 、c ，即可得解；【详解】解：令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以当0e x <<时()0f x '>，当e x >时()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max ln e 1e e e f x f ===，所以1e ln22>又94ln22ln39ln 24ln 3ln 2ln 3ln 512ln 91029181818----===>所以ln22ln329>，即b a c >>.故选：A2.（2022·浙江台州·高二期末）设24ln 4e a -=，ln 22b =，c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b<<D ．b c a<<【答案】B 【解析】【分析】由题设22e ln2e 2a =，ln 44b =，ln 33c =，构造ln ()xf x x =并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小.【详解】由题设，222e ln4ln 42e e 2a -==，ln 2ln 424b ==，ln 33c ==，令ln ()xf x x=且0x >，可得21ln ()x f x x -'=，所以()0f x '>有0e x <<，则(0,e)上()f x 递增；()0f x '<有e x >，则(e,)+∞上()f x 递减；又2e 43e 2>>>，故c a b >>.故选：B3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1ln 32）43ln 34<e （3）ee ππ>.三个不等式中，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】【分析】根据题目特点，构造函数()ln x f x x =，则可根据函数()ln xf x x=的单调性解决问题.【详解】首先，我们来考察一下函数()ln xf x x=，则()21ln xf x x -'=，令()0,f x '>解得0e x <<，令()0,f x '<解得e x >，故()ln xf x x=在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,+∞单调递减，所以，（1）ff <ln 3>，则正确；（2）()43e 3f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即4343lne ln33e <，即43e ln 34⋅>，则错误；（3）()()πf e f >，即e e e e e e ππππππln ln ln ln ln ln >⇒>⇒>，所以，e e ππ>，则正确故选：C.4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若ln 33a =，1eb =，3ln 28c =，则（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A 【解析】【分析】设函数ln (),(0)xf x x x=>，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.【详解】设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x '>，()f x 递增，当e x >时，()0f x '<，()f x 递减，当e x =时，函数取得最小值，由于e 38<<，故lne ln 3ln 8e 38>>，即b a c >>，故选：A5.（2022·山东日照·高二期末）π是圆周率，e 是自然对数的底数，在e 3，3e ，33，e e ，πe ，3π，π3，e π八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.【答案】e e π3【解析】【分析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3,e 以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数()ln xf x x=的单调性，判断出最大的数．【详解】显然八个数中最小的数是e e .函数3x y =是增函数，且e 3π<<，∴e 3π333<<；函数e x y =是增函数，且e 3π<<，e 3πe e e <<；函数πx y =是增函数，且e 3π<<，e 3ππ<；函数e y x =在()0,∞+是增函数，且e 3π<<，e e e e 3π<<，则八个数中最小的数是e e 函数πy x =在()0,∞+是增函数，且e 3<，ππe 3<，八个数中最大的数为3π或π3，构造函数()ln xf x x=，求导得()21ln xf x x -'=，当()e,x ∈+∞时()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞是减函数，()()3πf f >，即ln 3ln π3π>，即πln 33ln π>，即π3ln 3ln π>，π33π∴>，则八个数中最大的数是π3.故答案为：e e ；π3．6.（2022·安徽省宣城中学高二期末）设24ln41,,e ea b c -===,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．c a b<<【答案】D 【解析】【分析】设ln ()(0)xf x x x =>，利用导数求得()f x 的单调性和最值，化简可得2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(e)b f =，(2)c f =，根据函数解析式，可得ln 4(4)(2)4f f ==且2e e 42<<，根据函数的单调性，分析比较，即可得答案.【详解】设ln ()(0)xf x x x=>，则221ln 1ln ()x xx x f x x x ⋅--'==，当(0,e)x ∈时，()0f x '>，则()f x 为单调递增函数，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 为单调递减函数，所以max 1()(e)ef x f ==，又222222e ln 4ln42(ln e e 2e e e 22ln 2)a f ⎛⎫-==-== ⎪⎝⎭，1(e)e b f ==，1ln 2(2)2c f ===，又2ln 4ln 2ln 2(4)(2)442f f ====，2e e 42<<，且()f x 在(e,)+∞上单调递减，所以2e (2)(4)2f f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以b a c >>.故选：D7.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．b a c<<【答案】C 【解析】【分析】判断出01,01,1a b c <<<<>，构造函数ln (),(0)xf x x x=>，判断01x <<时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b 的大小，即可得答案.【详解】由ln ln ln 0e a a b cb c==-<，得01,01,1a b c <<<<>，设ln (),(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，因为01a <<，所以e 1>>a a ，所以ln ln e a aa a>，故()()ln ln ln e =>∴>a a b a f b f a b a ，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<.故选：C.题型二：利用常见不等式关系比较大小1、常见的指数放缩：)1();0(1=≥=+≥x ex e x x e xx证明：设()1--=x e x f x，所以()1-='xe xf ，所以当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ，所以()x f 为减函数，当当()+∞∈,0x 时，()0>'x f ，所以()x f 为增函数，所以当0=x 时，()x f 取得最小值为()00=f ，所以()0≥x f ，即1+≥x e x2.常见的对数放缩：)(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =≤=-≤≤-3.常见三角函数的放缩：x x x x tan sin ,2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈π【例1】（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x=+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.【例2】（2022·山东菏泽·高二期末）已知910a =，19eb -=，101ln 11c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】B【解析】【分析】首先设()e 1x f x x =--，利用导数得到()e 10xx x >+≠，从而得到11b a>，设()ln 1g x x x =-+，利用导数得到()ln 11x x x <-≠，从而得到111ln 1010<和c a >，即可得到答案.【详解】解：设()e 1x f x x =--，()e 1xf x '=-，令()0f x ¢=，解得0x =.