垂直关系的性质 课件

B1 E D C F B
二、平面与平面垂直的性质
观察右图的长方体：
β
α
a
b
平面α⊥平面β,α∩β＝b,a⊥b，这时，a⊥β
问：一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，AB在β内, AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？
问：一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，AB在β内, AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？
解：显然，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC，
MN 平面BCC1B1 且MN BC
∴MN⊥平面ABCD
又AB 平面ABCD
D1 C1
∴MN⊥AB
A1 D
B1
N C
M A B
小
直线与平面垂直的性质：
Байду номын сангаас
结
1、如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线平行。 2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直 这个平面内的所有直线。
a
已知：a⊥α,b⊥α
b
b’
求证：a∥b α 证明：假设a和b不平行，设b与α交于点0,b’是经过点0 与α平行的直线 ∵a∥b’ 且 a⊥α ∴b’⊥ α ∵过一点作一平面的垂线有且只有一条 ∴b 与 b’重合 ∴a∥b
o
定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行 （直线和平面垂直的性质定理）
证明： 在平面α内作BC⊥MN，则∠ABC是二面角α-MN-β 的平面角
∵平面α ⊥平面β ∴∠ABC＝90° 即AB⊥BC 又AB⊥MN ∴AB⊥α
α
M
A N B C
β
定理6.4
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 (平面与平面垂直的性质定理)
例2、 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且 MN⊥BC于点M。判断MN与AB的位置关系，并说明理由。
垂直关系的性质
一、直线与平面的性质 在初中我们学过：“在平面内，如果两条直线同垂直 于另一条直线，那么这两条直线平行。”
请问在空间中有相同或者类似的结论吗？ 观察右图的长方体： a⊥α a∥b b⊥β
}
a
b
α
一般地，如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α ， 那么a∥b吗？
一般地，如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α ， 那么a∥b吗？
作业：完成课时训练
a b
a⊥α a∥ b b⊥α
}
α
由这个定理可知：要证明两直线平行，可以寻找 一个平面，使这两条直线同垂 直于这个平面即可
例1、如图，在几何体ABCDE中，BE和CD都垂直于平面ABC， 且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点 求证：DF∥平面ABC 证明：作AB的中点G，连接FG、GC ∵BE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC ∴BE∥CD 又∵GF∥BE 且GF＝1 ∴GF∥CD 且 GF＝CD ∴四边形CDFG为平行四边形 F ∴DF∥GC 且 G GC 平面ABC ∴DF∥平面ABC
A E
H
D
B
C
例2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直且相 交，分别交AC、A1D于E、F 求证：EF∥BD1
D1 C1
证明：连接A1C1、C1D、B1D1、AD1 ∵AC∥A1C1 且EF⊥AC A1 ∴EF⊥A1C1 又EF⊥A1D ∴EF⊥平面A1C1D ∵AB⊥A1D 且AD1⊥A1D ∴A1D⊥平面ABD1 A ∴BD1⊥A1D 同理可证BD1⊥A1C1 ∴BD1⊥平面A1C1D ∴EF∥BD1