(精心整理)高中数学构造函数专题
高中数学6种构造函数法
高中数学6种构造函数法1、几何体构造法：几何体构造法是高中数学中常见的构造函数，即根据给定的条件，从原点出发，通过叠加若干条定义运算，利用实际工具画出题目要求构造的图形或者要求构造的几何体。
例如：根据给定的定义三角形ABC，在其外接圆上构造一个直角，使得构造出的四边形的一条边和三角形的一条边等长。
2、用线段构造法：用线段构造法是高中数学中常见的构造函数，是根据给定的条件，几何体和直线的位置，及题目要求的其他条件，按照一定的步骤和规律来画出要构造的几何体或其他东西。
例如：依据给定的线段AB，在其上端点A处构造一个半径等于原线段AB一半长度的圆，使得线段AB的端点A和圆的交点坐标相同；并在构造出的圆上构造一个到线段AB 端点B距离等于原线段AB一半长度的直线段。
3、从原点构造法：从原点构造法是高中数学中常见的构造函数，是指从某一原点出发，根据给定的情况，经过若干步的构造，建立若干定义关系，确定一个几何体的形状和大小，并与给定的几何体完全相同或满足给定条件的几何体。
例如：在原点构造一个半径等于原点O到给定点A的距离的圆，从这个圆上构造与 OA 相等的直线段，在这个直线段依次画上给定的点B、C。
4、标准图形构造法：标准图形构造法是在高中数学中学习的构造函数，即根据给定的它定义的图形和要求画出的图形之间的规律，采用实际的工具画出要求的图形。
例如：构造出与正方形相等的长方形(15cm×20cm)，方法为：在一根边长15cm的尺子上划分出4等分点，然后再在另一根尺子上划分出5等分点，将它们相互链接，即可构造出长方形。
5、参数方程构造法：参数方程构造法是高中数学中学习的构造函数，即根据给定的参数条件所决定的几何体的特征，可利用参数方程的技巧，根据参数条件用参数方程来求出构造出几何体的函数，并且利用函数求出相应的构造过程，或者利用参数方程既定的几何图形，求出给定点的位置。
例如：求出构造出半径为 2 的半圆的函数，可以用参数方程 x = 2cos t，其中x 为构造出的半圆的横坐标，t 为角度参数。
2025高考数学二轮复习导数应用中的函数构造技巧
函数形式出现的是“-”法形式时,优先考虑构造 y=型函数.
(2)利用f(x)与ex(enx)构造
() ()
常用的构造形式有 e f(x),e f(x), e , e ,这类形式一方面是对 y=uv,y=型函
x
nx
数形式的考查,另外一方面也是对(ex)'=ex,(enx)'=nenx 的考查.所以对于
f'(x)cos x-f(x)sin x>0,所以 F'(x)>0,即函数
由于
f
π
6
f
π
6
π
0<6
<
π
4
π
π
cos6<f 4
<
3
π
3
3
<
π
3
<
π
,所以
2
π
π
cos4<f 3
π
F(x)在区间(0,2)
π
4
<F
π
cos3,因此可得
π
6
,故选 AD.
F
π
6
<F
f
π
x∈(0,2)时,
π
3
<
内单调递增.
