内蒙古萨二中高三数学上学期期中试题 理 新人教A版

数 学 试 卷（理科）考试时间：2013年11月13日 14:40---16:40 满分：150分一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）给出下列命题：①22a b ac bc >⇒>；②22a b a b >⇒>；③33a b a b >⇒>；④ 22a b a b >⇒>.其中正确的命题是（ ）（A ）①② （B ）②③ (C ）③④ （D ）①④（2）已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a ab ⊥+，则a 与b 的夹角为 ( ). （A ）2π （B ）23π （C ）34π （D ）56π（3）已知在等比数列{}n a 中，12a =，且24674a a a =，则3a =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）2 （D ）14（4）已知在正项数列{}n a 中，()22212111,2,22n n n a a a a a n +-===+≥.则6a =（ ）（A ）16 （B ）8 （C ）22 （D ）4（5）若函数()sin f x x ω=（ω>0）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（ ） （A ）23 （B ）32（C ）2 （D ）3 （6）已知某几何体的三视图如图（正视图的弧线是半圆）， 根据图中标出数据，这个几何体的体积是 ( ) （A ）28836π+ （B ）60π （C ）28872π+ （D ）28818π+（7）在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 中点，点E 在线段AB 上运动，则EC EM ⋅的取值范围是（ ）（A ）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）[]0,1（8）设2z x y =+，其中变量,x y 满足000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩. 若z 的最大值为6，则z 的最小值为( ) .（A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）2 （9）函数ln xy x=的图像大致是 ( )（10）已知x y z >>，0x y z ++=，则下列不等式中成立的是( ) （A ）xy yz > （B ）xz yz > （C ）xy xz > （D ）x y z y >（11）函数()log 31(a 0,a 0)a y x =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=(),0m n >上，则12m n+的最小值等于（ ） （A ）16 （B ）12 （C ）9 （D ）8（12）已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,2,231,21,nn n nn a a k k N a a a k k N *+*⎧=∈⎪=⎨⎪+=-∈⎩ 若61a =，则m 所有可能的值的集合为( )（A ）{}4,5 （B ）{}4,32 （C ）{}4,5,32 （D ）{}5,32二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a = . （14）已知72sin ,,41042A A πππ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则tan A = . （15）已知函数()221,2,2x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足不等式()()243f x f x -≤的x 的取值范围是 .(用区间表示)（16）如图，在圆C 中，弦AB 的长为2，则AB AC ⋅= .萨二中2013—2014学年度第一学期高三年级期中考试数 学 试 卷（理科）考试时间：2013年11月13日 14:40---16:40 满分：150分 命题人：高雁 一、选择题答题卡二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13） . （14） . （15） . （16） .三. 解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）(本小题满分10分)设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且满足()2cos cosC 0a c B b ++= （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =AB BC ⋅的最大值（18）(本小题满分12分)已知正项数列{}n a 满足()112,n n n n a a a a n n N *---=≥∈,11a =. （Ⅰ）求证数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12n n nb a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .（19）(本小题满分12分)如图，给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为23π，点C 是以O 为圆心的圆弧AB 上的一个动点，且(),OC xOA yOB x y R-=+∈（Ⅰ）设AOC θ∠=，写出,x y 关于θ的函数解析式并求定义域； （Ⅱ）求x y +的取值范围.（20）(本小题满分12分)已知等比数列{}n a 满足1192,n n n a a n N -++=⋅∈*（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令22log 13n n a b =+，n S 是数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：12n S <（21）(本小题满分12分)已知函数()215xf x ax e a =--(a R ∈,e 为自然对数的底数)，()'fx 是()f x 的导函数.（I ）解关于x 的不等式()f x ＞()'fx ；（II ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围.