对称多项式
基本对称多项式
基本对称多项式
基本对称多项式是指在多项式中只包含相同个数的变量，且每个变量的指数相同的情况下，对变量进行基本运算（如加法、减法、乘法）得到的多项式。
对于n个变量x₁, x₂, ..., xₙ，基本对称多项式可以表示为
1. 幂和求和：s₁ = x₁ + x₂ + ... + xₙ是一次对称多项式，它表示所有变量的和。
2. 乘积和求和：s₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + ... + xₙ₋₁xₙ是二次对称多项式，它表示所有两两变量的乘积的和。
3. 幂和乘积和求和：s₃ = x₁x₂x₃ + x₁x₂x₄ + ... +
xₙ₋₂xₙ₋₁xₙ是三次对称多项式，它表示所有三个变量的乘积的和。
依次类推，s₄, s₅, ... 表示四次、五次等基本对称多项式。
基本对称多项式在代数学和数学物理中有广泛的应用，例如在解代数方程、寻找多项式根、计算行列式等。
多项式的对称
三、多项式的对称假设χ是未知数，,0≠a 02=++c b a χχ是χ的二次方程，C c b a ∈⋅⋅,它的两个根 χχ21, 有如下关系：a b -=+21χχ，ac =21χχ 21χχ+和21χχ都有这样的性质：把1χ和2χ对换，结果仍然不变，因为1221χχχχ+=+，1221χχχχ=凡是有这样性质的1χ和2χ的多项式叫做对称多项式。
例如，2221χχ+,221221χχχχ+ 也是对称多项式，但是21χχ-就不是对称多项式。
并且我们习惯上把21χχ+和21χχ叫做初等对称多项式。
我们来看一般情况，设n ∈Z +, a 0，a 1，……a n ∈C,a 0≠0设现在有一元n 次多项式方程：0a a a n 1-n 1n 0=+++ χχ著名的代数基本定理告诉我们，这样的方程有n 个根，假设为n χχχ,,,21 ，那么：()()()n n n n a a a a χχχχχχχχ---=+++- 210110和二次的情形相仿，韦达定理给出：()()210113222112021232121012111,1a a a aa a a a n nn n n n n n n n n n n n -=-=+++++=++++++-=+++-----χχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχχ像如上左边各式：n n χχχχχχ 2121,,+++等这样的多项式，不论我们对n χχχ,,,21 ，作怎样的排列，都是不会变的。
也就是说我们把ni n i i χχχχχχ→→→,,,2121 ，n i i i ,,,21 是一个n 排列,那么以上的式子是不会变的。
这样的式子我们称为n χχχ,,,21 的对称多项式，并且以上的几个对称多项式为初等对称多项式。
定义６：设()χχχn f ,,,21 是C 上的一个n 元多项式，如果对这n 个文字χχχn ,,121的指数集{1，2，…n}施行任一个置换后，()χχχn f ,,,21 都不改变，那么就称()χχχn f ,,,21 是C 上一个n 元对称多项式。
对称多项式的转化
本文旨在记录一种方法，当然是我做题中总结的。
此方法，益处就是把“将一般对称多项式，用初等对称多项式表示”这种繁琐的过程变得稍微简便。
当然，方法还是《高等代数》中所讲，只是稍微改进，使得该过程更有效率，也更不容易出错。
而且也看起来更清晰，对于草稿纸也有节省的效果。
下面，仅列要点。
以四元多项式为例。
要点一. 简化记号。
记∑x1^4=(4,0,0,0); ∑x1^3.x2=(3,1,0,0); ∑x1^3.x2.x3.x4=(3,1,1,1);等等；当然，最重要的。
∑x1 = (1,0,0,0)；∑x1.x2 =(1,1,0,0); ∑x1.x2.x3 = (1,1,1,0); x1.x2.x3.x4 =(1,1,1,1);其中（a，b，c，d）满足，a>=b>=c>=d>=0整数;当然，四个初等对称多项式还有另一组简记，如教材所述：(1,0,0,0)=σ1; (1,1,0,0)=σ2; (1,1,1,0)=σ3;(1,1,1,1)=σ4;要点二. 化简顺序。
（1）一次对称多项式，只有（1,0,0,0）一种，什么都不用干；（2）二次对称多项式，有（1,1,0,0）和（2,0,0,0），其中，前者就是σ2，而（2,0,0,0）根据教材方法，需要利用【2-0，0-0，0-0,0】即【2,0,0,0】=σ1^2来转化。
σ1^2=1*(2,0,0,0)+2*(1,1,0,0);这样，由于（1,1,0,0）=σ2，我们可以求（2,0,0,0）；（3）三次多项式，（1,1,1,0）=σ3，（2,1,0,0），（3,0,0,0）；简单说下，这里顺序就是，由σ3，及【2-1,1-0,0-0,0】=【1,1,0,0】即σ1.σ2 来求出（2,1,0,0），求（3,0,0,0）需要用到（2,1,0,0）和（1,1,1,0）；（4）四次多项式，（1,1,1,1）=σ4,（2,1,1,0），（2,2,0,0），（3,1,0,0），（4,0,0，0）。
2.2 多项式的对称变换
1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 , 5 , 6 . 1 3 2 3 1 2 2 3 1
对x1x2x3的脚标分别施行这6个置换， 恰好得到上面方框中的6个多项式.
