垂直关系的判定及其性质 PPT

∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点， PA=2AB=2.
(1)求四棱锥PABCD的体积V； (2)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF.
题型三 面面垂直 【例3】 (2011·聊城模拟)如图，菱形ABCD所在平面与矩形 ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且点M是线段EF的中 点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)求证：平面DEF⊥平面BEF.
又AD∩AE=A，AD，AE⊂平面ADE， ∴平面ADE∥平面FB1C1. (2)M应是DC的中点． ∵B1C1⊥平面DD1C1C，D1M⊂平面DD1C1C， ∴B1C1⊥D1M， 由题意知FC1⊥D1M， FC1∩B1C1=C1，FC1，B1C1⊂平面FB1C1， ∴D1M⊥平面FB1C1，又由(1)知平面ADE∥ 平面FB1C1，∴D1M⊥平面ADE.
又BC⊂平面ABCD，
所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC.
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，
因此GF⊥平面1 PDC.
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又GF⊂平面E3FG，所以平面EF3 G⊥平面PDC.
①若a∥a，则a内的任何直线都与a平行；
②若a⊥a，则a内的任何直线都与a垂直；
③若a∥b，则b内的任何直线都与a平行；
④若a⊥b，则b内的任何直线都与a垂直．
则其中( )
A. ②、③为真
B. ①、②为真
C. ①、④为真
D. ③、④为真
4. (2010·浙江)设l，m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列
答案： 1. (1)任意一条直线 平面的垂线 直线的垂面 垂足 垂 线段 点到平面的距离 (2)任意一条 (3)两条相交直线 (4)有一条垂直于一个平面 (5)垂直于同一个平面 2. (1)直二面角 (2)一条垂线 (3)垂直于它们交线
基础达标
1. (教材改编题)下列条件中，能判定直线l⊥平面a的是( )
(1)如图，设AC∩BD＝O，连接OE，由题意得EM1 ＝ EF＝1 AC＝
AO.
2
2
∵EM∥AO，
∴四边形EOAM为平行四边形，EO∥AM.
∵EO⊂平面BDE，AM⊄平面BDE.
∴AM∥平面BDE.
(2)如图，连接DM，BM，MO.∵AF⊥AC，EC⊥AC，平面
ACEF⊥平面ABCD，∴AF⊥平面ABCD，EC⊥平面ABCD，
可以互相讨论下，但要小声点
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题型二 线面垂直 【例2】 如图，已知四棱柱PABCD中，底面ABCD是直角梯 形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD， PA=1. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积．
变式2-1 (2011·潍坊模拟)在四棱锥PABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，
Байду номын сангаас命题正确的是
()
A. 若l⊥m，m⊂a，则l⊥a B. 若l⊥a，l∥m，则m⊥a
C. 若l∥a，m⊂a，则l∥m D. 若l∥a，m∥a，则l∥m
5. 如图1所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，
G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体
，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图2所示，那么，
中，求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1.
证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所 以AC⊥BD，A1A⊥平面ABCD，
而BD⊂平面ABCD，于是BD⊥A1A. 因为AC、A1A⊂平面A1ACC1且AC交A1A于 点A，所以BD⊥平面A1ACC1. 因为BD⊂平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面 A1ACC1.
题型四 直线、平面垂直的探究性问题 【例4】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和 DD1的中点． (1)求证：平面B1FC1∥平面ADE； (2)试在棱DC上求一点M，使D1M⊥平面ADE.
解：(1)∵AD∥B1C1，又B1C1⊂平面FB1C1， ∴AD∥平面FB1C1，同理，AE∥平面FB1C1，
经典例题
题型一 线线垂直 【例1】如图，a∩b=CD，EA⊥a，垂足为A，EB⊥b， 垂足为B，求证：CD⊥AB.
证明：∵a∩b=CD，∴CD⊂a，CD⊂b. 又∵EA⊥a，CD⊂a，∴EA⊥CD， 同理EB⊥CD. ∵EA⊥CD，EB⊥CD，EA∩EB=E， ∴CD⊥平面EAB. ∵AB⊂平面EAB，∴AB⊥CD.
变式1-1 (2011·徐州模拟)如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平
面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
证明：∵BC⊥平面ABE， AE⊂平面ABE，
∴BC⊥AE，同理AE⊥BF， ∵BF∩BC=B，∴AE⊥平面 BCE， 又∵BE⊂平面BCE， ∴AE⊥BE.
大家有疑问的，可以询问和交流
第五节 垂直关系的判定及其性质
基础梳理
1. 直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面a内的__________都垂直，我们就说 直线l与平面a互相垂直．这条直线叫做__________，这个平面叫 做________，交点叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段， 叫做这个点到这个平面的________，垂线段的长度叫做 ____________． (2)性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内 的________直线垂直． (3)判定定理：如果一条直线与平面内的__________垂直，则这 条直线与这个平面垂直． (4)推论：如果在两条平行直线中，______________，那么另一 条也垂直于这个平面． (5)性质定理：如果两条直线____________，那么这两条直线平 行．
在四面体AEFH中必有( )
图1
图2
A. AH⊥△EFH所在平面
C. HF⊥△AEF所在平面
B. AG⊥△EFH所在平面 D. HG⊥△EFH所在平面
答案： 1. D 解析：由直线与平面垂直的定义，可知D正确． 2. D 3. A 4. B
5. A 解析：在图2中，AH⊥EH，AH⊥FH，且 EH∩FH=H，所以AH⊥平面EFH.
A. l与平面a内的两条直线垂直
B. l与平面a内无数条直线垂直
C. l与平面a内的某一条直线垂直
D. l与平面a内任意一条直线垂直
2. 直线a⊥直线b，a⊥平面b，则b与b的位置关系是( )
A. b⊥b
B. b∥b
C. b⊂b
D. b⊂b或b∥b
3. 已知直线a和两个平面a，b，给出下列四个命题：
2. 平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ________，就称这两个平面互相垂直． (2)判定定理：如果一个平面过另一个平面的________，则这两 个平面互相垂直． (3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 __________的直线垂直于另一个平面．
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(2010·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形， MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中 点，且AD=PD=2MA.
求证：平面EFG⊥平面PDC；
知识准备：知道线面垂直和面面垂直 的判定；
证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
所以PD⊥平面ABCD.
∴AF⊥AD，EC⊥DC，又四边形ABCD为菱形，
∴AD＝DC，∴DF＝DE.
又点M是EF的中点，1 ∴DM⊥EF.
∵BD＝2AF，∴DO＝2 BD＝AF＝MO，
∴∠DMO＝45°，同理，∠BMO＝45°，
∴DM⊥BM.
又EF∩BM＝M，∴DM⊥平面BEF.
变式3-1 (2011·江苏海安如皋联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1