2020-2021学年江苏省苏州市高一第一学期期中考试数学试卷及答案
江苏省南通中学2020-2021学年高一第一学期阶段性质量检测数学试题 含答案
江苏省南通中学2020学年高一第一学期阶段性质量检测数学一、单项选择题1．集合{22}A x Nx =∈−<<∣的真子集个数是（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．3．2．下列表述正确的是（ ）A ．{0}∅⊆B ．{0}∅∈C ．0∈∅D ．{0}⊆∅3．已知集合{}22,4,10A a a a =−+，若3A −∈，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．-3C ．-3或-1D ．无解 4．如图，U 是全集，集合A 、B 是集合U 的两个子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()ðU AB ⋂ B ．()ðU B A ⋂C ．()()ððU U A B ⋂D ．ð()U A B ⋂ 5．命题:p x R ∀∈，210x +>，则p ⌝（ ）A ．0:p x R ∃∈，0210x +>；B ．0:p x R ∃∈，0210x +≤；C ．0:p x R ∃∈，0210x +≥；D ．0:p x R ⌝∃∈，0210x +<．6．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．log log log a c c b b a ⋅=B ．log log log a c c b a b ⋅=C ．log ()log log a a a bc b c =⋅D ．log ()log log a a a b c b c +=+．7．下列说法中正确的是（ ） A ．当1x >时，1x x+的最小值为2 B ．当0x <时，1x x +的最小值为-2C ．当01x <<的最小值为2D ．当2x >的最小值为8．已知二次函数2(,)y x ax b a b R =++∈的最小值为0，若关于x 的不等式y c <的解集为区间(),6m m +，则实数c 的值为（ ）A ．9B ．6C ．3D ．13 二、多项选择题9．设{}220A x x x =−−=，{}10B x mx =−=，若AB B =，则实数m 的值可以为（ ） A ．12 B ．-1C ．0D ．12− 10．下列说法正确的是（ ）A ．设a ，b ，c R ∈，则关于x 的方程20ax bx c ++=有一根为-1的一个充要条件是0a b c −+=B ．a R ∀∈，x R ∃∈，使得2ax >：C ．函数21y x x =++没有零点；D ．方程)4x =的解为2x =．11．若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)−∞−⋃+∞，则（ ）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{}6xx <−∣ C ．0a b c ++>D ，不等式20cx bx a −+<的解集为11,,32⎛⎫⎛⎫−∞−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知0a >，0b >，且2a b +=，则（ ）A 2≤B ．224a b +≥C ．112a b −−+≥D ．332a b +≥ 三、填空题13．某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者30人，同时爱好这两项的人最少有______人．14．最新版高中数学教材必修第一册42P 的（阅读题）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想．请问，文中的“小故”指的是逻辑中的（选“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”之一填空）．15．最新版高中数学教材必修第一册92P 的（探究题）告诉我们：任何一个正实数N 可以表示成()10110,n N a a n Z =⨯≤≤∈，此时(lg lg 0l 1)g N n a a =+≤<，当0n >时，N 是1n +位数．据此，可判断数1022的位数是______．（取lg 20.3010=）．16．实数x ，y 满足226x y +=4x +的最大值为______．四、解答题17．已知集合{}A x x a =<，{}16B xx =<<∣． （1）若5a =时，求A B ⋂，A B ⋃．（2）若R R C A C B ⊆，求实数a 的取值范围．18．给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要．请从中选择一个条件补充到下面的横线上．已知集合14{|}P x x =≤≤，1{}1|S x m x m =−≤<+，则x P ∈是x S ∈的条件．若存在实数m ，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（1）不查表计算：1032235lg 5lg 2lg 428−⎛⎫⎛⎫−++⨯− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）已知18log 9a =，185b =，试用a ，b 表示36log 5=．20．已知3()1ax y a R x −=∈+． （1）若关于x 的不等式1y <的解集为区间(14)−,，求a 的值；（2）设0a ≤，解关于x 的不等式0y >．21．已知22c y a x x b =+−（a ，b ，c 为常数，且0a >，0c >）． （1）当1a =，0b =时，求证：||2y c ≥；（2）当1b =时，如果对任意的1x >都有y a >恒成立．求证：21a c +>．22．如图，长方形ABCD 表示一张612⨯（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米．现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M ，N 分别在AB ，AD 上．设AM ，AN 的长分别为m 分米，n 分米．（1）求证：211m n+=； （2）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确定m ，n 的值；（3）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ，BC ，CD ，DN 的长度之和）的最大值及取得最大值时m ，n 的值．江苏省南通中学2020学年高一第一学期阶段性质量检测数学答案一、单项选择题1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B ．6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】A二、多项选择题9．【答案】A ．B ．C ． 10．【答案】A ．C ．D ． 11．【答案】A ．B ．D ． 12．【答案】A ．C ．D ．三、填空题13．【答案】当围棋爱好者的集合与足球爱好者的集合的并集为全集时，同时爱好这两项的人最少，设其为x ，则()()223045x x x −++−=，所以7x =．14．【答案】必要条件15．【答案】因为1021024=，所以101024lg 2lg 210241210240.3010308.224g ===⨯=， 所以，数1022的位数是309．16．222x y ≤+，244x x ≤+212y ≤+，()()2222223441514222x y x y x x y ⎛⎫⎛⎫++≤+++++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2x =，y =“=”，4x +的最大值为14．另解：因为226x y +=，由三元柯西不等式()()()2222222123123112233a a a b b b a b a b a b ++++≥++得2222222421()()4)x y y x x ++++≥+即()()222222221428724214)x y y x x =⨯=++++≥+，414x +≤4x +的最大值为14．四、解答题【解析】（1）5a =时，{}A x x a =<，{}16B x x =<<∣，{}15A B x x ∴⋂=<<∣，{}6A B x x ⋃=<∣18．【解析】①，即x P ∈是x S ∈的充分不必要条件，则P S 则S ≠∅， 即11m m −≤+，解得0m ≥，且11,14,m m −≤⎧⎨+≥⎩两个等号不同时成立， 解得3m ≥，故3m ≥，即实数m 的取值范围是[3,)+∞．若选择②，即x P ∈是x S ∈的必要不充分条件，则S P ．当S ≠∅时，11m m −>+，解得0m <． 当S ≠∅时，11m m −≤+，解得0m ≥，且11,14,m m −≥⎧⎨+≤⎩两个等号不同时成立，解得0m ≤，所以0m =．综上，实数m 的取值范围是(],0−∞．若选择③，即x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =，即11,14,m m −=⎧⎨+=⎩此方程组无解， 则不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件19．【解析】（1）原式=1；（2）由185b =得18log 5b =，1818361818log 5log 5log 5log 36log (49)===⨯ ()181818181818log 5log 52log 2log 921log 9log 92b a==+−+−． 20．【解析】（1）由1y <得311ax x −<+，即3101ax x −−<+，即(1)401a x x −−<+， 所以[(1)4](1)0a x x −−+<，由题意得441a =−，则2a = （2）0y >即301ax x −>+，即()()310ax x −+>． ①当0a =时，不等式即为()310x −+>，则1x <−，此时原不等式解集为(,1)−∞−；②当0a <时，不等式即为3(1)0x x a ⎛⎫−+< ⎪⎝⎭． 1°若3a <−，则31a >−，所以31x a −<<，此时原不等式解集为31,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭；2°若3a =−，则31a=−，不等式为()210x +<，x 不存在，此时原不等式解集为∅； 3°若30a −<<，则31a <−，所以31x a <<−，此时原不等式解集为3,1a ⎛⎫− ⎪⎝⎭． 21．【解析】（1）当1a =，0b =时，2c y x x=+．当0x >时，22||2c c y x x c x x =+=+≥=，当且仅当2c x x =即x c =时取“=”；当0x <时，0x −>，22||2c c y x x c x x =+=−+≥=−， 当且仅当2c x x−=−，即x c =−时取“=”． 综上，||2y c ≥；（2）当1b =时，对任意的1x >都有0y >恒成立，即2201c y a x x =+>−对任意的1x >恒成立， 即min y a >．因为1x >，所以2222222(1)211c c y a x a x a a ac a x x =+=−++≥=+−−． 当且仅当22(1)1c a x x −=−即1c x a =+时取“=”，所以22ac a a +>， 又0a >，所以21a c +>．22．【解析】（1）证明：过点P 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ，则PNF △与MPE △相似， 从而PF NF ME PE =，所以2121n m −=−， 即2mn m n =+，所以211m n +=． （2）欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN 的面积12S mn =最小．由（1）知，211m n =+≥8mm ≥（当且仅当21m n=，即4m =，2n =时，“=”成立）， 此时min 4S =（平方分米） ．（3）欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m n +最小．而212()333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+⎪⎝⎭（当且仅当2n m m n=，即2m =1n =时，“=”成立），此时剩下木板外边框长度最大，为33−分米．答：（2）m ，n 的值分别为4，2；（3）剩下木板的外边框长度的最大值为33−分米，此时2m =1n =．。
