垂直关系的判定及其性质 PPT
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
垂直关系的判定-课件ppt
北师大版必修二第一章第六节第一课时
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直示例
栽树问题
M
E
A C
DP3 OB
F
P1 P2
概念
• 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条 直线和这个平面垂直.
• 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任 何一条直线都垂直.
概念辨析与应用
作业
•作业本作业：课本第41页第4题和第5题；
•课外探究：1、课本第36页第3题； •2、如何证明直线与平面的判定定理
பைடு நூலகம்
• (1)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直， 则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.( )
• (2)若一条直线与一个梯形的两边垂直,则这条直 线垂直于梯形所在的平面.( )
• (3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这 条直线垂直于三角形的第三边.( )
典例剖析
O
小结
• 1、本节课主要学习了哪些知识？ • 概念、定理。 • 2、探究概念定理时所采用了什么方法？ • 生活实例、实验演示、类比联想等. • 3、解题过程中用了什么方法？体现了什么思想？ • 线线垂直与线面垂直的不断转化, • 从条件出发推理，从问题入手分析. • 4、你觉着本节课还有什么遗憾没有？ • 课后探究
•（1）如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，则这条 直线和这个平面垂直。
•（2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条 也垂直于这个平面。
l
判定定理 • 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线 与此平面垂直。
定理应用
• 1、生活实例
• 2、折纸
• 3、判断错对
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直示例
栽树问题
M
E
A C
DP3 OB
F
P1 P2
概念
• 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条 直线和这个平面垂直.
• 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任 何一条直线都垂直.
概念辨析与应用
作业
•作业本作业：课本第41页第4题和第5题；
•课外探究：1、课本第36页第3题； •2、如何证明直线与平面的判定定理
பைடு நூலகம்
• (1)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直， 则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.( )
• (2)若一条直线与一个梯形的两边垂直,则这条直 线垂直于梯形所在的平面.( )
• (3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这 条直线垂直于三角形的第三边.( )
典例剖析
O
小结
• 1、本节课主要学习了哪些知识？ • 概念、定理。 • 2、探究概念定理时所采用了什么方法？ • 生活实例、实验演示、类比联想等. • 3、解题过程中用了什么方法？体现了什么思想？ • 线线垂直与线面垂直的不断转化, • 从条件出发推理，从问题入手分析. • 4、你觉着本节课还有什么遗憾没有？ • 课后探究
•（1）如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，则这条 直线和这个平面垂直。
•（2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条 也垂直于这个平面。
l
判定定理 • 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线 与此平面垂直。
定理应用
• 1、生活实例
• 2、折纸
• 3、判断错对
【数学课件】两个平面垂直的判定和性质
两个平面垂直的判定和性质
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理ppt课件
a⊥β α
b
a
B
γ
证明：过a作平面γ交于b， 因为直线a//，所以a//b
β 又因为a⊥AB，所以b⊥AB
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
直线l在平面α内，那么直线l与平面β
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
证明问题：
已知： ， A , C B , 且 D C A . 求D 证：B CD
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂直
线面垂直 面面垂直
定义
性质
问题2 , a , a , 判 断 a 与 位 置 关 系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已 ， ， 知直 平 a,且 线 面 ,A,B
a/ /,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
符号语言：
ab
