直线与平面平行的判定与性质定理
直线平行于平面的判定与性质定理
直线平行于平面的判定与性质定理在几何中，直线平行于平面是一个重要且常用的概念，在几何学习中，它提供了基础概念和关键性质定理，此外，直线与平面的关系也给几何解决问题提供了重要的参考。
本文将介绍直线平行于平面的判定与性质定理，以及如何使用这些知识来解决几何问题。
一、直线平行于平面的判定首先，当我们讨论直线平行于平面的问题时，需要弄清楚什么是平行和什么是平面。
（1）两条直线平行，如果他们在同一个平面上，则它们之间永远也不会有任何交点；（2）平面，即平面图形，是一个固定的平面，可以用两个平行的直线定义，无论构成此平面的直线多少，两个平行的直线必定能够决定其平面位置。
因此，我们可以根据以上性质判定直线是否平行于平面：如果两条直线分别位于两个平面上，那么它们之间的交点必定不存在；如果两条直线同时位于同一平面上，并且它们有共同的端点，则它们必定平行。
二、直线平行于平面的性质定理直线平行于平面的性质定理有以下几种：（1）两个直线位于同一平面上，并且相互平行，则它们之间的距离永远不变。
（2）如果两条直线分别位于两个平面上，并且它们相互平行，则它们之间也永远不变。
（3）如果一条直线平行于一个平面，并且与平面有一个共同的端点，则它们之间的距离永远不变。
（4）如果一条直线的一个端点处于平面内部，那么它永远都不可能平行于该平面。
三、如何使用直线平行于平面的性质来求解几何问题1、角平分线的求解：角的平分线是一条直线，使得那个角的两条射线之间的夹角等于角本身。
如果知道角ABC的射线AD和AC，那么对于角ABC的平分线BD，我们可以用两条直线平行于平面的性质来求解，即将AD和AC看成两条直线，利用它们所属的平面，以及它们的端点B，画出BD的平面，从而求解BD的位置。
2、角的大小的求解：根据直线平行于平面的性质，我们可以比较两个角的大小。
例如，如果给定两个角A和B，它们分别位于两个平面A1和B1之间，并且它们的两条射线分别是AD和BE，两个角的大小可以通过比较它们所在的平面A1和B1之间的距离来确定。
直线平行平面的判定定理及性质定理
直线平行平面的判定定理及性质定理直线平行平面的判定定理及性质定理是几何学中常见的一条定理，它认为如果两个平面之间存在着一条平行线，则这两个平面也是平行的。
其实，这条定理也可以用来判定直线是否与平面平行，利用这条定理，我们可以推出许多关于平行平面性质的定理，并学会利用它来研究三维平面几何问题。
这条定理的确切说法是：设A、B、C、D四个不共线的点，且点A、C在平面X上，点B、D在平面Y上，若AB||CD，则X||Y。
也就是说，如果其中两个平面之间的两条线段是平行的，那么这两个平面也是平行的。
反之，当两个平面之间有一条线段不平行时，它们也不是平行的。
由此，我们可以推出一系列有关平行平面性质的定理，如判定两个平面之间是否存在一条直线，求两个平面间的垂线，计算两个平面之间的距离，判定两个平面的所在的同一空间等。
首先，我们可以用这条定理来证明直线与平面之间的关系。
假设将一条直线平行投影到一个平面上，那么与直线平行的两个平面就会存在一条共线线段，因此这两个平面也是平行的。
另一方面，如果两个平面之间有一条共线线段，那么它们就是平行的，而且也存在一条平行于它们共线线段的直线。
这样，我们就可以判断一条直线是否与平面平行，只需检测是否存在一条共线线段即可。
此外，我们还可以使用这条定理来求解三维几何问题。
比如，假设ABCD是四个不共线的点，则可以使用这条定理，即点A、C在平面X上，点B、D在平面Y上，若AB||CD，则X||Y。
我们就可以判断这四个点是否都处在同一个平面上，即可以通过检查它们的四条边是否是平行的来判断。
其实，利用这条定理，我们还可以求解更多关于三维几何问题的性质。
比如，可以用它来判断某个平面是否与一个球面接触，也可以用它来求解空间两个平面之间的夹角，等等。
总而言之，直线平行平面的判定定理及性质定理是几何学中一条重要的定理，它不仅可以用来判断直线与平面之间的关系，而且还可以用来求解三维平面几何问题，让我们更全面地理解空间几何的特性和性质。
平行的判定与性质
EF //平面 BB 1D 1D.第12讲平行的判定与性质1. 线面平行的定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行符号表示为：a 二二:打a 〃b= a 〃 . 3 .性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交a// :- 线平行.即: a 1 1 =a//b .:-n: =b【例1】已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点, 求证：AF //平面PEC证明：设PC 的中点为G ,连接EG 、FG.1•/ F 为 PD 中点， ••• GF // CD 且 GF= —CD.2•/ AB // CD , AB=CD , E 为 AB 中点， • GF // AE , GF=AE , 四边形AEGF 为平行四边形• • EG // AF , 又••• AF 二平面 PEC , EG 二平面 PEC , • AF //平面 PEC.