折纸几何公理
kawasaki定理 折纸
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川崎定理和折纸的交汇点
川崎定理是几何学中的一条定理，揭示了平面几何图形的面积
和周长之间的关系。
它指出：在任何多边形中，面积与周长之比等
于或小于4。
而折纸是一种通过折叠和塑形纸张来创造各种形状的艺术形式。
这种古老的技术为川崎定理的应用提供了丰富的平台。
折纸中的面积和周长
折纸作品的面积和周长都是可以通过测量得到的。
面积可以通
过公式计算，周长可以通过测量其边界长度得到。
巧妙的折纸技巧
可以用来创造出不同面积和周长比的形状。
利用川崎定理
川崎定理可以用来分析折纸作品中面积和周长之间的关系。
通
过将作品划分为多边形，可以计算每个多边形的面积和周长。
然后，
可以将这些比率与川崎定理进行比较。
优化折纸设计
川崎定理还可以用来优化折纸设计。
通过了解面积和周长之间
的关系，折纸艺术家可以创造出具有特定形状和比例的作品。
例如，如果需要一个面积大、周长小的作品，就可以使用折叠技术来创建
多边形，其面积和周长之比接近4。
折纸中的实际应用
川崎定理在折纸的实际应用中也很有价值。
例如：
纸飞机设计：优化飞机的面积和周长可以提高其效率和飞行距离。
建筑设计：折纸技术可以用来设计轻质、节能的结构。
包装设计：折纸可以用来创造紧凑且高效的包装解决方案。
结论
川崎定理和折纸之间的交汇点为探索几何形状、优化设计和解决实际问题提供了令人着迷的机会。
通过理解多边形面积和周长之间的关系，折纸艺术家可以创造出更复杂、更实用的作品。
折纸这是个数学问题
折纸这是个数学问题没有3D打印机怎么办？其实只用一张纸，也能创造大千世界——大家还记得以前大脸兔介绍过的折纸达人刘通吗？区区一张方形纸，不剪不裁不拼贴，却能被他折出万千造型。
他是怎么做到的？如果栗子君说是“算”出来的，你信吗？强大的折纸几何学拆开一件折纸作品，将其还原为一张纸，可以看到纸上布满一条条折痕，构成许多几何图形。
这其中蕴含着大量数学概念和原理，例如你学过的相似、轴对称、点对称、全等、比例，以及将来可能要学的迭代、递归等等。
据说在8世纪中期，阿拉伯人就懂得运用几何知识来折纸，同时他们也用折纸来研究几何问题。
到19世纪，欧洲人也开始将折纸用于数学和科学研究。
折着折着，人们发现，折纸能解决的数学问题比想象的多得多。
在几何作图方面，折纸甚至能甩尺规作图几条街，许多任务，比如作正七边形、三等分任意角、求2的立方根等，尺规作图没法完成的，折纸都能搞定。
至于将一张纸等分成13、15、17……份，对刘通这样的折纸玩家来说，不过是基础的入门技能。
这还不算，还有更猛的——跟刘通同为世界顶级折纸大师的美国大叔罗伯特·朗，竟然开发出两个折纸软件TreeMake和ReferenceFinder。
依靠7條折纸公理，这两个软件可以计算出用户想要的任何造型的折痕展开图，以及正确的折叠顺序！什么公理这么逆天？不用说，它就是咱们今天的教学重点——藤田—羽鸟公理中国人发明的折纸，自隋朝传入日本后就立刻受到热烈追捧，最后还成了日本的国粹。
上世纪70年代，日本人又把眼光投向了折纸中的数理问题，掀起一股经久不衰的研究热潮。
其中影响最深远的成果，大概就是“藤田—羽鸟公理”。
这一组公理共7条，其中6条由日裔意大利数学家藤田文章于1991年提出。
藤田指出了折纸过程中的6种基本操作，用来定义纸张如何折叠。
10年后，另一位数学家羽鸟公士郎又补充了一种操作。
于是这7种操作被合称为“藤田—羽鸟公理”。
经罗伯特·朗证明，它们涵盖了折纸过程中的全部折法。
在折纸设计中合理运用几何形状的技巧与策略
在折纸设计中合理运用几何形状的技巧与策略在折纸设计中，合理运用几何形状的技巧与策略，可以创造出令人惊叹的艺术作品。
折纸作为一种古老而又独特的手工艺，不仅仅是简单的纸张折叠，更是一种结合了几何学原理和创意的艺术形式。
通过合理运用几何形状的技巧与策略，折纸设计师可以创造出各种各样的立体造型，展现出纸张的无限可能性。
首先，几何形状是折纸设计的基础。
折纸作品通常由多个几何形状组成，如正方形、长方形、三角形等。
设计师需要熟悉各种几何形状的特点和属性，以便能够合理地运用它们。
例如，正方形是最常见的折纸形状，可以用来制作盒子、立方体等立体结构；而三角形则可以用来制作各种锐角或钝角的形状。
