第十五章含参变量的积分(数学分析)课件
第十五章含参变量的积分教学目的与要求1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义；4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系；7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。
教学重点1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分；3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等6 Beta函数和Gamma函数的性质。
教学难点1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；§1 含参变量的常义积分教学目的1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.教学过程1 含参变量的常义积分的定义（P373）2 含参变量的常义积分的分析性质连续性定理P374Theorem 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续 , 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 .Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 函数)(1x y 和)(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数⎰=)()(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续.例 1 求下列极限 (1)dx y x y ⎰-→+11220lim(2) dx nxnn ⎰++∞→1)1(11lim积分次序交换定理P375 例2 见教材P375.积分号下求导定理P375—376Theorem 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且⎰⎰=dc d c x dy y x f dy y x f dxd ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) .Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 函数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分⎰=)()(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上可微 , 且()())()(,)()(,),()(1122)()(21x y x y x f x y x y x f dy y x f x G x y x y x '-'+='⎰. 例2 求下列函数的导数 (1) ⎰>+=122)0()ln()(y dx y x y F (2) ⎰-=22)(x xxy dx e y F例3 计算积分 dx x x I ⎰++=1021)1ln(.例 4 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续 . 验证当||x 充分小时 , 函数 ⎰---=x n dt t f t x n x 01)()()!1(1)(φ的1-n 阶导数存在 , 且 )()()(x f x n =φ.(P376定理15.1.4) 例4 求⎰++=yb y a dx x yxy F sin )(的导数例5 研究函数 ⎰+=10 22)()(dx y x x yf y F 的连续性，其中)(x f 是]1,0[上连续且为正的函数。
解 令22)(),(yx x yf y x g +=，则),(y x g 在],[]1,0[d c ⨯连续，其中],[0d c ∉。
从而)(y F 在0≠y 连续。
当0=y 时，0)0(=F当0>y 时，记 0)(min ]1,0[>=∈x f m x ，则⎰+=10 22)()(dx y x x yf y F ⎰+≥1 0 22dx y x y m y m 1arctan = 若)(lim 0y F y +→存在，则 ≥+→)(lim 0y F y y m y 1arctanlim 0+→)0(02F m =>=π故)(y F 在0=y 不连续。
或用定积分中值定理，当0>y 时， ]1,0[∈∃ξ，使 ⎰+=10 22)()(dx y x x yf y F ⎰+=1 0 22)(dx y x yf ξ yf yxf 1arctan )(arctan)(1ξξ==若)(lim 0y F y +→存在，则=+→)(lim 0y F y y f y 1arctan)(lim 0ξ+→02>≥m π故)(y F 在0=y 不连续。
问题1 上面最后一个式子能否写为y f y 1arctan)(lim 0ξ→0)(2>=ξπf 。
事实上，ξ是依赖于y 的，极限的存在性还难以确定。
例6 设)(x f 在],[b a 连续，求证⎰-=xcdt t x k t f k x y )(sin )(1)( （其中 ],[,b a c a ∈）满足微分方程 )(2x f y k y =+''。
证 令)(sin )(),(t x k t f t x g -=，则)(cos )(),(t x k t kf t x g x -=， )(sin )(),(2t x k t f k t x g xx --=它们都在],[],[b a b a ⨯上连续，则⎰-='xcdt t x k t f x y )(cos )()()()(sin )()( x f dt t x k t f k x y x c+--=''⎰y k y 2+'')()(sin )( x f dt t x k t f k x c +⎰--=⎰-+x c dt t x k t f k )(sin )()(x f =例7 设)(x f 为连续函数，ξηηξd d x f x F hh ])([)(00⎰⎰++=求)(x F ''。
