多项式习题

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多项式的运算练习题

多项式的运算练习题一、单项式与单项式的运算1. 计算下列各式的结果：(1) 3x 2x(2) 5a^2b 3a^2b(3) 4xy + 7xy(4) 2mn 5mn2. 简化下列各式：(1) 4x^3 + 2x^3 3x^3(2) 5ab^2 3ab^2 + 2ab^2(3) 8xyz + 6xyz 4xyz(4) 10m^2n^2 7m^2n^2 + 5m^2n^2二、多项式与多项式的运算1. 计算下列各式的结果：(1) (2x + 3y) (x y)(2) (4a^2 5b^2) + (3a^2 + 2b^2)(3) (7m + 2n) (4m 3n)(4) (6p^2 5q^2) + (3p^2 + 4q^2)2. 简化下列各式：(1) (x^2 + 2x 3) + (2x^2 4x + 5)(2) (3y^2 4y + 1) (2y^2 + 3y 2)(3) (4a^3 5a^2 + 2a) (3a^3 + 2a^2 a)(4) (7b^3 + 6b^2 9b) + (5b^3 4b^2 + 8b)三、多项式的乘法运算1. 计算下列各式的结果：(1) (x + 2)(x 3)(2) (a 4)(a + 5)(3) (3m + n)(2m n)(4) (4p 3q)(p + 2q)2. 计算下列各式的结果：(1) (x^2 + 3x + 2)(x 1)(2) (a^2 4a + 4)(a + 2)(3) (2m^2 5m + 3)(m 2)(4) (3p^2 4p + 1)(p + 3)四、多项式的除法运算1. 计算下列各式的结果：(1) (x^2 5x + 6) ÷ (x 3)(2) (a^2 + 5a + 6) ÷ (a + 2)(3) (2m^2 5m 3) ÷ (m 2)(4) (3p^2 + 7p + 2) ÷ (p + 3) 2. 计算下列各式的结果：(1) (x^3 2x^2 + x) ÷ (x 1)(2) (a^3 + 3a^2 4a) ÷ (a + 4)(3) (2m^3 5m^2 + 3m) ÷ (m 2)(4) (3p^3 + 7p^2 2p) ÷ (p + 3)五、多项式的综合运算1. 计算下列各式的结果：(1) (2x^2 3x + 1) + (x^2 4) (3x 2)(2) (4a^3 2a^2 + 3a) (a^3 + a^2) + (2a^2 3)(3) (5m^2 7m + 2) + (3m^2 5) (2m^2 + 4m 1)(4) (6p^4 4p^3 + 2p^2) (p^4 + 3p^3 p^2) + (p^32p^2 + p)2. 简化下列各式：(1) (x^4 2x^3 + 3x^2) (x^4 + x^3 x^2) + (2x^3 4x^2 + x)(2) (3a^5 4a^4 + 2a^3) + (a^5 2a^4 + 3a^3) (2a^5 +a^4 a^3)(3) (2m^6 5m^5 + 3m^4) (m^6 3m^5 + 2m^4) + (3m^54m^4 + m^3)(4) (4p^7 6p^6 + 5p^5) + (p^7 4p^6 + 2p^5) (3p^7 +2p^6 p^5)六、多项式的应用题1. 已知多项式 A(x) = 2x^2 3x + 1，多项式 B(x) = x^2 4x + 3，计算 A(x) + B(x) 的结果。

多项式练习题带答案

多项式练习题带答案一、选择题1. 下列哪个表达式不是多项式？A. \( x^2 + 3x + 2 \)B. \( 5x - 3 \)C. \( \frac{x}{2} \)D. \( 2x^3 - 4x^2 + 7 \)答案：C2. 多项式 \( P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) 中，如果 \( a = 1 \)，\( b = -1 \)，\( c = 0 \)，\( d = 2 \)，则 \( P(x) \) 可以表示为：A. \( x^3 - x^2 + 2 \)B. \( x^3 - x^2 - 2 \)C. \( x^3 + x^2 + 2 \)D. \( x^3 - x^2 + 2x \)答案：A3. 如果 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，那么 \( f(1) \) 的值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题1. 多项式 \( 2x^3 - 5x^2 + 3x - 4 \) 的次数是 ______ 。

答案：32. 如果 \( g(x) = x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 2x + 1 \)，那么 \( g(0) \) 的值是 ______ 。

