福建省永安一中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
数学丨福建省永安一中2021届高三上学期期中考试数学试卷及答案
永安一中2020—2021学年高三上学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟 总分150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的. 1．已知集合{}{}2|4,|3A x R x B x N x =∈≤=∈≤，则A B =A ．(]0,2B ．[]0,2C ．{}1,2D ．{}0,1,22．已知双曲线的渐近线方程为x y 33±=，一个焦点()0,2F ，则该双曲线的虚轴长为 A ．1B ．3 C ．2 D ．32 3．若a R ∈，则“复数32aiz i-=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a >”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知实数x ，y 满足0010360x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，，则23z y x =-的最大值为A ．0B ．2C ．4D ．65．如图所示的流程图中，输出d 的含义是 A.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离 B.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离的平方 C.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离的倒数 D.两条平行线间的距离6．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12,3432=+=a a S ，则公比=qA ．4±B ．4C ．2±D ．2 7．函数2ln x x y -=的图象大致为8.直线02=++y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心角为A ．6πB ．3π C ．2π D ．32π9．已知等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，G 为EF 的中点，若记a AB =，ADb =，则AG =A ．3384a b +B ．3182a b +C ．1324a b +D ．1348a b +10．已知()f x 是奇函数，且当0>x 时()24xf x =-，则不等式()02>-x f 的解集为A ．{}|04x x x <>或B ．{}|024x x x <<>或 C ．{}|04x x x <>或 D ． {}|22x x x <->或 11．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在(]0,2上恰有一个最大值1和一个最小值1-，则ω的取值范围是 A ．513,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．513,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦C ．713,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．713,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦12．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，则实数a 的取值范围为A ．2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.13．已知53cos -=α，παπ≤≤2，则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．14. 已知21,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若021=⋅PF PF 且212PF PF =，则C的离心率为．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其首项11a =，且满足()32n n S n a =+，则n a =_______． 16．已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面,ABCD PE BC ⊥于点E ，2,3,6,1====PE BC AB EC ，则四棱锥P ABCD -外接球的半径为______.三、解答题：共70分。
2020-2021学年福建省永安市第一中学高一上学期期中考试 数学
永安一中2020-2021学年上学期期中考试高一数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个符合要求.1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,,3,6,72,3,4,5B U A ===，，则U AC B =A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,72. 命题:,||0p x R x x ∀∈+≥，则A ．:,||0p x R x x ⌝∃∈+>B ．:,||0p x R x x ⌝∃∈+<C ．:,||0p x R x x ⌝∃∈+≤D ．:,||0p x R x x ⌝∃∈+≥ 3.已知函数221,0()1,0x x f x xx ，则((1))f fA. 0B. 1C. 1D. 24.函数||yx x 的图象大致是A B C D 5. 设x R ∈，则“05x <<”是“()211x -<”的A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，2()2f x x x ，则函数f (x )在R 上的解析式是A ．()(2)f x x x B ．()(||2)f x x x C ．()||(2)f x x x D ．()||(||2)f x x x7.若函数k kx x x f 24)(2+-=在]2,1[-上为单调函数，则实数k 的取值范围为A.),16[+∞B.]8,(--∞C. ]16,8[-D. ]8,(--∞ ),16[+∞ 8．已知)(x f 是奇函数，且在0,上是增函数，又(2)0f ，则()01f x x 的解集为A ．2,01,2B ．2,02,C ．,21,2D ．1,22,二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得3分，错选得0分.9. 已知集合B A ,,全集为U ，下列结论正确的有A ．若B A ⊆,则A B A = ，且B B A = ； B ．若B A B A =,则B A =; C.)()(B A B A ⊆ D ．集合=A },,{c b a 的真子集有6个 ; 10.已知110a b，则下列选项正确的是 A ．a b B ．a bab C ．ab D ． 2ab b11.下列命题中错误的是A ．若函数()f x 的定义域为1,2，则函数(1)f x 的定义域为2,3；B ．若函数()f x 的值域为1,2，则函数(1)f x 的值域域为2,3；C ．若函数2()1f x x mx 是偶函数，则函数()f x 的减区间是,0；D ．函数(1),0()(1),0x x x f x x x x 是奇函数.12.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y ，当0x 时，()0f x ，则函数()f x 满足A.(0)0fB. ()y f x 是奇函数C. ()f x 在,m n 上有最大值()f nD.(1)0f x 的解集为,1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知b 克糖水中有a 克糖(b ＞a ＞0)，若再添上m 克糖(m ＞0)（假设全部溶解），则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为a ＋m b ＋m_______ ab ．(填“>”“<”或“＝”)14.函数2()xf x 的定义域为 . 15．若a >0，b >0，且a ＋2b －4＝0，则ab 的最大值为________；1a ＋2b的最小值为________．16.若函数)(x f 为定义域D 上的单调函数，且存在区间D b a ⊆],[(其中b a <)，使得当∈x ],[b a 时，)(x f 的取值范围恰为],[b a ，则称函数)(x f 是D 上的正函数.若函数m x x g +=2)(是)0,(-∞上的正函数，则实数m 的取值范围是 .四、解答题：本大题共6个大题，满分70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.（10分）已知集合{|13},{|2},{|}A x x B x x C x x a ,全集R U =（1）求B A C U )(； （2）若R C B A = ,求实数a 的取值范围。
2021学年福建省三明市永安一中高三(上)期中数学试卷
2021学年福建省三明市永安一中高三（上）期中数学试卷包治百病的烧仙草高考数学试卷共享2021-03-31原文注：文末有完整版电子打印资料的获取方式。
