直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)

. . 直线与平面、平面与平面平行的判定 [学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.

知识点一 直线与平面平行的判定定理 语言叙述 符号表示 图形表示

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 

a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α

思考 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？ 答 根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误. 知识点二 平面与平面平行的判定定理 语言叙述 符号表示 图形表示

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 

a⊂α，b⊂αa∩b＝Aa∥β，b∥β⇒α∥β

思考 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？ 答 不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.

题型一 直线与平面平行的判定定理的应用 例1 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：(1)EH∥平面BCD； (2)BD∥平面EFGH. 证明 (1)∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD. . . ∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD， ∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH， EH⊂平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH.

跟踪训练1 在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC. 证明 如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ. 因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心， 所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1. 所以MN∥PQ. 又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC， 所以MN∥平面ADC.

题型二 面面平行判定定理的应用 例2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1. 证明 由棱柱性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC， 又D，E分别为BC，B1C1的中点，

所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，

因此EB∥C1D，

又C1D⊂平面ADC1，

EB⊄平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1.

连接DE，同理，EB1綊BD， . . 所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.

因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，

所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，

所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，

所以A1E∥平面ADC1.

由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，

A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB， 且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.

跟踪训练2 已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，点G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点. 求证：(1)E，B，F，D1四点共面； (2)平面A1GH∥平面BED1F. 证明 (1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2. 又∵BG∥A1E，∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1G∥BE. 连接FG.∵C1F＝B1G，C1F∥B1G，

∴四边形C1FGB1是平行四边形， ∴FG＝C1B1＝D1A1，FG∥C1B1∥D1A1， ∴四边形A1GFD1是平行四边形， ∴A1G∥D1F，∴D1F∥EB. 故E，B，F，D1四点共面.

(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝32. 又∵B1G＝1，∴B1GB1H＝23. . . 又FCBC＝23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，

∴△B1HG∽△CBF， ∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB. 又由(1)知，A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，

∴平面A1GH∥平面BED1F.

题型三 线面平行、面面平行判定定理的综合应用 例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点.问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？请说明理由. 解 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下： 连接PQ.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，

∴PQ∥DC∥AB，PQ＝DC＝AB， ∴四边形ABQP是平行四边形，∴QB∥PA. 又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO.

又∵PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，

∴平面D1BQ∥平面PAO.

跟踪训练3 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，EC＝2FB.M是线段AC上的动点，当点M在何位置时，BM∥平面AEF？请说明理由.

解 当M为AC中点时，BM∥平面AEF.理由如下： 方法一 如图1，取AE的中点O，连接OF，OM. . . ∵O，M分别是AE，AC的中点， ∴OM∥EC，OM＝12EC. 又∵BF∥CE，EC＝2FB，∴OM∥BF，OM＝BF， ∴四边形OMBF为平行四边形，∴BM∥OF. 又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF， ∴BM∥平面AEF.

方法二 如图2，取EC的中点P，连接PM，PB. ∵PM是△ACE的中位线， ∴PM∥AE. ∵EC＝2FB＝2PE，CC1∥BB1，∴PE＝BF，PE∥BF， ∴四边形BPEF是平行四边形，∴PB∥EF. 又∵PM⊄平面AEF，PB⊄平面AEF， ∴PM∥平面AEF，PB∥平面AEF. 又∵PM∩PB＝P，∴平面PBM∥平面AEF. 又∵BM⊂面PBM，∴BM∥平面AEF.

面面平行的判定 例4 已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 分析 根据题意画出正方体，根据平面AMN的特点，试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线，然后作出判断，并证明. . . 解 如图，与平面AMN平行的平面有以下三种情况：

下面以图①为例进行证明. 如图①，取B′C′的中点E，连接BD，BE，DE，ME，B′D′， 可知四边形ABEM是平行四边形， 所以BE∥AM. 又因为BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE. 因为MN是△A′B′D′的中位线， 所以MN∥B′D′. 因为四边形BDD′B′是平行四边形， 所以BD∥B′D′. 所以MN∥BD. 又因为BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE， 所以MN∥平面BDE. 又因为AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M， 所以由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE.

1.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( ) A.不可能作出 B.只能作出一个 C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在 2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( ) A.1个或2个 B.0个或1个 C.1个 D.0个 . . 3.若线段AB，BC，CD不共面，M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系是( ) A.平行 B.直线在平面内 C.相交 D.以上均有可能 4.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( ) A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1G C.平面F1H1H与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G 5.梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.

一、选择题 1.下列说法正确的是( ) ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行； ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行； ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行. A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④

2.平面α与平面β平行的条件可以是( ) A.α内有无穷多条直线与β平行 B.直线a∥α，a∥β，且直线a不在α与β内 C.直线a⊂α，直线b⊂β，且b∥α，a∥β D.α内的任何直线都与β平行 3.六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有( )

A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 4.如果直线a平行于平面α，那么下列命题正确的是( ) A.平面α内有且只有一条直线与a平行 B.平面α内有无数条直线与a平行