垂直的判定及其性质
垂直线的性质与判定
垂直线的性质与判定直线是几何中最基本的图形之一，而垂直线是直线之中的一种特殊情况。
垂直线的性质和判定方法在几何学中有着重要的作用和应用。
本文将从垂直线的定义、性质和判定方法等方面进行论述，旨在加深对垂直线的理解和运用。
一、垂直线的定义垂直线是指两条直线之间的相对方向关系，即两条直线在某个点处相交，且相交角度为90度。
垂直线通常被表示为“⊥”符号，例如A⊥B，表示A与B两条直线垂直。
二、垂直线的性质1. 两条垂直线的斜率乘积为-1：在笛卡尔坐标系中，设直线A的斜率为k1，直线B的斜率为k2，则满足k1 * k2 = -1时，可以判定直线A与直线B垂直。
这是垂直线性质的一个重要推论，可以方便地判断两条直线是否垂直。
2. 垂直线的线段长相等：如果两条垂直线分别与一条水平线相交，并且线段长度相等，那么可以判定这两条直线互相垂直。
这个性质可以通过实际测量线段长来判断垂直线的存在，特别适用于工程测量和建筑设计等领域。
3. 垂直线与水平线相互垂直：根据几何学基本原理，垂直线与水平线之间的夹角为90度，即互相垂直。
这个性质可以方便地判断一条直线是否与水平线垂直，从而进一步判定直线的性质。
三、垂直线的判定方法1. 斜率判定法：如前所述，两条垂直线的斜率乘积为-1。
因此，通过计算两条直线的斜率，并判断它们的乘积是否为-1，可以判定这两条直线是否垂直。
2. 角度判定法：根据垂直线的定义，两条直线相交处的夹角为90度。
因此，通过计算两条直线相交处的夹角，并判断夹角是否为90度，可以直接判定这两条直线是否垂直。
3. 坐标判定法：对于给定的两条直线，可以确定它们的两个相交点的坐标，并计算两个点之间的斜率。
如果这两个斜率相乘得到-1，则可以判定这两条直线垂直。
四、垂直线的应用1. 地理测量和导航：垂直线的性质和判定方法在地理测量和导航中有广泛的应用。
例如，在地图测量中，垂直线可以用来确定建筑物的高度或山脉的高度。
在导航中，垂直线可用于指示航空器或船只的垂直姿态。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
第11讲 空间中垂直关系的判定与性质
空间中垂直关系的判定与性质一．基础知识整合1.直线与平面存垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图（3）判定定理 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ⇒l ⊥α从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．（2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β.（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．3.平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a αa ⊥β⇒α⊥β符号语言⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ⇒a ⊥β 题型一：线面垂直的判定 例1：如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且S 为所在平面外一点，满足SA ＝SB ＝SC .D为AC 的中点．求证：SD ⊥平面ABC .证明：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且D 为AC 的中点，∴BD ＝AD ＝DC .又∵SA ＝SB ＝SC ，SD为公共边，∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD ， ∴∠SDB ＝∠SDA ＝∠SCD ＝90°，∴SD ⊥AD ，SD ⊥BD ，∵AD ∩BD ＝D ，∴SD ⊥平面ABC .变式训练1：如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点，P A ⊥⊙O 所在的平面，AF ⊥PC 于F ，求证：BC ⊥平面PAC .证明：因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .题型二：面面垂直的判定例2：已知四面体ABCD 的棱长都相等，E ，F ，G ，H 分别为AB ，AC ，AD ，BC 的中点．求证：平面EHG ⊥平面FHG .证明：如图，取CD 的中点M ，连接HM ，MG ，FM ，则四边形MHEG为平行四边形．连接EM 交HG 于O ，连接FO .在△FHG 中，O 为HG的中点，且FH ＝FG ，所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM ＝O ，所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ，所以平面EHG ⊥平面FHG .变式训练2：如图，在空间四边形ABDC中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．:求证：平面BEF ⊥平面BDG .证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ，又EF ∥AC ，∴EF ⊥BG ，EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ，∴平面BDG ⊥平面BEF .题型三：垂直关系的综合应用例3：如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠BCA＝90°.点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由．证明：(1)∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC .又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .(2)存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角．