2. 代数方程的性质
代数知识点归纳总结
代数知识点归纳总结一、基本概念1.1 数与运算数是代数的基础，代数运算是数的运算的扩展和推广。
代数运算有四则运算和乘方、开方运算等。
1.2 代数式与方程代数式是由数、字母和运算符号组成的数学表达式，方程是代数式中包含等号的代数式。
方程的根是使方程成立的数值。
1.3 不等式不等式是数和字母之间的一种关系，在代数中有重要应用。
二、代数方程2.1 一元一次方程一元一次方程是代数中最基本的方程形式，它可以表示成ax+b=0的形式，其中a和b为已知数，x为未知数。
2.2 一元二次方程一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b和c为已知数，x为未知数。
一元二次方程的解法有因式分解法、配方法、公式法等。
2.3 基本不等式基本不等式是一种基本的不等式形式，它可以帮助我们解决更加复杂的不等式问题。
三、多项式3.1 多项式的概念与运算多项式是由若干项次幂之和组成的代数式，它可以进行加减乘除运算。
多项式的基本运算规律包括分配律、结合律和交换律等。
3.2 多项式的因式分解与综合除法多项式的因式分解是将一个多项式表示成几个因式的成绩的形式。
综合除法是一种快速求解多项式除法的方法。
3.3 多项式的根与系数关系多项式的根与系数之间有重要的关系，这种关系可以帮助我们研究多项式的性质。
四、函数4.1 函数基本概念函数是一种特殊的量和量之间的依存关系，它可以表示成f(x)的形式，其中x为自变量，f(x)为因变量。
4.2 函数的基本性质函数的定义域、值域、图象等是函数的重要性质，它们可以帮助我们更好地理解和分析函数。
4.3 函数的图像和性质函数的图像可以帮助我们直观地理解函数，函数的性质包括单调性、奇偶性等。
五、线性代数5.1 行列式行列式是矩阵的特殊形式，它具有重要的几何和代数意义。
5.2 矩阵矩阵是用矩形数组表示的数学对象，它在代数中有着重要的应用。
5.3 矩阵的运算矩阵相加、相减、相乘等是矩阵的基本运算。
5.4 向量向量是具有大小和方向的量，它在线性代数中有着重要的应用。
初中代数知识点总结(全面)
初中代数知识点总结(全面)
代数是数学中的一个重要分支，也是初中数学的基础内容。
本
文将全面总结初中代数知识点，供同学们复和研究参考。
一、代数表达式
代数表达式由字母、数字和运算符号组成，可以进行加减乘除
和幂运算，常见的代数表达式有多项式和分式。
二、代数方程
代数方程是等式，其中包含未知数。
常见的代数方程有一元一
次方程、一元二次方程等，可以通过解方程的方式求解未知数的值。
三、代数函数
代数函数是一种以代数表达式为依据的关系。
常见的函数有一
次函数、二次函数、分段函数等，可以通过函数图像和函数方程来
描述和理解函数的性质。
四、代数运算性质
代数运算包括加法、减法、乘法和除法，常见的运算性质有交换律、结合律、分配律等，这些性质在计算中起到重要的作用。
五、代数方程应用
代数方程在实际问题中有广泛的应用，可以用代数方程来描述和解决各种问题，如物品购买、距离速度等。
六、代数符号应用
代数符号包括字母和数学符号，可以用来表示未知数、系数、常数等，通过代数符号可以简化和推导数学问题。
七、代数推理和证明
代数推理和证明是数学中重要的思维方式，通过运用代数知识和运算性质，可以进行推理和证明数学命题的正确性。
以上是初中代数知识点的全面总结，希望对同学们的研究有所帮助。
（统计字数：196字）。
数学初中一年级代数基础概念讲解
数学初中一年级代数基础概念讲解代数是数学的一个重要分支，它研究数的运算、数的性质以及运算关系。
初中阶段的代数学习是建立基础知识的时候，其中包括了一些重要的代数概念。
本文将针对数学初中一年级代数基础概念进行详细讲解，帮助同学们更好地理解和掌握这些概念。
一、代数概念的引入在初中一年级，我们开始接触代数学习，其中最基础的概念就是代数式。
代数式由数和字母组成，其中的字母可以表示未知数或变量。
通过代数式，我们可以用符号表示数学关系，便于进行推理和计算。
例如，x + 3就是一个代数式，其中的x表示未知数，3表示已知的数。
二、代数表达式与算式的关系代数表达式和算式都是运用一些数进行计算，但它们之间有一些差别。
代数表达式中含有未知数或变量，而算式中只有已知的数。
代数表达式是一般性的，而算式是具体的。