【例2】在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点•求证: 证明：连接AC 交BD 于0,连接0E ,贝U OE // DC , OE = 1 DC.2•/ DC // D 1C 1, DC=D 1C 1 , F 为 D 1C 1 的中点，• OE // D 1F , 0E=D 1F , 四边形D 1FE0为平行四边形•EF // D 1O.又••• EF 二平面 BB 1D 1D , DQ 二平面 BB 1D 1D , •EF //平面 BB 1D 1D.【例3】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱 AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM //平面EFG .证明：如右图，连结DM ，交GF 于0点，连结0E ,在「BCD 中，G 、F 分别是 BD 、CD 中点， • GF//BC , ••• G 为BD 中点， • 0为MD 中点，在 AMD 中，I E 、0 为 AD 、MD 中点， • EO//AM , 又••• AM 平面EFG , E0 平面EFG , • AM // 平面 EFG .【例4】如图，已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、 PC 的中点•( 1)求证：MN//平面FAD ;(2)若MN =BC =4 , PA =4..3，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小. 解：(1)取PD 的中点H ,连接AH ，由N 是PC 的中点，1• NH // DC .由 M 是 AB 的中点， • NH//AM ,-2 -即AMNH 为平行四边形.• MN //AH . 由 MN 二平面 PAD,AH 二平面 PAD ,• MN //平面 PAD .1 1(2) 连接 AC 并取其中点为 0,连接 0M 、0N ,「. 0M// - BC , 0N // - PA , -2 - 2 所以Z0NM 就是异面直线PA 与MN 所成的角，且 M0丄N0. 由 MN =BC =4 , PA =4 .3,得 0M=2, 0N=2.3.所以.ONM =30°，即异面直线 PA 与MN 成30°的角■【例5】三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍.这一结论叫做三角形的重心定理在四面体 ABCD 中，M 、N 分别是面厶ACD 、△ BCD 的重心，在四面体的四个面中，与MN 平行的是C哪几个面？试证明你的结论.解：连结AM并延长，交CD于E,连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F 重合为一点,CiBD . ^=zV 2 =i7且该点为CD 的中点E ，由EM =_EN =1得MN // AB ,MA NB 2因此，MN //平面 ABC 且 MN //平面 ABD.【例6】经过正方体 ABCD-A^C i D i 的棱BB i 作一平面交平面 AAQ I D 于E i E ，求证：E i E // B I B证明：••• AA i// BB i, AA^平面 BEE iB i,BB i平面 BEE iB i,••• AA 〃 平面 BEE i B i . 又 二平面 ADD iA i，平面 ADD* 门平面 BEE iB^ = EE i,AA, // BB i ] •- AA i //EE i .则 二 BB i //EE i .i AA // EE ii i【例7】如图，AB 〃「，AC//BD , C 。
直线、平面平行的判定和性质
∴PM∥BE，∴APEP＝MAMB，
又 AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ， ∴APEP＝DBQQ，∴MAMB＝DQQB，
∴MQ∥AD，又 AD∥BC，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面 BCE，又 PM∩MQ＝M， ∴平面 PMQ∥平面 BCE，又 PQ⊂平面 的直线 a，b 和平面 α， ①若 a∥α，b⊂α，则 a∥b； ②若 a∥α，b∥α，则 a∥b； ③若 a∥b，b⊂α，则 a∥α； ④若 a∥b，a⊂α，则 b∥α 或 b⊂α， 上面命题中正确的是________(填序号)． 答案 ④
解析 ①若 a∥α，b⊂α，则 a，b 平行或异面；②若 a∥α，b∥α，则 a，b 平行、相交、异面都有可能；③若 a∥b，b⊂α，a∥α 或 a⊂α.