2， 3， 5 6 4， 同样地，我们称置换 1， ， 为多项式x1x2x3的对称变换. 一般地，设一个多项式的脚标组成的 n元对称群Sn中 集合为{1，2，...，n}， 是 的一个置换，若对多项式中字母的脚标施 行置换 后，得到的多项式仍与原来的多 项式相等，我们就称置换 为这个多项式 的对称变换.
换是Sn中的全部变换，这样的多项式就称 为对称多项式.
1 2 3 .如果一个n次多项式的对称变 1 2 3
我们来看两个例子.设x1，x2是给定的 一元二次方程
x2-c1x+c2=0 的两个根，那么它们与系数有下列关系
c1 x1 x 2 , c2 x1 x 2 .
旧知回顾
上几节中，我们主要学习了几何 图形的对称性，和它们的对称变换的 各种表达方式、组合和运算. 除了几何 图形以外，还有没其他的东西也具有 对称呢？
导入新课
在初中，我们学过各种各样的多项 式，几个数字与字母的积的和就构成了 多项式.例如下面的代数式都是多项式：
x y, x 3xy y , xyz, xyz 2 , x y 2 z 3
最后,在多项式x+y2+z3中,任何字母 的替换都会使原多项式改变,因而我们得 到唯一的一个多项式 x+y2+z3 ③
与正多边形的对称变换定义类似，我 们可以利用对多项式的这种字母替换来定 义多项式的对称变换. 如果一个多项式F经过字母的替换仍 与原来的多项式相等，我们就称多项式F 具有对称性,上述对多项式中字母的替换 叫做多项式的对称变换.
对称多项式.
对称多项式
主要内容
引入 定义
对称多项式基本定理
一、引入
对称多项式是多元多项式中常见的一种，本 二、定义 节就来介绍关于对称多项式的基本事实 . 对称多项 定义 13 n 元多项式 f (x1 , … , xn) , 如果对 式的来源之一以及它应用的一个重要方面，是一元 于任意的 i , j , 1 i , j n , 都有 多项式根的研究. 因此我们从一元多项式的根与系 f (x 1 , … , xi , … , xj , … , xn ) 数的关系开始. = f (x1 , … , xj , … , x i , … , xn ) ,
1 a
l1 l2 1
l2 l3 2
.
ln n
因为 1 , 2 , … , n 的首项分别是 x1 , x1x2 , … ,
x1x2 …xn , 于是
1 a
在展开之后，首项为
l1 l2 1
l2 l3 2
ln n
ax
l1 l2 1
( x1x2 )
ln n
l2 l3
证毕
实际上，还可以证明，定理中的多项式
(y1 , y2 , … , yn)
是被对称多项式 f (x1, x2 ,…, xn)
唯一确定的.
这个结果与定理 15 合在一起通常称
为对称多项式基本定理.
应该看到，证明的过程就是把一个对称多项
式具体表为初等对称多项式的多项式的过程.
