Zadeh模糊集合理论存在问题证_省略_部经典集合公式的C_模糊集合系统_高庆狮
模糊理论综述
模糊理论综述引言模糊理论（Fuzzy Logic)是在美国加州大学伯克利分校电气工程系的L.A.zadeh（扎德）教授于1965年创立的模糊集合理论的数学基础上发展起来的,主要包括模糊集合理论、模糊逻辑、模糊推理和模糊控制等方面的内容.L.A.Zadeh教授在1965年发表了著名的论文，文中首次提出表达事物模糊性的重要概念：隶属函数，从而突破了19世纪末康托尔的经典集合理论,奠定模糊理论的基础。
1974年英国的E.H.Mamdani成功地将模糊控制应用于锅炉和蒸汽机的控制，标志着模糊控制技术的诞生。
随之几十年的发展，至今为止模糊理论已经非常成熟，主要包括模糊集合理论、模糊逻辑、模糊推理和模糊控制等方面的内容。
模糊理论是以模糊集合为基础，其基本精神是接受模糊性现象存在的事实，而以处理概念模糊不确定的事物为其研究目标，并积极的将其严密的量化成计算机可以处理的讯息，不主张用繁杂的数学分析即模型来解决问题。
二、模糊理论的一般原理由于客观世界广泛存在的非定量化的特点，如拔地而起的大树，人们可以估计它很重，但无法测准它实际重量。
又如一群人，男性女性是可明确划分的，但是谁是“老年人”谁又算“中年人”；谁个子高，谁不高都只能凭一时印象去论说，而实际人们对这些事物本身的判断是带有模糊性的，也就是非定量化特征。
因此事物的模糊性往往是人类推理，认识客观世界时存在的现象。
虽然利用数学手段甚至精确到小数点后几位，实际仍然是近似的。
特别是对某一个即将运行的系统进行分析，设计时，系统越复杂，它的精确化能力越难以提高。
当复杂性和精确化需求达到一定阈值时，这二者必将出现不相容性，这就是著名的“系统不相容原理”。
由于系统影响因素众多，甚至某些因素限于人们认识方法，水准，角度不同而认识不足，原希望繁荣兴旺，最后导致失败，这些都是客观存在的。
这些事物的现象，正反映了我们认识它们时存在模糊性。
所以一味追求精确，倒可能是模糊的，而适当模糊以达到一定的精确倒是科学的，这就是模糊理论的一般原理。
模糊集理论
模糊集理论模糊集理论（Fuzzy Set Theory）是一种理论，主要关注定义和应用模糊（模糊）集合（fuzzy set）。
它由芬兰科学家Lotfi Zadeh在1965年提出，随后历经修正和扩展，今天已成为人工智能的重要研究概念。
它引入了模糊集合的概念，允许将不弱量化数据藉基于概率理论进行处理，以研究各种模式。
这种理论允许模糊集合随着数据流而变化，从而允许对诸如特征抽取、模式识别和对象识别等计算问题进行实例。
模糊集的一般定义是一组非常宽的概念，即这些概念可以模糊地概括其中的数据和事件。
典型的例子包括定义“热”时可以指的内容。
这可以指很热的水，但也可以指很热的空气，甚至指温度处于中间范围内的物体，如细砂沙。
由于我们通常在一种普通的处理方式中不能够构建这种多义性，因此出现了模糊集理论。
模糊集理论将条件分解成可被计算的成分，并提供了两种比较语句，以替代确定的相等和比较关系：“如果X属于Y”与“如果X不属于Y”。
模糊集理论和理论的一个重要舞台是节点（membership）函数。
节点函数将离散值链接到集合中，该集合可能建立在模糊集概念上，以及定义当值处于属性范围时，集合中元素的状态概念。
模糊集理论可以用来表示和处理有关诸如决策系统、专家系统、状态识别系统和控制系统等领域的许多模糊结构。
例如，模糊集理论可用来表示“暖”的语义，可以定义一个给定限度的暖度成分，用于计算属性范围内的暖度。
同样，你也可以定义一个语义表示“如果暖一点，就觉得很好”。
在其他方面，它也可以用来表示系统输入，以及它们之间的关系，以及它们到系统输出的影响。
因此，模糊集理论的应用范围非常广泛，被用于机器学习，数据挖掘，机器视觉，语音识别，建模和仿真，以及工业控制等计算机任务的解决方案。
它高度重视“不确定性”，减少了我们在研究实例时常常面临的困难，允许用户在可以定义的模糊集上使用模糊逻辑来解决复杂问题。
今天，它已经成为人工智能领域及其它多学科间的流行工具，并被许多应用领域所采用。
模糊集合及其运算
40
31 0.78 110 85 0.75
50
39 0.78 120 95 0.79
