2.3等差数列的前n项和第一课时
解法3： 解法 ：
设：∵S= 1+2+···+99+100 ,
S=100+99+···+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+ ···+(99+2)+(100+1) =100× =100×101 s=100× s=100×(1+100)/2 ∴S=5050 .
算术法
解法1与解法2 解法1与解法2的比较
课
题
等差数列的前n 等差数列的前n项和 第一课时
三门中学
辛颖
2007 03 19
星期一
问题1 问题1
1+2+3+4+5+···+100=？
解法1: 解法1:
∵1+100=101， 2+99=101， 3+98=101 ， 4+97=101， ··· ， ··· ， 49+52=101，50+51=101. ∴1+2+3+4+5+···+100 =50×101 =5050.
公式的应用
例1.求和： 1.求和： 求和 （1） 101 + 100 + 99 + 98 + 97 + ⋯ + 64 ； （2） 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + (2n + 4)（结果用
n表示） 表示）
中前多少项的和是9900 9900？ 例2.等差数列 2, 4, 6,⋯ 中前多少项的和是9900？ 2.等差数列
高斯 德国著名数学家高斯 （Carl Friedrich Causs 1777年~1855 年 ），10岁时曾很快 年）， 岁时曾很快 求出它的结果！ 求出它的结果！
解法2 解法2
设：∵S= 1+2+3+4+···+97+98+99+100 ,
S=100+99+98+97+···+4+3+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+ ···(97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1) =100× =100×101 s=100× s=100×(1+100)/2 ∴S=5050
S=100+99+···+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+ ···+(99+2)+(100+1) =100× =100×101 s=100× s=100×(1+100)/2 ∴S=5050 .
解法1与解法2 解法1与解法2的比较
解法1 解法1：
∵1+100=101， 2+ 99=101， ··· ， 49+52=101， 50+51=101. ∴1+2+3+4+5+···+100 =50×101 =5050.
例4
等差数列 -10，-6，-2，2，… 前多少 ， ， ， ， 项的和是54 54？ 项的和是54？
设题中的等差数列为{a ， 设题中的等差数列为 n }，前n项和是Sn，则 项和是 ， a1 =-10，d=-6-(-10)=4，设Sn=54 ， ， 根据等差数列前n项和的公式 项和的公式， 根据等差数列前 项和的公式，得 -10n+n(n-1)×4/2=54, 整理 得 ，n2-6n-27=0. 6n× 舍去） 解得 n 1= 9 n2= -3(舍去）. 舍去 因此等差数列 项的和是54. 因此等差数列 -10，-6，-2，2，… 前9项的和是54. ， ， ， ，
证明猜想1 证明猜想1
证明：∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an
,
Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 ∴2S ∴2Sn =(a1+ an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+… a a … +(an-2 +a3 )+(an-1+a2 )+(an+a1 ) a a ∵1+n=2+（ =3+（ ∵1+n=2+（n-1）=3+（n-2）=… +3=（ =（n-2）+3=（n-1）+2=n+1
注：此法称倒序求和（属代数法） 此法称倒序求和（属代数法）
解法2 解法2
设：∵S= 1+2+3+4+···+97+98+99+100 ,
S=100+99+98+97+···+4+3+2+1 , )+(2 )+(3 )+(4 ∴2S=(1 100)+( 99)+( 98)+( 97)+ ∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+ ···(97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1) 100× =100×101 s=100 100× 1+100)/2 s=100×(1+100)/2 ∴S=5050
Байду номын сангаас
算术法
倒序求和） 代数法（倒序求和）
对问题1 对问题1转换点看
用数列观点： 用数列观点：求等差数列 1，2，3，4，5，6，…，n,… ， ， ， ， ， ， 的前100项的和. 100项的和 的前100项的和. 从而研究等差数列 等差数列： 从而研究等差数列：
a1 ,a2 ,a3 ,…an ,… 求等差数列{ 的前n项和为 设求等差数列 an }的前 项和为 n，即 的前 项和为S Sn=a1+a2+a3+…+an
作业本（ ） 作业本（A） 2.2等差数列的前 项和（一） 等差数列的前n项和 等差数列的前 项和（ 11----12页 页
解决疑难问题
数列{a 是等差数列 是等差数列， 定理 ：数列 n}是等差数列，m,n,p,q分别为自然数 分别为自然数 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq. 则 证明：设等差数列首项为a ，公差为d,则 证明：设等差数列首项为 1，公差为 则 am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1 )d =2a1+(m+n-2)d ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d = 2a1+(p+q-2)d ∵ m+n=p+q, ∴ m+n-2=p+q-2 ∴ am+an=ap+aq
