新课标A版高中数学选修2-3课时作业21 Word版含答案

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人教新课标版数学高二-高中数学选修2-3课时作业 1.3.1二项式定理

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课时提升作业(八)二项式定理一、选择题(每小题3分,共18分)1.若实数a=2-,则a10-2a9+22a8-…+210= ( )A.32B.-32C.1 024D.512【解析】选A.由题意得a 10-2a9+22a8-…+210=(a-2)10,又a=2-, 所以原式=(2--2)10=32.2.(2014·济宁高二检测)若展开式的第4项为含x3的项,则n等于( ) A.8 B.9 C.10 D.11【解析】选B.T k+1=·x n-k·=·(-1)k·x n-2k,k∈{0,1,2,…,n},因为当k+1=4时,n-2k=3,所以n=9.3.(2013·江西高考)展开式中的常数项为( )A.80B.-80C.40D.-40【解析】选C.展开式的通项公式为T k+1=(x2)5-k=(-2)k x10-5k.由10-5k=0,得k=2,所以常数项为T 2+1=(-2)2=40.4.(2014·杭州高二检测)对于二项式(n∈N*),有以下四种判断:①存在n∈N*,展开式中有常数项;②对任意n∈N*,展开式中没有常数项;③对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项;④存在n∈N*,展开式中有x的一次项.其中正确的是( )A.①与③B.②与③C.②与④D.①与④【解析】选D.二项式的展开式的通项公式为T k+1=x4k-n,由通项公式可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和一次项.5.在的二项展开式中,x的系数为( )A.10B.-10C.40D.-40【解析】选D.的展开式的通项为T r+1=(2x2)5-r=25-r(-1)r x10-3r,令10-3r=1,得r=3,所以T 4=22(-1)3x=-40x.所以x的系数是-40.【误区警示】本题易把二项式系数等同于项的系数而错选A.6.(2014·湖北高考)若二项式的展开式中的系数是84,则实数a=( ) A.2 B. C.1 D.【解题指南】考查二项式定理的通项公式.【解析】选C.因为T r+1=·(2x)7-r·=·27-r·a r·x7-2r,令7-2r=-3,得r=5,所以·22·a5=84,解得a=1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为.【解析】根据已知条件可知=,所以n=8,因为展开式的通项公式为T r+1=x8-2r,令8-2r=-2,则r=5.所以=56即为所求.答案:568.(2014·唐山高二检测)二项式的展开式中整式项共有项(用数字作答).【解析】由T r+1=(x2)9-r=x18-3r,依题意需使18-3r为整数.故18-3r≥0,r≤6,即r=0,1,2,3,4,5,6共7项.答案:79.233除以9的余数是.【解析】233=811=(9-1)11=×911-×910+×99-…+×9-,因为除最后一项-1外,其余各项都能被9整除,故余数为9-1=8.答案:8【一题多解】233=230×23=645×8=8×(63+1)5=8×(×635+×634+633+632+×63+)=8×(635+5×634+10×633+10×632+5×63)+8,因为括号内的各项都是9的倍数.所以233除以9所得的余数是8.答案:8三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·淄博高二检测)在的展开式中,求:(1)第3项的二项式系数及系数.(2)含x2的项.【解析】(1)第3项的二项式系数为=15,又T 3=(2)4=24·x,所以第3项的系数为24=240.(2)T k+1=(2)6-k=(-1)k26-k x3-k,令3-k=2,得k=1.所以含x2的项为第2项,且T2=-192x2.11.在(1-x2)20的展开式中,如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等,(1)求r的值.(2)写出展开式中的第4r项和第r+2项.【解析】(1)第4r项和第r+2项的二项式系数分别是和,因为=,所以4r-1=r+1或4r-1+r+1=20,解得r=4或r=.所以r=4.(2)T 4r=T16=·(-x2)15=-15504x30,T r+2=T6=(-x2)5=-15504x10.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2012·安徽高考)(x2+2)的展开式的常数项是( )A. -3B.-2C.2D.3【解题指南】由多项式乘法的运算法则知,展开式中的常数项由两部分构成,前一个因式取x2时,后一个因式必须含,前一个因式取2时,后一个因式必须为常数.【解析】选D.第一个因式取x 2,第二个因式取含的项得:1×(-1)4=5;第一个因式取2,第二个因式取(-1)5得:2×(-1)5=-2,展开式的常数项是5+(-2)=3.【变式训练】(1-x)4的展开式中x2的系数是( )A.-6B.-3C.0D.3【解析】选A.因为(1-)3的有理项为1和3x,故要出现x2,需从(1-x)4因式中找x 2项和x项,即x2和-x,所以x2项为x2·1-·x·3x=-6x2.2.