2020-2021学年江苏省南通中学高一(上)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤02．（5分）函数f（x）＝+的定义域是（）A．[2，3）B．（3，+∞）C．[2，3）∪（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）3．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜2，q：|x﹣1|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）幂函数f（x）＝kxα过点（4，2），则k+α＝（）A．B．3C．D．25．（5分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x•y的最大值为（）A．1B．C．D．6．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2，+∞），则bx+a＜0的解集是（）A．B．C．D．7．（5分）函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[2，+∞）D．[2，3]8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则△AEF的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图象大致形状是（）A．B．C．D．二、多选题（共4小题，每题5分，漏选3分）9．（5分）下列命题是真命题的是（）A．lg（lg10）＝0B．e lnπ＝πC．若e＝lnx，则x＝e2D．ln（lg1）＝010．（5分）若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．B．ab＞b2C．a|c|＞b|c|D．a（c2+1）＜b（c2+1）11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A．若x＜0，，故x＜0时，的最大值是﹣2B．当x＞1时，，当且仅当取等，解得x＝﹣1或2．又由x ＞1，所以取x＝2，故x＞1时，原式的最小值为C．由于，故的最小值为2D．当x，y＞0，且x+4y＝2时，由于，∴，又，故当x，y＞0，且x+4y＝2时，的最小值为412．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x∈R，sgn（e x）＝1C．函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）D．对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z，则f（x）的值域是．14．（5分）设m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则m，n，p的大小顺序为．15．（5分）若f（x）对于任意实数x都有2f（x）﹣f（）＝2x+1，则f（）＝．16．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2﹣x+1，若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有，则实数a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0}，k∈R．（1）若k＝1时，求∁R B，A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．18．已知定义在（﹣1，1）的函数满足：f（0）＝0，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数．19．已知P＝80.25×，+log38．（1）分别求P和Q；（2）若2a＝5b＝m，且＝Q，求m．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝4米．（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足：①对任意实数x，都有f（x）≥x；②当x∈（1，3）时，有成立．（1）求证：f（2）＝2；（2）若f（﹣2）＝0，求函数f（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数x∈[0，+∞），有恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m，（m≠1）使函数在[1，log23]上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每题5分）1．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤0【分析】根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题解：由题意∀x∈R，2x2+1＞0，的否定是∃x∈R，2x2+1≤0故选：D．2．（5分）函数f（x）＝+的定义域是（）A．[2，3）B．（3，+∞）C．[2，3）∪（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）【分析】由函数解析式列出关于不等式组，求出它的解集就是所求函数的定义域．解：要使函数有意义，则，解得x≥2且x≠3，∴函数的定义域是[2，3）∪（3，+∞）．故选：C．3．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜2，q：|x﹣1|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：由|x﹣1|＜1，解得：0＜x＜2，则p是q的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）幂函数f（x）＝kxα过点（4，2），则k+α＝（）A．B．3C．D．2【分析】根据幂函数的定义求出k＝1，由函数图象过点（4，2）求出α，再计算k+α．解：幂函数f（x）＝kxα中，k＝1，由函数图象过点（4，2），所以2＝4α，解得α＝；所以k+α＝1+＝．故选：A．5．（5分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x•y的最大值为（）A．1B．C．D．【分析】根据xy＝x（1﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+≤，即可求出最大值．解：∵实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，当x＝，y＝时取等号，故选：C．6．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2，+∞），则bx+a＜0的解集是（）A．B．C．D．【分析】由题意知，x＝2是方程ax+b＝0的根，且a＜0，推出b＝﹣2a，再代入bx+a＜0，解之即可．解：由题意知，x＝2是方程ax+b＝0的根，且a＜0，所以b＝﹣2a，所以不等式bx+a＜0可化为﹣2ax+a＜0，解得x＜，故选：A．7．（5分）函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[2，+∞）D．[2，3]【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再求出内层函数t＝﹣x2+4x﹣3的减区间，可得函数的单调减区间．解：由﹣x2+4x﹣3≥0，得x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，∴函数的定义域为[1，3]，令t＝﹣x2+4x﹣3，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝2，则函数t＝﹣x2+4x﹣3在[2，3]上是减函数，开方不改变单调性，又y＝2t是增函数，∴函数的单调减区间为[2，3]．故选：D．8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则△AEF的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图象大致形状是（）A．B．C．D．【分析】点E在线段AB上时，AE＝2x，（0≤x＜1），y＝2x×2＝2x．点E在线段BC 上时，BE＝2（x﹣1），（1≤x≤2），y＝+．利用一次函数与二次函数的单调性即可得出．解：点E在线段AB上时，AE＝2x，（0≤x≤1），y＝2x×2＝2x．点E在线段BC上时，BE＝2（x﹣1），（1＜x≤2），y＝22﹣2（x﹣1）﹣[2﹣2（x﹣1）]×x﹣×（2﹣x）＝x2﹣3x+4＝+．利用一次函数与二次函数的单调性可知：A正确．故选：A．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分）9．（5分）下列命题是真命题的是（）A．lg（lg10）＝0B．e lnπ＝πC．若e＝lnx，则x＝e2D．ln（lg1）＝0【分析】直接利用对数的运算性质，判断命题的真假即可．解：lg（lg10）＝lg1＝0，所以A正确；e lnπ＝π，满足对数的运算法则，所以B正确；若e＝lnx，则x＝e e，所以C不正确；ln（lg1）＝ln0，无意义，所以D不正确；故选：AB．10．（5分）若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．B．ab＞b2C．a|c|＞b|c|D．a（c2+1）＜b（c2+1）【分析】取特殊值判断A，C，根据不等式的基本性质判断B，D即可．解：取a＝﹣2，b＝﹣1，c＝0，显然A，C错误；对于BD：a＜b＜0，故ab＜b2，a（c2+1）＜b（c2+1），BD正确，故选：BD．11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A．若x＜0，，故x＜0时，的最大值是﹣2B．当x＞1时，，当且仅当取等，解得x＝﹣1或2．又由x ＞1，所以取x＝2，故x＞1时，原式的最小值为C．由于，故的最小值为2D．当x，y＞0，且x+4y＝2时，由于，∴，又，故当x，y＞0，且x+4y＝2时，的最小值为4【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件．解：对于A，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A的运算方法正确；对于B，当x＞1时，x+＝x﹣1++1≥2+1＝+1，当且仅当x﹣1＝，即x＝+1时，等号成立，即B的运算方法错误；对于C，取等的条件是x2+4＝，即x2+4＝±3，显然均不成立，即C的运算方法错误；对于D，第一次使用基本不等式的取等条件为x＝4y，而第二次使用基本不等式的取等条件为x＝y，两者不能同时成立，即D的运算方法错误．故选：BCD．12．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x∈R，sgn（e x）＝1C．函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）D．对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）【分析】利用已知条件逐个判断选项的正误即可．解：符号函数sgn（x）＝，显然函数是奇函数，所以A正确；因为：e x＞0，所以，对任意的x∈R，sgn（e x）＝1，所以B正确；函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，+∞），所以C不正确；对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）＝，所以D正确；故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z，则f（x）的值域是{﹣1，0，3}．【分析】求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．解：函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z所以x＝﹣2，﹣1，0，1；对应的函数值分别为：0，﹣1，0，3；所以函数的值域为：{﹣1，0，3}故答案为：{﹣1，0，3}．14．（5分）设m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则m，n，p的大小顺序为p ＜n＜m．【分析】分别求出对应的倒数，再比较即可．解：m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则＝+，＝+，＝+，∴＜＜，∴p＜n＜m，故答案为：p＜n＜m．15．（5分）若f（x）对于任意实数x都有2f（x）﹣f（）＝2x+1，则f（）＝3．【分析】根据题意，用特殊值法分析：令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝2×2+1＝5，令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2×+1＝2，联立两个式子分析可得答案．解：根据题意，f（x）对于任意实数x都有，令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝2×2+1＝5，①令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2×+1＝2，②，联立①②解可得：f（）＝3；故答案为：316．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2﹣x+1，若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【分析】不妨设x1＞x2，由条件可得f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，构造新函数g（x）＝f（x）﹣x＝ax2﹣2x+1，显然g（x）在[1，+∞）上单调递增，再对a分情况讨论，利用g（x）的单调性即可求出a的取值范围．解：不妨设x1＞x2，∵，∴f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2，即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，令g（x）＝f（x）﹣x＝ax2﹣2x+1，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，①当a＝0时，g（x）＝﹣2x+1，显然不成立，②当a≠0时，则，解得a≥1，综上所述，实数a的取值范围是：[1，+∞），故答案为[1，+∞）．四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0}，k∈R．（1）若k＝1时，求∁R B，A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【分析】（1）k＝1时，可得B，利用补集交集运算可得．（2）由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得A⫋B，进而即可得出实数k的取值范围．解：（1）k＝1时，2x2+3x﹣5＜0，解得﹣＜x＜1，即B＝（﹣，1），则∁R B＝（﹣∞，﹣]∪[1，+∞），A∪B＝（﹣，3），（2）“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A⫋B，由2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0可得（x﹣k）（x+）＜0，当k＞﹣时，解得﹣＜x＜k，即B＝（﹣，k），∵A⫋B∴k≥3，当k＝﹣时，解集为∅，即B＝∅，此时不满足A⫋B当k＞﹣时，解得k＜x＜﹣，即B＝（k，﹣），此时不满足A⫋B，∴实数k的取值范围是[3，+∞）．18．已知定义在（﹣1，1）的函数满足：f（0）＝0，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝0可得b的值，进而由计算可得a的值，即可得函数的解析式；（2）任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，用作差法证明即可得结论．解：（1）根据题意，对于函数f（x），由f（0）＝0，即f（0）＝＝0，即b＝0；则，又，所以a＝1；则．