(),0x ∈-∞，()0f x ¢<，()f x 单调递减，()0,x ∞∈+，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以()()00f x f ≥=，即e 10x x --≥，当且仅当0x =时取等号.所以()e 10xx x >+≠.又1911101e 199b a=>+==，0,0a b >>，故11b a >，所以b a <；设()ln 1g x x x =-+，()111xg x x x-'=-=，令()0g x ¢=，解得1x =.()0,1∈x ，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x ¢<，()g x 单调递减.所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，当且仅当1x =时取等号.所以()ln 11x x x <-≠，故11111ln 1101010<-=，又1011011lnln ln ln1011101110c a -=+>+==，所以c a >，故b a c <<.故选：B.【例3】（2022·四川凉山·高二期末（文））已知0.01e a =， 1.01b =，1001ln 101c =-，则（）．A ．c a b >>B ．a c b>>C ．a b c>>D ．b a c>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()e 1x f x x =--，由导数确定单调性，进而即得．【详解】设()e 1x f x x =--，则e ()10x f x '=->，在0x >时恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以e 1(0)0x x f -->=，即e 1x x >+，0x >，∴0.01e 1.01>，又ln1.010>，∴ln1.01e 1ln1.01>+，即1001.011ln 101>-，所以a b c >>．故选：C ．【例4】（2022·四川绵阳·高二期末（理））若8ln 7a =，18=b ,7ln 6c =，则（）A ．a c b <<B ．c a b<<C ．c b a <<D ．b a c<<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()1ln 1f x x x=+-，其中1x >，利用导数分析函数()f x 的单调性，可比较得出a 、b 的大小关系，利用对数函数的单调性可得出c 、a 的大小关系，即可得出结论.【详解】构造函数()1ln 1f x x x=+-，其中1x >，则()221110x f x x x x -'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，故()()10f x f >=，则88781ln 1ln 077878f ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，即a b >，78lnln 67> ，因此，b a c <<.故选：D.【例5】（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解.【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A 【题型专练】1.（2022·福建·莆田一中高二期末）设ln1.01a =， 1.0130e b =，1101c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()ln 1f x x x =-+（0x >），证明ln 1≤-x x ，令 1.01x =，排除选项A,B,再比较,a b 大小，即得解.【详解】解：构造函数()ln 1f x x x =-+（0x >），()10f =，()111xf x x x-'=-=，所以()f x 在()0,1上()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 在()1,+∞上()0f x '<，()f x 单调递减，所以max ()(1)0,ln 10,ln 1f x f x x x x ==∴-+≤∴≤-，令 1.01x =，则 ln a x =，30e x b =，11c x=-，考虑到ln 1≤-x x ，可得11ln 1x x ≤-，1ln 1x x -≥-等号当且仅当 1x =时取到，故 1.01x =时a c >，排除选项A ，B.下面比较,a b 大小，由ln 1≤-x x 得 1.01ln1.01 1.0130e<<，故b a >，所以c a b <<.故选：D.2.（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知1cos 5a =，4950b =，15sin 5=c ，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数21()cos 12f x x x =+-，利用导数求解函数()f x 的单调性，利用单调性进行求解.【详解】解：设21()cos 1,(01)2f x x x x =+-<<，则()sin f x x x '=-，设()sin ,(01)g x x x x =-<<，则()1cos 0g x x '=->，故()g x 在区间(0,1)上单调递增，即()(0)0g x g >=，即()0f x '>，故()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，可得149cos 550>，故a b >，利用三角函数线可得0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以11tan 55>，即1sin1515cos 5>，所以115sincos 55>，故c a >综上，c a b >>故选：D.3（2022·湖北武汉·高二期末）设4104a =，ln1.04b =，0.04e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D 【解析】【分析】分别令()()e 10xf x x x =-->、()()()ln 10g x x x x =+->、()()()ln 101xh x x x x=+->+，利用导数可求得()0f x >，()0g x <，()0h x >，由此可得大小关系.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x ->，则0.04e 10.04->；令()()()ln 10g x x x x =+->，则()11011x g x x x'=-=-<++，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即()ln 1x x +<，则ln1.040.04<；0.04e 1ln1.04∴->，即c b >；令()()()ln 101x h x x x x =+->+，则()()()22110111x h x x x x '=-=>+++，()h x ∴在()0,∞+上的单调递增，()()00h x h ∴>=，即()ln 11xx x+>+，则0.044ln1.04 1.04104>=，即b a >；综上所述：c b a >>.故选：D.题型三：构造其它函数比大小（研究给出数据结构，合理构造函数）【例1】（2022·河南河南·高二期末（理））已知1ln 22a a -=，1ln 33b b -=，e ln e cc -=，其中12a ≠，13b ≠，e c ≠，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．c a b <<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()ln 0f x x x x =->，并求()f x '，利用函数()f x 的图象去比较a b c 、、三者之间的大小顺序即可解决.【详解】将题目中等式整理，得11ln ln 22a a -=-，11ln ln 33b b -=-，ln e ln e c c -=-，构造函数()()ln 0f x x x x =->，()111x f x x x-'=-=，令()0f x '=，得1x =，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，函数()f x 的大致图象如图所示．因为()12f a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()e f c f =，且12a ≠，13b ≠，e c ≠，则由图可知1b a >>，01c <<，所以c a b <<．故选：A ．【例2】（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）设 1.01e a =，3eb =，ln 3c =，其中e 为自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】可判断 1.012e a =>，e32b =<，ln 32c =<，再令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，求导判断函数的单调性，从而比较大小．【详解】解： 1.012e a =>，e 32b =<，ln 32c =<，令()ln exf x x =-，[e x ∈，)∞+，11()0e e e x f x x x-'=-=<，故()f x 在[e ，)∞+上是减函数，故()()e 3f f <，即3ln 30e-<，故 1.013l e e n 3<<，即c b a <<，故选：D ．