5.1平行关系的判定
线面平行的判定定理
P
R Q
则l //
()
（5）如果a、b是两条直线，且 a // b ，那么a
平行于经过b的任何平面.
()
2、如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中， E为DD1的中点。试判断BD1与平面AEC的位置关 系，并说明理由.
D1
C1
A1 E D
A
B1
F
C
B
1、如图，已知在三棱柱ABC——A1B1C1中， D是AC的中点.
定 (3) 通过 “比例线段”
D
C
A
A
B
E
F
B
C
AE EB
AF FC
EF
// BC
A
E
F
B
C
复习回顾：
2.空间中两个不重合的平面有哪些位置关系？
β α
平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平
行,则这两个平面平行.
即：a b
a α Ab
a∩ b=A a// β b// β
//β 线不在多β，重在相交
简述为：线面平行面面平行
3.两个平面平行时为什么不用其中一个平面 内的两条平行直线与另一个平面平行?
a
b
α
β
三.课堂过关
1.如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中， E、F、G分别是棱BC、C1D1、 B1C1的中点。 求证：面EFG//平面BDD1B1.
分析：由FG∥B1D1 易得FG∥平面BDD1B1 A1
求证：AB1//平面DBC1
A1
C1
B1
P
D
A
C
B
4、如图 ,正方体AC1中,点N是BD中点,点M是B1C中 点.
人教版数学七年级下册5.1.1：相交线(教案)
-解决实际问题，将现实情境抽象为数学模型，并应用所学知识解决。
举例：对于内错角的识别，教师可以通过绘制多个相交线形成的复杂图形，指导学生如何在图形中准确找出内错角，并解释为什么内错角相等可以推断出两条直线平行。此外，教师应提供多个不同难度的练习题，帮助学生逐步突破难点，提高解题能力。
举例：讲解同位角相等时，教师可以通过具体的图形，如铁轨、桌面等生活中的实例，让学生直观地理解同位角的概念，并强调这是判断平行线的重要依据。
2.教学难点
-难点内容：本节课的难点在于学生对于相交线性质的深入理解和平行线判定方法的灵活运用。
-详细内容：
-理解同位角、内错角、同旁内角之间的关系，并能够正确辨识。
注意：由于教学重点与难点的描述通常不会达到2000字，这里的要求可能存在误解。以上内容已尽可能详细地列出了教学重点与难点的核心知识点和举例说明。在实际教案撰写中，这部分内容通常较为精简，但需要确保每个点都准确无误地传达了课程的核心要求。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相交线》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两条直线相交的情况？”比如，十字路口的道路，桌面上的对角线等。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相交线的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相交线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
平行线的知识点归纳(两篇)
引言概述：平行线是几何学中一个重要的概念，它在数学和物理学等领域具有广泛的应用。
在本文中，我们将进一步归纳平行线的一些重要知识点，包括平行线的定义、性质以及平行线与其他几何元素的关系。
通过深入理解这些知识点，我们将能够更好地应用平行线的概念解决实际问题。
正文内容：1. 平行线的定义1.1 平行线的定义平行线是指在同一个平面内不相交且不重合的两条直线。
平行线可以永远延伸而不会相交。
1.2 平行线的表示方法平行线可以用符号“∥”来表示。
例如，若AB∥CD，我们可以写成AB∥CD来表示线段AB与线段CD平行。
1.3 平行线的判定方法判定两条直线是否平行有多种方法，常用的方法包括使用同位角、平行线定理以及垂线的性质等。
2. 平行线的性质2.1 平行线的夹角关系当两条平行线被一条横截线相交时，它们所成的对应角、内错角、同位角具有一些特定的关系。
例如，对应角相等、内错角互补、同位角互等等。
2.2 平行线的影子定理若一条横截线与两条平行线分别相交，那么这两条平行线上的对应线段与其所分割的横截线上的线段成比例。
2.3 平行线的平行四边形定理若一条对角线把平行四边形分成两个三角形，那么这两个三角形中的对角线之间的向量是相等的。
3. 平行线与其他几何元素的关系3.1 平行线与角度的关系平行线与角度之间有密切的关系。
例如，当平行线被一条横截线相交时，不同角对应的角度关系等。
3.2 平行线与多边形的关系平行线与多边形的性质也有一定的关系。
例如，对于平行四边形来说，两组对边是平行的。
3.3 平行线与圆的关系平行线与圆的关系也是几何学中一个重要的知识点。
例如，在圆内部的任意两条平行线都会与圆的弦垂直。
4. 平行线的应用4.1 平行线的测量在实际应用中，我们经常需要测量平行线间的距离。
通过使用测量仪器和几何定理，我们可以准确地测量平行线的距离。
4.2 平行线与平行线的相交当两组平行线相交时，我们可以利用平行线的性质推导出一些重要的结论。
高中数学1.5.1平行关系的判定省公开课一等奖新优质课获奖课件
(1)直线与平面平行的判定定理的应用步骤 ①线与线平行； ②一条线在已知平面内； ③一条线在已知平面外． (2)中点的应用 在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径： ①中位线→线线平行； ②平行四边形→线线平行.