（2）证明：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则＝；又﹣1＜x1＜x2＜1，∴，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；故f（x）在（﹣1，1）上是增函数．19．已知P＝80.25×，+log38．（1）分别求P和Q；（2）若2a＝5b＝m，且＝Q，求m．【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．（2）先把指数式化为对数式得到a＝log2m，b＝log5m，代入＝Q，即可求出m的值．解：（1）P＝80.25×＝+﹣1＝﹣1＝2+﹣1＝，+log38＝+log38＝＝log39＝2．即，Q＝2．（2）∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＝＝log m2+log m5＝log m10，∴log m10＝2，∴．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝4米．（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【分析】（1）设DN的长为x（x＞0）米，S AMPN＝AN•AM＝，表达AN＝（x+4）米和AM＝，要使矩形AMPN的面积大于50平方米，解不等式即可得DN的长的范围；（2）利用基本不等式可得当且仅当：3x＝，即：x＝4时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48．解：（1）设DN的长为x（x＞0）米，则AN＝（x+4）米．∵＝，∴AM＝，S AMPN＝AN•AM＝，由矩形AMPN的面积大于50，得：＞50，又x＞0，得：3x2﹣26x+48＞0，解得：0＜x＜或x＞6，即：DN长的取值范围是：（0，）∪（6，+∞）．（2）矩形花坛AMPN的面积为，y＝＝＝3x++24≥2+24＝48，当且仅当：3x＝，即：x＝4时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48．故DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米．答：（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长的范围：（0，）∪（6，+∞）；（2）当DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足：①对任意实数x，都有f（x）≥x；②当x∈（1，3）时，有成立．（1）求证：f（2）＝2；（2）若f（﹣2）＝0，求函数f（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数x∈[0，+∞），有恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据题意可知：2≤f（2）≤2，由此确定f（2）＝2；（2）根据f（x）≥x恒成立，利用判别式≤0恒成立、结合f（2）＝2可求出a的值，最后结合f（﹣2）＝0，即可求出系数b，c的值；（3）根据x≥0，分离参数m，再利用基本不等式即可求出m的范围．解：（1）由题意得2≤f（2），所以f（2）＝2．（2）结合（1）知f（2）＝4a+2b+c＝2，由f（x）≥x恒成立得ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，故，将③代入②得，故c＝4a…④．又f（﹣2）＝4a﹣2b+c＝0…⑤，联立③④⑤解得．所以．（3）由x∈[0，+∞），且恒成立可得：，（i）x＝0时，恒成立，此时m∈R；（ii）x＞0时，原式化为：恒成立，因为，当且仅当时取等号．故此时．综合（i）（ii）可知m的取值范围为（）．22．（12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m，（m≠1）使函数在[1，log23]上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据f（x）为R上的奇函数，可得f（0）＝0，然后求出t的值，再检验得到的t值是否符合题意；（2）先根据f（1）＞0，求出a的范围，然后利用定义法判断f（x）的单调性，再根据f （kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，得到关于k的不等式，进一步求出k的范围；（3）根据函数f（x）的图象过点，求出a，令t＝f（x）＝a x﹣a﹣x，根据f（x）是单调递增函数，得到t的范围，然后得到，再求出m的值即可．解：（1）∵是奇函数，∴f（0）＝0，1﹣（t﹣1）＝0，解得t＝2．当t＝2时，，∴f（﹣x）＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，满足题意，∴t＝2．（2）∵，f（1）＞0，∴，又a＞0，∴a＞1，设∀x1，x2∈R，x1＜x2，则，∴＝，∵x1＜x2，a＞1，∴，又∵．∴f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1）f（x）是单调递增函数．f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0，f（kx﹣x2）＜﹣f（x﹣1）＝f（1﹣x）kx﹣x2＜1﹣x恒成立，即x2﹣（k+1）x+1＞0恒成立，∴△＝（k+1）2﹣4＜0，∴﹣3＜k＜1，∴k的取值范围为（﹣3，1）．（3）∵函数f（x）的图象过点，∴（a＞0），解得a＝2，设t＝f（x）＝a x﹣a﹣x，由（2）知f（x）是单调递增函数，∴当x∈[1，log23]时，，t2＝a2x+a﹣2x﹣2，∴，，其最大值为m，也即t2﹣mt+2有最值1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取∴只可能是以下三种情况：①，解得，此时对称轴为，左端点处取的是二次函数最小值，而m＞1，也即h（t）最小值，不合题意舍去．②，解得，此时对称轴为，右端点离对称轴更远，取的最大值，而m＞1，也即h（t）最大值，符合．③，解得m＝±2，此时对称轴为t＝±1，不在区间上，∴最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去．综上所述，．。
2020-2021学年江苏省苏州市高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷1. 已知集合A ={x||x −1|<2}，B ={x|−4<x <2}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x <2}B. {x|−4<x <2}C. {x|−4<x <3}D. {x|x <3}2. 函数y =1√x−2+(x −3)0的定义域为( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. (2,3)∪(3,+∞)D. [2,3)∪(3,+∞)3. 设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则( )A. ￢p ：∀x ∈A ，2x ∉BB. ￢p ：∀x ∉A ，2x ∉BC. ￢p ：∃x ∉A ，2x ∈BD. ￢p ：∃x ∈A ，2x ∉B4. 已知函数f(x)=x +3x+7x+2(x >−2)，( )A. f(x)有最小值−1B. f(x)有最大值−1C. f(x)有最小值3D. f(x)有最大值35. “x ≥2”的一个必要不充分条件是( )A. x >2B. x 2>2C. 2x −4≥0D. x 2>96. 对于∀x ∈[−2,2]，不等式m +x ≤√2−x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. m ≤−94B. m ≤−2C. m ≤0D. m ≤47. 函数y =axx 2+1(a >0)的图象大致为( )A.B.C.D.8. 定义min(a,b)={a,a ≤bb,a >b，例如：min(−1,−2)=−2，min(2,2)=2，若f(x)=x 2，g(x)=−x 2−4x +6，则F(x)=min(f(x),g(x))的最大值为( )A. 1B. 8C. 9D. 109. 已知全集U ={1,2,3,4,5,6}，集合M ={3,4,5}，N ={1,2,5}，则集合{1,2}可以表示为( )A. M ∩NB. (∁U M)∩NC. (∁U N)∩MD. (∁U (M ∩N))∩N10. 已知a >0，b >0，则下列说法正确的有( )A. 1a−b >1aB. 若a +b ≥2，则ab ≥1C. 若a +b ≤2，则ab ≤1D. a 3+b 3≥a 2b +ab 211. 已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成，则( )A. f(f(1))=3B. f(2)>f(0)C. f(x)=−x +1+2|x −1|，x ∈[0,4]D. ∃a >0，不等式f(x)≤a 的解集为[12,2]12. 已知f(x)={−x +2,x <1k x+k +2,x ≥1，(常数k ≠0)，则( )A. 当k >0时，f(x)在R 上单调递减B. 当k >−12时，f(x)没有最小值 C. 当k =−1时，f(x)的值域为(0,+∞)D. 当k =−3时，∀x 1≥1，∃x 2<1，有f(x 1)+f(x 2)=013. 已知幂函数f(x)=(m 2−2m −2)x m 在(0,+∞)上是单调递减函数，则实数m 的值为 ．14. 已知函数f(x)={|x +2|,x ≤02f(x −1),x >0，则f(2)的值为 ．15. 已知函数f(x)的定义域为R ，f(2)=3，且函数y =f(x)+x 为偶函数，则f(−2)的值为 ，函数y =f(x)x+1是 函数(从“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选填一个)．16. 已知函数f(x)=x 2+ax +b(a,b ∈R)，关于x 的不等式f(x)≤c 的解集为A ，其中A =[m,n]，f(x)在集合A 上的值域为B ，若A =B ，则n −m = ． 17. 已知集合A ={x|x−1x−5<0}，集合B ={x|a −1<x <a 2}.(1)求∁R A ；(2)若A ∩B =⌀，求实数a 的取值范围．18. 已知abc 2=1，a +b +c =0，c >0．(1)求证：a +b ≤−2√ab ；(2)求c 的最小值，并求此时a 与b 的值．19. 已知函数f(x)={−x 2−4x,x ≤0x 2+ax,x >0为奇函数．(1)求f(2)和实数a 的值； (2)求方程f(x)=f(2)的解．20. 已知函数f(x)=x +9x (x ≠0)．(1)当x ∈[1,5]时，讨论并证明f(x)的单调性，并求f(x)的取值范围； (2)求不等式f(3x 2)+f(3x)≤0的解集．21.某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内(含3km)的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为20km时，折旧费为0.1元．现设一次载客的路程为xkm．(1)试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数；(2)若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每千米)的收益y取得最大值？(每千米收益计算公式为y=F−Cx22.已知函数f(x)=x2−2ax+b．(1)若y=f(x)值域为[0,+∞)，且f(1+x)=f(1−x)恒成立，求f(x)的解析式；(2)若y=f(f(x))的值域为[0,+∞)，①当a=−2时，求b的值；②求b关于a的函数关系g(a)．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】化简集合A ，根据交集的定义计算即可． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题． 【解答】解：集合A ={x||x −1|<2}={x|−1<x <3}， B ={x|−4<x <2}， 则A ∩B ={x|−1<x <2}． 故选：A ．2.【答案】C【解析】 【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题． 【解答】解：根据题意得：{x −2>0x −3≠0，解得x >2且x ≠3．∴函数y =√x−2+(x −3)0的定义域为：(2,3)∪(3,+∞)． 故选：C ．3.【答案】D【解析】 【分析】直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题，写出命题的否定命题即可． 本题考查命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定关系，基本知识的考查． 【解答】解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则￢p：∃x∈A，2x∉B．故选：D．4.【答案】C【解析】【分析】分离常数可得出f(x)=(x+2)+1x+2+1，根据x>−2可得出x+2>0，然后根据基本不等式即可得出f(x)≥3，从而可得出正确的选项．本题考查了分离常数的方法，基本不等式求函数最值的方法，考查了计算能力．【解答】解：∵x>−2，∴x+2>0，∴f(x)=x+3(x+2)+1x+2=(x+2)+1x+2+1≥2+1=3，当且仅当x+2=1x+2，即x=−1时，取等号，∴f(x)有最小值3．故选：C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据必要不充分条件的概念，逐项进行判断即可得出结论．【解答】解：A.x>2⇒x≥2，反之不成立，因此“x>2”是“x≥2”的充分不必要条件；B.x2>2，解得x>√2，或x<−√2，所以由“x≥2”⇒x2>2，反之不成立，因此“x2>2”是“x≥2”的必要不充分条件；C.2x−4≥0，解得x≥2，因此“2x−4≥0”⇔“x≥2”，即“2x−4≥0”是“x≥2”的充要条件；D.x2>9，解得x>3，或x<−3，因此“x≥2”与“x2>9”相互推不出，即“x2>9”是“x≥2”的既不充分也不必要条件．故选：B．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数的单调性求最值，属于中档题．将不等式恒成立问题转化为m≤√2−x−x在x∈[−2,2]上恒成立，即m≤(√2−x−x)min，利用单调性求得f(x)=√2−x−x在x∈[−2,2]上的最小值，即可得出结论．