【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知ln 32a =，1e 1b =-，ln 43c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件构造函数ln ()e)1xf x x x =≥-，再探讨其单调性并借助单调性判断作答.【详解】令函数ln ()(e)1x f x x x =≥-，求导得()211ln ()1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--，则()210,(e)xg x x x -'=<≥，故()11ln g x x x =--，(e)x ≥单调递减，又()111ln101g =--=，故()0,(e)g x x <≥，即()0,(e)f x x '<≥，而e 34<<，则(e)(3)(4)f f f >>，即1ln 3ln 4e 123>>-，所以b a c >>，故选：A【例4】（山东省淄博市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）设110a =，ln1.1b =，910ec -=，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质可比较,a c 的大小，再构造函数()ln(1)f x x x =-+，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较出,a b ，从而可比较出三个数的大小【详解】因为e x y =在R 上为增函数，且9110-<-，所以9110e e --<，因为11e 10-<，所以9101e 10-<，即a c <，令()ln(1)f x x x =-+（0x >），得1()1011xf x x x'=-=>++，所以()f x 在(0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f >=，所以ln(1)x x >+，令0.1x =，则0.1ln1.1>，即1ln1.110>，即a b >，所以b a c <<，故选：D【例5】（2022·四川南充·高二期末（理））设0.010.01e a =，199b =，ln 0.99c =-，则（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b<<【答案】A 【解析】【分析】根据给定数的特征，构造对应的函数，借助导数探讨单调性比较函数值大小作答.【详解】令函数e ,,ln(1)1xxy x t u x x===---，1)x ∈，显然0,0y t >>，则ln ln ln [ln ln(1)]ln(1)y t x x x x x x -=+---=+-，令()ln(1)f x x x =+-，1)x ∈-，求导得1()1011x f x x x '=+=<--，即()f x 在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0f x f <=，即ln ln y t y t <⇔<，因此当1)x ∈时，e 1xx x x<-，取0.01x =，则有0.010.0110.01e10.0199a b =<==-，令()e ln(1)xg x y u x x =-=+-，1)x ∈-，21(1)e 1()(1)e 11x xx g x x x x -+'=++=--，令2()(1)e 1x h x x =-+，1)x ∈，2()(21)e 0x h x x x '=+-<，()h x在1)-上单调递减，1)x ∀∈，()(0)0h x h <=，有()0g x '>，则()g x 在1)上单调递增，1)x ∀∈，()(0)0g x g >=，因此当1)x ∈时，e ln(1)x x x >--，取0.01x =，则有0.010.01e ln(10.01)ln 0.99a c =>--=-=，所以c a b <<.故选：A 【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．c a b>>C ．a c b>>D ．b a c>>【答案】B 【解析】【分析】作差法比较出a b >，构造函数，利用函数单调性比较出c a >，从而得出c a b >>.【详解】2220.30.90.3π0.90.330.90ππππa b -⨯--=-=>=，所以0a b ->，故a b >，又()πsin 3f x x x =-，则()πcos 3f x x '=-在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()0π30f '=->，π306f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以存在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且在()00,x x ∈时，()0f x '>，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即()πsin 3f x x x =-在()00,x x ∈上单调递增，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，且ππ30124f ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以0π12x >，又因为()00f =，所以当()00,x x ∈时，()πsin 30f x x x =->，其中因为1π1012<，所以()010,10x ∈，所以1πsin 0.10.3010f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故sin 0.10.3π>，即c a b >>.故选：B【例7】（2022·河南洛阳·三模（理））已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()18ln f x x x =-，8x ≥，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系.【详解】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥，()18ln 1f x x x+'=--，()18ln 1f x x x+'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln 81ln 8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'，所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减，所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln 98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>.故选：D 【点睛】对于指数式，对数式比较大小问题，通常方法是结合函数单调性及中间值比较大小，稍复杂的可能需要构造函数进行比较大小，要结合题目特征，构造合适的函数，通过导函数研究其单调性，比较出大小.【例8】（2022·河南·模拟预测（理））若0.2e a =，b =ln 3.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a>>【答案】B 【解析】构造函数()()e 10xf x x x =-->，利用导数可得0.2e 1.2b a >>=，进而可得 1.2e 3.2>，可得a c >，再利用函数()()21ln 1x g x x x -=-+，可得ln 3.2 1.1>，即得.【详解】令()()e 10xf x x x =-->，则()e 10x f x '=->，∴()f x 在()0,∞+上单调递增，∴0.20.21 1.2e a b >+=>=，0.2 1.21.e ln 2e a >==，ln 3.2c =，∵()()()6551.262.7387.4,3.2335.5e e >≈≈=，∴ 1.2e 3.2>，故a c >，设()()21ln 1x g x x x -=-+，则()()()()()22221211011x xx g x x x x x +--=-=≥++'，所以函数在()0,∞+上单调递增，由()10g =，所以1x >时，()0g x >，即()21ln 1x x x ->+，∴()()22121.6155ln 3.2ln 2ln1.611 1.1211.613950--=+>+=>=++，又1 1.2 1.21,1 1.1b <<<<，∴ 1.1c b >>，故a c b >>.故选：B.【点睛】本题解题关键是构造了两个不等式()e 10xx x >+>与()21ln (1)1x x x x ->>+进行放缩，需要学生对一些重要不等式的积累.【题型专练】1（2022·山东烟台·高二期末）设a =0.9，b =9ln e10c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B【分析】构造函数()ln 1f x x x =--，()g x x =-.【详解】令()ln 1f x x x =--，因为11()1x f x x x'-=-=所以，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以(0.9)0.9ln 0.91(1)0f f =-->=，即90.9ln 0.91ln(e)10>+=，a c >；令()g x x =()1g x '=-所以，当114x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以(0.9)(1)g g <，即0.90<，0.9a b <.