初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第25讲 辅助圆
初中数学竞赛平面几何讲座---巧添辅助-- 妙解竞赛题
初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例1如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A.求证：BD＝2CD.ABGC DFE 图1例 2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°, AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____.例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P . 求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .A图3BP QD HC ABCDPO图22 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.A EDCB图4图5例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N . 求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2.EANCD B FM 12345图6例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.同步练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD.2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a . 求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(1)(2)图8ABCA'B'C'cb a'c'b'3. 如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.4. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D . 求证：AC 2＝AB ·AE .6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1.F DAB EC图10C图11初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题答案在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝ ∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系. 容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能 直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆 于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA ＝∠ABC ＝∠AFC ,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF .作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝ ∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2. 则sin ∠AOB ＝____.ABGCD FE图1ABCDPO 图2分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615 . 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证： △ABC 的面积S ＝43AP ·BD . 分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只 须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ . 又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD . 于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . A图3BPQDHC2 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在 半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与 p 、q 的关系.解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE . 显然A 、B 、C 在⊙D 上. ∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE . 从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围. 解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9), 对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、 C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、A EDCB图4图5Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论. 证明：如图6,∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5, ∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交 BA 的延长线于E .则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有 BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF ) ＝(AB ＋AN )(AB －AN ) ＝AB 2－AN 2, 即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连 结CG .因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆.EA N D BFM 12345图6由切割线定理,有 EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2,即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆 例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇ C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、 b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示. ∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇,∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB .有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '',即 DC c '＝a a '＝DB b '.故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a . 从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.练习题(1)(2)图8ABCA'B'C'ca b a'c'b'A BCDa b b c图91. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而AC AB ＝DEBD＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数. (提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2. (提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点 G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.) 5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE . (提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3 于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)FDAEC图10图11。
辅助圆(隐圆问题)学生版
