线面垂直的判定定理和性质
线面垂直、面面垂直的判定与性质
本周知识小结：直线与平面垂直的判定和性质：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线例3、.(2012·广东高考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点,且DF=21AB,PH为△PAD中AD边上的高.(1)证明:PH⊥平面ABCD.(2)若PH=1,AD= 2，FC=1,求三棱锥E-BCF的体积.(3)证明:EF⊥平面PAB.例4、（09一模东城）如图，ABCD是边长为2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角C AB F--是直二面角，AF a=，G是EF的中点．（Ⅰ）求证：平面AGC⊥平面BGC；（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的大小；例5、（09年崇文一模）在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，AB CD∥，1AB AD==，12D D CD==，AB AD⊥．（Ⅰ）求证：BC⊥平面1D DB；（Ⅱ）求1D B与平面11D DCC所成角的大小．例6、如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC角形，AB＝2，O是AB中点．(1)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；(2)求证：平面PAB⊥平面ABC.课后练习：B1、若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.倍B.2倍C.倍D.倍2、(2013·惠州高一检测)某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为5的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.则该几何体的体积为( )A.24B.80C.64D.2403、(2013·宿州高一检测)如图,四边形BCC1B1是圆柱的轴截面.AA1是圆柱的一条母线,已知AB=2,AC=2,AA1=3.(1)求证:AC⊥BA1.(2)求圆柱的侧面积4、如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=a,则PC=5、对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β6、(2012·上海高考)一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积为.。
线面定理性质
线面、面面平行和垂直的定理性质
一、线面平行
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：
二、面面平行
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：
变形：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：
（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示：
（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
变形：垂直于同一条直线的两个平面平行
四、面面垂直
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直）
其他：两个平面相交,如果它们所成的二面角是直角，则这两个平面互相垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则CDE是二面角 - AB 的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
8
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
β
a l
A α
符号语言：
α
Aa
β
a⊥β
B
12
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 I l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
I bbll Nhomakorabeab 又a
线面垂直
a // b 性质
b
a //
a
面面垂直性质 13
变式：
思考：已知平面，，直线a,且 , AB, a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
2、会利用“转化思想”解决垂直问题
面面关系
线面关系
线线关系
空间问题平面化 面面平行
线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
16
线l在平面α内，那么直线l与平面β的位
置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
6
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
7
证明问题：
已知： ， AB,CD ,且CD AB. 求证：CD
线面垂直的判定定理及其证明
线面垂直的判定定理及其证明
点线面垂直的判定定理是指：给定任意一点O和一平面Π，从这点出发经过
某一条线段与Π相交于点A和B，若OA、OB都平行于Π，则该线段垂直于Π。
这一定理在几何中用来判别点线面是否垂直，其证明方法较为复杂。
根据公理，可以假定OOA和OOB（由点O到点A和点B的线段）共面，此时在γ上有OC=OA，当另外两角α、β平行时，且α+β=Π/2，即Π=2α=2β，则γ垂直于Π。
即
可证明点线面垂直的判定定理是正确的。
点线面垂直的判定定理在数学、物理和机械等诸多学科中均有应用，其特殊性
决定了其不可忽视的重要地位。
例如，在数学中，可以使用这一定理验证连续抛物线是否符合点到点垂直的规律；在机械上，可以使用此定理来判断两条铰链线是否处于正确的垂直位置。
通过以上实例可以看出，点线面垂直的判定定理有着极为广泛的应用，合理
的证明助力于理解和掌握它的实用价值，因此，理解和掌握这种定理对于深入研究相关学科至关重要。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平ab a //面平行。
符合表示：a// b2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：aa//a // bab二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
n // b m // aa b M //mnN符号表示：2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