综上，c a b <<.故选：B2.（2022·山东青岛·高二期末）已知ln 3a π=，2b =，1sin 0.042c ⎫=-⎪⎪⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c>>C ．b a c>>D ．a c b>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数得出,a b 大小，又0c <即得出结论.【详解】构造函数()()()2ln 212ln 1f x x x x x =--=-+，则a b f -=，()1210f x x ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭在()1,+∞上恒成立，则()y f x =在()1,+∞上单调递减，故()10a b f f -=<=，则0b a >>，()π103x x =+>，则()π30121100433.x .-+-=>=，由对于函数()πsin 02g x x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭-，()πcos 1002g x x ,x ⎛⎫'=<<< ⎪⎝⎭-恒成立，所以，()()sin 00g x x x g =<=-即sin x x <在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立.所以，1sin0.04sin sin 02x x x ⎫<=<-<⎪⎭（注：004009020305.x .,...<<<<）所以，b a c >>故选：C3.（2022·湖北襄阳·高二期末）设253e 4a =，342e 5b =，35c =，则（）A ．b c a <<B ．a b c <<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】C 【解析】【分析】根据式子结构，构造函数()()e ,01xf x x x=<<，利用导数判断单调性，得到2354f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断出a b >.记()()e 2,01xg x x x =-<<，推理判断出b c >.【详解】24452533e23e 542e e 534a b ==.记()()e ,01x f x x x =<<，则()()2e 10x xf x x -'=<，所以()e xf x x =在()0,1上单调递减.所以2354f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >.433422e e 5325354b c ⎛⎫-= ⎪⨯⎝--⎭=.记()()e 2,01x g x x x =-<<，则()e 2xg x '=-.所以在()0,ln 2x ∈上，()0g x '<，则()g x 单调递减；在()ln 2,1x ∈上，()0g x '>，则()g x 单调递增；所以()()()ln 2min ln 2e 2ln 221ln 20g x g ==-⨯=->，所以()min 304g g x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即3422e 0534b c ⨯⎛⎫-> ⎪⎝⎭=-.所以b c >.综上所述：c b a <<.故选：C4.（2022·福建宁德·高二期末）已知a ，R b ∈，且221a b >>，则（）A ．ln ln a b a b -<-e eB ．ln ln b a a b <C ．e a b ba->D ．sin sin 1a ba b-<-【答案】D 【解析】【分析】由题设有0a b >>，分别构造e ln x y x =-、ln xy x=、e x y x =、sin y x x =-，利用导数研究在,()0x ∈+∞上的单调性，进而判断各项的正误.【详解】由221a b >>，即0a b >>，A ：若e ln x y x =-且,()0x ∈+∞，则1e xy x'=-，故12|20x y ='=-<，1|e 10x y ='=->，即y '在1(,1)2上存在零点且y '在(0,)+∞上递增，所以y 在(0,)+∞上不单调，则e ln e ln a b a b -<-不一定成立，排除；B ：若ln x y x =且,()0x ∈+∞，则21ln xy x -'=，所以(0,e)上0y '>，y 递增；(e,)+∞上0y '<，y 递减；故y 在(0,)+∞上不单调，则ln ln a ba b<不一定成立，排除；C ：若e x y x =且,()0x ∈+∞，则e (1)0x y x '=+>，即y 在(0,)+∞上递增，所以e e a b a b >，即e a b ba-<，排除；D ：若sin y x x =-且,()0x ∈+∞，则1cos 0y x '=-≥，即y 在(0,)+∞上递增，所以sin sin a a b b ->-，即sin sin 1a ba b-<-，正确.故选：D5.（2022·贵州贵阳·高二期末（理））设 1.01e a =，3eb =，ln3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．c a b>>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D 【解析】【分析】分析可得2a >，(1,2)b ∈，(1,2)c ∈，令()ln ,[e,)e xf x x x =-∈+∞，利用导数可得()f x 的单调性，根据函数单调性，可比较ln 3和3e的大小，即可得答案.【详解】由题意得 1.011e e 2a =>>，3(2e 1,)b =∈，ln 3(1,2)c =∈，令()ln ,[e,)exf x x x =-∈+∞，则11e ()0e ex f x x x -'=-=≤，所以()f x 在[e,)+∞为减函数，所以(3)(e)f f <，即3eln 3ln e 0e e-<-=，所以3ln 3e<，则 1.013e ln 3e >>，即a b c >>.故选：D6.（2022·重庆南开中学高二期末）已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b<<【答案】A 【解析】【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.7.（2022·湖北恩施·高二期末多选）已知212ln 204a a -=>，22122ln 0eb b --=>，221ln 303c c -=>，则（）A ．c b <B ．b a<C ．c a<D ．b c<【答案】AC 【解析】【分析】根据题意可将式子变形为2211ln ln 44a a -=-，222211ln ln e e b b -=-，2211ln ln 33c c -=-，构造函数()ln f x x x =-，利用导数求解函数()f x 的单调性，即可求解.【详解】解：由题意知，211,1,23a b c >>>，对三个式子变形可得2211ln ln 44a a -=-，222211ln ln e eb b -=-，2211ln ln 33c c -=-，设函数()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=.由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x <，得01x <<,则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为211101e 43<<<<，所以222b a c >>,所以c a b <<.故选：AC.8.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知01x y z ∈、、（，），且满足2e 2e x x =，3e 3e y y =，4e 4e z z =，则（）A ．x y z <<B ．x z y<<C ．z y x<<D ．z x y<<【答案】C 【解析】【分析】先对已知条件取对数后得到ln ln22x x -=-，ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.根据式子结构，构造函数()ln m x x x =-，利用导数判断单调性，比较大小.【详解】由2e 2e x x =得2ln ln2,x x +=+即ln ln22x x -=-.同理得：ln ln33y y -=-，ln ln44z z -=-.令()ln ,m x x x =-则()111xm x x x-=-='.故()m x 在()0,1上单调递增，1∞+（，）上单调递减.所以z y x <<.故选：C.。
高二数学 构造函数(导数单调性)含答案