答案：13. 多项式 \( h(x) = 4x^2 - 7x + 2 \) 与 \( x - 3 \) 的乘积是\( 4x^3 - \) ______ 。

答案：7x^2 + 10x - 6三、解答题1. 给定多项式 \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 \)，求 \( f(-1) \) 的值。

解：将 \( x = -1 \) 代入 \( f(x) \) 中，得到\( f(-1) = 3(-1)^3 - 2(-1)^2 + 5(-1) - 1 = -3 - 2 - 5 - 1 = -11 \)。

2. 已知 \( p(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c \)，其中 \( p(1) = 5 \)，\( p(-1) = -1 \)，求 \( a \)，\( b \)，\( c \) 的值。

多项式的练习题

多项式的练习题一、选择题1. 下列哪个表达式是一个多项式？A. 3x + 4B. 1/x + 5C. √x + 2D. log(x) + 32. 多项式3x^2 2x + 1的次数是？A. 1B. 2C. 3D. 4A. 3x^3B. 4x^2C. 2xD. 5二、填空题1. 多项式4x^4 7x^2 + 9的______次项系数是7。

2. 已知多项式f(x) = 2x^3 5x^2 + 3x 1，则f(1) = ______。

3. 若多项式g(x) = 5x^4 3x^3 + 2x^2 x + 6，则g(1) =______。

三、计算题1. 计算：(2x^3 4x^2 + 3) (x^3 2x^2 + 5)。

2. 计算：(3x^2 2x + 1) × (4x^2 + 5x 6)。

3. 计算：(5x^4 3x^3 + 2) ÷ (x^2 x)。

四、应用题1. 某多项式P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，已知P(1) = 5，P(1) = 3，P(2) = 10，P(0) = 2，求a、b、c、d的值。

2. 设多项式Q(x) = 2x^3 3x^2 + 4x 5，求Q(x)在x = 1处的导数。

3. 已知多项式R(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求R(x)的零点。

五、简答题1. 解释什么是多项式的首项、末项和常数项。

2. 如何判断两个多项式是否相等？3. 简述多项式的次数对多项式性质的影响。

六、作图题1. 作出多项式f(x) = x^3 3x^2 + 2x的图像，并标出其根（零点）。

2. 在同一坐标系中画出多项式g(x) = 2x^2 4x + 3和h(x) = x^2 + 2x 1的图像，并指出它们的交点。

七、证明题1. 证明：对于任意多项式P(x) = a_nx^n + a_{n1}x^{n1} + + a_1x + a_0，其中a_n ≠ 0，P(x)的图像在x轴上方（或下方）时，多项式的次数必为偶数（或奇数）。

(完整版)多项式分解法习题练习

(完整版)多项式分解法习题练习1. 第一题已知多项式 f(x) = 3x^4 + 2x^3 - 8x^2 + 5x - 2，求 f(x) 的所有因式。

解答：首先，我们可以使用多项式的因式定理来解题。

根据因式定理，如果 a 是多项式 f(x) 的因式，则 f(a) = 0。

因此，我们可以将 f(x) 的每个可能的因子代入 f(x) 中，来判断 f(a) 是否等于零。

如果等于零，则该因子是 f(x) 的一个因子。

令 f(x) = 0，我们可以得到以下方程：3x^4 + 2x^3 - 8x^2 + 5x - 2 = 0通过尝试 a = 1, 2, -1, -2，我们发现当 a = 1 时，f(a) = 0。

因此，x - 1 是 f(x) 的一个因子。

我们可以使用多项式的除法来进一步分解 f(x)。

将 f(x) 除以 x - 1，我们可以得到以下结果：3x^3 + 5x^2 - 3x - 2---------------------x - 1 | 3x^4 + 2x^3 - 8x^2 + 5x - 2-3x^3 - 3x^2 + 5x - 2---------------------x - 1 | 3x^3 + 5x^2 - 3x - 28x^2 + 8x---------x - 1 | -3x^3 - 3x^2 + 5x - 28x^2 + 8x - 2-------------x - 1 | -3x^3 - 3x^2 + 5x - 2从上面的计算中可以看出，我们得到了商式为 3x^3 + 5x^2 - 3x - 2，余式为 8x^2 + 8x - 2。

