平行关系的判定1
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小结
1、直线和平面平行的定义 2、直线和平面平行的判定
定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行。
简记为：
作用：判断或证明线面平行 关键：在平面内找(或作)一条直线与 面外的直线平行
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课本P41 1,2. 每课一练P26
D1 C1
平面BC1、平面A1C1
A1 D
B1 C
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2.已知直线a,b和平面α ，下列 命题正确的是（ D ）
A.若a//α ,b α ,则a//b; B.若a//α, b //α，则a//b;
∩ ∩
C.若a//b, b α,则a//α;
D.若a//b, a//α ,则b //α或b α.
直线和平面平行：一条直线与一个平 面没有公共点，叫做直线与平面平行。
a
直线a平行于平面 α，记作 a∥α.
α
α
画图时通常把表示直线的线段画在 表示平面的平行四边形的外面，并且 使它与平行四边形的一边平行或与平 行四边形内的一条线段平行。
命题：若平面外一条直线与此平 面内的一条直线平行，则该直线 与此平面平行。
AB、AD的中点. 求证：EF//平面BCD.
E
A F
分析：EF在面BCD外，要 D 证明EF∥面BCD，只要证明 B C EF和面BCD内一条直线平行即 可。EF和面BCD哪一条直线平 行呢？连结BD立刻就清楚了。 汝南双语学校:赵保刚
1.如图：长方体 ABCD-A1B1C1D1中，则： (1)与AB平行的平面是 平面A1C1、平面DC1 (2)与AA1平行的平面是 平面BC1、平面DC1 (3)与直线AD平行的平面是
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复习：直线与平面的位置关系
（1）直线在平面内-----有无数个公共点
a≠
如图：
（2）直线在平面外：
①直线a和平面α 相交 ：
a －
a
a
a A
.A
如图：
a
有 公 共 点
②直线a和平面α 平行 ：
a //
无 公 共 如图： 点 汝南双语学校:赵保刚
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பைடு நூலகம்
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例1 已知：如图，E、F分别是三棱锥ABCD 的侧棱AB、AD的中点. 求证：EF//平面BCD.
证 AE=EB AF=FD
｝=>
EF//BD ∩
EF / 平面BCD BD ∩ 平面BCD
｝
=>
EF//平面BCD
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变式１：已知：如图，M,N分别是△ABC 和△ACD的重心 求证：MN//平面BCD
即
a－ b a // ≠ α a // b
a
b
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直线和平面平行的判定定理
定理：若平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行，则该直线与此平面平行。
注明： 1、定理三个条件 缺一不可。
a b
2、简记：线线平行，则线面平行。
要证线面平行，需在面内 3、定理告诉我们： 找一条线，证线线平行。 汝南双语学校:赵保刚
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变式２
已知：如图，E、F、G、Ｈ分 别是四面体的棱AD、CD、BD、 BC的中点 求证：AＨ//平面EFG.