一、选择题1.已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)<g′(x)，则下列关系式中正确的是()A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)C．f(x)≥g(x)D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)2.已知函数f(x)定义在R上，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)<，f(1)＝1，则不等式f(x)<＋的解集为()A． {x|x<－1}B． {x|x>1}C． {x|x<－1或x>1}D． {x|－1<x<1}3.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a<b，则必有()A．bf(b)≤af(a)B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤bf(b)D．af(b)≤bf(a)4.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)>f(x)，则f(2 015)与f(2 013)e2的大小关系为()A．f(2 015)<f(2 013)e2B．f(2 015)＝f(2 013)e2C．f(2 015)>f(2 013)e2D．不能确定5.已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A． (0,1)B． (－1,0)∪(0,1)C． (1，＋∞)D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)6.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A． (－∞，－1)∪(0,1)B． (－1,0)∪(1，＋∞)C． (－∞，－1)∪(－1,0)D． (0,1)∪(1，＋∞)7.已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x)，则()A．f(2)<e2f(0)B．f(2)≤e2f(0)C．f(2)＝e2f(0)D．f(2)>e2f(0)8.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<1(x∈R)，则不等式f(x)<x＋1的解集为()A． (1，＋∞)B． (－∞，－1)C． (－1,1)D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)9.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A． (－1,1)B． (－1，＋∞)C． (－∞，－1)D． (－∞，＋∞)10.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A． (－3,0)∪(3，＋∞)B． (－3,0)∪(0,3)C． (－∞，－3)∪(3，＋∞)D． (－∞，－3)∪(0,3)11.设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(2)>e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)B．f(2)<e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)C．f(2)<e2f(0)，f(2 016)<e2 016f(0)D．f(2)>e2f(0)，f(2 016)<e2 016f(0)12.函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2 017，对任意x∈R，都有f′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2＋2 013的解集为()A． (－2,2)B． (－2，＋∞)C． (－∞，－2)D． (－∞，＋∞)13.设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有()A．f(x)g(x)>f(b)g(b)B．f(x)g(a)>f(a)g(x)C．f(x)g(b)>f(b)g(x)D．f(x)g(x)>f(a)g(a)14.定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝2，则不等式f(x)<2e x的解集为()A． (－∞，0)B． (－∞，2)C． (0，＋∞)D． (2，＋∞)15.已知函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，xf′(x)<f(－x)成立(其中)f(log2)，则a，b，c的大小关系是()f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝f()，b＝f(1)，c＝(logA．c>a>bB．c>b>aC．a>b>cD．a>c>b16.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＝－1，且当x>0时，有xf′(x)>f(x)，则不等式f(x)>x的解集是()A． (－1,0)B． (1，＋∞)C． (－1,0)∪(1，＋∞)D． (－∞，－1)∪(1，＋∞)17.已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋>0，若a＝f(1)，b ＝－2f(－2)，c＝(ln)f(ln)，则a，b，c的大小关系正确的是()A．a<c<bB．b<c<aC．a<b<cD．c<a<b18.已知定义在(0，)上的函数f(x)，f′(x)为其导函数，且f(x)<f′(x)·tan x恒成立，则()A．f()<f()B．f()>f()C．f()>f()D．f(1)<2f()·sin 119.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式f(x)>0的解集是()A． (－1,0)∪(1，＋∞)B． (－1,0)∪(0,1)C． (－∞，－1)∪(1，＋∞)D． (－∞，－1)∪(0,1)20.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)<e x的解集为()A． (－2，＋∞)B． (0，＋∞)C． (1，＋∞)D． (4，＋∞)21.函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2 013，对任意x∈R，都有f′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2＋2 009的解集为()A． (－2,2)B． (－2，＋∞)C． (－∞，－2)D． (－∞，＋∞)22.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，f(x)＝axg(x)，＋＝，则等于()A．a2B．C． 9D．23.定义在(0，＋∞)上的单调递减函数f(x)，若f(x)的导函数存在且满足>－x，则下列不等式成立的是()A． 3f(2)<2f(3)B． 3f(3)>4f(4)C． 3f(4)<4f(3)D．f(2)<2f(1)24.已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋>0，若a＝f()，b＝－2f(－2)，c＝ln 2f(ln 2)，则下列关于a，b，c的大小关系正确的是()A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．b>c>a25.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f(x)＝(a>0，且a≠1)；②g(x)≠0；③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x)．若＋＝，则a等于()A．B．C． 2D． 2或26.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(1)＝5，对任意实数x都有f′(x)<3，则不等式f(x)<3x＋2的解集为()A． (－∞，0)B． (0，＋∞)C． (－∞，1)D． (1，＋∞)二、填空题27.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其中f(1)＝0，且当x>0时，有>0，则不等式f(x)>0的解集是________．28.已知函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0，a＝20.1·f(20.1)，b＝(ln 2)·f(ln 2)，c＝(log 2)·f(log2)，则a，b，c的大小关系是________．29.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≥0，对任意正数m，n，若m≥n，则mf(n)与nf(m)的大小关系是mf(n)________nf(m)(请用≤，≥或＝)30.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝1，对任意x∈R，f′(x)>3，则f(x)>3x＋4的解集为________．31.定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(lg x)>的解集为________．32.设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有3f(x)＋xf′(x)>0，则不等式(x＋2 015)3f(x＋2 015)＋27f(－3)>0的解集是________．33.已知可导函数f(x)(x∈R)的导函数f′(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式f(x)>f(0)e x的解集是________．34.设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，当0<x<π时，f′(x)cos x－sin xf(x)>0，则不等式f(x)cos x<0的解集为________．35.已知函数y＝f(x)，对于任意的x∈[0，)满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0，则下列不等式中成立的有________．