7、子空间的直和
子空间的直和的充要条件
子空间的直和的充要条件一、引言在线性代数中，子空间是向量空间的一个重要概念。
直和则是子空间的一个重要性质。
本文将介绍子空间的直和以及充要条件。
二、子空间2.1 定义向量空间V中的非空子集U称为V的子空间，如果U对于向量加法和数乘运算也构成一个向量空间。
2.2 子空间的性质•零向量属于任意子空间•对于任意u，v属于U，u+v也属于U•对于任意k，u属于U，ku也属于U三、直和3.1 定义设V是线性空间，W1和W2是V的两个子空间。
如果满足以下两个条件，则称W1与W2的直和为V：•V = W1 + W2：即任意v属于V都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。
•W1 ∩ W2 = {0}：即W1与W2只有零向量交集。
3.2 直和的几何理解直和可以理解为两个子空间在几何上没有交集，并且它们的所有组合可以覆盖整个向量空间V。
四、充要条件子空间的直和有以下充要条件：4.1 直和的充要条件一设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当对于任意v属于V，存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2。
4.2 直和的充要条件二设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当维数公式成立：dim(V) = dim(W1) + dim(W2)。
4.3 证明充分性证明：如果存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = v1 + v2。
这说明V = W1 + W2。
另外，假设存在一个非零向量w同时属于W1与W2，则w既属于W1又属于W2，那么存在唯一的w’属于W1和w’‘属于W2，使得w = w’ + w’’。
由此可知w也可以表示为其他两个不同向量之和，与唯一性矛盾。
因此，W1与W2的交集只有零向量。
必要性证明：如果V是两个子空间W1和W2的直和，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。
《子空间的直和》课件
1 符号表示：
V = U ⊕W
2 分量表示：
任意向量v都可以分解为u+w，其中u∈U， w∈W。
7. 直和与基底的关系？
1 基底的直和：
如果U和W 有互不相同的基底，则它们的直和是由这些基底组成的。
2 基底生成子空间：
U和W 的基底加在一起构成直和空间的基底。
子空间的直和
介绍子空间及直和的课件，包括子空间的定义、直和的意义、基底与直和的 关系等内容，以图文并茂的方式呈现。
1. 什么是子空间？
1 定义：
2 例子：
子空间是向量空间中的一个子集，它本身也是向量空间。
平面、直线、原点。
3 性质：
子空间必须包含零向量，对于向量的线性运算封闭。
2. 什么是直和？
1 定义：
直பைடு நூலகம்是将两个或多个子空间进行的一种运算，用于生成一个新的子空间。
2 意义：
直和使得子空间的维数相加，构成合并子空间的一个更大空间。
3. 子空间的交和和运算？
1 交：
两个子空间的交集，即同时属于两个空间的向量的集合。
2 和：
两个子空间的并集，包括两个空间中的所有向量。
4. 两个子空间的和？
1 合并维度：
两个子空间的维数之和等于它们的和空间的维数。
2 示例：
平面与直线的和值空间是三维空间。
5. 直和定理的意义？
1 定理：
若两个子空间的和值空间等于整个空间，且交集为空集，则这两个子空间是直和关系。
2 意义：
直和定理提供了一种分解向量空间的方法，便于研究子空间的性质。
6. 直和定理的表述方式？
6.7子空间的直和
§7. 子空间的直和一 直和的定义引入设 为线性空间V 的两个子空间，由维数公式 有两种情形：此时 即， 必含非零向量. 此时 不含非零向量，即 情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和一、直和的定义设 为线性空间V 的两个子空间，若和中每个向量 的分解式是唯一的，和 就称为直和，记作 注: ① 分解式 唯一的，意即 121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 12121)dim()dim dim V V V V +<+12dim()0,V V > 12V V12122)dim()dim dim V V V V +=+12dim()0,V V = 12V V {}120V V = 12,V V 12V V +12112,,V V ααααα=+∈∈12.V V ⊕12,V V a 12V V +12ααα=+若有 则 ② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立. 例如，，3R 的子空间这里， 在和 中，向量的分解式不唯一，如 所以和 不是直和. 而在和 中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的， 事实上，对 都只有唯一分解式：故 是直和.二、直和的判定1、(定理8) 和 是直和的充要条件是零向量 分解式唯一，即若则必有 证：必要性. 是直和,的分解式唯一. ,,,1212111222,V V αααββαβαβ=+=+∈∈1122,.