平行四边形中的动点问题【精品】
《平行四边形中的动点问题》教学设计
课题名称：平行四边形中的动点问题授课人：教学目标1、通过本节课的学习，使学生掌握动点问题的分析方法。
2、渗透分类讨论的数学思想方法3、培养学生的数学思维习惯，增强学生学习数学的自信心教学重点平行四边形中的动点问题的分析方法教学难点抓住以静制动，“动中求静〞。
教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课引言：?平行四边形?这一章我们已经学完，对本章的根底知识，根本技能同学们已经掌握的很好，然而这些只是数学的皮毛，真正地学好数学在于能否把各知识点融汇贯穿，把不动的几何图形，动起来，形成动态几何，本节课我们就来研究?平行四边形中的动点问题?动态几何是中考的热点问题，也是最能考察学生动脑动手的能力问题，所以，本节课你们要发挥你们的小宇宙，挑战自我。
Ⅱ．导入新课热身练习：如图，在四边形ABCD 中∠B=90°，AD∥BC且AD=4cm AB=6cm DC=10cm假设动点P从A 点出发以每秒1cm的速度沿线段AD向点D 运动，点Q是BC上一定点，CQ= 3cm，设运动时间为t秒，探究：当t= 时四边形PQCD 是平行四边形？【师生活动】师：领着学生分析问题，问：一个点在动你首先要知道什么？生：找到段落中的关键字师生：总结动点问题中的考前须知①出发点，终止点，路径②动点的速度③效果【设计意图】本问题只是让学生初步了解动点的要素，让学生感受动态过程。
变式一：如图，在四边形ABCD中∠B=90°，AD∥BC且AD=4cm AB=6cm DC=10cm假设动点P从A点出发以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动，动点Q从C点ABDCA B DC出发，以每秒2cm 的速度沿CB 向点B 运动，当一个点到达终点时，动点P 、Q 同时停止运动设点P 、Q 同时出发并运动了t 秒求：当ｔ为何值时四边形PQCD 是平行四边形？【师生活动】师：进一步引导学生如何看待动点问题，把问题简单化。
当一个问题呈现在眼前时，你要把它想象成一个情景，你是导演，而不变的条件是舞台背景，变化的条件即动点那么是演员，能不能到达预期的效果，就看导演能不能通观全局恰当的安排好演员。
平行四边形动点问题方法总结
平行四边形动点问题方法总结大家好，今天我们来聊聊平行四边形动点问题。
这个问题可大可小，有时候我们在生活中也会碰到这样的问题。
比如说，你拿着一个碗，碗口朝下放在地上，然后用一根棍子在碗里搅动，碗里的水会形成一个漩涡。
这个现象背后就隐藏着平行四边形动点问题。
那么，我们怎么解决这个问题呢？接下来，我就要给大家普及一下解决平行四边形动点问题的三大法宝：三角形法则、相似三角形法则和向量法。
我们来说说三角形法则。
三角形法则是解决平行四边形动点问题的基本方法。
它的核心思想是利用三角形的三个顶点和三条边的关系，将平行四边形分解成若干个三角形，然后分别求解这些三角形的问题，最后将结果合并起来得到原问题的解。
这个方法简单易懂，而且非常实用。
但是，有时候三角形法则并不能直接解决问题，这时候我们就需要用到第二个法宝：相似三角形法则。
相似三角形法则是解决平行四边形动点问题的另一个重要方法。
它的核心思想是利用相似三角形的性质，将平行四边形分解成若干个相似的三角形，然后分别求解这些三角形的问题，最后将结果合并起来得到原问题的解。
这个方法比三角形法则更加灵活，可以处理更多的问题类型。
但是，相似三角形法则也有它的局限性，有些问题无法用相似三角形法则解决。
这时候，我们就需要用到第三个法宝：向量法。
向量法是解决平行四边形动点问题的最高级方法。
它的核心思想是利用向量的概念，将平行四边形分解成若干个向量，然后分别求解这些向量的问题，最后将结果合并起来得到原问题的解。
这个方法非常强大，可以处理各种复杂的问题类型。
而且，向量法还有一个优点，就是它可以避免一些几何陷阱，让你在解决问题的过程中更加得心应手。
解决平行四边形动点问题有三大法宝：三角形法则、相似三角形法则和向量法。
这三大法宝各有优缺点，我们需要根据具体的问题类型来选择合适的方法。
如果你觉得这些方法还是太难了，也不用担心，我们还有很多其他的方法可以用来解决这个问题。
比如说，你可以尝试画图、列方程、用公式等等。
平行四边形动点最值问题
平行四边形动点最值问题在平面直角坐标系中，给定平行四边形ABCD，其中AB与CD平行，AB=a，BC=h。
设点P在平行四边形内部运动，且其横坐标为x，纵坐标为y。
若定义函数f(x)=PA+PB-PC-PD，求f(x)的最大值和最小值。
解题思路：首先得出点P的坐标为(x,y)，则点A的坐标为(0,h)，点B的坐标为(a,h)，点C的坐标为(a,-h)，点D的坐标为(0,-h)。
接下来考虑如何求出PA、PB、PC、PD的值。
根据勾股定理，PA = (x-0) + (y-h) = x + y - 2hy + h，同理可得PB = (x-a) + (y-h) = x - 2ax + a + y - 2hy + h，PC = (x-a) + (y+h) = x - 2ax + a + y + 2hy + h，PD = (x-0) + (y+h) = x + y + 2hy + h。
将PA、PB、PC、PD的值代入f(x)的公式中，得到f(x) = 2x + 2y - 2ax - 2hy。
我们知道，对于给定的平行四边形ABCD，点P在平行四边形内部运动，所以点P的坐标(x,y)必须满足以下条件：1. 0 < x < a2. -h < y < h根据这个条件，我们可以得到f(x)的最大值和最小值。
当y=h时，f(x)的最小值为f(0) = -2ah + 2h。
当y=-h时，f(x)的最大值为f(0) = 2ah + 2h。
当y=0时，f(x)为一个抛物线开口朝上的二次函数，其顶点坐标为(x,y) = (a/2,h/2)，最小值为f(a/2) = h - a/2。
综上所述，f(x)的最大值为2ah+2h，最小值为-2ah+2h，最小值出现在y=h时，最大值出现在y=-h时，当y=0时，f(x)的最小值为h-a/2。
人教版八年级下册数学《平行四边形》动点问题带答案