60
47 0.78 129 101 0.78
70
53 0.76
由表 1可见，隶属频率随试验次数 n 的增加而呈现
稳定性，稳定值为 0.78，故有 [青年人] (27) = 0.78。
模糊统计与概率统计的区别： 模糊统计：变动的圆盖住不动的点 概率统计：变动的点落在不动的圆内
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
u 0 对A的隶属度：
* u A 的次数 0 A ( u )lim 0 n n
例 取年龄作论域 X，通过模糊试验确定 x0= 27(岁)
对模糊集“青年人” A 的隶属度。
张南伦曾对 129 名学生进行了调查试验，要求
每个被调查者按自己的理解确定“年青人” (即 A)
0.1 0.2 0.2 B A 0.3 0.3 0.3 0.4 0.5 0.5
（3）模糊矩阵的转置
T ( a ) , 定义：设 A 称 A (aji )nm为A的 ij m n
转置矩阵。 （4）模糊矩阵的 截矩阵 定义：设 A 对任意的 称 [ 0 , 1 ], ( a ) , ij m n
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .5
0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .8
三、隶属函数的确定 1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素：
（1）论域U； （2）U中的一个固定元素 u 0 ;
* A （3）U中的一个随机运动集合 ;
~
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
第3章 模糊理论
3 A(1.60)= ＝0.3 10
……
1 A(1.77)= ＝0.1 10 10 0.1 0.3 0.6 1 0.5 0.1 FA = + + + + + 1.56 1.60 1.64 1.69 1.73 1.77
A(1.64)=
6 ＝0.6 10
模糊统计法的特点： ①随着n的增大，隶属频率会趋向稳定，这个 稳定值就是v0对A的隶属度。 ②计算量大。 2、例证法 ：从有限个隶属度值，来估计U上的模糊 集A 的隶属度函数。 3、专家经验法：根据专家的经验对每一现象产生 的各种结果的可能性程度，来决定其隶属度函数。 4、二元对比排序法：通过对多个事物之间的两两 对比，来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些 事物对该特征的隶属函数的大体形状。
二、模糊控制的特点 1、无需知道被控对象的数学模型 2、是一种反映人类智慧思维的智能控制 模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、 “中”、“低”等，且控制量由模糊推理导出 3、易于被人们所接受（核心：控制规则） 4、构造容易 5、鲁棒性好
第二节 模糊集合论基础
一、模糊集的概念
集合：具有某种特定属性的对象全体。 集合中的个体通常用小写英文字母如：u表 示； 集合的全体又称为论域。通常用大写英文字 母如：U表示。 uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
附近隶属函数的范围
重叠鲁棒性＝
U
L
( A1 A2 )dx 2(U L)
重叠指数的定义
(0.3~0.7为宜)
求重叠率和重叠鲁棒性
例：
A1
A2
重叠率＝ 10 / 30 0.333
0 .5 10 重叠鲁棒性＝ 0.5 2(40 30) 20
模糊集理论及应用
求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（梅花, K） }
模糊关系
模糊关系 相像关系：两者间的“相像”幵非非此即彼，而是亦此亦彼，具有程度
上的差异，具有程度上差异的关系就是模糊关系。
λ水平截集
解：
（1）λ水平截集
A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 }
A0.5={ u2,u3,u4,u5 }