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无偿分享！11【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点，求出k的范围即可．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查转化思想，是中档题．12【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积．【分析】由题意画出图形，设AD＝a，由四棱锥外接球的体积求解a，再由矩形及三角形面积公式求四棱锥的表面积．【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查多面体的表面积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【分析】利用向量的数量积转化求解即可．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力，是基础题．14【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，求出函数的极值点，列出方程组求解即可．【点评】本题考查函数的极值的求法，切线方程的应用，是中档题．15【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的综合．【分析】直线x＝my+1过（1，0），求出p＝2，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线x＝my+1与抛物线y2＝4x联立，结合韦达定理，然后求解直线的斜率即可．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直．【分析】对于①，当P在C点时，DD1⊥AC，可得异面直线AC与DD1所成的角最大，当P在B1点时，异面直线AB1与DD1所成的角最小，即可判断出结论．对于②，利用BD1⊥平面A1C1D，即可判断出结论；对于③，由B1C∥平面A1C1D，可得点P到平面A1C1D的距离为定值，且等于BD1的，即可判断出正误；对于④，直线AP与平面BCC1B1所成的角为∠APB，，当BP⊥B1C 时，BP最小，tan∠APB最大，即可判断出正误．【点评】本题考查了空间角、空间距离，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．2.解答17【考点】函数的定义域及其求法；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）a＝1时函数f（x）＝﹣x，令|x+1|﹣1≥0求出解集即可．（2）化简f（x）＝a，利用换元法求出a的解析式，再根据题意求出a的取值范围．【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也运算求解能力，是中档题．用户设置不下载评论。
福建省永安市第一中学2020届高三上学期期中考试数学(文科)试题(解析版)
2019-2020学年福建省三明市永安一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|−2≤x <3, x ∈Z}，B ＝{−3, −1, 0, 2, 3, 4}，则A ∩B ＝（ ） A.{−1, 0, 2, 3} B.{−1, 0, 2} C.{−1, 2, 3} D.{0, 2, 3}2. 已知复数z =1+i2−i −i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ¯为（ ） A.25−15iB.25+15iC.15−25iD.15+25i3. 若向量m →=(0, −2)，n →=(√3, 1)，则与2m →+n →共线的向量可以是（ ） A.(√3, −1) B.(−1, √3)C.(−√3, −1)D.(−1,−√3)4. 已知命题p ：“x >1”，命题q ：“1x <1”，则p 是q 的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 设实数x ，y 满足{2x +y ≥43x −y ≥1x −2y ≤2 ，则目标函数z ＝x +y( )A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最小值−1，最大值3D.既无最小值，也无最大值6. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(a 2+c 2)−ac =2b 2，则sin B =( ) A.14 B.12C.√154 D.√327. 将函数f(x)=2cos (x +π6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y ＝g(x)的图象，则函数y ＝g(x)的图象的一个对称中心是（ ） A.(11π12,0)B.(π6,0)C.(π12,0)D.(5π12,0)8. 已知集合A −{1，2，3，4，5，6，7，8，9)，在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)（例如a =219，则I(a)=129，D(a)=921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（ ）A.792B.693C.594D.4959. 一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A.8−2π3 B.4−π3C.8−π3D.4−2π310. 已知定义域为R 的函数f(x)恒满足f(−x)−f(x)＝0且当x ≥0时，f(x)=√x −2−x ，设a ＝f(−31.2)，b ＝f(−30.2)，c ＝f(log 30.2)，则（ ） A.c >a >b B.a >b >c C.c >b >a D.a >c >b11. 已知数列{a n }的首项a 1＝35，且满足a n −a n−1＝2n −1，则ann 的最小值为（ ）A.2√34B.595C.353D.1212. 已知函数f(x)={2x −1(x >−1)e x (x ≤−1) ，若a <b ，f(a)＝f(b)，则实数a −2b 的取值范围为（ ）A.(−∞,1e −1)B.(−∞,−1e)C.(−∞,−1e−2)D.(−∞,−1e−2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13 已知向量a →与b ¯的方向相反，|a →|＝1，|b →|＝2，则|a →−2b →|＝________14 已知sin α−cos α＝0，则cos (2α+π2)＝________．15 各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4+a 2a 6a 2a 6+a 4a 5=________．16 在三棱锥V −ABC 中，面VAC ⊥面ABC ，VA ＝AC ＝2，∠VAC ＝120∘，BA ⊥BC 则三棱锥V −ABC 的外接球的表面积是________．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17 已知等差数列{a n }中，a 2＝3，a 4+a 6＝18． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅰ)若数列{b n }满足：b n+1＝2b n ，并且b 1＝a 5，试求数列{b n }的前n 项和S n ．18 已知函数f(x)=sin 2ωx +√3sin ωx sin (ωx +π2)(ω>0)的最小正周期为π （1）求f(x)；（2）当x ∈[−π12,π2]时，求函数f(x)的值域．19 如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC =√7,EA=2,∠ADC =2π3,∠BEC =π3．（1）求sin ∠CED 的值；（2）求BE 的长．20 如图，四棱锥P −ABCD 中，AB // CD ，AB =12CD ＝1，E 为PC 中点．（1）证明：BE // 平面PAD ；（2）若△PBC 是边长为2的正三角形，AB ⊥平面PBC ，求点E 到平面PAD 的距离．21 设f(x)=ln xx−1(x >1)(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性；(Ⅰ)是否存在实数a 、使得关于x 的不等式ln x <a(x −1)在(1, +∞)上恒成立，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，试说明理由；请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4：坐标系与参数方程]22在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =1−12ty =√32t（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅰ)若点P 的直角坐标为(1, 0)，曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值． [选修4-5：不等式选讲]23已知函数f(x)＝|x −1|．(Ⅰ)解关于x 的不等式f(x)+x 2−1>0；(Ⅰ)若g(x)＝−|x +4|+m ，f(x)<g(x)的解集非空，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年福建省三明市永安一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 B【考点】 交集及其运算 【解析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【解答】Ⅰ A ＝{−2, −1, 0, 1, 2}，B ＝{−3, −1, 0, 2, 3, 4}， Ⅰ A ∩B ＝{−1, 0, 2}． 2.【答案】 D【考点】 复数的运算 【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】 由z =1+i 2−i −i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)−i =15+35i −i =15−25i ，Ⅰ z ¯=15+25i ． 3.