由(1)知BC ⊥平面P AC ，又∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面P AC .又∵AE 平面P AC ，PE 平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE .∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角．又∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC .∴∠P AC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC .这时，∠AEP ＝90°.故存在点E 使得二面角A —DE —P 是直二面角．变式训练3：如图所示，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝2，PB ＝6，求二面角P —BC —A 的大小．解：∵P A ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，∴P A ⊥BC .又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .又PC 平面P AC ，∴BC ⊥PC .又BC ⊥AC ，∴∠PCA 为二面角P —BC —A 的平面角．在Rt △PBC 中，∵PB ＝6，BC ＝2，∴PC ＝2.在Rt △ABC 中，∵AB ＝2，BC ＝2，∴AC ＝ 2.∴在Rt △P AC 中，cos ∠PCA ＝22，∴∠PCA＝45°，即二面角P —BC —A 的大小为45°.题型四：线面垂直性质定理的应用例4：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1.证明：如图所示，连接AB 1、B 1C 、BD .∵DD 1⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD .∴DD 1⊥AC .又∵AC ⊥BD ，且BD ∩DD 1＝D ，∴AC ⊥平面BDD 1. ∵BD 1平面BDD 1，∴BD 1⊥AC .同理可证BD 1⊥B 1C .∴BD 1⊥平面AB 1C .∵EF ⊥A 1D ，A 1D ∥B 1C ，∴EF ⊥B 1C .又EF ⊥AC ，且AC ∩B 1C ＝C ，∴EF ⊥平面AB 1C ，∴EF ∥BD 1.变式训练3：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在A 1D 、AC上，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .若G 是AB 的中点，则E 在A 1D 上什么位置时，能使EG ⊥平面AB1C?解：若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG⊥平面AB1C.题型五：面面垂直性质定理的应用例5：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，求证：P A⊥平面ABC.证明：如图所示，在BC上任取一点D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，∵平面P AC⊥平面ABC，且平面P AC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面P AC，又∵P A平面P AC，∴DF⊥P A，同理DG⊥P A，又∵DF∩DG＝D且DF平面ABC，DG平面ABC，∴P A⊥平面ABC.变式训练5：如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．求证：AM⊥PM.证明：如图连接AP.矩形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥DC，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴AD⊥平面PDC，BC⊥平面PDC，又∵PD平面PDC，PC平面PDC，∴AD⊥PD，BC⊥PC，在Rt△P AD和Rt△PMC中，易知AP2＝AD2＋PD2＝(22)2＋22＝12，PM2＝PC2＋MC2＝22＋(2)2＝6，又∵Rt△ABM中，AM2＝AB2＋BM2＝22＋(22)2＝6，∴AP2＝PM2＋AM2，∴AM⊥PM.题型六：垂直关系的综合应用例6：如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，F A＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.证明：(1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD ＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因为∠AEF ＝45°，所以∠FEB ＝90°，即EF ⊥BE .因为BC 平面BCE ，BE 平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE .(2)取BE 的中点N ，连接CN ，MN ，则MN 綊12AB 綊PC ，所以PMNC 为平行四边形．所以PM ∥CN . 因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，所以PM ∥平面BCE .变式训练6：如图，四棱锥S －ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD＝1，SD ＝2，BC ⊥BD ，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .(1)证明：DE ⊥平面SBC ；(2)证明：SE ＝2EB .证明：(1)连接BD ，∵SD ⊥平面ABCD ，故BC ⊥SD ，又∵BC ⊥BD ，BD ∩SD ＝D ，∴BC ⊥平面BDS ，∴BC ⊥DE . 作BK ⊥EC ，K 为垂足，因平面EDC⊥平面SBC ，故BK ⊥平面EDC ，BK ⊥DE . 