例 1 把三元对称多项式 x13 + x23 + x33 表为1 ,
的根，容易看出 D(a1 , a2 , … , an) = 0 是方程
f (x) = xn + a1xn-1 + … + an = 0 在复数域中有重根的充分必要条件. D(a1 , a2 , … , an) 为一元多项式 f (x) = xn + a1xn-1 + … + an = 0 我们称
对称式和轮换对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.对称式的因式分解在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.例7分解因式x4+(x+y)4+y4分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.解∵x4+y4=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,若f(a)=0,则f(x)=f(x)-f(a)=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),∴(x-a)|f(x),对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.现在我们用因式定理来解例8.解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a).例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).。
二元齐次对称多项式与二项式定理
二元齐次对称多项式与二项式定理
二元齐次对称多项式与二项式定理
二元齐次对称多项式与二项式定理是数学中非常重要的概念，它们被用于解决
各种数学问题，如有解和无解等等。
二元齐次对称多项式是一种可以用来区分开学术问题的多项式，它由两个变量
组成，一个是可变的完全多项式，另一个是不变的实因式。
它的形式为ax^2+bx+c，其中，a、b、c分别是常数项、二阶项和一阶项。
由此可见，二元齐次对称多项式
可以用来表示学术问题中的复杂变化，以及计算多项式值的结果。
二项式定理是以莱布尼茨多项式（莱布尼茨级数）为基础的定理，指的是在满
足条件的情况下，将多项式的幂改写成递推形式，从而解决多项式分解式或其它问题。
它通常以二元齐次多项式的形式表示，写作ax^2+bx+c，其中的a、b、c分别
是常数项、二阶项和一阶项。
二项式定理提供了一种快速有效的分解式，能够使用该定理快速地求出高次多项式求解的结果，使得高次多项式在数学研究中显得更加便利。
综上所述，二元齐次对称多项式与二项式定理是数学中重要的概念，在了解和
解决学术问题方面都有着重要作用。
二元齐次对称多项式和二项式定理用于表示复杂变化以及计算多项式值的结果，以及更快地求出高次多项式求解的结果，从而使得学术问题得以更快有效地解决。
一元三次多项式的判别式的初等对称多项式的表示式
一元三次多项式的判别式的初等对称多项式的表示式一元三次多项式的判别式是指对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，其判别式Δ=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd的表达式。
而该判别式的表达式可以通过初等对称多项式来表示。
在本文中，我们将深入探讨一元三次多项式的判别式以及初等对称多项式的表示式，希望能给读者带来一些启发和帮助。
一、一元三次多项式的判别式的定义一元三次多项式的判别式是一个重要的概念，它能帮助我们判断一个一元三次方程的根的情况。
一元三次多项式的判别式Δ=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd是通过方程的系数所组成的表达式，它可以在某种程度上反映出方程根的性质。
通过判别式，我们可以判断方程的根是实根还是复根，是重根还是不重根，是正根还是负根。
一元三次多项式的判别式在代数学中具有重要意义。
二、初等对称多项式的概念初等对称多项式是指对于n个元素x1,x2,...,xn的一组实数，以及n个未知数a1,a2,...,an，形如a1^1*a2^2*...*an^nk的多项式。
初等对称多项式的概念是对称多项式的一种具体表现形式，它在数学中有着广泛的应用。
在代数学、数学分析和组合数学等领域，初等对称多项式是一种非常基础的数学概念，对研究和解决一些数学问题具有重要作用。
三、一元三次多项式的判别式的初等对称多项式表示式通过初等对称多项式，我们可以将一元三次多项式的判别式Δ=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd进行表示。
具体的表示式如下：1. 对称多项式的表示式将二次项系数b、一次项系数c、常数项d视为三个未知数x1、x2、x3，可得到三个未知数的多项式函数f(x)=x^3-px^2+qx-r。
其中，p=b/a、q=c/a、r=d/a。
2. 初等对称多项式的计算根据初等对称多项式的定义，我们可以得到一元三次多项式的判别式Δ的表示式为：Δ =(x1-x2) ^2 (x1-x3) ^2 (x2-x3) ^2其中，(x1-x2) ^2 (x1-x3) ^2 (x2-x3) ^2 是初等对称多项式的展开式，表示了一元三次方程的判别式。
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对称多项式
一个多元多项式，如果把其中任何两个元互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
如x ２＋y ２＋z ２xy+yz+zx 1*X 2*B+4都是关于元x、y、z的对称多项式. (只要是由加号或乘号连接的都是多元多项式) (A-B)2次方也是
对称式的因式分解
例1分解因式x4+(x+y)4+y4
分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.
解∵x4+y4
=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2
=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.
∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4
=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2
=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]
=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,
例2分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).
此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3 x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.
因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).
如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2 -5x-2=(3x+1)(x-2).
证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,
若f(a)=0,则
f(x)=f(x)-f(a)
=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)
=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)
=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),
由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),
∴(x-a)|f(x),
对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.
现在我们用因式定理来解例8.
解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b -c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1, c=-1可得k=-1.
∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
=-(a-b)(b-c)(c-a).
例3分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).
分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以
原式= -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).。