例如，2x + 1是一个代数表达式，而2 × 3 + 1 = 7就是一个算式。
三、代数方程的初步认识代数方程是一个数学等式，它包含一个或多个未知数。
解方程就是找出使方程成立的数的取值。
初中一年级主要涉及一元一次方程的求解。
一元一次方程的一般形式为ax + b=0，其中a和b是已知的数，x是未知数。
通过运用一些基本的代数运算规则，我们可以求解出方程中的未知数。
四、代数等式及其运算性质代数等式是带有等号的代数表达式。
在代数等式中，两边的表达式是相等的。
例如，3x + 2 = 8就是一个代数等式。
代数等式有一些运算性质，如可逆性、传递性、对称性等。
这些性质在代数运算中起到重要的作用，帮助我们进行方便的计算和推理。
五、代数式化简的基本方法化简代数式是指将复杂的代数表达式简化成简单的形式，以便更好地理解和运算。
化简代数式可以通过合并同类项、消去括号、运用运算性质等方法实现。
初中一年级数学中，我们经常要进行代数式的化简，通过这样的练习，可以提高我们的代数运算能力。
六、代数式的加减运算在初中一年级的代数学习中，我们掌握了代数式的加法和减法运算规则。
代数知识点总结图
代数知识点总结图一、代数的基本概念1. 代数表达式代数表达式是用字母、数字和运算符号等符号表示数与数关系的式子。
代数表达式的一般形式为a1x^n + a2x^(n-1) + ... + an-1x + an，其中a1，a2，...，an-1，an为系数，x为未知数，n为非负整数。
2. 代数方程代数方程是含有未知数的等式，一般是将代数表达式的两个部分用等号连接起来。
代数方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a，b，c为实数且a≠0。
3. 代数不等式代数不等式是含有不等号的式子，表示两个代数表达式之间的大小关系。
代数不等式的一般形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。
4. 代数函数代数函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。
代数函数的一般形式为y = f(x)。
二、代数运算1. 代数运算的基本法则代数运算的基本法则包括加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则及分配律等。
2. 代数运算的性质代数运算的性质包括结合律、交换律、分配律、零律、乘法逆元等。
3. 代数运算中的优先级代数运算中，乘法和除法的优先级高于加法和减法，括号内的运算优先级最高。
4. 代数运算的逆运算代数运算的逆运算指的是对一种运算进行相反的操作。
例如，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。
三、代数方程和代数不等式1. 一元一次方程一元一次方程是指未知数的最高次数为1的方程。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a，b为已知数且a≠0。
2. 一元一次不等式一元一次不等式是指未知数的最高次数为1的不等式。
一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0或ax + b < 0。
3. 一元二次方程一元二次方程是指未知数的最高次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a，b，c为已知数且a≠0。
4. 一元二次不等式一元二次不等式是指未知数的最高次数为2的不等式。
数学中的代数方程与根的性质
数学中的代数方程与根的性质教案：数学中的代数方程与根的性质第一部分：引言在数学中，代数方程是一个重要的概念。
它涉及到数学中的代数运算和方程求解问题。
本教案将重点介绍代数方程的定义，代数方程与根的性质以及求解代数方程的方法。
第二部分：代数方程的定义和分类1. 代数方程的定义代数方程是由代数运算得到的等式，其中包含有未知数。
例如：x + 2 = 52x² + 3x + 1 = 0代数方程可以用来描述数学问题并找出未知数的值。
2. 代数方程的分类代数方程可以根据未知数的次数进行分类。
常见的代数方程有一次方程、二次方程和高次方程。
接下来将介绍这些方程的特点和解的性质。