(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是( )A.1.23B.1.34C.1.33D.1.24【解析】选B.(1. 05)6=(1+0.05)6=+×0.05+×0.052+×0.053+…+×0.056=1+0.3+0.0375+0.0025+…+1.5625×10-8≈1.34.3.(2014·萍乡高二检测)若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是( )A. B.C. D.(1,+∞)【解析】选D.二项式(x+y)9的展开式的通项是T r+1=·x9-r·y r.依题意有即解得x>1,即x的取值范围是(1,+∞).4.(2013·陕西高考)设函数f(x)=则当x>0时,f(f(x))表达式的展开式中常数项为( )A.-20B.20C.-15D.15【解题指南】由x的取值确定函数表达式,再由二项展开式的通项确定展开式中的常数项.【解析】选A.当x>0时,f(f(x))==的展开式中,常数项为(-)3=-20.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2014·成都高二检测)在(x+y)20的展开式中,系数为有理数的项共有项.【解析】因为T r+1=x20-r y r(r=0,1,2,…,20)的系数为有理数,所以r=0,4,8,12,16,20,共6项.答案:66.(2014·山东高考)若的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为.【解题指南】本题考查了二项式定理,基本不等式的应用,可先写出已知式子二项展开式的通项,然后利用基本不等式求出最值.【解析】将展开,得到T r+1=a6-r b r x12-3r,令12-3r=3,得r=3.由a3b3=20,得ab=1,所以a2+b2≥2ab=2.答案:2三、解答题(每小题13分,共26分)7.已知的展开式中,前三项的二项式系数之和为37.(1)求x的整数次幂的项.(2)展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数,并证明你的结论.【解题指南】(1)根据前三项的二项式系数之和为37,求出n;再利用二项式展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为整数得到x的整数次幂的项.(2)根据二项展开式中间项的二项式系数最大,再利用组合数公式证明. 【解析】(1)展开式的前三项的二项式系数之和为++=37,解得n=8.所以=的展开式的通项为T r+1=(x)8-r=.当r=0,6时,x的指数为整数.所以x的整数次幂的项有x12,28x.(2)展开式共有9项,根据展开式中间项的二项式系数最大,故展开式第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.证明如下:因为展开式第5项的二项式系数为==70.展开式第4项的二项式系数为,展开式第6项的二项式系数为,因为===56<70.故有展开式中第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.8.已知在的展开式中,第9项为常数项,求:(1)n的值.(2)展开式中x5的系数.(3)含x的整数次幂的项的个数.【解析】二项展开式的通项为T k+1=·=(-1)k.(1)因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-k=0,解得n=10.(2)令2n-k=5,得k=(2n-5)=6,所以x5的系数为(-1)6=.(3)要使2n-k,即为整数,只需k为偶数,由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.【拓展延伸】已知展开式中某些项(或系数)求其他问题的思路及技巧(1)根据给定的条件和通项公式,建立方程来确定指数.(2)根据所求的指数,再求所求解的项.(3)为减少计算中的错误,宜将根式化为分数指数幂.【变式训练】在的展开式中,已知第6项为常数项.(1)求n.(2)求含x2项的系数.(3)求展开式中所有的有理项.【解析】通项为T r+1==,(1)因为第6项为常数项,所以r=5时,有=0,即n=10.(2)令=2,得r=(n-6)=2,则所求的系数为=.(3)根据通项,由题意得令=k(k∈Z),则10-2r=3k,即r=5-k,因为r∈Z,所以k应为偶数.所以k可取2,0,-2,此时r取2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为x2,,x-2.关闭Word文档返回原板块。

新课标A版高中数学选修2-3课时作业：23 Word版含答案

