微积分第三章五节 函数的极值与最大值与最小值.
高等数学 函数的极值与最大值、最小值
解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
2009年7月3日星期五
21
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（2） 利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本 例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
2009年7月3日星期五
17
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例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．
3.5 函数的极值与最大最小定理详解
y
如, y 3 x2 , x 0 是极小值点.
y 3 x2
但 y 3 x2 在x 0不可导.
O•
x
怎样从驻点与导数不存在的点中判断一点
是不是极值点
几何上, 若 x0 是连续函数 f(x) 单增、 单减的分界点, 则 x0必为极值点.
5
函数的极值与最大值最大值
3. 极值的充分条件
极值的一阶充分条件
y
•
y
•
O
x0
x
O
x0
x
6
函数的极值与最大值最大值
y
•
y • 不是极值点
O
x0
xO
x0
x
一般求极值的步骤
(1) 求导数; (2) 求驻点与不可导点; (3) 求相应区间的导数符号,判别增减性; (4) 求极值.
7
函数的极值与最大值最大值
2
例 求 f ( x) ( x 1)3( x 1)3 的极值及单调区间.
定理2(第一充分条件) 设f ( x)在x0点连续,且在 o
x0的某去心邻域U ( x0, )内可导.
(1)若当x ( x0 , x0 )时, f ( x) 0( 0); 当x ( x0 , x0 )时, f ( x) 0 ( 0), 则
f ( x0 )为极大值 (极小值);
(2)若f ( x)在x0附近不变号,则 f ( x0 ) 不是极值.
解
令
y 1 1 0, 2 1 x
得
驻点x1
3 4
又可得点 x2 1 [5,1], 它也是区间的端点 .
由于
f (5) 5 6,fFra bibliotek3 ()
5 ,
f (1) 1,
经济学专业数学函数的极值与最大值、最小值配套课件
说明：
由定理 1 可知： 1、 可导函数的极值点必为驻点。 2、 函数的驻点（Stagnation Point）不一定为极值 点. 3、 驻点和导数不存在的点是函数可能的极值 点。
下面给出判断极值点的两种不同方法.
2017年4月14日星期五
4
3.第一充分条件
（The First Sufficient Condition）
2017年4月14日星期五 10
4.第二充分条件
（The Second Sufficient Condition
定理 3（第二充分条件） 设函数 f ( x) 在点 x0 处具有 二阶导数，并且 f ( x0 ) 0 ， f ( x0 ) 0 ．则
（1）若当 f ( x0 ) 0 时，函数 f ( x) 在点 x0 处取得极大值；
（2）若当 f ( x0 ) 0 时，函数 f ( x) 在点 x0 处取得极小值；
注 1：本定理可利用极限的保号性加以证明；
注 2：当 f ( x0 ) 0 时，本定理失效！
例如，函数 f ( x) x3 时，本定理失效！
2017年4月14日星期五 11
解题步骤：
（1）求出 f ( x), 并求出 f ( x) 全部驻点；
2017年4月14日星期五 15
3 2 例 4 求函数 y x x 6 x 2 在闭区间 [2, 1] 的最 2 大值与最小值.