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要证“线面平行”可 以先找“线线平行”
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例2.求证：空间四边形相邻两边中点的连 线，平行于经过另外两边的平面. 已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是
高中数学知识点精讲精析 平行关系的判定
1.5.1 平行关系的判定（一）直线与直线平行的判定方法1.利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 推理模式：3.判定方法：○1○1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2○2证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；○3○3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直.4.利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；5.利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；6.利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；7.利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；8.利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行.a l a l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒α ab（二）直线与平面平行的判定方法1.利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；2.利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）.3.利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面.（三）平面和平面平行的判定方法1.利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；2.利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；符号表示：a βb βa ∩b = P β∥α a ∥α b ∥α3.证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明.利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾. （2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行.用符号表示是：a ∩b ，a α，b α，a ∥β，b ∥β，则α∥β.（3）垂直于同一直线的两个平面平行.用符号表示是：a ⊥α，a ⊥β则α∥β. （4）平行于同一个平面的两个平面平行.//,////αβαγβγ⇒4.利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；5.利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．6.利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；例1 如右图，平行四边形EFGH 的分别在空间四边形ABCD 各边上，求证：BD//平面EFGH.证明：∵EH // FG , EH Ë平面BCD ，FG Ì平面BCD ，∴EH // 平面BCD .又∵EH 在平面ABD内，∴EH // BD .又∵ EH 在平面 EFGH内 , BD 不在平面 EFGH内 ,∴ BD // 平面 EFGH .点评：转化思维链是“由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行”. 此题属于教材（必修②人教A 版）中第64 页的3 题的演变, 同样还可证 AC // 平面EFGH . 例2.正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线AC和BF上，且AM=FN求证：MN∥平面BEC分析：证线面平行⇐线线平行，需找出面BEC 中与MN 证法（一）：作NK ∥AB 交BE 于K ，作MH ∥AB 交BC 于H ∴MH ∥NK∵ABCD 与ABEF 是两个有公共边AB 的正方形 ∴它们是全等正方形 ∵AM=FN ∴CM=BN又∠HCM=∠KBN ，∠HMC=∠KNB ∴△HCM ≌△KBN ∴MH=NK ∴MHKN 是平行四边形 ∴MN ∥HK ∵HK ⊂平面BEC MN ⊄平面BEC ∴MN ∥平面BEC证法（二）：分析：利用面面平行⇒线面平行 过N 作NP ∥BE ，连MP ，∵NP ∥AF ∴FN/FB=AP/AB ∴AM=FN ，AC=BF ∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC ∴MP ∥BC ∴平面MNP ∥平面BCE ∴MN ∥平面BCE例3（1）空间三条直线两两相交可确定几个平面？（2）空间四条平行直线可确定几个平面？（3）空间一条直线和直线外三点，可确定几个平面？ 答案：（1）1个或3个（2）1个，4个或6个 （3）1个，3个或4个[例2]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E.F 分别为棱BC.C1D1 的中点. 求证：EF ∥平面BB1D1D.证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则OE ∥DC ， OE=1/2DC. ∵ DC ∥D1C1， DC=D1C1 ， F 为D1C1 的中点，∴ OE ∥D1F ， OE=D1F ， 四边形D1FEO 为平行四边形.F EN KA P BM HD C∴ EF∥D1O.又∵ EF不在平面BB1D1D， D1O不在平面BB1D1D，∴ EF∥平面BB1D1D.例4 已知直线l//平面α，m 为平面α内任一直线，则直线l 与直线m 的位置关系是（）.A.平行B. 异面C. 相交D. 平行或异面答案;D。
平行关系、垂直关系
有关垂直关系的证明方法：
2、线面垂直
（1）利用线面垂直的判定定理
（2）利用面面垂直的性质定理
（3）利用向量法
有关垂直关系的证明方法：
3、面面垂直 （1）利用面面垂直的定义
（2）利用面面垂直的判定定理
1、空间四面体ABCD中，若AB=BC， AD=CD，E为AC的中点，则有( 4 ）
A E D B C
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 平行直线 共面情况 在同一平面内 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个 没 有 没 有
异面直线 不同在任何一平面内
证明三点共线通常采用以下方法： (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面 的公共点，根据基本性质2，这些点都在交线上． (2)由其中任意两点确定一条直线，再证另一点在这条直 线上．
D F G
A
B
C
E
练习
1.已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，
问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相垂直？
1.平面SAD⊥平面ABCD S
2.平面SBD⊥平面ABCD
3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD
D A O
AD ⊥面BCD
AD ⊥BC DE
④
线面垂直
② ③
线线垂直
例 2、已知在正方体ABCD—A ′B ′C ′D ′中，E 为CC′中点，F为AC和BD的交点，
求证：A′F
⊥平面BED
D′ B′ D F A B P C′ E
（方法一）转化为平面几何 （方法二）三垂线定理
一. 平行直线 1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的 两条直线叫做平行线. 2. 平行性质：过直线外一点有且只有一条 直线和这条直线平行. 3. 公理4：平行于同一直线的两条直线互相 平行，此性质又叫做空间平行线的传递性.