又∵BK 平面SBC ，BC 平面SBC ，BK ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面SBC .(2)由(1)知DE ⊥SB ，DB ＝2AD ＝ 2.∴SB ＝SD 2＋DB 2＝6，DE ＝SD ·DB SB ＝233，EB ＝DB 2－DE 2＝63，SE ＝SB －EB ＝263，∴SE ＝2EB . 三.方法规律总结1．线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直．2．在证明面面垂直时，一般方法是从一个平面内寻找另一个平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决(所作辅助线要有利于题目的证明)，即由线面垂直证面面垂直．3．空间中线线、线面、面面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下：4．会用线面垂直的性质定理证明平行问题，用面面垂直的性质定理证明垂直问题．四：课后练习作业一、选择题1．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是(B) A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥l D．若m∥l，则m⊥α【解析】A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(A)A．平面A1DCB1 B．平面DD1C1C C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB【解析】连接A1D、B1C，由ABCD—A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.3．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(C)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC【解析】由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面P AE，∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面P AE成立，平面P AE⊥平面ABC也成立．4．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(C) A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解析】A错，可能l∥β；B错，可能l∥β；C正确；D错，不一定l⊥β.5．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b (B)A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行【解析】当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．6．空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A点在平面BCD的射影是△BCD的(A)A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】设A点在平面BCD内的射影为O.可知，△OAB≌△OAC≌△OAD.∴OB＝OC＝OD，∴点O为外心．7．下列说法中正确命题的个数为(B)①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；③如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；④如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必在这个平面内；⑤如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线．A．0B．1C．2D．3【解析】如图(1)所示，l与α相交(不垂直)，此时也有无数条直线与l垂直．故①②错误；如图(2)所示，l与α平行，此时平面内也存在无数条直线与l垂直，故③④错误；如图(3)所示，直线l与平面α的垂线m垂直，但l不在平面α内；由线面垂直的定义可知，⑤正确．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是(A)A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF【解析】∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是(B)A．平面ADC⊥平面BDCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝45°.∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°.∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD.∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在(A)A．线段B1C上B．线段BC1上C．BB1中点与CC1中点的连线上D．B1C1中点与BC中点的连线上【解析】连接AC，B1C，AB1，由线面垂直的判定可知BD1⊥平面AB1C.若AP平面AB1C，则AP⊥BD1.这样只要P在B1C上移动即可．二、填空题11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．垂直D⊥平面ABCD，AC平面【解析】∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵DABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.∵AC平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.12．