线面垂直的判定及性质
线面垂直、面面垂直的判定与性质
本周知识小结：直线与平面垂直的判定和性质：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线例3、.(2012·广东高考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点,且DF=21AB,PH为△PAD中AD边上的高.(1)证明:PH⊥平面ABCD.(2)若PH=1,AD= 2，FC=1,求三棱锥E-BCF的体积.(3)证明:EF⊥平面PAB.例4、（09一模东城）如图，ABCD是边长为2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角C AB F--是直二面角，AF a=，G是EF的中点．（Ⅰ）求证：平面AGC⊥平面BGC；（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的大小；例5、（09年崇文一模）在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，AB CD∥，1AB AD==，12D D CD==，AB AD⊥．（Ⅰ）求证：BC⊥平面1D DB；（Ⅱ）求1D B与平面11D DCC所成角的大小．例6、如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC角形，AB＝2，O是AB中点．(1)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；(2)求证：平面PAB⊥平面ABC.课后练习：B1、若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.倍B.2倍C.倍D.倍2、(2013·惠州高一检测)某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为5的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.则该几何体的体积为( )A.24B.80C.64D.2403、(2013·宿州高一检测)如图,四边形BCC1B1是圆柱的轴截面.AA1是圆柱的一条母线,已知AB=2,AC=2,AA1=3.(1)求证:AC⊥BA1.(2)求圆柱的侧面积4、如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=a,则PC=5、对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β6、(2012·上海高考)一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积为.。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
高一数学必修2线、面垂直的判定与性质
α β a A 线、面垂直的判定与性质一、线、面垂直的判定与性质1.线面垂直的定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面α 互相垂直.2.线面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 直线与平面垂直3.（1）的射影所成的角（2）（3一条直线与平面所成的角的取值范围是 4.二面角相关概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB即为二面角α-AB-β的平面角注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.二面角的取值范围 5.面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为β⊥α6.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行8.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 面面垂直⇒线面垂直α⊥l 记为⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫l a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = ]90,0[0[]]0[180,000π，或a β⊂a α⊥面⇒βα⊥//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭a b αa bl a a l αβαββ⊥⎫⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭a α⇒⊥二、例题解析题型一、判断问题例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定变式：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()A．①③B．①②C．②④D．①④例2、已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则( )A．α⊥βB．α∥βC．α与β不垂直D．以上都有可能变式：下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β例3、已知b⊥平面α，a⊂α，则直线a 与直线b 的位置关系是( )A．a∥b B．a⊥b C．直线a 与直线b 垂直相交D．直线a 与直线b 垂直且异面变式1：下面四个命题，其中真命题的个数为( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l 与平面α不垂直，则直线l 和平面α内的所有直线都不垂直；④如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条直线与直线l 垂直．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个变式2：已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是()①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4 B．3C．2D．1题型二：求角问题（线面角、面面角）例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．变式：如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5且它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．例2、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BC －A 1的平面角是( )A ．∠ABCB ．∠ABB 1C ．∠ABA 1D ．∠ABC 1变式：如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，求二面角P －CD －B 的大小．题型三：证明问题例1、如图，在三棱锥 A-BCD 中，AD ，BC ，CD 两两互相垂直，M ，N分别为 AB ，AC 的中点．(1)求证：BC ∥平面 MND ；(2)求证：平面 MND ⊥平面 ACD .变式： 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，AB=2，,侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.BC A B C D P三、巩固练习1．在三棱锥V -ABC 中，VA ＝VC ，AB ＝BC ，则下列结论一定成立的是( )A ．VA ⊥BCB ．AB ⊥VCC ．VB ⊥ACD ．VA ⊥VB2．若A ∈α，B ∈α，A ∈l ，B ∈l ，P ∈l ，则( )A ．P ⊂αB ．P αC ．l αD ．P ∈α3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.2 65C.155D.1055．设x ，y ，z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x ，y ，z 均为直线；②x ，y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x ，y 是平面；④x ，y ，z 均为平面．其中使“x ⊥z ，且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是( )A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②6．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与A 1D 所成的角等于__________．7如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则二面角C 1-BD -C 的正切值为________．8.如图，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .。
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】空间中的垂直关系1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果 ，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .求证：AB DE ⊥ 9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PADVDCBA SA10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。
高中数学必修二4.线面垂直的性质及判定
αO A B CαOAB授课内容 线面垂直的判定及性质教学内容知识梳理1 、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行4、斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上5．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角。
直线和平面所成角范围： [0，2π]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角【同步练习】1、下列命题中正确的个数是（ ）①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则α⊥l ； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则α⊥l ；③如果直线l 不垂直于α，则α内也没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也有无数条直线与l 垂直。