,即
锐角三角形,则( D )
A.f(sin A)sin2B>f(sin B)sin2A
B.f(sin A)sin2B<f(sin B)sin2A
C.f(cos A)sin2B>f(sin B)cos2A
D.f(cos A)sin2B<f(sin B)cos2A
解析 因为
() '
2
高中数学：构造函数方法
高中数学：构造函数常见构造函数方法：1.利用和差函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f 或；（2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f 或；（3）kx x f x F k x f )()()(k )(或；2.利用积商函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f 或；（2）)0)(()(g )()()0(0)()(-)(g )(x g x x f x F x g x f x x f 或；（3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f 或；（4）)0(x)()()0(0)(-)(x x x f x F x f x f 或；（5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n或;(6))0(x)()()0(0)(n -)(x nxx f x F x f x f 或;(7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x或;(8))0(e)()()0(0)(-)(xxx f x F x f x f 或;(9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx或;(10))0(e)()()0(0)(k -)(kxxx f x F x f x f 或;(11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f 或; (12))0(sin sinx )()()0(0tan )(-)(xx f x F xx f x f 或;(13))0(cos cos )()()0(0)(tanx )(xxx f x F x f x f 或;(14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f 或;(15)()+lna ()0(0)()()xf x f x F x a f x 或;(16)()()lna ()0(0)()xf x f x f x F x a或;考点一。
构造函数之专题训练
.. “构造函数”之专题训练一、选择题1.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＞0，且2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）对x∈（0，+∞）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A.＜＜B.＜＜C.＜＜D.＜＜2.已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（）A. B.＜C.＞D.f（0）＞e2f（4）3.若函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xe x，f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，′的最大值为（）A. B.2 C.2 D.44.己知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），且当x≠2时，其导函数f′（x）满足f′（x）＞xf′（x），若a∈（2，3），则（）A.f（log2a）＜f（2a）＜f（2）B.f（2a）＜f（2）＜f（log2a）C.f（2a）＜f（log2a）＜f（2）D.f（2）＜f（log2a）＜f（2a）5.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有′＜0恒成立，则＞的解集为（）A.（-2，0）∪（2，+∞）B.（-2，0）∪（0，2）C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-∞，-2）∪（0，2）6.已知奇函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x），当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，且f（-1）=0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，1）∪（0，1）C.（0，1）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（-1，0）7.已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.（-1，0）∪（1，+∞）D.（-1，0）∪（0，1）8.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=，b=-3f（-3），c=，则a，b，c的大小关系正确的是（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.c＜a＜b9.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜1，则不等式f（1g2x）＜1g2x 的解集为（）A.，B.（10，+∞）C.，D.，，∞10.定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＜e，f（0）=e+2（其中e为自然对数的底数），则不等式e x f（x）＞e x+1+2的解集为（）A.（-∞，0）B.（-∞，e+2）C.（-∞，0）∪（e+2，+∞）D.（0，+∞）11.设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有xf′（x）＜f（x）成立，则（）A.3f（2）＞2f（3）B.3f（2）=2f（3）C.3f（2）＜2f（3）D.3f（2）与2f（3）的大小不确定．