3
函数的导数为 y 3x2 3x 6 3( x 2)( x 1) ， 令 y 0 ， 在 闭 区 间 [2, 1] 内 ， 函 数 的 驻 点 为 ： x1 1 ，函数无不可导点 . 3 3 当 x 2 时， y (2) (2) 2 6 (2) 2 4; 2 3 3 3 2 当 x 1 时， y (1) (1) 6 (1) 2 ; 2 2
函数极值知识点总结
函数极值知识点总结一、函数极值的定义函数的极值包括最大值和最小值两种情况。
如果一个函数在某一点的函数值大于这一点邻近的函数值，那么这一点就是函数的极大值点；如果一个函数在某一点的函数值小于这一点邻近的函数值，那么这一点就是函数的极小值点。
二、函数极值的求解方法1. 求导数要确定一个函数的极值，最常用的方法是求导数。
利用导数求函数的极值，可以分为以下几个步骤：（1）求出函数的导数；（2）令函数的导数等于零，解出函数的驻点；（3）利用二阶导数的符号来判定这些驻点是极大值点还是极小值点。
2. 利用导数的性质在求函数的极值时，还可以利用导数的性质，即函数在极值点处的导数为零。
通过这一性质，可以帮助我们求出函数的极值点。
三、解决函数极值问题的常用方法1. 一元函数的极值对于一元函数来说，我们可以通过求导数的方法，根据导数的零点和符号来求函数的极值点，进而求出函数的极值。
同时，也可以利用函数的单调性来判定函数的极值点。
2. 二元函数的极值对于二元函数而言，函数的极值点可以通过偏导数的方法来求解。
通过求出函数的偏导数，并令偏导数等于零，可以求得函数的驻点，从而判定函数的极值。
3. 隐函数的极值当函数以隐式形式给出时，我们可以通过求导的方法来求解函数的极值。
需要注意的是，在求导的过程中，要将变量视为函数，将未知的函数视为自变量，从而利用导数的性质和求导法则来求解隐函数的极值。
四、函数极值的应用函数的极值在数学中有着广泛的应用，其中包括最优化问题和微积分问题等。
1. 最优化问题在经济学、物理学、工程学等领域中，最优化问题是十分常见的。
对于一个最优化问题来说，往往需要求解一个函数的最大值或最小值，而函数的极值就提供了一个很好的解决方法。
2. 微积分问题在微积分中，函数的极值也有着重要的应用。
对于曲线的凹凸性、函数的单调性等问题，都离不开函数的极值。
因此，深入理解函数的极值知识，可以对解决微积分问题有着重要的帮助。
五、函数极值问题的深入研究除了常见的函数极值概念和求解方法外，函数极值问题还有着许多深入的研究方向。
函数的极值与最值的区别
函数的极值与最值的区别一、前言二、函数的极值函数的极值是指函数在一定区间内取得的最大值或最小值。
根据函数的定义，可以得出一个结论：如果函数在某一点的导数等于0，那么这一点可能成为函数的极值点。
换句话说，在一个函数图像中，函数的极值往往出现在函数图像上呈现出拐点的位置。
回到导数的定义上，导数表示函数随着自变量变化而变化的速率。
在一个函数图像上，如果某一点的导数为0，那么这一点就是函数的极值点。
如果导数为正，那么这一点就是函数的局部最小值，如果导数为负，则是函数的局部最大值。
这种情况通常要注意函数的定义域和值域，还要注意函数的单调性。
函数的最值是指函数在定义域内能够取到的最大值和最小值，包括局部最值和全局最值。
与函数的极值不同的是，函数的最值并不要求函数在某个点的导数等于0，而是所有可能点的函数值的极值。
在数学中，一个函数的最值可以通过指定函数的定义域并计算所有在该定义域内的函数值进行比较而得出。
比如说，对于 +x^2+3x+4 这个函数，其定义域是实数集合，该函数的最小值为（-1,6）时的函数值，最大值为（- \infty，+\infty）时的函数值。
需要注意的是，在某些情况下，函数有可能没有最大值和最小值。
函数的极值一般需要用到导数，因为导数可以告诉我们一个函数在某一点的斜率是多少，从而判断该点是否是局部最大值或最小值。
但是函数的最值并不需要用到导数，而是通过指定定义域并计算所有的函数值进行比较。
函数的极值和最值是非常重要的数学概念，在不同的数学应用场景中都起着重要的作用。
理解这两个概念的异同点，能够对学生们更深入地理解函数及其相关概念。
五、函数极值和最值的应用函数的极值和最值在数学上有着广泛的应用。
其中函数极值主要用于解决函数最大值和最小值的问题，常见的例子包括数学建模中的最优化问题、物理学中的牛顿力学问题和经济学中的生产问题等。
而函数的最值则是应用于优化问题，例如在经济学中，最大化利润和最小化成本都涉及到函数的最值。
高数函数的极值与最大最小值PPT课件
(4) 求出各极值点的函数值, 就得函数 f (x)的全部极值.