如图所示，已知P A⊥平面α，PB⊥平面β，垂足分别为A、B，α∩β＝l，∠APB＝50°，则二面角α－l－β的大小为________．130°【解析】如图，设平面P AB∩l＝O，连接AO，BO，AB，∵P A⊥α，lα，∴P A⊥l.同理PB⊥l，而PB∩P A＝P，∴l⊥平面P AB，∴l⊥AO，l⊥BO，∴∠AOB即为二面角α－l－β的平面角．结合图形知∠AOB＋∠APB＝180°，∴∠AOB＝130°.13．如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD＝______.13 cm【解析】连接BC.因为平面α⊥平面β，且α∩β＝l，又因为BD平面β，且BD⊥l，所以BD⊥平面α.又∵BC平面α，∴BC⊥BD.所以△CBD也是直角三角形．在Rt △BAC 中，BC ＝32＋42＝5.在Rt △CBD 中，CD ＝52＋122＝13.所以CD 长为13 cm.14．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α与β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.若①③④，则②(或若②③④，则①)【解析】利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．15．如图平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝_______a【解析】如图所示，取BC 的中点E ，连接ED ，AE ，∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，∵平面ABC ⊥平面BDC .∴AE ⊥平面BDC ，∴AE ⊥ED .在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，AE ＝ED ＝12BC ＝22a ，∴在Rt △AED 中，AD ＝AE 2＋ED 2＝a .三、解答题16．如图所示，AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，M 是圆周上任意一点，AN ⊥PM ，垂足为N .求证：AN ⊥平面PBM .证明:设圆O 所在的平面为α，∵P A ⊥α，且BM α，∴P A ⊥BM .又∵AB 为⊙O 的直径，点M 为圆周上一点，∴AM ⊥BM ，∵直线P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM .又AN 平面P AM ，∴BM ⊥AN .这样，AN 与PM ，BM 两条相交直线垂直．故AN ⊥平面PBM .17．如图所示，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA ，SB ，SC 且∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°.求证：平面ABC ⊥平面BSC .【证明】（法一）取BC 的中点D ，连接AD ，SD .∵∠ASB ＝∠ASC ，且SA ＝SB＝AC ，∴AS ＝AB ＝AC .∴AD ⊥BC .又△ABS 是正三角形，△BSC 为等腰直角三角形，∴BD ＝SD .∴AD 2＋SD 2＝AD 2＋BD 2＝AB 2＝AS 2.由勾股定理的逆定理，知AD ⊥SD .又∵SD ∩BC ＝D ，∴AD⊥平面BSC .又AD 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC .（法二）同法一证得AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，则∠ADS 即为二面角A —BC —S 的平面角．∵∠BSC ＝90°，令SA ＝1，则SD ＝22，AD ＝22，∴SD 2＋AD 2＝SA 2.∴∠ADS ＝90°.∴平面ABC ⊥平面BSC .18．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，分别交AC 、SC 于D 、E ，且SA ＝AB ＝a ，BC ＝2a .(1)求证：SC ⊥平面BDE ；(2)求平面BDE 与平面BDC 所成二面角的大小．(1)证明：∵SA ⊥平面ABC ，又AB 、AC 、BD 平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，SA ⊥BD ，∴SB ＝SA 2＋AB 2＝2a .∵BC ＝2a ，∴SB ＝BC .∵E 为SC 的中点，∴BE ⊥SC .又DE ⊥SC ，BE ∩DE ＝E ，∴SC ⊥平面BDE .(2)由(1)及BD 平面BDE ，得BD ⊥SC .又知BD ⊥SA ，∴BD ⊥平面SAC .∴BD ⊥AC 且BD ⊥DE .∴∠CDE 为平面BDE 与平面BDC 所成二面角的平面角．∵AB ⊥BC ，AC ＝AB 2＋BC 2＝3a .∴Rt △SAC中，tan ∠SCA ＝SA AC ＝33，∴∠SCA ＝30°.∴∠CDE ＝60°，即平面BDE 与平面BDC 所成二面角为60°.19.如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形.（1）求证：DM APC ∥平面；（2）求证：ABC APC ⊥平面平面.证明:（1）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴MD //AP ,又MD不在平面APC 上，∴MD //平面APC.（2）∵△PMB 为正三角形，又D 为PB 中点. ∴MD ⊥PB .又由（1）知MD //A P , ∴AP ⊥PB . 又AP ⊥PC , 且PB ∩PC =P ，∴AP ⊥平面PBC , ∴AP ⊥BC , 又∵AC ⊥BC , 且AP ∩AC =A ∴BC ⊥平面APC , 又BC 在平面ABC 内，∴平面ABC ⊥平面APC .20．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中 点，MN ⊥平面A 1DC .