A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }
模糊数
模糊数 如果实数域上的模糊集A的隶属函数μ A (u)在R上连续，且具有如下性 质：
直积U×V的一个模糊子集R成为从U到V的一个模糊关系，记为 U R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
R
V
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
模糊关系
模糊关系的表示 R= ∫ μR(u, v) / (u, v)
U×V
例 X={ x1，x2，x3 }表示父辈的3个人x1，x2，x3 的集合，而Y={ y1， y2，y3，y4 }为他们子辈的集合，“相像关系”R∈ δ （ U×V ）是 一模糊关系，则
相等：A = B aij = bij； 包含：A B a ≤b ；
ij ij
幵：A∪B = (aij∨bij)m×n；
交：A∩B = (aij∧bij)m×n；
余：Ac = (1- aij)m×n。
0.1 0.3 0.2 例 设A , B 0.2 0.1 0.3 0.2 0.3 0.1 A B , A B 0.3 0.2 0.2 0.1 ，则 0.2 0.1 c 0.9 0.7 , A 0.1 0.8 0.9
模糊集合理论的应用简析
模糊集合理论的应用简析我国由于地域宽广，在水资源的分布中存在许多的差异，其中南北差异是最明显的，北方水资源较少且降雨量集中在夏季，南方全年降雨量较多，且水资源丰富；又由于水库对于预防洪旱灾害具有重要的影响，因此，建设合理规模的水库对于当地的经济发展具有重要的现实意义[1]。
而水库建设规模设计过程中，需要科学计算水库在汛期汛限水位以及水库库容，才能够保障水库建设的经济效益，将经费得到最大利益的使用，能够建设具有较高调节能力的水库，有助于提高水库的供水效益以及防洪旱效益，也是水库建设规模优化设计的主要任务。
一、模糊集合理论的内涵普通集合理论是将经典数学作为其发展基础，对于提出的问题以及现实生活的现象进行有效的阐述，即确定性和具体性，但是对于某一项现象或状况的模糊阐述存在一定的局限，即模糊性和不确定性。
在上个世纪60年代中期，美国学者扎德在其论文《模糊集合》中对模糊集合理论进行了系统的阐述，同时也标志着模糊集合理论的产生[2]。
模糊集合理论是基于模糊数学的基础上，结合普通集合理论，并完善和补充其在模糊性阐述中的缺陷。
模糊集合理论的产生，推动人们对于现行的模糊性阐述有了更加深层次的理解和深入。
现象的模糊性出现具有不确定性外，同时具有随机性和多面性，模糊性主要是指对客观存在产生的差异在中介过度时表现出的不确定性。
在模糊集合理论中是将排中律出现差异导致认知或分离上存在不确定性[3]。
其是将普通集合函数拓展为隶属函数定义。
若N 是一个区域，B是N的一个模糊子集，B的特征函数NB的定义为NB：B→[0，1]，n丨→NB（n）∈[0，1]。
自上个世纪80年代末期，我国著名学者陈守煜教授在模糊集合理论的基础上建立了模糊水文、水资源学科，并且建立了相应的模糊水文学原理，成立了集成因分析、概率分析以及模糊集合分析等功能的体系[4]。
并在一段时间的研究与应用中，不断完善并建立了相对隶属度以及相对隶属函数概念为理论基础的工程模糊集系统理论，并提出了直接模糊统计实验概念与方法，为工程模糊集合论在隶属度以及隶属函数中存在的问题提出了有效的解决方式，从理论以及实验两方面解决了其存在的问题。
模糊集合在社会科学研究中的应用分析
模糊集合在社会科学研究中的应用分析随着信息化领域的不断发展，社会科学研究对数据的量化和分析需求不断增大。
而模糊集合作为一种理论与方法，具有自身的优势，能够对处理模糊、不确定性、复杂性问题有更好的效果，并在社会科学领域得到广泛应用。
本文将从模糊集合的基础概念、模糊集合在社会科学领域的应用实例以及面临的挑战和发展方向三个方面进行全面阐述。
一、模糊集合的基础概念模糊集合是Zadeh于1965年提出来的，是集合论的一种扩展，是指由对象元素组成的集合，这些对象并没有在严格的意义下与集合的特征完全匹配。
因此，当元素存在模糊性时，将它们分类为集合中的成员或者非成员就存在难题。
