必修2直线与平面垂直的判定与性质试题及答案
直线与平面垂直的判定与性质
一、选择题
1．两异面直线在平面α内的射影（）
A．相交直线B．平行直线
C．一条直线—个点D．以上三种情况均有可能
2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）
A．有且只有—个B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个D．—定不存在
3．在空间，下列哪些命题是正确的（）
①平行于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．
A．仅②不正确B．仅①、④正确C．仅①正确D．四个命题都正确
4．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）A．必相交B．必为异面直线C．垂直D．无法确定
5．下列命题
①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；
②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；
③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；
④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．
其中，正确的命题有（）
A．1个B．2个C．3个n 4个
6．在下列四个命题中，假命题为（）
A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直
B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边
C．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内
D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面
7．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD 内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）
A．圆内接四边形B．矩形C．圆外切四边形D．平行四边形
8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离等于（）
2C．35D．45
A．5B．5
二、填空题
9．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A_________．
10．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l⊥α，m α和m⊥γ，现给出以下四个结论：
①α∥γ且l⊥m；②αγ且m∥β③αβ且l⊥m；④αγ且l⊥m；其中正确的为“________”．（写出序号即可）
11．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．
12．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且P A⊥平面A BCD则在△P AB、△PBC、△PCD、△P AD、△P AC及△PBD中，为直角三角形有_________个．
13．给出以下四个命题
（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线；
（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线；
（3）两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线；
（4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角．
其中假命题的共有_________个．
14．若一个直角在平面α内的射影是一个角，则该角最大为___________．
三、解答题
15．已知直线a∥平面α,直线b⊥平面α，求证：a⊥b．
16．如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过B l作B1⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：AC⊥平面EB l D1
17．如图在△ABC中，已知∠ABC＝90°，SA⊥△ABC所在平面，又点A在SC和SB 上的射影分别是P、Q．
求证：PQ⊥SC．
18．已知在如图中，∠BAC在平面α内，点P α，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF，
求证：∠BAO＝∠CAO，
19．已知：点P与直线a，试证；过点P与a垂直的直线共面．
20．四面体ABCD的棱AB⊥CD的充要条件是AC2＋BD2＝AD2＋BC2．
四、思考题
对于一个三角形，它的三条高线总相交于—点，而对于一个四面体，它的四条高线是否总相交于一点呢?若不总相交于一点，则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢?这是一个美丽而非凡的问题，请读者进行研究拓展．
参考答案
一、选择题
1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D
二、填空题
9．2
2b a － 10．③、④ 11．4 12．5 13．4 14．180°
三、解答题
15．证明：设β为过a 的平面，且α∩β＝l ．
∵a ∥α，∴a ∥l ．
∵b ⊥l ，∴b ⊥a ．
16．证明：∵AB ⊥面B 1C ，BC 1为AC 1在平面B 1C 上的射影，且B 1E ⊥BC 1，∴由三垂线定理知B 1E ⊥AC 1．
又∵AA 1⊥面A 1C 1，AB ＝BC ，A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1是AC 1在面A 1C 1上的射影
∴由三垂线定理得AC 1⊥B 1D 1．
又∵B 1E ∩B 1D 1＝B 1，
∴AC 1⊥平面EB 1D 1．
17．证明：∵SA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，
∴SA ⊥BC ．
又∵AB ⊥BC 且SA ∩AB ＝A ，
∴BC ⊥面SAB ，AQ ⊂面SAB ．
∴BC ⊥AQ ，又AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ．
∵AQ ⊥面SBC ．
∴PQ 是斜线AP 在平面SBC 上的射影，
又∵AQ ⊥SC ，
∴由三垂线定理的逆定理可得PQ ⊥SC ．
18．证明：∵PO ⊥α，PE ＝PF ，
∴OE ＝OF ，
又∵PE ⊥AB 、PF ⊥AC ，
∴OE ⊥AB 、OF ⊥AC ．
故Rt △AOE ≌Rt △AOF ，
∴∠BAO ＝∠CAO ．
19．证明：如图，在点P 和直线a 所在的平面β内，过点P 作直线a 的垂线b ，设垂足为A ．设过点P 与β垂直的直线为c ，则必有c ⊥a ，再设由b 、c 确定的平面为α，则必有a ⊥α． 设l 是过点P 与a 垂直的直线，下证：l ⊂α．
若l ⊄α，设由l 与c 确定的平面为α′，
则由a ⊥l ，a ⊥c ，l ∩c ＝P ，
∴a ⊥α′，这样平面α与α′都是过点P 与直线a 垂直的平面．这是一个错误的结论，因此，假设不成立，故必有l ⊂α，也就是说过点P 与a 垂直的直线均在平面α内，于是本题获证．