∴ sn=n(a1+an)/2
由定理得 (a1+ an)=(a2+an-1)=(a3+an-2 )=… a a … =(an-2 +a3 )=(an-1+a2 )=(an+a1 ) a a ∴ 2Sn=n(a1+a2) ∴ sn=n(a1+an)/2
∴ sn=n(a1+an)/2
倒序相加法
等差数列的前n 等差数列的前n项和公式
Sn=n[a1+ an ]/2 Sn=na1+n(n-1)d/2
(1)
(2)
问题1 问题1
1+2+3+4+5+···+100=？ 解：由题意可知，它是等差数列前 项和求和 由题意可知，它是等差数列前n项和求和
问题， 问题，则
∵a1=1,an=100,n=100 ∴Sn=100(1+100)/2 =5050 .
解法1 解法1：
∵1+100=101， 2+ 99=101， ··· ， 49+52=101， 50+51=101. ∴1+2+3+4+5+···+100 =50×101 =5050.
解法3： 解法 ：
设：∵S= 1+2+···+99+100 ,
S=100+99+···+2+1 , 2S=(1+100)+(2+99)+ ∴2S=(1+100)+(2+99)+ ···+(99+2)+(100+1) =100× =100×101 s=100 100× s=100×(1+100)/2 S=5050 ∴S=5050 .
例3
如图3-4，一个堆放铅笔的 形架的最下面一层 如图 ，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层 放一支铅笔， 放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放 一支，最上面一层放120支.这个 形架上共放 这个V形架上共放 一支，最上面一层放 支 这个 着多少支铅笔？ 着多少支铅笔？
解：
由题意可知，这个 形架上共放着 形架上共放着120 由题意可知，这个V形架上共放着 层铅笔， 层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差 数列，即为{a ，其中a 数列，即为 n }，其中 1 =1, a120 =120.根 根 据等差数列前n项和的公式 项和的公式， 据等差数列前 项和的公式， 得 ,S120=120×(1+120)/2=7260. × 形架上共放着7260支铅笔 支铅笔. 答：V形架上共放着 形架上共放着 支铅笔
《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练] 2．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米， 开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小，此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1＝－5 ，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2 d ＝1 0 ＋2×3 ＝1 6 ，
1 0 ×9 S 10＝1 0 a 1＋ 2 d ＝1 0 ×(－5 )＋5 ×9 ×3 ＝8 5 .
1 7 × a 1＋a 17
1 7 × a 3＋a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17＝
2
＝
2
＝
＝3 4 0 .
S 1，n ＝1 ，
项公式，那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n
＝
S
n －S
n －1，n
≥2 .
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来 之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同 型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用， 每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
3，n ＝1，
∴a
n
＝ 2
n
，n
≥2
.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
2 ．(变条件变结论)将本例中的条件“S n ＝2 n 2－3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n
2.3.1(讲课)等差数列的前n项和公式
公差为d，求等差数列的前n项和Sn Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an 倒 Sn=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an
Sn=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1 两式左右分别相加，得
序 相 加
2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
2Sn n(a1 an )
n(a1 an ) 公式1 S n 2
an a1 (n 1)d
n(n 1) 公式2 Sn na1 d 2
一、等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an ) Sn 2
an a1 (n 1)d
n(n 1) Sn na1 d 2
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，
… … … …
…
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100 S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100 ∴S=5050.
高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
n＝1 n≥2.