8
例 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 数 2 9 x 5 的.极 解 f(x ) 3 x 2 6 x 9 3 (x 1 )x ( 3 ) 令f(x)0，得x 驻 1 1 ,x 2 点 3 . 列表讨论
x ( ,1) 1
f(x) 0
极
f (x)
大
值
(1,3) 3
0
极
小 值
(3,)
极大f(值 1)10, 极小值 f(3)2.2
9
2
例. 求函数 f(x)(x1)x3的极值 .
解: 1) 求导数
2
f (x) x3
(x1)32x13
5 3
x
2 5
3x
2) 求极值可疑点
令 f(x)0,得 x1 52; 令 ) lx i0f m (x 0 x x ) f(x 0 ) 0, 故 f(x 0 x )f(x 0)与 x 异号， 当x0时， 有 f( x 0 x ) f( x 0 ) 0,
当x0时， 有 f( x 0 x ) f( x 0 ) 0, 所 以 ， 函 数 f( x ) 在 x 0 处 取 得 极 大 值 ． 同理可证(2).
o
U
(x0)内的任一x,
有
f (x) < f (x0) (或 f (x) > f(x0)),
那么就称 f (x0) 是函数 f (x) 的一个极大值(或极 小值).
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得
极值的点称为极值点.
3
函数的极大值、极小值 只是一点附近的 最大值与最小值, 是局部性的.在一个区间内, 函数可能存在许多个极值, 有的极小值可能大 于某个极大值.
§3.4 函数的极值与最大、最小值
§3.4 函数的极值与最大、最小值
可以根据 一般在求实际问题的最大值或最小值时，
问题的性质断定相应函数确有最大值或最小值 并且 一定在定义区间内部取得 这时若函数 f ( x ) 在定义区间 内部只有一个驻点 x0 , 则可断定 f ( x0 ) 是最大值或最小值. 例3.4.4 求函数 f ( x) 2 x 3 3 x 2 12 x 14 在[3, 4]上的 最大值和最小值. 解
y
y f ( x)
a x1
有两个极小值: f ( x2 ), f ( x5 ).
x2
O
图3.10
x 3 x4 x 5
b
x
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.4 函数的极值与最大、最小值
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点
y
y f ( x)
x1 , x4 x2 , x5
x1 1, x2 0, x3 1 .
因为 f (0) 6 0 , 所以 f ( x )在 x 0 处取得极小值: f (0) 0. 又因为 f (1) f (1) 0, 所以用定理3.4.3无法判别
而 f ( x )在 x 1 处的左、右邻域内 f ( x ) 0,
f ( x ) 在 x0的足够小的邻域内有 由极限的保号性知， <0 . x x0
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.4 函数的极值与最大、最小值
证明 对情形(1) 由二阶导数定义， 并注意到 f ( x0 ) 0,
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) lim lim 则有 f ( x0 ) x ＜0 x0 x x 0 x x x x0 0
微分应用-极值最值精品PPT课件
又 在(0, 150)中,
5 x2 400 5x2
W k
x2 400 x2 400
ห้องสมุดไป่ตู้
2000k
3 >0
(x2 400)2
故W(15)为极小值也即为最小值. 故 x =15时, 全程运费最省.
例8. 宽为2米的支渠道垂直地流向宽为3米的主渠道, 若在其中漂运原木, 问能通过的原木的最大长 度是多少?
的点, 得系列点x1, x2,…, xn .
(3) 在 (xi, xi+1)上及分点xi 处观察 f ' (x), f '' (x) 的符号, 从而确定单调区间、极值点; 对应 曲线的凹凸区间及拐点.
: 表单增 : 表凹
: 表单减 : 表凸
(4) 确定y = f (x)的渐近线及其它变化趋势. (5) 补充一些适当的点(xi , f (xi)). (6) 用光滑的曲线连接这些点并作图.
注1. 使 f ' (x) = 0的x0称为 f (x)的驻点.
注2. f ' (x) = 0是 f (x)在x0取极值的必要条件, 非 充分条件, 比如y = x3驻点x0=0非极值点.
注3. f ' (x) 不存在的点, 也可能是极值点. 如y = | x |, x0 = 0.
