垂直关系的判定数学ppt
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
垂直关系的判定-课件ppt
北师大版必修二第一章第六节第一课时
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直示例
栽树问题
M
E
A C
DP3 OB
F
P1 P2
概念
• 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条 直线和这个平面垂直.
• 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任 何一条直线都垂直.
概念辨析与应用
作业
•作业本作业：课本第41页第4题和第5题；
•课外探究：1、课本第36页第3题； •2、如何证明直线与平面的判定定理
பைடு நூலகம்
• (1)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直， 则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.( )
• (2)若一条直线与一个梯形的两边垂直,则这条直 线垂直于梯形所在的平面.( )
• (3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这 条直线垂直于三角形的第三边.( )
典例剖析
O
小结
• 1、本节课主要学习了哪些知识？ • 概念、定理。 • 2、探究概念定理时所采用了什么方法？ • 生活实例、实验演示、类比联想等. • 3、解题过程中用了什么方法？体现了什么思想？ • 线线垂直与线面垂直的不断转化, • 从条件出发推理，从问题入手分析. • 4、你觉着本节课还有什么遗憾没有？ • 课后探究
•（1）如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，则这条 直线和这个平面垂直。
•（2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条 也垂直于这个平面。
l
判定定理 • 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线 与此平面垂直。
定理应用
• 1、生活实例
• 2、折纸
• 3、判断错对
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直示例
栽树问题
M
E
A C
DP3 OB
F
P1 P2
概念
• 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条 直线和这个平面垂直.
• 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任 何一条直线都垂直.
概念辨析与应用
作业
•作业本作业：课本第41页第4题和第5题；
•课外探究：1、课本第36页第3题； •2、如何证明直线与平面的判定定理
பைடு நூலகம்
• (1)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直， 则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.( )
• (2)若一条直线与一个梯形的两边垂直,则这条直 线垂直于梯形所在的平面.( )
• (3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这 条直线垂直于三角形的第三边.( )
典例剖析
O
小结
• 1、本节课主要学习了哪些知识？ • 概念、定理。 • 2、探究概念定理时所采用了什么方法？ • 生活实例、实验演示、类比联想等. • 3、解题过程中用了什么方法？体现了什么思想？ • 线线垂直与线面垂直的不断转化, • 从条件出发推理，从问题入手分析. • 4、你觉着本节课还有什么遗憾没有？ • 课后探究
•（1）如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，则这条 直线和这个平面垂直。
•（2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条 也垂直于这个平面。
l
判定定理 • 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线 与此平面垂直。
定理应用
• 1、生活实例
• 2、折纸
• 3、判断错对
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理ppt课件
a⊥β α
b
a
B
γ
证明：过a作平面γ交于b， 因为直线a//，所以a//b
β 又因为a⊥AB，所以b⊥AB
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
直线l在平面α内，那么直线l与平面β
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
证明问题：
已知： ， A , C B , 且 D C A . 求D 证：B CD
β
a
l
A α
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂直
线面垂直 面面垂直
定义
性质
问题2 , a , a , 判 断 a 与 位 置 关 系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已 ， ， 知直 平 a,且 线 面 ,A,B
a/ /,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
符号语言：
ab
a ,b a //b
α
线面垂直关 系
最新版整理ppt
线线平行关 系
3
平面与平面垂直的性质
温故知新
直线与平面垂直的判定PPT课件
例题二：求点到直线的距离
方法一
利用点到直线的距离公式，通过计算 点到直线上任意一点的向量在直线方 向向量上的投影长度，从而得出点到 直线的距离。
方法二
利用向量的叉积，通过计算点到直线上 两个点的向量与直线方向向量的叉积的 模，再除以直线方向向量的模，从而得 出点到直线的距离。
例题三：解决实际问题中的应用
方法三：结合图形进行判断
• 步骤 • 观察图形中已知直线与平面的位置关系； • 如果看起来垂直，则可以直接判断已知直线与平面垂直。 • 注意：以上三种方法都可以用来判断一条直线是否与一个平
面垂直，但具体使用哪种方法需要根据题目的具体情况来决 定。同时，在实际应用中，还需要注意一些特殊情况的处理， 例如当已知直线在平面内或与平面平行时，需要采用其他方 法进行判断。
点到直线距离公式可以用来辅助判断直线与平面是否垂直。
03
直线与平面垂直的判定方 法
方法一：利用定义直接判断
定义：如果一条直线与一个平面内的任意 一条直线都垂直，那么这条直线与这个平 面垂直。
如果都垂直，则已知直线与平面垂直。
步骤
验证已知直线与这两条相交直线是否垂直；
在平面内任意取两条相交直线；
方法二：利用判定定理进行判断
直线与平面垂直 的判定PPT课件
目录
• 直线与平面垂直的基本概念 • 直线与平面垂直的判定定理 • 直线与平面垂直的判定方法 • 直线与平面垂直的应用举例 • 直线与平面垂直的拓展延伸