a ,b a //b
α
线面垂直关 系
最新版整理ppt
线线平行关 系
3
平面与平面垂直的性质
温故知新
直线与平面垂直的判定PPT课件
例题二：求点到直线的距离
方法一
利用点到直线的距离公式，通过计算 点到直线上任意一点的向量在直线方 向向量上的投影长度，从而得出点到 直线的距离。
方法二
利用向量的叉积，通过计算点到直线上 两个点的向量与直线方向向量的叉积的 模，再除以直线方向向量的模，从而得 出点到直线的距离。
例题三：解决实际问题中的应用
方法三：结合图形进行判断
• 步骤 • 观察图形中已知直线与平面的位置关系； • 如果看起来垂直，则可以直接判断已知直线与平面垂直。 • 注意：以上三种方法都可以用来判断一条直线是否与一个平
面垂直，但具体使用哪种方法需要根据题目的具体情况来决 定。同时，在实际应用中，还需要注意一些特殊情况的处理， 例如当已知直线在平面内或与平面平行时，需要采用其他方 法进行判断。
点到直线距离公式可以用来辅助判断直线与平面是否垂直。
03
直线与平面垂直的判定方 法
方法一：利用定义直接判断
定义：如果一条直线与一个平面内的任意 一条直线都垂直，那么这条直线与这个平 面垂直。
如果都垂直，则已知直线与平面垂直。
步骤
验证已知直线与这两条相交直线是否垂直；
在平面内任意取两条相交直线；
方法二：利用判定定理进行判断
直线与平面垂直 的判定PPT课件
目录
• 直线与平面垂直的基本概念 • 直线与平面垂直的判定定理 • 直线与平面垂直的判定方法 • 直线与平面垂直的应用举例 • 直线与平面垂直的拓展延伸
01
直线与平面垂直的基本概 念
直线与平面的位置关系
01
02
03
直线在平面内
直线上的所有点都在平面 内。
直线与平面相交
步骤
验证这两条直线是否垂直；
直线、平面垂直的判定及其性质 课件
解：(1)证明：由已知得 AC⊥BD，AD＝CD．
又由 AE＝CF 得AADE＝CCDF，故 AC∥EF．
由此得 EF⊥HD，故 EF⊥HD′，所以 AC⊥HD′．
(2)由 EF∥AC 得ODHO＝AADE＝14．
由 AB＝5，AC＝6 得 DO＝BO＝ AB2－AO2＝4．
所以 OH＝1，D′H＝DH＝3．
(说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任 意一点)
(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因为 AD∥BC，BC＝12AD，所以直线 AB 与 CD 相交， 所以 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD．连接 BM，因为 AD∥BC， BC＝12AD，M 为 AD 的中点，所以 BC∥MD，且 BC＝MD， 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BM＝CD＝12AD，所以 BD⊥AB．又 AB∩AP＝A， 所以 BD⊥平面 PAB． 又 BD⊂平面 PBD，所以平面 PAB⊥平面 PBD．
和 β 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推
出 m⊥β 的是
()
A．α⊥β 且 m⊂α
B．α⊥β 且 m∥α
C．m∥n 且 n⊥β
D．m⊥n 且 α∥β
解析：由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定
理，可知 C 正确．
答案：C
2．如图，S 是 Rt△ABC 所在平面外一点，且 SA＝ SB＝SC．D 为斜边 AC 的中点． (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC． 证明：(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 SE，DE， 在 Rt△ABC 中，D，E 分别为 AC，AB 的中点． ∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB． 又 SE∩DE＝E，∴AB⊥平面 SDE． 又 SD⊂平面 SDE，∴AB⊥SD． 在△SAC 中，SA＝SC，D 为 AC 的中点，∴SD⊥AC． 又 AC∩AB＝A，∴SD⊥平面 ABC．
又由 AE＝CF 得AADE＝CCDF，故 AC∥EF．
由此得 EF⊥HD，故 EF⊥HD′，所以 AC⊥HD′．
(2)由 EF∥AC 得ODHO＝AADE＝14．
由 AB＝5，AC＝6 得 DO＝BO＝ AB2－AO2＝4．
所以 OH＝1，D′H＝DH＝3．
(说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任 意一点)
(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因为 AD∥BC，BC＝12AD，所以直线 AB 与 CD 相交， 所以 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD．连接 BM，因为 AD∥BC， BC＝12AD，M 为 AD 的中点，所以 BC∥MD，且 BC＝MD， 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BM＝CD＝12AD，所以 BD⊥AB．又 AB∩AP＝A， 所以 BD⊥平面 PAB． 又 BD⊂平面 PBD，所以平面 PAB⊥平面 PBD．
和 β 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推
出 m⊥β 的是
()
A．α⊥β 且 m⊂α
B．α⊥β 且 m∥α
C．m∥n 且 n⊥β
D．m⊥n 且 α∥β
解析：由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定