返回
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
返回
返回
点击此图片进入 NO.1 课堂强化
返回
点击此图片进入 NO.2 课下检测
返回
1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
返回
nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
返回
返回
[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
返回
[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
返回
返回
《等差数列前n项和公式》教案
《等差数列前n项和公式》微课教案----天津市木斋中学王珏教材选自：普通高中课程标准试验教材数学（人教A版）《必修5》“§2.3等差数列前n项和”第一课时。
一、教学目标设计《课程标准》指出本节课的学习目标是：探索并掌握等差数列前n项和公式；能在具体的问题情景中，发现数列的等差关系并能用相关知识解决相应的问题。
考虑到学生的接受能力和课容量，本节课只要求学生探索并掌握等差数列前n项和公式，并会对公式进行简单的应用。
故结合《课标》的要求，我将本节微课的教学目标确定为：知识与技能：探索并掌握等差数列前n项和公式，会用公式解决一些简单的问题；方法与过程：通过对等差数列前n项和公式的探索，体会“从特殊到一般”的数学研究方法和数形结合的数学思想方法，学会观察、归纳、反思；情感、态度与价值观：让学生亲身经历知识的建构过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
二、教学重、难点：教学重点：能从具体实例中探索并掌握等差数列前n项和公式,并用其解决一些简单的问题。
教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。
三、课堂结构设计新课程提倡在教学过程中，学生是一个积极的探究者，教师的作用是创设问题情境，帮助学生在积极参与中遇水架桥、逢山开路。
因此，本节课设计了如下的课堂结构。
知三求二、渗透思想分析实例，感悟生活演练反馈、提升能力总结反思，深化认识布置作业，任务延伸四、教学过程设计结合本节课的特点，我主要安排了以下六个环节：(一)问题呈现阶段1、创设情境，提出问题——展示图片（印度的泰姬陵）泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰汗为纪念其爱妃所建，历时22年，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。
陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见上右图），奢靡之程度，可见一斑。
欣赏完如此美的故事及图案，请问：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？设计意图：源于历史，富有人文气息；图中算数，激发学生学习兴趣和探究欲望；承上启下，探讨高斯算法.2、自主探究，合作交流此时，教师先不参与，给学生一定的思考时间和思考空间，让学生自主活动。
课时作业37：§2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式
§2.3 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和公式1．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( )A ．200B ．100C ．90D ．70答案 B解析 S 10＝10×(－20＋40)2＝100. 2．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( )A ．18B ．27C ．36D ．45答案 C解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36. 3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝n 2＋n ，则a 8等于( )A ．72B ．36C ．18D ．16答案 D解析 由a n ＝S n －S n －1(n ≥2且n ∈N *)得a 8＝S 8－S 7＝82＋8－72－7＝16.4．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．10 000B ．8 000C ．9 000D ．11 000答案 A解析 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000.5．如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成(数列的项数大于2)，且所有项数之和为N ，那么称该数列为“N 型标准数列”，例如，数列3,4,5,6,7为“25型标准数列”，则“5336型标准数列”的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由题意知d ＝1，na 1＋n (n －1)2＝5 336， ∴n (2a 1＋n －1)＝10 672＝24×23×29，∵n ＜2a 1＋n －1，且一奇一偶，∴(n ,2a 1＋n －1)＝(16,667)＝(23,464)＝(29,368)共三组．6．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________. 答案 25解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2.因为a 1＝－2，所以d ＝1.所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25. 7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝________. 答案 5解析 因为S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，所以k ＝5.8．在等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d＝________. 答案 12解析 设公差为d ，由题意得10a 1＋12×10×9d ＝4⎝⎛⎭⎫5a 1＋12×5×4d ，所以10a 1＋45d ＝ 20a 1＋40d ，所以10a 1＝5d ，所以a 1d ＝12. 9．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解 (1)设数列{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5，即9a 5＝－a 5，所以a 5＝0，得a 1＋4d ＝0.由a 3＝4得a 1＋2d ＝4.于是a 1＝8，d ＝－2.因此数列{a n }的通项公式为a n ＝10－2n ，n ∈N *.(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n (n －9)d 2. 由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n (n －9)d 2≥(n －5)d ， 化简得n 2－11n ＋10≤0，由二次函数y ＝n 2－11n ＋10的图象得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}．