求证：(1)MN ∥AD 1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1. MD B P C A(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 21．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面P AD ；(2)求证：AD ⊥PB .证明：(1)连接PG ，BD .由题知△P AD 为正三角形，G 是AD 的中点，∴PG ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PG 平面P AD ，∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形且∠DAB ＝60°，∴△ABD 是正三角形，∴BG ⊥AD .又AD 平面P AD ，PG 平面P AD ，且AD ∩PG ＝G ，∴BG ⊥平面P AD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又BG 平面PBG ，PG 平面PBG ，且BG ∩PG ＝G ，AD ⊥平面PBG ，∴AD ⊥PB .。
两个平面垂直的判定与性质
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定与性质的关
系 • 两个平面垂直在实际生活中的应
用 • 两个平面垂直的典型例题解析
目录
01
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
01
02
03
判定定理
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 则这两个平面垂直。
线来证明。
性质的应用
01
在几何学中，两个平面垂直的性 质可以用于证明空间几何中的一 些定理和性质，例如空间几何中 的勾股定理等。
02
在物理学中，两个平面垂直的性 质可以用于研究物体的运动和力 的作用，例如物体在重力作用下 的运动轨迹等。
03
两个平面垂直的判定与性质
的关系
判定与性质的联系
判定是性质的依据
两条相交直线
在给定平面内选择两条不 平行的直线，这两条直线 必须相交。
垂直关系
这两条相交直线必须与另 一个平面垂直。
判定定理的证明
证明思路
通过反证法证明，假设两个平面不垂直，则它们必然存在一个公共点，由此可以确定一条过该点的直线。由于这 条直线同时位于两个平面内，因此它必然与两个平面都垂直。这与题目中给定的条件矛盾，因此假设不成立，所 以两个平面垂直。
家装设计
在家装设计中，需要确保墙面、 地面和天花板之间的垂直度，以
提高家居的美观度和舒适度。
家具摆放
在家具摆放时，需要确保家具与 地面垂直，以提高家具的稳定性
和安全性。
悬挂物品
在悬挂物品时，需要确保物品与 墙面垂直，以提高物品的稳定性
和安全性。
05
两个平面垂直的典型例题解
析
例题一解析
垂直线的性质与判定
垂直线的性质与判定垂直线是几何学中的一个重要概念，在解题过程中经常会涉及到垂直线的性质和判定。
本文将探讨垂直线的定义、性质以及如何准确判定两条直线是否垂直的方法。
一、垂直线的定义在平面几何中，垂直线又称为垂直于某一直线或垂直于某一平面的线段。
当两条直线的交角为90度时，我们可以称这两条直线垂直。
垂直线以其与其他线段之间的垂直关系而得名，具有以下几个重要性质。
二、垂直线的性质1. 互相垂直线的斜率的乘积为-1若两条直线的斜率分别为k1和k2，且k1*k2=-1，则这两条直线互相垂直。
2. 垂直线段的端点连线长度相等若两个线段的端点分别为A、B和C、D，并且AC与BD垂直，则AC的长度等于BD的长度。
3. 垂直线的特殊性质垂直线与直线组成直角。
在平面几何中，如果有一直线与另一直线垂直相交，则两直线之间形成的角为直角。
三、判定垂直线的方法1. 斜率判定法如果两条直线的斜率乘积为-1，即k1*k2=-1，则两条直线垂直。
2. 互相垂直线段端点连线长度相等法如果有两个线段，它们的端点分别为A、B和C、D，并且AC与BD互相垂直，那么这两个线段长度相等。
3. 垂直线的特殊性质判定法如果一条直线与另一直线形成的角为90度，则两条直线垂直。
四、示例以下是一些关于判定垂直线的示例问题。
1. 已知直线L1的斜率为2，判断直线L2是否与L1垂直。
解答：如果直线L2的斜率为-1/2，则L2与L1垂直。
2. 在平面直角坐标系中，已知线段AB与线段BC相交于点B，且AB与BC的长度相等，判断线段AB与BC是否垂直。
解答：线段AB与BC垂直的判据是线段AB与BC的端点连线长度相等。
3. 以AB为直径的圆与MN相交于点C，若MC的长度为8cm，判断AC与BC是否垂直。
解答：判定AC与BC垂直的方法是通过角度判断，即判断∠ACB 是否为90度。
五、总结垂直线作为几何学中的重要概念，其性质和判定方法在解题过程中起到重要的作用。
本文讨论了垂直线的定义、性质和判定方法，并通过示例问题对判定垂直线的方法进行了说明。
线面垂直 面面垂直的性质与判定定理
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
符号语言：
ab
a ,b a//b
α
线面垂直关 系
线线平行关 系
平面与平面垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
a/ / ,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
α
Aa
β
a⊥β
B
例3 ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
证明：设 I l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
I b b
l
l
b
α 发展条件
转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
垂直线的判定与性质
垂直线的判定与性质在几何学中，垂直线是一个重要的概念。
在本文中，我们将讨论如何判定两条线是否垂直以及垂直线的性质。
通过了解垂直线的定义和性质，我们可以更好地理解几何学中的垂直关系。
一、垂直线的定义垂直线是指两条线或线段之间的夹角为90度的线。
当两条线或线段的夹角等于90度时，我们就可以说它们是垂直的。