【解答】解：对于∀x∈[−2,2]，不等式m+x≤√2−x恒成立，等价于m≤√2−x−x在x∈[−2,2]上恒成立，即m≤(√2−x−x)min，令f(x)=√2−x−x，x∈[−2,2]，因为函数y=√2−x为减函数，函数y=−x为减函数，所以f(x)=√2−x−x，x∈[−2,2]为减函数，所以f(x)min=f(2)=−2，所以m≤−2．故选：B．7.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和函数的零点即可判断．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数的零点是关键．【解答】解：令f(x)=y =axx 2+1(a >0)，易得函数的定义域为R ， ∴f(−x)=−ax x 2+1=−f(x)，∴y =f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除BC 选项； 令axx 2+1=0，解得x =0，函数只有一个零点，排除D 选项； 只有选项A 符合， 故选：A ．8.【答案】C【解析】 【分析】先对函数进行比较，求出函数F(x)的解析式，再根据函数的性质求出函数的最大值即可． 本题考查了分段函数的最值问题． 【解答】解：令x 2≤−x 2−4x +6，解得−3≤x ≤1 所以F(x)={x 2,−3≤x ≤1−x 2−4x +6,x >1或x <−3，当−3≤x ≤1时，F(x)max =F(−3)=9， 当x >1或x <−3时，F(x)<9， 综上，函数F(x)的最大值为9， 故选：C ．9.【答案】BD【解析】 【分析】根据题目条件直接进行集合间运算即可． 本题主要考查集合的交并补混合运算． 【解答】解：∵M ={3,4,5}，N ={1,2,5}， ∴M ∩N ={5}，(∁U M)∩N ={1,2}， M ∩(∁U N)={3,4}，(∁U (M ∩N))∩N ={1,2,3,4,6}∩{1,2,5}={1,2}． 故选：BD ．10.【答案】CD【解析】 【分析】利用作差法可判断选项A ；利用特值法即可判断选项B ；利用基本不等式即可判断选项C ；利用作差法，变形几个因式乘积的形式即可判断选项D ．本题主要考查不等式的基本性质，作差法和特值法的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题． 【解答】解：对于A ，1a−b −1a =ba(a−b)，因为a >0，b >0，当a >b 时，1a−b >1a ，当a <b 时，1a−b <1a ，故A 错误； 对于B ，a >0，b >0，若a +b ≥2，取a =3，b =14，此时ab =34<1，故B 错误； 对于C ，a >0，b >0，若a +b ≤2，则ab ≤(a+b 2)2≤1，当且仅当a =b =1时等号成立，故C 正确；对于D ，因为a >0，b >0，则a 3+b 3−a 2b −ab 2=(a −b)2(a +b)≥0，故D 正确． 故选：CD ．11.【答案】AC【解析】 【分析】先求出函数的解析式，再分别判断即可．本题考查了分段函数，以及不等式的解集问题，属于中档题． 【解答】解：由图象可得f(x)={−3x +3,0≤x ≤1x −1,1<x ≤4，∴f(1)=0，f(0)=3，∴f(f(1))=f(0)=3，故A 正确；f(2)=2−1=1<f(0)，故B 错误，当0≤x ≤1时，f(x)=−x +1+2(1−x)=−3x +3， 当1<x ≤4时，f(x)=−x +1+2(x −1)=x −1，故C 正确；由f(12)=32≠f(2)=1，结合图象可知，不存在a >0，使得不等式f(x)≤a 的解集为[12,2]，故D 错误． 故选：AC ．12.【答案】BD【解析】 【分析】本题考查了分段函数的单调性，最值，值域等问题，考查了学生的运算转化能力，属于较难题．针对各个选项，根据给的条件以及函数的性质判断是否正确． 【解答】解：选项A ：当k >0时，当x ≥1时，函数单调递减，f(1)=2k +2>2>1， 当x <1时，函数单调递减，但−1+2=1≠f(1)， 所以函数在R 上不单调，A 错误，选项B ：当k >−12时，当x <1时，函数显然没有最小值， 则①当−12<k <0时，此时x ≥1时，kx+k +2>−121−12+2=1，即函数此时没有最小值，②当k >0时，kx +k +2>2，此时函数仍然没有最小值， 综上，当k >−12时，函数没有最小值，B 正确， 选项C ：当k =−1时，当x ≥1时，f(x)=−1x +1∈[0,1)， 当x <1时，f(x)=−x +2>1，所以此时函数的值域为[0,1)∪(1,+∞)，C 错误， 选项D ：k =−3时，f(x)={−x +2,x <1−3x −1,x ≥1，当x ≥1时，f(x)=−3x −1∈[−4,−1)，当x <1时，f(x)=−x +2∈(1,+∞)，显然有(1,4]⊆(1，+∞)， 则对任意x 1≥1，∃x 2<1，有f(x 1)+f(x 2)=0，D 正确， 故选：BD ．13.【答案】−1【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m 的值，根据函数的单调性确定m 的值即可． 本题考查了求幂函数的解析式问题，考查函数的单调性． 【解答】解：∵f(x)是幂函数，∴m 2−2m −2=1，解得：m =3或m =−1，m =3时，f(x)=x 3在(0,+∞)上单调递增，不符合题意； m =−1时，f(x)=1x 在(0,+∞)上单调递减，符合题意； 故m =−1， 故答案为：−1．14.【答案】8【解析】 【分析】推导出f(2)=2f(1)=4f(0)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 【解答】解：∵函数f(x)={|x +2|,x ≤02f(x −1),x >0，∴f(2)=2f(1)=4f(0)=4|0+2|=8． 故答案为：8．15.【答案】7奇【解析】【分析】由已知结合偶函数的定义可得f(−2)−2=f(2)+2，结合已知f(2)=3可求f(−2)；令ℎ(x)=f(x)x+1，然后结合奇偶函数的定义检验ℎ(−x)与ℎ(x)的关系即可判断．本题主要考查了函数奇偶性在定义判断中的应用．【解答】解：因为f(2)=3，且函数y=f(x)+x为偶函数，所以f(−2)−2=f(2)+2，所以f(−2)=f(2)+4=7，令ℎ(x)=f(x)x+1，因为f(−x)−x=f(x)+x，所以f(−x)−f(x)=2x，则ℎ(−x)=f(−x)−x +1，ℎ(x)=f(x)x+1，所以ℎ(−x)+ℎ(x)=f(x)x −f(−x)x+2=f(x)−f(−x)x+2=−2xx+2=0，所以ℎ(−x)=−ℎ(x)，故ℎ(x)为奇函数．故答案为：7；奇．16.【答案】4【解析】【分析】由已知f(x)在集合A上的值域与f(x)≤c的解集相同可得n=c，且函数f(x)的最小值为f(m+n2)=m，再令g(x)=f(x)−c=f(x)−n=(x−m)(x−n)，由此可得函数f(x)的解析式，令其最小值为m即可求解．本题考查了二次函数的最值问题，涉及到集合相等的问题，属于中档题．【解答】解：因为x ∈[m,n]，f(x)∈[m,n]，f(x)≤c 的解集为[m,n]， 所以n =c ，f(x)min =f(m+n 2)=m ，令g(x)=f(x)−c =f(x)−n =(x −m)(x −n)， 则f(x)=(x −m)(x −n)+n ， 所以f(m+n 2)=(m+n 2−m)(m+n 2−n)+n =m ，则−14(m −n)2=m −n ，n >m ， 所以n −m =4， 故答案为：4．17.【答案】解：(1)由题意得：A =(1,5)，故∁R A =(−∞,1]∪[5,+∞)；(2)∵a 2−(a −1)=(a −12)2+34>0， ∴B ≠⌀，∵A ∩B =⌀，∴a −1≥5或a 2≤1， 解得：−1≤a ≤1或a ≥6， 故a 的取值范围是[−1,1]∪[6,+∞)．【解析】(1)求出集合A ，求出A 的补集即可；(2)求出B 不是空集，根据A ∩B =⌀，得到关于a 的不等式，解出即可．本题考查了集合的交集，补集的运算，考查转化思想，属于基础题．18.【答案】(1)证明：因为abc 2=1，a +b +c =0，c >0，所以ab =1c 2>0，a +b =−c <0， 所以a <0，b <0，所以(−a)+(−b)≥2√(−a)(−b)，当且仅当a =b 时等号成立， 所以a +b ≤−2√ab ． (2)解：由(1)得−c ≤−2⋅1c ， 因为c >0，所以c ≥√2，当且仅当{−a =−b a +b =−√2，即a =b =−√22时等号成立，所以c 的最小值为√2．【解析】本题主要考查不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题．(1)将已知等式变形可得ab =1c 2>0，a +b =−c <0，即可判断a <0，b <0，利用基本不等式即可证得结论;(2)由(1)中结论及ab =1c 2可得−c ≤−2⋅1c ，计算可得c 的取值范围，从而得解．19.【答案】解：(1)设x >0，则−x <0，因为x ≤0时，f(x)=−x 2−4x ， 则f(−x)=−(−x)2−4(−x)=−x 2+4x ， 因为f(−x)=−f(x)=−x 2+4x ， 所以f(x)=x 2−4x ， 所以a =−4，f(2)=22−4×2=−4．(2)原方程等价于{x >0x 2−4x =−4或{x ⩽0−x 2−4x =−4, 解得x =2或x =−2−2√2，【解析】(1)先根据已知函数解析式及奇函数的定义可求a ，进而可求f(2)， (2)结合x 的范围代入f(x)的解析式，然后代入可求方程的解． 本题主要考查了奇函数的定义在函数求值中的应用及方程的求解．20.【答案】解：(1)设1≤x 1<x 2≤5，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+9x 1−x 2−9x 2=(x 1−x 2)+9(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1−x 2)(1−9x 1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−9)x 1x 2，∵1≤x 1<x 2≤5， ∴x 1−x 2<0，x 1x 2>0，当1≤x 1<x 2≤3时，x 1x 2−9<0， ∴f(x 1)>f(x 2)，则f(x)在[1,3]上单调递减， 当3≤x 1<x 2≤5时，x 1x 2−9>0， ∴f(x 1)<f(x 2)，则f(x)在[3,5]上单调递增，综上，f(x)在[1,3]上单调递减，f(x)在[3,5]上单调递增， 故当x =3时，函数取得最小值6， ∵f(1)=10，f(5)=345，故f(x)的值域[6,10]；(2)由(1)可知，f(x)在[1,3]上单调递减，f(x)在[3,5]上单调递增， ∵f(−x)=−x −9x =−(x +9x )=−f(x)， ∴f(x)为奇函数， ∵f(3x 2)+f(3x)≤0， ∴f(3x 2)≤−f(3x)=f(−3x)，当x >0时，f(3x 2)>0，f(−3x)<0，与上式矛盾，舍去， 当x =−1时，成立，当x <−1时，3x 2>−3x >3，则f(3x 2)>f(−3x)，与上式矛盾，舍去， 当−1<x <0时，0<3x 2<−3x <3，则f(3x 2)>f(−3x)，与上式矛盾，舍去， 综上不等式的解集{−1}．【解析】本题主要考查了函数单调性的判断及利用单调性求解函数的值域及求解不等式，属于中档题．(1)设1≤x 1<x 2≤5，然后利用作差比较f(x 1)与f(x 2)的大小，从而可判断函数的单调性，然后结合函数的单调性可求函数的值域；(2)由已知函数的单调性及奇偶性可转化原不等式f(3x 2)≤−f(3x)=f(−3x)，然后结合x 的范围可求．21.【答案】解：(1)由题意可得，F ={7,0<x ≤37+2.4(x −3),x >3={7,0<x ≤32.4x −0.2,x >3．设折旧费x =kx 2，将(20,0.1)代入，得0.1=400k ，即k =14000， ∴C =2.3+1.6x +14000x 2(x >0)； (2)∵y =F−C x，∴y ={4.7x−x4000−1.6,2≤x ≤30.8−(x 4000+2.5x ),x >3．当x>3时，由基本不等式，得y≤0.8−2√x4000⋅2.5x=0.75，当且仅当x4000=2.5x，即x=100时取等号；当2≤x≤3时，由y在[2,3]上单调递减，可得x=2时，y max=0.75−12000<0.75．综上所述，该市出租汽车一次载客路程为100千米时，每千米的收益y取得最大值．【解析】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式及函数的单调性求最值，是中档题．(1)直接由题意可得F关于x的关系式，再设折旧费x=kx2，将(20,0.1)代入求得k，进一步可得成本C关于x的函数；(2)由y=F−Cx得到y关于x的分段函数，再由基本不等式及函数的单调性求出分段函数的最值，则答案可求．22.【答案】解：函数f(x)=x2−2ax+b的对称轴为x=a，在(−∞,a]上单调递减，在[a,+∞)上单调递增．(1)因为f(1+x)=f(1−x)恒成立，所以f(x)的对称轴是x=1，故a=1，因为y=f(x)值域为[0,+∞)，可得方程x2−2x+b=0根的判别式Δ=4−4b=0，解得b=1，所以f(x)=x2−2x+1．(2)①f(x)=(x+2)2+b−4∈[b−4,+∞)，设t=f(x)∈[b−4,+∞)，则f(f(x))=(t+2)2+b−4，t∈[b−4,+∞)，当b−4<−2，即b<2时，f(f(x))的最小值b−4≠0，舍去；当b−4≥−2时，即b≥2时，f(f(x))的最小值f(b−4)=(b−2)2+b−4=0，解得b=0(舍)或b=3，综上所述，b=3．②f(x)=(x−a)2+b−a2，记M=b−a2，设t=f(x)∈[M,+∞)，f(f(x))=f(t)=(t−a)2+M，若M≤a，f(t)min=f(a)=M=0，所以a≥0；反之，若a≥0，只能M=0，否则若M>0，则f(t)≥M>0与f(t)最小值为0矛盾．若M<0，则f(t)min=f(a)=M<0与f(t)最小值为0矛盾．故a ≥0时，M =0，即b =a 2．若a <0，由上述解答过程知M >a(否则M ≤a 有a ≥0)，f(t)在t ∈[M,+∞)上单调递增，f(t)min =f(M)=(M −a)2+M =0， 所以M 2−(2a −1)M +a 2=0，Δ=1−4a >0， 所以M =2a−1+√1−4a2(若M =2a−1−√1−4a2，则M −a =−1−√1−4a2<0与M >a 矛盾)，所以b −a 2=2a−1+√1−4a2，即b =a 2+2a−1+√1−4a2．综上所述，b =g(a)={a 2,a ≥02a 2+2a−1+√1−4a2,a <0．【解析】(1)由f(1−x)=f(1+x)知f(x)的对称轴是x =1，从而可求得a 值，由y =f(x)值域为[0,+∞)，可得Δ=0，可求得b 值，从而可得f(x)的解析式；(2)①设t =f(x)∈[b −4,+∞)，则f(f(x))=(t +2)2+b −4，t ∈[b −4,+∞)，利用二次函数的性质及最小值为0即可求得b 值；②f(x)=(x −a)2+b −a 2，记M =b −a 2，设t =f(x)∈[M,+∞)，f(f(x))=f(t)=(t −a)2+M ，利用二次函数的性质及最小值为0即可求得b 关于a 的函数关系g(a)． 本题主要考查二次函数解析式的求法，二次函数的最值，二次函数图象与性质，属于拔高题．。