【答案】 B【考点】平行向量（共线） 【解析】可求出2m →+n →=−√3(−1,√3)，从而得出向量2m →+n →与(−1,√3)共线． 【解答】2m →+n →=(√3,−3)=−√3(−1,√3)； Ⅰ 2m →+n →与(−1,√3)共线． 4. 【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】解出关于q 的x 的范围，结合集合的包含关系，判断即可． 【解答】命题p ：“x >1”，命题q ：“1x <1”，即x >1或x <0，故p 是q 的充分不必要条件， 5.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最值． 【解答】作出实数x ，y 满足{2x +y ≥43x −y ≥1x −2y ≤2 对应的平面区域如图：（阴影部分）由z ＝x +y 得y ＝−x +z ，平移直线y ＝−x +z ，由图象可知当直线y ＝−x +z 经过点A 时，直线y ＝−x +z 的截距最小， 此时z 最小．由{2x +y =4x −2y =2 解得A(2, 0)．代入目标函数z ＝x +y 得z ＝2．即目标函数z ＝x +y 的最小值为2．没有最大值． 6.【答案】 C【考点】 余弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】利用余弦定理，结合条件，两边除以ac ，求出cos B ，即可求出sin B 的值． 【解答】解：在△ABC 中，由余弦定理得： a 2+c 2−b 2=2ac cos B ，代入已知等式得：2ac cos B =12ac ， 即cos B =14， Ⅰ sin B =√1−116=√154， 故选C ．7.【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据三角函数的平移变换规律求解g(x)，结合三角函数的性质即可求解一个对称中心．【解答】函数f(x)=2cos(x+π6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得y＝2cos(2x+π6)，即g(x)＝2cos(2x+π6)，令2x+π6=π2+kπ，k∈Z．得：x=12kπ+π6，当k＝0时，可得一个对称中心为(π6, 0)．8.【答案】D【考点】程序框图【解析】利用验证法判断求解即可．【解答】解：A，如果输出b的值为792，则a=792，I(a)=279，D(a)=972，b=D(a)−I(a)=972−279=693，不满足题意．B，如果输出b的值为693，则a=693，I(a)=369，D(a)=963，b=D(a)−I(a)=963−369=594，不满足题意．C，如果输出b的值为594，则a=594，I(a)=459，D(a)=954，b=D(a)−I(a)=954−459=495，不满足题意．D，如果输出b的值为495，则a=495，I(a)=459，D(a)=954，b=D(a)−I(a)=954−459=495，满足题意．故选D．9.【答案】A【考点】由三视图求体积（切割型）【解析】根据三视图可得该几何体是由棱长为2的几何体挖去两个圆锥所得，利用正方体、圆锥体积公式即可计算．【解答】解：根据三视图可得该几何体是由棱长为2的几何体挖去两个圆锥所得，如图，则该几何体的体积为V=2×2×2−2×13π×12×1=8−2π3．故选A.10.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，分析可得f(x)为偶函数且在[0, +∞)上为增函数，又由a＝f(−31.2)＝f(31.2)，c＝f(log30.2)＝f(−log35)＝f(log35)，且3−0.2<1<log35<3<31.2，据此分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)恒满足f(−x)−f(x)＝0，即f(x)＝f(−x)，则函数f(x)为偶函数，又由当x≥0时，f(x)=√x−2−x，易得f(x)在[0, +∞)上为增函数，a＝f(−31.2)＝f(31.2)，c＝f(log30.2)＝f(−log35)＝f(log35)，又由3−0.2<1<log35<3<31.2，则a>c>b；11.【答案】C【考点】数列递推式【解析】运用累加法和等差数列的求和公式，可得a n，再由基本不等式和n＝5，6时，a nn的值，即可得到所求最小值．【解答】数列{a n}的首项a1＝35，且满足a n−a n−1＝2n−1，可得a n＝a1+(a2−a1)+(a3−a2)+...+(a n−a n−1)＝34+(1+3+5+...+2n−1)＝34+12n(1+2n−1)＝34+n2，则a nn=n+34n≥2√34，此时n=34n，解得n不为自然数，由于n为自然数，可得n＝5时，5+345=595；n ＝6时，6+346=353<595，则an n 的最小值为353，12. 【答案】 D【考点】 函数的求值 求函数的值 【解析】画出函数f(x)={2x −1(x >−1)e x (x ≤−1) 的图象，结合a <b ，且f(a)＝f(b)，表示出a −2b ，利用导数法求出其上确界，可得答案． 【解答】函数f(x)={2x −1(x >−1)e x (x ≤−1)的图象如下图所示：若a <b ，f(a)＝f(b)，则2b −1＝e a ，则a −2b ＝a −e a −1，a ≤−1， 令y ＝a −e a −1，a ≤−1， 则y′＝1−e a ，a ≤−1， 此时e a ≤1e ，则y′>0恒成立， 故y ＝a −e a −1<y|a ＝−1=−1e −2， 即实数a −2b 的取值范围为(−∞, −1e −2)，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 13【答案】5【考点】向量加减混合运算及其几何意义 【解析】根据向量a →与b ¯的方向相反，得到a →与b ¯的数量积，然后再算出|a →−2b →|即可． 【解答】Ⅰ 向量a →与b ¯的方向相反，|a →|＝1，|b →|＝2， Ⅰ a →⋅b →=|a|→|b|→cos π=−2，Ⅰ |a →−2b →|=√a →2−4a →⋅b →+4b →2 =√1−4×(−2)+16=5． 【答案】 −1【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由条件可知sin 2α＝1，又cos (2α+π2)＝−sin 2α，所以答案为−1．【解答】因为sin α−cos α＝0，所以(sin α−cos α)2＝sin 2α+cos 2α−2sin αcos α＝1−sin 2α＝0， 即有sin 2α＝1，则cos (2α+π2)＝−sin 2α＝−1， 14【答案】√5−12【考点】等比数列的通项公式 【解析】根据等差中项的定义建立方程关系，结合等比数列的通项公式求出公比即可． 【解答】解：Ⅰ a 2，12a 3，a 1成等差数列， Ⅰ a 2+a 1=2×12a 3=a 3，即a 1q 2−a 1−a 1q =0， 即q 2−q −1=0， 解得q =1−√52或√5+12， Ⅰ 各项均为正数， Ⅰ q >0，Ⅰ q =√5+12， Ⅰ a 3a 4+a 2a6a 2a 6+a 4a 5=1q =√5−12， 故答案为：√5−12． 15【答案】16π【考点】球的表面积和体积 【解析】设AC 中点为M ，VA 中点为N ，过M 作面ABC 的垂线，球心O 必在该垂线上，连接ON ，则ON ⊥AV ． 可得OA ＝2，即三棱锥V −ABC 的外接球的半径为2，即可求出三棱锥的外接球表面积． 【解答】如图，设AC 中点为M ，VA 中点为N ，Ⅰ 面VAC ⊥面ABC ，BA ⊥BC ，Ⅰ 过M 作面ABC 的垂线， 球心O 必在该垂线上，连接ON ，则ON ⊥AV ． 在Rt △OMA 中，AM ＝1，∠OAM ＝60∘，Ⅰ OA ＝2，即三棱锥V −ABC 的外接球的半径为2， Ⅰ 三棱锥V −ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16【答案】（I ）设数列{a n }的公差为d ，根据题意得：{a 1+d =32a 1+8d =18解得：{a 1=1d =2，Ⅰ 通项公式为a n ＝2n −1(II)）Ⅰ b n+1＝2b n ，b 1＝a 5＝9Ⅰ {b n }是首项为9公比为2的等比数列 Ⅰ s n =9(1−2n )1−2=9×2n −9【考点】 数列的求和等差数列的通项公式 【解析】（I ）设数列{a n }的公差为d ，根据题意得：{a 1+d =32a 1+8d =18，解方程可求a 1及d ，从而可求通项(II)）由b n+1＝2b n ，可得{b n }是公比为2的等比数列，结合已知求出首项后，代入等比数列的求和公式即可求解 【解答】（I ）设数列{a n }的公差为d ，根据题意得：{a 1+d =32a 1+8d =18解得：{a 1=1d =2，Ⅰ 通项公式为a n ＝2n −1(II)）Ⅰ b n+1＝2b n ，b 1＝a 5＝9Ⅰ {b n }是首项为9公比为2的等比数列 Ⅰ s n =9(1−2n )1−2=9×2n −917【答案】 f(x)=1−cos 2ωx2+√3sin ωx cos ωx =√32sin 2ωx −12cos 2ωx +12=sin (2ωx −π6)+12．Ⅰ 函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0， Ⅰ 2π2ω=π，解得ω＝1． Ⅰ f(x)=sin (2x −π6)+12． Ⅰ x ∈[−π12,π2]，Ⅰ 2x −π6∈[−π3,5π6]．根据正弦函数的图象可得：当2x −π6=π2，即x =π3时，g(x)=sin (2x −π6)取最大值1 当2x −π6=−π3，即x =−π12时g(x)=sin (2x −π6)取最小值−√32． Ⅰ 12−√32≤sin (2x −π6)+12≤32，即f(x)的值域为[1−√32,32]．【考点】正弦函数的定义域和值域 二倍角的三角函数【解析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，然后利用正弦函数的最小正周期求得ω，则函数解析式可得．