第三部分：一次方程1. 一次方程的定义和性质一次方程是指未知数的最高次数为1的代数方程，它可以表示为：ax + b = 0其中a和b是已知常数，x是未知数。
一次方程有唯一的解。
2. 一次方程的解法解一次方程的常用方法有两种：加减法和代入法。
通过适当的运算，可以求得一次方程的解。
第四部分：二次方程1. 二次方程的定义和性质二次方程是指未知数的最高次数为2的代数方程，它可以表示为：ax² + bx + c = 0其中a、b和c是已知常数，a≠0。
二次方程有两个解。
2. 二次方程的解法二次方程的解法有多种，常用的方法有配方法、解根公式和图像法等。
通过运用这些方法，可以求得二次方程的解。
第五部分：高次方程1. 高次方程的定义和性质高次方程是指未知数的最高次数大于2的代数方程。
它的解法更加复杂，常常需要借助数值计算或近似解法。
2. 高次方程的解法高次方程的解法因方程的不同而不一样。
对于一些特殊的高次方程，可以运用因式分解、代换等方法来化简求解。
第六部分：根的性质1. 定义和性质根是代数方程的解。
根可以是实数根或复数根，复数根是指不是实数的根。
2. 根的关系和性质根与方程的系数之间有一定的关系，如韦达定理等。
根还具有对称性和代数性质等特点。
代数式与多项式
代数式与多项式代数式和多项式是数学中重要的概念，在代数运算和代数方程的研究中起着重要作用。
本文将详细介绍代数式与多项式的基本概念、性质和运算规则，帮助读者深入理解和掌握这一领域的知识。
一、代数式的定义与性质代数式是由数、字母和运算符号按照一定规则写成的算式，可以表示数值和未知数之间的关系。
代数式的基本性质如下：1. 代数式由数、字母和运算符号组成，可以包含加法、减法、乘法、除法等运算符号。
2. 代数式可以包含一个或多个未知数，未知数用字母表示。
3. 代数式可以是一个数，也可以是一个表达式，可以进行各种运算。
4. 代数式可以化简或展开，通过一系列的代数运算可以得到不同形式的代数式。
二、多项式的定义与性质多项式是由数、字母和运算符号按照一定规则写成的代数式，其中包含若干个单项式，并且各个单项式之间可以进行加法和减法运算。
多项式的基本形式如下：$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x^1 + a_0$$其中，$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$ 是常数系数，$x^n, x^{n-1}, ..., x^1, x^0$ 是未知数的幂次，$n$ 是多项式的次数。
多项式的性质如下：1. 多项式的次数由最高次项的指数决定，次数可以是非负整数。
2. 多项式的各个单项式可以按照次数从高到低排列，相同次数的单项式之间可以进行合并。
3. 多项式可以进行加法、减法、乘法运算，满足相应的运算规则。
三、代数式与多项式的运算代数式和多项式的运算是代数学中重要的内容，主要包括加法、减法、乘法、除法等运算。
1. 代数式的加法与减法：将代数式按照各项系数相同的方式进行合并，得到一个化简的代数式。
例如：$$(2x^2 + 3x - 5) + (4x^2 - 2x + 7) = 6x^2 + x + 2$$2. 多项式的加法与减法：将多项式按照各同次项系数相同的方式进行合并，得到一个化简的多项式。
代数总结归纳
代数总结归纳代数是数学的一个重要分支，它研究数与符号之间的关系，并通过运算规则和代数方程等方式进行推理和计算。
代数的基本概念和方法在数学、科学和工程等领域中广泛应用。
本文将对代数的基本概念、运算规则和常见的代数方程进行总结归纳，旨在帮助读者更好地理解和应用代数知识。
一、代数的基本概念代数的基本概念包括数、符号和运算。
数是代数的基本元素，它可以是整数、有理数、无理数或复数等各种类型。
而符号则用来表示数或未知量，常见的代数符号有字母和符号。
运算是指对数和符号进行组合和变换的操作，常见的代数运算包括加法、减法、乘法和除法等。
二、代数的运算规则代数运算具有一定的规则和性质，对于不同的运算方式有相应的性质和公式。
以下是一些常见的代数运算规则：1. 加法和乘法的交换律和结合律：加法和乘法具有交换律，即a+b=b+a，ab=ba；同时也具有结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，(ab)c=a(bc)。