进一步观察余式 8x^2 + 8x - 2，我们发现它可以再次分解。

我们可以使用多项式分解的方法来分解余式。

将 8x^2 + 8x - 2 分解为两个因式相乘，我们可以得到：8x^2 + 8x - 2 = (2x - 1)(4x + 2)因此，f(x) 可以分解为以下形式：f(x) = (x - 1)(3x^3 + 5x^2 - 3x - 2) = (x - 1)(2x - 1)(4x + 2)所以，f(x) 的所有因式为 (x - 1)，(2x - 1)，(4x + 2)。

多项式练习题

多项式练习题一、选择题：1. 多项式3x^2-5x+2可以分解为：A. (3x-2)(x-1)B. (3x+2)(x-1)C. (x-2)(3x-1)D. (3x+1)(x-2)2. 多项式f(x)=x^3-3x^2+4x-12的根中，实根的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 多项式x^3-6x^2+11x-6的因式分解为：A. (x-1)(x-3)(x-2)B. (x-1)(x-2)(x-3)C. (x-2)(x-3)(x-1)D. (x-6)(x^2+1)二、填空题：1. 如果多项式f(x)=x^3+ax^2+bx+c可以被x-1整除，则a+b+c=______。

2. 多项式2x^3-5x^2+3x-1的首项系数是______，次数是______。

3. 已知多项式P(x)=x^4-4x^3+6x^2-2x+1，求P(2)的值是______。

三、解答题：1. 试证明多项式x^4-3x^3+3x^2-x+1可以分解为(x-1)^4。

2. 已知多项式Q(x)=x^5-5x^4+5x^3+5x^2-5x+1，求证Q(x)可以表示为(Q(x+1)-1)。

3. 给定多项式R(x)=x^3-9x，求证R(x)可以分解为(x-3)(x^2+3x+3)。

四、计算题：1. 计算多项式P(x)=x^4-2x^3+x^2+2x-3在x=-1处的值。

2. 计算多项式Q(x)=3x^3-2x^2-5x+4在x=2处的值。

3. 计算多项式S(x)=2x^3+3x^2-4x+1在x=-2处的值。

五、证明题：1. 证明多项式x^4+x^3+x^2+x+1不能分解为实系数的多项式。

2. 证明如果一个多项式f(x)的系数都是实数，并且f(x)=0有复数根，则这些复数根必定成共轭对出现。

六、综合题：1. 已知多项式f(x)=x^4-4x^3+6x^2-2x+1，求f(1), f(2), f(-1)的值。

2. 已知多项式g(x)=x^5-10x^4+35x^3-50x^2+24x-4，求g(1), g(2), g(-1)的值。

多项式练习题参考答案.doc

多项式练习题参考答案一、填空题1.f(x) = X4 -4x3 -l,g(x) = x2 -3x-l.则y(x)被g(x)除所得的商式为亍—X —2 ,余式为-7x - 3 .2 • f(x),g(x),u(x),v(x)e P[x],若“(x)f (x) + v(x)g(x) = 2,则(f(x),g(x))= _L(w(x),v(x))=—・L 13. f (x) = a n x n+■■■ + a l x + a0 e P[x]且*0,/(x) I g(x), (/(x),g(x)) = —/(x).a n4.尸+2,(x —1)(X +3),0,2X +4,X3 —1 中是本原多项式的为尸+2,(x —l)(x +3), .r3 -1.5.多项式/(x) = [4(5x-4)2000X2-2X-1]2°01(8 X3-11X2 + 2) 2002的所有系数之和= 1_ (取X = 1得到)，常数项=-22。

2 (取》=0得到).6.能被任一多项式整除的式项式是零多项式；能整除任意多项式的多项式一定是零次多项式.7.多项式f⑴除以ax-b(a^O)的余式为/(-).a8.设2%3— %2 + 3x — 5 =。