（2）根据x 的范围可确定2x −π6的范围，进而根据正弦函数的单调性求得函数的最大值和最小值，则函数的值域可得． 【解答】 f(x)=1−cos 2ωx2+√3sin ωx cos ωx =√32sin 2ωx −12cos 2ωx +12=sin (2ωx −π6)+12．Ⅰ 函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0， Ⅰ2π2ω=π，解得ω＝1．Ⅰ f(x)=sin (2x −π6)+12． Ⅰ x ∈[−π12,π2]，Ⅰ 2x −π6∈[−π3,5π6]．根据正弦函数的图象可得：当2x −π6=π2，即x =π3时，g(x)=sin (2x −π6)取最大值1当2x −π6=−π3，即x =−π12时g(x)=sin (2x −π6)取最小值−√32． Ⅰ 12−√32≤sin (2x −π6)+12≤32，即f(x)的值域为[1−√32,32]．18【答案】在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2+ED 2−2CD ⋅DE cos ∠CDE ， 即7＝CD 2+1+CD ，则CD 2+CD −6＝0， 解得CD ＝2或CD ＝−3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得ECsin∠EDC =CDsinα，于是sinα=CD sin2π3EC=2⋅√32√7=√217，即sinα=√217．由题意知0<α<π3，于是由（1）知，cosα=√1−sin2α=√1−2149=2√77，而∠AEB=2π3−α，所以cos∠AEB＝cos(2π3−α)=cos2π3cosα+sin2π3sinα=−12×2√77+√32⋅√217=√714，在Rt△EAB中，cos∠AEB=EABE =2BE，故BE=2cos∠AEB =√714=4√7．【考点】三角形的面积公式解三角形【解析】（1）设∠CED＝α，在△CDE中，由正弦定理化简可得答案（2）由题意知0<α<π3，求解cosα，而∠AEB=2π3−α，利于和与差的公式求解cos∠AEB，利于直接三角形的性质即可求解BE的长．【解答】在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2+ED2−2CD⋅DE cos∠CDE，即7＝CD2+1+CD，则CD2+CD−6＝0，解得CD＝2或CD＝−3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得ECsin∠EDC =CDsinα，于是sinα=CD sin2π3EC=2⋅√32√7=√217，即sinα=√217．由题意知0<α<π3，于是由（1）知，cosα=√1−sin2α=√1−2149=2√77，而∠AEB=2π3−α，所以cos∠AEB＝cos(2π3−α)=cos2π3cosα+sin2π3sinα=−12×2√77+√32⋅√217=√714，在Rt△EAB中，cos∠AEB=EABE =2BE，故BE=2cos∠AEB =√714=4√7．19【答案】证明：取PD的中点F，连结EF，AF，Ⅰ E为PC的中点，Ⅰ EF // CD，且EF=12CD．又Ⅰ AB // CD，且AB=12CD，Ⅰ EF // AB，且EF＝AB，故四边形ABEF为平行四边形，Ⅰ BE // AF，又BE⊄平面BEP，AF⊂平面BEP，Ⅰ BE // 平面PAD．由（1）得BE // 平面PAD，故点B到PAD的距离等于点E到平面PAD的距离，取BC的中点G，连接PG，Ⅰ AB⊥平面PBC，AB在平面ABCD内，Ⅰ 平面ABCD⊥平面PBC，又△PBC是边长为2的正三角形，Ⅰ PG=√3，BC＝2，且PG⊥BC，Ⅰ 平面ABCD∩平面PBC＝BC，Ⅰ PG⊥平面ABCD，又在直角梯形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，Ⅰ AD=√5，S△ABD=12AB⋅BC=12⋅1⋅2=1，Ⅰ AB⊥PB，AB＝1，PB＝PC＝2，CD＝2，Ⅰ PA=√5,PD=2√2，Ⅰ S△APD=12⋅2√2⋅√(√5)2−(√2)2=√6，设点B到平面PAD的距离为ℎ，Ⅰ 13⋅S△APD⋅ℎ=13⋅S△ABD⋅PG，Ⅰ ℎ=S△ABD⋅PGS△APD=√22，即点E到平面PAD的距离为√22．【考点】直线与平面平行点、线、面间的距离计算【解析】（1）取PD的中点F，可证EF // AB，且EF＝AB，即四边形ABEF为平行四边形，由此得到BE // AF，由此得证；（2）易知，点B到PAD的距离等于点E到平面PAD的距离，再利用等体积法求解即可．【解答】证明：取PD的中点F，连结EF，AF，Ⅰ E为PC的中点，Ⅰ EF // CD，且EF=12CD．又Ⅰ AB // CD，且AB=12CD，Ⅰ EF // AB，且EF＝AB，故四边形ABEF为平行四边形，Ⅰ BE // AF，又BE⊄平面BEP，AF⊂平面BEP，Ⅰ BE // 平面PAD．由（1）得BE // 平面PAD，故点B到PAD的距离等于点E到平面PAD的距离，取BC的中点G，连接PG，Ⅰ AB⊥平面PBC，AB在平面ABCD内，Ⅰ 平面ABCD⊥平面PBC，又△PBC是边长为2的正三角形，Ⅰ PG=√3，BC＝2，且PG⊥BC，Ⅰ 平面ABCD∩平面PBC＝BC，Ⅰ PG⊥平面ABCD，又在直角梯形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，Ⅰ AD=√5，S△ABD=12AB⋅BC=12⋅1⋅2=1，Ⅰ AB⊥PB，AB＝1，PB＝PC＝2，CD＝2，Ⅰ PA=√5,PD=2√2，Ⅰ S△APD=12⋅2√2⋅√(√5)2−(√2)2=√6，设点B到平面PAD的距离为ℎ，Ⅰ 13⋅S△APD⋅ℎ=13⋅S△ABD⋅PG，Ⅰ ℎ=S△ABD⋅PGS△APD =√22，即点E到平面PAD的距离为√22．21【答案】证明：（1）Ⅰ f(x)=ln xx−1,(x>1)Ⅰ f′(x)=1−1x−ln x(x−1)2，设g(x)=1−1x−ln x,(x≥1)．Ⅰ g′(x)=1x2−1x=1−xx2≤0，Ⅰ y＝g(x)在[1, +∞)上为减函数．Ⅰ g(x)=1−1x−ln x≤g(1)=0，Ⅰ f′(x)=1−1x−ln x(x−1)2<0Ⅰ 函数f(x)=ln xx−1在(1, +∞)上为减函数．(2)ln x<a(x−1)在(1, +∞)上恒成立，⇔ln x−a(x−1)<0在(1, +∞)上恒成立，设ℎ(x)＝ln x−a(x−1)，则ℎ(1)＝0，Ⅰ ℎ(x)=1x−a，若a≤0显然不满足条件，若a≥1，则x∈[1, +∞)时，ℎ(x)=1x−a≤0恒成立，Ⅰ ℎ(x)＝ln x−a(x−1)在[1, +∞)上为减函数Ⅰ ln x−a(x−1)<ℎ(1)＝0在(0, +∞)上恒成立，Ⅰ ln x<a(x−1)在(1, +∞)上恒成立，若0<a<1，则ℎ(x)=1x−a=0时，x=1a，Ⅰ x∈[1,1a)时ℎ′(x)≥0，Ⅰ ℎ(x)＝ln x−a(x−1)在[1,1a)上为增函数，当x∈[1,1a)时，ℎ(x)＝ln x−a(x−1)>0，不能使ln x<a(x−1)在(1, +∞)上恒成立，Ⅰ a≥1【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）对f(x)求导后，构造新的函数g(x)，利用导数求解函数单调的方法步骤进行求解．（2）根据已知ln x<a(x−1)在(1, +∞)上恒成立等价于ln x−a(x−1)<0在(1, +∞)上恒成立，构造新的函数ℎ(x)＝ln x−a(x−1)，本题所要求的a的取值范围，只需满足一个条件：使得ℎ(x)在定义域内为减函数即可．【解答】证明：（1）Ⅰ f(x)=ln xx−1,(x>1)Ⅰ f′(x)=1−1x−ln x(x−1)2，设g(x)=1−1x−ln x,(x≥1)．Ⅰ g ′(x)=1x2−1x=1−x x 2≤0，Ⅰ y ＝g(x)在[1, +∞)上为减函数． Ⅰ g(x)=1−1x −ln x ≤g(1)=0， Ⅰ f ′(x)=1−1x−ln x (x−1)2<0Ⅰ 函数f(x)=ln xx−1在(1, +∞)上为减函数．(2)ln x <a(x −1)在(1, +∞)上恒成立，⇔ln x −a(x −1)<0在(1, +∞)上恒成立， 设ℎ(x)＝ln x −a(x −1)，则ℎ(1)＝0， Ⅰ ℎ(x)=1x −a ， 若a ≤0显然不满足条件，若a ≥1，则x ∈[1, +∞)时，ℎ(x)=1x −a ≤0恒成立， Ⅰ ℎ(x)＝ln x −a(x −1)在[1, +∞)上为减函数 Ⅰ ln x −a(x −1)<ℎ(1)＝0在(0, +∞)上恒成立， Ⅰ ln x <a(x −1)在(1, +∞)上恒成立， 若0<a <1，则ℎ(x)=1x−a =0时，x =1a，Ⅰ x ∈[1,1a )时ℎ′(x)≥0，Ⅰ ℎ(x)＝ln x −a(x −1)在[1,1a )上为增函数， 当x ∈[1,1a )时，ℎ(x)＝ln x −a(x −1)>0，不能使ln x <a(x −1)在(1, +∞)上恒成立， Ⅰ a ≥1请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22【答案】（1）直线l 的参数方程为{x =1−12ty =√32t（t 为参数），消去参数， 可得直线l 的普通方程为：√3x +y −√3=0曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ，即 ρ2＝6ρcos θ，化为直角坐标方程为 x 2+y 2＝6x ， 即圆C 的直角坐标方程为：(x −3)2+y 2＝9（2）把直线的参数方程代入圆C 的方程，化简得：t 2+2t −5＝0 所以，t 1+t 2＝−2，t 1t 2＝−5<0所以|PA|+|PB|＝|t 1|+|t 2|＝|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√6⋯ 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)直接由直线的参数方程消去参数t 得到直线的普通方程；把等式ρ＝6cos θ两边同时乘以ρ，代入x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2+y 2得答案；(Ⅰ)把直线的参数方程代入圆的普通方程，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求得|PA|+|PB|的值．