辅助圆（隐圆问题）目录辅助圆（隐圆问题） (1)一、圆中最值知识基础 (2)➢基础知识 (2)➢点圆最值 (2)➢线圆最值 (2)➢圆圆最值 (4)➢角度最值 (4)二、辅助圆（隐圆）的形成 (5)➢定点定长（Rt△——斜边中线定理） (6)【巩固练习1】 (6)【巩固练习2】 (9)【综合练习】 (11)➢定弦定角（定角对定边） (14)【巩固练习】 (18)【综合练习】 (20)➢四点共圆（对角互补-同侧等角） (27)【巩固练习】 (27)一、 圆中最值知识基础➢ 基础知识 圆中最长弦为：直径在同圆或等圆中，圆周角越接近90°，圆周角所对弦长最长； 在不同的圆中，圆越大（直径越长），定角（锐角）所对弦越长；➢ 点圆最值定点到圆上距离最值：转化最值问题为定线段的和差关系P 在圆外：最大为OP + r 最小为OP - r P 在圆内：最大为r + OP 最小为r - OP最值依据：三角形三边关系➢ 线圆最值圆上动点到定直线的距离最值：转化为点到直线的距离——垂线段相关直线与圆相离：最大为BA=OA + r 最小为PA =OA - r 直线与圆相交：最大为PA 最小为0最值依据：垂线段最短&三角形三边关系OABO BPPBAO PAO定点到圆的动切线距离最值点在圆内： 点在圆外：【巩固练习】1.如图，OA=6,OB=5,AB=5，OP=2,△ABO 绕点O 旋转，a) P 到AB 的距离范围（△P AB 的面积范围） b) M 为AB 上任意一点，求PM 的取值范围2：如图，已知直线y =34x −3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接P A 、PB ，则△P AB 面积最大值是________．COPD OPBOPOP➢ 圆圆最值在圆A 和圆B 上取点M 、N ，使得MN 最大/最小？1. 如图6，平面直角坐标系中，分别以点(2,3)A −，(3,4)B 为圆心，以1、2为半径作A 、B ，M 、N 分别是A 、B 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值等于 ．➢角度最值如图，A 为O 上一动点，P 为圆外一定点，当PA 与圆相切时∠P 最大。
初中数学竞赛精品标准教程及练习66辅助圆
初中数学竞赛精品标准教程及练习66辅助圆辅助圆是数学竞赛中一个重要的几何概念，在初中数学竞赛中也有相应的考察。
辅助圆是指在解决一个几何问题时，引入一个与原图形相关的圆，通过利用圆的性质来简化问题或推导出解决问题的关键步骤。
在这篇文章中，我们将介绍一些常见的辅助圆构造和应用，并通过练习题来帮助读者更好地理解和应用辅助圆的方法。
一、辅助圆的定义和性质辅助圆有以下几个关键性质：1.辅助圆的圆心和半径与原图形的一些关键元素有关；2.通过辅助圆，我们可以推导出一些关键的几何关系；3.辅助圆一般是在原图形的内部或外部构造的。
二、辅助圆的常见构造和应用1.内切圆和外接圆辅助圆中最常见的是内切圆和外接圆的构造。
当我们在几何问题中遇到一个三角形时，我们可以构造三角形的内切圆和外接圆来帮助我们解决问题。
内切圆是指与三角形的三边都相切的圆，其圆心与三角形内心重合，半径为内切圆半径。
我们可以利用内切圆的性质来简化问题，比如求三角形的面积、周长和角度等。
外接圆是指与三角形的三个顶点都在同一圆上的圆，其圆心为三角形的外心，半径为外接圆半径。
通过外接圆的性质，我们可以简化问题，比如求三角形的面积、周长和角度等。
2.相切圆和割圆除了内切圆和外接圆，我们还可以构造其他的辅助圆来解决问题。
相切圆是指与图形的其中一边或一些点相切的圆，通过相切圆的性质，我们可以求出一些关键的几何关系。
割圆是指与图形相交于一点，并且与图形的一些边相切的圆，通过割圆的构造和性质，我们可以推导出一些几何关系。
3.切线圆和中位线圆除了上述常见的辅助圆外，还有一些其他类型的辅助圆。
切线圆是指与图形的一些边相切的圆，并且与图形的其他边都有公共点。
中位线圆是指与图形的一条中位线相切的圆，通过中位线圆的构造，我们可以得到一些关键的几何关系。
三、辅助圆的练习题1.【例题】在三角形ABC中，角BAC=60°，O为三角形的内心。
设OC与AB的交点为D，求证：BD=AB-BD。
最值系列之辅助圆
最值系列之辅助圆最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：【2017四川德阳】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O 的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．【2014成都中考】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．【分析】考虑l是经过点P的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B’轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧．考虑△ACB’面积最大，因为AC是定值，只需B’到AC距离最大即可．过P作作PH⊥AC 交AC于H点，与圆的交点即为所求B’点，先求HB’，再求面积．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ 沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF 即可．二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．【例题】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________．【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PD最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定？考虑BE=CF，易证AE⊥BF，即在运动过程中，∠APB=90°，故P点轨迹是以AB为直径的圆．连接OC，与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．【2013武汉中考】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．【2016安徽中考】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．【寻找定边】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为．【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC=90°，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧．当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可．【寻找定边与直角】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．【分析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB．取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，=-==．AE AM EM22（2019苏州园区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．【分析】∠AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C’，化PC+PF为PC’+PF，当C’、P、F、O共线时，取到最小值．【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．【分析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．【例题】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．【2017山东威海】如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．【分析】由∠PAB=∠ACP，可得∠APC=120°，后同上例题．【2019南京中考】在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C=60°，即定边对定角．故点C的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO=BO且∠AOB=120°）题意要求∠A>∠B，即BC>AC，故点C的轨迹如下图．当BC为直径时，BC取到最大值，考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC>AB=4．无最小值．【2019武汉中考】如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C 从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧MCN，其对应圆心角为∠MON，半径为OM（或ON）．再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连接BE，BE平分∠ABC，可得：∠AEB=135°．考虑到∠AEB是定角，其对边AB是定线段，根据定边对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑到∠ADB=90°，所以D点即为圆心，DA为半径．E点轨迹所对的圆心角为∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．。
