垂直关系的性质 课件
B1 E D C F B
二、平面与平面垂直的性质
观察右图的长方体：
β
α
a
b
平面α⊥平面β,α∩β＝b,a⊥b，这时，a⊥β
问：一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，AB在β内, AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？
问：一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，AB在β内, AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？
解：显然，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC，
MN 平面BCC1B1 且MN BC
∴MN⊥平面ABCD
又AB 平面ABCD
D1 C1
∴MN⊥AB
A1 D
B1
N C
M A B
小
直线与平面垂直的性质：
Байду номын сангаас
结
1、如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线平行。 2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直 这个平面内的所有直线。
a
已知：a⊥α,b⊥α
b
b’
求证：a∥b α 证明：假设a和b不平行，设b与α交于点0,b’是经过点0 与α平行的直线 ∵a∥b’ 且 a⊥α ∴b’⊥ α ∵过一点作一平面的垂线有且只有一条 ∴b 与 b’重合 ∴a∥b
o
定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行 （直线和平面垂直的性质定理）
证明： 在平面α内作BC⊥MN，则∠ABC是二面角α-MN-β 的平面角
∵平面α ⊥平面β ∴∠ABC＝90° 即AB⊥BC 又AB⊥MN ∴AB⊥α
α
M
A N B C
β
定理6.4
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 (平面与平面垂直的性质定理)
例2、 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且 MN⊥BC于点M。判断MN与AB的位置关系，并说明理由。
垂直关系的性质
一、直线与平面的性质 在初中我们学过：“在平面内，如果两条直线同垂直 于另一条直线，那么这两条直线平行。”
请问在空间中有相同或者类似的结论吗？ 观察右图的长方体： a⊥α a∥b b⊥β
}
a
b
α
一般地，如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α ， 那么a∥b吗？
一般地，如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α ， 那么a∥b吗？
作业：完成课时训练
a b
a⊥α a∥ b b⊥α
}
α
由这个定理可知：要证明两直线平行，可以寻找 一个平面，使这两条直线同垂 直于这个平面即可
例1、如图，在几何体ABCDE中，BE和CD都垂直于平面ABC， 且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点 求证：DF∥平面ABC 证明：作AB的中点G，连接FG、GC ∵BE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC ∴BE∥CD 又∵GF∥BE 且GF＝1 ∴GF∥CD 且 GF＝CD ∴四边形CDFG为平行四边形 F ∴DF∥GC 且 G GC 平面ABC ∴DF∥平面ABC
A E
H
D
B
C
例2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直且相 交，分别交AC、A1D于E、F 求证：EF∥BD1
D1 C1
证明：连接A1C1、C1D、B1D1、AD1 ∵AC∥A1C1 且EF⊥AC A1 ∴EF⊥A1C1 又EF⊥A1D ∴EF⊥平面A1C1D ∵AB⊥A1D 且AD1⊥A1D ∴A1D⊥平面ABD1 A ∴BD1⊥A1D 同理可证BD1⊥A1C1 ∴BD1⊥平面A1C1D ∴EF∥BD1
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高考数学一轮复习 直线、平面垂直的性质定理课件
[解析] 如果平面 ⊥ 平面 ,那么只有平面 内垂直于交线的直线才垂直于平面 ,
故C错误.
02
研考点 题型突破
题型一 直线与平面垂直的性质
典例1 如图,PA ⊥ 平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,
且EF ⊥
CF
AC.求证:
DC
=
CE
.
BC
证明 ∵ PA ⊥平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,
②线（三垂线定理）:过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的
垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
③面（垂面法）:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,
这两条交线所成的角即是二面角的平面角.
（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）.
①在三角形中,利用余弦定理求值；
PD ⊥ 平面PBC.
证明 由题设,知BC ⊥ CD,又平面PDC ⊥ 平面ABCD,平面PDC ∩ 平
面ABCD = CD,BC ⊂ 平面ABCD,
所以BC ⊥ 平面PDC,
而PD ⊂ 平面PDC,则BC ⊥ PD.
由∠DPC = 90∘ ,得PC ⊥ PD.
又BC ∩ PC = C,BC,PC ⊂ 平面PBC,则PD ⊥ 平面PBC.
又BC ⊂ 平面PBC,所以AD ⊥ BC.
因为PA ⊥ 平面ABC,BC ⊂ 平面ABC,
所以PA ⊥ BC.
因为AD ∩ PA = A,AD,PA ⊂ 平面PAC,
所以BC ⊥ 平面PAC.
又AC ⊂ 平面PAC,所以BC ⊥ AC.