【解答】（1）直线l 的参数方程为{x =1−12ty =√32t（t 为参数），消去参数， 可得直线l 的普通方程为：√3x +y −√3=0曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ，即 ρ2＝6ρcos θ，化为直角坐标方程为 x 2+y 2＝6x ， 即圆C 的直角坐标方程为：(x −3)2+y 2＝9（2）把直线的参数方程代入圆C 的方程，化简得：t 2+2t −5＝0 所以，t 1+t 2＝−2，t 1t 2＝−5<0所以|PA|+|PB|＝|t 1|+|t 2|＝|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√6⋯ [选修4-5：不等式选讲]23【答案】（1）由题意原不等式可化为：|x −1|>1−x 2，即x −1>1−x 2或x −1<x 2−1，解得：x >1或x <−2，或x >1或x <0， 综上原不等式的解为{x|x >1或x <0}；（2）原不等式等价于|x −1|+|x +4|<m 的解集非空，令ℎ(x)＝|x −1|+|x +4|，即ℎ(x)＝(|x −1|+|x +4|)min <m ， 所以即ℎ(x)min ＝5， 所以m >5． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 其他不等式的解法 分段函数的应用【解析】(Ⅰ)去掉绝对值，求出各个范围内的x 的范围取并集即可；(Ⅰ)）问题转化为(|x −1|+|x +4|)min <m ，从而求出m 的范围即可． 【解答】（1）由题意原不等式可化为：|x −1|>1−x 2，即x −1>1−x 2或x −1<x 2−1，解得：x >1或x <−2，或x >1或x <0， 综上原不等式的解为{x|x >1或x <0}；（2）原不等式等价于|x −1|+|x +4|<m 的解集非空，令ℎ(x)＝|x −1|+|x +4|，即ℎ(x)＝(|x −1|+|x +4|)min <m ， 所以即ℎ(x)min ＝5， 所以m >5．。
福建省永安市第一中学2020届高三上学期期中考试 数学(文) Word版含答案
永安一中2020届高三上学期期中考试数学试题（文科）（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}23,,3,1,0,2,3,4A x x x z B =-≤<∈=--，则AB =A. {}1,0,2,3-B. {}1,0,2-C. {}1,2,3-D. {}0,2,3 2．已知复数1(2iz i i i+=--为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 A. 2155i - B. 2155i + C. 1255i - D. 1255i +3．若向量)1,3(),2,0(=-=，则与n m +2共线的向量可以是A.（3，-1）B.（-1，3）C.（-3，-1）D.（3-1-，） 4．已知命题1:1,:1p x q x><，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件5．设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+221342y x y x y x ，则目标函数z x y =+A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最小值-1，最大值3D.既无最小值，也无最大值6．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2222()2a c ac b +-=，则sin B ＝A.14B.12D. 34 7．将函数()2cos()6f x x π=+图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的图象的一个对称中心是A ．(,0)6πB ．11(,0)12πC ．(,0)12πD ．5(,0)12π8．已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =，在集合A 中任取三个 元素，分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数，记 这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的 三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例 如219a =，则 ()129I a =，()921D a =），阅读如图所 示的程序框图，运行相应的 程序，任意输入一个a ，则输 出b 的值为A ．792B ．693C ．594D ．4959．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则 该几何体的体积为 A. 38π- B. 328π-C.348π- D. π28- 10．已知定义域为R 的函数)(x f 恒满足0)()(=--x f x f 且当0≥x 时，x x x f --=2)(，设 )2.0(log ),3(),3(32.02.1f c f b f a ==-=-， 则A.c a b >>B. a b c >>C. c a b >>D. a c b >> 11．已知数列{}n a 的首项135a =，且满足121(2)n n a a n n --=-≥，则na n的最小值为 A． B ．595 C ．353D ．12 12．已知函数()()()2111x x x f x ex ->-⎧⎪=⎨≤-⎪⎩，若()(),a b f a f b <=，则实数2a b -的取值范围是A. 1,1e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. 1,2e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D. 1,2e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13．已知向量a 与b 的方向相反，2||,1||==b a ，则=-|2|b a . 14．已知0cos sin =-αα，则cos(2)2πα+= .15．各项均为正数的等比数列{}n a 的公比2311,,,2q a a a 1≠成等差数列，则34262645a a a a a a a a ++= .16．在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，120VAC ∠=︒，BA BC ⊥ 则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是___ ___.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 中，23a = ，4618a a +=.(1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：12n n b b +=，并且15b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（12分）已知函数)0)(2sin(sin 3sin )(2>++=ωπωωωx x x x fπ的最小正周期为(1）求);(x f (2）当)(,]2,12[x f x 求函数时ππ-∈的值域.19．（12分）在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，1DE =，EC =2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=．(1)求sin CED ∠的值； (2)求BE 的长．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，112AB CD ==，E 为PC 中点．（1）证明：BE ∥平面PAD ； （2）若PBC △是边长为2的正三角形，AB ⊥平面PBC ，求点E 到平面PAD 的距离． 21．（12分）设)1(1ln )(>-=x x xx f(1)判断函数)(x f 的单调性；(2)是否存在实数a ,使得关于x 的不等式)1(ln -<x a x 在(1，∞+)上恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，试说明理由.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2）若点P 的直角坐标为()1,0，曲线C 与直线l 交于,A B 两点，求PA PB +的值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数() 1.f x x =-(1）解关于x 的不等式()210f x x +->(2）若()()()4,g x x m f x g x =-++<的解集非空，求实数m 的取值范围.参考答案二、填空题：13．5； 14．－1； 15．12； 16．16π. 三、解答题：17．解：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意得：113,2818,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：112a d =⎧⎨=⎩， ………………………………………5分 {}n a ∴的通项公式为21n a n =- ……………………………………………………6分(Ⅱ） 12n n b b +=，159b a =={}n b ∴是首项为9公比为2的等比数列 ………………………………9分 9(12)12n n S ⨯-∴-＝＝929n ⨯- ………………………………12分18．