12.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，f′（x）为其导函数，若对于任意实数，都有f（x）＞f′（x），其中e为自然对数的底数，则（）A.ef（2015）＞f（2016）B.ef（2015）＜f（2016）C.ef（2015）=f（2016）D.ef（2015）与f（2016）大小关系不确定13.设函数f′（x）的偶函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，f（2）=0且当x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，则使f（x）＜0成立的x的取值范围为（）A.（-∞，-2）∪（0，2）B.（-2，0）∪（0，2）C.（-2，0）∪（2，+∞）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）14.对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f′（x）≥0，则必有（）A.f（0）+f（2）＜2f（1）B.f（0）+f（2）≤2f （1）C.f（0）+f（2）≥2f（1）D.f（0）+f（2）＞2f （1）15.函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2015，对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，则不等式f（x）＜x3+2016的解集为（）A.（-1，+∞）B.（-1，0）C.（-∞，-1）D.（-∞，+∞）16.已知函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（1，0），f′（x）为函数f（x）的导函数，e 为自然对数的底数，若x＞0，xf′（x）＞1下恒成立，则不等式f（x）≤lnx的解集为（）A.（0，]B.（0，1]C.（0，e]D.（1，e]17.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1-x）的解集是（）A.（，+∞）B.（-∞，）C.（-∞，0）∪（0，）D.（0，）18.已知函数y=f（x）定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时xf′（x）＜-f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（），b=f（1），c=-2f（log2），则a，b，c的大小关系是（）A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.a＞c＞b19.定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（）A.8＜＜16B.4＜＜8C.3＜＜4D.2＜＜320.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＞f（x），则下列结论正确的是（）A.f（1）＞ef（0）B.f（1）＜ef（0）C.f（1）＞f（0）D.f（1）＜f（0）21.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=-1，且当x＞0时，有xf′（x）＞f（x），则不等式f（x）＞x的解集是（）A.（-1，0）B.（1，+∞）C.（-1，0）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.D8.B9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C高中数学试卷第2页，共10页.. “构造函数”之专题训练答案和解析【答案】1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.D8.B9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C【解析】1. 解：令g（x）=，x∈（0，+∞），g′（x）=′，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴f（x）＞0，0＜′，∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴＜，∴＜．令h（x）=，x∈（0，+∞），h′（x）=′，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴h′（x）=′＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴＞，∴＜．综上可得：＜＜，故选：B．分别构造函数g（x）=，x∈（0，+∞），h（x）=，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2. 解：∵f（x）+2f′（x）＞0，可设f（x）=，∴f（1）=，f（0）=e0=1，∴f（1）＞，故选：A．根据题意可设f（x）=，然后代入计算判断即可．本题主要考查了初等函数的导数运算公式，关键是构造函数，属于基础题．3. 解：由题意，（）′=2x，∴=x2+b，∴f（x）=（x2+b）e x，∵f（0）=1，∴b=1，∴f（x）=（x2+1）e x，f′（x）=（x+1）2e x，∴当x＞0时，′=1+≤2，当且仅当x=1时取等号，∴当x＞0时，′的最大值为2．故选：B．利用函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xe x，f（0）=1，求出f（x），再代入利用基本不等式即可得出结论．本题考查导数知识的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，确定f（x）是关键．4. 解：∵定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），∴函数f（x）关于x=2对称，由f′（x）＞xf′（x），得（x-2）f′（x）＜0，则x＞2时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＜2时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．