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
平行关系的判定
《平行关系的判定（一）》教学设计榆林高新完全中学 景建文学习目标：（1）通过具体情境理解线面平行的判定定理；（2）会用线面平行的判定定理进行证明。
学习重点线面平行的判定定理及应用学习难点判定定理的理解及应用学习过程、教学过程设计：一、复习导入（1）空间点、线、面之间有哪些关系？（2）这些关系中有哪些涉及到了平行关系？线线平行、线面平行、面面平行（3）你知道判定线线平行有哪些依据吗？（4）那么线面平行怎么才能判定呢？二、情境感知情境1：打开教室门，把靠近拉手一侧的边缘所在直线记作l ，墙面所在平面为α，则l 与α有怎样的位置关系？情境2：将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘线AB 所在平面几何中的定理 公理4αl直线与桌面所在的平面具有什么样的位置关系？三、探究新知1、理解定理：（1）请同学们阅读课本的定理内容，小组合作，结合实物模型理解定理；(2）以小组为单位展示定理内容（文字语言、符号语言、图形语言）,要求脱稿展示.2、要点点拨：四、迁移运用例1、如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB/AD 的中点。
求证：EF//平面BCD（1）师生共同分析思路；（2）学生尝试证明；（3）教师示范证明题的书写。
证明：E 、F 分别是AB 、AD 的中点∴ EF 是ABD 的中位线∴ EF ∥BD又,EF BCD BD BCD≠⊆⊂面面 ∴//EF BCD 面例2、 如图，四棱锥A-DBCE 中，O 为底面正方形DBCE 对角线的交点，F 为AE 的中点。
求证：AB//平面DCF 。
（1）师生共同分析思路；（2）学生尝试证明；（3）分小组展示证明过程并讲解；（4）其他小组进行补充、纠错；（5）教师点拨关键步骤。
五、总结提升1、线面平行的证明通常可以转化为线线平行的证明；2、寻找平行直线通常可以通过哪些途径来完成？三角形的中位线，平行四边形，公理43、证明的书写三个条件缺一不可：一“内”，二“外”，三“平行”六、作业布置课本P32练习2、3（1）七、课后反思：优点：针对学生刚刚开始学习立体几何定理及证明的现状，我只选择平行关系中的线面平行进行判定，通过复习导入、情境感知、探究新知、迁移运用、总结提升几个环节的设计让学生理解了定理的内容，学会了定理的简单运用，设计符合学生认知规律，学生能够积极参与，掌握情况也较好。
空间几何的平行与垂直判定
空间几何的平行与垂直判定空间几何是数学中的一个重要分支，涉及到直线、平面、点等概念的研究。
其中，平行和垂直是空间几何中常见的关系，本文将对平行和垂直的判定方法进行详细介绍。
一、平行的判定方法在空间几何中，平行是指两个线(线段)或两个平面永远不会相交的关系。
下面将介绍几种常见的平行判定方法。
1. 直线的平行判定给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率相等且不相交，则可以判定l1与l2平行。
即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，且k1≠k2时，则l1和l2平行。
2. 平面的平行判定对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量相等或平行，则可以判定P1与P2平行。
二、垂直的判定方法在空间几何中，垂直是指两个线(线段)或两个平面之间的相互垂直关系。
下面将介绍几种常见的垂直判定方法。
1. 直线的垂直判定给定两条直线l1和l2，如果它们的斜率互为倒数且不相交，则可以判定l1与l2垂直。
即若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，并且k1·k2=-1时，则l1和l2垂直。
2. 平面的垂直判定对于两个平面P1和P2，如果它们的法向量互为倒数且不平行，则可以判定P1与P2垂直。
三、平行与垂直的应用举例平行和垂直关系在实际问题中经常被应用。
以下是几个应用举例。
1. 平行线与垂直线的交点问题当两条平行线相交时，它们的交点无穷多个；而当两条垂直线相交时，它们的交点只有一个。
这一性质在导弹拦截等领域具有重要意义。
2. 平行四边形及其性质平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
它们的特点是相对边相等、对角线相交于对角线的中点、对角线互相平分等。
平行四边形的性质在建筑设计等领域有广泛应用。
3. 垂直投影与三视图在工程绘图中，垂直投影是指将物体在垂直方向上的投影。
根据垂直投影可以得到物体的平面图、前视图、左视图、右视图等，这些视图通常用于工程设计、建筑规划等领域。
4. 共线与共面条件若一条直线与一个平面相交，那么这条直线上的任意一点与该平面上的任意一点以及该平面上的任意一条直线都共线。
高二数学 空间平行关系