(尤一2)3 + Z?(x — 2)2 + c(x — 2) + 6?，则ci,b,c,d的值为2, 9, 23,13 .9.f⑴=营+ 4x4 +X3-10X2-4X +8在有理数上的标准分解式是(x-l)2(x + 2)3.10.x2 +3x + 2|x4 +mx2- px+ 2 ,贝ll m = -6 , p = 3二、判断说明题(先判断正确与错误，再简述理由)1.若心)f(x) + v(x)g(x)=』3),则必为/(X)与g(x)的最大公因式.错.如/(x) = x-l,g(x) = x + l,w(x) = x + l,v(x) = -x ,贝!J d(x) = -x-l,但/(x)与g(x)互素.2.若p(x) I /(x)g(x),p(x)在P 上不可约,且p(x) I [/(x) + g(x)],则p(x) I /(x)且p(x) I g(x).对.由p(x)I /(x)g(x),p(x)在P 上不可约可得p(x)I /(x)或p(x)I g(x).若p(x) I /(x),又p(x) I [/(x) + g(x)],因此p(x)l[/(x) + g(x)]-/(x)，即p(x)lg(x).3.设p(x),f(x)为P上的多项式，且p(x)不可约.若p(x)为f'(x)的*重因式, 则p(x)必为/(X)的)+ 1重因式.错.如/(x) = (x2+2)5+5, x2 +2是广⑴在Q上的4重因式，但尸+2不是了(x)的因式.4.有理系数多项式/(%)在Q上可约，则f(x)有有理根.错.如f(x)=x4-4 = (x2+2)(x2-2)在Q上可约，但f(x)没有有理根.5.若"是整系数多项式f(x)的根，p，q为互素的整数，则⑴.P对.由里是整系数多项式f(x)的根可得px-q为f(x)的因式，艮口Pf (%) = (px-q)g(x),且g(x)是整系数的，取x = l可得(p-q)|f ⑴.6.奇数次实系数多项式在实数域上一定有实根，因此在实数域上一定可约. 错.一次实系数多项式有实根但不可约.7.若f(x)|/z(x)且g(x)|/z(x),则f(x)g(x)|/z(x).错.缺f(x),g(x)互素.8.若g(x) + f(x)则(f(x),g(x)) = l.错.如 %2 -1 / %3 -1,但(x2 - l,x3 -1) = x-19.数域P上的任意一个不可约多项式p(x)在复数域内没有重根.正确.10.多项式f(x)有重根当且仅当f(x)有重因式.与所考虑的范围有关，在复数域上正确，在其它数域上有重因式未必有重根.三、计算题1.设f (x) = x4 -x3 -x2 +2x-l,g(x) = X3— 2x + l,求(f (x),g(x))以及w(x),v(x),使w(x)f(x) +v(x)g(x) = (f(x),g(x)).解：利用辗转相除法得/■(x) = g(x)0i (x) + * (x) = g(x)(x T) + -X, g(x) = ^(x)^2(x) + ^(x)= (x2 - x)(x +1) - X +1, r^x) = r2 (x)q3 (x) = (-x + l)(-x).因此(f (x), g ⑴)=x — 1.又r(X)= g(X)- * (x)02 (x) = g (x) - (f (x) - g(X)01 (x))02 (x) =-<112(x)f (x) + (1 + 01 (x)02 (x)) .g (x)) = -r(x) = q, (x)/(x) - (1 + (x)^2 (x))g (x) .2所以i/(x) = q2 (x) = x + l,v(x) = —1 —0(x)02(x)= —l-(x — l)(x + l) = -x2.2./(x) = x5 - x3 + 4x2 - 3x + 2(1)判断f(x)在R上有无重因式?如果有，求出所有的重因式及重数；(2)求f(x)在R上的标准分解式.解：(1) f,(x) = 5x4-3x2+8x-3.运用辗转相除法可得:(f(x),f'(x)) = x2—x + 1.r —x + 1为f (x)在R上二重因式.(2)由⑴可得/Xx)在R上的标准分解式为/(x) = (x2 - x + l)2(x + 2).解法2: f(x)的可能有理根为±1,±2,经检验-2为f(x)的有理根，由综合除法可得-210-14-32-2 4 -6 4 -21-23-210因此有f(x) = (x4- 2W + 3x2 — 2% +1)(》+2)=(若 _ * +1)2 (x + 2).若一》+1 为f(x)在R上二重因式.f(x)在R上的标准分解式为f(x) = (x2-x + l)2(x + 2).3.已知f (x) = x3 +6x2 + 3px + 8 ,试确定p的值，使/'(x)有重根，并求其根.解:若f (x)有重根，则/(x) = (x — a)2(x-幻=x3~(2a + b)x2 +(a2 + 2ab)x-a2b.因此有2Q + b =—6, Q = —2,a2 + 2ab = 3p,解得，b = -2，或＜a2b = -8. p = 4.当p = 4时-2为f (x)的3重根;当p = -5时1为f⑴的2重根,-8为单根.解法2:若f(x)有重根，贝I] (f (%),广⑴)丰1.f\x) = 3x2 +12x + 3p =3(x2 +4i + p).f(X)= ! f '(x)(x + 2) + (2p - 8)x + (8 - 2p)=(x2 + 4x + p)(x + 2) + (2p — 8)(x -1),'(-Y)= (x-l)(x + 5) + (p + 5) •当p = 4 时,f (x) = (x + 2)3, 一2 为f(x)的 3 重根；当p = —5 时，(y(w,广⑴) =x-1,1 为/(x)的2 重根，此时/(x) = (x-l)2(x + 8),-8 为单根.4.已知1 -z•是多项式X4-4X3+5X2-2X-2的一个根，求其所有的根.解:由实系数多项式虚根成对性，1 +，也是¥ —4F +5亍_2》一2的根./(x) = x4 -4x3 +5x2 - 2x-2 = (x2 -2x + 2)(x2 -2x-l).因此f(x)的所有根为l-i,l + z,l + V2,l-V2.5.当a,。