《平行四边形》动点问题（一） 1. 如图，在△ABC 中，△ACB=90°，CD△AB 于点D ，点P 在线段DB 上，点M 是边AC 的中点，连接MP ，作△MPQ=90°，点Q 在边BC 上，若AC=6，BC=8，则（ ）A ．当CQ=4时，点P 与点D 重合B ．当CQ=4时，△MPA=30°C ．当PD=57时，CQ=4 D ．当PM=PQ 时，CQ=4 【答案】C2. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上，AF=6cm ，BF=12cm ，△FBM=△CBM ，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/秒的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动．当点P 运动 时，以点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．【答案】3或5秒3. 已知四边形ABCD ，△ABC=45°，△C=△D=90°，含30°角（△P=30°）的直角三角板PMN （如图）在图中平移，直角边MN△BC ，顶点M 、N 分别在边AD 、BC 上，延长NM 到点Q ，使QM=PB ．若BC=10，CD=3，则当点M 从点A 平移到点D 的过程中，点Q 的运动路径长为__________。
【答案】27△当P点有8个时，x=22-2；△当△PEF是等边三角形时，P点有4个A．△△B．△△C．△△D．△△【答案】B6.如图，在△ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，△A=60°．点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F的运动速度为1cm/s，它们同时出发，同时停止运动，经过s时，EF=AB．7.如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，A′B′表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中OP（）A．下滑时，OP增大B．上升时，OP减小C．无论怎样滑动，OP不变D．只要滑动，OP就变化【答案】C8.如图，E是△ABCD边AD上动点，连接CE作△ECDN，过A点作AM△EN，交EN延长线于点M，作矩形AMEF，动点E从A出发，沿着AD方向运动到终点D，在整个运动变化的过程中，记△ECDN的面积为S2，矩形AMEF的面积为S1，则S1+S2大小变化情况是（）A．一直在减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小【答案】C9. 如图，在矩形OAHC 中，OC=8，OA=12，B 为CH 中点，连接AB ．动点M 从点O 出发沿OA 边向点A 运动，动点N 从点A 出发沿AB 边向点B 运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM ，CN ，MN ，设运动时间为t （秒）（0＜t ＜10）．则t= 时，△CMN 为直角三角形．【答案】27或424141 10. 如图，已知矩形ABCD ，AB=8，AD=4，E 为CD 边上一点，CE=5，点P 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA 边向终点A 运动，连接PE ，设点P 运动的时间为t 秒，则当t 的值为 时，△PAE 是以PE 为腰的等腰三角形．动点．若点P 从点F 出发，沿F→A→D→C 的路线运动，当△FPE=30°时，FP 的长为__________。
专题5 特殊平行四边形的动点问题
专题5特殊平行四边形的动点问题类型一、一般动点问题【例1】如图，在Rt ABC ∆中，90,60B AC ∠=︒=cm,60A ∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B 匀速运动.当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t s (015)t <≤.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .（1）求证：AE=DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由；（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.【解答】（1）证明：根据题意可知CD=4t ，AE=2t ，∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠C=30°，∴DF=21DC=2t.∵AE=2t ，DF=2t ，∴AE=DF.（2）能.理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF.∵AE=DF ，AE ∥DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，∴要使平行四边形AEFD 为菱形，则需AE=AD ，即2t=60-4t ，解得t=10，∴当t=10时，四边形AEFD 为菱形.（3）根据题意可知需分∠EDF=90°或∠DEF=90°两种情况讨论.①当∠EDF=90°时，∵∠EDF=∠B=∠DFE=90°，∴四边形DEBF 是矩形，∴∠DEB=90°，∴∠AED=90°.∵∠AED=90°，∠A=60°，∴∠ADE=30°.∵∠AED=90°，∠ADE=30°，∴AD=2AE ，即60-4t=4t ，解得t=215.②当∠DEF=90°时，∵四边形AEFD 为平行四边形，∴EF ∥AD ，∴∠ADE=∠DEF=90°.∵∠ADE=90°，∠A=60°，∴AD=21AE ，即60-4t=21×2t ，解得t=12.综上所述，当t=215或12时，△DEF 为直角三角形.【例2】如图在平面直角坐标系中，A (16，0)、C (0，8)，四边形OABC 是矩形，D 、E 分别是OA 、BC 边上的点，沿DE 折叠矩形，点A 恰好落往y 轴上的点C 处，点B 落B '处。
初二数学《平行四边形中的动点问题》(附练习及答案)
四边形中的动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或直线上运动的一类开放性题目。
解决这类问题关键是动中求静,灵活运用有关数学知识。
数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想，其注重对几何图形运动变化能力的考查。
这类类问题从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力。
