初中数学竞赛辅导训练试题及答案

初中数学竞赛辅导练习题1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）184、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个6、计算的值是（ ）。

（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－2。

7、△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）。

（A ）12；（B ）16；（C ）24；（D ）30。

8、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。

9、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝998，DC ＝1001，AD ＝1999，点P 在线段AD 上，则满足条件∠BPC＝90°的点P 的个数为（ ）。

（A ）0；（B ）1；（C ）2；（D ）不小于3的整数。

（A ）0；（B ）1；（C ）2；（D ）3。

二、填空题：6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。

9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。

10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。

1.设15+=m ,那么mm 1+的整数部分是 . 2.在直角三角形ABC 中,两条直角边AB,AC 的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米.3.已知013=--x x ,那么代数式123+-x x 的值是 .4.已知m ,n 是有理数,并且方程02=++n mx x 有一个根是25-,那么n m +的值是 .5. 如图,ABCD 为正方形,A,E,F ,G 在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF =3厘米,那么FG = 厘米.6.满足19982+2m =19972+2n )19980(<<<n m 的 整数对),(n m ,共有 个.7.设平方数2y 是11 个相继整数的平方和,则y 的最小值是 .8.直角三角形ABC 中,直角边AB 上有一点M ,斜边BC 上有一点P , 已知BMP BC MP ∆⊥,的面积等于四边形MPCA 的面积的一半, BP =2厘米, PC =3厘米,那么直角三角形ABC 的面积是__________平方厘米. 9.已知正方形ABCD 的面积35平方厘米,E ,F 分别为边AB , BC 上的点, AF , CE 相交于 点G ,并且ABF ∆的面积为5平方厘米,BCE ∆的 面积为14平方厘米,那么四边形BEGF 的面积 是____________平方厘米.10、已知且，则＝________。

11、已知为整数，且满足，则＝________。

12、在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝________。

三、解答题1、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900， 点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ， 求△CEF 的面积。

2、某班参加一次智力竞赛，共三题，每题或者得满分或者得0分。

其中题满分20分，题、题满分分别为25分。

竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题的人数与答对题的人数之和为29，答对题的人数与答对题的人数之和为25，答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？数学竞赛辅导练习题答案1．根据不等式性质，选B ．AB CEF2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，3．如图3－271，连ED ，则又因为DE是△ABC 两边中点连线，所以故选C．4．由条件得三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，的可以区间，如图3－272．+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．6、原式＝。

7、解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，已知周长是24，则AC＋BC＝14，AC2＋BC2＝102。

∴2AC×BC＝（AC＋BC）2－（AC2＋BC2）＝142－102＝4×24。

∴。

8、解：由方程组的解知两直线的交点为，而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于，小于的数，不等于，故图D不对；故选B。

9、解：AD的中点M对BC张成90°角，又在AD上取点N使AN＝998，则ND＝1001。

由△ABN和△DCN都为等腰三角形推知∠BNC＝90°，注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点，可知所求点的个数为2。

二、填空题6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所9．因为a≠0，解得故a可取1，3或5．10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，所以1．3 15+=m，4151511-=+=m，∴435451+=+mm，31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+mm.2．322如图，AD为直角A的平分线，过B作DABE//交CA的延长线于点E.=∠EBA︒=∠45BAD，1==ABAE，2=EB，又CDA∆∽CBE∆，32==CEACEBAD，∴32232==EBAD.3．22)1()(122233+--+--=+-xxxxxxx22)1()1(22=+--+--=xxxxx.4．3因为m、n为有理数，方程一根为25-，那么另一个根为25--，由韦达定理.得4=m，1-=n，∴3=+nm.5．316由原图AEFGEFAEEGEDBEEFAE+===，∴EFEFAEFG-=23163352=-=(厘米).6．16 47175399522⨯⨯==-mn, 47175))((⨯⨯=+-mnmn.显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m,n)，故满足条件的整数对(m,n)共162222=⨯⨯⨯(个).7．11 11个相继整数的平方和为22222)5()4()4()5(+++++++-+-x x x x x 22)10(11y x =+=, 则y 最小时，从而12=x ，∴11=y .8．39∵ MBP ∆∽CBA ∆， 3:1:=∆∆CBA MBP S S ， 3:1:=BA BP , ∴ 32=BA ，13=AC . 39133221=⋅⋅=∆ABC S . 9．27204∵ 72==∆∆ABC ABF S S BC BF ，同理54=BA BE , 由原图，连BG . 记a S AGE =∆，b S EGB =∆，c S BGF =∆，d S EGc =∆. 又由已知 5=++c b a ，14=++d c b ，解之得 2728=b ， 27100=c . ∴ )(2720427128平方厘米==+=c b S BEGF . 10、解：，即，，，，，。

11、解：左边＝，即，，而为整数，且不相等，只可能取值或。

不妨设，则，或，∵（2）无整数解，由（1）得，。

12、解：延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连TO ，则△BAM ∽△TOB ，∴，即。

令DN ＝1，CT ＝MD ＝，则AM ＝，BM ＝，BT ＝，代入（1）式得，注意到，解得。

三、解答题1、解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为∠ABE＋∠AEB=90°，∠CED＋∠AEB=90°，所以∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以所以解法2 如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为∠ABE＋∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠FEH，于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为所以2、解：设分别表示答对题、题、题的人数，则有，，，∴答对一题的人数为37－1×3－2×15＝4，全班人数为1＋4＋15＝20，∴平均成绩为。

答：班平均成绩为42分。