01
直线与平面垂直的基本概 念
直线与平面的位置关系
01
02
03
直线在平面内
直线上的所有点都在平面 内。
直线与平面相交
步骤
验证这两条直线是否垂直；
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
线面垂直的判定。PPT
高中数学模块2 高中数学模块2第二章
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.1直线与平面垂直的判定
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例
旗杆与地面垂直
生活中有很多直线与平面垂直的实例， 生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？ 几个吗？
大桥的桥柱与水面垂直
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.1直线与平面垂直的判定
ι
⊂ α ,a∩b=p, ι ⊥ a, ι⊥b,
b
α
p
注意:定理中的”两条相交直线”这一条件不可忽视。
简记为： 简记为：线线垂直
线面垂直
判断：
1.如果一条直线 和一个平面内的无数条 无数条直线都垂 1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 互相垂直（ ） 直，则直线 l 和平面 α互相垂直（
探 究 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理
发现： 发现：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，这样翻折 之后竖立的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌 面α垂直，其他位置都不能使AD与桌面α垂直。
A
B
D
C
折图
A A
探 究 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理
B
D
C
α
B C
D
①折痕AD与桌面α上的一条直线垂直，是否足以保 证AD垂直桌面α? ②由折痕AD⊥BC，翻折之后这一垂直关系是一个不 变关系，即有AD⊥CD，AD⊥BD，你能得到什么结 论呢？ ι 定理： 定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂直。 a 若a ⊂ α ,b 则 ⊥ α.
当堂检测
V
1.对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有 A 直线m,使m与l( B ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 2.如图，PA ⊥ 面ABC, ΔABC中， ACB =90°， ∠ 4 则图中RtΔ的个数为_____个. 3.两条直线和一个平面所成的角相等，这两 条直线一定平行吗？若两条直线平行，则它 们与一个平面所成的角一定相等吗？ 4.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC, AB=BC,求证 VB ⊥ AC
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.1直线与平面垂直的判定
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例
旗杆与地面垂直
生活中有很多直线与平面垂直的实例， 生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？ 几个吗？
大桥的桥柱与水面垂直
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.1直线与平面垂直的判定
ι
⊂ α ,a∩b=p, ι ⊥ a, ι⊥b,
b
α
p
注意:定理中的”两条相交直线”这一条件不可忽视。
简记为： 简记为：线线垂直
线面垂直
判断：
1.如果一条直线 和一个平面内的无数条 无数条直线都垂 1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 互相垂直（ ） 直，则直线 l 和平面 α互相垂直（
探 究 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理
发现： 发现：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，这样翻折 之后竖立的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌 面α垂直，其他位置都不能使AD与桌面α垂直。
A
B
D
C
折图
A A
探 究 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理
B
D
C
α
B C
D
①折痕AD与桌面α上的一条直线垂直，是否足以保 证AD垂直桌面α? ②由折痕AD⊥BC，翻折之后这一垂直关系是一个不 变关系，即有AD⊥CD，AD⊥BD，你能得到什么结 论呢？ ι 定理： 定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂直。 a 若a ⊂ α ,b 则 ⊥ α.
当堂检测
V
1.对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有 A 直线m,使m与l( B ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 2.如图，PA ⊥ 面ABC, ΔABC中， ACB =90°， ∠ 4 则图中RtΔ的个数为_____个. 3.两条直线和一个平面所成的角相等，这两 条直线一定平行吗？若两条直线平行，则它 们与一个平面所成的角一定相等吗？ 4.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC, AB=BC,求证 VB ⊥ AC
垂直关系的判定及其性质ppt课件演示文稿
题型三 面面垂直 【例3】 (2011· 聊城模拟)如图，菱形ABCD所在平面与矩形 ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且点M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)求证：平面DEF⊥平面BEF.
(1)如图，设AC∩BD＝O，连接OE，由题意得EM＝ EF＝ AC＝AO. 2 2 ∵EM∥AO， ∴四边形EOAM为平行四边形，EO∥AM. ∵EO⊂平面BDE，AM⊄平面BDE. ∴AM∥平面BDE. (2)如图，连接DM，BM，MO.∵AF⊥AC，EC⊥AC，平面ACEF⊥平面 ABCD，∴AF⊥平面ABCD，EC⊥平面ABCD，∴AF⊥AD，EC⊥DC，又四 边形ABCD为菱形， ∴AD＝DC，∴DF＝DE. 又点M是EF的中点，∴ DM⊥EF. 1 ∵BD＝2AF，∴DO＝2 BD＝AF＝MO， ∴∠DMO＝45°，同理，∠BMO＝45°， ∴DM⊥BM. 又EF∩BM＝M，∴DM⊥平面BEF.