这些规则可以简化运算顺序，方便计算。
2. 零元素和单位元素：加法中的零元素是0，满足a+0=a；乘法中的单位元素是1，满足a×1=a。
零元素和单位元素在运算中具有特殊的作用。
3. 加法的逆元素：对于任意的实数a，存在一个与之相加等于零的逆元素-b，即a+(-a)=0。
这个逆元素在代数运算中起到抵消的作用。
4. 乘法的逆元素：对于任意的非零实数a，存在一个与之相乘等于1的逆元素1/a，即a×(1/a)=1。
乘法的逆元素在代数中用于解方程和分式运算等。
5. 分配律：乘法对加法具有分配律，即a(b+c)=ab+ac。
这个规则在多项式展开和因式分解等运算中十分重要。
三、代数方程的解法代数方程是指含有未知量的等式，通过求解未知量可以得到方程的解。
常见的代数方程包括一元线性方程、二次方程和多项式方程等。
1. 一元线性方程：一元线性方程是指只含有一个未知量的一次方程，形如ax+b=0。
对于这种方程，可以通过移项和化简的方式求解未知量。
恒等式与代数方程
恒等式与代数方程恒等式和代数方程是数学中常见且重要的概念，在数学的各个领域都有广泛的应用。
它们在解决实际问题、研究数学性质以及发展数学理论中起到了关键的作用。
本文将对恒等式和代数方程进行介绍和探讨。
一、恒等式恒等式是指对于特定的变量取值，两个表达式之间始终成立的等式。
换句话说，恒等式在任何情况下都是真的。
例如，对于任意实数x，恒等式(x+1)^2=x^2+2x+1都是成立的。
无论x取何值，等式都是正确的。
恒等式的证明通常需要运用数学定律和推理方法。
通过逐步转换等式的各个部分，我们可以证明恒等式的正确性。
这需要灵活的思维和对数学性质的深刻理解。
二、代数方程代数方程是含有未知数的等式，通过找到未知数的取值使等式成立，从而解决问题。
一元代数方程是指只涉及一个未知数的方程，多元代数方程则涉及多个未知数。
解代数方程的过程通常包括化简、变形、提取公因式、整理同类项等步骤。
通过逐步推导和运用代数运算性质，我们可以求得方程的解。
代数方程的解可以分为有限解和无限解，也可能无解。
例如，方程x^2-4=0的解为x=±2，有两个有限解；而方程x^2+1=0没有实数解，只有虚数解x=±i。
代数方程在数学中的应用广泛，如解决几何问题、物理问题、经济问题等。
通过建立代数方程，我们可以将实际问题转化为数学问题，并通过解方程来得到问题的解答。
三、恒等式与代数方程的联系恒等式和代数方程都是数学中的基础概念，它们之间有着密切的联系。
具体而言，一些代数方程可以通过变形和推理转化为恒等式，并通过求解恒等式得到方程的解。
例如，考虑方程(x+1)(x-1)=0。
我们可以展开括号得到x^2-1=0，然后进一步变形为x^2=1。
这个方程可以进一步转化为恒等式x^2-1=(x+1)(x-1)=0。
通过求解恒等式，我们可以得到原方程的解x=±1。
恒等式和代数方程也经常在证明数学性质和推导数学定理时相互转化和应用。
通过将问题转化为恒等式或代数方程的形式，我们可以运用数学方法来进行推理和分析，从而得到所需的结论。
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§2 代数方程的性质一、多项式与代数方程的一般性质[代数基本定理] 每个复数域上n 次代数方程f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n －1x +a n =0 (n ≥1)在复数域中至少有一个根.代数基本定理的推论：每个n 次代数方程在复数域中有n 个根，而且只有n 个根. [多项式的导数] 多项式f (x )的导数为f '(x )=na 0x n －1+(n －1)a 1x n －2+ +a n －1微分学中仅考虑实变数函数的导数，而代数学中必须考虑复系数的复变数多项式的导数，但是它们的定义与计算公式仍然一样.[单根与重根] 1° 多项式的单根不是它的导数的根. 2° 多项式的m 重根（即有m 个根相同）是它的导数的m －1重根（m >1）.3° 若x 1,x 2, ,x k 分别为f (x )的α1,α2, ,αk (α1+α2+ +αk =n )重根，则f (x )=a 0(x －x 1)1α(x －x 2)2α (x －x k )k α [洛尔定理及其推论] 由微分学中的洛尔定理可知，在实系数方程f (x )=0的两个实根之间总有f '(x )=0的一个实根.