20．证明：先证必要性：过B作CD的垂线，垂足E，连AE，
∵CD⊥AB，
∴CD⊥平面ABE，
∴CD⊥AE．
∴AC2＝AE2＋CE2、BD2＝BE2＋DE2；
又有AD2＝AE2＋DE2、BC2＝BE2＋CE2．
∴AC2＋BD2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2，
而AD2＋BC2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2．
∴AC2＋BD2＝AD2＋BC2．
再证充分性：过A点作CD的垂线，垂足设为F，于是有：
AD2＝AF2＋DF2、BC2＝BE2＋CE2；
AC2＝AF2＋CF2、BD2＝BE2＋DE2；
∵AD2＋BC2＝AC2＋BD2；
∴AF2＋DF2＋BE2＋CE2＝AF2＋CF2＋BE2＋DE2
∴DF2＋CE2＝CF2＋DE2，
∴DF2―CF2＝DE2―CE2，
∴（DF＋CF）（DF－CF）＝（DE＋CE）（DE－CE），
∴DF－CF＝DE－CE．
∴DF＋CE＝DE＋CF．
∴E、F只能重合于一点，故有CD⊥平面ABE，
∴CD⊥AB．
四、思考题
我们称：三对对棱分别互相垂直的四面体为对棱垂直的四面体．
可以证明：对棱垂直的四面体的四条高线相交于一点，反过来，若一个四面体，若它的四条高线相交于一点，则该四面体一定是对棱垂直的四面体．。
人教版必修2《直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质》知识点 练习 答案
直线与平面、平面与平面垂直的判定及其性质一、知识点： 1、直线与平面垂直： ⑴空间中两直线垂直⎩⎨⎧异面垂直相交垂直⑵直线与平面垂直定义：如果直线l 与平面α内任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直；记作α⊥l ，l 叫α的垂线，α叫l 的垂面； 垂线上任意一点M 到垂足P 之间的线段长度叫点M 到平面α的距离； ⑶如果α⊥l ，则l 与α内任意一条直线都垂直；⑷ ①直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；简称为“线线垂直⇒线面垂直”；用数学符号表示为：P ，n ，m ，n m =⊂⊂ ααm ，l ⊥n l ⊥（5个条件，特别是相交不能丢）⇒α⊥l ；②直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行； 用数学符号表示为：αα⊥⊥，b a a ⇒∥b ； 2、平面与平面垂直：⑴二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；这条直线叫二面角的棱；这两个半平面叫二面角的面；记作二面角Q l P l ----或βα ⑵二面角的求法①作：在棱l 上任取一点O ，分别向两个半平面作棱l 的垂线OM ，ON ，则 MON ∠就是所求的二面角平面角； ②找：已经作好，把它找出来即可；⑶两个平面垂直定义：当两个平面相交，所成二面角平面角为90时，就说这两个平面互相垂直；⑷①两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；简称为“线面垂直⇒面面垂直”； 用数学符号表示为：，a α⊂⇒⊥βa βα⊥；②两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；简称为“面面垂直⇒线面垂直”； 用数学符号表示为：l ，，=⊥βαβα ，a α⊂l a ⊥（4个条件，缺一不可）⇒β⊥a3、求角：①直线与直线所成的角[]900，∈θ；②直线与平面所成的角：直线和它在平面内的射所成的角[]900，∈θ；③平面与平面所成的角（二面角）[]1800，∈θ4、求距离：①点到直线的距离:从一点作直线的垂线,该点到垂足间的线段长度.②点到平面的距离：从一点向平面作垂线，该点到垂足间的线段长度。
高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定及其性质课堂练习及答案
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
知识梳理
直线与平面垂直的判定
1、定义 ： 如果直线 L 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
L 与平面 α 互相垂
直，记作 L⊥ α，直线 L 叫做平面 α 的垂线，平面 α 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面
垂直时 , 它们唯一公共点 P 叫做垂足。
B． 如 果 平 面 α 不 垂 直 于 平 面 β ， 那 么 平 面 α 内 一 定 不 存 在 直 线 垂 直 于 平 面 β
C． 如 果 平 面 α ⊥ 平 面 γ ， 平 面 β ⊥ 平 面 γ ， α ∩ β =l ， 那 么 l ⊥ 平 面 γ
D． 如 果 平 面 α ⊥ 平 面 β ， 那 么 平 面 α 内 所 有 直 线 都 垂 直 于 平 面 β
．Байду номын сангаас
25．如图，正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 的棱长为 1，E 、F 分别是棱 BC、DD 1 上的点，如果 B 1E ⊥平面 ABF ，
则 CE 与 DF 的和的值等于
．
26．如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PA=a ， PB=PD=
5 个面中，互相垂直的面有
∵ AD 1 ∥ BC 1 ， 且 F 、 P 分 别 是 AD 、 DD 1 的 中 点 ， ∴ FP∥ AD 1 ， ∴ BC 1 ∥ FP ， 又 FP? 平 面 EFPQ ， 且 BC 1 ?平 面 EFPQ ， ∴ 直 线 BC 1 ∥ 平 面 EFPQ ；
（ Ⅱ）如图 ，
连 接 AC 、 BD ， 则 AC ⊥ BD ， ∵ CC 1 ⊥ 平 面 ABCD ， BD ? 平 面 ABCD ， ∴ CC 1 ⊥ BD ； 又 AC ∩ CC 1 =C ， ∴ BD ⊥ 平 面 ACC 1 ，
高中数学必修2考点知识专题训练12---直线与平面垂直的性质(含答案解析)
高中数学必直线一、基础巩固1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D A.B 1B ⊥lB.B 1B ∥lC.B 1B 与l 异面但不垂直D.B 1B 与l 相交但不垂直解析:因为B 1B ⊥平面A 1C 1,又因答案:B2.若直线l 垂直于梯形ABCD 面的位置关系是( ) A.相交但不垂直 B.平行C.垂直 D.在平面答案:C3.如图, ADEF 的边AF ⊥平面数学必修2考点知识专题训练直线与平面垂直的性质课时过关·能力提升1中,若直线l (与直线BB 1不重合)⊥平面A 1又因为l ⊥平面A 1C 1,所以l ∥B 1B. BCD 的两腰AB 和CD ,直线m ∥l,则m 与梯形 面ABCD 内平面ABCD ,且AF=2,CD=3,则CE=( )训练C 1,则( ) 形ABCD 所在的平A.2B.3C.√√13解析:因为四边形ADEF为平行四边形,所以AF DE.因为AF⊥平面ABCD,所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF=2,所以DE=2.又CD=3,所以CEൌ√ܥܦଶܦܧଶൌ√94ൌ√13.答案:D4.