2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知函数，则f（2）等于（）A．0B．C．3D．4．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b﹣c B．（a﹣b）c2≥0C．ac＞bc D．5．（5分）“∀x＜0，x2+ax+2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为（）A．a≤B．a≤C．a≥D．a≥6．（5分）对∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大值，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，若M（x）＝max{﹣x+3，（x﹣1）2}，则M（x）的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．47．（5分）有一支长Lm的队伍匀速前进，速度大小为v1m/s，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为v2m/s，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了Lm，则v1：v2值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）+f（a﹣x）＝2，若函数的图象与y ＝f（x）的图象有4个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则y1+y2+y3+y4＝（）A．2B．4C．8D．2a二､选择题本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9．（5分）下列函数中，对∀x∈R，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x2C．f（x）＝x﹣|x|D．10．（5分）设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有（）A．A∪B＝A B．A∩B＝AC．（∁U A）⊆（∁U B）D．A∪（∁U B）＝U11．（5分）已知x，y是正数，且2x+y＝1，下列叙述正确的是（）A．xy最大值为B．4x2+y2的最小值为C．x（x+y）最大值为D．最小值为412．（5分）已知f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．方程f（x）＝0无解B．f（x）的最小值为2C．f（x）的图象关于（﹣1，0）对称D．f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）三、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）命题“∃x＞1，x2＞1”的否定为．14．（5分）函数f（x）＝，对∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝0，则实数a 的值为．15．（5分）图①是某公交车线路的收支差额（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是；图③的建议是．16．（5分）已知a，b，c＞0，a2+ab+2ac+2bc＝3，则的最小值为．四、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）幂函数f（x）＝x a过点（4，2）．（1）求a的值，并证明f（x）在[0，+∞）是增函数；（2）幂函数g（x）是偶函数且在（0，+∞）是减函数，请写出g（x）的一个表达式．（直接写结果，不需要过程．）18．（12分）设全集为R，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，．（1）若a＝4，求A∩B，∁R（A∩B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的______条件，求实数a的取值范围．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件．这三个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题．19．（12分）已知f（x）＝2x2+（a﹣2）x+a．（1）若方程f（x）＝0在[﹣1，1]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a2．20．（12分）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD长为xm，试建立S与x的函数关系；（2）当x为何值时，S最小？并求这个最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣|x|+2a﹣1（a＞0）．（1）请在如图所示的直角坐标系中作出a＝时f（x）的图象，并根据图象写出函数的单调区间；（2）设函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值为g（a）；①求g（a）的表达式；②若，求g（a）的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝．（1）若在[1，6]上∃x0，使得|f（x0）﹣6|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数g（x）＝|f（x）﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，求a的取值范围．2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}【分析】判断出阴影部分中的元素在A中但不在B中即在A与B的补集的交集中．【解答】解：由已知中阴影部分在集合A中，而不在集合B中，故阴影部分所表示的元素属于A，不属于B（属于B的补集）即（∁R B）∩A＝{0，1}．故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据图象确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．（5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先有a＝3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a ＝3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a＝3时，A＝{1，3}所以A⊆B，即a＝3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a＝3或a＝2，所以A⊆B成立，推不出a＝3故“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．3．（5分）已知函数，则f（2）等于（）A．0B．C．3D．【分析】由x+1＝2，得x＝1，代入函数的解析式求出即可．【解答】解：∵函数f（x+1）＝，∴f（2）＝f（1+1）＝＝0，故选：A．【点评】本题考查了函数求值问题，是一道基础题．4．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b﹣c B．（a﹣b）c2≥0C．ac＞bc D．【分析】根据条件，取特殊值即可排除ACD，由不等式的基本性质即可判断B．【解答】解：根据a，b，c∈R，且a＞b，取a＝2，b＝0，c＝﹣2，则可排除AD；取a＝1，b＝﹣1，c＝0，则可排除C；根据不等式的基本性质，由a＞b，可知（a﹣b）c2≥0成立，故B正确．故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．5．（5分）“∀x＜0，x2+ax+2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为（）A．a≤B．a≤C．a≥D．a≥【分析】根据含有量词的命题的定义进行判断，分离参数a即求a≤[（﹣x）+（﹣）]的最小值即可．【解答】解：“∀x＜0，x2+ax+2≥0”为真命题，即a≤＝（﹣x）+（﹣），x＜0，即当∀x＜0时，a≤[（﹣x）+（﹣）]的最小值，令f（x）＝（﹣x）+（﹣），x＜0，由基本不等式可得f（x）＝（﹣x）+（﹣）≥2＝2，x＜0，当且仅当（﹣x）＝（﹣），x＝﹣时取等号，所以f（x）min＝2，则实数a的取值范围为是a．故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假，根据全称命题的定义和一元二次不等式的解法求解是解决本题的关键．6．（5分）对∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大值，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，若M（x）＝max{﹣x+3，（x﹣1）2}，则M（x）的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．4【分析】先求出函数M（x）的解析式，然后根据分段函数求最值的方法求出最小值即可．【解答】解：令﹣x+3＞（x﹣1）2，解得﹣1＜x＜2，则M（x）＝，当﹣1＜x＜2时，M（x）＞M（2）＝1，当x≥2或x≤﹣1时，M（x）min＝M（2）＝1，所以函数M（x）的最小值为1，故选：C．【点评】本题考查了分段函数求最值的问题，涉及到解一元二次不等式问题，属于基础题．7．（5分）有一支长Lm的队伍匀速前进，速度大小为v1m/s，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为v2m/s，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了Lm，则v1：v2值为（）A．B．C．D．【分析】设传令兵从队尾到队头的时间为t1，从队头到对尾的时间为t2，队伍前进用的时间为t，由t＝t1+t2可得，化简整理即可求出v1：v2值．【解答】解：设传令兵从队尾到队头的时间为t1，从队头到对尾的时间为t2，队伍前进用的时间为t，由传令兵往返总时间与队伍运动时间相等可得如下方程：t＝t1+t2，∴，整理得：，解得：，∴，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）+f（a﹣x）＝2，若函数的图象与y ＝f（x）的图象有4个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则y1+y2+y3+y4＝（）A．2B．4C．8D．2a【分析】根据f（x）+f（a﹣x）＝2可知，f（x）的图象关于（，1）对称，然后将y＝化简后也可以看出关于（）对称，由此它们的交点也关于（）对称，问题可解．【解答】解：因为函数f（x）满足f（x）+f（a﹣x）＝2，故f（x）的图象关于（）对称；而＝，该函数图象是由函数y＝的图象向右平移个单位，然后向上平移一个单位得到的，结合y＝的图象关于（0，0）对称，故y＝的图象关于（）对称．设该它们的四个交点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）分成两对各自关于对称，不妨设（x1，y1）与（x2，y2）对称，（x3，y3）与（x4，y4）对称，则y1+y2+y3+y4＝2×2＝4．故选：B．【点评】本题考查函数的零点与函数的性质的综合考查，注意对称性在研究函数零点时的应用．属于中档题．二､选择题本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9．（5分）下列函数中，对∀x∈R，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x2C．f（x）＝x﹣|x|D．【分析】利用已知的条件即可判断选项是否正确．【解答】解：选项A：f（2x）＝|2x|＝2|x|＝2f（x），A正确，选项B：f（2x）＝（2x）2＝4x2≠2f（x），B错误，选项C：f（2x）＝2x﹣|2x|＝2（x﹣|x|）＝2f（x），C正确，选项D：f（2x）＝2x+≠2f（x），D错误，故选：AC．【点评】本题考查了函数的性质以及解析式问题，属于基础题．10．（5分）设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有（）A．A∪B＝A B．A∩B＝AC．（∁U A）⊆（∁U B）D．A∪（∁U B）＝U【分析】利用集合的包含关系定义，以及充要条件的定义分别判断即可．【解答】解：对于A：当B⊆A有A∪B＝A成立，反之，若A∪B＝A成立，B⊆A成立，所以A符合；对于A：当B⊆A，有A∩B＝B；反之，若A∩B＝A成立，A⊆B成立，所以B不符合；对于C：若B⊆A有（∁U A）⊆（∁U B），反之若（∁U A）⊆（∁U B），则B⊆A，故C符合；对于D：A∪∁U B＝U⇔B⊆A，故D符合；故选：ACD．【点评】本题考查了集合的图形语言，考查了子集与集合运算的等价关系，属于基础题．11．（5分）已知x，y是正数，且2x+y＝1，下列叙述正确的是（）A．xy最大值为B．4x2+y2的最小值为C．x（x+y）最大值为D．最小值为4【分析】由已知结合基本不等式及一些常见的结论分别检验各选项即可判断．