线面、面面关系的判定与性质

线面、面面关系的判定与性质

一、线面关系的转换网络图

1﹒线线平行：

（1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）﹒

（4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么

这条直线和交线平行（线面平行→线线平行）﹒

（6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行

→线线平行）﹒

（12）线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行﹒

2﹒线线垂直：

（9）线面垂直的性质：一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线（线面垂直→线线垂直）其它判定方法：利用平面几何中证明线线垂直的方法（如勾股定理，等腰直角三角形底边上的高，正方形（菱形）的对角线等）﹒

3﹒线面平行：

（2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面

平行（线线平行→线面平行）﹒

（5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行→线

面平行）﹒

4﹒线面垂直：

（7）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面（线线

垂直→线面垂直）﹒

（11）线面垂直的判定定理推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个

平面﹒

（14）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面﹒

（10）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个

平面（面面垂直→则线面垂直）﹒

5﹒面面平行：

（4）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面

平行→面面平行）﹒

（13）定理：垂直于同一条直线的两个平面平行﹒ 6﹒面面垂直：

（8）面面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，另一个平面过这条线，则这两个平面垂直

（面面垂直→则线面垂直）﹒

7.直线与平面所成的角

（1）定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

这个角的范围为]90,0[0

.

（2）斜线与平面成角计算一般步骤： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把这个角放在三角形中计算.

注：斜线PA 与平面α所成的角为PAB ∠，其中α平面⊥PB . 二、典型例题

例1：三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥， 0

90=∠BAC ，证明：PAC BA 平面⊥. （判定定理、定义）

变式1：三棱锥ABC P -中，PA AC ⊥，ABC ∆满足0

90=∠BAC ， AC PA =，D 是边PC 的中点，

证明：DAB PC 平面⊥.

（判定定理、定义、等腰三角形的高）

C

B A

P

C

D

A

P B

P

A

B

α

变式2：三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥，4===AB AC PA ，22=BD ，AB PC ⊥，D 是

边PC 的中点，证明：PAC BD 平面⊥. （判定定理、定义、勾股定理）

变式3：三棱锥ABC P -中， PA AC ⊥，满足24BC PC PB PA ====，D 是边PC 的中点，

ABD PAD 平面平面⊥.证明：PAC BD 平面⊥.

（判定定理、定义、面面垂直性质定理）

例2：【信宜市2015届高三10月统测】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱

ABCD PD 底面⊥,DC PD =,E 是PC 的中点，作PB EF ⊥,交PB 于点F .

（1）证明：EDB PA 平面//；（2）若2==DC PD ，求三棱锥BDE A -的体积； （3）证明：EFD PB 平面⊥.

C

B

A

P

D

C

D

A

P

B

P

A

B

C

D

E

F

三、巩固训练、能力提升

1.【2014高考北京卷 节选】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，

12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.求证：平面ABE ⊥平面11B BCC .

2.【2014高考江苏卷 节选】如图在三棱锥-P ABC 中，,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知

,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.证明：平面BDE ⊥平面ABC .

3.【2013年高考北京 节选】如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面

PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:

（1）PA ⊥底面ABCD ；（2）平面BEF ⊥平面PCD .

4.【肇庆市2015届高中毕业班第一次统一检测】如图，已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC =P A ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF //平面ABC ；（2）求证：EF ⊥平面P AC ； （3）求三棱锥B —P AC 的体积.

5.【广东2015届高三第一次六校联考】直角梯形ABCD 中AB ∥ CD ,CD AB 2

1

=

，BC AB ⊥，平面ABCD ⊥平面BCE ，BCE ∆为等边三角形，F M ,分别是BC BE ,的中点，DC DN 4

1

=

. （1）证明：EF ⊥AD ；（2）证明：MN ∥ 平面ADE ； （3）若1,2AB BC ==，求几何体ABCDE 的体积.

P

A

B

O E F