初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-辅助圆
初中数学竞赛辅导讲义---辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：1．利用圆的定义添补辅助圆；2．作三角形的外接圆；3．运用四点共圆的判定方法：(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．(2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．(3)若四边形ABCD的对角线相交于P，且PA·PC=PB·PD，则它的四个顶点共圆．(4)若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P，且PA·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．【例题求解】【例1】如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为．思路点拨连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键．注：圆具有丰富的性质：(1)圆的对称性；(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；(3)与圆相关的角；(4)圆中比例线段．适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．【例2】如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则AD·DC等于( )A．6 B．7 C．12 D．16思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆．思路点拨先作出△ABC的外心O，连PO、OQ，将问题转化为证明角相等．【例4】 如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ．求证：CD PC PD PB ．思路点拨 因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD 与△PCD 相似证明．PA 2=PD ·PO=PB ·PC ，B 、C 、O 、D 共圆，这样连OB ，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．【例5】如图，在△ABC 中，高BE 、CF 相交于H ，且∠BHC=135°，G 为△ABC 内的一点，且GB=GC ，∠BGC ＝3∠A ，连结HG ，求证：HG 平分∠BHF ．思路点拨 经计算可得∠A=45°，△ABE ，△BFH 皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=22.5°．由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC ，得B 、G 、H 、C 四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．学力训练1．如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为 ．2．如图，在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点P l 、P 2，…P 100，记C P BP AP m i i i i ⋅+=2（i=1，2，…100），则10021m m m +++Λ= ．3．设△ABC 三边上的高分别为AD 、BE 、CF ，且其垂心H 不与任一顶点重合，则由点A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四点可以确定的圆共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个4．如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( )A ．k 21倍 B ．是k 倍 C ．k 2 D ．k1 5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2 1D ．不小于3的整数6．如图，AD 、BE 是锐角三角形的两条高，S △ABC = 18，S △DEC =2，则COSC 等于( )A ．3B ．31C ． 32D ．43 7．如图；已知H 是△ABC 三条高的交点，连结DF ，DE ，EF ，求证：H 是△DEF 的内心．8．如图，已知△ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD ⊥AB ，TE ⊥AC ．求证：(1)∠AHD=∠AHE ；(2)CECH BD BH =9．如图，已知在凸四边形ABCDE 中，∠BAE=3α，BC=CD=DE ，且∠BCD=∠CDE=α2180-ο．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK ，10．如图，P 是⊙O 外一点，PA 和PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，P O 与AB 交于点M ，过M 任作⊙O 的弦CD ．求证：∠CPO=∠DPO ．11．如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O A 、B 两点，与ST 交于点C ．求证：)11(211PBPA PC +=参考答案。
辅助圆与最值问题
辅助圆与最值问题辅助圆与最值问题一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内所有到定点距离相等的点构成的集合叫做圆。
构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终相等，则其轨迹是圆。
例1：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC 上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是4.练：如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△___沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是1.二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是180°。
构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧。
基本图形：例2.已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD 上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为1.练.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=12，点D为线段BC上一动点，以CD为直径，作AD交圆O于点E，连BE，则BE的最小值为2.三、定边对等角圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对角都相等。
基本图形：∠P=30°∠P=45°∠P=60°∠P=135°例3：如图，在圆O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在的直线经过点D，若圆O的半径等于1，则OC的长不可能为2-3.练(19年中考题)：如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是1:2.检测题：D1.给定扇形OAB，圆心角为120°，半径为4.设P为弧AB上的动点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，D是△___的外心。
2023年中考数学专项复习课件：辅助圆在解题中的应用
模型分析
(2)当∠C＝90°时，点C在⊙O上运动(如图②，不与点A，B重合).其中 AB为⊙O的直径；(3)当∠C>90°时，点C在如图③所示的 上运动( 不与点A，B重合).其中 ∠AOB＋∠ACBA＝B 180°
1 2
模型应用
12. 如图，在矩形 ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点 ，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为2__1_0__2___．
r－d
0
d－r
连接OD并延长交
连接OD交⊙O于
此时点E的位置
点E与点D重合
⊙O于点E
点E
模型应用 1. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4) ，P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB分别与x轴交于点A，B. 若点A，B关于原点O对称，则AB的最小值为_6_______．
对的劣弧BD上运动，连接OA，OP，则AP≤OA＋OP，
∴当O，A，P三点共线时，AP取得最大值，最大值即为OA＋OP的值．
过点O作OQ⊥AB于点Q，
∵∠DPB＝120°，∴∠BAD＝60°，
∵AD＝BD＝6，∴∠OAQ＝30°，AQ＝ 1 AB＝3，
2
∴OA＝2 3 ，∴OA＋OP＝4 3，
∴AP的最大值为4 3 .
