选修2-2第二章教案
最新人教版高中数学选修2-2第二章《数学归纳法》示范教案(第2课时)
第2课时教学目标1．知识与技能目标(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(2)进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．(3)掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．2．过程与方法目标(1)利用“归纳—猜想—证明”模式解决问题，培养学生自觉运用数学归纳法的意识．(2)培养学生综合运用知识的能力及解题时的目标意识．(3)培养学生思维的严谨性，培养学生观察、归纳、发现的能力，并能以递推的思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，使学生的抽象思维和概括能力进一步提升．3．情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，培养学生勇于探索、创新的个性品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，进一步培养学生思维的严密性．通过学生之间的交流和讨论，增强学生之间的团结合作意识，提高学生的语言交流能力．重点难点重点：(1)由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时项的确定．(2)处理P(k ＋1)时“拆、分、并、补”等配凑技巧的应用．难点：(1)初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式．(2)处理P(k ＋1)时“拆、分、并、补”等配凑技巧的应用．(3)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现递推关系．教学过程复习巩固让学生独立完成下列练习题1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k(k ∈N )时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )A ．当n ＝6时命题不成立B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立2．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k(k ∈N )时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立．．．，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立3．已知f(n)＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则下列说法正确的是( ) A ．f(n)中共有n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13B ．f(n)中共有n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋14C ．f(n)中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13D ．f(n)中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋144．设f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N )，那么f(k ＋1)－f(k)等于…( ) A.12k ＋1 B.12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋1－12k ＋2活动结果：1.B 2.C 3.D 4.D设计意图练习中4个题难度不大，但题目小巧灵活，用来复习旧知，为师生共同探讨下面的例题作准备．5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N )． 思路分析：注意数学归纳法的两步一结论，特别是归纳假设的利用．证明：(学生板演)(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1等式成立． (2)假设当n ＝k(k ∈N )时等式成立，即12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6， 那么，当n ＝k ＋1时左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6＝右边，即当n ＝k ＋1时等式成立． 根据(1)和(2)可知等式对任何n ∈N 都成立．点评：应用归纳假设的过程中要注意变形的目的性，否则由n ＝k 到n ＝k ＋1的变形不易完成．设计意图通过本题复习数学归纳法的证明步骤，体会由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时归纳假设的应用及在证明过程中强化“目标意识”．典型示例类型一：用数学归纳法证明“等式”例1设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *.求a 2，a 3，a 4，由此猜想a n 的一个通项公式，并证明你的结论．思路分析：在“推理与证明”一节课中已经熟悉了这种模式，由于这是一个与正整数有关的命题，可以考虑用数学归纳法证明．由于上节课刚学完数学归纳法，此题学生想到用数学归纳法证明很容易．证明：由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5.由此猜想a n ＝n ＋1，下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，a 1＝1＋1，猜想成立．(2)假设当n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a 2k －ka k ＋1＝(k＋1)2－k(k ＋1)＋1＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.所以，当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由(1)(2)知，对于任意n ∈N *都有a n ＝n ＋1成立．点评：此例属于用数学归纳法证明“等式”．以数列为背景，培养学生“观察→分析→归纳→猜想→证明”这种从特殊到一般的数学思维，体会数学归纳法在数列中的应用．巩固练习是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c)对一切正整数成立？并证明你的结论．解：假设存在a 、b 、c 使上式对n ∈N 均成立，则当n ＝1,2,3时上式显然也成立，此时可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1×22＝16(a ＋b ＋c )，1×22＋2×32＝12(4a ＋2b ＋c )，1×22＋2×32＋3×42＝9a ＋3b ＋c ，解此方程组可得a ＝3，b ＝11，c ＝10，下面用数学归纳法证明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n ＋1)2＝n (n ＋1)12(3n 2＋11n ＋10)对一切正整数均成立．(1)当n ＝1时，命题显然成立．(2)假设n ＝k 时，命题成立．即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k ＋1)2＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k ＋112[k(3k 2＋11k ＋10)＋12(k ＋2)2]＝(k ＋1)(k ＋2)12(3k 2＋17k ＋24)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]12[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]．所以，当n ＝k ＋1时，命题也成立． 综上所述，存在常数a ＝3，b ＝11，c ＝10，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c)对一切正整数均成立． 类型二：用数学归纳法证明“不等式”例2(2009山东高考理20题改编)已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N ，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立． 思路分析：没有要求用哪种方法来证明，首先要综合分析是选用分析法？综合法、反证法、还是数学归纳法来证明．此题与正整数有关可以考虑数学归纳法，当然也不能把学生试图用其他方法证明的想法一棍子打死．证明方法的选用体现了新学知识与旧知识的融合，而不能仅停留在刚学完什么方法就用什么方法证明的思维误区中，以至于在复习考试时非常被动．证明：由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n. 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立． ①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立． ②假设当n ＝k(k ≥1且k ∈N )时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2 >k ＋12k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1) >4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1) ＝k ＋2 ＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①、②可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N 都成立．