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中的真命题是()①若m⊥n,n⊂α,则m⊥α;②若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;③若m⊥α,n⊥α,则m∥n;④若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n.A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④解析:①中,直线m垂直于平面α内的一条直线n,则直线m与平面α不一定垂直,所以①不是真命题;②是平面与平面垂直的判定定理,所以②是真命题;③是直线与平面垂直的性质定理,所以③是真命题;④中,分别在两个平行平面α,β内的直线m,n平行或异面,所以④不是真命题.答案:B5.已知地面上有两根相距a m的竖直的旗杆,它们的高度分别是b m和c m(b>c),则它们顶端的距离为m.解析:如图,根据题意可知AD=b m,BC=c m,AB=a m.由线面垂直的性质定理可得AD∥BC.过点C向AD作垂线,设垂足为E,则在Rt△CDE中,CE=a m,DE=(b-c)m,所以CDൌටܽଶ(ܾ-ܿ)ଶሺmሻ.答案:ටܽଶ(ܾ-ܿ)ଶ6.已知直线l,m,a,b,l⊥a,l⊥b,m⊥a,m⊥b,且a,b是异面直线,求证:l∥m.证明:如图,在直线b上任取一点O,过点O作a'∥a,则直线b,a'确定一个平面α.∵a'∥a,l⊥a,∴l⊥a'.∵l⊥b,a'∩b=O,∴l⊥α.同理可证m⊥α,∴l∥m.7.如图,已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,a⊂α,a⊥AB.求证:a∥l.证明:因为EA⊥α,EB⊥β,α∩β=l,所以l⊥EA,l⊥EB.因为EA∩EB=E,EA⊂平面EAB,EB⊂平面EAB,所以l⊥平面EAB.因为a⊂α,EA⊥α,所以a⊥EA.因为a⊥AB,AB∩EA=A,AB⊂平面EAB,EA⊂平面EAB,所以a⊥平面EAB.所以a∥l.二、能力提升1.若a,b是互不相同的直线,α,β是不重合的平面,则下列条件中可推出a∥b的是()A.a⊂α,b⊂β,α∥βB.a∥α,b⊂αC.a⊥α,b⊥αD.a⊥α,b⊂α答案:C★2.已知直线l∩平面α=点O,A∈l,B∈l,A∉α,B∉α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD=()A.2B.1C.ଷଶD.ଵଶ解析:因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.连接OD,所以ைൌ.ை因为OA=AB,所以ைൌଵଶ.ை因为AC=1,所以BD=2.答案:A3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过点D作平面ABC 的垂线DE,其中D∉PC,则DE与平面PAC的位置关系是.解析:因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA.又DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,所以DE∥平面PAC.答案:平行4.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,AE⊥PD于点E,l⊥平面PCD.求证:l∥AE.证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又四边形ABCD是矩形,所以CD⊥AD.因为PA∩AD=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.又AE⊂平面PAD,所以AE⊥DC.因为AE⊥PD,PD∩CD=D,PD⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD.因为l⊥平面PCD,所以l∥AE.5.如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:ிൌா.证明:∵PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,∴PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.又PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC,PC∩AC=C,∴EF⊥平面PAC,∴EF∥BD,ிൌா.★6.如图,△ABC是等边三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:(1)DF∥平面ABC;(2)AF⊥BD.证明:(1)如图,取AB的中点G,连接FG,CG.因为F为BE的中点,所以FG∥AE,FGൌଵܣܧ.ଶ因为CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,所以CD∥AE.因为CDൌଵܣܧ,ଶ所以FG∥CD,FG=CD.所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.因为CG⊂平面ABC,DF⊄平面ABC,所以DF∥平面ABC.(2)在Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,F为BE的中点, 所以AF⊥BE.因为△ABC是等边三角形,所以CG⊥AB,所以DF⊥AB.因为FG⊥平面ABC,所以FG⊥GC,FG⊥DF.因为FG∩AB=G,所以DF⊥平面ABE.因为AF⊂平面ABE,所以DF⊥AF.因为BE∩DF=F,所以AF⊥平面BDF.因为BD⊂平面BDF,所以AF⊥BD.。
高一数学必修2线、面垂直的判定与性质
α β a A 线、面垂直的判定与性质一、线、面垂直的判定与性质1.线面垂直的定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面α 互相垂直.2.线面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 直线与平面垂直3.（1）的射影所成的角（2）（3一条直线与平面所成的角的取值范围是 4.二面角相关概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB即为二面角α-AB-β的平面角注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.二面角的取值范围 5.面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为β⊥α6.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行8.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 面面垂直⇒线面垂直α⊥l 记为⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫l a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = ]90,0[0[]]0[180,000π，或a β⊂a α⊥面⇒βα⊥//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭a b αa bl a a l αβαββ⊥⎫⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭a α⇒⊥二、例题解析题型一、判断问题例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定变式：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()A．