解 令u x =++ηξ，则ξηηξd d x f x F hh ])([)(00⎰⎰++=⎰⎰+++=hx x hdu u f d ξξξ)(0])()([)(0⎰⎰+-++='hhd x f d h x f x F ξξξξ在第一项中令u h x =++ξ，在第二项中令u x =+ξ，则])()([)(2⎰⎰+++-='hx xhx hx du u f du u f x F)]()(2)2([)(x f h x f h x f x F ++-+=''问题2 是否有ξηηξd d x f x x F h h ])([)(00⎰⎰++∂∂='ξηηξd d x f x hh ])([00⎰⎰++∂∂=例8 利用积分号下求导法求积分dx xx a a I ⎰=2/0tan )tan arctan()(π， 1||<a解 令 xx a a x f tan )tan arctan(),(=2,0π=x 时，f 无定义，但a a x f x =+→),(lim 0，0),(lim 2=-→a x f x π，故补充定义a a f =),0(， 0),2(=a f π则f 在],[]2,0[b b -⨯π连续（10<<b ），从而)(a I 在)1,1(-连续。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=<∈+=1|| ,2,0 ,01|| ),2,0( ,tan 11),(22a x a x x a a x f a ππ显然)0,(x f a 在2π=x 点不连续，但),(a x f a 分别在)0,1(]2,0[-⨯π和)1,0(]2,0[⨯π连续，故有⎰='2/0),()(πdx a x f a I a ⎰+=2/022tan 11πdx xa ， )0,1(-∈a 或)1,0(∈a 令t x =tan⎰+∞++='0222)1)(1(1)(dt t a t a I ⎰+∞++--+-=0222222222)1)(1(111dt t a t a t a t a a ⎰+∞+-+-=022222])1()1(1[11dt t a a t a |)|1(2a +=π， )0,1(-∈a 或)1,0(∈a积分之1)1ln(2)(C a a I ++=π， )1,0(∈a2)1ln(2)(C a a I +--=π， )0,1(-∈a因为)(a I 在)1,1(-连续，故0)(lim )0(0==+→a I I a )(lim 0a I a -→=得021==C C ，从而得 |)|1ln(sgn 2)(a a a I +=π， 1||<a作业：P378----379 2、3、5、6、8（2）（3）、11§2 含参变量的反常积分教学目的1 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义；2 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；3 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；教学过程1 含参变量的反常积分的一致收敛含参变量的反常积分有两种: 无穷区间上的含参变量的反常积分和无界函数的含参变量的反常积分. 定义P379---381 无穷积分⎰+∞adx y x f ),(在区间],[d c :一致收敛: ],[,,0,000d c y A A A ∈∀>∀>∃>∀ε有ε<⎰+∞Adx y x f ),(;非一致收敛: ],[,,0,0000d c y A A A ∈∃>∃>∀>∃ε有00),(ε≥⎰+∞A dx y x f .2 一致收敛性的判别法 (Cauchy 收敛原理) P381 (s Weierstras 判别法)P382例1 证明:无穷积分⎰+∞+122cos dx yx xy在R 一致收敛. (Abel 判别法和Dirichlet 判别法) P382----385 (Dini 定理)P3853 一致收敛积分的分析性质 连续性定理 积分次序交换定理 积分号下求导定理例 2 利用积分号下求导求积分⎰+∞++=012)()(n n a x dxa I ， （n 为正整数，0>a ） 解 因为10212)(1)(1+++≤+n n a x a x ， 00>≥a a 而 ⎰+∞++0102)(n a x dx收敛，故 ⎰+∞++=012)()(n n a x dxa I 在00>≥a a 一致收敛。
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
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定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
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A >M>0,有
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sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
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证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
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定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
含参变量积分(课件+例题+论文)
含参量反常积分
0
cos 1
xy x2
dx
在 (,) 上一致收敛.
例2 : 证明含参量反常积分 e xy sin x dx
0
x
在 [0,d] 上一致收敛.
证 : 由于反常积分 sin xdx 收敛
0x
(当然，对于参量y,它在[0, d ]上一致收敛)
函数g(x, y) exy对每个x [0, d ]单调且对任何
u 一致收敛的柯西准则:
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
条件是 0, M c,A1, A2 M ,x [a,b],都有
A2 f (x, y)dy . A1
u 一致收敛的充要条件;
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
解 :
记I ( )
1
1
dx x2
2
.
由于
,1
,
1
1 x2
2
都是和x的连续函数，
所以I( )在 0处连续，从而
lim
0
1
dx
1 x2 2
I(0)
1 dx 0 1 x2
. 4
例2 : 解:
求 I 1 xb x a dx (b a 0).
c
f
( x,
y)g( x,
y)dy
在[a , b]上一致收敛 .