正是根据这种情况，对集合的概念进行推广，得出了模糊集合的概念。
模糊集合可以用函数的形式来定义，例如：μA(x) = {0.8, x∈A; 0.2, x∉A}表示A集合中的元素归属于A的程度为0.8，而不归属于A的程度为0.2。
二、模糊集合在社会科学领域的应用实例1.市场调查在市场调查领域，通过对顾客的反应和直觉，形成模糊集合对商品的满意度、需求程度、市场反应等进行分析。
例如，通过模糊聚类方法，对不同顾客的购买行为进行分组，从而确定各组顾客的特征和需求。
2.风险评估风险评估是对某个事件发生后的可能损失的分析评估。
样本信息往往难以囊括全部的情况，因此模糊集合可以用来描述这种不确定性，通过对不同因素的评估，形成模糊概率分布函数，从而更准确地对风险进行评估。
3.社会稳定性评估作为基础的模糊数学方法，模糊集合可以应用于社会稳定性评估中，对社会稳定性进行量化分析。
通过分析社会混乱、游行示威、公共安全等因素，对社会稳定性进行预测和分析。
三、面临的挑战和发展方向尽管模糊集合具有广泛的应用前景，在理论和应用上都存在着难题和挑战。
面临的挑战主要包括：1.数据质量不高，模糊集合理论在实践应用中的准确度和稳定性有待提升。
2.未能充分发挥模糊集合在推理和决策分析上的优势。
模糊集合理论的历史发展
模糊集合理论的历史发展模糊集合理论是对传统集合论的一种扩展和推广，它用数学的方法来处理那些不太明确，难以界定的问题。
它不像传统集合论那样局限于“是”或者“不是”这样的二元范畴，而是将元素的隶属度量化为一个介于0和1之间的实数，从而使得集合成为了一个每个元素都有一个隶属度的概念。
模糊集合最早由美国数学家洛特菲·扎德在1965年提出，他认为许多实际应用问题都需要用模糊集合来描述，并且提出了一些基本运算和性质。
此后，模糊集合理论逐渐被引入概率、控制论、决策论等领域，并在实际应用中取得了许多重要成果。
20世纪60年代末到70年代初，模糊集合理论在众多科学家的共同努力下不断得到发展和完善，涌现出了一些开拓性的工作和突破性的成果。
其中最有代表性的是日本数学家庵义雄提出的隶属度函数概念和模糊数学。
他认为模糊数学不仅仅是集合论的一种推广，更是一种新的数学思维方式，可以用来解决许多实际应用问题。
他的贡献被视为模糊集合理论的重大突破，并使得模糊集合理论在数学领域中受到了广泛的关注。
另外，模糊神经网络、模糊模式识别等领域的不断发展也进一步促进了模糊集合理论的研究和应用。
这些领域的工作使得模糊集合理论不再仅仅是一个独立的数学分支，而是与其他各种学科进行交叉融合，甚至成为了某些领域的基本工具。
总的来说，模糊集合理论的历史发展可以概括为三个阶段。
第一阶段是模糊集合的基本理论和概念的形成，主要由扎德、罗森菲尔德、司空弓等人完成。
第二阶段是模糊集合的发展和完善，主要由庵义雄、钱学森、高桥政士等人推动。
第三阶段是模糊集合的应用和拓展，主要由一些应用领域的专家和学者完成。
总之，模糊集合理论的历史发展是十分漫长而又丰富多彩的。
它不仅是传统数学理论的重要扩展和推广，也是解决现实生活中复杂难解问题的一种有效手段。
随着模糊集合理论的不断发展和应用，我们相信它的作用和意义还会不断得到进一步的发掘和深化。
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第45卷第5期2005年9月大连理工大学学报Journal of Dalian University of TechnologyVol .45,No .5Sept .2005院士学术论文文章编号:1000-8608(2005)05-0772-09收稿日期:2005-05-09; 修回日期:2005-07-12.基金项目:国家自然科学基金资助项目(60343010);“973”国家重点基础研究资助项目(2003CB 317007);中国科学院计算技术研究所创新工程资助项目(20056510).作者简介:高庆狮*(1934-),男,教授,博士生导师,中国科学院院士,大连理工大学兼职院士,E-mail :qsgao @p .Zadeh 模糊集合理论存在问题证明及其改进——一个满足全部经典集合公式的C -模糊集合系统高庆狮*1,2( 1.