课时作业(二十三)1．已知随机变量X的分布列是则E(X)和A．1和0 B．1和1.8C．2和2 D．2和0.8答案 D2．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表s123A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1答案 B3．已知随机变量X～B(100,0.2)，那么D(4x＋3)的值为( )A．64 B．256C．259 D．320答案 B解析由X～B(100,0.2)知随机变量X服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256.4．(2015·九江六校期末联考)袋中有大小、形状相同的白、黄乒乓球各一个，每次摸取一个乒乓球记下颜色后放回，现连续取球4次，记取出黄球的次数为X ，则X 的方差D (X )＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 答案 C解析每次取球时，黄球被取出的概率为12，把4次取球看作4次独立重复试验，黄球出现的次数X ～B (4，12)，则D (X )＝4×12×12＝1.5．随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (X )＝3，则D (X )的值是( )A.59B.79C.89D ．1 答案 A解析因为a ＋b ＋c ＝1,2b ＝a ＋c ，所以b ＝13，a ＋c ＝23.又因为E (X )＝13，所以13＝－a ＋c .故a ＝16，c ＝12.D (X )＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.6．已知X 的分布列为( )A ．－13B.59C.109D.209答案 D解析 E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，所以D (η)＝D (2X ＋2)＝4D (X )＝4×59＝209.7．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2.又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A.53B.73 C ．3 D.113答案 C解析因为E (X )＝23x 1＋13x 2＝43.所以x 2＝4－2x 1.D (X )＝(43－x 1)2×23＋(43－x 2)2×13＝29.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23，(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.∴x 1＋x 2＝3.8．(2014·浙江)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析设出ξ＝1，ξ＝2时的概率，利用分布列中概率之和为1及期望的公式求解．设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15.所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X ，则D (X )等于________．答案 0.196解析由题意知，随机变量服从二项分布，所以D (X )＝np (1－p )＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.10．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．答案 12，5解析成功次数ξ～B (100，p )，所以D (ξ)＝100p (1－p )≤100·(p ＋1－p2)2＝25，当且仅当p ＝1－p .即p ＝12时，成功次数的标准差最大，其最大值为5.11．(2015·宁波高二检测)已知随机变量X 的分布列如表所示，若E (X )＝1.1，则D (X )＝________.答案解析由15＋m ＋310＝1可知m ＝12.又由E (X )＝m ＋310x ＝1.1可知x ＝2.所以D (X )＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.12．从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P (A )＝0.96.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；(2)若该批产品共100件，从中一次性任意抽取2件，用ξ表示取出的2件产品中的二等品的件数，求ξ的分布列及期望．解析 (1)记A 0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A 1表示事件“取出的2件产品中恰有1件是二等品”，则A 0、A 1互斥，且A ＝A 0＋A 1.故P (A )＝P (A 0＋A 1)＝P (A 0)＋P (A 1)＝(1－p )2＋C 12p ·(1－p )＝1－p 2.由题意，知1－p 2＝0.96，又p >0，故p ＝0.2.(2)ξ可能的取值为0,1,2.若该批产品共100件，由(1)知，其中共有二等品100×0.2＝20件，故 P (ξ＝0)＝C 280C 2100＝316495，P (ξ＝1)＝C 180C 120C 2100＝160495，P (ξ＝2)＝C 220C 2100＝19495.所以ξ的分布列为所以ξ的期望E (ξ)＝0×495＋1×495＋2×495＝495＝5.13．工人在包装某产品时不小心将2件不合格的产品一起放进了一个箱子里，此时该箱子中共有外观完全相同的6件产品．只有将产品逐一打开检验才能确定哪2件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废．记ξ表示将2件不合格产品全部检测出来后4件合格产品中报废品的数量．(1)求报废的合格品少于2件的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．