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1. (1)如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为 平行四边形，AC∩BD＝O，E 为 PD 的中点，则 EO 与平面 PBC 的位置关系为________．
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则 MP∥NQ，在△D1AD 中，MADP＝DD11MA . 因为 NQ∥AD，AD∥BC，所以 NQ∥BC. 在△DBC 中，NBQC＝DDNB， 因为 D1M＝DN，D1A＝DB，AD＝BC， 所以 NQ＝MP.
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所以四边形 MNQP 为平行四边形， 则 MN∥PQ. 又 MN 平面 CC1D1D， PQ 平面 CC1D1D，
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
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2.(1)已知 m，n 表示两条不同的直线，α，β，
γ表示三个不同的平面，则下列命题中正确的个数是( )
①若 α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则 α∥β；
②若 m，n 相交且都在平面 α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，
n∥β，则 α∥β；
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所以ANNE＝NBND⇒NAEE＝NBDD. 因为 BD＝AD1，且 D1M＝DN， 所以EANE＝MADD11.
故在△AD1E 中，MN∥D1E，
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又 MN 平面 CC1D1D，D1E 平面 CC1D1D，
所以 MN∥平面 CC1D1D．
法二：过点 M 作 MP∥AD 交 DD1 于 P， 过点 N 作 NQ∥AD 交 CD 于 Q，连接 PQ，
北师大版高中数学必修二5.1平行关系的判定.docx
5．1平行关系的判定时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1中点，F为BB1中点，与EF平行的长方体的面有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：上、下底面和面CC1D1D与EF平行，故3个．2．下列命题正确的是()A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行答案：D解析：对于A，平面内还存在直线与这条直线异面，错误；对于B，这两条直线还可以相交、异面，错误；对于C，这条直线还可能在其中一个平面内，错误．故选D.3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1E与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案：A解析：根据面面平行的判定定理，可知A正确．4．已知A，B是直线l外的两点，则过A，B且和l平行的平面有()A．0个B．1个C ．无数个D ．以上都有可能 答案：D解析：若直线AB 与l 相交，则过A ，B 不存在与l 平行的平面；若AB 与l 异面，则过A ，B 存在1个与l 平行的平面；若AB 与l 平行，则过A ，B 存在无数个与l 平行的平面，所以选D.5．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，则在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条 答案：D解析：在AA 1上取一点G ，使得AG ＝14AA 1，连接EG ，DG ，可证得EG ∥D 1F ，所以E ，G ，D 1，F 四点共面，所以在平面ADD 1A 1内，平行于D 1G 的直线均平行于平面D 1EF ，这样的直线有无数条．6．如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE EB ＝AF FD ＝，H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是平行四边形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形 答案：B解析：由题意，知EF ∥BD ，且EF ＝15BD ，HG ∥BD ，且HG ＝12BD ，∴EF ∥HG ，且EF ≠HG ，∴四边形EFGH 是梯形．又EF ∥平面BCD ，EH 与平面ADC 不平行，故选B.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．如果直线a ，b 相交，直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是________． 答案：相交或平行解析：根据线面位置关系的定义，可知直线b 与平面α的位置关系是相交或平行． 8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是________．答案：平面A 1C 1B 和平面A 1C 1D解析：如图所示截面一定过A 1，C 1两点，又截面过三个顶点，故所求截面为A 1C 1B 和平面A 1C 1D .9．