解决这类问题首先要在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要画出图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程；其次在变化中找到不变量的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
动点问题题型方法归纳：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就四边形中的动点问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD的面积是_____________2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为________（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为____________4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t ≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）；（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）求当t为何值时，四边形ACFE是菱形；（3）是否存在某一时刻t，使以A、F、C、E为顶点的四边形内角出现直角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．6、在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．8、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是______；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______（第9题）（第10题）10、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD 的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求AP的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm／s。
平行四边形中的动点问题含答案
平行四边形中的动点问题一、新课导入（一）学习目标学会运用数形结合思想，能根据题意结合平行四边形的性质、判定列出方程，进行相关的计算或证明，解决有关平行四边形中的动点问题．（二）预习导入1．在四边形ABCD中，AB∥CD，请添加一个条件：_____________，使得四边形ABCD 是平行四边形．2．如图，边长为4的正方形ABCD中，动点Q以每秒4个单位的速度从点A出发沿正方形的边AD-DC-CB方向做折线运动，设点Q的运动时间为t秒．当点Q在DC上运动时，DQ=________，QC=________（用含t的代数式表示）．二、典型问题知识点：平行四边形中的动点问题例如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，∠COA=60°，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（10，43）．动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC 运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当运动2秒时，求△APQ的面积；（2）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？分析：（1）作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．求出PA，QE即可解决问题；（2）如当点Q在射线BC上，且CQ=PA时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，由此构建方程即可解决问题．三、阶梯训练A组：基础练习1．在矩形ABCD中，AB=6cm，∠ACB=30°，动点P从A出发沿AC向点C以2cm/s的速度运动，运动经过_______秒时，BP的长度最小，最小值为_________．2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为_________．3．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AD边上的一个动点，AC=AD=6，则OE的最小值为__________．4．如图，在▱ABCD中，AC=8，BD=12，点E，F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止．运动时间为_______秒时，四边形AECF为矩形．5．在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC ∥x 轴，若A 点的坐标为（-1，22），C 点坐标为（3，-22）．若动点P 沿矩形ABCD 的边从A →D →C 的路径运动，运动速度为每秒2个单位，运动时间为t 秒．（1）当t=1时，S △BCP =________，当t=4时，求S △BCP =________；（2）当△BCP 的面积是矩形ABCD 面积的14时，求点P 的坐标．6．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB=3，BC=5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连接PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）BQ=__________（用含t 的代数式表示）；（2）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，求t 的值．B组：拓展练习7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，P为对角线AC上一动点，则△PBE的周长的最小值为_________．8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，E，F分别是AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若H从F点出发，沿线段FE以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，设运动时间为t s．