解析 (1)报废的合格品少于2件，即ξ＝0或ξ＝1，而P (ξ＝0)＝A 226×5＝115，P (ξ＝1)＝A 22A 12A 146×5×4＝215，故P (ξ<2)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝115＋215＝15.(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3,4， P (ξ＝2)＝A 13×A 12×A 24A 46＝15， P (ξ＝3)＝A 14×A 12×A 34A 56＝415， P (ξ＝4)＝A 15×A 12×A 44A 66＝13，由(1)知P (ξ＝0)＝115，P (ξ＝1)＝215，故ξ的分布列为：E (ξ)＝0×115＋1×215＋2×15＋3×415＋4×13＝83.14．(2014·湖南)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．思路 (1)根据相互独立事件及对应事件的概率公式求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)根据企业获得的资金的数目及独立事件概率公式求出其相应的概率，列出分布列，利用期望公式求期望．解析记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220. 因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25.故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×15＋100×5＋120×15＋220×5＝15＝15＝140.1．设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22，x 2＋x 32，x 3＋x 42，x 4＋x 52，x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记D (ξ1)，D (ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则( )A ．D (ξ1)>D (ξ2)B ．D (ξ1)＝D (ξ2)C ．D (ξ1)<D (ξ2)D ．D (ξ1)与D (ξ2)的大小关系与x 1，x 2，x 3，x 4的取值有关答案 A解析先求出两个随机变量的方差，再比较大小．由条件可得，随机变量ξ1，ξ2的平均数相同，记为x ，则D (ξ1)＝15[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 5－x )2]，D (ξ2)＝15[(x 1＋x 22－x )2＋(x 2＋x 32－x )2＋…＋(x 5＋x 12－x )2]，所以D (ξ1)－D (ξ2)＝120[(x 1－x 2)2＋(x 2－x 3)2＋…＋(x 5－x 1)2]>0，即D (ξ1)>D (ξ2)．2．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解析 (1)由已知条件和概率的加法公式有：P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2， P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为：D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7. 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6，由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P XP X＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.3．一种电脑屏幕保护画面，只有符合“O ”和“△”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“O ”和“△”之一，其中出现“O ”的概率为p ，出现“△”的概率为q ，若第k 次出现“O ”，则记a k ＝1；出现“△”，则记a k ＝－1.令S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1)当p ＝13，q ＝23时，求S 4＝2的概率；(2)当p ＝q ＝12时，记ξ＝|S 4|，求ξ的分布列及数学期望．解析 (1)“S 4＝2”即电脑屏幕变化4次(相当于4次独立重复试验)，其中“O ”出现3次，“△”出现1次，∴其概率为：P (S 4＝2)＝C 34(13)3×23＝881，即S 4＝2的概率为881.(2)由题知ξ的取值有：0,2,4.记：y 表示电脑变化4次中“O ”出现的次数，则y ～B (4，12)，P (ξ＝0)＝P (y ＝2)＝C 24(12)2(12)2＝38， P (ξ＝2)＝P (y ＝1)＋P (y ＝3)＝C 14(12)×(12)3＋C 34(12)3×(12)＝816＝12，P (ξ＝4)＝P (y ＝0)＋P (y ＝4)＝(12)4＋(12)4＝18，∴ξ的分布列为：ξ的期望为：E (ξ)＝0×38＋2×12＋4×18＝1＋12＝32.4．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)．