αβαβ==11222333(,),(,),()V L V L V L εεεεε===123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===12V V +(2,2,2)(2,3,0)(0,1,2)(2,1,0)(0,1,2)=+-=+12V V+13V V +(2,2,2)(2,2,0)(0,0,2)=+12313(,,),a a a V V α∀=∈+123(,,0)(0,0,).a a a α=+12V V +12V V +1211220,,V V αααα+=∈∈120.αα==12V V + 12,V V αα∴∀∈+1211220,,V V αααα+=∈∈若而0有分解式 充分性. 设 ，它有两个分解式 于是其中由零向量分解成唯一，且有即 的分解式唯一. 故 是直和.2、和 是直和 证：“ ” 若 则有 即 是直和.“ ” 任取 于是零向量可表成由于 是直和，零向量分解式唯一，故3、和 是直和证：由维数公式+0=00,120,0.αα∴==,,,1212111222,V V αααββαβαβ=+=+∈∈+0=00,1122,αβαβ==1211220,,.V V αααα+=∈∈{}120V V ⇔= .{}12120V V αα=-∈= 12,V V α∈ 120(),,.V V αααα=+-∈-∈0.αα∴=-={}120.V V = 1212dim()dim dim V V V V ⇔+=+12V V α∈+1122()()0αβαβ-+-=111222,V V αβαβ-∈-∈11220,0.αβαβ-=-=12V V +12V V +⇐120,αα∴==12V V +⇒12V V +12V V +有，是直和. （由2、得之）总之，设 为线性空间V 的子空间，则下面 四个条件等价:1） 是直和 2）零向量分解式唯一3） 4） 4、(定理10) 设U 是线性空间V 的一个子空间，则必存在一个子空间W ，使称这样的W 为U 的一个余子空间. 证：取U 的一组基把它扩充为V 的一组基则 注余子空间 一般不是唯一的(除非U 是平凡子空间).如，在3R 中，设 121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 1212dim()dim dim V V V V +=+12dim()0V V ⇔= {}120V V ⇔= 12V V ⇔+12,V V12V V +{}120V V = 1212dim()dim dim V V V V +=+.V U W =⊕,,,12m ααα ,,,,,,121m m n ααααα+ ,,,12(),m m n W L ααα++= 令.V U W =⊕1212(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)ααββ====121122(,),(),(),U L W L W L ααββ===令则 但 5、设 分别是线性子空间 的一组基，则是直和 线性无关. 证：由题设，若 线性无关， 则它是 的一组基. 从而有是直和.反之,若 直和，则从而 的秩为r ＋s .所以 线性无关.三、推广 多个子空间的直和1、定义 都是线性空间V 的子空间，若和中每个向量 的分解式 是唯一的，则和 就称为直和，记作31212,R U W U W W W =⊕=⊕≠;1212,,,,,,r sεεεηηη 12,V V 12V V +1212,,,,,,,r s εεεηηη⇔ ,,1121(,),dim r V L V r εεε== 2122(,,,),dim s V L V s ηηη== ,,121212(,,,,,).r s V V L εεεηηη∴+= 1212,,,,,,,r sεεεηηη 12V V +1212dim()dim dim V V r s V V +=+=+12V V ∴+12V V +1212dim()dim dim V V V V r s +=+=+1212,,,,,,,r s εεεηηη 1212,,,,,,,r sεεεηηη 12,,,s V V V 121s i s i V V V V ==+++∑ ,,121,2,,s i i V i sααααα=+++∈= 1si i V =∑12s V V V ⊕⊕⊕ α2、判定设 都是线性空间V 的子空间，则下面 四个条件等价:1） 是直和2）零向量分解式唯一，即3） 4） 例1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与② 解空间：② 证明: 证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系再解齐次线性方程组②.由即得②的一个基础解系 12,,,sV V V ,120,s i i V αααα+++=∈ 0,1,2,,i i sα== 必有1si i W V ==∑{}0,1,2,,i j j i V V i s ≠==∑ 1dim dim sii W V ==∑①120n x x x +++= 12n x x x === 12n P V V =⊕121(1,0,,0,1)(0,1,,0,1)(0,0,,1,1)n εεε-=-=-=- ,,,1121().n V L εεε-∴= 12n x x x === 121000n n n n x x x x x x --=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ (1,1,,1)ε=考虑向量组由于线性无关，即它为n P 的一组基.又 例2、每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维 子空间的直和.证：设 是 n 维线性空间V 的一组基,则而得证. 小结：直和的定义与三个判定方法。
7.子空间的直和