①f()<f()；②f()<f()；③f(0)<f()；④f()<f()．三、解答题答案解析1.【答案】B【解析】据题意，由f′(x)<g′(x)得f′(x)－g′(x)<0，故F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上为单调递减函数，由单调性知识知，必有F(x)≥F(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，移项整理得：f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)．2.【答案】B【解析】f(x)<＋，∴f(x)－<，令g(x)＝f(x)－，g(1)＝，∴g(x)<g(1)，∵g′(x)＝f′(x)－<0，∴g(x)为减函数，∴x>1.3.【答案】A【解析】设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，∴g(x)在区间x∈(0，＋∞)单调递减或g(x)为常函数，∵a<b，∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b)．4.【答案】C【解析】令F(x)＝e－x f(x)，F′(x)＝e－x f′(x)－e－x f(x)＝e－x(f′(x)－f(x))，∵f′(x)>f(x)，∴F′(x)>0，∴F(x)在R上为增函数，∴F(2 015)>F(2 013)，∴e－2 015f(2 015)>e－2 013f(2 013)，∴f(2 015)>f(2 013)e2.5.【答案】C【解析】设g(x)＝f(x)－x，因为f(1)＝1，f′(x)>1，所以g(1)＝f(1)－1＝0，g′(x)＝f′(x)－1>0，所以g(x)在R上是增函数，且g(1)＝0.所以f(x)>x的解集，即g(x)>0的解集(1，＋∞)．6.【答案】A【解析】记函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，故当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0.当0<x<1时，g(x)>0，则f(x)>0；当x<－1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．7.【答案】D【解析】设F(x)＝，则F′(x)＝>0，∴F(x)在R上为增函数，故F(2)>F(0)，∴>，即f(2)>e2f(0)．8.【答案】A【解析】不等式f(x)<x＋1可化为f(x)－x<1，设g(x)＝f(x)－x，由题意g′(x)＝f′(x)－1<0，g(1)＝f(1)－1＝1，故原不等式⇔g(x)<g(1)，故x>1.9.【答案】B【解析】令g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g′(x)＝f′(x)－2>0，故g(x)在R上单调递增．又g(－1)＝f(－1)－2＝0，故当x>－1时，g(x)>0，即f(x)>2x＋4.10.【答案】D【解析】设F(x)＝f(x)g(x)，∵当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，∴F(x)在x<0时为增函数．∵F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，故F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．已知g(－3)＝0，必有F(－3)＝－F(3)＝0.构造如图的F(x)的图象，可知F(x)<0的解集为x∈(－∞，－3)∪(0,3)．11.【答案】C【解析】∵函数F(x)＝的导数F′(x)＝＝<0，∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，∴F(2)<F(0)，即<，故有f(2)<e2f(0)．同理可得f(2 016)<e2 016f(0)．12.【答案】C【解析】令F(x)＝f(x)－x2－2 013，则F′(x)＝f′(x)－2x<0，∴F(x)在R上为减函数，又F(－2)＝f(－2)－4－2 013＝2 017－2 017＝0，∴当x<－2时，F(x)>F(－2)＝0，∴不等式f(x)>x2＋2 013的解集为(－∞，－2)．13.【答案】C【解析】因为[]′＝，又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a<x<b，所以>>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．14.【答案】C【解析】设g(x)＝，则g′(x)＝，∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，即函数g(x)单调递减．∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，则不等式等价于g(x)<g(0)，∵函数g(x)单调递减．∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞)．15.【答案】A【解析】∵函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，∴当x∈(－∞，0)时，xf′(x)<f(－x)等价为xf′(x)＋f(x)<0，构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)<0，∴当x∈(－∞，0)时，函数g(x)单调递减，且函数g(x)是偶函数，∴当x∈(0，＋∞)时，函数g(x)单调递增，则a＝f()＝g()，b＝f(1)＝g(1)，)f(log2)＝g(log2)＝g(－2)＝g(2)，c＝(log∵1<<2，∴g(1)<g()<g(2)，即b<a<c.16.【答案】C【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数，令g(x)＝，∴g(x)为偶函数，又当x>0时，xf′(x)>f(x)，∴g′(x)＝>0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f(－1)＝－1，∴f(1)＝1，g(1)＝1，当x>0时，∵不等式f(x)>x，∴>1，即g(x)>g(1)，∴有x>1；当x<0时，∵不等式f(x)>x，∴<1，即g(x)<g(－1)，∴有－1<x<0；当x＝0时，f(0)＝0，不等式f(x)>x不成立，综上，不等式f(x)>x的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．17.【答案】D【解析】设g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝x[f′(x)＋]，∵x≠0时，f′(x)＋>0，∴x>0时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(x)为奇函数，∴b＝－2f(－2)＝2f(2)，c＝(ln)f(ln)＝(－ln 2)f(－ln 2)＝(ln 2)f(ln 2)，a＝f(1)＝1f(1)，∵ln 2<1<2，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(ln 2)<g(1)<g(2)，即(ln 2)f(ln 2)<1f(1)<2f(2)，∴c<a<b.18.【答案】A【解析】因为x∈(0，)，所以sin x>0，cos x>0，由f(x)<f′(x)tan x，得f(x)cos x<f′(x)sin x，即f′(x)sin x－f(x)cos x>0.令g(x)＝，x∈(0，)，则g′(x)＝>0，所以函数g(x)在x∈(0，)上为增函数，则g()<g()<g(1)<g()，即<<<.所以2f()<f()<<f()，所以f()<f()，f()<f()，f()<f()，f(1)>2f()·sin 1，故A正确，B、C、D错误．19.【答案】D【解析】因为当x>0时，有<0恒成立，即[]′<0恒成立，所以在(0，＋∞)内单调递减．因为f(1)＝0，所以在(0,1)内恒有f(x)>0；在(1，＋∞)内恒有f(x)<0.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以在(－∞，－1)内恒有f(x)>0；在(－1,0)内恒有f(x)<0.不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．20.【答案】B【解析】∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x＋2)的图象关于x＝0对称，∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称，∴f(4)＝f(0)，又∵f(4)＝1，∴f(0)＝1，设g(x)＝(x∈R)，则g′(x)＝＝，又∵f′(x)<f(x)，∴f′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴y＝g(x)在定义域上单调递减，∵f(x)<e x，∴g(x)<1，又∵g(0)＝＝1，∴g(x)<g(0)，∴x>0.21.【答案】C【解析】令g(x)＝f(x)－x2－2 009，则g′(x)＝f′(x)－2x<0，∴函数g(x)在R上单调递减，而f(－2)＝2 013，∴g(－2)＝f(－2)－(－2)2－2 009＝0.∴不等式f(x)>x2＋2 009，可化为g(x)>g(－2)，∴x<－2，即不等式f(x)>x2＋2 009的解集为(－∞，－2)．