∴当x=2时，f（x）取得极大值，同时也是最大值．若a∈（2，3），则4＜2a＜8，1＜log2a＜2，∴2＜4-log2a＜3，∴2＜4-log2a＜2a，即f（2）＞f（4-log2a）＞f（2a），即f（2a）＜f（log2a）＜f（2），故选：C根据条件得到函数关于x=2对称，由f′（x）＞xf′（x），得到函数的单调性，利用函数的单调性和对称轴即可得到结论．本题主要考查函数单调性和对称性的应用，利用导数和函数单调性的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．5. 解：设g（x）=，f（x）是R上的奇函数，∴g（x）为偶函数；x＞0时，′′＜；∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（2）=0；∴由g（x）＞0得，g（x）＞g（2）；∴g（|x|）＞g（2）；∴|x|＜2，且x≠0；∴-2＜x＜0，或0＜x＜2；∴＞的解集为（-2，0）∪（0，2）．故选：B．可设g（x）=，根据条件可以判断g（x）为偶函数，并可得到x＞0时，g′（x）高中数学试卷第4页，共10页.＜0，从而得出g（x）在（0，+∞）上单调递减，并且g（2）=0，从而由g（x）＞g （2）便可得到|x|＜2，且x≠0，这样即可得出原不等式的解集．考查奇函数、偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性解不等式的方法，知道偶函数g（x）＞g（2）等价于g（|x|）＞g（2）．6. 解：设g（x）=，则g′（x）=′，∵当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，∴当x＞0时，g′（x）＜0，此时函数g（x）为减函数，∵f（x）是奇函数，∴g（x）=是偶函数，即当x＜0时，g（x）为增函数．∵f（-1）=0，∴g（-1）=g（1）=0，当x＞0时，f（x）＜0等价为g（x）=＜0，即g（x）＜g（1），此时x＞1，当x＜0时，f（x）＜0等价为g（x）=＞0，即g（x）＞g（-1），此时-1＜x＜0，综上不等式的解集为（-1，0）∪（1，+∞），故选：A根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性，以及将不等式进行转化是解决本题的关键．7. 解：根据题意，设函数，当x＞0时，′′＜，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（x）为偶函数，所以g（x）为偶函数，又f（1）=0，所以g（1）=0，故g（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零，即f（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零．故选：D．构造函数设函数，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）为偶函数，根据f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．8. 解：定义域为R的奇函数y=f（x），设F（x）=xf（x），∴F（x）为R上的偶函数，∴F′（x）=f（x）+xf′（x）∵当x≠0时，f′（x）+＞0．∴当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．.F（）=a=f（）=F（ln），F（-3）=b=-3f（-3）=F（3），F（ln）=c=（ln）f （ln）=F（ln3），∵ln＜ln3＜3，∴F（ln）＜F（ln3）＜F（3）．即a＜c＜b，故选：B．根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+＞0．当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0；当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小．本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．9. 解：设g（x）=f（x）-x，则函数的导数g′（x）=f′（x）-1，∵f′（x）＜1，∴g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）-1=1-1=0，则不等式g（x）＜0等价为g（x）＜g（1），则不等式的解为x＞1，即f（x）＜x的解为x＞1，∵f（1g2x）＜1g2x，∴由1g2x＞1得1gx＞1或lgx＜-1，解得x＞10或0＜x＜，故不等式的解集为，，∞，故选：D构造函数g（x）=f（x）-x，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出不等式f（x）＜x的解为x＞1，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．10. 解：设g（x）=e x f（x）-e x+1-2（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x+1=e x[f（x）+f′（x）-e]，∵f（x）+f′（x）＜e，∴f（x）+f′（x）-e＜0，∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减，∵f（0）=e+2，∴g（0）=e0f（0）-e-2=e+2-e-2＞0，∴g（x）＞g（0），∴x＜0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x+1-2（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质高中数学试卷第6页，共10页.和函数值，即可求解．本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．11. 解：设函数y=，则y′=′，∵xf′（x）＜f（x），∴y′＜0，可得y=对任意x∈R，函数y是减函数，∴＜，可得3f（2）＞2f（3）．故选：A．构造函数，利用函数的单调性判断即可．本题考查函数的单调性的判断与应用，构造函数，求解导函数判断单调性是解题的关键．