点评：本题属高考改编题，与高考题相比，删去了与数学归纳法无关的某些内容，一方面提高了课堂效率，突出了本节课的重点，同时也体现了数学归纳法在证明不等式中的应用，结合了分析法、放缩法等其他方法证明不等式．用数学归纳法证明不等式要有目标意识，考虑到n ＝k ＋1时不等式的左边为分式右边为根式，所以一般先将要证明的不等式两端都化成同一种形式(同为分式或根式)，再根据目标进行合理放缩．本题证法的关键是“4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)”这一步的放缩． 巩固练习证明不等式1＋12＋13＋…＋1n <2n(n ∈N )． 证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立．②假设n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)<2k. 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1＝右边， 这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意正整数都成立．类型三：用数学归纳法证明整除性问题例3对于n ∈N *，求证：(x ＋1)n ＋1＋(x ＋2)2n －1可被(x 2＋3x ＋3)整除．思路分析：此题既不是证明等式也不是证明不等式，代数式的整除性是第一次遇到，用以前学过的方法不好处理，又由于此命题与正整数有关，故考虑用数学归纳法来证明．证明：(1)当n ＝1时，(x ＋1)n ＋1＋(x ＋2)2n －1＝(x ＋1)2＋(x ＋2)1＝x 2＋3x ＋3可被(x 2＋3x＋3)整除，命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2k －1＝(x 2＋3x ＋3)·f(x)．当n ＝k ＋1时，(x ＋1)k ＋2＋(x ＋2)2k ＋1＝(x ＋1)(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2(x ＋2)2k －1＝(x ＋1)(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2(x ＋2)2k －1＋(x ＋1)(x ＋2)2k －1－(x ＋1)(x ＋2)2k －1＝(x ＋1)[(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2k －1]＋[(x ＋2)2－(x ＋1)](x ＋2)2k －1＝(x ＋1)(x 2＋3x ＋3)·f(x)＋(x 2＋3x ＋3)(x ＋2)2k －1＝(x 2＋3x ＋3)·[(x ＋1)f(x)＋(x ＋2)2k －1]，∴当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知对一切n ∈N *，(x ＋1)n ＋1＋(x ＋2)2n －1可被(x 2＋3x ＋3)整除．点评：整除问题一般要面临因式分解，所以在证明n ＝k ＋1时，要对式子进行合理的添加项使得既能提取公因式进行因式分解又能利用归纳假设，一般添加项的项是从两项中各取一个因式然后相乘得到．本题中添加的项是(x ＋1)(x ＋2)2k －1，也可以是(x ＋1)k ＋1(x ＋2)2.巩固练习求证：对于任意n ∈N ，3×52n －1＋23n －2可被17整除．证明：(1)当n ＝1时，即3×5＋2＝15＋2＝17命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即3×52k －1＋23k －2＝17M ，M ∈N ．则当n ＝k ＋1时，3×52k ＋1＋23k ＋1＝25×3×52k －1＋8×23k －2＝25×3×52k －1＋8×23k －2＋25×23k －2－25×23k －2＝25(3×52k －1＋23k －2)－17×23k －2＝25×17M －17×23k －2＝17(25M －23k －2)，∴n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知对于任意n ∈N ，3×52n －1＋23n －2可被17整除．类型四：用数学归纳法证明相关问题例4平面上有n(n ∈N *，n ≥2)条直线，任意两条不平行，任意三条不共点，求证：(1)共有交点a n ＝12n(n －1)个； (2)构成线段或射线b n ＝n 2条．思路分析：用数学归纳法证明平面几何中与自然数有关的证明题的时候，关键是分析好由n ＝k 到n ＝k ＋1时的证明思路，而要找到证明思路就要通过分析当直线的条数由n ＝2增加到n ＝3时交点(线段或射线)增加的数目以及为什么增加，这样由特殊到一般就容易找到由n ＝k 到n ＝k ＋1时交点(线段或射线)增加的数目以及为什么增加，从而找到证明思路．证明：(1)①当n ＝2时，a 2＝1，结论成立，②假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝12k(k －1)， 则当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线与前k 条有k 个交点，∴a k ＋1＝a k ＋k ＝12k(k －1)＋k ＝12k(k ＋1)．∴结论成立． 由①②知，结论共有交点a n ＝12n(n －1)(n ≥2)个成立．(2)①n ＝2时，b 2＝4，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即b k ＝k 2，则当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线上有k 个交点，将第k ＋1条直线分成k ＋1部分，k 个交点在原k 条线上，每一点将所在线段或射线分成两部分，增加了k 部分．∴b k ＋1＝b k ＋(k ＋1)＋k ＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.∴结论成立．由①②知，对一切n ∈N ，n ≥2，b n ＝n 2成立．巩固练习平面上有n(n ∈N *，n ≥2)条直线，任意两条不平行，任意三条不共点，求证：将平面分成c n ＝12n(n ＋1)＋1部分． 证明：①n ＝2时，两条相交直线将平面分成4部分，c 2＝12·2·(2＋1)＋1＝4，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即c k ＝12k(k ＋1)＋1， 当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线被分成k ＋1段，每一段将原来那一部分分成两部分，即增加了k ＋1部分．∴c k ＋1＝c k ＋(k ＋1)＝12k(k ＋1)＋(k ＋1)＋1＝12(k ＋1)(k ＋2)＋1， 即n ＝k ＋1时结论成立．由①②知对一切n ∈N ，n ≥2，c n ＝12n(n ＋1)＋1成立． 变练演编用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N )时，从“n ＝k →n ＝k ＋1”两边需同乘以一个代数式，它是( )A ．2k ＋2B ．(2k ＋1)(2k ＋2)C.2k ＋2k ＋1D.(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1解析：当n ＝k 时，(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k)＝2k ·1·3·…·(2k －1)，当n ＝k ＋1时，(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝2k ＋1·1·3·…·[2(k ＋1)－1]．通过对比等式左边可知，增加了两个因式(2k ＋1)(2k ＋2)，减少了一个因式k ＋1.故答案选D.答案：D达标检测1．如果命题P(n)对于n ＝k(k ∈N *)时成立，则它对n ＝k ＋2也成立，若P(n)对于n ＝2时成立，则P(n)对所有的________都成立．①正整数 ②正偶数 ③正奇数 ④大于1的正整数2．如果命题p(n)对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋1也成立，现知p(n)对n ＝4不成立，则下列结论正确的是( )A ．p(n)对n ∈N 成立B ．p(n)对n>4且n ∈N 成立C ．p(n)对n<4且n ∈N 成立D ．p(n)对n ≤4且n ∈N 不成立3．利用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1324时，由k 递推到k ＋1不等式左边应添加的项是( )A.12(k ＋1)B.12k ＋1＋12(k ＋1)C.12k ＋1－12(k ＋1)D.12k ＋1答案：1.② 2.D 3.C反考老师已知m 为正整数，用数学归纳法证明当x>－1时，(1＋x)m ≥1＋mx.证明：(ⅰ)当m ＝1时，原不等式成立；当m ＝2时，左边＝1＋2x ＋x 2，右边＝1＋2x ， ∵x 2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；(ⅱ)假设当m ＝k 时，不等式成立，即(1＋x)k ≥1＋kx ，则当m ＝k ＋1时，∵x>－1，∴1＋x>0，于是在不等式(1＋x)k ≥1＋kx 两边同乘以1＋x 得(1＋x)k ·(1＋x)≥(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2≥1＋(k ＋1)x ，所以(1＋x)k ＋1≥1＋(k ＋1)x ，即当m ＝k ＋1时，不等式也成立．综合(ⅰ)(ⅱ)知，对一切正整数m ，不等式都成立．课堂小结1．知识收获：(1)数学归纳法的证明步骤．