高二数学空间平行关系知识要点（一）直线与直线平行的判定方法1、利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；2、利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；3、利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；4、利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；5、利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；6、利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。
（二）直线与平面平行的判定方法1、利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；2、利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）。
3、利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面。
（三）平面和平面平行的判定方法1、利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；2、利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；3、利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；4、利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．5、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（四）直线与平面平行的性质1、性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；2、直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。
（五）平面与平面平行的性质1、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
2、平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线均平行于第二个平面。
平面向量的平行和垂直关系的判定方法
平面向量的平行和垂直关系的判定方法在平面向量的学习中，我们经常需要判定两个向量是否平行或垂直。
正确判定两个向量的平行和垂直关系对于解决向量的运算和几何问题至关重要。
本文将介绍平面向量的平行和垂直关系的判定方法，并提供相应的示例来加深理解。
1. 平行关系的判定方法(1) 两个向量的方向相同或相反，则它们平行。
(2) 两个向量的标量倍数关系相等，则它们平行。
示例1:已知向量a(2, 3)和向量b(-4, -6)，我们要判定它们是否平行。
分析：由于向量a和向量b的方向相反，并且它们的标量倍数关系相等（-2），所以a和b是平行的。
示例2:已知向量c(3, -2)和向量d(-6, 4)，我们要判定它们是否平行。
分析：向量c和向量d的方向不相同，并且它们的标量倍数关系也不相等，所以c和d不是平行的。
2. 垂直关系的判定方法(1) 两个向量的数量积（内积）等于0，则它们垂直。
(2) 两个向量的方向余弦之积等于0，则它们垂直。
示例3:已知向量e(4, 3)和向量f(-3, 4)，我们要判定它们是否垂直。
分析：计算向量e和向量f的内积：4*(-3) + 3*4 = 0，所以e和f是垂直的。
示例4:已知向量g(2, 5)和向量h(-4, 3)，我们要判定它们是否垂直。
分析：计算向量g和向量h的方向余弦之积：(2/√29)*(-4/√25) +(5/√29)*(3/√25) = 0，所以g和h是垂直的。
需要注意的是，对于平面向量的垂直关系，除了以上的方法外，我们还可以通过计算向量的斜率（梯度）来判定。
当斜率互为相反数时，两个向量垂直。
在实际问题中，我们常常需要判定多个向量之间的平行和垂直关系。
此时，我们可以将向量写成分量形式或向量方程形式，进而进行运算和判定。
总结：判定平面向量的平行和垂直关系的方法基于向量的方向、标量倍数、数量积（内积）和方向余弦之积。
通过正确应用这些方法，我们可以准确判定向量之间的关系，为解决向量运算和几何问题提供有力支持。
两条直线平行和垂直的判定
两条直线平行和垂直的判定以两条直线平行和垂直的判定为题，我们来探讨一下如何判断两条直线的关系。
在几何学中，直线的平行和垂直是两种重要的关系，它们的判定方法可以通过几何性质和特定条件来得出。
我们先来讨论两条直线平行的判定方法。
在平面几何中，有以下三种常见的判定方法。
1. 通过斜率判定：两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
斜率是直线上两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行的。
例如，直线y = 2x + 3和直线y = 2x - 1的斜率都是2，所以它们是平行的。
2. 通过法向量判定：两条直线平行的条件是它们的法向量平行。
法向量是垂直于直线的向量，可以通过直线的一般式方程求得。
如果两条直线的法向量平行，那么它们就是平行的。