12. 解：令g（x）=，由题意，则g′（x）=′＜0，从而g（x）在R上单调递减，∴g（2016）＜g（2015）．即＜，∴e2015f（2016）＜e2016f（2015），即ef（2015）＜f（2016），故选：A．造函数g（x）=，通过求导判断其单调性，从而确定选项．本题是构造函数的常见类型，大多数题型是结合着选项中的结构和题中的条件来构造函数，形式灵活多变，考生需要多看多做多总结，才容易掌握此题型．13. 解：令g（x）=，∴g′（x）=′，∵x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，∴x＞0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（2）=0，∴g（2）==0，当0＜x＜2，g（x）＜g（2）=0，即f（x）＜0，当x＞2时，g（x）＞g（2）=0，即f（x）＞0，∵f（x）是偶函数，∴当-2＜x＜0，f（x）＜0，故不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）∪（0，2），故选：B．构造函数g（x）=，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）.为奇函数，根据f（2）=0，解得f（x）＜0的解集．本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．14. 解：∵（x-1）f′（x）≥0，∴当x≥1时，f′（x）≥0，当x＜1时，f′（x）≤0；故f（x）在（-∞，1）上不增，在[1，+∞）上不减，故f（0）≥f（1），f（2）≥f（1）；故f（0）+f（2）≥2f（1），故选C．由题意，当x≥1时，f′（x）≥0，当x＜1时，f′（x）≤0；从而可得f（x）在（-∞，1）上不增，在[1，+∞）上不减，故f（0）≥f（1），f（2）≥f（1）；从而可得．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．15. 解：令g（x）=f（x）-x3-2016，g′（x）=f′（x）-3x2，∵对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，∴对任意的x∈R，g′（x）＜0，∴g（x）=f（x）-x3-2016在R上是减函数，且g（-1）=f（-1）+1-2016=2015+1-2016=0，故不等式f（x）＜x3+2016的解集为（-1，+∞），故选：A．令g（x）=f（x）-x3-2016，求导g′（x）=f′（x）-3x2，从而确定不等式的解集．本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用．16. 解：构造函数g（x）=f（x）-lnx（x＞0），则g′（x）=f′（x）-=′＞0，∴g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上单调递增，∵f（x）≤lnx，∴g（x）≤0=g（1），∴0＜x≤1，故选：B．构造函数g（x）=f（x）-lnx（x＞0），确定g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上单调递增，f（x）≤lnx，化为g（x）≤0=g（1），即可得出结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．17. 解：∵f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，∴f（-x）=f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）在（-∞，0）递减；由不等式g（x）＜g（1-x），∴＞＞＜或＜＜＞，高中数学试卷第8页，共10页.解得：0＜x＜，或x＜0∴不等式g（x）＜g（1-x）的解集为：{x|0＜x＜或x＜0}．故选：C．f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，可得：f（-x）=f（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（-x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 解：当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜-f（x），即xf′（x）+f（x）＜0，∴[xf（x）]′＜0，∴令F（x）=xf（x），由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，则F（x）为偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=-2f（log2）=-2f（-2）=2f（2）=g（2），a=f（）=g（），b=f（1）=g（1），由1＜＜2，可得b＜a＜c．故选：A．由f（x）为奇函数得到f（-x）=-f（x），有xf′（x）+f（x）＜0，由导数的积的运算得到[xf（x）]′＜0，令F（x）=xf（x），则F（x）为偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=-2f（-2）=2f（2）=g（2），a=f（）=g （），b=f（1）=g（1），即可得到所求大小关系．本题主要考查函数的性质及应用，考查奇偶函数的定义及应用，函数的单调性及应用，以及应用导数的运算法则构造函数的能力，是函数的综合题．19. 解：令g（x）=，则g′（x）=′=′，∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）-3f（x）＜0，∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，即有g（x）在（0，+∞）递减，可得g（2）＜g（1），即＜，由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则＜8；令h（x）=，h′（x）=′=′，∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）-2f（x）＞0，∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即有h（x）在（0，+∞）递增，可得h（2）＞h（1），即＞f（1），则＞4．