通过灵活运用这些几何形状，设计师可以创造出各种独特而又美观的折纸作品。
其次，几何形状的组合和变化是折纸设计的关键。
在设计折纸作品时，设计师需要将不同的几何形状进行组合和变化，以创造出丰富多样的效果。
例如，通过将多个正方形叠加在一起，可以制作出层叠感强烈的折纸作品；而通过将多个三角形组合在一起，可以制作出各种有趣的造型。
设计师还可以通过改变几何形状的大小、角度和位置等来创造出更加复杂的效果。
通过合理运用几何形状的组合和变化，折纸设计师可以创造出独一无二的作品。
另外，几何形状的对称和平衡是折纸设计的重要原则。
在折纸设计中，对称和平衡是美的表现形式之一。
通过合理运用几何形状的对称和平衡，可以使折纸作品更加稳定和美观。
例如，通过将几何形状按照一定的对称方式折叠，可以使作品呈现出和谐的整体效果；而通过将几何形状的重心放置在合适的位置，可以使作品更加稳定。
设计师还可以通过调整几何形状的大小和角度等来实现对称和平衡的效果。
通过合理运用几何形状的对称和平衡，折纸设计师可以创造出具有美感和艺术性的作品。
此外，几何形状的变形和拓展是折纸设计的创新之道。
在传统的折纸设计中，几何形状通常是固定的，但是设计师可以通过对几何形状进行变形和拓展，来创造出更加独特和创新的作品。
折纸的数学原理
折纸的数学原理
折纸的数学原理是一种叫做“几何变换”的概念，它涉及将某种几何形状从一个状态转换到另一个状态的过程。
折纸是将原来平面上的一个形状变换到另一个形状的过程，而这个过程可以用数学来描述。
折纸的数学原理可以归纳为三个步骤：
1. 将要折叠的平面图形投影到另一个平面上，这个平面被称为“折叠平面”。
2. 在折叠平面上标出折痕的位置，这些折痕的位置称为“折痕线”。
3. 将折叠平面上的折痕线投影到原来的平面上，这样就可以得到折叠后的图形。
折纸的数学原理可以用来解决许多复杂的几何问题，例如折叠一个形状使其与另一个形状重合，或者折叠一个形状使其与另一个形状的一部分重合等等。
折纸船的数学原理
折纸船的数学原理
折纸船的数学原理涉及到几何学和力学。
以下是折纸船的数学原理的介绍：
1. 几何学原理：折纸船的形状通常是由一张平面纸通过折叠而成。
折叠纸的行为涉及到几何学中的折叠技巧和角度计算。
根据纸张的形状和折叠方式，可以得到不同形状和类型的折纸船。
2. 力学原理：纸张本身是柔软的，但当纸张被折叠成船的形状时，它具有刚性和稳定性。
这是因为折纸船中的折痕和形状使得纸张的某些部位受到压缩或张力，并发挥了一定的支撑作用。
3. 浮力原理：纸张折叠成船的形状后，船的底部形成了一个封闭的凹面，这个凹面可以在水中产生浮力。
根据阿基米德定律，浸泡在液体中的物体受到的浮力等于其排开的液体的重量。
当船的底部封闭凹面与水接触时，浮力会支持船体，使其在水中浮起。
总结来说，折纸船的数学原理主要包括几何学中的折叠技巧和角度计算，力学中的稳定性和浮力原理。
这些原理使得纸张能够被折叠成具有形状稳定性和浮力的船形，让折纸船在水中浮起。
图形推理之折纸盒秘籍
【分享】立方体折叠专题一一.判断给定的平面图形是否属正方体表面展开图1．最长的一行（或列）在中间，可为2、3、4个，超过4•个或长行不在中间的不是正方体表面展开图．2．在每一行（或列）的两旁，每旁只能有1个正方形与其相连，超过1个就不是．3．规律：①每一个顶点至多有3个邻面，不会有4个或更多个．②“一”形排列的三个面中，两端的面一定是对面，字母相同．③“L”形排列的三个面中，没有相同的字母，即没有对面，只有邻面．二.快速确定正方体的“对面” 口诀是：相间、“Z”端是对面如下图，我们先来统一以下认识：把含有图（1）所示或可由其作旋转后的图形统称为“I”型图；把所给平面图中含有（2）、（3）、（4）所示或可由其作旋转后的图形统称为“Z ”型图。
结论：如果给定的平面图形能折叠成一个正方体，那么在这个平面图形中所含的“I”型图或“Z”型图两端的正方形（阴影部分）必为折成正方体后的对面。
应用上面的结论，我们可以迅速地确定出正方体的“对面”。