反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 的秩为r＋s . 所以 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面
§6.7 子空间的直和
三、多个子空间的直和
1、定义
V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
sБайду номын сангаас
Vi V1 V2 Vs 中每个向量 的分解式
§6.7 子空间的直和
一、两个子空间的直和 二、余子空间 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
注意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1) 令 U L(1,2 ), W1 L(1 ), W2 L(2 ), 则 R3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
证：由题设，V1 L(1, 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1,2 , ,s ), dimV2 s
V1 V2 L(1, 2 , , r ,1,2 , ,s ). 若 1, 2 , , r ,1,2 , ,s 线性无关，
6[1].7 子空间的直和
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1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 .
这就是说，向量 的分解式是唯一的.
证毕
推论 和 V1 + V2 为直和的充分必要条件是
V1 ∩ V2 = { 0 } .
证明 先证充分性. 假设有等式
1 + 2 = 0，
那么
1 V1 , 2 V2 ,
是唯一的，这个和就称为直和. 记为 V1 V2 … Vs .
和两个子空间的直和一样，我们有
定理 4 设 V1 , V2 , … , Vs 都是线性空间 V
的子空间，则下面这些条件是等价的：
1) W Vi 是直和；
2) 零向量的表法唯一； 3) Vi
V
j i
j
{0}
(i 1,2,, s) ;
则 R 3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
例 3 设 V = P 3，U = L(1 )， 1 = (1, 1, 1)，
求 U 的补空间 W .
解 要求补空间 W，即要求 W 的一组基. 只需
把 U 的基扩充为 P 3 的基. 取
e1 = (1, 0, 0), e2 = ( 0, 1, 0),
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 )
这里， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和 V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
充分性.
设 V1 + V2 1 + 2 ， 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2.
51-子空间直和的判定与证明
子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1V1，α2V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αiVi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。
必要性：显然成立；充分性：设αV1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βiVi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βiVi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。
2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αiVi （i=1,2）那么α1=-α2 V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。
必要性：任取向量αV1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），αV1，—αV2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。
必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。
子空间的直和
等价的，也就与维(W) = 维(V1) + 维(V2) 等价. 这就
证明了定理.
证毕
三、直和的性质
定理 11 设 U 是线性空间 V 的一个子空间，
那么一定存在一个子空间 W 使 V = U W .
这时 U 叫做 W 的补空间，W 叫做 U 的补空间，
或者 U 与 W 是互补子空间.
证明 取 U 的一组基 1 , … , m . 把它扩充
为 V 的一组基 1 , … , m , m + 1 , … , n . 令 W = L(m + 1 , … , n ) .
则 W 即满足要求.
证毕
例 1 在 3 维空间 P3 中，过原点的两条相交直
线的直和就是由这两条直线所确定的平面. 如图6-9 所示.