①当t=______时，四边形BPHE是平行四边形；②是否存在t的值，使四边形PCFH是菱形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．平行四边形中的动点问题答案一、新课导入预习导入1．AB=CD（答案不唯一）．2．4t-4，8-4t．例（1）作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．∵A（6，0），B（10，43），∴OA=6，OF=10，BF=43．∴AF=10-6=4，AB= 2+ 2=8．当t=2时，OP=2，PA=4，AQ=4．∵四边形OABC是平行四边形，∴∠BAF=∠COA=60°．∴∠AQE=30°．∴AE=12AQ=2．∴EQ=23．=12PA•QE=43．∴S△PAQ（2）当点Q在射线BC上，且CQ=PA时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．∴|14-2t|=|t-6|．解得t=203或8．∴t为203或8时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．1．32，33cm．2．2或3．5．34．2或10．5．（1）82，8；（2）当点P是CD的中点时，△BCP的面积是矩形ABCD面积的14，则P点坐标为（3，0）．6．（1）5-t；（2）如图，过点O作EF⊥AD交AD，BC于点E，F．Rt△ABC中，∵AB=3，BC=5，∴AC=4．∴AO=CO=2．∵S△ABC＝12AB·AC＝12BC·EF，∴3×4=5×EF，∴EF＝125．∴OE＝65．∵OE是AP的垂直平分线，∴AE=12AP=t，∠AEO=90°，由勾股定理得AE2+OE2=AO2，∴（12t）2+（65）2＝22．∴t=165．∴当t=165时，点O在线段AP的垂直平分线上．7．3+1．8．（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．∵E，F分别为AB，AC的中点，∴DE和DF是△ABC的中位线．∴DE∥AC，DF∥AB．∴四边形AEDF是平行四边形．∵E，F分别为AB，AC的中点，AB=AC，∴AE=AF．∴四边形AEDF是菱形．（2）①1；②不存在t的值，使四边形PCFH是菱形．理由如下：∵EF∥BC，∴FH∥PC．若四边形PCFH为菱形，则FH=PC=CF．当FH=PC时，2t=10-3t．解得t=2．∴FH=PC=4．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12BC=5．∴AC=AD2+CD2=89．∵F是AC的中点，∴CF=12AC=FH=PC≠CF．∴四边形PCFH是平行四边形，不是菱形．∴不存在t的值，使四边形PCFH是菱形．。
有关平行四边形的动点问题
有关平行四边形的动点问题
平行四边形是由两组相邻的平行线和它们之间的四条线段组成的四边形。
在平行四边形中，我们可以考虑一个点在它沿着一个方向移动的同时，沿着另一个方向的轨迹。
这个点被称为“动点”。
如果动点沿着平行四边形的一条边上移动，那么它所相应的高度和底边也会相应地改变。
因此，如果我们将平行四边形分成许多小长方形，并在这些小长方形的顶点处放置动点，则可以形成一条光滑的曲线。
这个曲线被称为平行四边形的“径线”。
如果动点同时沿着两个方向移动，则可以得到一个新的曲线，称为“余弦曲线”。
这个曲线看起来像是一个上下波动的曲线，与平行四边形的一条对角线平行。
有趣的是，这两个曲线都是周期性的，其周期等于平行四边形的面积除以它沿着这个方向的速度。
因此，我们可以通过这些曲线来计算平行四边形的面积和周长。
通过研究这些平行四边形的动点问题，我们能够深入了解其内在的几何性质和性质之间的相互关系。
这不仅有助于帮助我们更好地理解平行四边形，还可以为其他更复杂的几何形状和问题提供有用的洞见和启示。
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专项一：平行四边形中的动点问题 1.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC ＝6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速 度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动， 2 s后 四边形ABQP为平行四边形．
2.如图，在等边△ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E 从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发 沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E，F同时出发， 设运动时间为t（s），当t＝ 2或6 时，以A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形．
解：设点P，Q运动的时间为t s． 则AP=t,PD=24-t;CQ=3t,BQ=26-3t. （1）当PQ//CD时， ∵AD∥BC， ∴四边形PQCD为平行四边形 ∴PD＝CQ ∴24－t＝3t． ∴t＝6． ∴当t为6s时，PQ//CD．
（2）当PQ=CD时 第一种情况：如图，
PQ=CD，四边形PQCD为平行四边形 由PD=CQ知 24－t＝3t， ∴t＝6． 第二种情况：如图，
(2)存在．设点M的坐标为(0，m)．＝18，
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解得m＝±6， ∴点M的坐标为(0，6)或(0，－6)．
3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，a)，B(b，a)，且
a，b满足(a－3)2＋|b－6|＝0.现将线段AB向下平移3个单位长度，再向左平
3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，a)，B(b，a)，且 a，b满足(a－3)2＋|b－6|＝0.现将线段AB向下平移3个单位长度，再向左平 移2个单位长度，得到线段CD，点A，B的对应点分别为点C，D.连接AC，BD.