这个定义告诉我们如何判定两条线是否垂直。
二、垂直线的判定方法1. 几何推理法：通过几何推理的方法，可以快速判定两条线是否垂直。
如果两条线段之间的夹角为90度，那么它们就是垂直的。
通过观察几何图形的形状和角度，我们可以轻松判定线段是否垂直。
2. 斜率法：在解析几何中，我们可以使用斜率来判断两条线段是否垂直。
如果两条线段的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。
具体的计算方法是比较两条线段的斜率乘积是否等于-1，如果等于-1，则说明它们是垂直的。
三、垂直线的性质1. 互补角性质：两条垂直线之间的夹角是互补角，即它们的和等于90度。
这个性质使得我们可以通过已知其中一条垂直线的角度，快速计算出另一条垂直线的角度。
2. 线段垂直平分性质：如果一条线段与另外两条垂直线相交，并将它们分成两部分，那么这条线段就是这两条垂直线的垂直平分线。
这个性质在几何证明中经常被使用，它说明了垂直线的重要性。
3. 垂直线的延伸性：垂直线可以无限延伸。
无论在平面内或空间中，一条垂直线都可以一直延伸下去，没有止境。
这个性质使得垂直线在几何学中具有独特的特点和应用。
四、垂直线的应用1. 建筑设计：在建筑设计中，垂直线的应用非常广泛。
例如，在建造一栋建筑物时，垂直线被用来确保墙面的垂直和地面的垂直。
通过使用垂直线，可以保证建筑物的结构稳定和美观。
2. 地图标示：在地图上，垂直线通常用来标示方向。
例如，纬度线和经度线是垂直于彼此的线，它们被用来确定地球上任意一个地点的位置。
通过使用垂直线，我们可以准确地定位和导航。
3. 几何证明：在几何证明中，垂直线经常被用来推导其他几何命题。
高中几何知识解析垂直线的性质与判定
高中几何知识解析垂直线的性质与判定在几何学中，垂直线是一种重要的概念。
垂直线的性质与判定在解决几何问题时起着重要的作用。
本文将对高中几何知识中垂直线的性质与判定进行详细解析。
一、垂直线的性质垂直线的性质主要表现在以下几个方面：1. 垂直线的定义垂直线是指两条直线相交的情况下，相交角度为90度的直线。
就是说，两条直线互相垂直。
在数学上，通常用垂直符号“⊥”来表示垂直关系。
2. 垂直线的特点垂直线的特点主要体现在以下几个方面：(1) 垂直线的斜率积为-1。
斜率是直线的一个重要性质，垂直线的斜率之积为-1。
(2) 垂直线上的线段等于零度线段。
两个垂直线上的线段，在相交点处等于零度线段。
3. 垂直线的性质应用在实际生活和学习中，垂直线的性质应用广泛。
比如，在建筑设计中，为了保证立柱的稳定性，垂直线的使用是必不可少的。
此外，在地图测量、平面布局等方面，垂直线的运用也十分重要。
二、垂直线的判定方法在几何学中，判定两条线是否垂直是非常重要的。
有以下几种常见的判定方法：1. 通过斜率判定两条直线的斜率之积为-1时，可以判定这两条直线垂直。
具体的判定步骤如下：(1) 计算两条直线的斜率。
(2) 如果两条直线的斜率之积等于-1，则可以判断这两条直线垂直。
2. 通过向量判定两条非零向量的数量积为0时，可以判定这两条向量垂直。
具体的判定步骤如下：(1) 计算两条向量的数量积。
(2) 如果两条向量的数量积等于0，则可以判断这两条向量垂直。
3. 通过坐标判定两条线段所在直线的法向量相同时，可以判定这两条线段垂直。
具体的判定步骤如下：(1) 确定两条线段的方向向量。
(2) 计算两条线段方向向量之间的夹角。
(3) 如果两条线段方向向量之间的夹角为90度，则可以判断这两条线段垂直。
三、垂直线的应用举例1. 正交坐标系在二维平面几何中，正交坐标系是一种常见的坐标系形式。
正交坐标系的特点就是两条坐标轴垂直。
2. 直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个内角为90度。
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2.如图，已知ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，则下列结论 中不正确的是( )
A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PCD⊥平面PAD C．平面PAB⊥平面PBC D．平面PCD⊥平面PBC
3.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形 的个数为________．
4．已知平面α，β和直线m，给出条件： ①m∥α；②m⊥α；③m α；④α⊥β；⑤α∥β. 当满足条件________时，m⊥β.(填符合条件的序号)
(2) 如图， ⊥⊙ O所在平面， AB是⊙O的直径，C是⊙O上一 点，AE ⊥PC ，PA AF ⊥ PB，给出下列结论：①AE⊥ 点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；
③AF⊥BC；④ AE⊥平面 PBC，其中真命题的序 ③AF⊥BC；④AE⊥平面 PBC，其中真命题的序号是 ________．
一、思考辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.( )
(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则 α⊥β.( )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于 另一个平面．( )
二、牛刀小试 1．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置 关系为( ) B．b∥α D．b与α相交 A．b α C．b α或b∥α
1．(2013· 浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个 不同的平面( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
2．(2015· 济南模拟)如图，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在 的平面互相垂直，FA⊥AC，EF∥AC，AB＝ 2，EF＝FA＝1. (1)求证：CE∥平面BDF； (2)求证：BE⊥平面DEF.