【解答】解：∵x，y是正数，且1＝2x+y≥2，当且仅当2x＝y时取等号，∴解可得，xy，即xy的最大值，A正确；4x2+y2＝（2x+y）2﹣4xy＝1﹣4xy＝，当且仅当2x＝y且2x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值，B正确；因为2x+y＝1，所以y＝1﹣2x，所以x（x+y）＝x（1﹣x）＜＝，当且仅当x＝1﹣x即y＝0，x＝时取等号，结合已知可知，等号取不到，即没有最大值，C错误；因为＝＝＝（4+）＝4，当且仅当且2x+y＝1即x＝，y＝时取等号，D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是结论的灵活变形，属于中档试题．12．（5分）已知f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．方程f（x）＝0无解B．f（x）的最小值为2C．f（x）的图象关于（﹣1，0）对称D．f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）【分析】结合函数的零点及基本不等式的应用条件，函数对称性的应用及导数与单调性的关系检验各选项即可判断．【解答】解：由f（x）＝＝0可得x2+2x+2＝0，且x≠0，此时方程没解，A正确；当x＝﹣2时f（﹣2）＝﹣2，显然2不是最小值，B不正确；因为f（x）＝＝＝x+1+，所以f（﹣2﹣x）＝﹣1﹣x+＝﹣（1+x+）＝﹣f（x），故f（x）的图象关于（﹣1，0）对称，C正确；＝，当x＞0或x＜﹣2时，f′（x）＞0，函数单调递增，D正确．故选：ACD．【点评】本题综合考查了函数的最值，对称轴及单调性的判断，属于函数性质的综合应用．三、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）命题“∃x＞1，x2＞1”的否定为∀x＞1，x2≤1．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为特称命题，则命题“∃x＞1，x2＞1”的否定为∀x＞1，x2≤1，故答案为：∀x＞1，x2≤1．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14．（5分）函数f（x）＝，对∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝0，则实数a 的值为﹣2．【分析】利用已知求出f（﹣x），然后令f（﹣x）＝﹣f（x），即可求解．【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），当x≥0时，﹣x≤0，则f（﹣x）＝﹣x（a+x），又f（x）＝x（x﹣2），所以﹣x（a+x）＝﹣x（x﹣2），所以a＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了分段函数的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．15．（5分）图①是某公交车线路的收支差额（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是提高票价；图③的建议是降低成本．【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x＝0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．【解答】解：由图②看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，由图③知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；综上可得图②的建议是提高票价，图③的建议是降低成本．故答案为：提高票价，降低成本．【点评】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．16．（5分）已知a，b，c＞0，a2+ab+2ac+2bc＝3，则的最小值为．【分析】根据条件可得（a+b）（a+2c）＝3，然后由，利用基本不等式，即可求出的最小值．【解答】解：∵a2+ab+2ac+2bc＝3，∴（a+b）（a+2c）＝3，∴，当且仅当a+b＝a+2c，即b＝2c时取等号，∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属中档题．四、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）幂函数f（x）＝x a过点（4，2）．（1）求a的值，并证明f（x）在[0，+∞）是增函数；（2）幂函数g（x）是偶函数且在（0，+∞）是减函数，请写出g（x）的一个表达式．（直接写结果，不需要过程．）【分析】（1）根据待定系数法求出函数的解析式，根据单调性的定义证明即可；（2）写出满足条件的函数的解析式即可．【解答】解：（1）将（4，2）代入f（x）＝x a，得：4a＝2，解得：a＝，故f（x）＝＝，设∀x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，∵+＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，+∞）递增；（2）g（x）＝﹣x4．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道常规题．18．（12分）设全集为R，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，．（1）若a＝4，求A∩B，∁R（A∩B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的______条件，求实数a的取值范围．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件．这三个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题．【分析】（1）a＝4时，求出集合A，B，由此能求出A∩B和∁R（A∩B）．（2）选①，求出集合B，推导出A⊆B，当A＝∅时，a﹣1＞2a，当A≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．选②，求出集合B，推导出B⊆A，由此能求出实数a的取值范围．选③，求出集合B，推导出A＝B，无解．【解答】解：（1）∵a＝4时，A＝{x|3＜x＜8}，＝{x|≥0}＝{x|2＜x≤5}．∴A∩B＝{x|3＜x≤5}，∁R（A∩B）＝{x|x≤3或x＞3}．（2）选①，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，＝{x|2＜x≤5}．“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A⊆B，当A＝∅时，a﹣1＞2a，则a＜﹣1，当A≠∅时，，解得a∈∅．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．选②，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，＝{x|2＜x≤5}．“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，∴B⊆A，∴，解得＜a＜3．∴实数a的取值范围是（，3）．选③，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，＝{x|2＜x≤5}．“x∈A”是“x∈B”充要条件，∴A＝B，无解．故应该①或②，不应该选③．【点评】本题考查交集、补集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知f（x）＝2x2+（a﹣2）x+a．（1）若方程f（x）＝0在[﹣1，1]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a2．【分析】（1）利用方程的根与函数的关系，构造不等式即可；（2）由题意得关于x的一元二次不等式，然后通过分类讨论求解．【解答】解：（1）因为f（x）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，故，解得．所以实数a的取值范围为[0，6）．（2）不等式f（x）＜a2即2x2+（a﹣2）x+a﹣a2＜0，等价于，当，即a＝时，，显然无解；当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式的解集为（）．综上可知，a＝时，不等式无解；当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为（）．【点评】本题考查函数与方程之间的关系，一元二次不等式的解法．属于中档题．20．（12分）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD长为xm，试建立S与x的函数关系；（2）当x为何值时，S最小？并求这个最小值．【分析】（1）先设DQ＝y，又AD＝x，根据由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域得出y的函数表达式，最后建立建立S与x的函数关系即得；（2）利用基本不等式求出（1）中函数S的最小值，并求得当x取何值时，函数S的最小值即可．【解答】解：（1）设DQ＝y，又AD＝x，则x2+4xy＝200，∴（0＜x＜10），∴S＝4200x2+210•4xy+80•2y2＝（0＜x＜10）．（2），当且仅当，即时，S min＝118000元．【点评】本小题主要函数模型的选择与应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣|x|+2a﹣1（a＞0）．（1）请在如图所示的直角坐标系中作出a＝时f（x）的图象，并根据图象写出函数的单调区间；（2）设函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值为g（a）；①求g（a）的表达式；②若，求g（a）的最大值．【分析】（1）代入a的值，函数解析式即可求出，进而可以作出函数图象，单调区间即可求出；（2）①讨论对称轴与区间的三种位置关系，即可求解；②分析出函数g（a）在定义域上的单调性，即可求出最大值．【解答】解：（1）当a＝时，f（x）＝x2﹣|x|＝，函数f（x）的图象如图所示：增区间为（﹣1，0），（1，+∞），减区间为（﹣∞，﹣1），（0，1）；（2）①因为x∈[1，2]，所以f（x）＝ax2﹣x+2a﹣1，（a＞0），因为a＞0，所以f（x）＝a（x﹣）2+2a﹣﹣1，若＜1，即a＞时，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝3a﹣2；若1，即时，f（x）在[1，]上递减，在[]上递增，所以f（x）min＝f（）＝2a﹣﹣1；若＞2，即0＜a＜时，f（x）在[1，2]上单调递减，所以f（x）min＝f（2）＝6a﹣3，综上：g（a）＝，②a∈[]时，g（a）＝2a﹣，因为y＝2a，y＝﹣在[]上单调递增，所以g（a）＝2a﹣﹣1在[]单调递增，所以g（a）的最大值为g（）＝﹣．【点评】本题考查了分段函数的图象以及的单调性，考查了含参数二次函数闭区间上求最值的问题，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝．（1）若在[1，6]上∃x0，使得|f（x0）﹣6|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数g（x）＝|f（x）﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，求a的取值范围．【分析】（1）运用单调性的定义判断f（x）在（1，2）递减，（2，6）递增，求得f（x）在[1，6]的值域，|f（x）﹣6|的范围，由存在性可得a的范围；（2）可令t＝（t∈（0，1]），运用参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围；（3）求得x+∈[4，5]，讨论a≥5，4＜a＜5，a≤4，去绝对值，运用基本不等式，解方程可得所求范围．【解答】解：（1）设任意的x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣x2﹣＝，因为x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2﹣4＜0，x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＝＞0，所以f（x1）＞f（x2），即f（x）在[1，2]递减，同理可得f（x）在[2，6]递增，所以4≤f（x）≤，所以﹣2≤f（x）﹣6≤，即0≤|f（x）﹣6|≤2，因为∃x0，使得|f（x0）﹣6|≥a成立，可得a≤2；（2）设t＝（t∈（0，1]），由题意可得t+≥mt+16对t∈（0，1]恒成立，所以m≤（﹣+1）min，因为﹣+1＝4（﹣2）2﹣15，在t＝时有最小值﹣15，所以m≤﹣15；（3）因为x∈[1，4]，所以x+∈[4，5]，①当a≥5时，g（x）＝a﹣x﹣+a＝2a﹣x﹣≤2a﹣2＝2a﹣4，所以g（x）的最大值为2a﹣4＝5，即a＝（舍去）；②当a≤4时，g（x）＝x+﹣a+a＝x+≤5，此时命题成立；③当4＜a＜5时，g（x）max＝max{|4﹣a|+a，|5﹣a|+a}，则或，解得a＝或a＜．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，]．【点评】本题考查对勾函数的单调性的判断和运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。
江苏省苏州市2020-2021学年第一学期期中试卷高一数学(PDF,无答案)
A. p : x A, 2x B
B. p : x A, 2x B
C. p : x A, 2x B
D. p : x A, 2x B
4．已知函数 f x x 3x 7 x 2 ，则（
）
x2
A. f x 有最小值 1
B. f x 有最大值 1
C. f x 有最小值 3
D. f x 有最大值 3
, 2
12．已知
f
x
x 2, x 1
k x
k
2,
x
1
（常数
k
0
），则（
）
A.当 k 0 时， f x 在 R 上单调递减
B.当 k 1 时， f x 没有最小值
2
C.当 k 1 时， f x 的值域为 0,
D.当 k 3 时， x1 1,x2 1，有 f x1 f x2 0
9．已知集合U 1, 2,3, 4,5, 6 ，集合 M 3, 4,5 ， N 1, 2,5 ，则集合1, 2 可以表
示为（
A. M N
）
B. CU M N
C. CU N M
D. CU M N N
10．已知 a 0,b 0 ，则下列说法正确的有（
）
A.