L2
例 2 设 V = P 3 ，L 是过原点的直线， 是过
原点的平面. 令 L 上的点构成的空间为 U， 上的
点构成的空间为 W，如果 U ∩ W = { 0 } ， 即 L 不
上，则 V = U W . 如图 6-10 所示.
z
L
o
y
x
图 6-10
例例 33 设设VV==PP33，，UU==LL((11))，，11==(1(1, ,11, ,11)，)，
面( 直线不在平面上 ) 上的全体向量构成的
二、直和的充分必要条件
定理 9 和 V1 + V2 是直和的充分必要条件是
等式
1 + 2 = 0， 1 V1 , 2 V2 ,
只有在1, 2全为零时才成立.
证明 定理的条件实际上就是：零向量的分
解式是唯一的. 因而这个条件显然是必要的. 下面 来证这个条件的充分性.
6.7 子空间的直和
第六章 线性空间学习单元7： 子空间的直和_________________________________________________________● 导学学习目标：了解子空间的直和的概念；理解子空间的直和的判别；掌握证明线性空间V 是两个子空间的直和的证明方法。
学习建议：本学习单元的理论比较抽象，建议大家认真看书，深刻理解概念及定理的条件与结论，通过例题掌握证明方法。
重点难点：重点：深刻理解子空间的直和的概念与判别法。
难点：线性空间分解成两个子空间的直和的证明。
_________________________________________________________● 学习内容一、直和的概念观察两个子空间的和的特点例 212,{(,,0)|,},{(0,,)|,}V P V a b a b P V x y x y P ==∈=∈，则12V V V +=，但V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法不唯一，如(1,7,4)(1,2,0)(0,5,4)(1,3,0)(0,4,4)=+=+ 又12{(,,0)|,},{(0,0,)|}V a b a b P V x x P =∈=∈。
则12V V V +=，而V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法唯一。
定义 V 为P 上线性空间，12,V V V ≤，如果12V V +中向量表为1V 与2V 中向量的和时，表法唯一，即由1212111222,,,,V V αααββαβαβ=+=+∈∈可推出1122,αβαβ==，则称这个和为直和，记为12V V ⊕。
二、直和的判别定理 设12,V V 为数域P 上线性空间V 的两个子空间，则下列几条等价。
（1）1212V V V V +=⊕；（2）12V V +中零向量表法唯一；（3）12{0}V V =I ；（4）1212dim()dim dim V V V V +=+。
推广定理 设1,,s V V V ≤L ，则下列几条等价。
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i 1,2,, n
dim L( i ) n dim V
故 V L( 1 ) L( 2 ) L( n ).
§6.7 子空间的直和
得证.
例2
已知 A P nn ，设
n X X P , AX 0 V2
n AX X P , V1
证明： （1） V1、V2 是 P n 的子空间.
P V1 V2 . （2）当 A A 时，
2
n
§6.7 子空间的直和
证：（1） 0 A0,
0 V1
有
任取 A , A V1 , k P ,
A A A( ) V1 ,
k ( A ) A( k ) V1 .
n
又 V1 V2 是 P n 的子空间， P n V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
再证 P V1 V2 .
n
任取 V1 V2 , 即 V1且 V2 .
由 V1 , 必有 P n , 使A .
由 V2 , 有A 0.
从而 A A A( A ) A 0.
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
§6.7 子空间的直和
充分性.
1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2
于是 (1 1 ) ( 2 2 ) 0
其中 1 1 V1 , 2 2 V2
故 V2 是 P n的子空间.
§6.7 子空间的直和
n P V1 V2 . （2）先证
n P , 有 A ( A ), 任取
其中 A V1 , 又
A( A ) A A A A 0
2
A V2 .
于是有 V1 V2 . P V1 V2 .
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
ห้องสมุดไป่ตู้§6.7 子空间的直和
总之，设 V1 ,V2 为线性空间V的子空间， 则下面四个条件等价: （1）V1 V2 是直和 （2）零向量分解式唯一 （3）V1 V2 0
（4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
令 U L(1 , 2 ), W1 L( 1 ), W2 L( 2 ),
则 R 3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
5、设 1 , 2 ,, r ; 1 ,2 ,, s 分别是线性子空间
V1 ,V2 的一组基，则 V1 V2 是直和 1 , 2 ,, r ,1 ,2 ,, s 线性无关.