//符号表示：l l// d （更加实用的性质：一个平d面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直a c线垂直这个平面。
符号表示： a b ab c M＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直aoApoa oA A2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平 面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、 判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
a , a2、 性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一 个平面。
， b, a ,a b a 符号表示:a PA。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
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线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβααI 二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n I I 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβαI I （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a I ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，尽管人智慧有其局限，爱智慧却并不因此就属于徒劳。
智慧果实似乎是否定性：理论上——“我知道我一无所知”；实践上——“我需要我一无所需”。
然而，达到了这个境界，在谦虚和淡泊哲人胸中，智慧痛苦和快乐业已消融为了一种和谐宁静了。
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§1.9直线和平面垂直的判定和性质（第一课时）浙江省湖州二中数学组 王峥嵘 邮编313000一、 素质教育目标：（一） 知识教学点1、 直线和平面垂直的定义和相关概念2、 直线和平面垂直的判定定理3、 直线和直线平行的性质定理（即课本P25 页例1）（二） 能力训练点1、 引导学生合理应用平移的方法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的合理添加。
2、 引导学生在研究直线和平面位置关系时转化为直线和直线的的位置关系（如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线），向学生渗透转化思想的应用。
（三） 德育教育：引导学生认识到定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题；解决空间线、面垂直问题我们通过转化为线、线垂直的问题来解决，转化的思想是一种常用的数学思想方法。
二、 教学重点、难点（一） 教学重点：1、掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个 平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直。
2、掌握直线和平面垂直的判定定理：.,,ααα平面则，，平面，平面若⊥⊥⊥=⊂⊂l n l m l A n m n m I3、掌握线线平行的性质定理：.,//αα平面，则平面若⊥⊥b a b a（二） 教学难点：线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明中辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B 点的两条直线说明“任意”直线的问题。
三、 教学工具的准备幻灯片：书写本节课涉及的定义、定理和图例.多媒体课件：演示本节课涉及的线线、线面关系，增加立体几何 的直观性.四、课时安排：本课题（§1.9直线和平面垂直的判定和性质）共安排2课时，本节课为第一课时五、 学生活动设计：1、观察生活中，线面垂直的实例和应用。
2、 现实生活中如何确定和保证一条“线”和“面”的垂直。
六、 教学过程：（一） 温顾知新，新课引入：1、 空间两条直线有哪几种位置关系？多媒体课件演示（三种：两直线相交，两直线平行，两直线异面）2、 经过一点和一条直线垂直的直线有几条？多媒体课件演示（由两直线垂直的定义可知：经过一点有无数条直线和已α A B l （图1）知直线垂直）3、 空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？多媒体课件演示（三种：直线在平面内,直线和平面相交,直线和平面平行） 师：我们已经学过直线和平面平行的判定和性质，知道直线和平面平行的问题可 转化为考察直线和平面内直线平行的关系，今天我们学习直线和直线相交的一种特殊情况——直线和平面垂直，这个问题同样可以转化为考察一条直线和一个平面内直线的关系，然后加以解决。
(板书：§1.9直线和平面垂直的判定和性质)（二） 小结活动，推测结论１、 教师演示课本P 23的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线成90°角，得出书脊（“线”）和桌面（“面”）垂直，给出直线和平面垂直的具体形象。
从而引出直线和平面垂直的概念：(多媒体课件演示结合幻灯片显示定义)如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。
２、 注意点：过一点（无论点是否在平面上）有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点（无论点是否在直线上）有且只有一个平面和一条直线垂直。
平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足。
３、 说明直线和平面垂直的画法和表示：画直线和水平平面垂直时要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，如图（图1）中的AB.直线 和平面互相垂直，记作 ⊥α.４、小结现实生活中的线面垂直，推测线面垂直判定定理：师：我们在现实生活中是如何保证“线”和“面”的垂直？生甲：泥瓦匠用铅锤来使墙面和地面垂直。
生乙：广场的路灯靠灯杆下的六个有一个角为直角的角铁，来使灯杆和地面垂直。
师：很好，大家都对生活中“线”和“面”的垂直有所发现，甲同学的发现是工人们对重力的利用，我们暂且不说，请注意乙同学的发现，我们一起想一想，是否可以减少角铁的个数，同时这些角铁要是怎样的位置关系？生：两个，它们不在同一平面上。
师：对！那么我们想想看，这样的两个角铁实际上是保证了灯杆（“线”）和地面（“平面”）的几条直线垂直，对这些直线有什么要求？生：灯杆和地面两条直线垂直，这两条直线相交。
师：好！请大家自己根据上面的例子总结一下，我们如何在判断空间一条直线和一个平面垂直。