规律方法
（1）在应用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基
故C错误.
02
研考点 题型突破
题型一 直线与平面垂直的性质
典例1 如图,PA ⊥ 平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,
且EF ⊥
CF
AC.求证:
DC
=
CE
.
BC
证明 ∵ PA ⊥平面ABD,PC ⊥ 平面BCD,
②线（三垂线定理）:过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的
垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
③面（垂面法）:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,
这两条交线所成的角即是二面角的平面角.
（2）求（求二面角的平面角的余弦值或正弦值）.
①在三角形中,利用余弦定理求值；
PD ⊥ 平面PBC.
证明 由题设,知BC ⊥ CD,又平面PDC ⊥ 平面ABCD,平面PDC ∩ 平
面ABCD = CD,BC ⊂ 平面ABCD,
所以BC ⊥ 平面PDC,
而PD ⊂ 平面PDC,则BC ⊥ PD.
由∠DPC = 90∘ ,得PC ⊥ PD.
又BC ∩ PC = C,BC,PC ⊂ 平面PBC,则PD ⊥ 平面PBC.
又BC ⊂ 平面PBC,所以AD ⊥ BC.
因为PA ⊥ 平面ABC,BC ⊂ 平面ABC,
所以PA ⊥ BC.
因为AD ∩ PA = A,AD,PA ⊂ 平面PAC,
所以BC ⊥ 平面PAC.
又AC ⊂ 平面PAC,所以BC ⊥ AC.
规律方法
（1）在应用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基
线线垂直线面垂直课件
线面垂直的定义与
02
性质
定义
两条直线垂直
如果两条直线在三维空间中互相 垂直，则它们之间的夹角为90度 。
直线与平面垂直
如果一条直线与一个平面内的任 意一条直线都垂直，则这条直线 与该平面垂直。
性质
线面垂直的性质定理
如果一条直线与一个平面垂直，那么 这条直线与平面内的任意一条直线都 垂直。
垂直关系的不变性
无论直线或平面如何旋转或平移，只 要保持它们的相对位置不变，垂直关 系就不会改变。
判定定理
如果一条直线与平面内的两条相交的 直线都垂直，那么这条直线与该平面 垂直。
如果一条直线与平面内的无数条直线 都垂直，那么这条直线与该平面垂直 。
如果一条直线与平面内的两条平行直 线都垂直，那么这条直线与该平面垂 直。
线线垂直与线面垂
03
直的联系与区别
联系
垂直关系的共通性
无论是线线垂直还是线面垂直，它们都涉及到两条直线或一条直线与一个平面 之间的垂直关系。
判定方法的相似性
在判定线线垂直或线面垂直时，常常需要利用到直线与平面垂直的判定定理， 即线面垂直判定定理。
区别
涉及元素不同
线线垂直只涉及到两条直线，而线面垂直则是一条直线与一个平面。
空间向量具有方向性，而线面垂直可以用来描述向量的方向 ，帮助我们理解向量的几何意义。
向量运算
利用线面垂直的性质，可以进行向量的运算，如向量的加法 、数乘、向量的模等。
在解析几何中的应用
确定直线与平面的位置关 系
通过线面垂直的性质，可以确定直线与平面 的位置关系，从而解决与解析几何相关的问 题。
计算点到平面的距离Βιβλιοθήκη 线线垂直与线面垂04
《直线和平面垂直》PPT课件.ppt
二、直线与平面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直．
la l b a b a b A
l
l
b
A
a
作用： 判定直线与平面垂直．
记忆：线线垂直，则线面垂直
(2)a , b a b a b ， a （3）
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
平面 的垂线
垂足
l
P
直线 l 的垂面
三．定理探索:线面垂直
线线垂直
判断1:如果一条直线和平面内的无数条直线都 假命题，一组平行线； 垂直,那么这条直线就垂直于这个平面. 判断2:如果一条直线和平面内的所有直线都垂 直,那么这条直线就垂直于这个平面. 真命题，操作困难； 判断3:如果一条直线和平面内的一条直线垂直, 那么这条直线就垂直于这个平面. 假命题; 判断4:如果一条直线和平面内的两条直线都垂 假命题; 直,那么这条直线就垂直于这个平面.
一．问题引入
直线与平面的位置关系有 哪几种？ 直线与平面的位置关系有 哪几种？
直线与平面的位置关系有 哪几种？ 复习 :直线与平面的位置关系有 哪几种 ?