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，G 是A 1C 1的中点，过点G 的截面与侧面ABB 1A 1平行，若侧面ABB 1A 1是边长为4的正方形，则截面周长为________．答案：12 解析：如图，取B 1C 1的中点M ，BC 的中点N ，AC 的中点H ，连接GM ，MN ，HN ，GH ，则GM ∥HN ∥AB ，MN ∥GH ∥AA 1，所以有GM ∥平面ABB 1A 1，MN ∥平面ABB 1A 1.又GM ∩MN ＝M ，所以平面GMNH ∥平面ABB 1A 1，即平面GMNH 为过点G 且与平面ABB 1A 1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，求证：MN ∥平面OCD .证明：如图，取OD 的中点E ，连接ME ，CE .∵M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，∴ME 綊12AD 綊NC ，∴四边形MNCE 为平行四边形，∴MN ∥EC .又MN 平面OCD ，EC 平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .11．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD 的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.证明：因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC.又FH平面PCE，PC平面PCE，所以FH∥平面PCE.又E为AB的中点，所以AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE.又AF平面PCE，CE平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.12.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D1是线段A1C1上的一点，当A1D1D1C1为何值时，BC1∥平面AB1D1?解：当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.证明如下：如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的定义，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.。
直线与平面平行的判定定理教学设计(教案)
直线与平面平行的判定定理教学设计(教案)第一章：直线与平面平行的概念引入1.1 教学目标让学生了解直线与平面平行的概念。
学生能够通过实例判断直线与平面是否平行。
1.2 教学内容直线与平面平行的定义。
直线与平面平行的判定方法。
1.3 教学步骤1. 引入直线与平面平行的概念，展示实例图片，引导学生观察并描述直线与平面的关系。
2. 给出直线与平面平行的定义，解释其含义。
3. 引导学生通过实例判断直线与平面是否平行，引导学生运用定义进行判断。
1.4 教学评估通过课堂提问，检查学生对直线与平面平行概念的理解。
通过实例判断练习，检查学生能否运用定义判断直线与平面是否平行。
第二章：直线与平面平行的判定定理2.1 教学目标让学生了解直线与平面平行的判定定理。
学生能够运用判定定理判断直线与平面是否平行。
2.2 教学内容直线与平面平行的判定定理。
判定定理的证明。
2.3 教学步骤1. 引入直线与平面平行的判定定理，展示实例图片，引导学生观察并描述直线与平面的关系。
2. 给出判定定理，解释其含义。
3. 进行判定定理的证明，解释证明过程。
4. 引导学生通过实例判断直线与平面是否平行，引导学生运用判定定理进行判断。
2.4 教学评估通过课堂提问，检查学生对直线与平面平行判定定理的理解。
通过实例判断练习，检查学生能否运用判定定理判断直线与平面是否平行。
第三章：直线与平面平行的判定定理的应用3.1 教学目标让学生能够运用直线与平面平行的判定定理解决实际问题。
3.2 教学内容直线与平面平行的判定定理在实际问题中的应用。
3.3 教学步骤1. 引入实际问题，展示实例图片，引导学生观察并描述直线与平面的关系。
2. 引导学生运用判定定理解决实际问题，解释解题过程。
3. 提供练习题，让学生独立解决实际问题，并提供解答。
3.4 教学评估通过课堂提问，检查学生对直线与平面平行判定定理在实际问题中的应用的理解。
通过练习题，检查学生能否独立解决实际问题。
平行关系的判定定理
F M
B1
N
A1
C1
D1 M A1 D N Q P B B1
C1
E
D A B
C
C
A
K
变式
例 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M、 N分别是BC和 A1B1的中点，求证：MN∥平面AA1C1C
证明：取A1C1中点F，连结NF，FC． A B M C
1 ∥ ∵N为A1B1中点， ∴NF ＝ B1C1 2 ∥ B1C1 ， M是BC的中点， 又∵BC＝ 1 ∥ ∴MC ＝ B1C1 2 ∥ NF 即MC＝
结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一 个平面平行的问题.
③当然我们不需要证明所有直线都与另一平面平行，那 么需要几条直线才能说明问题呢？
探究 (1)若b内有一条直线a与平行，则b 与 平行吗？
a
b
a
l
b
（两平面平行） D'
A' D A B B' C C'
（两平面相交）
探究 (2)若b内有两条直线a、b分别与 平行, 则b 与 平行吗？
D' A' B' C'
D A B
C
试一 判断下列命题是否正确，若正确，请简述理 试
由，若不正确，请给出反例.