（三）层层推进，证明线面垂直判定定理指导学生写出已知条件和结论，并画出图形（图2）：已知：,Bnmnm=⊂⊂I，平面，平面βα.,nlml⊥⊥求证：.α平面⊥l αABl（图2）mn师：你们准备如何证明直线 和平面α垂直呢？生：根据直线和平面垂直的概念来证明，我们需要证明直线 和平面α内的任何一条直线都垂直。
师：是的，我们现在只有从直线和平面垂直的概念入手证明直线 和平面α垂直。
那么我们设g是在平面内α任意一条直线，现在只要证明 ⊥g就可以了。
对于平面α内不经过B点的直线k，可以过点B做它的平行线k′，通过异面直线所成的角的定义来说明直线k和直线 垂直，所以，我们先来证明g经过 和平面α的垂足B点的情况。
（学生思考证明方法，教师在图2上适时添加辅助线，并对下列问题根据需要作出提示）1、l、g是相交直线，要证明她们垂直，实际上已经转化为平面几何中证明直线和直线垂直的问题，可以考虑等腰三角形的性质，在直线l上点B的两侧分别取点A和A′，使AB = A′B.2、直线m、n和线段A A′是什么关系？（m、n垂直平分线段AA′）3、从结论看，直线g与线段A A′应当是什么关系？（g垂直平分线段A A′）4、怎样证明直线g垂直平分线段A A′？（只要能证明在g上任取的点E，有AE= A′E）5、过E做直线分别与m、n交于C、D，连接AC、A′C、AD、A′D，则有：AC= A′C、AD= A′D，由此能证明AE= A′E吗？（利用全等三角形的性质）（学生叙述证明过程，教师板书）lA′αAB（图3）m n证明：设g是平面α内的任意一条直线，要证明 ⊥平面α，根据定义，只要证明 ⊥g就可以了。
先证明 、g都通过点B的情况（图3）.在直线 上点B的两侧分别取A、A’，使AB=A’B.那么直线m、n都是线段AA’的垂直平分线，为了证明 ⊥g，可证明直线g也是线段AA’垂直平分线.当g与m(或n)重合时，根据已知 ⊥m(或n)，可知 ⊥g成立.当g与m、n不重合时，在平面α内作一条直线CD，与直线m、n、g分别交于点C、D、E.则有AC=A’C ,AD=A’D∴ΔACD≌ΔA’CD,得∠ACE=∠A’CE∴ΔACE≌ΔA’CE得 AE=A’E∴ g是AA’的垂直平分线.∴ ⊥g如果直线 、g中有一条或两条不经过点B，那么可过点B 引它们的平行线，由于过点B的这样两条直线所成的角就是直线 与g所成的角，同理可证这两条直线垂直.因而 ⊥g.综上所述可得 ⊥g参看图3并作说明：１、当直线g和m(或n)重合时，结论显然成立.２、如果直线 、g中有一条或两条不经过点B，那么可过点B 引它们的平行直线，由过点B的的这两条直线所成的角，就是直线 与g所成的角，同理可证这两条直线垂直，因而 ⊥g.３、要判断一条已知直线是否和一个平面垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交．．直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.这样，我们得到了直线和平面垂直的判定定理.（板书：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面）４、强调“线面垂直片顶定理”中的“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性。
⑴用新课引入时学生的生活实例，路灯下的角铁如过只有一个就不能保证使灯杆垂直于地面，如果是两个，但这两个角铁靠地面的两条边在同一直线上同样不能保证使灯杆垂直于地面，那样的话路灯就很不稳定了⑵将一块大直角三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线垂直（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直.（强调“两条”）⑶在⑵的基础上在讲台上放一根和大直角三角板边AC平行的竹竿EF，那么三角板的直角边BC同样和EF垂直，但它不一定和讲台桌面垂直.（四）初步应用，提高能力例1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.已知：α平面⊥a b a ,// (图4)证明：α平面⊥b证明：在平面α内作两条相交直线m 、n .⎩⎨⎧⊥⊥⇒⊥n a m a a α平面 说明：本例结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理.这 样判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于 平面两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线 垂直于平面来证明. （五） 学生练习，检查学习效果练习1、一条直线垂直于平面内的两条直线，这条直线垂直于这个平面吗？生：不一定.当平面内的两条直线平行时，它们的垂线不一定和平面垂直.比如在同一个平面内和两条平行线垂直的直线就有无数条.练习2、求证：如果三条共点直线两两垂直，那么其中的一条直线垂直于另外两条直线确定的平面.分步解答：（1）、生丙：在黑板上根据命题作图（图5）.（教师及时讲评 回顾线面垂直作图的注意点） （2）、生丁：口答命题的已知条件和结论. （3）、生戊：根据黑板上的图和已知条件（教师板书）已知：OA ⊥OB,OB ⊥OC,OC ⊥OA a //bα平面⊥⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧⊥⊥⇒b n m b b O AB C 图5求证：OA ⊥平面BOC ，OB ⊥平面AOC ，OC ⊥平面AOB.证明：（以证明OA ⊥平面BOC 为例，目的强化书写格式和线面垂直判定定理的两 个重要条件）.BOC OA O OC OB BOC OC BOC OB OC OB OBOA 平面平面平面⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂⊥⊥I同理可证OB ⊥平面AOC ，OC ⊥平面AOB. （六） 课堂小结师：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，同时我们利用这个定义证明了直线和平面垂直的判定定理，事实上在判定一条直线和一个平面是否垂直上，直线和平面的垂直判定定理用得较多，如果直线 垂直于一个平面α，那么直线垂直于这个平面α内任何一条直线；对于判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路。
注意区分线面平行和线面垂直的数量：经过一点有无数条直线和已知直线垂直，但经过一点只有一个平面和已知直线垂直；经过平面外一点有无数条直线和已知平面平行，但经过一点只有一条直线和已知平面垂直.七、 作业巩固（做为线面垂直定义和判定定理的第一节课，回家作业只做一般要求顾布置如下四题：）习题1、求证和三角形两边同时垂直的直线，也和第三边垂直.习题2、如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都A B D C A ’ B’ C’ D’ 和这条直线垂直习题3、直角三角形ABC 在平面α内，D 是斜边AB 的中点、AC=6cm ， BC=8cm ，EC ⊥平面α，EC=12cm 。