理，可知 C 正确．
答案：C
2．如图，S 是 Rt△ABC 所在平面外一点，且 SA＝ SB＝SC．D 为斜边 AC 的中点． (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC． 证明：(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 SE，DE， 在 Rt△ABC 中，D，E 分别为 AC，AB 的中点． ∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB． 又 SE∩DE＝E，∴AB⊥平面 SDE． 又 SD⊂平面 SDE，∴AB⊥SD． 在△SAC 中，SA＝SC，D 为 AC 的中点，∴SD⊥AC． 又 AC∩AB＝A，∴SD⊥平面 ABC．
8-4直线与平面垂直的判定及其性质课件共120张PPT
(3)[解] 当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下： 取PC的中点F，连接DE，EF，DF. 在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE. 而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B， 所以平面DEF∥平面PGB. 因为BG⊥平面PAD，PG⊂平面PAD，所以BG⊥PG. 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G， 所以PG⊥平面ABCD.
第四节 直线与平面垂直的判定及其性质
[复习要点] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命 题．
理清教材•巩固基础
知识点一 直线与平面垂直 1．定义：直线l与平面α内的__任__意____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相 垂直．
易/错/问/题
类比思维的应用：注意由平面到空间的思维的变化． (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为_平__行__、__相__交__或__异__面_． (2)已知直线a和平面α，β，若α⊥β，a⊥β，则a与α的位置关系为a_∥__α_或__a_⊂__α__．
通/性/通/法
(4)面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交 线的直线垂直于另一个平面(常用方法)；
(5)面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条 直线也垂直于另一个平面(客观题常用)；
(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平 面(客观题常用)．
(2)如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角．
(3)如果一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角为0°的角． (4)直线和平面所成角的范围是___0_，__π2_ _．
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
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可以互相讨论下，但要小声点
9
题型二 线面垂直 【例2】 如图，已知四棱柱PABCD中，底面ABCD是直角梯 形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD， PA=1. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积．
变式2-1 (2011·潍坊模拟)在四棱锥PABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，
题型四 直线、平面垂直的探究性问题 【例4】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和 DD1的中点． (1)求证：平面B1FC1∥平面ADE； (2)试在棱DC上求一点M，使D1M⊥平面ADE.
解：(1)∵AD∥B1C1，又B1C1⊂平面FB1C1， ∴AD∥平面FB1C1，同理，AE∥平面FB1C1，
在四图2
A. AH⊥△EFH所在平面
C. HF⊥△AEF所在平面
B. AG⊥△EFH所在平面 D. HG⊥△EFH所在平面
答案： 1. D 解析：由直线与平面垂直的定义，可知D正确． 2. D 3. A 4. B
5. A 解析：在图2中，AH⊥EH，AH⊥FH，且 EH∩FH=H，所以AH⊥平面EFH.
命题正确的是
()
A. 若l⊥m，m⊂a，则l⊥a B. 若l⊥a，l∥m，则m⊥a
C. 若l∥a，m⊂a，则l∥m D. 若l∥a，m∥a，则l∥m
5. 如图1所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，
G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体
，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图2所示，那么，
经典例题
题型一 线线垂直 【例1】如图，a∩b=CD，EA⊥a，垂足为A，EB⊥b， 垂足为B，求证：CD⊥AB.
证明：∵a∩b=CD，∴CD⊂a，CD⊂b. 又∵EA⊥a，CD⊂a，∴EA⊥CD， 同理EB⊥CD. ∵EA⊥CD，EB⊥CD，EA∩EB=E， ∴CD⊥平面EAB. ∵AB⊂平面EAB，∴AB⊥CD.