(1)如图1，求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积；
【教材母题】课本68页第13题 例：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝ 24cm，BC＝26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q 从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到 达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ//CD和 PQ=CD，分别需经过多少时间？为什么？
变式1：设点P，Q运动的时间为t s，当t取何值时,ABQP是矩形?
解：当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ 即t＝26－3t， 解得t＝6.5．
∴当t为6.5 s时，四边形ABQP是矩形．
变式2：设点P，Q运动的时间为t s，是否存在t，使得△DQC是等 腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
变式2：设点P，Q运动的时间为t s，是否存在t，使得△DQC是等
腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
第三种情况： 当QD＝QC时 过点D作DH⊥CQ于H， ∵DH＝8，CH＝2，DC＝ ， QC＝QD＝3t， ∴QH＝|3t－2| 在Rt△DQH中，DH2+QH2=DQ2 ∴
解得t＝ 综上，当t＝ s或 s， s时， △DQC是等腰三角形．
解：CD的长度为 第一种情况：
当CQ＝CD时， 即3t＝ ， ∴t＝
变式2：设点P，Q运动的时间为t s，是否存在t，使得△DQC是等
腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
第二种情况： 当DQ＝DC时， 过点D作DH⊥CQ于H, ∵ AD∥BC ∴∠B＝∠A＝∠DFB＝90°， ∴四边形ABHD是矩形 ∴AD＝BH=24． ∴CH＝BC－BH＝2 ∵DQ=DC,DH⊥CQ ∴CQ=2CH=4 ∴3t=4，t=
移2个单位长度，得到线段CD，点A，B的对应点分别为点C，D.连接AC，BD. (3)如图2，点P是直线BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在直线BD上移动
时(不与B，D重合)，直接写出∠BAP，∠DOP，∠APO之间满足的数量关系． (3)①当点P在线段BD上移动时，∠APO＝∠DOP＋∠BAP. 理由如下：如图，过点P作PE∥AB. ∵CD由AB平移得到，则CD∥AB，∴PE∥CD， ∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE， ∴∠BAP＋∠DOP＝∠APE＋∠OPE＝∠APO. ②当点P在DB的延长线上时，同①的方法得， ∠DOP＝∠BAP＋∠APO. ③当点P在BD的延长线上时，同①的方法得， ∠BAP＝∠DOP＋∠APO.
专项二：矩形中的动点问题
4.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个 动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F.若AB＝3，BC＝4， 则PE＋PF的值为（ D ）
A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm， BC=18cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度向点D运动；同时点Q从点C 同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随之停止运动．从运动开始，经过多少时间，点A、B、 Q、P为顶点的四边形是矩形？
分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF， 垂足为E，F． ∵ AD∥BC，∴∠B＝∠A＝∠DFB＝90°， ∴四边形ABFD是矩形 ∴AD＝BF=24. ∴CF＝BC－BF＝2. 同理可得四边形PEFD是矩形 ∴PE=DF,PD=EF=24-t ∵PQ=CD，∠PEQ=∠DFC=90° ∴△PQE≌△DCF ∴QE=CF=2 ∴QC- EF=QE+FC=4 ∴3t-(24-t)=4, t=7 ∴当t为6s,或7s时，PQ＝CD．
解：(1)∵(a－3)2＋|b－6|＝0， ∴a－3＝0，b－6＝0，解得a＝3，b＝6. ∴A(0，3)，B(6，3)． ∵将点A，B分别向下平移3个单位长度，再向左平移2 个单位长度，∴C(－2，0)，D(4，0)， ∴S四边形ABDC＝AB·OA＝6×3＝18.
3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，a)，B(b，a)，且 a，b满足(a－3)2＋|b－6|＝0.现将线段AB向下平移3个单位长度，再向左平 移2个单位长度，得到线段CD，点A，B的对应点分别为点C，D.连接AC，BD. (2)在y轴上是否存在一点M，使三角形MCD的面积与四边形ABDC的面积相 等？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由；