B．②③
C．①③
D．②④
高频考点，发散思维 直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多
角度一：线线、线面、面面平行与垂直相结合考查
考点二 解答题，难度适中，属中档题，且主要有以下几个命题角度：
线、面垂直的判定及性质
[例2] (2014· 辽宁高考)已知m，n表示两条不同直线，α表示平 面．下列说法正确的是( )
(2015· 天津模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三 个不同的平面，有以下四个命题：
α∥ β ⇒ β∥γ； ① α∥ γ m⊥ α ⇒ α⊥β； ③ m∥ β 其中正确的命题是( A．①④ )
α⊥ β ⇒ m⊥β； ② m∥α
④
⇒ m∥α.
[探究1]
在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.
[探究2]
在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝ 1 90° ，AC＝BC＝ AA1，D是棱AA1的中点． 2 (1)证明：平面BDC1⊥平面BDC； (2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这 两部分体积的比．
5．将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB＝________．
考点一
线面垂直、面面垂直的基本问题
[例1] (1)(2015· 郑州模拟)设α，β分别为两个不同的平面，直线 l α，则“l⊥β” 是“α⊥β”成立的( A．充分不必要条件 C．充要条件 ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂 直 ”； ④利用面面垂直的性质． (3)判定面面垂直的方法 ①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a α，a⊥β⇒ α⊥β.
1种关系——三种平行间的转化关系
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若 图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直 时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线 面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
3种方法——三种垂直关系的证明 (1)判定线线垂直的方法 ①定义：两条直线所成的角为90° ； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a⊥α，b α⇒ a⊥b； ④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒ a⊥b. (2)判定线面垂直的常用方法 ①利用线面垂直的判定定理； ②利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面 垂直”；
角度三：以多面体为载体，考查与线面垂直有关的探索性问题 [例4] (2015· 温州模拟)如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90° ， D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿 DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2所示． (1)求证：A1F⊥BE； (2)线段A1B上是否存在点Q， 使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理
2.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面 上的射影所成的 ，叫做这条直线和这 个平面所成的角．如图所示， 就是 斜线AP与平面α所成的角． π (2)线面角θ的范围：θ∈0， 2 . 3．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的 所组成的图形 叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两 个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的
考纲下载 1．立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空 间中线面垂直的有关性质和判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间图 形的位置关系的简单命题．
一、必备知识 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面 α 内的 面 α 互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理 直线都垂直， 就说直线 l 与平
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
角度二：以多面体为载体，证明线面垂直问题 [例3] (2014· 湖北高考)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，
E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的 中点．求证： (1)直线BC1∥平面EFPQ； (2)直线AC1⊥平面 PQMN.
3．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的 所组成的图形 叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两 个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的 角叫做二面角的平面角．
4． 平面与平面垂直的判定定理 4． 平面与平面垂直的判定定理
二、必记结论 直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内 的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于 这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
3.如图，在正方体ABCD BC的中点．
A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱
(1)求证：直线AE⊥直线DA1； (2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥ 平面DFG？并说明理由．
题根迁移，多维探究 考点三
面面垂直的判定及性质
[例5] (2015· 济南模拟)如图，四棱锥PABCD中，AB⊥AC， AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB， AB，BC，PD，PC的中点．求证： (1)CE∥平面PAD； (2)平面EFG⊥平面EMN.