变式1-1 (2011·徐州模拟)如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平
面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
证明：∵BC⊥平面ABE， AE⊂平面ABE，
∴BC⊥AE，同理AE⊥BF， ∵BF∩BC=B，∴AE⊥平面 BCE， 又∵BE⊂平面BCE， ∴AE⊥BE.
大家有疑问的，可以询问和交流
链接高考
(2010·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形， MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中 点，且AD=PD=2MA.
求证：平面EFG⊥平面PDC；
知识准备：知道线面垂直和面面垂直 的判定；
证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
所以PD⊥平面ABCD.
∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点， PA=2AB=2.
(1)求四棱锥PABCD的体积V； (2)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF.
题型三 面面垂直 【例3】 (2011·聊城模拟)如图，菱形ABCD所在平面与矩形 ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且点M是线段EF的中 点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)求证：平面DEF⊥平面BEF.
又AD∩AE=A，AD，AE⊂平面ADE， ∴平面ADE∥平面FB1C1. (2)M应是DC的中点． ∵B1C1⊥平面DD1C1C，D1M⊂平面DD1C1C， ∴B1C1⊥D1M， 由题意知FC1⊥D1M， FC1∩B1C1=C1，FC1，B1C1⊂平面FB1C1， ∴D1M⊥平面FB1C1，又由(1)知平面ADE∥ 平面FB1C1，∴D1M⊥平面ADE.
第五节 垂直关系的判定及其性质
基础梳理
1. 直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面a内的__________都垂直，我们就说 直线l与平面a互相垂直．这条直线叫做__________，这个平面叫 做________，交点叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段， 叫做这个点到这个平面的________，垂线段的长度叫做 ____________． (2)性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内 的________直线垂直． (3)判定定理：如果一条直线与平面内的__________垂直，则这 条直线与这个平面垂直． (4)推论：如果在两条平行直线中，______________，那么另一 条也垂直于这个平面． (5)性质定理：如果两条直线____________，那么这两条直线平 行．
①若a∥a，则a内的任何直线都与a平行；
②若a⊥a，则a内的任何直线都与a垂直；
③若a∥b，则b内的任何直线都与a平行；
④若a⊥b，则b内的任何直线都与a垂直．
则其中( )
A. ②、③为真
B. ①、②为真
C. ①、④为真
D. ③、④为真
4. (2010·浙江)设l，m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列
2. 平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ________，就称这两个平面互相垂直． (2)判定定理：如果一个平面过另一个平面的________，则这两 个平面互相垂直． (3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 __________的直线垂直于另一个平面．
又BC⊂平面ABCD，
所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC.
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，
因此GF⊥平面1 PDC.
8
又GF⊂平面E3FG，所以平面EF3 G⊥平面PDC.
中，求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1.
证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所 以AC⊥BD，A1A⊥平面ABCD，
而BD⊂平面ABCD，于是BD⊥A1A. 因为AC、A1A⊂平面A1ACC1且AC交A1A于 点A，所以BD⊥平面A1ACC1. 因为BD⊂平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面 A1ACC1.
∴AF⊥AD，EC⊥DC，又四边形ABCD为菱形，
∴AD＝DC，∴DF＝DE.
又点M是EF的中点，1 ∴DM⊥EF.
∵BD＝2AF，∴DO＝2 BD＝AF＝MO，
∴∠DMO＝45°，同理，∠BMO＝45°，
∴DM⊥BM.
又EF∩BM＝M，∴DM⊥平面BEF.
变式3-1 (2011·江苏海安如皋联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1
(1)如图，设AC∩BD＝O，连接OE，由题意得EM1 ＝ EF＝1 AC＝
AO.
2
2
∵EM∥AO，
∴四边形EOAM为平行四边形，EO∥AM.
