北师大版 平行关系的判定

的判定定理.（重点） 2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述 这两个定理，并知道其地位和作用.(重点） 3.能运用两个定理证明线面、面面平行问题.（难 点）
探究点1
直线与平面平行的判定
思考1：观察下图所示的长方体,直线a与直线b有什么 位置关系?直线a与平面α 有什么位置关系？
a
b
b
a

直线a不在平面α内,直线b在平面α内,a∥b, 这时，a∥α.
思考2： 平面 外有直线 a 平行于平面 内的直线 b ． （1）这两条直线共面吗？ （2）直线 共面 不可能相交
a与平面 相交吗？
a

b
直线和平面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
则该直线与此平面平行.
β , 则α ∥β 吗?
a α b
你能得到什么结论？
平行
β
线不在多 贵在相交
如果一个 平面内有两条 相交直线都平行于另一个平面，
那么这两个平面平行.
a
, b
a , b ab =P a //
b // //
a
Pb符号语言图形语言 转 线面平行 化
转 面面平行 化
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P，Q，R分别为A1A， AB，AD的中点 .求证：平面PQR∥平面CB1D1.
D1 A1 B1 C1
证明：连接A1B，BD. 因为PQ∥A1B且A1B ∥CD1. 故PQ∥CD1. 同理可得，RQ//B1D1.
P R Q
所以平面PQR∥平面CB1D1.
a
A.α ，β 都平行于直线a，b B.α 内有三个不共线点到β 的距离相等
C.a,b是α 内两条直线，且a∥β ，b∥β D.a，b是两条异面直线且a∥α ，b∥α ，a∥β ， b∥β 解：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A，
B，C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；
C错，若a∥b，则不能断定α∥β.故选D．
§5 平行关系
5.1 平行关系的判定
一条直线和一个平面有三种位置关系 ：
直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.
a
α
a
A
a
α
α
直线a与平面
直线在平面α 内a α有无 数个交点
直线与平面 α相交a∩ α= A有且只 有一个交点
α平行a∥α无
交点
观察1:门转动的一边与门框所在的平面之间的位置 关系是什么？
观察2:球门线BC、立柱AB、支柱GF、横梁AD所 在直线与地面哪些是平行的？ AD，BC与地面平行
H A E
D
G
F
B
C
观察3：将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，
封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位
置关系？ 平行
A A
B
B
本节课我们来学习平行关系的判定！
1.理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行
线线平行
例3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证:平面AB1D1//平 面C1BD.
证明：如图,因为ABCD－A1B1C1D1
为正方体，所以 BD∥B1D1.
D1 B1 D
C1
又 B 1D 1
平面AB1D1，
A1
从而BD∥平面AB1D1 同理可证 BC1∥平面AB1D1. 又直线BD与直线BC1交于点B. A
例2 如图所示，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,AD的中点.试指出图中满足线面平行位置
关系的所有情况.
解 由E F / /A C / /H G ，得 ( 1) E F / /平面 A C D ; ( 2) A C / /平面 E FG H ; ( 3) H G / /平 面 A B C .
3. 证明的书写:三个条件“内”、“外”、“平
行” 缺一不可.
探究点2
面面平行的判定定理
思考：空间两平面有哪些位置关系？
相交
平行
有公共点
无公共点
思考:
若平面α ∥β ，则α 中所有直线都平行β ?
平行
反之，若α 中所有直线都平行β ，则α ∥β ? 平行 无限 启示： 两个平面平行的问题，可以转化为一个平面内 的直线与另一个平面平行的问题. 面面平行 转 化 线面平行 转 化 有限
1.线面平行的判定定理： b
a / /b
a//
2.线面平行的判定方法:
平行四边形 平行移动法 中位线等
线线平行 线面平行
（将空间问题转化为平面问题）
3.面面平行的定义；
4.面面平行的判定定理；
5.面面平行判定定理的应用：
线线、线面、面面间的位置关系的转化.
不能因为人生的道路坎坷，就使自己的身 躯变得弯曲；不能因为生活的历程漫长，就 使求索的脚步迟缓.
C
B
因此，平面AB1D1∥平面C1BD.
1 判断下列说法是否正确：
（1）若直线a与平面 内的一条直线平行 ，则 a
与平面 平行 . （ × ） （3）如果直线和平面平行，那么直线和平面内
（2）若直线a//b ， a//c ，且 b，c ，则 a / / .（ × ）
的无数条直线平行.（ √ ） （4）如果直线和平面平行，那么直线和平面内
与天花板平行，只需要使镜子的上边框与天花板和
墙面的交线平行，显然用到了这个判定定理.
安装教室里的日光灯，也用到了这个判定定理 .
A
例1 空间四边形ABCD中，E，F分别为
AB，AD的中点.判断EF与平面BCD的
位置关系.
α
B
E
F D C
解 设由相交直线BC，CD所确定的平面为α， 如图，连接BD. 易见，EF不在平面α内.由于E，F分别为AB,AD的中 点，所以EF∥BD.又BD在平面α内，所以EF∥α.
转化到线线平行
若直线l
平面，直线b
, l / /b, 则l / / .
直线与平面平行的画法
把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外 面，并使它与平行四边形内的一条线段平行或与平 行四边形一边平行.
a b α α a b
思考交流
你能举出生活中应用线面平行判定定理的例子吗？
家庭中安装方形镜子时，为了使镜子的上边框
A E
H
D
由B D / /E H / /FG ，得 ( 4) B D / /平面 E FG H ; ( 5) E H / /平面 B C D ; ( 6) FG / /平面 A B D .
B F
G
C
【变式练习】如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是一直角 梯形，AB∥CD，CD=2AB，E为PC的中点，求证BE∥平面 PAD.
证明：取PD的中点F，连接EF，AF，由E，
F为中点，所以EF∥CD且EF=
1 2
CD，又
AB∥CD，CD=2AB，故EF∥AB，且EF=AB， 从而四边形ABEF为平行四边形， 所以，BE∥AF，BE 平面PAD，AF平面PAD，
根据线面平行的判定定理可得BE∥平面PAD.
【提升总结】 证明线面平行的注意事项 1. 线面平行，通常可以转化为线线平行来处理. 2. 寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯 形的中位线、平行四边形的判定来完成.
的所有直线平行.（ × ）
2．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶 点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平 面MNP的图形是( D ) A．③④ B．①② C．②③ D．①④
3.α ，β 是两个不重合的平面，a，b是两条不同直 线，在下列条件下，可判定α ∥β 的是( D )
探究:
问题1
平面α 内有一条直线 a 平行于平
面β , 则α ∥β 吗? 请举例说明. 不能
问题2
平面α 内有两条直线a , b 平行
于平面β , 则α ∥β 吗? 请举例
说明.
不能
模型１
α// β?
a α α α
β
模型２ a // β b//β a // b
b
α
a
β
问题3
平面α 内有两条相交直线 a , b 平行平面