解：（1）x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=.21)62sin(212cos 212sin 23+-=+-=πωωωx x x ……………………3分 ,0,)(>ωπ且的最小正周期为函数x f .1,22==∴ωπωπ解得…………4分.21)62sin()(+-=∴πx x f ……………………………………5分(2）].65,3[62],2,12[πππππ-∈-∴-∈x x……………………………………7分当3,262πππ==-x x 即时，)62sin()(π-=x x g 取最大值1 ……………9分当12,362πππ-=-=-x x 即时.23)62sin()(--=取最小值πx x g ……11分,2321)62sin(2321≤+-≤-∴πx ………………………………12分19．解：(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD·DE·cos ∠EDC ，………1分于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． …………………………………………………3分在△CDE 中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC CED=∠∠． …………………………4分于是，sin ∠CED＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217． …………………………………………………6分 (2)由题设知，0＜∠CED＜π3，由(1)知，cos ＝277．……………………………8分而∠AEB＝2π3－∠CED，所以cos ∠AEB ＝cos(2π3－∠CED )＝cos 2π3cos ∠CED＋sin 2π3sin ∠CED＝－12×277＋32×217＝714．……………………………………10分在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47． ……………………………………………12分20．（Ⅰ）证明：取PD 的中点F ，连结,AF EF ．………1分∵E 为PC 的中点，∴EF CD ，且12EF CD =．又∵AB CD ，且12AB CD =，∴EF AB ，且EF AB =．故四边形ABEF 为平行四边形． ∴BEAF ．………………3分又BE ⊄平面BEP ，AF ⊂平面BEP ，∴BE ∥平面PAD ． ………………5分 （Ⅱ）∵AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PB ，由于1AB =，2PB =∴PA =∵AB ∥CD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PC由于2CD =，2PC =，∴PD =在直角梯形ABCD 中，1AB =，2BC =，2CD =， ∴AD =∴12APDS =⋅=△………………………………………………8分取BC 的中点G ，连结PG ，则PG ⊥BC ，且PG =∵AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PG ，∴PG ⊥平面ABCD ．又1112122ABD S AB BC =⋅=⋅⋅=△∴111333P BAD ABD V S PG =⋅=⋅=－△………………………………………………10分 设点B 到平面PAD 的距离为h ，∵BE ∥平面PAD ∴E PAD B PAD P BAD V V V ==－－－∴1133APD ABD S h S PG ⋅⋅=⋅⋅△△，∴2ABD APD S PG h S ⋅===△△ ∴点E 到平面PAD ．………………………………………………12分 21．解：(1)∵)1(,1ln )(>-=x x x x f ∴2)1(ln 11)(---='x xx x f ， ……………………1分设)1(,ln 11)(≥--=x x xx g . ∴0111)(22≤-=-='xxx x x g ，∴)(x g y =在)[∞+,1上为减函数．………3分∴0)1(ln 11)(=≤--=g x xx g ，∴0)1(ln 11)(2<---='x xx x f ………………4分 ∴函数1ln )(-=x xx f 在),1(+∞上为减函数． …………………………………5分(2))1(ln -<x a x 在),1(+∞上恒成立0)1(ln <--⇔x a x 在),1(+∞上恒成立，设)1(ln )(--=x a x x h ，∴a xx h -='1)(，且有0)1(=h若0≤a ，显然不满足条件， …………………………………7分若1≥a ，则)[∞+∈,1x 时，01)(≤-='a xx h 恒成立，∴)1(ln )(--=x a x x h 在)[∞+,1上为减函数 ∴0)1()1(ln =<--h x a x 在),0(+∞上恒成立，∴)1(ln -<x a x 在),1(+∞上恒成立， …………………………………9分若10<<a ，则01)(=-='a x x h 时，∴a x 1=， )⎢⎣⎡∈a x 1,1时0)(≥'x h ，∴)1(ln )(--=x a x x h 在1[1,)a上为增函数，当1[1,)x a∈时， )1(ln )(--=x a x x h >0,不能使)1(ln -<x a x 在(1，∞+)上恒成立， …………………………11分 ∴1a ≥ ………………………………………………12分22.解：(Ⅰ）直线l 的普通方程为：330x y +-= …………………………2分曲线C 的直角坐标方程为： ()2239x y -+=…………………………5分(Ⅱ）把直线的参数方程11232x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的方程化简得：2250t t +-= ………………………………8分∴122t t +=-，125t t =-<0∴∣P A ∣+∣PB ∣=12t t +=12t t - =()212124t t t t +-=26 ………10分23. 解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为：即： 由得由得………………………………4分综上原不等式的解为………………………………5分(Ⅱ）原不等式等价于14x x m -++<的解集非空令()14h x x x =-++，即()()min14h x x x m =-++<∴即()min 5h x =，…9分∴5m >．…………………………………………………………10分。
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D.
，—2
e
e
e
e
第n卷(非选择题共90分)
4小题，每小题5分，共20分•在答题卷上的相应题目的答题区域内作
13
14.已知sin cos 0,则cos(2 )
2
15. 各项均为正数的等比数列｛an｝的公比q
16
则三棱锥V ABC的外接球的表面积是•
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
永安一中
数学试题（文科）
（考试时间：120分钟
总分：150分）
一、选择题：本大题共 一项是符合题目要求的
第I卷（选择题共
12小题，每小题5分，共
60分）
60分.在每小题给出的四个选项中，只有
1.已知集合A x
2 x 3,x z , B 3,
1,0,2,3,4
A.
B.
1,0,2
1,2,3
D.
0,2,3
设
A.c a b
B.
a b
cC.
c a
b
D.
a c
b
11•已知数列｛ar
J的首项a1
35,
且满足an
an 1
2n
1(n
2)，则
色的最小值为
n
A.2.34
B.
59
C
35
D
.12
5
3
2x
1 x
1
12.已知函数f
xx
，若a
b, f
a
f b
，则实数
a 2b的取值范围
e
x
1
是
1
1
1
1c
A.,-
福建省永安市第一中学2020届高三数学上学期期中试题文
2020届高三数学上学期期中试题文福建省永安市第一中学总分：150分）（考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）分．在每小题给出的四个选项中，只有小题，每小题5分，共60一、选择题：本大题共12.一项是符合题目要求的????BA1,0,2,3,43,??x?z?,B?A?x?2?x3,=．已知集合1，则????????0,2,31,0,2?1,0,2,31,2,3?? B. A. C. D.i1?i?i(z?z的共轭复数，则2．已知复数z为为虚数单位)i?221212112ii??i?i?D. B. C. A.55555555n2m?)?2),n?(3,m1(?0,，则与3共线的向量可以是．若向量-133，-33（ D.）C.（-1-） A.）（（，-1） B.-1，，1?:1x?1,qp:qp的是，则4．已知命题x A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件2x?y?4??x,y3x?y?1z?x?y，则目标函数5．设实数满足??x?2y?2?A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最小值-1，最大值3D.既无最小值，也无最大值222b?)?ac22(a?cc,a,b,A,BC B sin?ABC6．在，则的对边分别为中，，若＝31115 C.D. A. B. 2444?1)2cos(x?f(x)?，7．将函数)(纵坐标不变得到图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍26)(xyx)?gy?g(的图象的一个对称中心是函数的图象，则函数????511,0)(,0)(,0)(,0)(． C．A．． B D12121261,2,3,4,5,6,7,8,9}{A?A，在集合中任取三个8．