A 、0 B 、1 C 、2 D 、32、若直线l ⊥平面α，直线α⊂m ，则（ ）A 、m l ⊥B 、l 可能和m 平行C 、l 和m 相交D 、l 和m 不相交3、直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是（ ） A 、β⊥a B 、a ∥β C 、β⊂a D 、β⊂a 或a ∥β4、给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面；③互相平行的两条直线，在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ④过点P 有且仅有一条直线与异面直线l ，m 都垂直。
直线、平面垂直的判定与性质
2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2.3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α概念方法微思考1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二教材改编2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β。
直线、平面垂直的判定与性质
直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直.我们就说直线与平面互相垂直.记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。
要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”.这与“无数条直线”不同.注意区别。
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。
(3)若.则。
2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直.则该直线与此平面垂直。
符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语.不可忽视。
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直.至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点.则无关紧要。
知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交.但不和这个平面垂直.这条直线叫做这个平面的斜线。
过斜线上斜足外的一点向平面引垂线.过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.叫做这条直线和这个平面所成的角。
要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直.直线在平面的射影是一条直线。
(2)直线与平面垂直射影是点。
(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
(4)一条直线垂直于平面.它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内.它们所成的角是0°的角。
知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分.这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面。
表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便.也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点.将这个二面角记作二面角.如果棱记作.那么这个二面角记作二面角或。
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心
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15
课堂小结
本节课我们学习了哪些知识？运用这些知识 能解决什么问题？
1. 怎样证明直线与平面垂直？ 2. 怎样证明直线与直线垂直？ 线线垂直 判定定理 线面垂直
定 义
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课后作业
1. 教材 67 页练习第 1 题 2. 74 页 B 组第 2 题 3. 预习直线与平面所成的角和二面角（教材 66-68 页）
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17
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18
新课导入
在中国古代第一部数学专著《九章算术》中， 就提出将底面为长方形且有一条侧棱与底面 垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角 三角形的四面体称之为鳖臑。
（阳马）
（鳖臑）
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19
新课导入
探究 1：什么叫做直线与平面垂直呢？此直线
和平面内的所有直线的关系又是怎样呢？
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20
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证明：在 内作两条相交直线 m, n a ,m ,n
a
b
m
n
a m, a n a // b b m,b n
————线面垂直定义
又 m, n 是相交直线
b
————线面垂直的判定定理
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14
课堂练习
练习 1.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 求证：(1) BD 平面 ACC1A1 ；
例题分析
例 1．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中。
D1
(1) BD 平面 CDD1C1 吗？为什么？ A1
C1 B1
(2) AD 平面 CDD1C1 吗？为什么？ (3) A1A BD 吗？为什么？
D C
A
B
图 10
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13
例题分析
例 2.已知 a // b, a , 求证： b
必修二
2.3.1 直 线 与 平 面 垂直的判定
吉林二中 范雪晶
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1
复习提问
1、直线和平面的位置关系是什么？
（1）直线在平面内——无数个公共点 （2）直线和平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线和平面平行——没有公共点
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2
复习提问 2、观察以下图片：
如果将图片中的旗杆、比萨斜塔和电线杆抽象为直线，地面
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6
直线与平面垂直的定义：
注意：①理解“任意”，表示所有。如果直线与平面内 的所有直线都垂直，直线才与该平面垂直。
②根据定义，若直线与平面垂直，则直线与该 平面内的任意直线都垂直。
即
l
mLeabharlann lm精选文本
7
新课讲解
想一想：利用定义判定直线与平面垂直时很难做到的，
那么有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直 呢？
然后将翻折后的纸片竖起放置在桌面上
A
（ BD, DC 与桌面接触）
试问：折痕 AD 与桌面垂直吗？
BD
C
如何翻折才能使 AD 与桌面所在平面垂直？
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9
新课讲解
【实验 2】
如图， AD BD, AD CD ，固定 BD ，保持 DC 紧贴桌面， 让折纸的 CAD 部分绕着 AD 旋转。请问： CAD 能转动吗？
A
小结：线不在多，相交就行.
D
B
C
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10
直线与平面垂直的判定定理：
定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直.
符号语言：
lm
ln
m
,
n
l
α
m n o
l m On
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11
解决问题
讨论前面提出的问题，即怎样才能知道电线杆被扶直了？
两种方法： ①过电线杆与地面的交点在地面内画两条相交直线， 用直角尺分别检验电线杆与两直线所成的角是否为直角； ②在电线杆上取一点（该点离电线杆与地面交点 8 米）， 在该点系上两条长 10 米的绳子，再将这两条绳子的另一 端固定在地面离交点 6 米的地精选方文，本 看两条绳子是否被拉直。 12
(2) BD A1C .
D1 A1
D A
C1 B1
C B
练习 2.过 ABC所在平面 外一点 P，作 PO ,垂足为 O,
连接 PA,PB,PC.
（1）若 PA=PB=PC， C 90 ,则 O 是 AB 边的
点
（2）若 PA=PB=PC，则 O 是 ABC的
心
（3）若 PA PB, PB PC, PC PA, 则 O 是 ABC的
抽象为平面，如上图，请问这三个图形中的直线与平面的位
置关系分别是怎样的？
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3
新课讲解
找一找：（1）在教室里找直线与平面垂直的例子； （2）在已学过的几何体中找直线与平面垂直的例子.
D1
P C1
O1
A1
B1
D
C
A
B
O
O
图3
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4
新课讲解
想一想：圆锥、圆柱是怎样形成的？ 从圆锥与圆柱的形成过程中，你们看到了 直线与平面垂直有什么特征吗？
议一议：你们觉得直线与平面垂直的特征是什么？
说一说：你认为应当怎样定义直线与平面垂直？
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5
直线与平面垂直的定义：
如果直线 l 和平面 内的任意一条直线都垂直，我们 就说直线 l 和平面 互相垂直。
记作： l .
其中直线 l 叫做平面 的垂线， 平面 叫做直线 l 的垂面.
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P 叫做垂足。
议一议：下列条件能判断直线与平面平行吗？
（1）直线 l 和平面 内的一条直线垂直 （2）直线 l 和平面 内的两条平行直线垂直 （3）直线 l 和平面 内的两条相交直线垂直
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8
新课讲解
【实验 1】
请你拿出准备好的三角形纸片，我们一起来做一个实验：
如图，过 ABC 的顶点 A 翻折纸片，得到折痕 AD ，