即有4＜＜8．故选：B．令g（x）=g（x）=，h（x）=，求出g（x），h（x）的导数，得到函数g（x），.h（x）的单调性，可得g（2）＜g（1），h（2）＞h（1），由f（1）＞0，即可得到4＜＜8．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造g（x）=，h（x）=，求出g（x）和h（x）的导数，得到函数g（x）和h（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．20. 解：令g（x）=，则g′（x）=′=′，∵f′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0，g（x）递增，∴g（1）＞g（0），即＞，∴f（1）＞ef（0），故选：A．令g（x）=，利用导数及已知可判断该函数的单调性，由单调性可得答案．该题考查利用导数研究函数的单调性，由选项恰当构造函数是解决该题的关键所在．21. 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，令g（x）=，∴g（x）为偶函数，又当x＞0时，xf′（x）＞f（x），∴g′（x）=′＞0；∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数；又f（-1）=-1，∴f（1）=1，g（1）=1；当x＞0时，∵不等式f（x）＞x，∴＞1，即g（x）＞g（1），∴有x＞1；当x＜0时，∵不等式f（x）＞x，∴＜1，即g（x）＜g（-1），∴有-1＜x＜0；当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）＞x不成立；综上，不等式f（x）＞x的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．构造函数g（x）=，根据题意得出g（x）为偶函数，且x＞0时，g′（x）＞0，g（x）是增函数；讨论x＞0、x＜0和x=0时，不等式f（x）＞x的解集情况，求出解集即可．本题考查了函数奇偶性的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了构造函数的应用问题以及分类讨论的应用问题，是综合性题目．高中数学试卷第10页，共10页。
2025新高考重难点之构造函数 学生版
重难点之构造函数1.对于不等式f x >k k≠0，构造函数g x =f x -kx+b2.对于不等式xf x +f x >0，构造函数g x =xf x3.对于不等式xf x -f x >0，构造函数g x =f xxx≠04.对于不等式xf x +nf x >0，构造函数g x =x n f(x)5.对于不等式xf x -nf x >0，构造函数g x =f(x) x n6.对于不等式f x -f x >0，构造函数g x =f(x) e x7.对于不等式f x +f x >0，构造函数g x =e x f(x)8.对于不等式f x +kf x >0，构造函数g x =e kx f(x)9.对于不等式f x sin x+f x cos x>0，构造函数g x =sin xf(x)10.对于不等式f x sin x-f x cos x>0，构造函数g x =f(x)sin x 11.对于不等式f x cos x-f x sin x>0，构造函数g x =cos xf(x)12.对于不等式f x cos x+f x sin x>0，构造函数g x =f(x) cos x重难点题型(一)、与一次函数或幂函数有关的构造函数1.(23-24高三下·重庆)已知函数f x 的定义域为-∞,0，f-1=-1，其导函数f x 满足xf x -2f x >0，则不等式f x+2025+x+20252<0的解集为()A.-2026,0B.-2026,-2025C.-∞,-2026D.-∞,-20252.(2021·安徽高三月考(理))设函数f x 是定义在0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f 'x ，且有2f x >xf 'x ，则不等式4f x -2021 >x -2021 2f 2 的解集为()A.2021,2023B.0,2022C.0,2020D.2022,+∞3.(2022·四川省眉山第一中学模拟预测(理))已知可导函数f (x )的定义域为(0,+∞)，满足xf (x )-2f (x )<0，且f (2)=4，则不等式f (x )>x 2的解集是．4.(23-24高三上·云南昆明)已知定义域为R 的函数f x ，对任意的x ∈R 都有f x >2x ，且f 1 =2，则不等式f 2x -4x 2-1>0的解集为()A.0,+∞B.12,+∞C.1,+∞D.2,+∞1.(22-23高三下·广东)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x >0时，有xf (x )+2f (x )<0恒成立，则()A.4f (1)>f 12B.f (2)9<f (3)4C.9f 12>4f -13D.9f (-1)<f -132.(22-23高三下·广东东莞)已知函数f x 的定义域为-∞,0 ,其导函数f x 满足xf x -2f x >0,则不等式f x +2023 -x +2023 2f -1 <0的解集为()A.(-2024,-2023)B.(-2024,0)C.(-∞,-2023)D.(-∞,-2024)3.(22-23高三上·山东泰安·阶段练习)已知f x 是定义在R 上的偶函数，f x 是f x 的导函数，当x ≥0时，f x -2x >0，且f 1 =2，则f x >x 2+1的解集是()A.-1,0 ∪(1,+∞)B.-∞,-1 ∪1,+∞C.-1,0 ∪0,1D.-∞,-1 ∪0,14.(2024·陕西商洛·模拟预测)已知函数f x =2x ln x -ax 2，若对任意的x 1,x 2∈0,+∞ ，当x 1>x 2时，都有2x 1+f x 2 >2x 2+f x 1 ，则实数a 的取值范围为()A.12e,+∞ B.1,+∞C.1e,+∞ D.2,+∞重难点题型(二)、与指数函数或对数函数有关的构造函数5.