(2)用数学归纳法证明等式、不等式、整除等问题的主要思路．2．方法收获：目标意识，用数学归纳法证明时有一个技巧，即当n ＝k ＋1时，代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”．3．思维收获：体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，养成严谨缜密的思维习惯．布置作业教材习题2.3 A 组第2题，B 组第1,2题．补充练习基础练习1．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1. 所以，当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误．．是__________． 2．对于n ∈N *，n ≥2，求证：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n. 答案：1.没有用上归纳递推2．证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋14＝54<32＝2－12＝右边，所以不等式成立． (2)假设n ＝k 时不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k， 当n ＝k ＋1时，左＝1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－(k ＋1)－1k (k ＋1)＝2－1k ＋1， 即n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)(2)知对一切n ∈N *，n ≥2不等式成立．拓展练习3．首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n ＋3)，n ∈N *. 证明若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数．证明：已知a 1是奇数，可假设a k ＝2m －1，其中m 为正整数，则由递推关系得a k ＋1＝a 2k ＋34＝m(m －1)＋1是奇数． 根据数学归纳法，对任何n ∈N ，a n 都是奇数．设计说明第1课时已经理解了数学归纳法的原理及步骤，本节课主要熟悉用数学归纳法证明各种题型，进一步加深对数学归纳法的理解，特别是证明当n ＝k ＋1时有一个技巧：即代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”．对于教学中学生可能遇到的障碍也通过例题得到清除．常见障碍：1．由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时项的确定(产生此障碍的原因：没弄清计数规律，这类问题，通常按“找规律，定项数”的方法来处理)．2．若命题中n 为正奇数(或正偶数)，在第二步假设“n ＝k 时命题成立”，误认为需证明“n ＝k ＋1时命题也成立”(错因：忽略相邻的正奇数相差2)．3．处理P(k ＋1)时不善于“拆、分、并、补”等配凑技巧的应用(原因：缺乏目标意识)．4．不能灵活运用其他证明不等式的方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法(原因：对“数学归纳法”缺乏认识，忽略了应用数学归纳法证题时可以结合其他数学方法)．备课资料例1：(2009陕西卷理)已知数列{x n }满足，x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N *. 猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论．思路分析：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键是第二步，要注意当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，或减少了哪些项，问题就容易解决．解：由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321. 由x 2>x 4>x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，x 2>x 4，命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2.易知x 2k >0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3) ＝x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0， 即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2.也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立，结合(1)和(2)知，命题成立．例2：求证：(1＋1)(1＋13)…(1＋12n －1)>2n ＋1，n ∈N *. 思路分析：与正整数有关的不等式证明可以考虑数学归纳法，关键在于由假设n ＝k 时不等式成立推出当n ＝k ＋1时不等式成立，在这个过程中可以应用分析法或者是放缩法．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1＋1＝2＝4>3＝右边，所以不等式成立．(2)假设n ＝k 时不等式成立，即(1＋1)(1＋13)…(1＋12k －1)>2k ＋1， 当n ＝k ＋1时，左＝(1＋1)(1＋13)…(1＋12k －1)(1＋12k ＋1)>2k ＋1(1＋12k ＋1)＝2k ＋22k ＋1， 欲证：左边>2(k ＋1)＋1＝右边，只需证(2k ＋22k ＋1)2－(2k ＋3)2＝(2k ＋2)2－(2k ＋1)(2k ＋3)2k ＋1＝12k ＋1>0. ∴2k ＋22k ＋1>2k ＋3.∴n ＝k ＋1时不等式成立． 由(1)(2)知对一切n ∈N *不等式成立．点评：由假设n ＝k 时不等式成立推出当n ＝k ＋1时不等式成立的过程中也可以应用放缩法：左边＝(1＋1)(1＋13)…(1＋12k －1)＋(1＋12k ＋1)>2k ＋1(1＋12k ＋1) ＝2k ＋22k ＋1＝(2k ＋2)22k ＋1＝4k 2＋8k ＋42k ＋1>4k 2＋8k ＋32k ＋1＝(2k ＋1)(2k ＋3)2k ＋1 ＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1＝右边．(设计者：张建霞)。
课题研究-人教版选修2-2教案
课题研究-人教版选修2-2教案教学目标本节课的主要教学目标是：通过本单元的学习，让学生能够：1.了解人类对于未知探索的渴望，并思考未知的探索是否有止境；2.理解“少年维特的烦恼”这本小说中所蕴含的情感体验与社会现实；3.学会运用解构主义的思想，去分析小说中所包含的多种主题与语言技巧；4.提高阅读与写作的能力。
教学内容初始活动1.展示一个宇宙图片或是启发学生思考的思维导图，通过引导学生讨论，发散思维，建立人类对于未知探索的渴望与兴趣；2.引入小说“少年维特的烦恼”，并简要介绍小说背景和作者生平。
内容阐释1.解读小说《少年维特的烦恼》的文本，引导学生逐步理解三部分故事情节之间的联系；2.运用解构主义的思想，分析小说中所包含的主题；3.通过引导学生思考，通过现实事件了解小说中的主题所体现的现实问题；4.让学生体会小说中人物的情感体验，并通过分组讨论等方式深入研读；5.引导学生进行写作，通过作文练习提高学生的阅读与写作能力。
活动设置1.小组内部讨论：以小组为单位，让学生自由讨论小说中所蕴含的思想，并且经过思考，写下小组的结论，以及自己的想法。
2.个人写作：由教师出相应的题目，让学生撰写小论文，并进行互相交流、评价、修改。
教学方法课堂教学法本课堂采用的课堂教学法主要包括：1.多媒体教学法：通过PPT，图片，视频等多媒体手段展示课堂内容，使得学生能够更加形象地理解所学内容。
2.调查研究法：通过引导学生进行讨论、调查、研究等学习方式，激发其思维，提高其分析解决问题能力。
3.问答法：让学生在学习过程中提出问题，而教师以提问和回答的方式引导学生展开思维，深入探究。
4.活动实践法：让学生通过进行小组讨论、写作等实践活动，实现知识的巩固与提高。
教学评价1.口头评价：教师在课堂当中，可以适时地进行提问来进行学生的口头评价。
2.书面评价：让学生将自己的思想、结果、心得写下来，通过评分的方式进行评价。
3.同学评价：学生之间进行互相评价，评价方式可以是小组内、跨组内等多种形式。
【优质文档】2017-2018学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第2章2.12.1.1第一课时归纳推理
问题 5：数列 { an} 的前五项为 1,3,5,7,9 试写出 an. 提示： an＝2n－ 1(n∈N *)．
1． 推理
(1)推理的定义 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．
(2)推理的组成 任何推理都包含前提和结论两个部分，
前提是推理所依据的命题， 它告诉我们已知的知
识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．
n
的关系，往往会较简捷地获得结论．
1．已知正项数列
{ an} 的前 n 项和为
Sn，且满足
Sn＝
1 2
an＋
1 an
.求出
a1，a2，a3， a4，并
推测 an.
解：
∵
Sn＝
1 2
a
n＋
1 an
，∴
a
1＝
1 2
a
1＋
1 a1
，∴ a21＝1.
又∵ an>0，∴ a1＝ 1；
a1＋
a2＝
1 2
a2＋
1 a2
1＋
1 22＋
1 2＋ 1
2<
2× 2＋ 2＋1
1
；
第 3 个不等式：
1＋
1 22＋
1 32＋
1 3＋ 1
2× 3＋ 1 2< 3＋ 1 ；
…
故猜想第 n 个不等式为
111
1 2n＋ 1
1＋ 22＋ 32＋42 ＋… ＋ n＋ 1 2< n＋ 1 .