已知集合记十位数和百位数，元素，分别作为一个三位数的个位数、aa现将组成这个三位数为，的三个数字按从小到大排成的- 1 -)I(a)D(a三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例219a?921)?129D(a)?I(a）如，阅读如图所，，则a程序，任意输入一个，则输示的程序框图，运行相应的b出的值为693 A．792 B．495594 D．C． 2，则9．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为该几何体的体积为??2??88 B.A.33?4??828? D.C.3x?2?)?xf(x0)?f(x)f(?x)?f(x0?x，恒满足时，的函数10．已知定义域为R且当21.20.?)2(log0.(a?f(?3),b?f3),c?f则，设3b?c??b?cc?a?babc?a?a B. A. C. D.a n2)?a?2n?1(n?aa?35}a{的首项的最小值为，且满足11．已知数列，则1?1nnn n3559 34212． C．A B． D．35??1?x?2x?1?????????fx baf??ab,fba?2的取值范围，若，则实数12．已知函数???x e1x????是1111????????2???2??,??,?1?????,?, B. A. D. C. ???????? eeee????????第Ⅱ卷（非选择题共90分）分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作54二、填空题：本大题共小题，每小题分，共20 答．ba?2?|?2ab||||a1|?,b . ，则13．已知向量的方向相反，与???0sin?cos??．已知14，则?cos(2)? .2aaa?a?6234{a}q,aa?1,a,的公比．各项均为正数的等比数列15= .成等差数列，则n231aaaa?25264BC?2ACV AABC?V AC?V ABC??V ACBA?120??，．在三棱锥16中，面面，，ABCV?___ ___.的外接球的表面积是则三棱锥- 2 -70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．三、解答题：本大题共6小题，共??18a?a?3a?a.12分）已知等差数列，中， 17．（642n??a的通项公式；(1）求数列n????bbbb2?a?bSn. 的前）若数列，试求数列，并且满足：项和（2nnnn?151n?2?????0)x?3sin?x sin()()f(x?sin x分）已知函数18．12（2?的最小正周期为f(x); (1）求??)f(x?,]时,求函数x?[.(2）当的值域212ABCD中，分）在平面四边形．（1219EC?71DEDA?AB?，，，?2?ADC?2EA?，，3??BEC?．3CEDsin? (1)求的值；BE的长．(2)求∥AB CD ABCDP? 20．（中，，12分）如图，四棱锥1PCE1CD?AB?为，中点．2PADBE∥（1）证明：平面；PBC△2?AB平面的正三角形，是边长为（2）若PBCPADE，求点到平面的距离．x ln)xx()??1(f12分）设21．（1x?)xf(判断函数的单调性；(1)xa??)?1xax ln?(上恒成立？若存在，在使得关于,(2)是否存在实数的不等式(1)，- 3 -a的取值范围；若不存在，试说明理由.求出请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程1?x?1?t?2?xt xoyOl以以原点的参数方程为（为极点，在直角坐标系为参数）中，直线.?3?t?y??2??6cos?C. 的极坐标方程为轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Cl的直角坐标方程；的普通方程和曲线 (1）写出直线??PA?,0PB1B,A ClP的值(2）若点，曲线的直角坐标为. 与直线两点，求交于23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲???xf?x1.已知函数??2?1??xf0x x）解关于的不等式 (1??????xxg?4?gm,fx???x m的取值范围的解集非空，求实数）若. (2参考答案一、选择题：5?1?16. 16．．－二、填空题：13．5； 141； 15．；2三、解答题：??d的公差为，根据题意得：．解：17（I）设数列a n3,?da?1a???115分………………………………………解得：，??18,?a8d?22?d??1??分……………………………………………………的通项公式为6 a?12a?n?nn(Ⅱ），b2b?9a?b?n?n151??是首项为公比为的等比数列………………………………9分b?29nn)?29?(1n………………………………12分＝929??＝?Sn1?2- 4 -?x21?cos??x?3f(x)?sincos x）（118．解：2?1131???.x?cos2)x2sin???sin(2?x?分 (3)26222?2????,?且f(x)的最小正周期为0,函数 .??1,?解得………… 4分?2?1.?f(x)?sin(2x?)? 5分..........................................26?????5].,[????,],?2x x?[分） (2 (7)631226????)?x)?sin(2x?2?x,即x?g(9分时，取最大值当 1 ……………6632????3.)?取最小值?xg()?sin(2x??,即x2x??? 11时……当分261263?3131,?x?)????sin(2分12 ………………………………222621CD19．解：(1)在△CDE中，由余弦定理，得EC＝＋DE－2CD·DE·cos∠EDC22 0，222分，………CD于是由题设知，7＝＋1＋CD，即CD＋CD－6＝分CD解得＝2(CD＝－3舍去)．…………………………………………………3CDEC?．…………………………中，由正弦定理，得在△CDE4分CED sin?sin?EDC32π×sin2CD·2321 ＝，于是，sin∠CED＝＝7EC721＝CED6．…………………………………………………分∠即sin7π (2)由题设知，0＜∠CED＜，372212CED1?sin?由(1)知，cos1－＝．……………………………8分∠CED＝749π2 而∠AEB＝－∠CED，3π2π2π2 cos∠CED＋∠CEDsin＝所以cos∠AEBcos(－∠CED)＝cossin3337211273 10＝．……………………………………分＝－×＋×1472722EAAEB＝＝cos∠， Rt在△中，EAB BEBE22故BE＝＝＝47．……………………………………………12分cos∠AEB714- 5 -AF,EF PD F．………，连结120．（Ⅰ）证明：取分的中点1CDEFPCE EF?CD．为，且∵的中点，∴21AB CD AB?CD，，且又∵2ABEFEF?ABABEF为平行四边形．．故四边形∴，且AFBE．………………∴3分BE∥PAD?BE?AFBEPBEP．………………平面又5，∴平面分，平面PBCPB??ABAB，∴平面（Ⅱ）∵，5?PA1AB?2PB?，由于∴PBC??PC∥AB CDCDCD，∴∴平面∵，2CD?由于，，∴2PD?22PC?2??2CDBC ABCD1AB?中，，，，在直角梯形5?AD，∴1????2262??22?S??5分∴………………………………………………8APD△23?PG BCPGBC PGG的中点，且取，连结⊥，则ABCDPGPBCPG??ABAB，∴．，∴平面⊥平面∵1112???S?1?AB?BC ABD△22又311??V1?3?SPG??∴10分………………………………………………BAD△ABDP－333h PADB到平面，设点的距离为PADBE∥V?V?V∵平面∴BADPB－PAD－E－PAD11??h??S?PGS∴，APD△ABD△33PGS?23ABD△??h?2S6∴APD△2PADE 12∴点分到平面．………………………………………………的距离为21x?ln1?x ln x??)(xf?)f)(,x(x?1分……………………1 21∴．解：(1)∵，2)1(x?1x?1)1(,x??(x)1??ln xg.?????,10gx()????)(xgy?上为减函数．………3在分∴，∴设x x?11122xxx- 6 -1?x1?ln1x??0?(fx)0x1(x?))?gg1???(ln，∴……………… 4∴分2)?(1xxx ln?)f(x)??(,1分在上为减函数．…………………………………∴函数51?x)(1,??a?(x?1)a?(x0?1)(1,??)?lnln xx?上恒成立上恒成立，在(2)在1?ax)?h?(0(1))h(x)?ln x?a(x?1?h，∴，且有设x0a?????x??1,0?ah?(x)?1a?时，恒成立，，若…………………………………7分显然不满足条件，，1???,?1)x?1)h(x?ln x?a(在∴上为减函数则若x),??1)?0(0h ln x?a(x?1)?(∴在上恒成立，),??x?1)(1ln x?a( 9分上恒成立，在…………………………………∴111????,1x??hx(x)??a?00h?(x)1?0?a，，，则若时，∴时?a ax?1)[1,)1(x?h(x)?ln x?a上为增函数，∴在a1)[1,x?)1a(x?h(x)?ln x?>0, 当时，a??)?1ln x?a(x不能使…………………………在(1，11分)上恒成立，1a?∴………………………………………………12分0?3?3x?y l………………………… 22.解：(Ⅰ）直线2的普通方程为：分2??29y?x?3?曲线C的直角坐标方程为： 5分…………………………1?t?x?1?2?t的方程化简得：为参数）代入曲线C(Ⅱ）把直线的参数方程（?3?ty??2?20??5t?2t 分 (8)2?t?t?5?t?t<0∴，21212??62ttt?4?t t?ttt? 10=PB∣=………分= =∣∴∣PA+∣21122211 23. 解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为：即：由得………………………………4分由得综上原不等式的解为分………………………………5m4??x??x1 (Ⅱ）原不等式等价于的解集非空??????4?1?xhxx???4m?x?x?1x?h，即令min??5hx? 9∴即，…分min- 7 -m?5．…………………………………………………………10分∴- 8 -。