10．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝－2＋n －12，∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且其首项为－2，公差为12.∴T n ＝14n 2－94n ，n ∈N *.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 B解析 当k ＝1时，a 1＝－8，不满足题意；当k ≥2，k ∈N *时，a k ＝S k －S k －1＝k 2－9k －(k －1)2＋9(k －1)＝2k －10.由5<2k －10<8，得152<k <9，又k ∈N *，故k ＝8.12．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 021等于() A ．－4 042 B ．－2 021 C ．2 021 D ．4 042答案 D解析 在等差数列{a n }中，S 1212－S 1010＝2，所以12×(a 1＋a 12)212－10×(a 1＋a 10)210＝2，化简得a 12－a 10＝2d ＝4，解得d ＝2，所以S 2 021＝2 021×(－2 018)＋12×2 021×2 020×2＝4 042. 13．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且a n ∶b n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，则S 9T 9＝________. 答案 1113解析 ∵{a n }，{b n }均为等差数列，∴S 9T 9＝9a 59b 5＝2×5＋13×5－2＝1113. 14．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为________． 答案 四尺五寸解析 从冬至日起，日影长构成数列{a n }，则数列{a n }是等差数列，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝32，S 7＝73.5，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d ＝16，7a 1＋21d ＝73.5，解得a 1＝272，d ＝－1. 故a 10＝272－9＝4.5， 即立夏日影长为四尺五寸．15．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9答案 C解析 a n ＝120°＋5°(n －1)＝5°n ＋115°，a n <180°，所以n <13，n ∈N *，由n 边形内角和定理得(n －2)×180°＝120°n ＋n (n －1)2×5°，解得n ＝16或n ＝9，又n <13，n ∈N *，所以n ＝9. 16．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0.∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根． 又公差d >0，∴a 3<a 4， ∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4， ∴a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， ∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . ∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．经检验，c ＝－12符合题意，∴c ＝－12.。
高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和aa高二数学
12/13/2021
[正解] a1＝S1＝6，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2，
∴an＝
6 2n＋2
n＝1 n≥2 ，显然a2－a1＝4－6＝－2，a3－a2＝2，∴{an}不是等
差数列．
12/13/2021
已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an的步骤
12/13/2021
• 1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项
的和S11＝ ( 8
• C．143
D．176
[解析] S11＝11a12＋a11＝11a42＋a8＝11×2 16＝88.
12/13/2021
• 2．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝ ()
以后每min通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km
的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间
是
()
C
• A．10 min
B．13 min
• C．15 min D．20 min
12/13/2021
[解析] 由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a1＝2为首项，公差d ＝2的等差数列，∴n min内通过的路程为Sn＝2n＋nn2－1×2＝n2＋n＝n(n＋1)．
• [分析] 由已知可得数列的通项公式，由题意即求a10、 S20.
12/13/2021
[解析] 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每 次付款的数额顺次构成数列{an}．
则a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5， ∴an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－12(n－1) (1≤n≤20，n∈N)． ∴{an}是以60为首项，－12为公差的等差数列， ∴a10＝60－9×12＝55.5，a20＝60－19×12＝50.5. ∴S20＝12×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105. ∴实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．
2015年新课标A版高中数学必修五课件：2-3-等差数列的前n项和1
(2)若项数为2n，则 S偶－S奇＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1＝d＋ d＋…＋d＝nd， SS奇 偶＝n2n2aa1＋2＋aa2n2－n1＝22aan＋n 1＝aan＋n 1.
第十一页，编辑于星期五：十点 三十八分。
(3)若项数为2n－1，则
第二十五页，编辑于星期五：十点 三十八分。
解得AB＝ ＝－ 15473. ， ∴S28＝－73S12＋154S20＝1092.
第二十六页，编辑于星期五：十点 三十八分。
解法4：∵{an}为等差数列， ∴Sn＝na1＋nn－2 1d. ∴Snn＝a1－d2＋d2n. ∴{Snn}是等差数列． ∵12,20,28成等差数列， ∴S1122，S2200，S2288成等差数列． ∴2×S2200＝S1122＋S2288，解得S28＝1092.