例1 :
证明反常积分
0
cos 1
xy x2
dx
在 (,)上一致收敛.
证:
由于y R有
高等数学 含参变量的积分
4
因此得
I ln 2
8
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重积分
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二、积分限含参变量的积分
在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如,
设 f (x, y) 为定义在区域
(x) y (x)
D: axb
上的连续函数, 则
(x)
(x) f (x, y) d y ( x)
y y (x)
D
y (x)
oa
bx
也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] .
利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.
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重积分
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定理4.(连续性) 若 f (x, y) 在区域
D :{(x, y) (x) y (x), a x b}
时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 .
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重积分
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例1. 求 I 1 xb xa d x (0 a b). 0 ln x
解: 由被积函数的特点想到积分:
b a
xy d
y
xy ln x
b a
xb xa ln x
I
1
dx
b xy d y
a
D f (x, y) d x d y
推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序,
即
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定理3. (可微性) 若 f (x, y) 及其偏导数 fx (x, y) 都在
矩形域
R
[a,b][, ]上连续, 则(x)
微积分课程含参定积分
0
0 1 cos x
后者是三角有理式，利用换元 t tan x 可以变为以 t 为自变量的有理函数的积分。当 0 时， 2
F( ) 2 arctan t t
t0
2
1 2 arctan
t
1 1 t t0
π
yk
yk
因此 G 可微，且是 C1 的。对 G((y), ( y), y) 用链索法则，得到
( y)
f (x, y)dx
( y) f
(x, y)dx f ( ( y), y) ( y) f (( y), y) ( y) 。■
yk ( y)
(2)
f yk
(x,
y)
关于
y
在
y0
U
处连续，且这连续性对积分变量
x [a,b]
一致。
则 F(y)
b a
f
(x,
y)dx
关于
yk
在
y0
U
处可导，且
yk
b
f (x, y)dx
a y y0
b a
f yk
(x,
y0 )dx
。
证明：对任意 0 ，当 t ( ) 时，对任意 x [a,b] 及任意 0 s 1 ， y0 stek y0 st t ，
存 在 仅 由 决 定 的 正 数 ( ) 使 得 当 y U 满 足 y y0 ( ) 时 ， 对 任 意 x [a,b] 都 有
f ( x, y) f ( x, 0y ) 。
则 F(y)
b a
f
含参变量的积分
ξ12.3 含参变量的积分一、含参变量的有限积分设二元函数f （x,u)在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）有定义，],,[βα∈∀u 一元函数f(x,u)在[a,b]可积，即积分dxu x f a b),(⎰存在 ],[βα∈∀u 都对应唯一一个确定的积分（值)),(u x f a b⎰dx .于是，积分dx u x f a b),(⎰是定义在区间],[βα的函数，记为],[,),()(βαϕ∈=⎰u dx u x f ab u ,称为含参变量的有限积分，u 称为参变量。
下面讨论函数)(u ϕ在区间 ],[βα的分析性质，即连续性、可微性与可积性定理 1 若函数),(u x f 在矩形域R ),(βα≤≤≤≤u b x a 连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间也连续。