第一章多项式练习题

第一章多项式一．填空题1、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。

2、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。

3、设f(x)=x 3+3x 2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b= 。

4、设f(x)=x 4+3x 2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。

5、如果(x 2-1)2|x 4-3x 3+6x 2+ax+b ，则a= b= 。

6、f(x)没有重根的充分必要条件是。

7、如果f(x)=x 3-3x+k 有重根，那么k= 。

8．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)()k f x -的因式9、a 是f(x)的根的充分必要条件是。

10、以l 为二重根，2，1+i 为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。

11．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。

（） 5．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。

6．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。

多项式的运算练习题及解析

多项式的运算练习题及解析一、综合练习题1. 计算多项式 P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 在 x = 2 时的值。

解析：将 x = 2 代入多项式 P(x) 中，得到：P(2) = 3(2)^3 - 2(2)^2 + 5(2) - 1= 3(8) - 2(4) + 10 - 1= 24 - 8 + 10 - 1= 25因此，在 x = 2 时，多项式 P(x) 的值为 25。

2. 将多项式 P(x) = 2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x + 6 与多项式 Q(x) = x^3 - 2x + 5 相加，并将结果化简。

解析：将 P(x) 和 Q(x) 相加，得到：P(x) + Q(x) = (2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x + 6) + (x^3 - 2x + 5)= 2x^4 + 3x^3 + x^3 - 5x^2 - 2x + x + 6 + 5= 2x^4 + 4x^3 - 5x^2 - 2x + 11因此，将多项式 P(x) 和 Q(x) 相加后化简后得到 2x^4 + 4x^3 - 5x^2 - 2x + 11。

3. 将多项式 P(x) = 4x^5 - 6x^4 + 2x^3 - x^2 + 8x - 3 与多项式 Q(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5 相乘，并将结果化简。

解析：将 P(x) 和 Q(x) 相乘，得到：P(x) * Q(x) = (4x^5 - 6x^4 + 2x^3 - x^2 + 8x - 3) * (2x^3 - 3x^2 + 5)= 8x^8 - 12x^7 + 4x^6 - 2x^5 + 16x^4 - 6x^3 - 3x^5 + 4x^4 -x^3 + 5x^2 + 8x - 3化简后，将同类项合并得：P(x) * Q(x) = 8x^8 - 12x^7 + 4x^6 - 5x^5 + 20x^4 - 7x^3 + 5x^2 + 8x - 3因此，将多项式 P(x) 和 Q(x) 相乘并化简后得到 8x^8 - 12x^7 + 4x^6 - 5x^5 + 20x^4 - 7x^3 + 5x^2 + 8x - 3。