从这个定理可推出下列两个推论： 1° 若f (x )的一切根都是实的，则f '(x )的一切根也是实的.在f (x )的相邻两根之间有f '(x )的一个根并且是一个单根.2° 若f (x )的一切根都是实的，且其中有p 个（计算重根）是正的，则f '(x )有p 个或 p －1个正根. [多项式的相关]1° 若多项式f (x ),ϕ(x )的次数都不超过n ，而它们对n +1个不同的数α1, ,1+n α有相等的值，即f (αi )=ϕ(αi ) (i =1, ,n +1),则f (x )= ϕ(x ). 2° 多项式f (x )和ϕ(x )的根完全相同的充分必要条件是f (x )和ϕ(x )只差一个不等于零的常数因子.[整根与有理根] 任意整系数方程f (x )=0，若有一个有理根qp（为既约分数），则p 是αn的约数，q 是α0的约数. 由此可推出：任意整系数方程的整根必为常数项的约数，若整系数方程的首项系数为1，则它的有理根必为整数. [实根与复根，共轭实根与共轭复根] 1° 任意有理系数方程f (x )=0，若有一个根a +b (a,b 是有理数，b 是无理数)，则必有另一个根a －b .这时a +b 与a －b 称为一对共轭实根. 2° 任意实系数方程f (x )=0的复根只可能是成对的共轭复根，并且根的重数相同.从而，复根的个数是偶数. 3° 任意实系数奇数次方程f (x )=0至少有一个实根. 4° 任意实系数偶数次方程f (x )=0,a 0a n <0,则至少有两个实根（一个正根和一个负根）. [根与系数的关系] 设f (x )=x n +a 1x n －1+ +a n为复数域S 上的一元多项式，x 1,x 2, ,x n 为f (x )在S 中的n 个根，则根与系数的关系为x 1+x 2+ +x n =∑=ni i x 1=－a 1x 1x 2+x 1x 3+ +x n -1x n =∑<=nj i j i j i x x )(1,=a 2x 1x 2x 3+x 1x 2x 4+ +x n -2x n -1x n =∑<<=nk j i k j i kjixx x )(1,,=－a 3x 1x 2 x n =(－1)n a n这就是说，f (x )的x n -k 的系数a k 等于从它的根x 1,x 2, ,x n 中每次取k 个（不同的）一切可能乘积之和,若k 是偶数,则取正号，若k 为奇数，则取负号. [根的范围] 设ξ为复系数代数方程f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n =0 (1)的根. 1° 若所有系数a i ≠0 (i =0,1, ,n ),则σξ≤,其中σ为实系数代数方程F (x )=0a x n －1a x n －1- -n a =0的一个正实根.2° 设γ1,γ2, ,γn -1为任意正数，则≤ξτ,其中τ为下列n 个数中最大的一个:1a a +11γ,2a a 1γ+21γ, ,1a a n -21γγ 2-n γ+11-n γ,1210-n n a a γγγ特别,取γi =1(i =1,2, ,n －1)时,有≤ξmax ⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-nn n a a a a a a 10101,,1, (2)方程(1)中作变换x =y1,可求出y 的上界，因而得到 ≥ξ11101,,1,max --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n n a a a a a a (3) 更进一步，记(2)式右边为M ，记(3)式右边为m ，如果取ρ<M ,使得-n a ρ0--11n a ρ--22n a ρ ρ1--n a 0>-n a 取ρ'>m ，使得 +'n a ρ0+'-11n a ρ ρ'+-1n a 0<-n a那末有ρ'ρξ≤≤.3° 设γ为任意正数，则1τξ≤，其中τ1=max ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-100201,1n n a a a a a a γγγ 