a
1 b
1 a
C.若 a b 2 ，则 ab 1
5．“ x 2 ”的一个必要不充分条件是（
）
A. x 2
B. x2 2
C. 2x 4 0
D. x2 9
6．对于 x 2, 2，不等式 mx 2 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是（
）
A. m 9 4
B. m 2
C. m 0
D. m 4
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江苏省常熟市2020-2021学年高一上学期期中考试 数学 含答案
2021年1月2020－2021学年第一学期期中试卷高一数学2020.11注意事项答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含选择题(第1题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)。
本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将答题卷交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置。
3.请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效。
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损。
一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2<3}，则A∩B＝A.{0，1}B.{0，1，2}C.{x|0≤D.{x|0≤x2.命题“∀x∈[1，＋∞)，x2＋x≥2”的否定是A.∀x∈(－∞，1)，x2＋x<2B.∀x∈(－∞，1)，x2＋x≥2C.∃x∈[1，＋∞)，x2＋x<2D.∃x∈[1，＋∞)，x2＋x≥23.下列命题正确的是A.若a<b<0，则11a b< B.若a>b>0，则2211a b>C.若a>b，且11a b>，则ab<0 D.若a>b，c>d>0，则a bd c>4.已知函数f(x)＝()()x1x x0x1x x0+≥⎧⎪⎨-<⎪⎩，，，则不等式f(x－2)<f(4－x2)的解集是A.(－1，6)B.(－3，2)C.(－6，1)D.(－2，3)5.函数f(x)的单调递减区间是A.(－∞，－2]B.[－2，＋∞)C.[0，＋∞)D.(－∞，－4]6.“x是无理数”是“x2是无理数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若实数m 满足(m ＋1)－2<(2m －1)－2，则m 的取值范围是A.(0，2)B.(－∞，0)∪(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(0，12)(12，2) 8.两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定。
江苏省泰州中学2020-2021学年高一上学期第一次质量检测数学试卷 Word版含答案
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为资料分析笔记整理的全部内容。
注：资料封面，下载即可删除江苏省泰州中学高一年级第一次质量检测数学试卷一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.用“book ”中的字母构成的集合中元素个数为（ ） A.1B.2C.3D.42.二次函数2416y x =-的零点为（ ） A.()20±，B.2±C.()40±，D.4±3.能正确表示集合{|02}M x R x =∈≤≤和集合{}20|N x R x x =∈-=关系的Venn 图是（ ）A. B. C. D.4.命题“存在实数x ，使1x >”的否定是（ ） A.对任意实数x ，都有1x > B.存在实数x ，使1x ≤ C.不存在实数x ，使1x ≤ D.对任意实数x ，都有1x ≤5.“1a =”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A.11a b> B.22a b > C.a b >-D.11a b a>- 7.己知05x <<，()5y x x =-，则下列说法中正确的是（ ）A.y 的最大值为52 B .y 的最小值为52 C.y 的最大值为254D.y 的最小值为2548.若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是具有伙伴关系的集合.集合11,0,,2,52M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为（ ） A.1B.3C.7D.31二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.下列命题能表述“x R ∃∈，23x >”的有（ ） A.有一个x R ∈，使得23x >成立 B.对有些x R ∈， 使得23x >成立 C.任选一个x R ∈，都有23x >成立 D.至少有一个x R ∈，使得23x >成立10.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ） A.0a >B.0b >C.0c >D.0a b c -+>11.下列不等式中恒成立的是（ ） A.222(1)a b a b +--B.111a b ab + 4(5)x >-D.2ab ab a b+12.已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠，则下列说法中正确的是（ ） A.若不等式的解集为3{}2|x x x ->-或，则25k =-B.若不等式的解集为1R,x x x k ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭，则6k =C.若不等式的解集为R ，则k <D.若不等式的解集为∅，则k ≥三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13.已知12a ≤≤，36b ≤≤，则32a b -的取值范围是______.14.已知x R ∈，集合{}23,,1A x x =-+，{}23,21,1B x x x =--+，且{3}AB =-，则A B =______.15.下列所给的各组p ，q 中，p 是q 的充分条件的有______，p 是q 的必要条件的有______.（填序号） ①:R p x ∈，:N q x ∈；②p ：四边形是矩形，q ：四边形是正方形；③p ：方程()200ax bx c a ++=≠有两个不等的实数解，2:40q b ac ->；④:0p ab =，22:0q a b +=. 16.已知0x >，0y >，且3622x y+=.若247x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围为______. 四、解答题：共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.（10分）已知20p x ->:，:40q ax ->，其中a R ∈且0a ≠.（1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 18.（12分）解下列不等式： （1）251360x x +-< （2）21202x x -++< （3）5132x x +≤- （4）()()()12253x x x x --<-+19.设集合{}2320A x x x =-+=，(){}222(1)50B x x a x a =+++-=.（1）若{2}A B =，求实数a 的值；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围；20.（12分）给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要.请从中选择一个条件补充到下面的横线上.已知集合14{|}P x x =≤≤，1{}1|S x m x m =-≤<+，则x P ∈是x S ∈的条件.若存在实数m ，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.为了鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为10元/台，出厂价为12元/台，每月的销售量y （台）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数10500y x =+.（1）设他每月获得的利润为W 元，写出W 与X 之间的函数关系式.（2）根据相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得不少于3000元的利润，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?22.（12分）已知集合P 中的元素有()*3n n N ∈个且均为正整数，将集合P 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A ，B ，C ，即P AB C =，A B =∅，A C =∅，B C =∅，其中{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，{}12,,,n B b b b =⋅⋅⋅，{}12,,,n C c c c =⋅⋅⋅.若集合A ，B ，C 中元素满足12n c c c <<，k k k a b c +=，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称集合P 为“完美集合”，（1）若集合3{}12P =,,，1,23456{}Q =,,,,，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”?并说明理由. （2）若集合1356}4{P x =,,,,,为“完美集合”，求正整数x 的值.江苏省泰州中学高一年级第一次质量检测数学试卷（答案）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.用“book ”中的字母构成的集合中元素个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C2.二次函数2416y x =-的零点为（ ） A.()20±， B.2±C.()40±，D.4±【答案】B3.能正确表示集合{|02}M x R x =∈≤≤和集合{}20|N x R x x =∈-=关系的Venn 图是（ ）A. B. C. D.【答案】B4.命题“存在实数x ，使1x >”的否定是（ ） A.对任意实数x ，都有1x > B.存在实数x ，使1x ≤ C.不存在实数x ，使1x ≤ D.对任意实数x ，都有1x ≤ 【答案】D5.“1a =”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A提示 若方程x 的方程230x x a -+=有实数根，则940a ∆=-≥， 即94a ≤，所以“1a =”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的充分不必要条件 6.若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A.11a b> B.22a b > C.a b >-D.11a b a>- 【答案】D提示 因为0a b <<，所以0b ->，从而0a a b <-<，所以11a b a<-. 7.己知05x <<，()5y x x =-，则下列说法中正确的是（ ）A.y 的最大值为52 B .y 的最小值为52 C.y 的最大值为254D.y 的最小值为254【答案】C 8.若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是具有伙伴关系的集合.集合11,0,,2,52M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为（ ） A.1 B.3C.7D.31【答案】B提示 因为1M -∈，所以111M =-∈-；因为2M ∈，所以12M ∈. 因此，M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有{}1-，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭，11,,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.下列命题能表述“x R ∃∈，23x >”的有（ ） A.有一个x R ∈，使得23x >成立 B.对有些x R ∈， 使得23x >成立 C.任选一个x R ∈，都有23x >成立D.至少有一个x R ∈，使得23x >成立 【答案】ABD10.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ） A.0a > B.0b > C.0c >D.0a b c -+>【答案】BC11.下列不等式中恒成立的是（ ） A.222(1)a b a b +--B.111a b ab + 4(5)x >-D.2ab ab a b+【答案】ACD提示 对于A ，22222(1)(1)(1)0a b a b a b +---=-+-.对于B ，当0a <，0b <时，110a b +，10ab>.对于C 4=当且仅当1x =-时取“=”. 对于D ，当0a <，0b <时，0a b +<，左边0<，右边>0； 当0a >，0b >时，2a b ab +，所以2abab a b+.12.已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠，则下列说法中正确的是（ ） A.若不等式的解集为3{}2|x x x ->-或，则25k =-B.若不等式的解集为1R,x x x k ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭，则k =C.若不等式的解集为R ，则6k <-D.若不等式的解集为∅，则k ≥ 【答案】ACD三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13.已知12a ≤≤，36b ≤≤，则32a b -的取值范围是______.【答案】[90]-，14.已知x R ∈，集合{}23,,1A x x =-+，{}23,21,1B x x x =--+，且{3}A B =-，则A B =______.【答案】{0,1,2,3,4}AB =--.15.下列所给的各组p ，q 中，p 是q 的充分条件的有______，p 是q 的必要条件的有______.