(2023·广东佛山·校考模拟预测)已知f x 是函数y =f x x ∈R 的导函数，对于任意的x ∈R 都有f x +f x >1，且f 0 =2023，则不等式e x f x >e x +2022的解集是()A.2022,+∞B.-∞,0 ∪2023,+∞C.-∞,0 ∪0,+∞D.0,+∞6.(2023·安徽黄山·统考三模)已知定义域为R 的函数f x ，其导函数为f (x )，且满足f (x )-2f x <0，f 0 =1，则()A.e 2f -1 <1B.f 1 >e 2C.f 12<e D.f 1 >ef 1e7.(22-23高三下·天津)已知可导函数f x 的导函数为f x ,f 0 =2023，若对任意的x ∈R ，都有f x <f x ，则不等式f x <2023e x 的解集为()A.0,+∞B.2023e 2,+∞C.-∞,2023e 2D.-∞,08.(22-23高三下·全国)定义域为R 的可导函数f x 的导函数为f x ，满足f x -f x <0，且f 0 =1，则不等式f xex <1的解集为()A.0,+∞B.2,+∞C.-∞,0D.-∞,21.(2023·山东烟台·二模)已知函数f x 的定义域为R ，其导函数为f x ，且满足f x +f x =e -x ，f 0 =0，则不等式e 2x -1 f x <e -1e的解集为( )．A.-1,1eB.1e ,eC.-1,1D.-1,e2.(2022·青海西宁·二模(理))已知定义在R 上的可导函数f x 的导函数为f x ，满足f x <f x ，且f x +3 为偶函数，f 6 =1，则不等式f x >e x 的解集为．3.(23-24高三下·广东佛山)已知函数f x 的定义域为0，+∞ ，且f x >-f x ln2恒成立，则不等式f ln x 4<f 22ln x 的解集为()A.1,e 2B.0,e 2C.1,e 3D.0,e 34.(23-24高三下·福建)设f (x )在R 上存在导数f (x )，满足f (x )+f (x )>0，且有f (2)=2,e x -2f (x )>2的解集为( )．A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)重难点题型(三)、与三角函数有关的构造函数1.(22-23高三上·重庆沙坪坝)已知f x 是函数f x 的导函数，f x -f -x =0，且对于任意的x ∈0,π2有f x cos x >f -x sin -x ．则下列不等式一定成立的是()A.32f -12 <f -π6 cos 12B.f -π6 >62f -π4C.f -1 <2f π4cos1 D.22f π4 >f -π32.(2023秋·陕西西安)已知函数f x 的定义域为-π2,π2 ，其导函数是f x .有f x x cos +f x xsin <0，则关于x 的不等式f x <2f π3x cos 的解集为()A.π3,π2B.π6,π2 C.-π6,-π3D.-π2,π63.(22-23高三上·全国·阶段练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为-π,0 ，f -π6=-2，3f (x )cos x +f (x )sin x >0，则不等式f (x )sin 3x -14>0的解集为()A.-π3,0 B.-π6,0 .C.-π6,-π3D.-π,-2π34.(2021·甘肃省武威第二中学高三期中(理))对任意x ∈0,π2，不等式sin x ⋅f x <cos x ⋅f x 恒成立，则下列不等式错误的是()A.f π3>2f π4 B.f π3 >2cos1⋅f 1 C.f π4<2cos1⋅f 1 D.f π4<62f π65.(2020高三·全国·专题练习)已知偶函数y =f (x )对于任意的x ∈0,π2满足f (x )⋅cos x +f (x )⋅sin x >0(其中f (x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式中不成立的是()A.2f -π3 <f π4B.2f -π3 >f π4C.f (0)<2f -π4D.f π6<3f π31.(21-22高三上·江西南昌·期末)设函数f x 是定义在0，π 上的函数f x 的导函数，有f (x )cos x -f (x )sin x >0，若a =0，b =12f π3 ，c =-22f 3π4，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a2.(2021·东莞市东华高级中学高二期末)已知函数y =f (x )为R 上的偶函数，且对于任意的x ∈0,π2满足f '(x )cos x +f (x )sin x <0，则下列不等式成立的是()A.3f π3>f π6 B.f (0)>2f -π4C.f π4<2f -π3 D.-3f -π3>f -π6 3.(2022·安徽·合肥一中模拟)已知函数y =f x -1 图象关于点1,0 对称，且当x >0时，f x sin x +f x cos x >0则下列说法正确的是()A.f 5π6<-f 7π6 <-f -π6 B.-f 7π6<f 5π6 <-f -π6 C.-f -π6<-f 7π6 <f 5π6 D.-f -π6<f 5π6 <-f 7π6 4.(2024·重庆·模拟预测)若函数f x 的导函数为f x ，对任意x ∈-π,0 ,f x sin x <f x cos x 恒成立，则()A.2f -5π6 >f -3π4 B.f -5π6>2f -3π4 C.2f -5π6<f -3π4 D.f -5π6<2f -3π4 5.(21-22高三上·内蒙古赤峰·阶段练习)已知函数y =f (x )对任意的x ∈(0,π)满足f x cos x >f (x )sin x (其中f x 为函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是()A.f π6>3f π3 B.f π6<3f π3 C.3f π6>f π3 D.3f π6<f π3。
导数中的构造函数(最全精编)
导数中的构造函数(最全精编)导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想。
在导数题型中，构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现。
下面我将分享导数小题中构造函数的技巧。
一）利用 $f(x)$ 进行抽象函数构造1、利用 $f(x)$ 与 $x$ 构造；常用构造形式有 $xf(x)$ 和$\frac{f(x)}{x}$。