特别，取γ=1，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑=ni i a a 101,1max ξ 4° 若所有系数都为正实数，则min ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧--1120111201,,,max ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ξ5° 若方程（1）的系数满足不等式n a a a a a ----< 3210则方程（1）至多有一个绝对值≥1的根ξ1，而且n a a a ---≥ 211ξ [多项式的分解]1° 设f (x )为实数域上的多项式，若有非常数的实系数多项式g (x )和h (x ),使得f (x )=g (x )h (x )则称f (x )为实数域上可约（或可化），否则称f (x )为实数域上的不可约多项式. 2° 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含（共轭）复根的二次多项式. 3° 每个实系数多项式都可分解为实系数的一次因式与二次因式之积. 有理数域上的多项式的分解见第二十章，§5，2. [余数定理与综合除法] 若c 为一常数，则多项式f (x )除以x －c 所得的余数等于f (c ).设 f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n －1x +a n 求f (x )除以x －c 的商式与余数其计算格式如下： c ) a 0 a 1 a 2 a n -1 a n b 0c b 1c b n -2c b n -1c b 0 b 1 b 2 b n -1 b n 式中b 0=a 0,b i =a i +b i -1c (i =1,2, ,n ).于是得到商式 q (x )=b 0x n -1+b 1x n -2+ +b n -1 余数 r =b n =f (c )例 f (x )＝532234--+x x x 除以 x －2. 列出算式 2) 1 2 －3 0 －5 2 8 10 201 4 5 10 15= f (2) 所以 ()2151054223-++++=-x x x x x x f[多项式的泰勒公式（秦九韶法）] n 次多项式f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n (a 0≠0)在任意点c 的泰勒展开式为f (x )=b 0(x －c )n +b 1(x －c )n -1+ +b n -1(x －c )+b n式中系数b i (0≤i ≤n )按下面的方法计算.首先在(n +2)⨯(n +2)方阵的对角线上列出a 0,a 1, ,a n ,d （d 为符号），在第1列上列出a 0(即a i,i =a i -1,i =1,2, ,n +1;a n +2,n +2=d ;a i ,1=a 0,i =1,2, ,n +2).c ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++da a a a a a a n n n n n1,23,22,203,12,1033,42,402,0100然后再按递推公式a i,j c +a i,j +1=a i +1,j +1 (i =2, ,n +1; j =1, ,i －1)自上而下，自左而右依次计算出对角线下其余各元素，那末第n +2行各元素即为所求系数，即b 0=a 0, b i =a n +2,i +1 (i =1,2, ,n )例 求f (x )＝523--x x 在x =2处的泰勒展开式. 解2⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡d 110615241221011－－－ 则f (x )＝()()()121026223--+-+-x x x二、多元多项式·对称多项式·结式[多元多项式] 设常数c 1,c 2, ,c k 属于一个数域S ,αi ,βi , ,νi (i =1,2, ,k )是正整数或零，则称形如+111211νβαn x x x c +222212vn x x x c βα +k k k n k x x x c νβα 21的表达式为数域S 上元素x 1,x 2, ,x n 的n 元多项式.i i i n i x x x c νβα 21称为它的项，c i 为它的系数，αi 为项中关于x 1的次数，βi 为项中关于x 2的次数,等等.