1
1
变式3-1 (2011· 江苏海安如皋联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1.
证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以 AC⊥BD，A1A⊥平面ABCD， 而BD⊂平面ABCD，于是BD⊥A1A. 因为AC、A1A⊂平面A1ACC1且AC交A1A于点A， 所以BD⊥平面A1ACC1. 因为BD⊂平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面 A1ACC1.
2. 平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ________，就称这两个平面互相垂直． (2)判定定理：如果一个平面过另一个平面的________，则这 两个平面互相垂直． (3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 __________的直线垂直于另一个平面．
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
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证明：过A做AD垂直于PB，垂足是D
求证：BC⊥AB 平面PAB 平面PBC, AD PB
AD 面PBC
AD BC 又 PA 平面ABC
PA BC 又 AD PA A BC 平面PAB
BC AB
研一研·问题探究、课堂更高效
小结:一证明线线垂直往往要证线面垂直；二证明线面垂直，
能力，几何直观感知能力；感悟和体验线面垂直和面面垂
直转化为线线垂直的思想方法．
研一研·问题探究、课堂更高效
[问题情境]
我们知道“在平面内，如果两条直线同垂直于另”．在空间中有相同或者类似的结
时
论吗？
栏
目
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 直线与平面垂直的性质 问题 1 观察下图，两个长方体中的直线 a，b 与平面 α 有怎
本
①垂直于同一直线的两条直线平行；
课
②垂直于同一直线的两个平面平行；
时
③垂直于同一平面的两条直线平行；
栏 目
④垂直于同一平面的两平面平行．
其中正确的个数是
(B )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，选 B.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 平面与平面垂直的性质
样的关系？由此你能得出直线 a，b 有什么关系吗？
本 课 时 栏 目
答 直线 a 与直线 b 都垂直于平面 α，这时 a∥b.
抽象概括
定理6.3 直线与平面垂直的性质定理：如果 两条直线同垂直于 一个平面，那么这两条
直线平行。
符号语言：
a b
a
/
/b
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．下列命题：
∴△ABD 是正三角形，∴BG⊥AD.
研一研·问题探究、课堂更高效
又 AD∩PG＝G，∴BG⊥平面 PAD.
(2)由(1)可知 BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，
本
课
所以 AD⊥平面 PBG，
时 栏
所以 AD⊥PB.
目
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，
证明： 面ADE 面BCDE, AD DE
AD 面BCDE
AD BC 又 BC CD, AD CD D BC 面ACD
又 BC 面ABC 面ACD 面ABC
跟踪训练 2 如图所示，P 是四边形 ABCD 所
在平面外的一点，ABCD 是∠DAB＝60°且边长
为 a 的菱形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平
本 除利用定义和判定定理外，另外一种重要的方法是利用面面
课 时
垂直的性质定理证明，应用时应注意：(1)两平面垂直；(2)
栏 目
直线必须在一个平面内；(3)直线垂直于交线．
跟踪训练1
如图，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使 得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE．求证：平 面ABC⊥平面ACD．
面垂直于底面 ABCD.G 为 AD 边的中点．
本
(1)求证：BG⊥平面 PAD；
课
(2)求证：AD⊥PB.
时 栏
证明 (1)由题意知△PAD 为正三角形，G 是 AD 的中点，
目
∴PG⊥AD.