作 PM∥AB 交 BE 于 M， 作 QN∥AB 交 BC 于 N，
连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，∴AE ＝BD. 又 AP＝DQ，∴PE＝QB，
又 PM∥AB∥QN，∴PAMB ＝PAEE＝QBDB，QDNC＝BBQD，
∴PAMB ＝QDNC， ∴PM // QN，即四边形 PMNQ 为平行四边形， ∴PQ∥MN.又 MN⊂平面 BCE，PQ⊄平面 BCE， ∴PQ∥平面 BCE.
直线、平面平行的判定及性质
2012·考纲
1．以立体几何的定义、公理、定理为出发点，认识 和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位 置关系的简单命题.
课本导读
1．直线和平面平行的判定： (1)定义：直线与平面没有公共点，则称直线平行平面； (2)判定定理： a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α ； (3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒a∥β. 2．直线和平面平行的性质： a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.
直线、平面平行的判定与性质
[解析]
选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行
直线；选项 B ，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这
条直线平行于这两个平面；选项 C，两个相交平面可以同时垂
直于同一个平面；选项D，正确． [答案] D
2．(2009·福建，10)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，
l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件
∵AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AF∥平面PDC.
∵AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面PCD.
∵AE⊂平面AEF，AE∥平面PCD.
∴线段PB的中点E是符合题意要求的点．
1．证明直线和平面平行的方法有：
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥线 ⇒线∥面) ，即想方设法在平面内找出 一条与已知直线平行的直线． (3)面面平行性质定理(面∥面⇒线∥面) 2．证明平面与平面平行的方法有：
(1)[证明] ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
(2)[解]
解法一：取线段 PB 的中点 E，PC 的中点 F，连
接 AE，EF，DF，则 EF 是△PBC 的中位线． 1 1 ∴EF∥BC，EF＝ BC，∵AD∥BC，AD＝ BC， 2 2 ∴AD∥EF，AD＝EF. ∴四边形 EFDA 是平行四边形，∴AE∥DF. ∵AE⊄平面 PCD，DF⊂平面 PCD， ∴AE∥平面 PCD. ∴线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点．
(1)依定义采用反证法
(2) 判定定理( 线∥面 ⇒面∥面) ．即证一平面内两条相交直
线与另一平面垂直．
直线平面平行的判定及其性质
解析几何中的应用
在解析几何中，直线与平面的平行关系 也是非常重要的。例如，在求解一些涉 及平面解析几何的问题时，需要使用直 线与平面平行的判定定理和性质来解决
。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直线与平面平行的判定定理的应用：在 解析几何中，利用直线与平面平行的判 定定理，可以用来判断一个点是否在一 条直线上，或者判断两个平面是否平行
直线与平面平行的判定定理
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线都没有交 点。
直线与平面平行的判定定理的应用
在几何学中，这个定理经常被用来判断两条直线是否平行，或者一个平面是否平 行于另一个平面。
02
直线与平面平行的性质
直线平行于平面的性质
直线平行于平面，则 直线与平面内的任意 一条直线都平行。
直线平行于平面，则 直线与平面内的任意 一条直线都平行或异 面。
直线平行于平面，则 直线与平面内的任意 一条直线都没有公共 点。
平面平行于直线的性质
平面平行于直线，则平面与直 线的任意一条平行线都平行。
平面平行于直线，则平面与直 线的任意一条垂线都垂直。
平面平行于直线，则平面与直 线的任意一条垂线都垂直或平 行。
直线与平面平行的判定定理的应用：在空间几何中，利用直线与平面平 行的判定定理，即“如果直线与平面内的一条直线平行，则直线与该平
面平行”，可以用来判断建筑物的结构是否符合设计要求。
直线与平面平行的性质的应用：直线与平面平行的性质定理的应用，即 “如果直线与平面平行，则直线与平面的垂线互相垂直”，可以用来判 断建筑物的高度和角度是否符合设计要求。
直线平行于平面的判定定理
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线都平行 。
高中数学课件：直线、平面平行的判定与性质
(2)连接FH，OH， ∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD. ∵PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，∴FH∥平面PAD. 又∵O是AC的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD， 又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD， ∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
的角为 60°，转化为三角形的一个角有关的问题 还缺少所需要用的三角形，可连接 AD，取 AD 的中 差什么 点 M，连接 ME，MF，得三角形 MEF，利用平行 找什么 关系可找到 ME 与 MF 所成的角，然后利用余弦定 理求解即可
[解题方略] 证明面面平行的常用方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)； (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面 平行(客观题常用)； (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转 化进行证明．
所以四边形BDC1D1为平行四边形， 所以BD1∥C1D. BD1⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D， 所以BD1∥平面AC1D， 又因为A1B∩BD1＝B， 所以平面A1BD1∥平面AC1D.