αi +βi + +i v 为项的次数.在多项式中系数不为零的任一项关于x i 的最高次数称为多项式关于x i 的次数，系数不为零的任一项的最高次数叫做多项式的次数.各项次数都相等的多项式称为齐次多项式. 每个m 次多项式f (x 1,x 2, ,x n )都可唯一地表示成f (x 1,x 2, ,x n )=∑=mi n i x x x f 021),,,(式中f i (x 1,x 2, ,x n )为i 次齐次多项式. 为了方便，经常把一个多元多项式按某一个变数，例如x 1的降幂排列如下：a 0(x 2, ,x n )x 1m + a 1(x 2, ,x n )x 1m -1+ + a m (x 2, ,x n )式中a 0(x 2, ,x n ), a 1(x 2, ,x n ), , a m (x 2, ,x n )为x 2, ,x n 的n －1元多项式. 若f 1,f 2, ,f k 分别为m 1,m 2, ,m k 次的多元多项式，则乘积f 1f 2 f k 为m 1+m 2+ +m k 次. [对称多项式] 如果在一个n 元多项式f (x 1,x 2, ,x n )中，对调任一对x i 和x j 后，f (x 1,x 2, ,x n )不变，那末称它为x 1,x 2, ,x n 的对称多项式. [初等对称多项式] 设∑==ni i x 11,σ ∑<==nj i j i jixx )(1,2σ ∑<<==nk j i k j i kj ix x x )(1,,3,σσn =x 1x 2 x n则称σ1,σ2, ,σn 为初等对称多项式.例如，由多项式的根与系数的关系（本节，一）可知，多项式的系数除符号外都是根的初等对称多项式. [对称多项式基本定理] 在数域S 上，每个n 元对称多项式f (x 1, ,x n )都可唯一地表成x 1, ,x n 的初等对称多项式（系数在S 中）的多项式. [牛顿公式] 设f (x )=(x －x 1) (x －x 2) (x －x n )=x n －σ1x n －1+ +(－1)n σns k =x 1k +x 2k + +x n k(k =0,1,2, )则下面牛顿公式成立： k ≤n 时, s k －σ1s k -1+σ2s k -2+ +(－1)k -1σk -1s 1+(－1)k k σk =0 k >n 时， s k －σ1s k -1+σ2s k -2+ +(－1)n σn s k -n =0 [结式] 设f (x )=a 0x m+a 1xm －1+ +a m =a 0∏=-mi i x x 1)((m >0) ϕ(x )=b 0x n +b 1x n －1+ +b n =b 0∏=-nj j y x 1)((n >0)则R (f ,ϕ)= nnn m mmb b b b b b b b b a a a a a a a a a101010101010行行m n ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ 这个m +n 阶行列式R (f ,ϕ)称为多项式f (x )和ϕ( x )的结式，式中空白处的元素都是零.结式具有性质： R (f ,ϕ)=(－1)mn R (ϕ,f )R (f ,ϕ)=∏∏∏∏====-==-m i nj mi nj jm mnin j im n yf bx a y xba 11110)()1()()(ϕ设a 0,b 0不全为零，则f (x ),ϕ(x )在复数域上有公共根的充分必要条件是它们的结式R (f ,ϕ)=0. 行列式R (f ,ϕ)是f (x )与ϕ(x )的系数的一个m +n 次齐次多项式，关于a 0,a 1, ,a m 是n 次齐次多项式，关于b 0,b 1, ,b n 是m 次齐次多项式.三、代数方程的根的隔离[傅立叶-布当判别法] 设f (x )=0为实系数n 次代数方程，a ,b 为二实数，适合a <b ，f (a )≠0,f (b )≠0,f (x )的各阶导数为f (x ),f '(x ), ,f (n )(x )若序列 { f (a ),f '(a ), ,f (n )(a )} 的变号次数*为p ，序列{ f (b ),f '(b ), ,f (n )(b )}*序列{}n c c c c ,,,,210 的变号次数定义如下：设两个相邻数1,+k k c c 都不为零，它们的符号相反，则称两数之间有一次变号，否则变号次数为零.