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例8. 解：
例9.分解因式 f x x6 4x5 8x4 10x3 8x2 4x 1
提示：先用综合除法求有理根，再结合试用重因式方法。
解: 因为 f (x) 的有理根只可能为 1 ，所以先用综合除法：
1 1 4 8 1 0 8 4 1 1 3 5 5 3 1
1 3 5 5 3 1 0 1 2 3 2 1
1 2 3 2 1 0 1 1 2 0 1 2 0 1 0
得到-1是一个2重根，所以
f (x) (x 1)2(x4 2x3 3x2 2x 1)
最大公因式，互素及不可约多项式等概念之间的联系与区别。
（三）题型归纳
（1）计算问题：带余除法，综合除法，用辗转相除法求最大公因式，
用微商判别多项式是否有重因式、重根；
（2）证明问题：关于多项式的最大公因式与互素的证明问题，整除性
的证明，重根、重因式的证明问题，多项式不可约的证明及其它证明等。
（四）综合举例
于是 f (x) (x 1)2(x2 x 1)2
c)用辗转相除法求最大公因式
例10.设f x x4 x3 4x2 4x 1 , gx x2 x 1，求 ux,vx
使得ux f x vxgx f x, gx。
f (x) (x2 3)g(x) (x 2), g(x) (x 1)(x 2) 1 ( f (x), g(x)) 1 1 (x 1)(x 2) g(x) (x 1)[ f (x) (x2 3)g(x)] g(x) (x 1) f (x) [1 (x 1)(x2 3)]g(x) (x 1) f (x) (x3 x2 3x 2)g(x) 所求的 u(x) (x 1),v(x) x3 x2 3x 2
1 4 10 24c1 2 12
1 6 22c2
2 1 8c3 c4 所以 f (x) 11 24(x 2) 22(x 2)2 8(x 2)3 (x 2)4
4
例4. 解：
b)综合除法
例5.设 f x x4 2x3 2x 5, gx x 2
用gx除f x，求商qx与余式 rx。
提示: 用综合除法做除式为x 2 的带余除法。
解: 1 2 0 2 5 2 ) 2 0 0 4 1 0 0 2 9 故 q(x) x3 2, r(x) 9
(1)计算问题
a)带余除法
例1.用 g(x) 除f (x) ,求商式 q(x) 与余式r(x) ，其中 f (x) 2x3 3x2 5
g(x) x2 2x 1.
提示：采用竖式除法求解。
解 x2 2x 1 2x3 3x2 5 2x3 4x2 2x x2 2x 5 x2 2x 1
考虑
g(x) x4 2x3 3x2 2x 1, g(x) 4x3 6x2 6x 2
用辗转相除法求出
(g(x), g(x)) x2 x 1
所以有理数域上的不可约多项式p(x) x2 x 1是g(x) 的2重因式，因此 g(x) (x2 x 1)2
例6. 解：采用综合除法，可得
例7.将多项式 f x x4 2x2 3 表示成 x 2的方幂之
和的形式。
提示：用综合除法把多项式表示成幂级数。
解:
1 0 2 0 3 2
) 2 4 4 8
1 2 2 4 11c0 2 8 20
第一章多项式习题课
（一）知识结构
数域
带余除法整除定义、定理
多项式除法
性质定义、定理
多项式一元多项式
最大公因式辗转相除法互素
因式分解及唯一性定理
重因式、多项式函数多项式分解
复系数与实系数多项式的因式分解有理系数多项式的因式分解
多元多项式、对称多项式
（二）重难点归纳
重点：一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；难点：最大公因式的定义，一元多项式的整除性，一元多项式的整除、
(8a3 a)x b 2 8a2 因为x2 2ax 2 x4 3x2 ax b故(8a3 a) 0且b 2 8a2 0 故当a 0,b 2或者a 2 ,b 3时, x2 2ax 2 x4 3x2 ax b
2x 1
4x 4
故 2x3 3x2 5 (2x 1)(x2 2x 1) (4x 4),
即商为2x 1,余式为4x 4.
例2.设 f x x4 2x 5, gx x2 x 2，用 gx除f x，
求商式与余式。解：例3问 a, b满足什么条件时，x2 2ax 2 x4 3x2 ax b.
提示：采用竖式除法及带余除法定理求解即可。
解： x2 3 x4 x3 4x2 4x 1 x2 x 1 x 1 q1(x) x4 x3 x2 x2 2x q2 (x) 3x2 4x 1 x 1 3x2 3x 1 x 2 r1(x) x 2 r2 (x) 1
提示：采用竖式除法。
解 x2 2ax 2 x4 3x2 ax b x2 2ax (1 4a2 ) x4 2ax3 2x2
2ax3 x2 ax b 2ax3 4a2 x2 4ax
(1 4a2 )x2 3ax b (1 4a2 )x2 (2a 8a3)x (2 8a2 )