答案： 1＋ 212＋ 312＋…＋
1 2n＋ 1 n＋1 2< n＋ 1
数，前 n－1 行共有数字 1＋ 2＋ 3＋ …＋ (n－ 1)＝ n n－ 1 ，则第 n(n≥ 3)行的从左至右的第 3 2
385.高中数学教案选修2-2《第2章 推理与证明》
目标定位：1．推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方法．和过去的教学内容（例如函数）相比，在本章中是把基本的数学（思维）方法（而不是某个数学对象）作为正面研究对象的．因此，本章的学习过程，是中学生第一次对数学活动过程的正面的系统的审视——这就是我们对本章教学活动的定位．2．推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的“对象”．我们不能离开数学思维活动来谈论数学思维方法，不能满足于把数学方法看成是既定的程序、步骤和规则，不能满足于对方法做静态的逻辑的分析（这正是过去传统的教材中所强调的），而应当从（数学）活动本身，特别是从数学活动的过程来考察推理方法和证明方法建构的过程，以及这些方法是如何被运用到数学活动中成为“活”的方法的？应当着重于体会方法的特点、联系和作用（这正是传统教材中忽略的，而在苏教版教材中特别强调的）．这样一来，考察和研究数学思维过程就应该成为本模块学习的出发点和归宿了．3．与数学知识（如概念）的建构不同，在数学方法建构的过程中，数学思维活动过程本身就是被考察的对象并提供了抽象的原型．例如，在本章的引言中，教材就是通过对“摸球中的思维过程”的分析，抽象出推理、证明方法的．在这里，摸球中的思维过程本身就成为抽象的原型！正是这样的特点，决定了在有关“方法”的教学必须建立在对数学思维活动做“正面”考察的基础之上．4．课程标准明确指出：设置本模块的目的是让学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理、演绎推理以及数学证明的方法进行概括与总结，进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯，提高数学思维能力，形成对数学较为完整的认识．课程标准的上述要求．决定了本章中对思维过程的考察与分析应该是系统的，因为只有进行系统的考察才能让学生形成对数学较为完整的认识，才能通过对各种方法的比较，掌握各种方法的特点、作用以及它们之间的关系，更好地把它们运用到数学活动中去．5．本章具体的教学目标是：（1）结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含意，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．（2）结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理．（6）通过对实例的介绍（如欧基里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想．（7）了解计算机在自动推理领域和数学证明中的作用．教材解读：1．根据对本章教学的基本定位，为了帮助学生对数学思维过程作系统的正面的考察，教材做了如下的工作：（1）教科书为学习活动设置了数学探索发现活动的大背景，大框架．（注意引言的作用），在分别阐述了归纳、类比、演绎等推理方法以后，又专门设置了一节“推理案例赏析”所有这些，都为对思维过程进行系统的考察提供了条件．（2）教科书充分地利用案例，通过案例（这些案例大多是从学生学习过的材料中选取的）提供数学思维活动的素材，把案例当成学习活动的出发点和载体，把案例分析看成是教学活动的主要形式．因为惟有如此，才能使学生进行深刻的思考（反思），对思维活动过程做“正面的”审视．（3）教科书注意对思维活动过程做适度的形式化概括．因为惟有如此，才能把对思维过程分析的成果固定下来，形成数学方法并运用到思维活动中去．以上各点可以从第一节〈合情推理与演绎推理〉的展开框图中看出：2．和其他模块相比，在本章中，案例分析更具有举足轻重的作用．因为除了案例分析，我们实在找不到更好的方法为学生提供“数学活动过程”，让学生参与到数学活动中来体验数学方法发现的过程，看到活生生的数学方法．因此，案例分析应该成为本模块教学的出发点和载体，为考察和分析数学活动过程提供素材和讨论的平台，同时，案例分析也应该是教学活动的主要手段．教学方法与教学建议：1．在教学中不仅要重视对推理方法和证明方法的特点进行（静态）分析，更要重视这些方法被抽象出来的过程，通过对数学活动过程的分析来认识它们的特点和作用（即对它们做动态的考察）．从而正确地理解和运用这些方法，达到从整体上提高数学思维能力的目的．2．本章所学习的大部分内容如：合情推理、演绎推理、证明方法（包括反证法）都是学生熟悉的，他们早就在自觉或不自觉地把这些方法运用于学习与生活当中了．在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点，这是学生学习和理解本章内容的基础．3．在教学中，要通过对学生真实的思维过程和数学发现活动的典型案例的分析，让学生形成反思的意识，养成反思的良好习惯．4．教学的重点应该是对基本的数学方法的理解和运用.首先是对“推理”和“证明”在数学发现活动中的作用.这就要求学生从整体上认识本章所介绍的数学方法.如在“合情推理和演绎推理”的教学中，应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想．教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理（它们的作用、特点、关系），理解数学发现过程，而不必追求对概念的抽象表述．在证明方法的教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，掌握这些方法的思考过程，体会证明的必要性，而对证明的技巧性不宜作过高的要求．5．数学的推理方法和证明方法，不仅运用在数学中，而且在生活中的其它领域都有广泛的应用．在教学中要引用生活中和其它学科中的例子，让学生体会数学和生活的联系，体会数学应用的广泛性，认识数学的文化价值．6．公理化思想和机器证明体现了数学的文化价值．在教学中要让学生体会公理化思想中蕴涵的理性精神，和机器化证明中的算法思想．下面是具体的教学建议，供参考．引言1．华罗庚教授“摸球”的例子，为推理与证明的学习提供了一个大的背景．它具有丰富的教学意义．在教学中不仅应该让学生体会到，“推理”与“证明”是构成探索活动的两个最基本的环节，让学生体会到，探索活动是一个不断的“提出猜想——验证猜想——再提出猜想——再验证猜想”的过程，而且应当让学生体会到永不休止的探索精神正是理性精神的表现！而数学家就是通过不断地提出猜想、证明猜想来进行探索活动的！2．引言中提出的两个问题（我们怎样进行推理？我们怎样验证（证明）结论？）是本大节的中心问题．本节的教学内容就是依据它展开的．2．1合情推理与演绎推理1．合情推理和演绎推理是数学活动中常用的两种推理形式，它们具有不同的形式、特点和作用．本节先分别研究它们的特点和作用，然后再通过对具体的数学发现过程的分析，进一步体会它们之间的联系，在具体的数学思维过程中感受它们的作用．2．演绎、归纳、类比是学生熟悉的推理方式．教材列举了3个例子，开始了对这些推理形式的考察．教学中可以让学生举出更多的例子．3．通过揭示三个推理案例的共同点概括出“推理”的概念．并根据它们在结构上的不同特点，进行分类研究，这个过程虽然简单，却体现了案例分析是本章教学的主要形式的特点．2．1．1合情推理1．合情推理是由G·波利亚提出的概念．他通过对数学发现活动的分析注意到数学活动是由“猜想”和“论证”两个环节构成的，相应地在这两个不同的环节里使用着不同的思维方法，即合情推理与论证推理（教科书中称为演绎推理）．G·波利亚并没有为合情推理下定义．实际上，在教学中，只要让学生把合情推理看成是提出猜想的推理而演绎推理是可以给出证明的推理就行了．据此，教科书按照G·波利亚的思路，编写了引言，突出了对探索活动的分析，突出了“猜想”和“证明”两个重要的思维环节，而对合情推理的定义作淡化处理（只在阅读材料中提了一下）（《课程标准》给合情推理作了如下定义：合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某地结果的推理过程．）2．归纳、类比是合情推理的两种常用的形式，除此以外，合情推理还有其他的多种形式，如：联想、想象、直觉等等．2．1．1．1归纳推理1．归纳推理是学生熟悉的推理方式．和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察，考察的重点则是归纳推理的特点和它的作用．2．归纳推理的一般模式为：S1具有P，S2具有P，……S n具有P（S1，S2，…，S n是A类事物的对象）——————————————————————————所以，A类事物具有P．教学中可以介绍给学生．3．“思考”要求列举更多的有关归纳推理的例子，下面的例子可供参考．（1）观察：1 = 12，1 + 3 = 22，1 + 3 + 5 = 32，1 + 3 + 5 +7 = 42，由此猜想：1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n1) = n2．（2）1640年，费马在给友人的信中谈到：220+ 1 = 3，221+ 1 = 5，222+ 1 = 17，223+ 1 = 257，224+ 1 = 65 537都是素数，由此，他猜想：任何形如22n+ 1（n N）的数（通常称为费马数，记作F n）都是素数．此后，一直未有人怀疑过这个结论．直到1732年，欧拉发现F5 = 225 + 1 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417并不是素数，才推翻费马的猜想．此例还说明，在归纳推理中，根据同一个前提，可以推出不同的结论：当n > 1时，F n的末位数字是7（猜想）．2．要让学生体会到归纳不仅是一种方法，而且体现了一种态度．欧拉说：把归纳看成是一种机会，“以便证明它或推翻它”，这就是我们对待归纳的态度，而归纳的价值就在于“在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西．”可以看出，归纳的态度就是探索的态度，这一点在华罗庚的“摸球”游戏中也得到了充分的体现．要让学生体会到，探索活动是在猜想的推动下进行的，没有猜想就没有探索！而归纳的价值就在于它是提出猜想的一种方法！3．在归纳推理中，根据同一个的前提，往往可以推出不同的结论．例如从例4中的推理前提出发，也可以得到当n＞1时，F n的末位数字是7的结论（猜想）．4．完全归纳法（和数学归纳法类似）实质上是一种演绎推理，它是一种必然性推理，是数学证明的工具，因此它不属于合情推理．2．1．1．2 类比推理1．类比推理是学生熟悉的推理方式．