如果遇到零时则应考虑该数后面第一个非零数是否变号.也就是说把序列中的一切零去掉再考虑变号次数.的变号次数为q ，则p ≥q ，且a 与b 之间的f (x )=0的实根个数（一个k 重根按k 个根计算）等于p －q ，或者比p －q 少一个正偶数. 特别，当p -q =0时，(a ,b )内无实根，当p －q =1时，(a ,b )内只有一个实根. [笛卡儿符号法则] 设 f (x )=a 0x n +a 1x n -1+ +a n =0 (a 0≠0,a n ≠0) 为实系数n 次代数方程，若系数序列 {a 0,a 1, ,a n }的变号次数为p ，则方程f (x )=0的正根个数（一个k 重根按k 个根计算）等于p ，或者比p 少一个正偶数. 特别，当p =0时，无正根，当p =1时，有且仅有一个单正根. 上面两个定理没有解答这样的问题：一个给定的实系数方程是否有实根，有几个实根，并且在给定的区间(a ,b )内有几个实根.斯图姆解决了这些问题. [斯图姆判别法] 设f (x )为区间(a ,b )内的无重根的实系数多项式，a ,b 为二实数，适合a <b ,f (a )≠0,f (b )≠0,以f 0(x )表示f (x )，以f 1(x )表示f (x )的导数f '(x ).用f 1(x )除f (x )，并以f 2(x )表示由这个除法所得到的余式反号后的多项式，然后用f 2(x )除f 1(x )，并以f 3(x )表示余式反号后 的多项式，这样继续下去，最后一个记作f s (x ) (等于非零常数).这样得到的函数序列 {f 0(x ),f 1(x ),f 2(x ), ,f s (x )} (1) 称为在区间(a ,b )内以f (x ), f '(x )为基的一个斯图姆组. 若序列 {f 0(a ),f 1(a ),f 2(a ), ,f s (a )} 的变号次数为p ，序列 {f 0(b ),f 1(b ),f 2(b ), ,f s (b )}的变号次数为q ，则f (x )=0在区间(a ,b )内的实根个数等于p -q . 应用斯图姆判别法可以查清实系数代数方程的根在实轴上的分布情况.特别，可以求出一组区间，使得每个区间内只含有方程的一个根. 关于代数方程f (z )=0的复根个数可参看第十章，§4，二的辐角原理. [卢斯判别法] 假设实系数多项式 f (z )=z n +a 1z n －1+ +a n －1z +a n 以 f 0(t )=t n －a 2t n －2+a 4t n －4-a 6t n －6+ f 1(t )=a 1t n －1－a 3t n －3+a 5t n －5－ 为基的斯图姆组为{f 0(t ),f 1(t ),f 2(t ), ,f s (t )} (2)1° f (z )=0在虚轴及右半平面上没有根的充分必要条件是：斯图姆组（2）内s =n ，且每个多项式的次数比前一个低一次，首项系数都是正数. 2° 若斯图姆组（2）内s =n ，则组内每个多项式的次数比前一个低一次，f (z )=0在虚轴上没有根，在右半平面的根的个数等于首项系数组成的序列的变号次数.3° f (z )=0在右半平面上没有根而在虚轴上有p 个根的充分必要条件是：斯图姆组（2）内s =n -p ，且每个多项式的次数比前一个低一次，首项系数都是正数，且最后的p 次方程 f n －p (z )=0有p 个实根.这些实根就是f (z )=0在虚轴上的p 个根的虚部. 如果考虑f (z )=0在单位圆上和单位圆外的根数问题，只要作线性变换z =11－＋ωω 化为对g (ω)=0在虚轴上和右半平面上根数的讨论.对此用卢斯判别法可以解决. [胡尔威茨判别法] 实系数多项式f (z )=z n +a 1z n －1+ +a n的一切根都位于左半平面上的充分必要条件是系数a 1>0，并且多项式f 0(t )=t n －a 2t n －2+a 4t n －4+和f 1(t )=a 1t n －1－a 3t n －3+a 5t n －5－的根都是互相间隔的实根.。