∵EO⊂平面BDE，AM⊄平面BDE.
∴AM∥平面BDE.
(2)如图，连接DM，BM，MO.∵AF⊥AC，EC⊥AC，平面
ACEF⊥平面ABCD，∴AF⊥平面ABCD，EC⊥平面ABCD，
答案： 1. (1)任意一条直线 平面的垂线 直线的垂面 垂足 垂 线段 点到平面的距离 (2)任意一条 (3)两条相交直线 (4)有一条垂直于一个平面 (5)垂直于同一个平面 2. (1)直二面角 (2)一条垂线 (3)垂直于它们交线
基础达标
1. (教材改编题)下列条件中，能判定直线l⊥平面a的是( )
A. l与平面a内的两条直线垂直
B. l与平面a内无数条直线垂直
C. l与平面a内的某一条直线垂直
D. l与平面a内任意一条直线垂直
2. 直线a⊥直线b，a⊥平面b，则b与b的位置关系是( )
A. b⊥b
B. b∥b
C. b⊂b
D. b⊂b或b∥b
3. 已知直线a和两个平面a，b，给出下列四个命题：
9
题型二 线面垂直 【例2】 如图，已知四棱柱PABCD中，底面ABCD是直角梯 形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD， PA=1. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积．
变式2-1 (2011·潍坊模拟)在四棱锥PABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，
题型四 直线、平面垂直的探究性问题 【例4】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和 DD1的中点． (1)求证：平面B1FC1∥平面ADE； (2)试在棱DC上求一点M，使D1M⊥平面ADE.
解：(1)∵AD∥B1C1，又B1C1⊂平面FB1C1， ∴AD∥平面FB1C1，同理，AE∥平面FB1C1，
在四图2
A. AH⊥△EFH所在平面
C. HF⊥△AEF所在平面
B. AG⊥△EFH所在平面 D. HG⊥△EFH所在平面
答案： 1. D 解析：由直线与平面垂直的定义，可知D正确． 2. D 3. A 4. B
5. A 解析：在图2中，AH⊥EH，AH⊥FH，且 EH∩FH=H，所以AH⊥平面EFH.
命题正确的是
()
A. 若l⊥m，m⊂a，则l⊥a B. 若l⊥a，l∥m，则m⊥a
C. 若l∥a，m⊂a，则l∥m D. 若l∥a，m∥a，则l∥m
5. 如图1所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，
G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体
，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图2所示，那么，
经典例题
题型一 线线垂直 【例1】如图，a∩b=CD，EA⊥a，垂足为A，EB⊥b， 垂足为B，求证：CD⊥AB.
证明：∵a∩b=CD，∴CD⊂a，CD⊂b. 又∵EA⊥a，CD⊂a，∴EA⊥CD， 同理EB⊥CD. ∵EA⊥CD，EB⊥CD，EA∩EB=E， ∴CD⊥平面EAB. ∵AB⊂平面EAB，∴AB⊥CD.
变式1-1 (2011·徐州模拟)如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平
面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
证明：∵BC⊥平面ABE， AE⊂平面ABE，
∴BC⊥AE，同理AE⊥BF， ∵BF∩BC=B，∴AE⊥平面 BCE， 又∵BE⊂平面BCE， ∴AE⊥BE.
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(2010·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形， MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中 点，且AD=PD=2MA.
求证：平面EFG⊥平面PDC；
知识准备：知道线面垂直和面面垂直 的判定；
证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
所以PD⊥平面ABCD.
∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点， PA=2AB=2.
(1)求四棱锥PABCD的体积V； (2)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF.
题型三 面面垂直 【例3】 (2011·聊城模拟)如图，菱形ABCD所在平面与矩形 ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且点M是线段EF的中 点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)求证：平面DEF⊥平面BEF.