例1．如图，一个正方体的每个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“超”相对的字是．分析：自—信—沉—着—超，构成了竖着的Z字型，所以“自”与“超”对应，故应填“自”．三. 间二、拐角邻面知中间隔着两个小正方形或拐角型的三个面是正方体的邻面．例2.如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（）分析：我们把画有圆的一面记为a面，正方形阴影面记为b面，三角形阴影面记为c 面．在选项A中，由Z字型结构知b与c对面，与已知正方体bc相邻不符，应排除；在选项B中，b面与c面隔着a面，b面与c面是对面，也应排除；在选项D中，虽然a、b、c三面成拐角型，是正方体的三个邻面，b面作为上面，a面为正面，则c面应在正方体的左面，与原图不符，应排除，故应选（C）．四. 正方体展开图：相对的两个面涂上相同颜色五. 找正方体相邻或相对的面1．从展开图找．（1）正方体中相邻的面，在展开图中有公共边或公共顶点．如，•或在正方形长链中相隔两个正方形．如中A与D．（2）在正方体中相对的面，在展开图中同行（或列）中，中间隔一个正方形．如ABCD中，A与C，B与D，或和中间一行（或列）•均相连的两正方形亦相对．例1 右图中哪两个字所在的正方形，在正方体中是相对的面．解“祝”与“似”，“你”和“程”，“前”和“锦”相对．例2在A、B、C内分别填上适当的数．使得它们折成正方体后，对面上的数互为倒数，则填入正方形A、B、C•的三数依次是：（A）12，13，1 （B）13，12，1（C）1，12，13（D）12，1，13分析A与2，B与3中间都隔一个正方形，C与1分处正方形链两边且与其相连，选（A）．例3 在A、B、C内分别填上适当的数，使它们折成正方体后，对面上的数互为相反数．分析A与0，B与2，C和-1都分处正方形链两侧且与其相连，∴A─0，B─-2，C─1．例4 找出折成正方体后相对的面．解A和C，D和F，B和E是相对的面．2．从立体图找．例5 正方体有三种不同放置方式，问下底面各是几？分析先找相邻的面，余下就是相对的面．上图出现最多的是3，和3相连的有2、4、5、6，余下的1就和3相对．再看6，•和6相邻的有2、3、4，和3相对的是1，必和6相邻，故6和5相对，余下是4和2相对，•下底面依次是2、5、1．例6由下图找出三组相对的面．分析和2相连的是1、3、5、6，相对的是4，和3相连的是2、4、5、6，相对的是1，和6相连的是1、2、3、4，相对的是5．五. 由带标志的正方体图去判断是否属于它的展开图例7 如下图，正方体三个侧面分别画有不同图案，它的展开图可以是（）．分析基本方法是先看上下，后定左右，图A图B都是□和+两个面相对，不合题意，图C“□”和“○”之上，从立体图看“＋”在右，符合要求．图D•“□”和“＋”之上，“○”在右，而立体图“○”应在左，不合要求，故选（C）．例8 下面各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，•则其中两个正方体各面图案完全一样，它们是（）．分析首先找出上下两底，（1）是+和*，（2）是+和*，（3）（4）都是□和×，排除（1）（2），再检查侧面，（3）（4）顺序相同，所以选（3）（4）．【分享】立方体折叠专题二专题一的知识主要是介绍了如何寻找各种正方体及其展开图的对面。
折纸中的数学原理
折纸中的数学原理Origami is an ancient Japanese art form that involves folding paper into intricate and often beautiful shapes. It is often thought of as a decorative craft, but the act of folding paper also involves a number of mathematical principles. In fact, the mathematics of origami goes far beyond simple geometry and can be quite complex.折纸是一种古老的日本艺术形式，涉及将纸张折叠成复杂而美丽的形状。
人们通常把它看作一种装饰性的手工艺，但折纸的这一行为涉及到许多数学原理。
实际上，折纸的数学远远超出简单的几何学，并且可能相当复杂。