( 1 )如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经 过b的任何平面；( )
（2）如果直线a和平面α 满足a∥ α ,那么a 与α内的任 何直线平行;( ) （3）如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α,b ∥ α,那么a ∥ b ;( ) ( 4 )过平面外一点和这个平面平行的直线只有一 条.( )
D1
平行与垂直知识点总结
平行与垂直知识点总结平行与垂直是几何学中的重要概念，涉及到直线在空间中的位置关系。
在几何学中，我们经常需要理解和利用平行与垂直的概念，这些概念对于解决几何问题、建筑设计、地图绘制等方面都具有重要的作用。
因此，了解平行与垂直的知识点对于我们的数学学习和日常生活都具有重要的意义。
本文将从平行和垂直的定义、性质、判定以及相关定理等方面对平行与垂直进行总结，希望能够对读者有所帮助。
一、平行线的定义在平面几何中，两条直线称为平行线，如果它们在同一平面上，且不相交。
这意味着，平行线在同一平面上不会相交，其间的距离始终保持相等。
1.1 平行线的符号表示：在数学中，我们通常用符号“ ||”来表示两条线段是平行的。
1.2 平行线的特征：1）平行线永远不会相交。
2）平行线的斜率相同。
3）平行线之间的夹角相等。
二、垂直线的定义与平行线相对应的概念是垂直线。
两条直线称为垂直线，如果它们在同一平面上，并且它们的交角为 90 度。
2.1 垂直线的符号表示：在数学中，我们通常用符号“⊥”来表示两条线段是垂直的。
2.2 垂直线的特征：1）垂直线可以相交，但相交的角度为 90 度。
2）垂直线的斜率相乘等于 -1。
3）垂直线之间的夹角为 90 度。
三、平行和垂直线的判定在几何学中，我们常常需要判定两条直线是否平行或垂直，下面来总结一些判定准则。
3.1 判定两条直线是否平行的几种方法：a）斜率判定法：当两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
b）观察判定法：在图形上观察两条线段的倾斜情况，如果它们很明显地呈现出平行的形态，则可以判断它们是平行线。
c）角度判定法：两条平行线之间的夹角相等，可以通过观察夹角的大小来判断两条直线是否平行。
3.2 判定两条直线是否垂直的方法：a）斜率判定法：当两条直线的斜率相乘等于 -1 时，它们是垂直线。
b）观察判定法：在图形上观察两条直线的交角，如果它们的交角为 90 度，则可以判断它们是垂直线。
c）角度判定法：两条垂直线之间的夹角为 90 度，可以通过观察夹角的大小来判断两条直线是否垂直。
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《平行关系的判定》说课稿
榆
林
三
中
王慧
尊敬的各位专家、评委：大家好！
今天我说课的题目是《平行关系的判定》，内容选自北师大版高中数学必修二第一章第5节《平行关系》第1课时。
下面我将从教材分析、教法学法分析、教学过程分析这三个方面进行阐述。
一、教材分析
1、教材中的地位及作用
由于学生刚刚接触空间中的各种位置关系，还未形成解决空间问题的基本思想方法。
而学生已学习了平面和空间里直线与直线平行的判定以及直线与平面的位置关系，因此，利用转化的思想，把线面平行转化为“线线平行”、面面平行转化为“线面平行”，学生应该容易理解。
只是学生还需要再次经历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间中抽象出几何图形的过程。
因此，引导学生经历这个过程成为培养他们具备空间想象能力的重要环节。
在这个时候学习《平行关系的判定》，为以后学习奠定了基础，也是学生形成合情合理知识链的重要环节。
本节在教材中起到了承上启下的作用，同时，提高了学生的实践能力、交流与合作能力，渗透了试验、观察、归纳和总结的思想方法。
2、教学目标
根据新课程标准的要求，教学内容的结构特征，并结合学生已有的认知结构，我把本节的三维目标定为：
◆知识目标：借助生活实物，学生通过观察、发现、探究、操作获得直观感知，进而归纳、推理、概括出直线与平面、平面与平面平行的判定定理；