和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察．2．类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质a'，b'，c'，（a，b，c与a'，b'，c'相似或相同）————————————————所以，B类事物可能具有性质d'．教学中可以介绍给学生．3．例1是根据等式的性质类比不等式的性质．4．例2可以看成是系统间的类比．用现代数学的角度来看，类比就是两个具有同构关系的模型间的推理．数学（科学）发现活动中的类比绝大多数都是这类类比．在教学中要注意对类比过程的分析．5．类比可以看成是从已知的相似性，推断未知的相似性的推理．在教学中要引导学生对类比的过程进行分析，弄清在推理中究竟是从哪些已知的“相似性”推出什么样的未知的“相似性”的．6．在运用类比推理时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；然后，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想．在教学中不要满足于对对象相似性的模糊认识，要坚持把它们的相似性用语言确切地表述出来．只有这样，才能把类比和“比喻”区别开来．2．1．2 演绎推理1．演绎推理是一种重要的推理形式，通过数学学习，学生已经在广泛地使用它，在教学中，要让学生体会到演绎推理是严格按照逻辑法则进行的推理，是必然性推理的特点．2．三段论是演绎推理的主要形式．三段论有多种格式，教科书介绍了其中常用的一种，其用意在于让学生体会到演绎推理是一种形式化程度相当高的推理，而不是正面讲“三段论”，因此，在教学中不必拓展补充．3．除了三段论以外，演绎推理还有直接推理，关系推理、联言推理、假言推理、选言推理等多种形式．4．三段论也有多种形式，三段论的依据是不言自明的三段论公理：一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物的部分也是什么或不是什么．对此教科书中用集合论的语言和图形作了说明，其目的是帮助学生理解三段论．（教学中不必提出三段论公理）5．三段论推理在数学中有重要的应用，特别是在理论初建或概念性质运用的初期．但是数学推理过程不全是三段论组合，直接用三段论推理的并不多，有些数学证明过程（如教科书中例2），虽然可以归结为三段论的组合，但却太为繁琐了，所以并不实用．6．数学并不等同于逻辑，它已独自发展几千年，尤其是它的符号系统，使得它有自身的一套简单的推理形式或规则，尽管它能用三段论解释，但大可不必去追溯它的三段论本源．因而在数学中，直接选定了若干演绎推理的规则．如：“如果q P ⇒，P 真，则q 真”、“如果b c ，，a b ⇒⇒，则c a ⇒”（三段论的“数学形式”）等等．（如课本中例2的证明就使用了这些规则）应该告诉学生，数学中的运算也是演绎推理的一种形式．7．在数学中学习演绎推理，并不等同于学习形式逻辑或数理逻辑，课程标准规定，本小节的学习目标是，“体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理”，相信注意到这些，就可以理解教科书的编写意图，并掌握教学的分寸了．8．在叙述演绎推理的特点时，要和归纳、类比的特点对照，让学生理解它们是两类不同的推理．9．教科书中说“演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性”，这并不是说，演绎推理就完全没有发现功能，更不是说演绎推理在数学发现活动中没有作用．为了让学生全面认识演绎推理在发现活动中的作用，教科书提供了阅读材料：“海王星的发现和探索性演绎法”，这个材料对全面准确地理解演绎推理在探索活动中的作用是很有帮助的．2．1．3 推理案例赏析1．《推理案例赏析》是推理方法的综合应用，是对推理方法更深层次的考察．这样，教科书就为推理的教学提供了一个“总——分——总”的结构，而本小节正是后一个“总”．它引导学生在前面学习的基础上，对各种推理方法做综合的动态的考察，帮助学生体会不同推理方法的特点和联系，感受它们在数学思维过程中的作用．2．在教学中，要注意对思维过程的分析．课本中提供的思维过程只是几种典型的解决问题的思路．面对着这些问题，学生可能会有更多的想法，应该鼓励学生谈谈自己的想法，并对课本中的思考过程做出评价．3．关于例1的教学．（1）“提出问题”是数学发现活动中重要的环节．教学中要注意分析提出问题的过程．在例1和例2中，都是通过类比提出研究课题的．（2）课本中的思路1是“归纳的方案”，总的说，它是通过归纳提出猜想的．但是应该注意到，作为归纳基础的“表”中的每个数据都是由运算提供的，也就是说，演绎提供了归纳的基础．所以说：在数学发现活动中，演绎起到了类似“实验”的作用，在这里演绎为归纳提供了前提．（3）在“归纳的方案”中，解题者原本希望从表2-1-5中归纳出一般结论，可是却失败了，但是正是失败引导他尝试计算S1（n）和S2（n）的比，找到了通向成功的路．要让学生体会到发现活动都是具有尝试的性质的，失败是经常会遇到的，所以常说“失败是成功之母”．通过教学要让学生体会到，对思维过程进行调控的重要性．对此，在“思路2”和例2中，都有体现．教学中，要让学生体会到发现过程是一个曲折的艰苦的过程，认识到思维调控的重要性．（4）尝试计算S1（n）和S2（n）的比，是导致发现的关键，这个念头是由“联想”激发的．联想也是合情推理的一种方法．（5）思路2是一个“演绎的方案”，但这并不是说，在这个方案中没有使用合情推理的方法，相反地，应该说合情推理在这个方案中同样起了关键的作用．比如，这个方案中的“初始念头”——“尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和”就是由合情推理提供的．（6）在思路2的教学中，设置了“（2）从失败中汲取有用的信息，进行新的尝试”的环节，是为了让学生体会到思维调控的重要性，注意对思维过程的分析，进而养成反思的习惯．（7）“既然能用上面的方法求出S1（n），那么我们也应该可以用类似的方法求出S2（n）”，这也是一个猜想，它是由类比得到的．4．关于例2的教学．（1）例2通过具体的问题对类比推理的方法做了更深入的介绍．类比在数学发现活动中具有十分重要的作用，应该让学生学会自觉地科学地把类比方法运用到发现活动中去．（2）把棱台和梯形类比，开始只是模糊的念头，通过分析，清晰地认识到它们之间的“相似性”，这时才会有科学的“类比推理”．因此，“确定类比对象”和“对类比对象的进一步分析”都是重要的思维环节，是进行类比推理的前提．学生在使用类比时，经常忽略这些环节．（3）验证猜想的过程也是对猜想做调整的过程．在这个过程中，合情推理仍然发挥着重要的作用．教学中请注意合情推理在“验证猜想”中的作用．（4）从美感出发做出的判断，可以称为审美推断．本例在“验证猜想”的环节中，使用了这种方法．审美推断也是一种合情推理的方法，在科学发现活动中具有重要的价值．通过案例的分析，应该让学生体会到审美在发现活动中的作用．（5）在公式（猜想）的调整过程中，实际上使用的是“探索性演绎法”（即在猜想的基础上进行的演绎推理），这可以让学生更好地体会到“演绎推理”在数学发现活动中所具有的类似于“实验”的功能．5．关于实习作业．学生可以通过查找资料来完成实习作业．例如可以引用本书提到的数学史中的例子：如欧拉公式、哥德巴赫猜想等，也可以从教科书中选取案例如：“正弦定理的发现”、“余弦定理的发现”、“和差化积公式的推导”等等．通过反思，对自己的思维活动进行分析（如你是怎样解决某个问题的）．6．在思考以及实习作业中，教材反复提出了相同的问题，其用意是希望为学生分析思维活动时提供一个反思的框架．2．2 直接证明与间接证明教学的重点是让学生了解直接证法与间接证法的特点，知道证明的一般步骤，能使用它们证明问题，在教学中不要拘泥于“概念”，在“概念”上下功夫．2．1 直接证明1．课本中选用的两个例子都是学生熟知的，在《数学（必修5）》的基本不等式中就采用了这两个证明．现在教科书把它用作讨论综合法和分析法的素材，是为了让学生能集中精力关注这两种证明方法形式结构上的特点和区别，进而展开对证明方法的研究．2．一般地，分析法和综合法是两种常见的思维方法，人们利用它们来寻求证明问题的思路．在教科书中是把它们看成两种证明方法的（指呈现出来的证明过程）．思维方法和证明方法当然有微妙的差别，但是如果把“证明”看成是思维过程，这样做也就没有什么不可以．3．综合法，从条件出发，“由因导果”，分析法，紧抓证题目标，“执果索因”．在实际的解题活动中，总是把两者结合起来使用的．2．2 间接证明1．反证法是一种重要的间接证法（同一法也是一种重要的间接证法）．在教学中应先让学生弄清直接证明和间接证明的区别，然后再转入反证法．2．学生在学习立体几何初步时，已经使用反证法，因此他们是有经验的，但当时并没有正面介绍反证法．3．反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律．反证法的实质在于：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾．具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是从原题的反论题“既p又┐q”入手，由p与┐q合乎逻辑地推出一个矛盾结果；根据矛盾律，两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假，断定反论题“既p 又┐q”为假；进而再根据排中律，两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真．由此肯定命题“若p则q”为真．虽然学生没有学过排中律和矛盾律，但是由于这两个定律的“准公理性”，学生还是能理解反证法的思想的，因而在教学中没有必要提出排中律和矛盾律．2．3 公理化思想1．公理化思想体现了数学中的理性精神和求真意识.为了确保命题真实性,数学对命题提出了演绎证明的要求,这种要求直接导致公理化产生.教学中要让学生体会到这一点.2.公理是“公认正确而不需证明的命题”,是“证明其它一切命题的基础”,是“选定”和“设置”的,都体现了现代公理法的思想,在教学中不要过多地强调公理是“经过长期的实践证明的”说法.3.可以建议有兴趣的学生阅读《数学史初步》中有关非欧几何的材料．教学案例:归纳推理执教:高建国(扬州大学附属中学)点评:张乃达 (江苏省扬州中学)1.概念、技能、能力、态度我们可以从不同的层面来看归纳．第一种是把它看成一个概念，这要弄清什么是推理？什么是归纳推理？这是从知识层面来看归纳的；第二种是把归纳看成是一种方法，这就要弄清怎样进行归纳？归纳有哪几步？第一步怎么做？第二步又怎么做？等等，这是从技能层面来看归纳的．第三种是把归纳看成是一种能力，提高学生的归纳能力——归纳的能力实质上就是分析，分析到位了，思维能力提高了，归纳才能得到有价值的东西．这是从能力的层面看归纳的．长期以来，我们的教师大都习惯于从上面三个层次看归纳，并以此确定本节课的教学内容和重点，这正是习惯于从知识与能力的层面看待数学教育的体现！其实，如果从文化的视角来分析，就可以看到归纳还可以被看成是一种态度，一种对待事物的态度．归纳的态度实际上就是探究的态度，它总是用探究者的眼光来看世界——看到某些现象，总想从中归纳出某种规律！促使哥德巴赫提出那个著名的猜想的正是这种态度，向中学生介绍哥德巴赫猜想的目的也正是让他们学习这种态度！这种态度正是理性精神的表现！也是这节课中最有教育价值的东西！通过上面的分析，对这节课应该怎么上就清楚了．通过这节课当然应该让学生知道什么是推理？什么是归纳？怎样进行归纳？但是这并不是重点，其实学生早就在使用归纳的方法了，现在只要正面的小结一下就可以了！提高归纳的能力也不是这节课能够实现的目标，归纳的能力，是思维能力的体现，它不能独立于思维能力之外，也不是通过这节课就能实现的目标！这节课的重点应该是归纳态度的培养和探究精神的激发！在本节课中，执教老师对课的定位是比较准确的，较好地处理了概念、技能、能力和态度的关系．渗透了归纳态度的培养，探求欲望的激发，让学生体会到，在我们的周围，到处都存在着值得探索的问题，到处都可以运用归纳的方法来提出猜想，进而展开探索的活动，这对学生理性精神的形成是很有意义的．2．用数学（家）的眼光看世界态度的培养和形成是数学文化教育所关注的问题，而用数学的眼光看世界正是数学文化教。