①③B．①②C．②④D．①④例2、已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则( )A．α⊥βB．α∥βC．α与β不垂直D．以上都有可能变式：下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β例3、已知b⊥平面α，a⊂α，则直线a 与直线b 的位置关系是( )A．a∥b B．a⊥b C．直线a 与直线b 垂直相交D．直线a 与直线b 垂直且异面变式1：下面四个命题，其中真命题的个数为( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l 与平面α不垂直，则直线l 和平面α内的所有直线都不垂直；④如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条直线与直线l 垂直．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个变式2：已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是()①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4 B．3C．2D．1题型二：求角问题（线面角、面面角）例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．变式：如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5且它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．例2、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BC －A 1的平面角是( )A ．∠ABCB ．∠ABB 1C ．∠ABA 1D ．∠ABC 1变式：如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，求二面角P －CD －B 的大小．题型三：证明问题例1、如图，在三棱锥 A-BCD 中，AD ，BC ，CD 两两互相垂直，M ，N分别为 AB ，AC 的中点．(1)求证：BC ∥平面 MND ；(2)求证：平面 MND ⊥平面 ACD .变式： 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，AB=2，,侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.BC A B C D P三、巩固练习1．在三棱锥V -ABC 中，VA ＝VC ，AB ＝BC ，则下列结论一定成立的是( )A ．VA ⊥BCB ．AB ⊥VCC ．VB ⊥ACD ．VA ⊥VB2．若A ∈α，B ∈α，A ∈l ，B ∈l ，P ∈l ，则( )A ．P ⊂αB ．P αC ．l αD ．P ∈α3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.2 65C.155D.1055．设x ，y ，z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x ，y ，z 均为直线；②x ，y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x ，y 是平面；④x ，y ，z 均为平面．其中使“x ⊥z ，且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是( )A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②6．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与A 1D 所成的角等于__________．7如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则二面角C 1-BD -C 的正切值为________．8.如图，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .。
高中数学必修二《2.3直线、平面垂直的判定及其性质》测试卷及答案解析
2019-2020学年高中数学必修二《2.3直线、平面垂直的判定及其性质》测试卷参考答案与试题解析一．填空题（共23小题）1．已知直线l⊥平面α，垂足为O，三角形ABC的三边分别为BC＝1，AC＝2，AB＝．若A∈l，C∈α，则BO的最大值为1+．【分析】先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC 为x轴建立直角坐标系，B、O两点间的距离表示处理，结合三角函数的性质求出其最大值即可．【解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，如图．设∠ACO＝θ，B（x，y），则有：x＝AC cosθ+BC sinθ＝2cosθ+sinθ，y＝BC cosθ＝cosθ．∴x2+y2＝4cos2θ+4sinθcosθ+1＝2cos2θ+2sin2θ+3＝2sin（2θ+）+3，当sin（2θ+）＝1时，x2+y2最大，为2+3，则B、O两点间的最大距离为1+．故答案为1+．【点评】本题考查了点、线、面间的距离计算，解答关键是将空间几何问题转化为平面几何问题解决，利用三角函数的知识求最大值．2．如图，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝3，点E在CD上，若PE⊥BE，则PE＝．【分析】先求出DE，可得AE，即可求出PE．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD，PE⊥BE，∴AE⊥BE，∵AB＝4，AD＝2，∴4＝DE（4﹣DE），∴DE＝2，∴AE＝2，∵P A＝3，∴PE＝＝，故答案为．【点评】本题考查空间距离的计算，考查线面垂直的性质，属于中档题．3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各条棱所在的直线中，与直线AA1垂直的条数共有8条．【分析】利用正方体的结构特征求解．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AA1垂直的棱有：A1D1，AD，B1C1，BC，A1B1，AB，C1D1，CD．故答案为：8．。
高中数学 必修二 同步练习 直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定(解析版)
在 中， ，
同理，得 ，又 ，则 即 ，
又 ，故 平面 ．
又 平面 ，故 ．
17．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ，点 是 的中点，作 ，交 于点 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求证： 平面 ．
【解析】（1）连接 ，与 相交于 ，连接 ，则 为 的中位线， ，又 平面 平面 ，由线面平行的判定定理知 平面 ．