◆能力目标：能用判定定理解决一些简单的推理论证问题，并通过问题的解决，进一步提高观察，发现的能力和空间想象能力；
◆德育目标：体会数学来源于实践，又为实践服务的辨证唯物主义思想。
3、教学重点、难点
教学重点：（1）直线和平面平行关系判定定理的发现过程；（2）平面和平面平行关系判定定理的形成过程，以及转化思想在解题中的应用。
教学难点：平面和平面平行的判定定理的探究及应用，可通过分组讨论、设计练习循序渐进等教学手段来突破。
二、教法学法分析
“教之道在于度，学之道在于悟。
”高中学生他的数学理解能力、分析能力都已比较成熟，因此，在教法上我将采用问题式教学法、“特殊到一般”的化归法以及小组讨论法。
三种教学方法，充分调动学生学习的积极性，坚持以教师为引导、学生为主体的新课程教学理念。
然而，现阶段的学生数学基础大部分较薄弱，学习数学的兴趣普遍不高，因此，在学法上我贯彻的主导思想是从“学会”达到“会学”进而提高到“乐学”。
采用观察法、分析归纳法、合作探究法、练习巩固法，让学生做学习的主人，充分调动他们的积极性倡导自主、合作、探究的学习方式。
三、教学过程分析
为了完成教学目标、解决教学重点、突破教学难点，下面我将着重说一下本次说课的重点内容——教学过程分析：
1、创设情境，导入新课
设计意图：直观感知，激发兴趣
教师活动：提问学生生活中的平行关系
学生活动：学生谈观察到的各种直线与平面平面与平面的位置关系
2、合作探究，线面平行的判定
设计意图：在教师的引导下，通过学生动手操作，进一步获得感性认识，培养学生学会有目的、全面的对实物进行观察，进而得到猜想结果。
教师活动：引导学生进行交流，经过讨论交流，使学生进一步论证判定定理成立的条件
学生活动：通过动手操作探究，归纳出直线与平面平行的判定定理。
3、深入深化研究，加深了解
设计意图：让学生经历从实际背景中抽象出几何图形的过程，激发学习兴趣。
实现由感性认识到理性认识的过渡。
培养学生的几何直观能力，进而突破教学难点。
教师活动：教师演示并引导学生总结。
学生活动：在教师引导下，完成对定理的三种语言的准确表述。
4、巩固认知，初步应用
①线面平行的判定
设计意图：通过练习，进一步加深对定理的认识和理解。
巩固所学知识，当堂掌握。
变式训练，拓展思维。
教师活动：演示典例和变式题，点拨指导、点评完善
学生活动：找两位学生在电子白板或投影仪上演示解题过程，让其余学生在下面独立完成，完成后师生共同点评。
②平面与平面平行的判定
设计意图：初步感受如何运用平面与平面平行的判定定理解决问题，明确运用面面平行判定定理的条件，加强协作。
类比线面判定定理的学习的过程
5、总结反思，提高认识
设计意图：鼓励学生对问题多概括，善于提炼重要的数学思想方法。
师生活动：回顾本节所学内容，强调学习重点，以问题形式，引导学生归纳总结6、反馈练习
设计意图：同步练习线面，面面平行的证明题
师生活动：小组合作探究，最后教师板演。
7、分层作业，拓展延伸
设计意图：分层次教学，分层次要求，分层次作业。
使全体学生能够掌握基础知识，使个别有能力的学生得到拓展拔高。
教师活动：用投影仪给出本节课的作业，设置必做题和选做题。
学生活动：通过自己的能力分组，来完成作业。
根据我校学生的实际情况，分两个层次布置了两道作业题，供学生选择。
最后，我来说一下说板书设计。
好的板书就像一本微型教案，能够将授课内容清晰、全面地向学生展示，便于学生的理解记忆。
本节板书为内容板书，直观清晰的理清了知识脉络，主要是平行判定定理的三中语言的精准描述以及典例板演。
整堂课的预期效果：本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出线面平行的判定定理，由两个典例的提出进一步加深对定理的理解；再通过学生观察类比推导出面面平行的判定定理。
这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
对于面面平行的判断，教师循循善诱，帮助学生突破思维难点。
整个教学设计的顺利实施，达到了教师的教学目标。
总之，我的教学宗旨就是让人人获得有价值的数学，让人人学到必须的数学，让人人在数学上获得不同方向的发展！
我的课说完了，不妥之处，敬请各位专家、评委指正。
谢谢大家！（鞠躬）。