例如，直线2x - 3y + 4 = 0和直线2x - 3y - 2 = 0的法向量都是(2, -3)，所以它们是平行的。
3. 通过截距判定：两条直线平行的条件是它们的截距比相等。
截距是直线与坐标轴的交点的纵坐标或横坐标。
如果两条直线的截距比相等，那么它们就是平行的。
例如，直线3x + 2y - 1 = 0和直线6x + 4y - 2 = 0的截距比都是1/2，所以它们是平行的。
接下来，我们来讨论两条直线垂直的判定方法。
在平面几何中，有以下两种常见的判定方法。
1. 通过斜率判定：两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
即如果直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，那么k1 * k2 = -1，则直线L1和直线L2垂直。
例如，直线y = 2x + 3和直线y = -1/2x + 1的斜率分别为2和-1/2，而2 * (-1/2) = -1，所以它们是垂直的。
2. 通过方向向量判定：两条直线垂直的条件是它们的方向向量垂直。
方向向量是直线的一个向量，可以通过直线的一般式方程求得。
如果两条直线的方向向量垂直，那么它们就是垂直的。
例如，直线2x - 3y + 4 = 0和直线3x + 2y - 1 = 0的方向向量分别为(2, -3)和(3, 2)，而(2, -3)·(3, 2) = 0，所以它们是垂直的。
平行关系1：线面平行判定
2.2.1直线与平面平行的判定门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系．直线与平面平行的判定定理a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α预习自测1．b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是(D)A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的任何一条直线都不相交[解析]∵b∥α，∴b与α无公共点，从而b与α内任何一条直线无公共点．2．点M、N是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是(A)A．平行B．相交C．MN⊂平面PCB1D．以上三种情形都有可能[解析]如图，∵M、N分别为A1A和A1B1中点∴MN∥AB1又∵P是正方形ABCD的中心，∴P、A、C三点共线∴AB1⊂平面PB1C∵MN⊄平面PB1C∴MN∥平面PB1C．3．如下图，长方体ABCD－A′B′C′D′中，(1)与直线CD平行的平面是__平面A′C′，平面A′B__；(2)与直线CC′平行的平面是__平面A′B，平面A′D__；(3)与直线CB平行的平面是__平面A′D，平面A′C′__．4．一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是__CD∥α，或CD⊂α__.[解析]在旋转过程中CD∥AB，由直线与平面平行的判定定理得CD∥α，或CD⊂α．命题方向1⇨线面平行的判定定理典例1 如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外的一点，M是PB的中点，求证：PD∥平面MAC．[思路分析]要证明直线a与平面α平行的关键是在平面α内找一条直线b，使a∥b.考虑是否有已知的平行线，若无已知的平行线，则根据已知条件作出平行线(有中点常作中位线)．[解析]连接BD交AC于点O，连接OM．根据题意，得O是BD的中点，又M是PB的中点．∴在△BPD中，OM是中位线，∴OM∥PD．又∵OM⊂平面MAC，PD⊄平面MAC．∴PD∥平面MAC．『规律方法』 1.线面平行判定定理应用的误区(1)条件不全，最易忘记的条件是a⊄α与b⊂α．(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．2．判定直线与平面平行的两类方法(1)用定义①用反证法说明直线与平面没有公共点；②若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都与另一个平面无公共点，由此可得线面平行．(2)用判定定理设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，注意说明已知直线不在平面内．〔跟踪练习1〕如图，三棱柱ABC－A′B′C′，点M、N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN ∥平面A′ACC′．[解析]连接AB′、AC′，则点M为AB′的中点．又点N为B′C′的中点，所以MN∥AC′．又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′因此MN∥平面A′ACC′．命题方向2⇨线面平行判定定理的实际应用典例2一木块如右图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC，应该怎样画线？[解析]在平面VAC内经过P作EF∥AC，且与VC的交点为F，与VA的交点为E 在平面VAB内，经过点E作EH∥VB，与AB交于点H，如下图所示．