是唯一的，和 V1 V2就称为直和（direct sum）， 记作 V1 V2 .
注意
1.分解式 1 2 唯一的，意即
若有 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2
则 1 1 , 2 2 .
§6.7 子空间的直和
二、直和的判定
1、(定理8)和 V1 V2 是直和的充要条件是零向量
分解式唯一， 即若 1 2 0,1 V1 , 2 V2 ，则必有 1 2 0. 证：必要性.
若1 2 0, 1 V1 , 2 V2 V1 V2 是直和,
§6.7 子空间的直和
4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 则必存在一个子空间W，使 V U W .称这样的W
为U的一个余子空间（complementary subspace）. 证：取U的一组基 1 , 2 , , m 把它扩充为V的一组基 1 , 2 , , m , m 1 , , n
则有 1 2 V1 V2 0
1 2 0,
即V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
“ ”
任取 V1 V2 ,
0 ( ),
V1 ,
V2 .
由于 V1 V2 是直和，零向量分解式唯一，
0.
2
V1 V2 0
n P V1 V2 . 所以
§6.7 子空间的直和
此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
设 V1 ,V2 为线性空间V的两个子空间，若和 V1 V2 中每个向量 的分解式 1 2 , 1 V1 , 2 V2
由零向量分解式唯一， 有 1 1 0, 2 2 0.
即 1 1 , 2 2
的分解式唯一.
故 V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
2、和 V1 V2 是直和 V1 V2 0. 证：“ ” 若 1 2 0, 1 V1 , 2 V2 .
令 W L( m1 , m 2 , , n ),
则 V U W .
§6.7 子空间的直和
注意 余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1)
§6.7 子空间的直和
2.分解式唯一不是在任意两个子空间的和中都成立. 例如，R3的子空间
V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 )
这里， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和 V1 V2 中，向量的分解式不唯一. 而在和 V1 V3 中，向量 的分解式是唯一的， 所以和 V1 V2 不是直和，V1 V3 是直和.
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有
dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
“ ”
若 V1 V2 直和，则
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1 , 2 ,, r ,1 ,2 ,, s 的秩为r＋s .
第六章 线性空间
§1 集合· 映射 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数· 基与坐标 §4 基变换与坐标变换
§5 线性子空间
§6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
二、直和的判定 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设V1 ,V2 为线性空间V的两个子空间， 由维数公式
所以 1 , 2 ,, r ,1 ,2 ,, s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
三、多个子空间的直和
1、定义
V1 ,V2 ,,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
Vi V1 V2 Vs i 1
s
中每个向量 的分解式
1 2 s , i Vi , i 1,2,, s
证： 由题设，
V1 L( 1 , 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1 ,2 ,,s ), dimV2 s V1 V2 L( 1 , 2 , , r ,1 ,2 ,, s ).
§6.7 子空间的直和
“ ”
若 1 , 2 ,, r ,1 ,2 ,, s 线性无关，
是唯一的，则和
Vi i 1
s
就称为直和，记作
V1 V2 Vs
§6.7 子空间的直和
2、判定
设 V1 ,V2 ,,Vs 都是线性空间V的子空间，则下面
四个条件等价:
（ 1） W Vi 是直和
i 1 s
（2）零向量分解式唯一，即
1 2 s 0, i Vi , 必有 i 0, i 1,2,, s
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形：
1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
故 V1 V2 0 .
§6.7 子空间的直和
3、和 V1 V2 是直和 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
证：由维数公式
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有，
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) 0
V1 是 P n 的子空间.
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A0 0,
0 V2
有 A 0, A 0,
又对 , V2 , k P ,
从而有 A( ) A A 0 0 0
A( k ) kA k 0 0
V2 , k V2
Vi （ 3）
V j 0 , i 1,2,, s （4）dim W dimV ji
i 1
s
i
§6.7 子空间的直和
例1 每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维
子空间的直和.
证：设
1 , 2 , , n
是 n 维线性空间V的一组基,
则 V L( 1 , 2 , , n ) L( 1 ) L( 2 ) L( n ) 而 dim L( i ) 1,