规律技巧 应用基本量法求出a1和d是解决此类问题的基本 方法，应熟练掌握.根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开 阔思路，有时可以简化计算.
第二十九页，编辑于星期五：十点 三十八分。
三 求数列{|an|}的前n项 【例3】 在等差数列{an}中，已知a1＝－60，a11＝－30，
求数列{|an|}的前n项和． 【分析】 本题实际上是求数列{an}各项绝对值的和．由
第二十四页，编辑于星期五：十点 三十八分。
解法3：设S28＝AS12＋BS20，其中A，B∈R. ∵28a1＋28×2 27d＝A(12a1＋12×2 11d)＋ B·20a1＋20×2 19d， ∴28a1＋14×27d＝(12A＋20B)a1＋(66A＋190B)d. 比较两边对应项的系数，得1626AA＋＋2109B0B＝＝283，78，
等差数列的前n项和(第一课时)
(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错． (2)在书写{an}的通项公式时，务必验证 n＝1 是否满足
an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用 an＝
S1 n＝1 Sn－Sn－1n≥2
表示．
上页 下页
【变式】 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an. 解 a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋ 3(n－1)]＝4n＋1， 当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.
答：屋顶斜面共铺瓦片570块.
上页 下页
【变式4】一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10， 求前110项之和． [思路探索] 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可 求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．
解 法一 设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn， 则 Sn＝na1＋nn2－1d.
上页 下页
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 ②
分析：这
其实是求 21 2 3 (n 1) n n (n 1)
一个具体
的等差数 列前n项
和.
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
上页 下页
问题分析 如何才能将
已 是知n，等第差n数项列为｛an，an求｝前的n首项项和等为S式化na. 1的简，右？项边数 Q Sn a1 a2 a3 L an ①
于是，ad1
4 6
所以
Sn
n4
n(n 1) 2
6＝3n2
n
上页 下页
等差数列的前n项和公式(第一课时) 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
n项
n(a1 an )
由此，等差数列 {an}的前n项和公式为 ：S n
2
等差数列的前n项和公式
(a1 an ) n
知首项/末项
①S n
2
令an a1 (n 1)d
知识巩固：限时训练
练习：已知一个等差数列{ }前10项的和是310，前20项
的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公
问题：等差数列1, 2, 3, …, n, …的前n项和能不能用上述方法求解？
Sn= 1 + 2
&n−2) + (n−1) + n
Sn= n + (n−1) + (n−2) + …… +
3 +
2Sn= 2 1 2 3 (n 1) n n (n 1)
(m，n，p，q∈N*)
选修第二册 《第四章 数列》
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时
学习目标
1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法，提升逻辑
推理素养
2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决
相关问题，体会方程思想，提高数学运算素养
重难点
重点：等差数列前n项和公式的推导及简单应用
难点：等差数列前n项和公式的推导
情境引入
德国著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这
个问题：1＋2＋3＋ … ＋100=？你知道高斯是怎样
算出来的吗？
高斯算法：1＋ 2＋ 3 ＋… +98＋ 99 ＋ 100=？
2020版新学优数学同步人教A必修五课件：2.3 第1课时 等差数列的前n项和
如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通
项公式要分段表示为 an=
������1,������ = 1, ������������ -������������-1,������ ≥
2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
课堂篇探究学习
变式训练2已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则 k=( )
前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本
方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
课堂篇探究学习
变式训练1(1)设等差数列{an}的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5 等于( )
A.15
B.20
C.25
D.30
(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( )
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究在本例中,若条件变为“数列{an}的各项均为正数,前n项和 为Sn,且满足8Sn=(an+2)2”,求数列{an}的通项公式. 解:当n=1时,8a1=(a1+2)2, 解得a1=2. 当n≥2时,8Sn-1=(an-1+2)2, 即 8Sn-1=���������2���-1+4an-1+4,而 8Sn=���������2��� +4an+4, 两式相减,得 8an=���������2��� − ���������2���-1+4an-4an-1, 即���������2��� − ���������2���-1-4an-4an-1=0,