北京科技大学,北京 100083;2.大连理工大学,辽宁大连 116024)摘要:Zadeh 模糊集合理论具有不能正确描绘客观世界的全部模糊现象,特别是不能描绘相交而不“包含或者分散包含”的情况,不可能存在反集等两个严重缺点;定义了不存在的反集这一严重错误,导致了思维、逻辑和概念混乱.但是,Zadeh 等把错误缺点说成为“对传统的挑战”、“摆脱传统的约束”[2-序]的先进成果.企图用“算子”拼盘(不是像概率论那样各种公式有统一的解释)来掩盖缺点,导致了系统混乱(不清楚什么时候需要使用什么算子),误导人们以为模糊集合理论必然与常规思维、逻辑和概念相悖.为此,分析和证明了Zadeh 模糊集合的错误.介绍了一个新模糊集合系统:C -模糊集合系统,它能克服Zadeh 模糊集合理论的全部错误和缺点,能正确地描绘客观世界的全部模糊现象,有反集.它是经典集合系统的特例而不是推广,能满足全部经典集合的公式,与正常思维、逻辑和概念一致.关键词:经典集合;Zadeh 模糊集合;集合;反集;C -模糊集合中图分类号:O159文献标识码:A1 Zadeh 模糊集合理论及其缺点1.1 Zadeh 模糊集合理论的定义本文中所提一个(模糊)集合理论或者系统是由集合、集合关系、集合运算、集合运算公式、定义和定理组成.Zadeh 模糊集合理论[1、2]的定义:设U 是一个经典集合,称为全集,令u 表示其元素.模糊子集A 定义为{(u ,_A (u ))|u ∈U },其中_A (u )为u 隶属于A 的隶属度,其为一个实数,满足0≤_A (u )≤1.即_A (u )∈[0,1].Zadeh 模糊集合A 和B 之间的关系:A =B (集合相等)被定义为( u ∈U )(_A (u )=_B (u ));A B (A 是B 的子集,即B 包含A )被定义为( u ∈U )(_A (u )≤(_B (u )).Zadeh 模糊集合的并集(∪)、交集(∩)和补 Zadeh 的模糊集合理论是经典集合理论的扩充.如果限制隶属度的值于{0,1},并且当u ∈A时令_A (u )=1,当u ∈/A 时_A (u )=0,则模糊集合理论就成为经典集合理论.自从1965年模糊集合论创始人Zadeh 提出模糊集合理论以来,应用上有了一些发展,但是也存在着一些严重的问题.为了使模糊集合的理论和应用更好发展,就不能回避,或者封锁压制,或者采用不科学的、类似于天文学上的本轮的、繁琐的方法去处理系统中存在的某些问题.否则,对 进一步发展是有害的,对模糊集合应用的推广也是十分有害的.1.2 Zadeh 模糊集合理论缺点之一Zadeh 模糊集合系统存在着不能描述部分客观世界模糊现象的缺陷.例1(在“不相交”的情况) 如果17岁隶属于青年的隶属度_y (17)=0.6,隶属于少年的隶属度_j (17)=0.4,按正常思维,青少年是青年和少年的并集,隶属于这个并集的隶属度应该是_yj (17)= 1.0.而Zadeh 模糊集合理论却给出_yj (17)=0.6的荒唐结果.1.3 Zadeh 模糊集合理论缺点之一的修补无效Zadeh 模糊集合理论只好借助于不自然的、人造的和难以解释的补充定义[2],如min{_A (u )+_B (u ),1}(粗体并)和max {0,_A (u )+_B (u )-1}(粗体交)来弥补.min{_A (u )+_B (u ),1}和max {0,_A (u )+_B (u )-1}仅仅是满足F (a ,0)=a ,G (a ,0)=0,F (a ,1)=1,G (a ,1)=a ,F (a ,1-a )=1,G (a ,1-a )=0和0≤a ,b ,F (a ,b ),G (a ,b )≤1的F (a ,b )及G (a ,b )的解.但是它对“包含”(指A 包含B ,或者B 包含A )的情况,反而不正确了.例2(在“包含”的情况) 假设30岁是青年的隶属度为0.2,是青少年的隶属度仍然是0.2,那么是青年和青少年的并集显然仍然应该是0.2,它却给出min{0.2+0.2,1}=0.4的荒唐结果.如果两组定义合在一起使用,不仅难于解释,也不知道什么情况下应该使用哪一个.事实证明,它仍然不能描绘客观世界的全部情况.