（22）(本小题满分12分) 已知函数()f x ()1ln 1a x x x -=-+ （Ⅰ）若函数()f x 在()0,+∞上为单调递增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）设0m n >>，求证：ln ln 2m n m nm n-->+（13）20；（14）3；（15）[]1,4-；（16）2 （17）（Ⅰ）根据正弦定理，()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，即()2sin cos sin 0A B B C ++=，而在ABC ∆中，()sin B C +=sin Asin (2cos 1)0A B ∴+= 又sin A >0 ∴2cos 1B +=0cos B =12- 23B π=…………………………………………5分 也可用于弦定理求角B（Ⅱ）222222cos b a c ac B a c ac =+-=++ 即22a c ac ++=12222a c ac +≥ 122ac ∴≥ 4ac ≤（当且仅当2a c ==时取“=”号） AB BC ⋅1cos232c a ac π=⋅⋅=≤ ∴AB BC ⋅的最大值为2 ………………10分 （18）（Ⅰ）由()112,n n n n a a a a n n N ---=≥∈*得1111n n a a --= ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列 1n a = 11a +1n -n = n a =1n …………6分（Ⅱ）12n n b n -=⋅ ()01221122232122n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ 2()1231122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减得，()211212222212112nn nn n n T n n n ---=++++-⋅=-⋅=-⋅--()121nn T n ∴=-⋅+ …………………………………………12分 （19）（Ⅰ）法一 过点C 作OA ，OE 的平行线，分别交OA ，OB 或它们的延长线于点D ，E ，则四边形ODCE 是平行四边形 OC OD OE =+，,x OD y OE CD === 在ODC ∆中，3D π∠=，根据正弦定理，sin sin sin OC CD ODD COD OCD ==∠∠∠，即12sin sin sin 33y x ππθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭……5分233x πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，y θ=，定义域为20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ……………7分 法二 以O 为原点，以OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()11,0,2A B ⎛- ⎝⎭,设()cos ,sin C θθ 由1cos 2x y θ=-sin y θ=得23x πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3y θ=（Ⅱ）2sin sin 33x y πθθ⎡⎤⎛⎫+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 322θθ⎫=+⎪⎪⎝⎭36πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ………………………10分5,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ∴1sin ,162πθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ x y +的取值范围是[]1,2………12分（20）（Ⅰ）219a a += ① 3292a a +=⋅ 公比32212a a q a a +==+由①，()1129a += 13a ∴= 132n n a -=⋅ …………………………6分（Ⅱ）21n b n =-，()()111111212122121n n b b n n n n -⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭111111*********21212212n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭ ………12分 （21）（Ⅰ）()'2x fx ax e =- 不等式即22150ax ax a -->（ⅰ）0a =时，不等式解集为φ；（ⅱ）0a >时，不等式解集为()()5,,3+∞⋃-∞ （ⅲ）0a <时，不等式解集为()3,5- …………………………………5分（Ⅱ）()f x 有两个极值点即()'0fx =有两个实根设()g x =()'2x fx ax e =- 则()'2x g x a e =-若0a ≤，()'0g x <恒成立，()g x 在R 上递减，方程不可能有两个实根0a ∴> 当ln 2x a <时()'0g x >；当ln 2x a >时()'0g x <；当ln 2x a =时()'0g x =，()g x 取得极大值即最大值()ln 2g a ……………10分必需且只需()ln 2g a ＞0，即()2ln 210a a -> 2ea > ∴实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭…………………………………………12分 （22）（Ⅰ）()()()2'22111x a x fx x x +-+=+根据题意，在()0,+∞上恒有()'0f x ≥，即()2211x a x +-+0≥1112a x x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭12x x+≥ 11122y x x ⎛⎫∴=++≥ ⎪⎝⎭2a ∴≤ a 的取值范围是(],2-∞ …………………………………………6分（Ⅱ）原式21ln 01m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭⇔->+ 由（Ⅰ），2a =时()f x 在()0,+∞上为增函数0m n >> 1mn∴> ()1m f f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭而()10f = ∴原式成立 ……12分。