人教A版选修2-2第2章2.1.1.docx
第二章推理与证明§2.1合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理和类比推理定义特征归纳推理由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由__________概括出__________的推理．归纳推理是由____________，由____________的推理．类比推理由两类对象具有某些____特征和其中一类对象的某些__________，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是____________的推理.2.合情推理(1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过________、________、________、______，再进行________、________，然后提出________的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析比较、联想→归纳、类比→提出猜想一、选择题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 的值为( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．272．设n 是自然数，则18(n 2－1)[1－(－1)n]的值( )A ．一定是零B ．不一定是偶数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数3．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n 等于( ) A ．n B ．n 2 C ．n 3 D .n ＋3－n4．当a ，b ，c ∈(0，＋∞)时，由a ＋b 2≥ab ，a ＋b ＋c 3≥3abc ，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是( )A .a 1＋a 2＋…＋a n2≥a 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n)B .a 1＋a 2＋…＋a n 3≥3a 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n)C .a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (a i ∈R ，i ＝1,2，…n )D.a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n )5．已知函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (8)＝3，对任意的正实数x 1，x 2，f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，猜想f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝2x C ．f (x )＝log 2x D ．f (x )＝0 题 号 1 2 3 4 5 答 案二、填空题 6．观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n 个等式为__________________________．7．设n ≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝________.8．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“________________”；这个类比命题的真假性是__________． 三、解答题9．平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若f (n )表示这n 个圆把平面分割的区域数，试求f (n )．10．观察①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1.②tan 5°tan 10°＋ tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广， 此推广是什么？并证明你的推广．能力提升11．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1； ②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1； ⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________.12．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．(1)求f(4)；(2)当n>4时，用n表示出f(n)．1．归纳推理的一般步骤(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．3．合情推理获得的结论未必可靠，但能帮助我们猜测，发现结论．答案知识梳理1.定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.类比推理由两类对象具有某些类似特征和其类比推理是特殊到特殊的推理.中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.2.(1)观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想 作业设计1．B [∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9， ∴x －20＝12，∴x ＝32.]2．C [(1)当n 为偶数时，18(n 2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数．(2)当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N )，18(n 2－1)[1－(－1)n]＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数． 由①②知，18(n 2－1)[1－(－1)n]的值一定为偶数．]3．B [计算得a 2＝4，a 3＝9，∴猜想a n ＝n 2.]4．D [a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n (a i >0，i ＝1,2，…n )是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．] 5．C [由于log 28＝log 223＝3， 即满足f (8)＝3.log 2(x 1·x 2)＝log 2x 1＋log 2x 2， 即满足f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．] 6．12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1(1＋2＋3＋…＋n )7.⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为偶数)12n －13n(n 为奇数)解析 观察T n 表达式的特点可以看出T 2＝0，T 4＝0，……，∴当n 为偶数时，T n ＝0； 又∵T 3＝123－133，T 5＝125－135，……，∴当n 为奇数时，T n ＝12n －13n .8．夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题9．解 ∵f (n )表示n 个圆把平面分割成的区域数，如果再有一个圆和这n 个圆相交，则 增加2n 个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n 段弧，且每一段弧又将原来的平面区 域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n 个，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n ，亦即f (n ＋1)－f (n )＝2n ， 又f (1)＝2，由递推公式得f (2)－f (1)＝2×1， f (3)－f (2)＝2×2， f (4)－f (3)＝2×3， ……，f (n )－f (n －1)＝2(n －1)． 将以上n －1个等式累加得f (n )＝2＋2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝n 2－n ＋2.10．解 观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推广为α＋β＋γ＝π2且α，β，γ都不为k π＋π2 (k ∈Z )，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1. 证明：①γ＝0时，等式显然成立． ②当γ≠0时，由α＋β＋γ＝π2，得α＋β＝π2－γ，所以tan(α＋β)＝1tan γ. 又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan α·tan β) ＝1tan γ(1－tan α·tan β)， 所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α ＝tan αtan β＋tan γ(tan α＋tan β)＝tan αtan β＋tan γ·1tan γ(1－tan αtan β)＝1.综上所述，等式成立． 11．962解析 观察得：式子中所有项的系数和为1， ∴m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，∴m ＋n ＋p ＝162，又p ＝10×5＝50，m ＝29＝512， ∴n ＝－400，∴m －n ＋p ＝962. 12．解 (1)如图所示，可得f(4)＝5.(2)∵f(3)＝2；f(4)＝5＝f(3)＋3；f(5)＝9＝f(4)＋4；f(6)＝14＝f(5)＋5；……∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝12(n＋1)(n－2)．。