例3(在“相交而不包含”的情况) 设身高1.7m 隶属于A (高个子)、B (中个子)、C (小个子)和D (矮个子)的隶属度分别为0.1、0.7、0.1和0.1,则有隶属于E (中高个子)和F (中小个子)的隶属度分别为0.8和0.8.那么隶属于E 和F 的交集G =E ∩F 和并集H =E ∪F 的隶属度应该是_E ∩F (1.7)=0.7和_E ∪F (1.7)=0.9.但是根据Zadeh 的公式,它们是_E ∩F (1.7)=min{0.8,0.8}=0.8和_E ∪F (1.7)=m ax {0.8,0.8}=0.8,而根据补救算式(粗体交和粗体并),它们是_E ∩F (1.7)=max {0.8+0.8-1,0}=0.6和_E ∪F (1.7)=min{0.8+0.8,1}= 1.没有一个正确!!1.4 Zadeh 模糊集合理论缺点之二Zadeh 模糊集合理论不可能存在反集.证明见后.1.5 Zadeh 模糊集合理论的错误例3的补充见表 1.令H =A ∪B ∪C ,有 u ∈U ,(_H (u )=1-_C (u )),H 包括C ,但不是C 的反集.表1 例3的补充T ab.1 The supplem ent o f exa mple 3u A B C D 1.55000.50.51.6000.20.40.41.6500.60.20.21.700.10.70.10.11.750.30.7001.800.70.3001.850.90.1001.90以上1.0 这不仅仅是“不容易讲清楚”[2]的问题,而且容易引起逻辑思维混乱和被误认为模糊集合必然与正常逻辑思维相悖.为什么Zadeh 模糊集合理论存在这些问题?模糊集合理论能否克服这些问题?模糊集合理论能否全部满足经典集合公式?min{_A (u ),_B (u )}、max {_A (u ),_B (u )}、min{_A (u )+_B (u ),1}和max {_A (u )+_B (u )-1,0}表示什么?后文将对此给出回答和构造性的证明.文献[3]介绍一个对Zadeh 模糊集合和关系的新的和自然的解释,但是未改变其不能满足经典集合理论的所有公式的事实.(评:没有涉及克服Zadeh 模糊集合理论的错误和缺点.)文献[4]介绍一个Zadeh 模糊集合与条件概率对应的观点.例如,E =“Ma ry is y oung ”,A x ={the ag e of M ary is x },H 0={Mary ′s age is g reater than 40}和H 1={M ary ′s ag e is less than 25}作为事件.模糊集合的隶属度_E (x )等于条件概率P (E |A x );且_E (x >40)=0和_E (x <25)=1分别对应于条件概率P 0(E |H )=0和P 1(E |H )= 1.(评:该论文没有涉及Zadeh 模糊集合理论的错误和缺点,其对应关系也是非本质的.)773 第5期 高庆狮:Zadeh 模糊集合理论存在问题证明及其改进——一个满足全部经典集合公式的C -模糊集合系统2 一个新模糊集合理论:C -模糊集合理论2.1 一个新的C -模糊集合系统在本文中,[a ,b ]表示实数闭区间[a ,b ]上的全部实数组成的集合.定义1 设U 、V 是经典集合,u 是U 的元素,v 是V 的元素,V =[0,1],即V 是实数闭区间[0,1]上的全部实数组成的集合.U ′=U ×V ,(u ,v )是U ′的元素.C -模糊集合系统中的C -模糊集合A 可以表达成为{(u ,Y A (u ),_A (u ))|u ∈U },其中Y A (u ) V ,_A (u )=|Y A (u )|∈[0,1],而|X |是X 的测度.事实上,C -模糊集合{(u ,Y A (u ),_A (u ))|u ∈U }可以被简写为{(u ,Y A (u ),|Y A (u )|)|u ∈U },而且进一步简写为{(u ,Y A (u ))|u ∈U }.其中Y A (u ) [0,1],_A (u )=|Y A (u )|∈[0,1].显然,C -模糊集合是经典集合.所以,所有经典集合的关系和运算应该都存在,并且满足全部经典集合的运算公式和定理.注:(1)如果V 是实数集,则测度是Lebesgue 测度.