在平面VBC内经过点F作FG∥VB，与BC交于点G连接GH，则EF、FG、GH、HE为截面与木块各面的交线．证明：∵EH∥VB，FG∥VB∴EH∥FG可知E、H、G、F四点共面．∵VB⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH∴VB∥平面EFGH．同理可证AC∥平面EFGH．〔跟踪练习2〕如图，在四面体P ABC中，PC⊥AB，P A⊥BC，点D、E、F、G分别是棱AP、AC、BC、PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形．[解析](1)因为D、E分别为AP、AC的中点，所以DE∥PC．又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP．(2)因为D、E、F、G分别为AP、AC、BC、PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB ∥EF.所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG 为矩形．易错系列忽略线面平行的判定定理使用的前提条件典例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，求证：EF∥平面BB1D1D．[错解]如图，连接C1E，并延长至G点，使GE＝C1E，连接D1G．在△C1D1G中，F是C1D1的中点，E是C1G的中点，所以EF∥D1G．而EF⊄平面BB1D1D，D1G⊂平面BB1D1D，故EF∥平面BB1D1D．[错因分析]上述证明中，“D1G⊂平面BB1D1D”这一结论没有根据，只是主观认为D1G在平面BB1D1D内，说明在利用线面平行的判定定理时，对两条直线平行比较关注，而对另外两个条件(一直线在平面内，另一直线在平面外)忽视，大多数情况下这两个条件在作图(添加辅助线)时就可以清楚地表达出来，一般不需单独证明，而本题作图过程看不出D1G ⊂平面BB1D1D的理论依据，而且题设条件“E是BC的中点”没有用到，而没有这一条件，结论会成立吗？比如把E点移动B点，显然结论不成立．[正解]如图，连接C1E，并延长交B1B的延长线于G，连接D1G．因为C1C∥B1B，E是BC的中点所以E是C1G的中点．在△C1D1G中，F是D1C1的中点，E是C1G的中点，所以EF∥D1G．又因为D1G⊂平面BB1D1D，而EF⊄平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D．转化思想的应用线面平行的判定定理，将判断线面平行的位置关系转化为判断这条直线与平面内一条直线的平行关系，为了实现这一目标，“找”或“作”出平面内的这条直线就成了应用判定定理的关键，实际解题时，要充分利用题目中给出的几何体的特征性质或题设条件，借助于三角形的中位线，梯形的中位线，平行四边形，平行线分线段成比例定理，公理4，内错角(同位角)相等时两直线平行等等已学过的平面几何与立体几何知识，作出必要的辅助线来解决．典例4 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点，求证：C1O ∥平面AB1D1.[思路分析]利用正方体的性质，A1C1綊AC，提取A1C1的中点可得，O1C1綊AO．[解析]连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1∵AO綊C1O1∴四边形AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥AO1．又∵C1O⊄平面AB1D1AO1⊂平面AB1D1，∴C1O∥平面AB1D1．课堂训练1．三棱台ABC－A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是(B)A．相交B．平行C．在平面内D．不确定[解析]∵AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1∴AB∥平面A1B1C1．2．平面α与△ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是(A)A．平行B．相交C．异面D．BC⊂α[解析]在△ABC中∵AD∶DB＝AE∶EC∴BC∥DE．∵BC⊄α，DE⊂α，∴BC∥α．3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中和平面C1DB平行的侧面对角线有__3__条.[解析]如图，与平面C1DB平行的侧面对角线有3条：B1D1、AD1、AB1．4．如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH．[分析](1)要证EH∥平面BCD，只要证EH∥BD即可；(2)要证BD∥平面EFGH，只要证BD∥EH即可．[解析](1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD．∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD∴EH∥平面BCD．