在数导数计算的推广及应用中，我们对 $u\cdot v$ 的导函数观察可得，$u\cdot v$ 型导函数中体现的是“加法”，$\frac{u}{v}$ 型导函数中体现的是“除法”。
由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“加法”形式时，优先考虑构造$u\cdot v$ 型；当导函数形式出现的是“除法”形式时，优先考虑构造 $\frac{u}{v}$ 型。
我们根据得出的“优先”原则，看一看例1和例2.例1】$f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，当$x0$ 的解集为？思路点拨：出现“加法”形式，优先构造 $F(x)=xf(x)$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。
解析】构造 $F(x)=xf(x)$，则 $F'(x)=f(x)+xf'(x)$。
当$x0$ 的解集为 $(-\infty,-4)\cup(0,4)$。
例2】设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且$f(1)=2$。
当 $x0$ 恒成立。
则不等式 $f(x)>0$ 的解集为？思路点拨：出现“除法”形式，优先构造$F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。
解析】构造 $F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，则$F'(x)=\frac{xf'(x)-2f(x)}{(x-f(x))^2}$。
因为 $xf'(x)-f(x)>0$，所以 $F'(x)>0$，$F(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增。
导数中的构造函数(最全精编)
f (x) enx
，
F
'(x)
f
' (x)enx nenx e2nx
f
(x)
[
f
' (x) nf enx
(x)]
；
结论：1、出现 f '(x) nf (x) 形式，构造函数 F (x) enx f (x) ；
2、出现
f '(x) nf (x) 形式，构造函数
F(x)
f (x) enx
f
(x) ex
是比较简单常见的
f (x) 与ex 之间的函数关系式，如果碰
见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？
F (x) enx f (x) ， F ' (x) n enx f (x) enx f ' (x) enx [ f ' (x) nf (x)]；
F (x)
f (2 x) f (x)e22 x F (2 x) F (x) F (x) 关于 x 1 对称，根据单调性和图像， 可知选 C.
5
（3） 利用 f (x) 与 sin x, cos x 构造.
sin x, cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一 起看看常考的几种形式.
e2
x
【变式提升】若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ' (x) 2 f (x) 4 0, f (0) 1， 则不等式 f (x) e2 x 2 的解集为
❀❀❀思路点拨：利用通式构造函数时考虑 4 如何转化.构造函数 F (x) fe(2xx ) e22x
x
v
函 数导数计算的推广及应用，我们对u
高中数学：构造函数方法(经典)
高中数学：构造函数常见构造函数方法：1.利用和差函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f +=⇒<>'+'或；（2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f =⇒<>''或；（3）kx x f x F k x f -=⇒<>')()()(k )(或；2.利用积商函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f =⇒<>'+'或；（2）)0)(()(g )()()0(0)()(-)(g )(≠=⇒<>''x g x x f x F x g x f x x f 或；（3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f =⇒<>+'或；（4）)0(x)()()0(0)(-)(x ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或；（5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n =⇒<>+'或;(6))0(x)()()0(0)(n -)(x n ≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或;(7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x =⇒<>+'或;(8))0(e )()()0(0)(-)(x≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或;(9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx =⇒<>+'或;(10))0(e )()()0(0)(k -)(kx≠=⇒<>'x x f x F x f x f 或;(11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f =⇒<>'+或;(12))0(sin sinx)()()0(0tan )(-)(≠=⇒<>'x x f x F x x f x f 或;(13))0(cos cos )()()0(0)(tanx )(≠=⇒<>+'x xx f x F x f x f 或;(14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f =⇒<>'或;(15)()+lna ()0(0)()()x f x f x F x a f x '><⇒=或;(16)()()lna ()0(0)()x f x f x f x F x a '-><⇒=或;考点一。