证明有，使取],,[u ],,[βαβα∈∆+∆∈∀u u u.),(),()()(.)],(),([)()dx u x f u u x f abu u u dx u x f u u x f abu u u -∆+≤-∆+-∆+=-∆+⎰⎰ϕϕϕϕ（根据ξ10.2定理8，函数),(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即,,:),(),(,0,02121221,1δδδε<-<-∈∀>∃>∀y y x x R y x y x 有ε<-),(),(2211y x f y x f .特别地，.:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有 .),(),(ε<-∆+u x f u u x f 于是，,δ<∆u 有)(),(),()()(a b dx u x f u u x f ab u u u -<-∆+≤-∆+⎰εϕϕ 即函数在区间连续.设[]βα,0∈u ，由连续定义，有)()(lim ),(limu u dx u x f a bu u u u ϕϕ==→→⎰=dx u x f a b dx u x f a b u u ),(lim ),(00→⎰⎰=. 由此可见，当函数),(u x f 满足定理1的条件时，积分与极限可以交换次序. 定理2 若函数),(u x f 与uf∂∂在矩形域R(βα≤≤≤≤u b x a ,)连续，则函数在区间[βα,]可导，且[]βα,∈∀u ，有dxu u x f a b u du d∂∂=⎰),()(ϕ 或dx u u x f a b dx u x f abdu d ∂∂=⎰⎰),(),(. 简称积分号下可微分.证明 [][],,u,,,βαβα∈∆+∆∈∀u u u 使取有[].),(),()()(dx u x f u u x f abu u u -∆+=-∆+⎰ϕϕ （1） 已知uf∂∂在R 存在，根据微分中值定理，有 .10,),(),(),('<<∆∆+=-∆+θθu u u x f u x f u u x f u 将它代入（1）式，等号两端除以u ∆，有.10,),()()('<<∆+=∆-∆+⎰θθϕϕdx u u x f ab u u u u u 在上面等式等号两端减去dx u x f abu ),('⎰，有d x u x f abu u u u u ),()()('⎰-∆-∆+ϕϕ dx u x f u u x f ab u u ),(),(''-∆+≤⎰θ. 根据 ξ10.2定理8，函数),('u x f u 在闭矩形域R 一致连续，即,0,0>∃>∀δε,:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有.),(),(''εθ<-∆+u x f u u x f u u 从而，有),(),()()('a b dx u x f abu u u u u -≤-∆-∆+⎰εϕϕ即 dx u x f abuu u u u u ),()()(lim '0⎰=∆-∆+→∆ϕϕ 或.),()(dx u u x f a b u dud∂∂=⎰ϕ 定理2指出，当函数),(u x f 满足定理2的条件时，导数与积分可以交换次序. 定理 3 若函数),(u x f 在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间[]βα,可积，且.).(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ （2） 简称积分号下可积分.证明 根据定理1，函数)(u ϕ在[]βα,连续，则函数)(u ϕ在区间[]βα,可积.下面证明等式（2）成立.[]βα,∈∀t ，设.),()(,),()(21dx du u x f t a b t L du dx u x f a b t t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰αα根据4.8ξ定理1，有.),()('1dx t x f abt L ⎰=已知du u x f t ),(⎰α与du u x f tt ),(⎰∂∂α都在R 连续，根据定理2，有dx du u x f ta b dt d t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰),()('2α =dx du u x f t t a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎰⎰),(α =dx t x f ab),(⎰.于是，[]βα,∈∀t ，有()().'2'1t L t L =.由1.6ξ例1，()(),21C t L t L =-其中C 是常数.特别地,当α=t 时，()(),021==ααL L 则C=0,即()()β==t t L t L 当.21时，有()(),21ββL L =即.),(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ定理3指出，当函数),(u x f 满足定理3的条件时，关于不同变量的积分可以交换次序。
含参变量积分法求定积分
含参变量积分法求定积分一、引言在数学中，定积分是求解曲线下面的面积的一种方法。