小结与复习-湘教版选修2-2教案
小结与复习-湘教版选修2-2教案一、教学目标综合利用所学知识，分析了解英国的政治、文化、社会及艺术等方面，培养学生的英语综合应用能力以及跨文化交际能力，使学生具备自主学习和探究的能力。
二、教学内容1.天才爱因斯坦2.英国的文化和礼仪3.苏格兰风情4.大卫·贝克汉姆5.罗宾汉三、教学方法本节课采用多种教学方法，包括听、说、读、写、演讲等，通过多方位的学习方式，帮助学生全面、深入地了解相关的内容。
四、教学过程1. 天才爱因斯坦1.让学生听一段关于爱因斯坦的介绍2.讨论爱因斯坦所取得的成就以及对人类的贡献3.让学生展示所做的爱因斯坦相关的研究成果2. 英国的文化和礼仪1.向学生介绍一些英国文化和礼仪知识2.引导学生分组讨论英国文化和礼仪与中国的异同3.让学生可以根据所了解的知识，模拟一些英国人的社交场合3. 苏格兰风情1.让学生欣赏一些苏格兰风情的文化作品2.让学生了解苏格兰的历史和地理位置3.让学生分组展示苏格兰文化的方方面面4. 大卫·贝克汉姆1.向学生介绍大卫·贝克汉姆的相关信息2.让学生阅读相关文章，并完成相关的阅读题目3.让学生模拟一次电视采访，问答关于贝克汉姆的相关问题5. 罗宾汉1.向学生介绍罗宾汉的历史和传说2.让学生阅读相关文章，并完成相关的阅读题目3.让学生分组进行罗宾汉的诠释表演五、教学反思本节课采用多种教学方法，通过多样化的课堂形式，有利于提高学生的学习兴趣，同时也促进了学生的综合素质的提升。
在实际教学中，由于学生基础的不同，需要更好的个性化教育，以满足针对不同学生的要求。
教师在教学中，需要注意对学生的及时的进行评价和反馈，帮助学生更好的学习。
北师大版数学选修2-2全套教案
3 5 f (2) , f (4) 2, f (8) , 2 2
7 ，推测当 n 2 时，有__________________________. 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2、已知： sin 30 sin 90 sin 150 ， sin 5 sin 65 sin 125 。 2 2 f (16) 3, f (32)
北师大版高中数学
选修 2-2 教案
目录
第一章 推理与证明 .............................................................................................. 3 归纳推理 ..................................................................................................... 3 类比推理 ..................................................................................................... 4 不等式证明一（比较法） .................................................................................. 6 不等式证明二（综合法） .................................................................................. 8 不等式证明三（分析法） .................................................................................10 不等式证明四（反证法与放缩法） ......................................................................13 数学归纳法及其应用举例 .................................................................................15 第二章 变化率与导数 ...........................................................................................18 平均变化率 .................................................................................................18 瞬时变化率—导数 .........................................................................................20 导数的概念 .................................................................................................21 导数的几何意义 ............................................................................................25 常见函数的导数 ............................................................................................26 函数的和、差、积、商的导数............................................................................28 第三章 导数的应用 .............................................................................................30 函数的单调性 ...............................................................................................30 函数的极值(1) .............................................................................................34 函数的最大值与最小值 ....................................................................................37 导数在实际生活中的应用 .................................................................................40 第四章 定积分 ...................................................................................................43 汽车行驶的路程 ............................................................................................43 定积分的概念（2 课时） ..................................................................................46 微积分基本定理 ............................................................................................49 定积分在几何中的应用 ....................................................................................50 定积分在物理中的应用 ....................................................................................51 第五章 数系的扩充与复数的引入 .............................................................................53 数系的扩充 .................................................................................................53
高中数学选修2-2 第二章 章末复习 学案
章末复习（学案）一、知识梳理一.推理叫推理.从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做 ,一部分是由已知推出的判断,叫 .2、合情推理:合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：1.归纳推理的一般步骤：⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑶检验猜想。
2.类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；⑶检验猜想。
