平行关系的判定

2．线面平行的判定定理：若 平面外一条直线 与此平面内
关
的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
3．面面平行的判定定理：
如果一个平面内有 两条相交 直线都平行于另一个平
面，那么这两个平面平行.
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[问题情境]
本 课
我们已经学习了空间点、直线、平面之间的位置关系，在
时 栏
这些位置关系中，直线和平面、平面和平面的位置关系最
关 (2)判定定理：(线线平行⇒线面平行)；用判定定理证明线面平行时，
在寻找平行直线时，可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平
行线的判定等来完成．
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跟踪训练 1 如图所示，P 是▱ABCD 所在平面
外一点，E，F 分别在 PA，BD 上，且 PE∶EA
＝BF∶FD.求证：EF∥平面 PBC. 证明 连接 AF 延长交 BC 于 G，
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例 2 如图在长方体 ABCD－A′B′C′D′
中，求证：平面 C′DB∥平面 AB′D′. 证明 ∵AB∥CD∥D′C′，且 AB= C′D′
∴四边形 ABC′D′是平行四边形，
本
∴BC′∥AD′.
课 时
又∵BC′ 平面 AB′D′，
栏 目
AD′Ü 平面 AB′D′，
关
直线分别与桌面平行时，情况又如何呢？
答 当三角板或课本的两条边所在直线分别与桌面平行时，这个
三角板或课本所在平面与地面平行． 小结 面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面，那么这两个平面平行．这个定理可简单记为 线面平行，则面面平行．
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问题 4 如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理？
时
栏
题平面化的思想．
目 开
3．运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一
关
条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立．
4．证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证明线面平行又转
化为证明线线平行，逐步由空间转化到平面．
答 符号表示：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. 图形表示：
本 课 时 栏 目 开
关 问题 5 一般如何画两个平面平行的直观图？ 答 在画两个平行的平面时，通常把表示这两个平面的平行 四边形的对应边画成互相平行的．
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问题 6 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．下列命题中正确的个数是
()
本
①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α.
课 时
②若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条直
栏 目
线平行．
开
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一
关
条也与这个平面平行．
④若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条直
栏 目
与平面 DCC′D′平行，但直线 CD 在平面 DCC′D′内；
开 关
问题④正确，l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 无公共点，l 与平
面 α 内所有直线都没有公共点．所以选 B.
答案 B
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2．已知直线 a 在平面 α 外，则
( D)
A．a∥α
B．直线 a 与平面 α 至少有一个公共点
线都没有公共点．
A．0
B．1
C．2
D．3
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解析 如右图借助长方体模型来看上述问题是否正
确．问题①不正确，相交时也符合；
问题②不正确，如右图中，A′B 与平面 DCC′D′
本 平行，但它与 CD 不平行；
课 时
问题③不正确，另一条直线有可能在平面内，如 AB∥CD，AB
判断 EF 与平面 BCD 的位置关系．
解 设由相交直线 BC，CD 所确定的平面为 α，
本 如右图，连接 BD，易见，EF 不在平面 α 内，
课 时
由于 E、F 分别为 AB、AD 的中点，所以 EF∥BD.
栏 又 BD 在平面 α 内，所以 EF∥α.
目
开 小结 证明线面平行的方法：(1)定义法：直线与平面没有公共点；
时
栏
平行(记作 a∥α)．
目
开
关
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问题 2 将课本的一边紧贴桌面，转动课本，课本的上边缘 与桌面的关系如何呢？ 答 因为没有公共点，所以课本的上边缘与桌面是平行的．
本 问题 3 如右图，平面 α 外的直线 a 平行于平
课 时
面 α 内的直线 b.这两条直线共面吗？直线 a
本
连接 PG.
课 在▱ABCD 中，
时 栏
易证△BFG∽△DFA.
目 开 关
∴GFAF＝FBDF＝PEEA，
∴EF∥PG.