22.【答案】D【解析】∵f(x)＝axg(x)，∴＝ax，∵f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，∴[]′＝<0，即函数＝ax单调递减，即0<a<1.又＋＝，则＋a＝，解得a＝或a＝3(舍去)．即＝()x，∴＝()2＝.23.【答案】B【解析】设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，因为f(x)为定义在(0，＋∞)上的单调递减函数，所以x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，由>－x得＋x>0，则>0，则当∈(0，＋∞)时，f(x)＋xf′(x)<0，即g′(x)<0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上递减，则g(3)>g(4)，即3f(3)>4f(4)．24.【答案】D【解析】令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)．∵当x≠0时，f′(x)＋>0，∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，即当x>0时，g′(x)>0，因此当x>0时，函数g(x)单调递增．∵函数f(x)为奇函数，∴b＝－2f(－2)＝2f(2)，又c＝ln 2f(ln 2)，∵2>ln 2>，∴g(2)>g(ln 2)>g()，即b>c>a.25.【答案】C【解析】由①得＝，∴[]′＝，由②g(x)≠0，③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x)，得f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x)<0，可知[]′＝<0，即函数在R上单调递减，即a>1.若＋＝，则＋＝＋a＝，即2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或a＝，∵a>1，∴a＝2.26.【答案】D【解析】记g(x)＝f(x)－3x，∵对任意实数x都有f′(x)<3，∴g′(x)＝f′(x)－3<0，∴g(x)是定义在R上的单调递减函数．∵f(1)＝5，∴g(1)＝f(1)－3＝5－3＝2.∵f(x)<3x＋2，∴f(x)－3x<2，∴g(x)<g(1)．∵g(x)是定义在R上的单调递减函数，∴x>1.27.【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)【解析】[]′＝>0，即x>0时，是增函数，当x>1时>f(1)＝0，f(x)>0；0<x<1时，<f(1)＝0，f(x)<0.又f(x)是奇函数，所以－1<x<0时，f(x)＝－f(－x)>0；x<－1时，f(x)＝－f(－x)<0.则不等式f(x)>0的解集是(－1,0)∪(1，＋∞)．28.【答案】c<a<b【解析】设函数h(x)＝xf(x)，由函数y＝f(x)是R上的偶函数，y＝x是奇函数，得h(x)＝xf(x)是R上的奇函数，由x∈(－∞，0)时，h′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0成立，∴h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，∵3>20.1>1,0<ln 2<1，|＝3>20.1>ln 2，|log即h(3)<h(20.1)<h(ln 2)．又a＝20.1·f(20.1)，b＝ln(2)·f(ln 2)，)·f(log2)，c＝(log∴c<a<b.29.【答案】≤【解析】令F(x)＝，F′(x)＝[xf′(x)－f(x)]，∵xf′(x)－f(x)≥0，∴F′(x)≥0，即F(x)是(0，＋∞)上的增函数，即当m≥n>0时，F(m)≥F(n)，∴≤，从而mf(n)≤nf(m)．30.【答案】(－1，＋∞)【解析】设F(x)＝f(x)－(3x＋4)，则F(－1)＝f(－1)－(－3＋4)＝1－1＝0，又对任意x∈R，f′(x)>3，∴F′(x)＝f′(x)－3>0，∴F(x)在R上是增函数，∴F(x)>0的解集是(－1，＋∞)，即f(x)>3x＋4的解集为(－1，＋∞)．31.【答案】(0,10)【解析】∵f′(x)<，∴f′(x)－<0，∴f(x)－在R上为减函数．设F(x)＝f(x)－，则F(x)在R上为减函数，∵f(1)＝1，∴F(1)＝f(1)－1＝1－1＝0，由f(lg x)－>0，得F(lg x)>F(1)，∵F(x)在R上单调递减，∴lg x<1，∴0<x<10，∴原不等式的解集为(0,10)．32.【答案】(－2 018，－2 015)【解析】根据题意，令g(x)＝x3f(x)，其导函数为g′(x)＝3x2f(x)＋x3f′(x)＝x2[3f(x)＋xf′(x)]，∵x∈(－∞，0)时，3f(x)＋xf′(x)>0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增，又不等式(x＋2 015)3f(x＋2 015)＋27f(－3)>0可化为(x＋2 015)3f(x＋2 015)>(－3)3f(－3)，即g(x＋2 015)>g(－3)，∴0>x＋2 015>－3，解得－2 015>x>－2 018，∴该不等式的解集为(－2 018，－2 015)．33.【答案】(0，＋∞)【解析】设F(x)＝，∵f′(x)>f(x)对于x∈R恒成立，∴F′(x)＝>0，∴F(x)在R上递增，则不等式f(x)>f(0)e x，等价为>f(0)＝，即F(x)>F(0)，∵F(x)在R上递增，∴x>0，即不等式的解集为(0，＋∞)．34.【答案】(－π，－)∪(0，)【解析】设g(x)＝f(x)cos x，∵f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，故g(－x)＝f(－x)cos(－x)＝－f(x)cos x＝－g(x)，∴g(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数．g′(x)＝f′(x)cos x－sin xf(x)>0，∴g(x)在(0，π)上递增，于是奇函数g(x)在(－π，0)上递增．∵g(±)＝0，∴f(x)cos x<0的解集为(－π，－)∪(0，)．35.【答案】②③④【解析】构造函数F(x)＝，x∈[0，)，则F′(x)＝>0，∴函数F(x)在x∈[0，)上单调递增，∴F()>F()，即2f()>f()，可得f()>f()，①错误；同理可得F()<F()，即f()<f()，可得f()<f()，②正确；同理F(0)<F()，即f(0)<f()，③正确；同理F()<F()，即f()<2f()，可得f()<f()，④正确．。
高考数学命题热点名师解密专题：导数有关的构造函数方法(理)含答案解析
专题07 导数有关的构造函数方法一．知识点基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④⎝⎛⎭⎫1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________；⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数(1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 二．题型分析 1.构造多项式函数 2.构造三角函数型3.构造xe 形式的函数 4.构造成积的形式5.与ln x 有关的构造6.构造成商的形式7.对称问题（一）构造多项式函数例1．已知函数()()f x x R ∈满足()1f l =，且()f x 的导函数()1'2f x <，则()122x f x <+的解集为（ ） A. B.{}|x 1x <- C. D.{}|1x x >【答案】D考点：函数的单调性与导数的关系.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数()F x ，利用新函数的性质是解答问题的关键，属于中档试题.练习 1.设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，对于任意的实数x ，都有，当(,0)x ∈-∞时，.若，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1[,)2-+∞ B ．3[,)2-+∞ C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞ 【答案】A 【解析】∵，设，则，∴()g x 为奇函数，又，∴()g x 在(,0)-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，又等价于，即，∴1m m +≥-，解得12m ≥-． 考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，则，可得()g x 为奇函数，又，得()g x 在(,0)-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果. 练习2.设奇函数在上存在导数,且在上,若,则实数的取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键. 练习3.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意x R ∈，都有，且(0,)x ∈+∞时，()f x x '>，若，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】B【解析】令，则，则，得()g x 为R 上的奇函数．