又平面 PAD⊥平面 ABCD，
∴PG⊥平面 ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60°，
《垂直关系的性质》
6.2 垂直关系的性质
[学习要求]
1．理解并掌握直线与平面，平面与平面垂直的性质定理；
2．会应用两个性质定理证明有关平行或垂直的问题．
本 课
[学法指导]
时
通过借助对图形的直观感知，操作确认，提炼出直线与平
栏
面，平面与平面垂直的性质定理；通过两个性质定理的学
目
习，培养和发展推理论证能力，运用图形语言进行交流的
抽象概括
• 定理6.4 面面垂直的性质定理：如果两个 平面互相垂直，那么在一个其中平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
符号语言：
AB
=MN MN
AB
AB 试写出BC 的情况
下面请大家一起记忆这两个定理,时间2分钟
例1
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面 PAB⊥平面PBC．
问题 1 观察下面两个图，两个长方体中的平面 α 和 β 垂直
相交于直线 b，平面 α 内的直线 a 与直线 b 及平面 β 有怎
样的关系？由此你能猜想出怎样的结论？
本
课
时
栏 目
答 直线 a 与直线 b 垂直，直线 a 与平面 β 也垂直．由此可
猜想出：若两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交
线的直线垂直于另一个平面．
利用垂直关系可判定平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即
本
两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于
课 时
这个平面．
栏 目
2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．
作业
• 一默写两个性质定理 • 二跟踪训练1，2
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求证：BC⊥AB 平面PAB 平面PBC, AD PB
AD 面PBC
AD BC 又 PA 平面ABC
PA BC 又 AD PA A BC 平面PAB
BC AB
研一研·问题探究、课堂更高效
小结:一证明线线垂直往往要证线面垂直；二证明线面垂直，
能力，几何直观感知能力；感悟和体验线面垂直和面面垂
直转化为线线垂直的思想方法．
研一研·问题探究、课堂更高效
[问题情境]
我们知道“在平面内，如果两条直线同垂直于另”．在空间中有相同或者类似的结
时
论吗？
栏
目
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 直线与平面垂直的性质 问题 1 观察下图，两个长方体中的直线 a，b 与平面 α 有怎
本
①垂直于同一直线的两条直线平行；
课
②垂直于同一直线的两个平面平行；
时
③垂直于同一平面的两条直线平行；
栏 目
④垂直于同一平面的两平面平行．
其中正确的个数是
(B )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，选 B.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 平面与平面垂直的性质
样的关系？由此你能得出直线 a，b 有什么关系吗？
本 课 时 栏 目
答 直线 a 与直线 b 都垂直于平面 α，这时 a∥b.
抽象概括
定理6.3 直线与平面垂直的性质定理：如果 两条直线同垂直于 一个平面，那么这两条
直线平行。
符号语言：
a b
a
/
/b
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．下列命题：
∴△ABD 是正三角形，∴BG⊥AD.
研一研·问题探究、课堂更高效
又 AD∩PG＝G，∴BG⊥平面 PAD.
(2)由(1)可知 BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，
本
课
所以 AD⊥平面 PBG，
时 栏
所以 AD⊥PB.
目
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，
证明： 面ADE 面BCDE, AD DE
AD 面BCDE
AD BC 又 BC CD, AD CD D BC 面ACD
又 BC 面ABC 面ACD 面ABC
跟踪训练 2 如图所示，P 是四边形 ABCD 所
在平面外的一点，ABCD 是∠DAB＝60°且边长
为 a 的菱形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平
本 除利用定义和判定定理外，另外一种重要的方法是利用面面
课 时
垂直的性质定理证明，应用时应注意：(1)两平面垂直；(2)
栏 目
直线必须在一个平面内；(3)直线垂直于交线．
跟踪训练1
如图，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使 得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE．求证：平 面ABC⊥平面ACD．
面垂直于底面 ABCD.G 为 AD 边的中点．
本
(1)求证：BG⊥平面 PAD；
课
(2)求证：AD⊥PB.
时 栏
证明 (1)由题意知△PAD 为正三角形，G 是 AD 的中点，
目
∴PG⊥AD.
又平面 PAD⊥平面 ABCD，
∴PG⊥平面 ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB＝60°，
《垂直关系的性质》
6.2 垂直关系的性质
[学习要求]
1．理解并掌握直线与平面，平面与平面垂直的性质定理；
2．会应用两个性质定理证明有关平行或垂直的问题．
本 课
[学法指导]
时
通过借助对图形的直观感知，操作确认，提炼出直线与平
栏
面，平面与平面垂直的性质定理；通过两个性质定理的学
目
习，培养和发展推理论证能力，运用图形语言进行交流的
抽象概括
• 定理6.4 面面垂直的性质定理：如果两个 平面互相垂直，那么在一个其中平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
符号语言：
AB
=MN MN
AB
AB 试写出BC 的情况
下面请大家一起记忆这两个定理,时间2分钟
例1
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面 PAB⊥平面PBC．
问题 1 观察下面两个图，两个长方体中的平面 α 和 β 垂直
相交于直线 b，平面 α 内的直线 a 与直线 b 及平面 β 有怎
样的关系？由此你能猜想出怎样的结论？
本
课
时
栏 目
答 直线 a 与直线 b 垂直，直线 a 与平面 β 也垂直．由此可
猜想出：若两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交
线的直线垂直于另一个平面．
利用垂直关系可判定平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即
本
两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于
课 时
这个平面．
栏 目
2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．
作业
• 一默写两个性质定理 • 二跟踪训练1，2
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