15 4
过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为______.
第8题图
第9题图
10. 如图，在四边形ABCD中，BD＝4，∠BAD＝∠BCD＝90°，则四边
形ABCD面积的最大值为___8_____．
11. 如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，
CE
第1题图
专题15：《辅助圆》
中考核心知识点专题练习（辅助圆）德化第五中学：罗文平添加辅助圆解平面几何题，虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知，但许多直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，事半功倍的效果．一、根据圆的定义作辅助圆例1 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝p，BC＝q，求BD的长．解析：以点A为圆心、AB为半径作⊙A．因为AB＝AC＝AD，所以B、C、D三点在⊙A上．延长BA交⊙A于点E，连结DE．因为DC∥EB，所以弧ED＝弧BC，所以ED＝BC＝q．在Rt△BDE中，根据勾股定理，得BD ＝．例2 如图， PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝5，PD＝3，求AD·DC的值．解析：以点P为圆心、PＢ为半径的作⊙P．因为PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，所以点Ａ、B、C在⊙P上．此时⊙P的直径BE＝10，DE＝8，DB＝2，由相交弦定理，得AD·DC＝DE·DB＝８×２＝16二、作三角形的外接圆例3 如图，D、E为△ABC边BC上的两点，且BD=CE，∠BAD=∠CAE，求证：AB=AC．解析：作△ADE的外接圆，分别交AB、AC于点M、N，连结MD、NE．因为∠BAD＝∠CAE，所以∠BAD＋∠DAE＝∠CAE+∠DAE，即∠NAD＝∠MAE．因为∠BDM＝∠MAE，∠CEN＝∠NAD，所以∠BDM＝∠CEN．又BD＝CE，DM＝EN，所以△BDM≌△CEN，所以∠B＝∠C，即AB＝AC．例4 如图，△ABC中，BF、CE交于点D，BD＝CD，∠BDE＝∠A，求证：BE＝CF．解析：作△ABC的外接⊙O，延长CE交⊙O于G，连接BG．因为∠G＝∠A，∠BDE＝∠A，所以∠G＝∠BDE，所以BG=BD．又BD＝CD，所以BG＝CD.又因为∠G＝∠CDF，∠GBE＝∠DCF，所以△GBE≌△DCF．所以BE＝CF．例5 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：BC＝BD＋AD．教学设计解析：作△ABD的外接圆交BC于E，连结DE．因为BD是∠ABC的平分线，所以弧AD＝弧DE，所以AD＝DE．在△BDE中，∠DBE＝20°，∠BED＝180°―100°＝80°，所以∠BDE＝80°，所以BE＝BD．在△DEC中，∠EDC＝80°―40°＝40°，所以EC＝DE．所以BC＝BE＋EC＝BD＋AD．三、结论类似于圆幂定理的形式时作辅助圆例6 如图，在△ABC中，AB＝AC＝，D是边BC上的一点，且AＤ＝１，求BD·DC的值．解析：以点A为圆心、AB为半径作⊙A，交直线AD于点E、F，则点C在⊙A上，DE＝，DF＝．由相交弦定理，得BD·DC＝DE·DF＝＝2．例7 如图，在△ABC中，∠DAB＝∠C，∠B的平分线BN交AD于M．求证：（1）AM＝AN；（2）AB 2－AN 2＝BM·BN．解析：（1）略；（2）由（1），得AM＝AN．以点A为圆心、AM为半径作⊙A，交AB于E，交BA的延长线于F，则N在⊙A 上，且AE＝AF＝AN．由割线定理，得BM·BN＝BE·BF＝(AB－AE)(AB＋AF)＝(AB―AN)(AB＋AN)＝AB 2－AN 2，即AB 2－AN 2＝BM·BN．四、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆例8 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，设AB＝a，DC＝b，AD＝c，当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？解析：以AD为直径作⊙O，根据直径所对的圆周角是直角，当⊙O与直线BC有公共点（相切或相交）时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．因为⊙O的半径r＝，圆心O到直线BC的距离d＝．所以，当d≤r，即a＋b≤c时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．例9 如图，在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点A (0，2)、B(0，8)，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。
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第二十五讲辅助圆
在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．
而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：
1．利用圆的定义添补辅助圆；
2．作三角形的外接圆；
3．运用四点共圆的判定方法：
(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．