2.如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC
＝
1 2
AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的
考法(二) 直线与平面平行性质定理的应用 [例2] 如图所示，四边形ABCD是平行四 边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中 点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面 BDM于GH. 求证：AP∥GH.
高中数学高考总复习---直线、平面平行的判定和性质知识讲解及考点梳理
例 1、【高清课堂：直线、平面平行的判定与性质例 1】 如图所示，已知 P、Q 是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心。 证明：PQ//平面 BCC1B1
【证明】方法一：如图，取 B1B 中点 E,BC 中点 F，连接 PE、QF、EF， 因为在三角形 A1B1B 中，P、E 分别是 A1B 和 B1B 的中点，
举一反三： 【变式】（2015 春 澄城县期末）如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形， ED⊥面 ABCD，连结 AC，AC∩BD=O， （Ⅰ）求证：面 BCF∥面 AED； （Ⅱ）求证：AO 是四棱锥 A﹣BDEF 的高．
【证明】（Ⅰ）在矩形 BDEF 中，FB∥ED， ∵FB 不包含于平面 AED，ED 平面 AED， ∴FB∥平面 AED， 同理，BC∥平面 AED， 又 FB∩BC=B， ∴平面 FBC∥平面 EDA． （Ⅱ）解：∵ABCD 是菱形，∴AC⊥BD， ∵ED⊥面 ABCD，AC 面 ABCD，
2
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
2、 符号语言： 3、 面面平行的另一性质： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
符号语言：
．
要点诠释：
平面与平面平行的判定与性质，同直线与平面平行的判定与性质一样，体现了转化与化
归的思想。三种平行关系如图：
性质过程的转化实施，关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行 化为线面平行并进而化为线线平行，注意作平面时要有确定平面的依据。 【典型例题】
。
考点四、平面与平面平行的性质 4、 平行平面的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
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∴ AC ∥平面EFGH
（3）由EF ∥HG ∥AC，得 EF ∥平面ACD AC ∥平面EFGH HG ∥平面ABC
又∵m α
m
α
∴l 和 m 也没有公共点；
又 l 和 m 都在平面β内，且没有公共点；
∴l ∥m.
线线平行 线面平行 (1)“线面平行 线线平行”
a
b a∥α
a
b
l
(2)
l
m∥l
m
证线面平行关键 在于找线线平行
(3) 在有线面平行的条件 或要证线线平行时，
直线与平面平行的判定
您做对了吗？
• 如果一条直线与一个平面没有公共点 我们称做直线与平面平行，表示式： a与α没有公共点 a∥α
• 如果平面外一条直线与此平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面平行. 用符号表示为：α α ，b α且a∥b
a∥α
直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平
若“共面”必平行，换 句话说，若过直线 a的某一
平面与平面 相交，则直线 a就和这条交线平行 .
二、直线和平面平行的性质定理
如果一直线和一个平面平行，经过这条直线的平
面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
已知：l ∥α, l β,α∩β= m
求证：l ∥m
β
l
证明：∵l ∥α
∴l 和α没有公共点；
知的条件怎样找这条直线？
定理的应用
A
例1. 如图，空间四边形ABCD中， F
E、F分别是 AB，AD的中点. E
D
求证：EF∥平面BCD.
B
证明：连结BD.