3.演绎推理的一般模式：（1）大前提……已知的一般原理（2）小前提……所研究的特殊情况（3）结论………根据一般原理，对特殊情况作出的判断题型：用综合法证明数学命题二．证明三种方法的定义与步骤：1. 是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。
2. 是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。
3.反证法：假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫；它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) ； (2) ；(3) ；(4)二、情境导学探究任务：反证法问题(1)将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .试试：证明：5,3,2不可能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 →矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.三、典例解析题型1 用归纳推理发现规律[例1 ] 观察以下各等式：2020003sin 30cos 60sin 30cos604++= 2020003sin 20cos 50sin 20cos504++= 2020003sin 15cos 45sin15cos 454++=， 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．题型2 用类比推理猜想新的命题[例2 ]已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.题型3 用演绎推理[例3 ]已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．题型4 综合法证明数学命题[例4]证明:若0,>b a ,则2lg lg 2lgb a b a +≥+题型5 用分析法证明数学命题[例5]求证： 6+7>22+5。
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第二章 推理与证明第一课时 2.1.1 合情推理（一）教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入：. 二、讲授新课： 1. 教学概念：① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ②归纳推理的几个特点;1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上 归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？(ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形角和180度，能归纳出什么结论？(iii )观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题：① 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1nn na a n a +==+，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）3. 小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳. 三、巩固练习：22221.:5124,7148,111120,131168,...24,,?-=-=-=-=观察所得的结果都是的倍数继续试验你能得到什么猜想1122.{},1,(*),2.nn n na a a a n N a +==∈+在数列中试猜想这个数列的通项公式123.,2(1).n n n -+对于任意正整数猜想与的大小关系教学反思：第二课时 2.1.1 合情推理（二）教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、复习准备：二、讲授新课： 1. 教学概念：① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的几个特点;1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能2. 教学例题：① 出示例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）思维：直角三角形中，090C ∠=，3条边的长度,,a b c ，2条直角边,a b 和1条斜边c ； →3个面两两垂直的四面体中，090PDF PDE EDF ∠=∠=∠=，4个面的面积123,,S S S 和S 3个“直角面”123,,S S S 和1个“斜面”S . → 拓展：三角形到四面体的类比. 3. 小结：类比推理的一般步骤:1. 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征2. 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想3. 检测猜想教学反思：第三课时 2.1.2 演绎推理教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。
.教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式. 教学过程： 一、复习准备：复习:合情推理归纳推理的一般步骤：类比推理的一般步骤：二、讲授新课：观察与思考1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.2.一切奇数都不能被2整除因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数, 因为tan 三角函数, 所以是tan 周期函数1. 教学概念：①概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
要点：由一般到特殊的推理。
②讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；演绎推理：由一般到特殊.“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.②举例：举出一些用“三段论”推理的例子.2. 教学例题：练习:(0){},.n n n a cq cq a =≠1.证明通项公式为的数列是等比数列并分析证明过程中的三段论,,,,:ABC AC BC CD AB ACD BCD ∆>∠>∠2.如图在中是边上的高求证,,ABC CD AB AC BC AD BD ACD BCD∆⊥>>∠>∠证明：在中因为 所以于是指出上面证明过程中的错误。
3. 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）• ①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理.• 从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程. 教学反思：第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.D BCA教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备： 二、讲授新课： 1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示：要点：顺推证法；由因导果.④ 出示例3：在△ABC 中，三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.2. 练习：、1.已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b ca b c+-+-+-++> 2,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B +=求证：60A B +=. （提示：算tan()A B +） 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P44 练习 1题）2. ABC ∆的三个角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 46 A 组 1题. 教学反思：第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2.讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a ba b +>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件） 二、讲授新课： 1. 教学例题：22()()0,:.828a b a b a b a b a b-+->><<例2.已知求证222224.,(),sin cos 2sin ,(1)2sin cos sin ,(2)1tan 1tan :.1tan 2(1tan )k k Z παβπθθαθθβαβαβ≠+∈+=⋅=--=++已知且求证③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+. 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求） 2. 练习：>+1.求证21,,,2,(),22a b c S ab S a b c S a ==++<2.设为一个三角形的三边且试证222tan sin ,tan sin ,()16a b a b ab αααα+=-=-=3.已知求证3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意） 三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥.略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥，即：3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.2. 作业：教材P 46练习 2、3题. 教学反思：第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备：A 、B 、C 三个人，A 说B 撒谎，B 说C 撒谎，C 说A 、B 都撒谎。