又AD∩AE=A，AD，AE⊂平面ADE， ∴平面ADE∥平面FB1C1. (2)M应是DC的中点． ∵B1C1⊥平面DD1C1C，D1M⊂平面DD1C1C， ∴B1C1⊥D1M， 由题意知FC1⊥D1M， FC1∩B1C1=C1，FC1，B1C1⊂平面FB1C1， ∴D1M⊥平面FB1C1，又由(1)知平面ADE∥ 平面FB1C1，∴D1M⊥平面ADE.
第五节 垂直关系的判定及其性质
基础梳理
1. 直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面a内的__________都垂直，我们就说 直线l与平面a互相垂直．这条直线叫做__________，这个平面叫 做________，交点叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段， 叫做这个点到这个平面的________，垂线段的长度叫做 ____________． (2)性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内 的________直线垂直． (3)判定定理：如果一条直线与平面内的__________垂直，则这 条直线与这个平面垂直． (4)推论：如果在两条平行直线中，______________，那么另一 条也垂直于这个平面． (5)性质定理：如果两条直线____________，那么这两条直线平 行．
①若a∥a，则a内的任何直线都与a平行；
②若a⊥a，则a内的任何直线都与a垂直；
③若a∥b，则b内的任何直线都与a平行；
④若a⊥b，则b内的任何直线都与a垂直．
则其中( )
A. ②、③为真
B. ①、②为真
C. ①、④为真
D. ③、④为真
4. (2010·浙江)设l，m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列
2. 平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ________，就称这两个平面互相垂直． (2)判定定理：如果一个平面过另一个平面的________，则这两 个平面互相垂直． (3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 __________的直线垂直于另一个平面．
又BC⊂平面ABCD，
所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC.
在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，
因此GF⊥平面1 PDC.
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又GF⊂平面E3FG，所以平面EF3 G⊥平面PDC.
中，求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1.
证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所 以AC⊥BD，A1A⊥平面ABCD，
而BD⊂平面ABCD，于是BD⊥A1A. 因为AC、A1A⊂平面A1ACC1且AC交A1A于 点A，所以BD⊥平面A1ACC1. 因为BD⊂平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面 A1ACC1.
∴AF⊥AD，EC⊥DC，又四边形ABCD为菱形，
∴AD＝DC，∴DF＝DE.
又点M是EF的中点，1 ∴DM⊥EF.
∵BD＝2AF，∴DO＝2 BD＝AF＝MO，
∴∠DMO＝45°，同理，∠BMO＝45°，
∴DM⊥BM.
又EF∩BM＝M，∴DM⊥平面BEF.
变式3-1 (2011·江苏海安如皋联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1
(1)如图，设AC∩BD＝O，连接OE，由题意得EM1 ＝ EF＝1 AC＝
AO.
2
2
∵EM∥AO，
∴四边形EOAM为平行四边形，EO∥AM.
∵EO⊂平面BDE，AM⊄平面BDE.
∴AM∥平面BDE.
(2)如图，连接DM，BM，MO.∵AF⊥AC，EC⊥AC，平面
ACEF⊥平面ABCD，∴AF⊥平面ABCD，EC⊥平面ABCD，
答案： 1. (1)任意一条直线 平面的垂线 直线的垂面 垂足 垂 线段 点到平面的距离 (2)任意一条 (3)两条相交直线 (4)有一条垂直于一个平面 (5)垂直于同一个平面 2. (1)直二面角 (2)一条垂线 (3)垂直于它们交线
基础达标
1. (教材改编题)下列条件中，能判定直线l⊥平面a的是( )
A. l与平面a内的两条直线垂直
B. l与平面a内无数条直线垂直
C. l与平面a内的某一条直线垂直
D. l与平面a内任意一条直线垂直
2. 直线a⊥直线b，a⊥平面b，则b与b的位置关系是( )
A. b⊥b
B. b∥b
C. b⊂b
D. b⊂b或b∥b
3. 已知直线a和两个平面a，b，给出下列四个命题：