线在面内
线 面 位置关系
线面平行 线面相交
垂直 斜交
√
线面垂直的实例
线 面 垂 直 最 重 要
不然倒掉
万 丈 高 楼 平 地 起
回顾复习：
两条相交
真命题，用来判定线面 垂直；
四．线面垂直的判定
如果一条直线和平面α内两相交直线都垂直，那么 判定定理 这条直线就垂直于这个平面． 已知：m 、n是α内的两条相交直线 ，l∩α=B ，且l⊥m，l⊥n。 求证：l⊥α 。
垂直关系的性质(最新课件)
1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是 棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1 都垂直的直线有( )条
A．1
B．2
C．3
D．无数条
解析：显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满 足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB，又AB∥C1D1，则 l⊥C1D1， B1C1∩C1D1＝C1，∴l⊥平面B1C1D1. 同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M.这 是不可能的，因此只有DD1一条满足条件． 答案：A
3．(2011·郓城高一模块测试)如图，已知PA⊥平面ABC， 平面APB⊥平面BPC. 求证：AB⊥BC. 证明：平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线． 如图，在平面PAB内，过A点作AD⊥PB，D为垂 足，则AD⊥平面CPB，又BC 平面CPB， 所以AD⊥BC. 因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以 PA⊥BC，又PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAB， 又AB 平面PAB，所以AB⊥BC.
[一点通] 线面平行和线面垂直是立体几何中经常 考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时 可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑 判定定理．
5．(2011·南昌第一次模拟)已知α、β是平面，m、n
是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m β，则α⊥β；
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当D在平面ABC内时， 因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即 AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因AC＝BC，所以AB⊥CE. 又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 又CD 平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD.
空间中的垂直关系ppt课件(自制)
C 又 平面PAD 平面ABCD AD CD 平面PAD
B
CD平面PCD 平面PAD平面PCD
变式题: 在四边形ABCD中，AD∥BC，ADAB，BCD45，
BAD90,将ABD沿对角线BD折起，记折起后A的
位置为P，且使平面PBD平面BCD
求证：平面PBC平面PCD
P
A
D
B P
B
D
B C
C
关于平面图形的翻折，关键是弄清翻 折前后的数量关系和位置关系的变化 D 和不变化
C B
D1 A1
D A
C1 B1
C
B
几何画板
变式题
在 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， M 、 N 、 P 分 别 是 C C 1 、 B 1 C 1 、 C 1 D 1 的 中 点 ， 求 证 ： M N A P
D1 A1
P
C1
N
B1
M
D1 A1
C1 B1
D A
C B
D A
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
B
CD平面PCD 平面PAD平面PCD
变式题: 在四边形ABCD中，AD∥BC，ADAB，BCD45，
BAD90,将ABD沿对角线BD折起，记折起后A的
位置为P，且使平面PBD平面BCD
求证：平面PBC平面PCD
P
A
D
B P
B
D
B C
C
关于平面图形的翻折，关键是弄清翻 折前后的数量关系和位置关系的变化 D 和不变化
C B
D1 A1
D A
C1 B1
C
B
几何画板
变式题
在 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， M 、 N 、 P 分 别 是 C C 1 、 B 1 C 1 、 C 1 D 1 的 中 点 ， 求 证 ： M N A P
D1 A1
P
C1
N
B1
M
D1 A1
C1 B1
D A
C B
D A
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
直线、平面垂直的判定及其性质课件
(3)判定定理与性质定理:
文字语言
判 定 定 理 一个平面过 另一个平面 垂线 的_____,则 这两个平面 垂直
图形语言
符号语言
l ⊥α _____ l ⊂ β _____
⇒α⊥β
文字语言
性
Hale Waihona Puke 图形语言符号语言α ⊥β l⊂β
两个平面垂直,
则一个平面内 交线 的 垂直于_____ 直线与另一个 平面垂直
【解析】选C.A中,由m⊥n,n∥α 可得m∥α 或m与α 相 交或m⊥α ,错误;B中,由m∥β ,β ⊥α 可得m∥α 或m与 α 相交或m⊂α ,错误;C中,由m⊥β ,n⊥β 可得m∥n,又 n⊥α ,所以m⊥α ,正确;D中,由m⊥n,n⊥β ,β ⊥α 可 得m∥α 或m与α 相交或m⊂α ,错误.
3.平面与平面垂直 (1)二面角: 两个半平面 所组成的图形叫做二 从一条直线出发的___________ 面角;在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两 垂直于棱 的两条射线,这两条射线 个半平面内分别作_________ 所构成的角叫做二面角的平面角.
(2)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是 直二面角 就说这两个平面互相垂直. _________,
【技法点拨】 与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 (1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准, 甚至无需作图通过空间想象来判断.