∵AE=EB,AF=FD
∴EF∥BD（三角形中位线性质）
EF 平面BCD
BD 平面BCD EF//平面BCD
FE//BD
(3).平行于同一平面的两条直线是否平行 ？
(不一定)
(4).过平面外一点与这平面平行的直线 有多少条？
(无数条)
判定定理的定理的应用 A
例1. 如图，空间四边形ABCD中， F
E、F分别是 AB，AD的中点. E
D
求证：EF∥平面BCD.
B
C
分析：要证明线面平行只需证明线线平行，
即在平面BCD内找一条直线 平行于EF，由已
∴AB//OF,
AB 平面DCF
OF 平面DCF AB//平面DCF
AB//OF
A
D
O
F E
C
例2. 如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别 是AB，BC，CD，AD的中点.
(1)E、F、G、H四点是否共面？
(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；
(3)你能说出图中满足线面平行位置 A
（中位线、平行四边形）
练习: (1).如果一条直线和一个平面平行, 这个平 面 内是否只有一条直线和已知直线平行呢?
(不是)
平面内哪些直线都和已知直线平行? 有几条?
(有无数条)
(2).如果a∥α, 经过a 的一组平面分别和α相 交于b、c、d …,b、c、d …是一组平行线 吗？为什么？
(平行，线面平行的性质定理)
关系的所有情况吗？
H E
D
B
G
F C
解：(1)E、F、G、H四点共面。
∵在△ABD中，E、H分别是AB、 AD的中点.
A
∴EH∥BD且 EH= 1 BD 2
同理GF ∥BD且 GF= 1 BD B
2
EH ∥GF且EH＝GF
EH D
F
G C
∴E、F、G、H四点共面。 （2）AC ∥平面 EFGH
证明： ∵AC ∥HG,AC 平面EFGH ,HG 平面EFGH
变式1:
1.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分
别为AB、AD上的点，若
AE EB
AF FD
，则EF
与平面BCD的位置关系是_E_F_/_/平__面__B_C__D__.
A
F
E
D
B
C
变式2:
2.如图,四棱锥A—DBCE中,O 为底面正方形DBCE对角线的交 点,F为AE的中点. 求证:AB//平面
DCF.
B
A
D
O
F E
C
分析:连结OF, 可知OF为 △ABE的中位线,所以得到AB//OF.
变式2:
2.如图,四棱锥A—DBCE中,O
为底面正方形DBCE对角线的交
点,F为AE的中点. 求证:AB//平面
DCF.
证明:连结OF,
B
∵ O为正方形DBCE 对角线的交点,
∴BO=OE,ຫໍສະໝຸດ 又AF=FE,a请您动手体验一下
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封 面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位 置关系？
A
A
B
B
直线与平面平行
如果平面 内有直线 b 与直线 a平行，那么直线 a 与平面 的位置关系如何？
是否可以保证直线 a 与平面 平行？
a
b
直线与平面平行的判定
• 请同学们预习课本 • P54--P56
复习引入
直线与平面有几种位置关系？ 有三种位置关系：在平面内，相交、平行． 其中平行是一种非常重要的关系，不仅应用较多， 而且是学习平面和平面平行的基础．
引入新课
如何判定一条直线 和一个平面平行呢？
线面平行的定义是什么？用定 义好判断吗？
根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定 直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长， 平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？
行，则该直线与此平面平行.（用符号表示？）
a
线线平行线面平行
b
化归与转化的思想：
a
b
a
//
a // b
（1）化线面平行为线线平行 （2）化空间问题为平面问题
三个条件不能少？
定理说明
1、线面平行的判定定理的数学符号表示， 其中三个条件缺一不可.
2、线线平行
线面平行
线线平行是条件的核心.
3、注意定理中文字叙述、符号语言、图 形表示的相互转换。 4、判定线面平行的二种方法：
（1）定义法（ 2）判定定理
思考：
您现在判定线面平行的方法有几种？
方法一：根据定义判定
方法二 ：根据判定定理判定
直线和平面平行的判定定理：如果平面 外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行。
线线平行 线面平行
直线和平面平行的 性质定理
1
新课引入：
线面平行的判定定理解决了判定线面 平行的问题（即所需条件）；反之，在直 线与平面平行的条件下，会得到什么结论？
问题讨论：
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条
直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a
a
b
b
α
平行
α
异面
(2)什么条件下，平面内的直线与直线a平行呢？