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
其中表述正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
5．正四面体 中， 分别是 的中点，下面四个结论中不成立的是
A． 平面 B．平面 平面
C． 平面 D．平面 平面
【答案】B
【解析】因为 分别是 的中点，所以DF//BC，所以 平面 ，则A正确；
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【答案】D
【解析】易知FG∥平面PBC，GE∥平面PBC，且FG∩GE＝G，故平面EFG∥平面PBC，A正确；
由题意知PC⊥平面ABC，FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，故平面EFG⊥平面ABC，B正确；
根据异面直线所成角的定义可知，C正确；
（2）∵ ，且 底面 ，∴ 为等腰直角三角形，
是 的中点， ，又底面 为正方形， ，
由 ，得 平面 ，而 平面 ，
又 平面 ，又 平面 ，故平面 平面 ．
（3）由（2）知， 平面 平面 ，
又 ， 平面 ．
7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，若PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是
高中数学必修2单元配套练习试题2.3.1直线与平面垂直的判定及参考答案解析
2.3.1直线与平面垂直的判定姓名:___________班级:______________________1.下列条件中,能使直线m⊥平面α的是( )A.m⊥b ,m⊥c ,b ⊂α,c ⊂αB.m⊥b ,b∥αC.m∩b＝A,b⊥αD.m∥b ,b⊥α2.下列说法中正确的个数是( )①若直线l 与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;②若直线l 与平面α内的两条直线垂直,则l⊥α③若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α;④若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α.A.4B.2C.3D.13.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是( )A.垂直B.斜交C.平行D.不能确定4.如图,1111D C B A ABCD -为正方体,下面结论:①//BD 平面11D CB ;②BD AC ⊥1;③⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.35.如图(1),在正方形SG 1G 2G 3中,E,F 分别是边G 1G 2,G 2G 3的中点,沿SE,SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体如图(2),使G 1,G 2,G 3三点重合于G,下面结论成立的是( )A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.DG⊥平面SEF6.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,11AA =,则1AC 与平面1111A B C D 所成角的正弦值为( )B.2313 7.已知P 为△ABC 所在平面外一点,且PA ,PB ,PC 两两垂直,则下列结论:①PA BC ⊥;②PB AC ⊥;③PC AB ⊥;④AB BC ⊥.其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④8.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为( )C.239.已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的________.10.在Rt△ABC 中,D 是斜边AB 的中点,AC ＝6,BC ＝8,EC⊥平面ABC,且EC ＝12,则ED ＝_______.11.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD 1,则动点P 的轨迹是________.12.如图所示,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,侧棱AA 1⊥底面ABC,AB ＝AC ＝1,AA 1＝2,∠B 1A 1C 1＝90°,D 为BB 1的中点.求证:AD⊥平面A 1DC 1.13.如图,ABCD 为正方形,过A 作线段SA⊥平面ABCD,过A 作与SC 垂直的平面交SB,SC,SD 于E,K,H,求证:E 是点A 在直线SB 上的射影.14.如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD 为矩形,M 、N 分别是AB 、PC 的中点.(2)若∠PDA＝45°,求证:MN⊥平面PCD.参考答案1.D【解析】对于选项A:如果直线b,c 不相交,则m 不一定垂直于平面α;对于选项B:显然不正确;对于选项C:显然不正确,故选D.考点:线面垂直的判定.2.B【解析】对于①②,不能断定该直线与平面垂直,该直线与平面可能平行,也可能斜交,也可能在平面内,所以是错误的,③④是正确的,故选B.考点:线面垂直的判定.3.A【解析】梯形的两腰所在的直线相交,根据线面垂直的判定定理可知A 正确.考点:线面垂直的判定.4.D【解析】由正方体的性质得,BD ∥B 1D 1,结合线面平行的判定定理可得BD ∥平面CB 1D 1,所以①正确;由正方体的性质得 AC ⊥BD,因为AC 是AC 1在底面ABCD 内的射影,所以由三垂线定理可得AC 1⊥BD,所以②正确;由正方体的性质得 BD ∥B 1D 1,由②可得AC 1⊥BD,所以AC 1⊥B 1D 1,同理可得AC 1⊥CB 1,进而结合线面垂直的判定定理得到AC 1⊥平面CB 1D 1,所以③正确.考点:直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面垂直的判定.5.A【解析】由折叠前后不变的元素关系,知SG⊥GE ,SG⊥GF ,又GE∩GF＝G,所以SG⊥平面GEF,故选A.考点:线面垂直的判定.6.D【解析】连接11A C ,因为1111ABCD A B C D -是长方体,所以1AA ⊥平面1111A B C D ,所以11A C 是1AC 在平面1111A B C D 内的射影,所以11A C A ∠为1AC 与平面1111A B C D 所成的角.在11Rt AAC 中,11AA =,13AC ==,1190AAC ∠=︒,所以11111sin 3AA A C A AC ∠==. 考点:线面角的求法.7.A【解析】由PA ,PB ,PC 两两垂直可得PA ⊥平面PBC ,PB ⊥平面PAC ,PC ⊥平面PAB ,所以PA BC ⊥,PB AC ⊥,PC AB ⊥,①②③正确.④错误,假设AB BC ⊥,由PA ⊥平面PBC 得PA BC ⊥,又PA AB A =,所以BC ⊥平面PAB ,又PC ⊥平面PAB ,这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾.考点:线面垂直.8.D【解析】解法一:如图,设正方体的棱长为1,上,下底面的中心分别为1O ,O ,则11OO BB ,1O O 与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角,即∠O 1OD 1,cos∠O 1OD 1＝11O OOD =.解法二:画出图形,如图,BB 1与平面ACD 1所成的角等于DD 1与平面ACD 1所成的角,在三棱锥D －ACD 1中,由三条侧棱两两垂直且相等得点D 在底面ACD 1内的射影为等边三角形ACD 1的重心,即中心H,连接D 1H,DH,则∠DD 1H 为DD 1与平面ACD 1所成的角,设正方体的棱长为a,则cos∠DD 1H＝3a =考点:求线面角的余弦值9.外心【解析】P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等,所以是外心.考点:线面垂直的应用.10.13【解析】如图,∵AC＝6,BC ＝8,∴AB＝10,∴CD＝5.在Rt△ECD 中,EC ＝12,13.考点:线面垂直的应用.11.B1C【解析】BD1⊥平面B1AC,平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C,所以P为B1C上任何一点时,均有AP⊥BD1.考点:线面垂直的应用.12.见解析【解析】证明:∵AA1⊥底面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC, ∴AA1⊥平面A1B1C1,∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°,∴A1C1⊥A1B1,又A1B1∩AA1＝A1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,又AD⊂平面AA1B1B,∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2,A1D＝2,又AA1＝2,∴AD2＋A1D2＝AA21,∴A1D⊥AD,∵A1C1∩A1D＝A1,∴AD⊥平面A1DC1.考点:线面垂直的判定.13.见解析【解析】证明:SA ABCDBC ABCD⊥⎫⎬⊂⎭平面平面⇒SA⊥BC,又∵AB⊥BC,SA∩AB＝A,∴BC⊥平面SAB.又AE⊂平面SAB,∴BC⊥AE,∵SC⊥平面AHKE,AE⊂平面AHKE,∴SC⊥AE.又BC∩SC＝C,∴AE⊥平面SBC,∵SB⊂平面SBC,∴AE⊥SB,即E为A在SB上的射影.考点:线面垂直的应用.14.见解析【解析】证明:(1)如图所示,取PD的中点E,连接AE、NE,∵N为PC的中点,E为PD的中点,∴NE∥CD且NE＝12CD,而AM∥CD且AM＝12AB＝12CD,∴NE∥AM且NE＝AM,∴四边形AMNE为平行四边形,∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,又∵ABCD为矩形,∴AD⊥CD,又AD∩PA＝A,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE,又AE∥MN,∴MN⊥CD.(2)由(1)可知CD⊥AE,MN∥AE.又∠PDA＝45°,∴△PAD为等腰直角三角形,又E为PD的中点,∴AE⊥PD,∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN,∴MN⊥平面PCD.【考点】线面垂直的证明.。
人教A版高中数学必修二 2-3-1 直线与平面垂直的判定 检测 含答案 精品
2.3.1 直线与平面垂直的判定时间:30分钟，总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．下列命题中，正确的有( )①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个 B．3个 C．4个D．5个【答案】C【解析】②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立.2.一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是( )A．(0°，90°) B．[0°，90°] C．(0°，90°] D．[0°，180°]【答案】B【解析】由线面角的定义知B正确．3.如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的( )A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【答案】C【解析】∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB．又∵AB⊂平面PAB，∴AB⊥PC．又∵AB⊥PH，PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH.又∵CH⊂平面PCH，∴AB⊥CH.同理BC⊥AH，AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心．.4.给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．故选C．5.若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面 ( )A．有且只有一个 B．可能有一个，也可能不存在C．有无数多个 D．一定不存在【答案】B【解析】当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个，当a与b不垂直时，过a 且与b垂直的平面不存在．故选B。
高中数学(人教版必修2)配套练习 第二章2.3直线、平面垂直的判定及其性质试题解析
§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .连接PB 1.∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21.∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面P AC .13．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB .而tan ∠BAH ＝2－13＝33.∴∠BAH ＝30°.(2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成 的角．∵△BCB 1∽△ACA 1， ∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，∴B 1C ＝233.∴tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2233＝3，∴∠BCB 1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2 平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面( )A ．有且只有一个B ．有无数个C ．一个或无数个D ．可能不存在 2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是( )A ．两个平面相交，所成二面角是直二面角B ．一个平面经过另一个平面的一条垂线C ．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D ．