One of the fundamental mathematical principles at play in origami is geometry. The very act of folding paper involves the manipulation of shapes and angles, requiring an understanding of geometric concepts such as symmetry, proportion, and the properties of different shapes. By using these principles, origami artists are able to create intricate designs that are not only visually stunning, but also mathematically precise.折纸中起作用的一个基本数学原理是几何学。
折纸 米仓定理
折纸米仓定理
米仓定理（Miquel's Theorem）是折纸术中的一个重要定理，用于解决折纸问题。
这个定理得名于法国数学家和物理学家奥古斯丁·米奎尔（Augustin-Louis Cauchy Miquel），他于1836年首次提出。
米仓定理的描述如下：
定理：对于给定的三个不相交圆（或弧）和一个交点，连接每个圆的两个切点，那么这三条切线交于一点。
这个定理可以用于折纸术中，特别是当你要将纸折叠成特定图案时。
通过米仓定理，你可以确定在折叠特定图案时，各部分的切线交点位置，从而更容易实现所需的折叠。
米仓定理是折纸术中的一个有用工具，用于解决复杂的折叠问题，特别是涉及多个圆或曲线的情况。
它有助于折纸爱好者和数学家在设计和解决折纸问题时更好地理解图形和几何关系。
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折纸几何公理
本操作，也叫做折纸几何公理。
假定所有折纸操作均在理想的平面上实行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作：
1. 已知 A 、 B 两点，能够折出一条经过 A 、 B 的折痕
2. 已知 A 、 B 两点，能够把点 A 折到点 B 上去
3. 已知 a 、 b 两条直线，能够把直线 a 折到直线 b 上去
4. 已知点 A 和直线 a ，能够沿着一条过 A 点的折痕，把 a 折到自身上
5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ，能够沿着一条过 B 点的折痕，把 A 折到 a 上
6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线，能够把 A 、 B 分别折到 a 、 b 上
容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。
例如，操作1 实际上相当于连接已知两点，操作2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作4 则相当于过已知点作已知线的垂线。
真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作不出来的）。
正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。
更有趣的是，操作5 的解很可能不止一个。
在绝大部分情况下，过一个点有两条能把点A 折到直线a 上的折痕。
操作6 则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多能够有三个解！
一组限定条件能同时产生三个解，这让操作6 变得无比灵活，无比强大。
利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作6 有三种解的根本原因：满足要求的折痕是一个三次方程的解。
也就是说，给出两个已知点和两条对应的已知线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三次方程！
尺规作图到底局限在哪里
相比于折纸的几何操作，尺规作图就显得有些不够“强大”了。
不妨让我们先来回顾一下尺规作图里的五个基本操作：
过已知两点作直线
给定圆心和圆周上一点作圆