定理2. 设 f (x)在x0连续, 在Û (x0)可导, (1)若xÛ(x0 ) , f ' (x) > 0 xÛ(x0 ) , f ' (x) < 0 则 f (x)在x0取得极大值.
解: 因 f (x)以2为周期, 只需考虑区间[0, 2)
由f ' (x) = sinx–cosx = 0
得驻点
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y
又 f (1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
1
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1
x
结束
定理3 (判别法的推广)
数,且 则: 1) 当 n 为偶数时,
f
为极值点 , 且
是极小点 ; 是极大点 .
( n)
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二、最大值与最小值问题
则其最值只能
在极值点或端点处达到 .
求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
M max
最小值
f (a ) , f (b)
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特别:
•当 在 内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大 (小)值 .
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4
x5 b
x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
(1) f ( x) “左正右 负” , f ( x ) (2) “左负右 正” ,
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例2. 求函数 解: 1) 求导数 2 2 f ( x) 6 x ( x 1) ,
的极值 .
2 2 f ( x) 6 ( x 1)(5 x 1)
2) 求驻点 令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1
由 f ( x0 ) 0 知, 存在 0 , 当0 x x0 时, f ( x) 0 ; 故当 x0 x x0 时， f ( x) 0 , 当x0 x x0 时， x0 x0 x0 由第一判别法知 f ( x) 在 x0 取极大值. (2) 类似可证 .
1 x0 4
0 x
51 4 2
1
2
5Байду номын сангаас2
f ( x) x (2x 2 9x 12)
2
2 1x0 6 ( x 1 )( x 2 ) , 6 x 18 x 12 4 f ( x) 2 5 6 ( x 1 )( x 2 ) , 0 x 6 x 18 x 12 2
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例如 , 例2中
2 f ( x) 24 x (5 x 3) ,
y
f (1) 0
1
所以
不是极值点 .
1
x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的.
当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如:
f (0) 2 为极大值 , 但不满足定理1 ~ 定理3 的条件.
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定理2 (极值第二判别法)
二阶导数 , 且 则 则 在点 在点 取极大值 ; 取极小值 .
f ( x) f ( x) f ( x0 ) lim 证: (1) f ( x0 ) lim x x0 x x0 x x0 x x0
x1 0 , x2 1, x3 2
(9) 4 2 12 81 96 0
2 5 故函数在 取最小值 0 ; x 0 9x 12 0在 x 1及 2 取最大值 5. x 2
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 . 说明: 令 ( x) f 2 ( x)
•当 在 上单调时, 最值必在端点处达到.
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
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例3. 求函数 上的最大值和最小值 . 解: 显然
在闭区间
且
(2 x 3 9 x 2 12 x) , 2 x 3 9 x 2 12 x ,
1 3 ( x 1) 2 x 3
2 x 5 5 3 3x
令 f ( x) , 得 x2 0
2 5
2 , ) (5
x ( , 0) f ( x) f ( x)
0 0
2) (0 , 5
0 0.33
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
结束
例如 (P146例4) f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 3 是极大值 为极大点 ,
y 2
1
为极小点 ,
注意:
y
是极小值
o
1
2
x
1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
则 f ( x) 在 x0 取极大值. 则 f ( x) 在 x0 取极小值;
(自证)
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例1. 求函数
解: 1) 求导数 f ( x) x 2) 求极值可疑点 2; 令 f ( x) 0 , 得 x1 5 3) 列表判别
2 3
的极值 .
( x0 ) 0 ,
2) 当 n 为奇数时,
证: 利用 在
不是极值点 .
点的泰勒公式 , 可得
故结论正确 .
f ( n) ( x0 ) ( x x0 ) n f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) n! n 当 充分接近 上式左端正负号由右端第一项确定 , o(( 时 x , x ) ) 0
在闭区间
由于 ( x) 与 f ( x) 最值点相同 , 因此也可通过 ( x) 求最值点. ( 自己练习 )
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第三章 第五节 函数的极值与 最大值最小值
一、函数的极值及其求法
二、最大值与最小值问题
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一、函数的极值及其求法
定义: 在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
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