而 EF ⊆ 平面 PBC，PGÜ 平面 PBC，
∴EF∥平面 PBC.
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探究点二 平面与平面平行的判定
问题 1 生活中有没有平面与平面平行的例子呢？
答 教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也
是平行的．
问题 2 三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行时，这个三角
本 课 时
板或课本所在平面与桌面平行吗？ 答 通过试验得出不一定平行．
栏 目
问题 3 因为两条相交直线确定唯一一个平面，这启示我们尝试用两
开 条相交直线来讨论平面的平行问题．当三角板或课本的两条边所在
开 关
(5)EH∥平面 BCD；
(6)FG∥平面 ABD.
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1．运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件：①平
面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行．
本 2．应用直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证
课 两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问
本
§5平行关系
课
时
栏
目
开
关
5.1 平行关系的判定
[学习要求]
1．理解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判
定定理；
本
课 2．理解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判
时ห้องสมุดไป่ตู้栏
定定理；
目 开
3．学会用图形语言、符号语言表示空间直线与平面、平面
关
与平面的位置关系．
[学法指导] 通过观察图形，借助已有知识，在发现中学习，增强学习
开 ∴BC′∥平面 AB′D′.
关
同理：C′D∥平面 AB′D′，
∵BC′∩C′D＝C′，
∴平面 C′DB∥平面 AB′D′. 小结 证明面面平行常用面面平行的判定定理及其推论，面面
平行的定义也可以判定面面平行，但不常用．
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跟踪训练 2 已知三棱锥 P－ABC 中，D，E，F
的积极性，进而掌握直线与平面及平面与平面平行的判定
定理，初步了解空间与平面互相转换的数学思想．
填一填·知识要点、记下疑难点
本 课
1．直线 a 和平面 α 只有一个公共点 A，叫作直线与平面
相交 ，这个公共点叫作直线与平面的 交点；直线 a 与
时 栏
平面 α 没有 公共点，叫作直线与平面 平行 ．
目 开
栏 目
与平面 α 相交吗？
开 关
答 两条直线共面，直线 a 与平面 α 不相交．
小结 线面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内
的一条直线平行，则该直线与此平面平行．可以简单说成：
线线平行⇒线面平行．
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问题 3 如何用符号语言表达直线与平面平行的判定定理？
a α 答 b α⇒a∥α.
3. 如图所示，空间四边形 ABCD 中，E，F，G， H 分别是 AB，BC，CD，AD 的中点，试指出 图中满足线面平行位置关系的所有情况．
解 由 EF∥AC∥HG，得(1)EF∥平面 ACD；
本 课
(2)AC∥平面 EFGH；(3)HG∥平面 ABC.
时
由 BD∥EH∥FG，得
栏
目
(4)BD∥平面 EFGH；
目 开
为重要．本节我们要研究的是：直线和平面平行及平面与
关
平面平行的判定．
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探究点一 直线与平面平行的判定 问题 1 一条直线与一个平面的位置关系有哪几种？
本
答 有三种位置关系如下图：直线 a 在平面 α 内(记作 a
课
α)，直线 a 与平面 α 相交(记作 a∩α＝A)．直线 a 与平面 α
本
C．a∩α＝A
课 时
D．直线 a 与平面 α 至多有一个公共点
栏
解析 因已知直线 a 在平面 α 外，所以 a 与平面 α 的位置关
目 开
系为平行或相交，因此断定 a∥α 或断定 a 与 α 相交都是错误
关
的，但无论是平行还是相交，直线 a 与平面 α 至多有一个公
共点是正确的，故选 D.
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平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？为什么？
本
答 平行．因相交直线中的一条平行于另一个平面内的一条
课 时
直线，由直线与平面平行的判定定理知，这条直线平行于另
栏
一个平面，同理相交直线中的另一条直线也平行于另一个平
目
开
面，即一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，所
关
以由平面与平面平行的判定定理知，这两个平面平行．