（填序号） ①:R p x ∈，:N q x ∈；②p ：四边形是矩形，q ：四边形是正方形；③p ：方程()200ax bx c a ++=≠有两个不等的实数解，2:40q b ac ->；④:0p ab =，22:0q a b +=. 【答案】.③ ①②③④ 16.已知0x >，0y >，且3622x y+=.若247x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围为______. 【答案】(,3)(4,)-∞+∞提示由题意及基本不等式可得136132414(4)12(121222222y x x y x y x y x y ⎫⎛⎫⎛+=++=++⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当32x =，6y =时取“=”，所以2127m m >-，解得4m >或3m <. 四、解答题：共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.（10分）已知20p x ->:，:40q ax ->，其中a R ∈且0a ≠.（1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【解析】设命题p 对应的集合为{}20|A x x =->，即{}|2A x x =>. 命题q 对应的集合为{}40B x ax =->.（1）因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB ，即0,42,a a>⎧⎪⎨<⎪⎩，解得2a >，故实数a 的取值范围为(2)+∞，（2）因为p 是q 的必要不充分条件，所以BA .①当0a >时，由B A ，得42a>，解得02a <<； ②当0a <时，显然不满足题意. 综上，实数a 的取值范围为(0)2，. 18.（12分）解下列不等式： （1）251360x x +-< （2）21202x x -++< （3）5132x x +≤- （4）()()()12253x x x x --<-+解：（1）23,5⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）x <x > （3）[)13,3-（4）1x ≠19.设集合{}2320A x x x =-+=，(){}222(1)50B x x a x a =+++-=.（1）若{2}A B =，求实数a 的值；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围；解：∵2320x x -+=，∴1x =或2x =，故集合2{}1,A =. （1）∵{2}AB =，∴2B ∈，代入B 中的方程，得24301a a a ++=⇒=-或3a =-.当1a =-时，2{}2B =-,，满足条件； 当3a =-时，{}2B =，满足条件. 综上，实数a 的值为-1或-3.（2）对于集合B ，()224(1)458(3)a a a ∆=+--=+. ∵AB A =，∴A B ⊆①当0∆<，即3a <-时，B =∅，满足条件； ②当0∆=，即3a =-时，{}2B =，满足条件； ③当0∆>，即3a >-时，{}12B A ==,才能满足条件， 则由根与系数的关系，得2122(a 1)12a 5+=-+⎧⎨⨯=-⎩，解得25,27,a a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩矛盾. 综上，实数a 的取值范围是{}3a a -.20.（12分）给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要.请从中选择一个条件补充到下面的横线上.已知集合14{|}P x x =≤≤，1{}1|S x m x m =-≤<+，则x P ∈是x S ∈的条件.若存在实数m ，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】：若选择①，即x P ∈是x S ∈的充分不必要条件，则PS 则S ≠∅，即11m m -≤+，解得0m ≥，且11,14,m m -≤⎧⎨+≥⎩两个等号不同时成立，解得3m ≥，故3m ≥，即实数m 的取值范围是[3,)+∞. 若选择②，即x P ∈是x S ∈的必要不充分条件，则S P .当S ≠∅时，11m m ->+，解得0m <. 当S ≠∅时，11m m -≤+，解得0m ≥，且11,14,m m -≥⎧⎨+≤⎩两个等号不同时成立，解得0m ≤，所以0m =. 综上，实数m 的取值范围是(],0-∞.若选择③，即x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =，即11,14,m m -=⎧⎨+=⎩此方程组无解，则不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件21.为了鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为10元/台，出厂价为12元/台，每月的销售量y （台）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数10500y x =+.（1）设他每月获得的利润为W 元，写出W 与X 之间的函数关系式.（2）根据相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得不少于3000元的利润，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?【解析】：（1）依题意可知每台的销售利润为()10x -元，每月的销售量为()10500x -+台，所以每月获得的利润W 与销售单价X 之间的函数关系式为()()1010500W x x =--+.（2）由每月获得不少于3000元的利润，得()()10105003000x x --+≥，化简得2608000x x -+≤，解得2040x ≤≤.又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以2025x ≤≤.设政府每个月为他承担的总差价为p 元，则()()121010*********p x x =-⋅-+=-+.由2025x ≤≤，得500201000600x ≤-+≤.故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为]500[600,元22.（12分）已知集合P 中的元素有()*3n n N ∈个且均为正整数，将集合P 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A ，B ，C ，即P A B C =，A B =∅，A C =∅，B C =∅，其中{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，{}12,,,n B b b b =⋅⋅⋅，{}12,,,n C c c c =⋅⋅⋅.若集合A ，B ，C 中元素满足12n c c c <<， k k k a b c +=，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称集合P 为“完美集合”，（1）若集合3{}12P =,,，1,23456{}Q =,,,,，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”?并说明理由.（2）若集合1356}4{P x =,,,,,为“完美集合”，求正整数x 的值. 【解析】：（1）对于集合3{}12P =,,，取{}1A =，{}2B =，{}3C =，满足P A B C =，A B =∅，A C =∅，B C =∅，且111a b c +=，所以集合P 为“完美集合”.若1,23456{}Q =,,,,为“完美集合”，则存在A ，B ，C ， 使得Q A B C =，A B =∅，A C =∅，B C =∅.设A 中各元素的和为M ，B 中各元素的和为N ，C 中各元素的和为L ，则12345621M A L ++=+++++=且M A L +=，所以212L =，它不是整数， 故Q 不是“完美集合”.（2）因为1356}4{P x =,,,,,为“完美集合”，由（1）可知7x ≥. 根据定义可知n c 为P 中的最大元素，故2c x =.又C 中各元素的和为134561922x x L ++++++==，所以C 的另一个元素为192x -， 它是1，3，4，5，6中的某个数，所以x 的值可能为17，13，11，9，7.当7x =时，}7{6C =,，}3{1A =,，}4{5B =,，满足定义要求：当9x =时，}9{5C =,，}3{1A =,，}6{4B =,，满足定义要求；当11x =时，11{4}C =,，}5{1A =,，}6{3B =,，满足定义要求；当13x =或17x =时，13{3}C =,或17{1}C =,，3和1没办法写成两个元素的和， 故不满足定义要求.综上，x 的值为7，9，11。
江苏省苏州市2020-2021学年高一上学期期中数学试题 含答案
f
(x)
=
k x
+
k
+
2,
x
，（常数
1
k
0
），则（
）
A．当 k 0 时， f (x) 在 R 上单调递减
B．当 k − 1 时， f (x) 没有最小值 2
C．当 k = −1时， f (x) 的值域为 (0, +)
D．当 k = −3时， x1 1， x2 1 ，有 f (x1) + f (x2 ) = 0
f (x) 在[3, +) 上单调递增， f (x) 为奇函数，
( ) ( ) 又因为 f 3x2 + f (3x) 0 ，所以 f 3x2 f (−3x) ， ( ) 当 x 0 时， f 3x2 0 ， f (−3x) 0 ，与上式矛盾，舍去；
当 x = −1时，成立；
7
( ) 当 x −1时， 3x2 −3x 3，则 f 3x2 f (−3x) ，矛盾，舍去； ( ) 当 −1 x 0 时， 0 3x2 −3x 3 ，则 f 3x2 f (−3x) ，矛盾，舍去．
（2）因为
a2
−
(a
−1)
=
a
−
1 2
2
+
3 4
0
，所以
B
，
因为 A B = ，所以 a −1 5 或 a2 1，
解得 a [−1,1][6, +) ．
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）因为 ab
=
1 c2
0 ， a + b = −c 0 ，
所以 a 0 ， b 0 ，
所以 (−a) + (−b) 2 (−a)(−b) ，当且仅当 a = b 所以 a + b −2 ab ．
江苏省2020-2021学年高一上学期数学期中试题汇编04：函数的概念与性质【填选题】(答案版)
8.（江苏省南京市第十二中学2020-2021学年上学期期中4）下面各组函数中表示同个函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】对于A， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域都为 ，定义域相同， ，所以这两个函数是同一函数；
A.0B.2
C.4D.-2
【答案】B
【解析】取 ，则 ，
因为函数为奇函数，则 ， 即 ，
整理可得 ，即 .故选：B
10.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中4）已知函数 ，若 ＝10，则实数a的值为（）
A 5B.9C.10D.11
【答案】B
【解析】由 ，令 ，则 .
因为 ，所以a=9.故选：B
A．－4 B．5 C．14 D．23
【答案】C
【解析】由题意可设 ，则当 时， 单调，且 ≥0恒成立，因为 的对称轴方程为 ，则 或 ，解得6≤a≤17或－3≤a≤－2，即 ，则只有14满足题意，故答案选C.
23.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中6）已知 是偶函数，且其定义域为 ，则 的值是（）
【答案】C
【解析】满足条件的函数的定义域为 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个.故选：C.
18.（江苏省南京市南师附中2020-2021学年上学期期中5）函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
19.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中5）已知函数 的值域是（）
C.[－4，－1]∪[0，2]D.(－∞，－1]∪[0，2]
2021年高一下学期期中考试数学试卷+答案
2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测时间：120分钟 总分：150分注意事项：2021.41．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b2. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤12，3B. ⎝⎛⎦⎤－∞，43C. [3，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 3. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3 B. 2213 C ．3 2 D. 3524. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423－1，第19个梅森素数为Q ＝24253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为（参考数据：lg 2≈0.3）( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．10595. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c －12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 332B. 3 C ．4 D ．6 6. 欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，e πie π4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线8. 定义在R 上的偶函数f (x )对任意实数都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1，3]时，f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，则函数g (x )＝5f (x )－|x |的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。