(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH∴BD∥平面EFGH．A级基础巩固一、选择题1．圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是(A)A．平行B．相交C．在平面内D．不确定[解析]圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．2．若l∥α，m⊂α，则l与m的关系是(D)A．l∥m B．l与m异面C．l与m相交D．l与m无公共点[解析]l与α无公共点，∴l与m无公共点．3．在三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是(A)A．平行B．相交C．直线AC在平面DEF内D．不能确定[解析]如图所示∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC．又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF．4．a∥b，且a与平面α相交，那么直线b与平面α的位置关系是(A)A．必相交B．有可能平行C．相交或平行D．相交或在平面内[解析]如图所示：5．下列命题：①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．其中正确命题的个数为(B)A．0个B．1个C．2个D．3个[解析](1)中，直线可能与平面相交，故(1)错；(2)是正确的；(3)中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故(3)错．6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(B)A．①③B．①④C．①③D．②④[解析]对于选项①，取NP中点G，由三角形中位线性质易证：MG∥AB，故①正确；对于选项④，易证NP∥AB，故选B．二、填空题7．已知l、m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是__l⊄α__.[解析]根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是__相交__.直线MD与平面BCC1B1的位置关系是__平行__.[解析]因为M是A1D1的中点，所以直线DM与直线AA1相交，所以DM与平面A1ACC1有一个公共点，所以DM与平面A1ACC1相交．取B1C1中点M1，MM1綊C1D1，C1D1綊CD∴四边形DMM1C为平行四边形∴DM綊CM1∴DM∥平面BCC1B1．三、解答题9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．求证：直线EG∥平面BDD1B1.[解析]如图所示，连接SB．∵E、G分别是BC、SC的中点∴EG∥SB．又∵SB⊂平面BDD1B1EG⊄平面BDD1B1∴直线EG∥平面BDD1B1．10．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D．[分析]要证BC1∥平面CA1D，观察图形，可以发现AB与平面相交于点D，且与BC1相交，D为AB的中点，于是构造△ABC的中位线，与BC1平行，这只要连接AC1交A1C于E即可．[证明]连接AC1，设AC1∩A1C＝E则E为AC1的中点，又D为AB的中点，∴DE∥BC1．∵DE⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC．B级素养提升一、选择题1．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(D)A．平行B．都相交C．在这两个平面内D．至少和其中一个平行[解析]与两个相交平面的交线平行的直线与这两个平面的位置关系只有两种：一是在这两个平面的某一个平面内；二是与这两个平面都平行．2．直线a、b是异面直线，直线a和平面α平行，则直线b和平面α的位置关系是(D) A．b⊂αB．b∥αC．b与α相交D．以上都有可能[解析]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A与BC是异面直线A1A∥平面BCC1B1，而BC⊂平面BCC1B1；A1A与CD是异面直线，A1A∥平面BCC1B1，而CD与平面BCC1B1相交；M、N、P、Q分别为AB、CD、C1D1、A1B1的中点，A1A与BC 是异面直线，A1A∥平面MNPQ，BC∥平面MNPQ，故选D．3．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC．其中正确的个数有(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是中位线，OM∥PD，则OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA．因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交．4．