平面α内的直线a 与平面β内的直线b 是垂直的 3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β； ②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β. A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β5．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .求证：平面EFG ⊥平面PDC . 8. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝ 3.(1)证明：平面PBE ⊥平面P AB ； (2)求二面角A —BE —P 的大小． 二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，P A＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝2，BC＝ 6.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)求二面角P—AB—C的正切值．答案1．C 2.D 3.B 4.B5．45°6．57．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB＝3，则∠PBA＝60°.故二面角A—BE—P的大小是60°.9．B 10．C11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC，∴∠P AC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．13．(1)证明连接BD，∵D是AC的中点，P A＝PC＝5，∴PD⊥AC.∵AC＝22，AB＝2，BC＝6，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD .∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解 取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°，∴tan ∠PED ＝PDDE ＝ 2.∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α.A ．1B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5. 如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．7. 如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.8. 如图所示，在正方体ABCD—A 1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．二、能力提升9. 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于()A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶310．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么() A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行11．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．12．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．答案1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a ⊥β7．证明 在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ， 且平面P AB ∩平面PBC ＝PB . ∴AD ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ， ∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ， ∴M 是AB 的中点．9．A 10．C11．①②③12．(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ， ∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ，∴面MBD ⊥面P AD .(2)解 过P 作PO ⊥AD ，∵面P AD ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△P AD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855， 此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3. 13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO是二面角A1－BD－C的平面角，设AC＝a，则C1O＝22a，C1D＝2a＝2C1O⇒∠C1DO＝30°，故二面角A1－BD－C1的大小为30°.。
高中数学必修2考点知识专题训练11---直线与平面垂直的判定(含答案解析)
高中数学必修2考点知识专题训练直线与平面垂直的判定课时过关·能力提升一、基础巩固1.下面条件中,能判定直线l⊥α的是()A.l与平面α内的两条直线垂直B.l与平面α内的无数条直线垂直C.l与平面α内的某一条直线垂直D.l与平面α内的任意一条直线垂直答案:D2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是()A.1B.2C.3D.6解析:仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直.答案:B3.已知直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则b与α所成的角等于()A.40°B.50°C.90°D.150°解析:根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.答案:B4.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是()A .平行B .垂直且相交C .垂直但不相交D .相交但不垂直解析:连接AC ,因为ABCD 是菱AC ∩MC=C ,所以BD ⊥平面AM BD 不共面,因此直线MA 与答案:C5.已知线段AB 的长等于它在平的角为( ) A .30°B .45°解析:如图,AC ⊥α,AB ∩α=B ,则所以∠ABC=60°,它是AB 所在答案:C6.如图,在正方形ABCD 中,EF 把这个正方形折成一个空间间图形中必有( )是菱形,所以BD ⊥AC.又MC ⊥平面ABCD ,AMC.又MA ⊂平面AMC ,所以MA ⊥BD.显然直BD 的位置关系是垂直但不相交. 它在平面α内的射影长的2倍,则AB 所在的直线C .60°D .120°则BC 是AB 在平面α内的射影.因为BC ൌ所在的直线与平面α所成的角.E ,F 分别是BC ,CD 的中点,G 是EF 的中点,现在个空间图形,使B ,C ,D 三点重合,重合后的点记为则BD ⊥MC.