含参变量积分法是一种特殊的积分方法，它能够解决一类带有参数的定积分问题。
本文将详细介绍含参变量积分法的原理和应用。
二、含参变量积分法的原理含参变量积分法是通过引入一个参数，将原本的定积分问题转化为一个关于参数的函数的积分问题。
通过对这个参数的求导和积分操作，可以得到原问题的解。
三、含参变量积分法的步骤使用含参变量积分法求解定积分问题的一般步骤如下：1. 引入参数将原问题中的变量替换为参数，并引入一个新的变量。
2. 求导对引入的参数进行求导操作，得到关于参数的导函数。
3. 积分对导函数进行积分操作，得到关于参数的积分函数。
4. 求解参数解关于参数的积分函数，得到参数的值。
5. 求解原问题将参数的值代入原问题中，得到原问题的解。
四、含参变量积分法的实例应用现在我们通过一个实例来说明含参变量积分法的应用。
实例：求解定积分 ∫x n 1+x 10dx1. 引入参数我们将指数 n 替换为参数 t ，得到 ∫x t 1+x 10dx 。
2. 求导对参数 t 求导，得到导函数 d dt (∫x t 1+x 10dx)。
3. 积分对导函数进行积分操作，得到积分函数 F (t )=∫d dt (∫x t 1+x 10dx)dt 。
4. 求解参数解关于参数的积分函数 F (t )，得到参数的值。
5. 求解原问题将参数的值代入原问题中，得到原问题的解。
五、含参变量积分法的优点和局限性含参变量积分法具有以下优点： - 可以解决一类带有参数的定积分问题。
- 可以通过引入参数，简化定积分的计算过程。
然而，含参变量积分法也存在一些局限性： - 只适用于特定类型的定积分问题。
- 对于复杂的问题，可能需要进行多次求导和积分操作，增加了计算的复杂性。
六、总结含参变量积分法是一种求解带有参数的定积分问题的方法。
通过引入参数、求导、积分、求解参数和求解原问题的步骤，可以得到定积分的解。
1含参变量的常义积分
同理可定义含参变量 x 的积分：
J ( x)
f ( x, y)dy ,
c
d
x [a , b]
一般就称为含参变量积分。 它们统称为含参变量常义积分，
x2 y2 例如： 计算 椭圆 1 (b a 0)的周 长。 2 2 a b
椭圆的参数方程： x a cos t , y b sin t ,
dI ( y ) dy
b
a
f y ( x , y )dx 。
定理3 的结论也可写成
d dy
b
a
f ( x , y )dx f ( x , y )dx 。 a y
b
说明求导运算和积分运算可以交换。
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定理4 设f ( x, y ), f y ( x, y )都在闭矩形 [a, b] [c, d ]上连续 ,
例3 解
设F ( y )
y
0
ln(1 xy) dx, y 0, 求F ( y )。 x
y
F ( y )
0
1 ln(1 y 2 ) dx 1 xy y
ln(1 xy) y ln(1 y 2 ) 0 y y 2 ln(1 y 2 ) y
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1 I ( )
0
1 dx 1 cos x
x 对 最 后 一 个 积 分 作 万代 能 换 t tan ， 2
0
1 dx 1 cos x
2dt 1 t 2 (1 t 2 )
数学分析 参变量积分
所围成的空间立体的表面. 平面 z = x + 2 及 z = 0 所围成的空间立体的表面
解
∫∫
Σ=Βιβλιοθήκη ∫∫Σ1+
∫∫
Σ2
+
∫∫
Σ3
其中 Σ 1 ： z = 0 ,
Σ 2： z = x + 2,
投影域 D1 ： x 2 + y 2 ≤ 1
Σ 3 ： x 2 + y 2 = 1.
显然
Σ1 D1
∫∫ xdS = ∫∫ xdxdy = 0 ,
3. 若曲面Σ： x = x( y, z)
则 ∫∫ f ( x , y , z )dS =
Σ
∫∫ D
yz
′y 2 + x′ 2 dydz . f [ x( y , z ), y , z ] 1 + x z
例1
计算 ∫∫ ( x + y + z )ds , 其中 Σ 为平面
Σ
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分 所截得的部分.
2
= 4 ∫0 dt ∫0 r cos t sin t ⋅ r
π
2
1 + 4r rdr
2
= 2 ∫0 sin 2tdt ∫0 r 5 1 + 4r 2 dr
1
令u = 1 + 4r
2
1 5 u−1 2 125 5 − 1 ) du = = ∫1 u( . 4 4 420
例3
计算 ∫∫ xdS , 其中 Σ 是圆柱面 x 2 + y 2 = 1,
D xy
= 2 3a 4 .
四、小结
1、 对面积的曲面积分的概念 、 对面积的曲面积分的概念;
第十五章 含参量积分
F(x) = ∫
d ( x)
c( x)
f (x, y)dy, x ∈[a, b].