而且两个Y A (u )、Y B (u )之间的关系全部是指“本质关系”.关系包括不相交、包含、相交而不包含等关系.本质关系包括“本质不相交”、“本质包含”、“本质相交而不包含”等关系.“本质不相交”指相交部分的Lebesg ue 测度为0,“本质包含”指不包含部分的Lebesg ue 测度为0,“本质相交而不包含”指相交部分、A 不包含B 的部分及B 不包含A 的部分的Lebesg ue 测度都大于0. (空集)和K (全集)也是指本质空集和本质全集.本质空集是指它所包含的元素的Lebesg ue 测度为0,本质全集是指它与全集相比,缺少的部分的Lebesgue 测度为0.(2)如果V 是N 个元素的有穷集,则每个元素的测度为1/N 或者|v i |,其中|v i |满足∑Ni =1|v i |= 1.(3)本文所讨论的关系,不仅是本质关系,而且还是“等效关系”.如果模糊集合A 满足 u ∈U ,(_A (u )=1),定义A 为等效全集K ;如果模糊集合A 满足 u ∈U ,(_A (u )=0),定义A 为等效空集 ;如果模糊集合A 满足_A (u )=1,定义A 为在u 上等效全集K ;如果模糊集合A 满足_A (u )=0,定义A 为在u 上等效空集 .如果模糊集合A 与B ,满足 u ∈U ,(_A ∩B (u )=0),定义A 与B 为等效不相交,即相交部分为等效空集.如果模糊集合A 与B ,满足_A ∩B (u )=0,定义A与B 为在u 上等效不相交,即相交部分为等效空集.其他关系也类似,如等效包含、等效不相交、等效不包含等.本约定的目的为排除隶属度恒为0或者在某些u 为0的干扰,能够像概率论那样,P (K )=1,P ( )=0.而且如果P (A )=1,则A 为必然事件,A =K ;如果P (A )=0,则A 为不可能事件,A = .定义2 设U 、V 1和V 2是经典集合,u 是U 的元素,v i 是V i 的元素,V i 是实数区间[0,1],i =1,2,U ′2=U ×V 1×V 2,(u ,v 1,v 2)是U ′2的元素.C 2-模糊集合系统的模糊集合A 可以表达成为{(u ,Z A (u ),_A (u ))|u ∈U },Z A (u )={(v 1,Y 2A (u ,v 1))|v 1∈Y 1A (u )},_A (u )=|Z A (u )|∈[0,1],其中|X |是X 的测度,Y 1A (u ) V 1,Y 2A (u ,v 1) V 2.注:此定义不难扩充到C k -模糊集合系统,k ≥2.以下只讨论C -模糊集合系统,C k -模糊集合系统类似,k ≥2,不再重复.C k -模糊集合系统的一个应用参见2.2.2.定义3 任意两个C -模糊集合A 和B 的关系:包含(A B )可以定义为 u ∈U ,(Y A (u ) Y B (u )).相等(A =B )可以定义为 u ∈U ,(Y A (u )=Y B (u )).A 、B 不相交可以定义为 u ∈U ,(Y A (u )与Y B (u )不相交).774大连理工大学学报第45卷 第5期 高庆狮:Zadeh模糊集合理论存在问题证明及其改进——一个满足全部经典集合公式的C-模糊集合系统775776大连理工大学学报第45卷 第5期 高庆狮:Zadeh模糊集合理论存在问题证明及其改进——一个满足全部经典集合公式的C-模糊集合系统777778大连理工大学学报第45卷 第5期 高庆狮:Zadeh模糊集合理论存在问题证明及其改进——一个满足全部经典集合公式的C-模糊集合系统779参考文献:[1]ZA DE H L A.Fuzzy sets [J].Inf and C ontrol ,1965,8:338-353.[2]D U BO IS D,PR ADE H.Fuzzy Sets and Systems :TheoryandApplications[M ].N ewY or k :Academic Press,1980.[3]SHIM O DA M.A na tur al interpr etatio n o f fuzzy setsa nd fuzzy r elations [J].Fuzzy Sets and Syst ,2002,128:135-147.