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中错误的为(C)A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°[解析]依题意得MN∥PQ，MN∥平面ABC，又MN、AC⊂平面ACD，且MN与AC 无公共点，因此有MN∥AC，AC∥平面MNPQ.同理，BD∥PN.又截面MNPQ是正方形，因此有AC⊥BD，直线PM与BD所成的角是45°.综上所述，其中错误的是C，选C．二、填空题5．如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M、N分别是BF、BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是__平行__.[解析]∵M、N分别是BF、BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE．6．已知直线b，平面α，有以下条件：①b与α内一条直线平行；②b与α内所有直线都没有公共点；③b 与α无公共点；④b 不在α内，且与α内的一条直线平行．其中能推出b ∥α的条件有__②③④__.(把你认为正确的序号都填上)[解析] ①中b 可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b ∥α．C 级 能力拔高1．在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，△CDE 是等边三角形，棱EF 綊12BC ，证明：FO ∥平面CDE .[解析] 如图所示，取CD 中点M ，连接OM ．在矩形ABCD 中，OM 綊12BC ，又EF 綊12BC ． 则EF 綊OM ，连接EM ．∴四边形EFOM 为平行四边形，∴FO ∥EM ．又∵FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE∴FO ∥平面CDE ．2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN ，求证：MN ∥平面AA 1B 1B ．[解析] 解法一：如图，作ME ∥BC 交B 1B 于E ，作NF ∥AD 交AB 于F ，连接EF ，则EF ⊂平面AA 1B 1B ．∴ME BC ＝B 1M B 1C ，NF AD ＝BN BD．∵在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CM ＝DN∴B 1M ＝BN ．又∵B 1C ＝BD ，∴ME BC ＝BN BD ＝NF AD． ∴ME ＝NF ．又ME ∥BC ∥AD ∥NF∴四边形MEFN 为平行四边形．∴MN ∥EF∴MN ∥平面AA 1B 1B ．解法二：如图，连接CN 并延长交BA 所在直线于点P ，连接B 1P ． 则B 1P ⊂平面AA 1B 1B ．∵△NDC ∽△NBP ，∴DN NB ＝CN NP． 又CM ＝DN ，B 1C ＝BD∴CM MB 1＝DN NB ＝CN NP． ∴MN ∥B 1P ．∵B 1P ⊂平面AA 1B 1B∴MN ∥平面AA 1B 1B ．。
直线与平面平行的判定
直线与平面平行的判定在我们的几何世界中，直线与平面的位置关系是一个重要的研究课题。
其中，直线与平面平行这一关系具有独特的性质和判定方法。
今天，咱们就来好好聊聊直线与平面平行的判定。
要理解直线与平面平行的判定，首先得清楚什么是直线与平面平行。
简单来说，如果一条直线与一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线与这个平面平行。
那怎么来判定一条直线和一个平面是否平行呢？这就需要一些巧妙的方法和依据。
第一种常见的判定方法是定义法。
根据直线与平面平行的定义，如果直线与平面没有公共点，那就平行。
但在实际应用中，直接用定义去判定往往不太方便，因为要证明没有公共点不太容易操作。
所以，我们更多地会用到判定定理。
直线与平面平行的判定定理是：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
为了更好地理解这个定理，咱们来举个例子。
想象一个教室，地面就相当于一个平面，教室外的一根电线杆可以看作一条直线。
如果在教室地面上能找到一条与电线杆平行的直线（比如地板砖的边），那么就可以说这根电线杆和教室地面平行。
这个定理的关键在于“平面外”和“平面内”这两个条件。
如果直线本身就在平面内，那就谈不上平行的问题了。
在实际解题中，运用判定定理时，关键是要找到平面内与已知直线平行的那条直线。
这可能需要我们巧妙地利用一些几何图形的性质和已知条件。
比如说，在一个三角形中，如果一条边平行于另一个三角形的一边，并且对应顶点的连线相交，那么对应的另一边也平行。
再比如，在一个平行四边形中，对边是平行的。
我们可以利用这些已知的平行关系来帮助我们找到平面内与直线平行的那条线。
除了上述的方法，我们还可以通过反证法来判定直线与平面平行。
假设直线与平面不平行，那么它们就一定有公共点。
然后通过推理导出矛盾，从而证明直线与平面平行。
直线与平面平行的判定在解决很多几何问题中都起着关键作用。
比如在计算几何体的体积、证明线面关系等问题中，准确地判定直线与平面是否平行，往往是解题的突破口。