(2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．
(3)若四边形ABCD的对角线相交于P，且PA·PC=PB·PD，则它的四个顶点共圆．
(4)若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P，且PA·PB＝PC·PD，则它
的四个顶点共圆．
【例题求解】
【例1】如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为．
思路点拨连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键．
注：圆具有丰富的性质：
(1)圆的对称性；
(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；
(3)与圆相关的角；
(4)圆中比例线段．
适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．
【例2】如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则AD·DC等于( )
A．6 B．7 C．12 D．16
思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．
注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．
【例3】 如图，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．
思路点拨 先作出△ABC 的外心O ，连PO 、OQ ，将问题转化为证明角相等．
【例4】 如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ．求证：CD PC PD PB ．
思路点拨 因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD 与△PCD 相似证明．PA 2=PD ·PO=PB ·PC ，B 、C 、O 、D 共圆，这样连OB ，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．
注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．
【例5】如图，在△ABC 中，高BE 、CF 相交于H ，且∠BHC=135°，G 为△ABC 内的一点，且GB=GC ，∠BGC ＝3∠A ，连结HG ，求证：HG 平分∠BHF ．
思路点拨 经计算可得∠A=45°，△ABE ，△BFH 皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=22.5°．
由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC ，得B 、G 、H 、C 四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．
注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．
学力训练
1．如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为 ．
2．如图，在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点P l 、P 2，…P 100，记C P BP AP m i i i i ⋅+=2（i=1，2，…100），则10021m m m +++ = ．
3．设△ABC 三边上的高分别为AD 、BE 、CF ，且其垂心H 不与任一顶点重合，则由点A 、
B 、
C 、
D 、
E 、
F 、H 中某四点可以确定的圆共有( )
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
4．如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( )
A ．k 21
倍 B ．是k 倍 C ．k 2 D ．k
1 5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2 1
D ．不小于3的整数
6．如图，AD 、BE 是锐角三角形的两条高，S △ABC = 18，S △DEC =2，则COSC 等于( )
A ．3
B ．31
C ． 32
D ．43 7．如图；已知H 是△ABC 三条高的交点，连结DF ，D
E ，E
F ，求证：H 是△DEF 的内心．
8．如图，已知△ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD ⊥AB ，TE ⊥AC ． 求证：(1)∠AHD=∠AHE ；(2)
CE
CH BD BH =
9．如图，已知在凸四边形ABCDE 中，∠BAE=3α，BC=CD=DE ，且∠BCD=∠CDE=α2180- ．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK ，
10．如图，P 是⊙O 外一点，PA 和PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，P O 与AB 交于点M ，过M 任作⊙O 的弦CD ．求证：∠CPO=∠DPO ．
11．如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O A 、B 两点，与ST 交于点C ．求证：)11(211PB PA PC +=
参考答案。