的正常积分,或简称含参量积分 或简称含参量积分. 称为含参量 x 的正常积分 或简称含参量积分
y
Y=d(x)
G Y=c(x)
• 性质:
(i) 连 性: 、 续
o
a
b
x
若二元函数 f (x, y) 在矩形域 G = {(x, y) c(x) ≤ y ≤ d(x), a ≤ x ≤ b} 上连续,其中 c(x) , d(x) 为定义在 [a, b] 上的连续函数,则函数 上连续 其中 上的连续函数 则函数
∫
+∞
c
f (x,y)dy 一 收 ， ∀ε>0,必 致 敛 对
存在M>c, 使A2 > A > M时，对∀x ∈[a, b]总有 1
｜ f (x, y)dy ε ｜＜ ∫
Ａ １
Ａ ２
又有A →+∞( →+∞), 所以对正数M, 存在正整数N ｎ ｎ
只要当m>n>N时就有Am > An > M，对∀x ∈[a, b]就有
d
证: 设x ∈ [a, b], 对充分小的∆x, 有x + ∆x ∈ [a, b], 于是
I (x +∆x)-I (x) = ∫ [ f (x +∆x, y) − f (x, y)]dy.
c
d
由于f ( x, y )在D上连续,从而一致连续,可知
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ∈ D, 当 x1 − x2 < δ ,
c
含参变量的积分
§12.3 .含参变量的积分教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．一、含参变量的有限积分设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ∀∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分(,)baf x u dx ⎰存在.[,]u αβ∀∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)baf x u dx ⎰.于是，积分(,)baf x u dx ⎰是定义在区间[,]αβ的函数，表为()(,),[,]bau f x u dx u ϕαβ=∈⎰称为含参变量的有限积分，u 称为参变量.定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)ba u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ也连续.★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序.定理2 .若函数(,)f x u 与fu∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ可导，且[,]u αβ∀∈，有(,)()b a df x u u dx du uϕ∂=∂⎰，或(,)(,)bb a a d f x u f x u dx dx du u∂=∂⎰⎰. 简称积分号下可微分.★说明：若函数(,)f x u 满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.定理3 .若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)ba u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ可积，且{}{}(,)(,)bbaaf x u dx du f x u du dx ββαα=⎰⎰⎰⎰.简称积分号下可积分.★说明：若函数(,)f x u 满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即(),()a a u b b u ==.但[,]u αβ∀∈，对应唯一一个积分（值）()()(,)b u a u f x u dx ⎰，它仍是区间[,]αβ的函数，设 ()()()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰.下面给出函数()u ψ在区间[,]αβ的可微性.定理4.若函数(,)f x u 与fu∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，而函数()a u 与()b u 在区间[,]αβ可导，[,]u αβ∀∈，有(),()a a u b a b u b ≤≤≤≤，则函数()()()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰在区间[,]u αβ∈可导，且()''()(,)()[(),]()[(),]()b u a u df x u u dx f b u u b u f a u u a u du uψ∂=+-∂⎰二、例（I ）例1. 求函数1220()ln()F y x y dx =+⎰的导数(0)y >解：0y ∀>，暂时固定，0ε∃>，使1y εε≤≤，显然，被积函数22ln()x y +与22222ln()yx y y x y∂+=∂+ 在矩形域1(01,)R x y εε≤≤≤≤都连续，根据定理2，有11'2222002()ln()y F y x y dx dx y x y ∂=+=∂+⎰⎰11200122arctan 2tan 1x d y x atrc y y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 因为0,0,y ε∀>∃>使1y εε≤≤，所以0y ∀>，有'1()2tanF y atrc y=. 例2 .求0()ln(1cos ),1I r r x dx r π=+<⎰.