∵0x >时，，故()g x 在(0,)+∞单调递增，再结合(0)0g =及()g x 为奇函数，知()g x 在(,)-∞+∞为增函数，又则，即(],1a ∈-∞．故选B ．考点：函数的单调性及导数的应用.【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造函数，通过新函数的性质把已知条件转化为关于a 的不等式来求解.本题解答的关键是由已知条件()f x x '>进行联想，构造出新函数，然后结合来研究函数()g x 的奇偶性和单调性，再通过要解的不等式构造，最终得到关于a 的不等式，解得答案.（二）构造三角函数型例2．已知函数()f x 的定义域为R ,()'fx 为函数()f x 的导函数，当[)0,x ∈+∞时，且x R ∀∈，.则下列说法一定正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】令，则.因为当[)0,x ∈+∞时，，即，所以，所以在[)0,x ∈+∞上单调递增.又x R ∀∈，，所以，所以，故为奇函数，所以在R 上单调递增，所以.即，故选B.练习1．已知函数)(x f y =对任意的满足（其中)('x f 是函数)(x f 的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】构造函数，则，即函数g （x ）在单调递增，则，，即，故A 正确．，即练习2．定义在)2,0(π上的函数)(x f ，()'f x 是它的导函数，且恒有成立，则（ ）A.B.C ． D.【答案】D【解析】在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，有，即令，则，故()F x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 令，则有，D 选项正确.【思路点晴】本题有两个要点，第一个要点是“切化弦”，在不少题目中，如果遇到tan x ，往往转化为sin cos x x来思考；第二个要点是构造函数法，题目中，可以化简为，这样我们就可以构造一个除法的函数，而选项正好是判断单调性的问题，顺势而为.（三）构造xe 形式的函数例3．已知函数()f x 的导数为()f x ′，且对x R ∈恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）A.()f xB.()xf xC.()xe f x D.()xxe f x【答案】D 【解析】设，则.对R x ∈恒成立，且0x e >.在R 上递增，故选D.练习1. 设函数)(x f '是函数的导函数，1)0(=f ，且，则的解集为（ ） A.),34ln (+∞ B.),32ln (+∞ C.),23(+∞ D.),3(+∞e 【答案】B【解析】依题意，构造函数，由，得，ln 23x >【思路点晴】本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数的运算及对数函数的单调性.构造函数法是在导数题目中一个常用的解法.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．学科网练习2.已知()f x 定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，若，且()02f =，则不等式（其中e 为自然对数的底数）的解集是（ ） A ． B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．【答案】C 【解析】设，则，∵，∴，∴()x g '，∴()x g y =在定义域上单调递增，∵，∴()1>x g ，又∵，∴()()0g x g >，∴0>x ，∴不等式的解集为()0,+∞故选：C.考点：利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．结合已知条件中的以及所求结论可知应构造函数，利用导数研究()x g y =的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.练习3．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有，且()1f x +为奇函数，则不等式的解集是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设．由，得，故函数()g x 在R 上单调递减．由()1f x +为奇函数()01f =-，所以．不等式等价于()1xf x e<-，即，结合函数()g x 的单调性可得0x >，从而不等式的解集为()0,+∞，故答案为B.【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．常见的构造思想是使含有导数的不等式一边变为0，即得，当是形如时构造；当是时构造，在本题中令，（R x ∈），从而求导()0<'x g ，从而可判断()x g y =单调递减，从而可得到不等式的解集．练习4.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数()'f x ，满足，且()2+f x 为偶函数，()41=f ，则不等式()<x f x e 的解集为（ ）A ．()2,-+∞B ．()4,+∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞ 【答案】D【解析】设，则∴函数g x （）是R 上的减函数， ∵函数()2+f x 是偶函数， ∴函数∴函数关于2x =对称， ∴原不等式等价为1g x （）＜， ∴不等式()<x f x e 等价1g x （）＜，即∵g x （）是R 上的减函数， ∴0x ＞．∴不等式()<x f x e 式的解集为()0,+∞．选D 练习5．设函数()f x '是函数的导函数，1)0(=f ，且，则的解集是（ ）A.ln 4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.ln 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.3,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D.,3e ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设，则，所以（c 为常数），则，由，2c =，所以，又由，所以即()3f x >，即3213x e ->，解得ln 23x >．故选B ． （四）构造成积的形式例4．已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，且当(),0x ∈-∞时，（()f x '是函数()f x 的导函数）成立．若，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c ＞＞B ．b a c ＞＞C ．c a b ＞＞D ．a c b ＞＞ 【答案】A【解析】易知()x f 关于y 轴对称,设,当()0,∞-∈x 时,,()x F ∴在()0,∞-上为递减函数,且()x F 为奇函数,()x F ∴在R 上是递减函数.,即c b a >>,故选A.【方法点睛】本题考查学生的是函数的性质,属于中档题目.从选项可以看出,要想比较c b a ,,的大小关系,需要构造新函数,通过已知函数()x f 的奇偶性,对称性和单调性,判断()x F 的各种性质,可得()x F 在R 上是递减函数.因此只需比较自变量的大小关系,通过分别对各个自变量与临界值1,0作比较,判断出三者的关系,即可得到函数值得大小关系.练习 1.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有，则不等式的解集为（ ） A ．B ．C ．(2018,0)-D ．(2016,0)- 【答案】B考点：函数导数与不等式，构造函数．【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，构造函数法.是一个常见的题型，题目给定一个含有导数的条件，这样我们就可以构造函数，它的导数恰好包含这个已知条件，由此可以求出()F x 的单调性，即函数()F x 为减函数.注意到原不等式可以看成，利用函数的单调性就可以解出来.练习2．设函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有，则不等式的解集为（ ）A ．()2012,+∞B ．()0,2012C ．()0,2016D ．()2016,+∞ 【答案】D【解析】试题分析：∵函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，，∴函数2y x f x =（）在()0,+∞上是增函数，∴不等式的解集为()2016,+∞．【名师点睛】本题考查函数的单调性，解不等式，以及导数的应用，属中档题．解题时正确确定函数2y x f x =（）在()0,+∞上是增函数是解题的关键练习3.函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数，其导函数为()'fx ，且满足，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C（五）与ln x 有关的构造例5.已知定义在实数集R 的函数()f x 满足f （1）=4,且()f x 导函数()3f x '<，则不等式的解集为（ ）A.(1,)+∞B.(,)e +∞C.(0,1)D.(0,)e 【答案】D【解析】设t=lnx,则不等式化为13)(+>t t f ，设g(x)=f(x)-3x-1,则。