[4]CO L E T T IG,SCO Z ZA FAV AR.Conditio na lpr obability ,fuzzy sets,and po ssibility :a unifying view [J].Fuzzy sets and Syst ,2004,144:227-249.Testification for bug of Zadeh -fuzzy set theory and improvement—C -fuzzy set theory that satisfies all classical set formulasGAO Qing -shi *1,2( 1.Univ .of Sci .and Technol .Bei jing ,Beiji ng 100083,China ;2.Dalian Univ .of Technol .,Dalian 116024,China )Abstract :The shortco ming s of Zadeh ′s fuzzy set theo ry,which can not cor rectly reflect differentkinds o f fuzzy phenom ena in the na tural w o rld,especialy can no t depict the phenom enon of cutting w ithout ″cov ering o r dispersly cov ering ″,are discussed.In addition,the proof of the error of Zadeh ′s fuzzy set theory ,which incor rectly defined the set com plement and w hich canno t exist in Zadeh ′s fuzzy set theo ry ,is pro po sed.This erro r of Zadeh ′s fuzzy set theory causes confusion in thinking ,lo gic a nd conception.Zadeh mistook the shor tco ming s of [2-o rder ]for ″challeng e to tradition ″and as ″the adv anced results o f getting rid of traditional constraints ″.He used ″o perator ″(no general ex planation as probability theory fo r different equa tions)to conceal sho rtcoming s.This idea induced system confusio n (no o ne kno w s when and w hat kind of o perato r is used),and causes serio us mistake of the belief that logics o f fuzzy sets necessarily g o ag ainst classical and normal thinking ,logic a nd conception.To solv e this pro blem ,a new fu zzy set theory ,C -fuzzy set theory is pro posed.It has com plement,and it can overcome the erro r and the shortco ming of Zadeh ′s fuzzy set theory ,and it is consistent with no rmal,natura l and classical thinking,logic and co ncepts.Key words :classical set;Zadeh ′s fuzzy set;set;complement;C -fuzzy set780大连理工大学学报第45卷 。