2020-2021学年第一学期高一数学期中考试联考试卷福建省
2020-2021学年高一第一学期期中数学（时间: 120分钟， 满分: 150 分）一.选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1.已如集合M={-1，1，3， 5}， N=(-2，1，2，3，5} 则M ∩N=（ ）A. {-1，1，3}B.{1，2，5)C.{1，3, 5}D. ∅2.已知幂函数y= f(x)的图像过(36, 6),则此幂函数的解析式是（ ） A.31x y = B. 3x y = C.21x y = D. 2x y = 3.函数112)(2--=x x x f 的定义城为（ ） A.),21[+∞ B. (1+∞) C. )∞(1,+)21(-1, ⋃ D. )∞,1)U(1,+21[4.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A.0>1+2x +x R,∈x 2∀B.所有菱形的4条边都相等C.若2x 为偶数，则x ∈ND.π是无理数5.设x ∈R ，则“|x-3|<1"是“x>2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知x ，Y 都是正数，xy=1,则yx 41+的最小值为( ) A.3 B. 4 C. 5 D.67. 定义在R 上的偶函数f(x)满足:对任意的2121),,0[,x x x x ≠+∞∈,有0)]()()[(1212<--x f x f x x ，则（ ）A. f(3)<f(-2)<f(1)B. f(1)<f(-2)<f(3)C. f(3)<f(1)<f(-2)D. f(-2)<f(1)<f(3)8.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+2)，且当x ∈[-2,0) 时，491)(++=x x x f ，若对任意的m ∈[m ，+∞)，都有31≤f(x)，则m 的取值范围为（ ） ),511.[+∞-A ),310.[+∞-B ),25.[+∞-C ),411.[+∞-D 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分，)9.若集合A={x|x 2-3x=0,则有（ ）A. 0⊆AB.{3}∈AC. {0,3}⊆AD.A ⊆{y|y<4}10.下列各组的数表示不同函数的是（ ） A.f （x ）=2x ，g （x ）=|x|11)(,1)(.)()(,)(.)(,1)(.2220--=+=====x x x g x x f D x x g x x f C x x g x f B11.若非零实数a ，b 满足a<b ，则下列不等式不一定成立的是（ ） A.1<b a B.2≥+b a a b C.2211baab < D.b b a a +<+22 12.对x ∈R, [x] 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列结论中正确的是（ ）A. 任意x ∈R, x<[x]+1B. y=[x]，x ∈R 的图像关于原点对称C.函数y=x-[x]，(x ∈R)，y 的取值范围为[0,1)D. 任意x,y ∈R, [x]+[y]≤[x+y]恒成立三填空愿(每小题5分，共20分)13. 命题“21)21(,100≥>∃x x ”的否定是： ; 14.已知函数⎩⎨⎧>-<+0,40x 4,x =f(x)x x 则f[f(-3)]的值： ;15.若函数f （x ）=a ax x ++2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是： ;16.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收人的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少2.5t 万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收人每年不少于900万元，求实数t 的取值范围 ;四.解答题:本大题共6小题，共70分。
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二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得5分，部分选对得3分，错选得0分.
9.已知集合 ,全集为 ，下列结论正确的有（ ）
A．若 ,则 ，且 B．若 ,则
C. D．集合 的真子集有6个
10.已知 ，则下列选项正确的是（ ）
16.若函数 为定义域 上的单调函数，且存在区间 (其中 )，使得当 时， 的取值范围恰为 ，则称函数 是 上的正函数.若函数 是 上的正函数，则实数 的取值范围是________．
四、解答题：本大题共6个大题，满分70分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.
17.（10分）已知集合 ,全集 ．
则 ，……………6分
又由 ，
则 ，
则有 ，
所以函数 在区间 上为增函数；……………8分
（2）根据题意， 为 上的增函数且是奇函数，
则 转化为
，解得 ；
故不等式的解集为 ……………12分
21.解：（1）若 为真命题，即 对 恒成立；
整理得 在 恒成立，则 ，解得 ，
即若 为真命题 的范围是 ；…………4分
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0)（假设全部溶解），则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为 _______ ．(填“>”“<”或“＝”)
14.函数 的定义域为________．
15．若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________； ＋ 的最小值为________．
（2） ………………………………8分
…………………………………………10分
18.解：（1）不等式 的解集为 ，
且方程 的两个根是1和b．由根与系数的关系，
得 解得 ．…………………6分
（2）由（1）知 ，即 ．
当 时，解得 ；当 时，不等式无解；当 时，解得 ．
综上，当 时，不等式的解集是 ；当 时，不等式的解集是 ；
（1）求 ；（2）若 ,求实数 的取值范围．
18.（12分）已知关于x的不等式 的解集为 ．
（1）求a，b的值；（2）解关于x的不等式： ．
19.（12分）给定函数 ,用 表示 中的较大者.
（1）请用图像法和解析式法表示函数 ；
（2）观察函数 图象图像，直接写出函数 的单调
递减区间及函数 的值域；
（3）若 ，则求 的值.
A． B． C． D．
11.下列命题中错误的是（ ）
A．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
B．若函数 的值域为 ，则函数 的值域域为
C．若函数 是偶函数，则函数 的减区间是
D．函数 是奇函数
12.定义在R上的函数 满足 ，当 时， ，则函数 满足（ ）
A. B. 是奇函数
C. 在 上有最大值 D. 的解集为
20.（12分）已知函数 是定义域为 上的奇函数，且 ．
(1)求m，n的值，判断函数 的单调性并证明；(2)解不等式 ．
21.（12分）已知命题 满足 ；命题q：不等式 对 恒成立．
(1)若 为真命题，求实数a的取值范围；(2)若p、q中有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．
22.（12分）已知函数已知函数 ．
当 时，不等式的解集是 ．…………12分
19.解：（1）由 得 ，及 的图像(图略),得 解析式如下
……………………6分
（2）由图可知递减区间为
的值域为 ……………8分
（3）
……………12分
20.（1）根据题意得 ，得 ，所以函数 ，……………3分
判断：函数 在区间 上为增函数，……………4分
证明：设 且 ，
A.充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时， ，则函数f(x)在R上的解析式是（ ）
A． B． C． D．
7.若函数 在 上为单调函数，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8．已知 是奇函数，且在 上是增函数，又 ，则 的解集为（ ）
（2）若命题 为真即
…………8分
综上若命题 为真 的范围是 ，
由已知命题 中有且只有一个为真，则
…………12分
22.解：（1）在 任取 且 ，则
(若单调性没证明，但有说明曾函数加增函数仍然是增函数也不扣分)…………6分
…………12分
（1）求函数 的值域；（2）设 ，求函数 的最小值 .
永安一中2020级高一年上学期期中考试数学试卷
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
A
B
D
D
A
ABC
BC
AB
ABD
二、填空题：
13.>14. 15.2； 16.
三、解答题：17.解：（1） 或 ……………………2分
……………………5分
永安一中2020级高一年上学期期中考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.
1.已知集合 则 （ ）
A． B． C． D．
2.命题 ，则（ ）Βιβλιοθήκη A． B．C． D．
3.已知函数 ，则 （ ）
A.0B. C.1D.2
4.函数 的图象大致是（ ）
ABCD
5.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）