寻找直线与直线的交点
寻找圆与直线的交点
寻找圆与圆的交点
这5项操作看上去变化多端，但前3项操作都是唯一解，后两项操作最多也只能产生两个解。
从这个角度来看，尺规作图最多只能解决二次问题，加减乘除和持续开方就已经是尺规作图的极限了。
能解决三次问题的折纸规则，势必比尺规作图更增强大。
正因为如此，一些尺规作图无法完成的任务，在折纸几何中却能办到。
比如折纸法能够实现作正七边形，而这是无法用尺规作图办到的。
我们有更简单的例子来说明，用折纸法能完成尺规作图办不到的事情。
“倍立方体”问题是古希腊三大尺规作图难题之一，它要求把立方体的体积扩大到原来的两倍，本质上是求作2 的立方根。
因为尺规作图最多只能开平方，因而它无法完成“倍立方体”的任务。
但是，折纸公理6 相当于解三次方程，解决“倍立方体”难题似乎是游刃有余。
有意思的是，用纸片折出2 的立方根比想象中的更加简单。
取一张正方形纸片，将它横着划分成三等份（方法有很多，大家不妨自己想想）。
然后，将右边界中下面那个三等分点折到正方形内上面那条三等分线上，同时将纸片的右下角顶点折到正方形的左边界。
那么，纸片的左边界就被分成了3√2 ：1 两段。
利用勾股定理和相似三角形建立各线段长度的关系，我们不难证明它的准确性。
强烈建议大家自己动笔算一算，来看看三次方程是如何产生的。
第7个折纸公理
本文写到这里，大家或许以为故事就结束了吧。
10 年以后也就是2001 年，事情又有了
转折：数学家羽鳥公士郎（Koshiro Hatori）发现，上述的6 个折纸公理并不是完整的。
他给出了折纸的第7 个定理。
从形式上看，第7 公理与已有的公理如出一辙，并不出人
意料，很难想象这个公理整整十年里竟然一直没被发现。
继续阅读之前，大家不妨先自己想
想，这个缺失的操作是什么。
这段历史背景无疑让它成为了一个非常有趣的思考题。
补充的公理是：
7. 已知点 A 和 a 、 b 两直线，能够沿着一条垂直于 b 的折痕，把 A 折到 a 上。
后来，这7 条公理就合称为了藤田－羽鳥公理（Huzita–Hatori 公理），你能够在维基
百科上读到这个条目。
在2003 年的一篇文章中，世界顶级折纸艺术家罗伯特•朗
（Robert J. Lang ）对这些公理实行了一番整理和分析，证明了这7 条公理已经包含折纸
几何中的全部操作了。
看，艺术家都是先搞数学的！
罗伯特•朗注意到，上述7 项基本操作其实是由一些更基本的操作要素组合而成的，例如“把
已知点折到已知线上”、“折痕经过已知点”等等。
说得更贴切一些，这些更加基本的操作
要素其实是对折痕的“限制条件”。
在平面直角坐标系中，折痕完全由斜率和截距确定，它
等价于一个包含两个变量的方程。
不同的折叠要素对折痕的限制力是不同的，例如“把已知
点折到已知点上”就同时要求x1' = x2 并且y1' = y2 ，能够建立出两个等量关系，一下子就把折痕的两个变量都限制住了。
而“折痕经过已知点”则只能列出一个方程，只能确定一个变量（形式上通常表示为与另一个变量的关系），把折痕的活动范围限制在一个维度里。
不难总结出，基本的折叠限制要素共有5 个：
(1) 把已知点折到已知点上，确定 2 个变量
(2) 把已知点折到已知线上，确定 1 个变量
(3) 把已知线折到已知线上，确定 2 个变量
(4) 把已知线折到自身上，确定 1 个变量
(5) 折痕经过已知点，确定 1 个变量
而折痕本身有2 个待确定的变量，所以符合要求的折纸操作只有这么几种：(1) ，(2) + (2) ，(3) ，(4) + (4) ，(5) + (5) ，(2)+(4) ，(2) + (5) ，(4) + (5) 。
但是，这里面有一种组合需要排除掉：(4) + (4) 。
在绝绝大部分情况下，(4) + (4) 实际上都是不可能实现的。
如果给出的两条直线不平行，我们无法折叠纸张使得它们都与自身重合，因为没有同时垂直于它们的直线。
另外7 种则正好对应了前面7 个公理，既无重合，又无遗漏。
折纸几何至此便有了一套完整的公理。
不过，折纸的学问远远没有到此结束。
如果允许单次操作同时包含多处折叠，折纸公理将会更复杂，更强大。
折纸的极限究竟在哪里，这无疑是一个非常激动人心的话题。
在这里，简单展示几个折纸几何学的例子，分别是三等分角、黄金比例和正六边形。
图片由果壳美术设计师V晶V制作。