因为显然直线MA 与直线的直线与平面α所成ଵଶܣܤ, 现在沿AE ,AF 及点记为H ,则在这个空A.AH⊥平面EFHB.AG⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF解析:在平面图形中,AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH,FH∩EH=H,所以AH⊥平面EFH.答案:A7.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形且边长为3,BD1与底面所成角的正切值为ଶଷ,则该四棱柱的侧棱长等于__________________.解析:由题意得tan∠DBD1ൌభൌଶଷ,因为BD=3√2,所以DD1ൌଶଷܤܦൌଶଷൈ3√2ൌ2√2.答案:2√28.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD的形状一定是.解析:由于PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又PC⊥BD,且PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.答案:菱形9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.证明:B1C⊥AB.证明:如图,连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO.因为BC1∩AO=O,所以B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO,故B1C⊥AB.10.有一根旗杆高12 m,在它的顶端处系两条长13 m的绳子,拉紧绳子,并把它们的下端固定在地面上与旗杆底端不共线的两点处,测得这两点和旗杆底端相距5 m,问能否由此断定旗杆与地面垂直,为什么?解:能.如图,设地面为平面α,PO表示旗杆,PA,PB表示两条绳子,A,B,O三点不共线.∵PO=12 m,PA=13 m,OA=5 m,∴PO2+OA2=PA2,∠POA=90°,即OP⊥OA.同理可证OP⊥OB.∵OA∩OB=O,OA⊂α,OB⊂α,∴PO⊥α.故由此能断定旗杆与地面垂直.二、能力提升1.已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论不正确的是()A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PAD解析:由六边形ABCDEF是正六边形,可得CF∥AB,利用线面平行的判定定理可得CF∥平面PAB,C正确;同理可得CD∥平面PAF,A正确;在正六边形ABCDEF中,易得DF⊥AF.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥DF,且PA∩AF=A.由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF,B正确.由排除法可知选D.答案:D2.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两条对角线AC,BD的位置关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交解析:如图,取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO.因为AO∩CO=O,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.答案:C★3.如果P是等边三角形ABC所在平面外一点,且PA=PB=PCൌଶଷ,△ABC的边长为1,那么PA与底面ABC所成的角是()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:如图,记O 为点P 在△ABC 内的射影.易知O 为△ABC 的中心,且PO ⊥平面ABC ,则PA 与底面ABC 所成的角即为∠PAO ,AO ൌ√ଷଷܣܤൌ√ଷଷ,ܲܣൌଶଷ,所以cos ∠PAO ൌைൌ√ଷଶ,故∠PAO=30°.故选A .答案:A4.如图,PA ⊥平面ABC ,BC ⊥AC ,则图中直角三角形的个数为 . 解析:ܲܣ٣平面ܣܤܥܤܥ⊂平面ܣܤܥൠ֜ܲܣ٣ܤܥܣܥ٣ܤܥܲܣځܣܥൌܣൡ֜BC ⊥平面PAC ֜BC ⊥PC , 所以直角三角形有△PAB ,△PAC ,△ABC ,△PBC. 答案:45.如图,已知△ABC 为等腰直角三角形,P 为空间一点,且AC=BC=5√2,ܲܥ⊥AC ,PC ⊥BC , PC=5,AB 的中点为M ,连接PM ,CM ,则PM 与平面ABC 所成的角的大小为 .解析:由PC⊥AC,PC⊥BC,AC∩BC=C,知PC⊥平面ACB,所以∠PMC为PM与平面ABC 所成的角.因为△ABC为等腰直角三角形,M是AB的中点,所以ABൌට(5√2)ଶ(5√2)ଶൌ10,CMൌଵଶܣܤൌ5.又PC=5,所以∠PMC=45°.答案:45°6.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误．．的是.(只填序号)①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④异面直线AD与CB1所成的角为60°.解析:由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以①正确;由于BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.所以②正确;可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,又B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,所以③正确; 由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以④错误.答案:④7.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC 的中点,连接AE,AC.求证:AE⊥PD.证明:因为四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.因为BC∥AD,所以AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.又PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,所以AE⊥PD.★8. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°, PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)求证:AE⊥平面PCD.(1)解:在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.所以PB在平面PAD内的射影为PA,即∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.(2)证明:在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥PA.因为CD⊥AC,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC,所以AE⊥CD.由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.11 / 11。