(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确. (3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性 质定理进行简单说明.
【拓展】反证法:反证法是立体几何中常用的间接证明 方法.其步骤是:①否定结论;②进行推理;③导出矛盾; ④肯定结论.用反证法证题要注意:①宜用此法否;②命 题结论的反面情况有几种.
2.1.2两条直线平行与垂直的判定 课件(共15张PPT)
在同一条直线上,确定常数a的值.
2
复习回顾
复习2：平面上两条直线位置关系
y
o
x
有平行,相交两种
我们设想如何通过直线的斜率
来判定这两种位置关系.
3
学习新知 两条直线平行的判定
思考1:若两条不同直线的倾斜角相等,这两条直线
的位置关系如何？反之成立吗？
y
l1
α1
O
l2
α2
x
4
学习新知
思考2:若两条不同直线的斜率相等,这两
在两种情况求解.
两直线垂直的判定方法
3.两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件
是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存
在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.
9
例题讲解
例2：已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若
AB∥MN,则m的值为
.
解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
3．若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相
垂直，则m的值是________．
14
5 [由题意知，直线 MN 的斜率存在，因为 MN⊥l，
m－3 1
14
所以 kMN＝
＝4，解得 m＝ 5 .]
2－m
14
学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识
1
即 1－3k＝0，∴k＝3.]
7
例题讲解
例1 已知A、B、C、D四点的坐标,试判断直线AB与CD
的位置关系.
(1)A(2,3), B(－4,0), C(－3,l), D(－l,2)； 平行
2
复习回顾
复习2：平面上两条直线位置关系
y
o
x
有平行,相交两种
我们设想如何通过直线的斜率
来判定这两种位置关系.
3
学习新知 两条直线平行的判定
思考1:若两条不同直线的倾斜角相等,这两条直线
的位置关系如何？反之成立吗？
y
l1
α1
O
l2
α2
x
4
学习新知
思考2:若两条不同直线的斜率相等,这两
在两种情况求解.
两直线垂直的判定方法
3.两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件
是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存
在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.
9
例题讲解
例2：已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若
AB∥MN,则m的值为
.
解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
3．若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相
垂直，则m的值是________．
14
5 [由题意知，直线 MN 的斜率存在，因为 MN⊥l，
m－3 1
14
所以 kMN＝
＝4，解得 m＝ 5 .]
2－m
14
学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识
1
即 1－3k＝0，∴k＝3.]
7
例题讲解
例1 已知A、B、C、D四点的坐标,试判断直线AB与CD
的位置关系.
(1)A(2,3), B(－4,0), C(－3,l), D(－l,2)； 平行
垂直关系的判定及其性质ppt课件演示文稿
题型三 面面垂直 【例3】 (2011· 聊城模拟)如图，菱形ABCD所在平面与矩形 ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且点M是线段EF的中点． (1)求证：AM∥平面BDE； (2)求证：平面DEF⊥平面BEF.
(1)如图，设AC∩BD＝O，连接OE，由题意得EM＝ EF＝ AC＝AO. 2 2 ∵EM∥AO， ∴四边形EOAM为平行四边形，EO∥AM. ∵EO⊂平面BDE，AM⊄平面BDE. ∴AM∥平面BDE. (2)如图，连接DM，BM，MO.∵AF⊥AC，EC⊥AC，平面ACEF⊥平面 ABCD，∴AF⊥平面ABCD，EC⊥平面ABCD，∴AF⊥AD，EC⊥DC，又四 边形ABCD为菱形， ∴AD＝DC，∴DF＝DE. 又点M是EF的中点，∴ DM⊥EF. 1 ∵BD＝2AF，∴DO＝2 BD＝AF＝MO， ∴∠DMO＝45°，同理，∠BMO＝45°， ∴DM⊥BM. 又EF∩BM＝M，∴DM⊥平面BEF.
1
1
变式3-1 (2011· 江苏海安如皋联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1.
证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以 AC⊥BD，A1A⊥平面ABCD， 而BD⊂平面ABCD，于是BD⊥A1A. 因为AC、A1A⊂平面A1ACC1且AC交A1A于点A， 所以BD⊥平面A1ACC1. 因为BD⊂平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面 A1ACC1.
2. 平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ________，就称这两个平面互相垂直． (2)判定定理：如果一个平面过另一个平面的________，则这 两个平面互相垂直． (3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 __________的直线垂直于另一个平面．
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
直线与平面垂直的判定定理与性质定理ppt课件
24
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
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2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
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1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
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2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.