解：:1r r ∀<，暂时固定，0k ∃>，使1r k ≤<，显然，被积函数及其关于r 的偏导数，即(,)ln(1cos )f x r r x =+ 与cos 1cos f xr r x∂=∂+ 在矩形区域(0,)R x k r k π≤≤-≤≤连续，根据定理2 ，有'00cos ()ln(1cos )1cos xI r r x dx dx r r x ππ∂=+=∂+⎰⎰ =0011cos 111(1)1cos 1cos r x dx dx r r x r r x ππ+-=-++⎰⎰01.(0)1cos dx r r r r xππ=-≠+⎰ 设tan 2xt =（万能换元），有222222111cos (1)(1)11dx t dt dt t r x r r t rt +==-+++-++⎰⎰⎰=221121dt x C r r t r⎫=+⎪⎪+-⎭+-⎰ 从而，001cos 2dx x r x ππ⎫==⎪⎪+⎭⎰于是，'()0)I r r rπ=≠ （3）又有'00lim ()lim 0r r I r r π→→⎛⎫== ⎝.将'()I r 在0r =做连续开拓.令'(0)0.I =函数'()I r 在区间[,]k k -连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有1()((ln ln I r dr r C r rππ==++⎰ln(1C π=+.已知'(0)0.I =，有 1ln 2ln 2C ππ=-=.于是 ，1()ln(1ln ln 2I r πππ=+=.例3 .证明：若函数()f x 在区间[,]a b 连续，则函数11()()(),[,](1)!x n a y x x t f t dt x a b n -=-∈-⎰是微分方程()()()n y x f x =的解，并满足条件'(1)()0,()0,()0n y a y a y a -===.证明： 逐次应用定理4，求函数()y x 的n 阶导数，有'22'11()(1)()()()().()(1)!(1)!x n n a y x n x t f t dt x t f x x n n --=--+---⎰ =21()()(2)!x n a x t f t dt n ---⎰， ''31()()(),(3)!x n a y x x t f t dt n -=--⎰(1)()(),xn a y x f t dt -=⎰()()()n y x f x =，即函数()y x 是微分方程()()()n y x f x =的解，显然，当x a =时，'()()0,()0,()0n y a y a y a ===.例4. 证明：若函数()f x 存在二阶导数，函数()F x 存在连续导数，则函数11(,)[()()]()22x atz atu x t f x at f x at F z dz a +-=-+++⎰是弦振动方程22222u u a t x∂∂=∂∂的解. 证明：根据定理4，有''11[()()()][()()()]22u f x at a f x at a F x at a F x at a t a∂=--++++---∂ ''1[()()]['()()]22a f x at f x at F x at F x at =+--+++- 22"'''2[()()][()()]22u a a f x at f x at F x at F x at t ∂=+++++--∂ ''11[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a∂=++-++--∂ 2""''211[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a∂=++-++--∂ 于是，22""''211[()()][()()]22u a f x at f x at F x at F x at x a ∂⎧⎫=++-++--⎨⎬∂⎩⎭222u a x∂=∂ 即(,)u x t 是弦振动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂的解 例5 .求积分1,0ln b ax x dx a b x-<<⎰.解法一 应用积分号下积分法.解： 函数()ln b ax x y x x -=的原函数不是初等函数，函数()y x 在0与1没定义，却有极限0lim0ln b ax x x x+→-=. 11111lim lim lim()1ln b a b a b ax x x x x bx ax bx ax b a xx-----→→→--==-=-. 将函数()y x 在0与1作连续开拓，即0,0,(),01,ln ,1.bax x x y x x x b a x =⎧⎪-⎪=<<⎨⎪-=⎪⎩从而，函数()y x 在区间[0,1]连续.已知()ln ln bb a yb y a ax x x y x x dy x x -===⎰而函数(,)y f x y x =在闭矩形域(01,)R x a y b ≤≤≤≤连续，根据定理3，有{}{}11100ln b abbyyaax x dx x dy dx x dx dy x-==⎰⎰⎰⎰⎰1101ln 111y bb aa x dy bdy y y a++===+++⎰⎰.解法二 应用积分号下微分法. 解： 设 1(),ln y ax x y dx a y b x-Φ=≤≤⎰根据定理2，有'11110001()ln 11y a y yyx x x y dx x dx x y y +⎛⎫-Φ==== ⎪++⎝⎭⎰⎰. 两端求不定积分，有()ln(1).1dyy y C y Φ==+++⎰ 令 y a =，有()0ln(1)a a C Φ==++，即 ln(1).C a =-+ 于是， 1()ln(1)ln(1)ln.1y y y a a +Φ=+-+=+ 令 y b =，有 11()ln .ln 1b a x x b b dx x a -+Φ==+⎰三、含参变量的无穷积分设二元函数(,)f x u 在区域(,)D a x u αβ≤<+∞≤≤有定义。