解析这3张卡片上的数字之和为ξ，这一随机变量的可能取值为6,9,12. ξ＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则 P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则 P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则 P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝6×15＋9×15＋12×15＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.5．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解析 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 2(3)由(2)得，E (X 1)＝1×25＋2×50＋3×10＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×10＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．6．某单位在应聘会上，设置了难度不同的甲、乙两个系列的问题，每个系列都有A 和B 两个问题，应聘时每个应聘者自选一个系列问题，两个问题的得分之和为该应聘者的成绩．假设每个应聘者完成每个系列中的两个问题的得分是相互独立的，根据应聘的个人综合水平可知，某应聘者能回答甲系列和乙系列问题的情况如下表：甲系列：(1)若该应聘者希望成为应聘者中的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其成为第一名的概率；(2)若该应聘者选择乙系列，求其成绩X 的分布列及其数学期望E (X )．解析 (1)若该应聘者希望获得第一名，应选择甲系列．理由如下，选择甲系列最高得分为100＋40＝140>118，可能成为第一名；而选择乙系列最高得分为90＋20＝110<118，不可能成为第一名．选甲系列成为第一名的概率为P (甲为第一名)＝34×34＋14×34＝34.(2)X 的取值为：50,70,90,110. P (X ＝50)＝1100， P (X ＝70)＝110×910＝9100， P (X ＝90)＝910×110＝9100， P (X ＝110)＝910×910＝81100. ∴E (X )＝104.。

(人教版)高中数学选修2-3课时作业1 Word版含答案

第一章一、选择题(每小题分，共分)．某班有男生人，女生人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的种数有()．．．．解析：根据分类加法计数原理，因数学课代表可为男生，也可为女生，因此选法共有＋＝(种)，故选.答案：．已知∈{}，∈{－，－}，则·可表示不同的值的个数为( )．个．个．个．个解析：分两步：第一步，在集合{}中任取一个值，有种不同的取法；第二步，在集合{－，－}中任取一个值，有种不同取法．故·可表示×＝(个)不同的值，故选.答案：．已知两条异面直线，上分别有个点和个点，则这个点可以确定不同的平面个数为( )．．．．解析：分两类：第类，直线与直线上个点可以确定个不同的平面；第类，直线与直线上个点可以确定个不同的平面．故可以确定＋＝个不同的平面．答案：．(·福州市高二期末联考)某班小张等位同学报名参加，，三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报小组，则不同的报名方法有( )．种．种．种．种解析：小张的报名方法有种，其他位同学各有种，所以由分步乘法计数原理知共有×××＝(种)不同的报名方法，故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．如图，从→有种不同的走法．解析：分为两类，不过点有种走法，过点有×＝种走法，共有＋＝种走法．答案：．名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，报名的方法共有种．解析：做完这件事需要名同学全部报完才算完成，需要分步骤完成，故属于分步乘法计数原理，可分四步，每一步的同学都有种报名的选择，故总的报名方法有×××＝种．答案：三、解答题(每小题分，共分)．某校高三共有三个班，其各班人数如下表：()()从()班、()班男生中或从()班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解析：()从三个班中任选一名学生为学生会主席，可分三类：第一类：从()班任选一名学生，有种不同选法；第二类：从()班任选一名学生，有种不同选法；第三类：从()班任选一名学生，有种不同选法．由分类加法计数原理知，不同的选法共有＝＋＋＝(种)．()由题设知共有三类：第一类：从()班男生中任选一名学生，有种不同选法；第二类：从()班男生中任选一名学生，有种不同选法；第三类：从()班女生中任选一名学生，有种不同选法；由分类加法计数原理可知，不同的选法共有＝＋＋＝(种)．．高二一班有学生人，其中男生人，从中选取名男生和名女生为代表，参加学校组织的社会调查团，选取代表的方法有多少种？解析：男生有人，女生有人，根据本题题意，需分两步：第一步：从男生人中任选人，有种不同的选法；第二步：从女生人中任选人，有种不同的选法．。

高中数学人教A版选修2-3教案：1.2.1排列第一课时 Word版含解析

1．2排列与组合1．2.1排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：排列、排列数的概念．教学难点：排列数公式的推导．教学过程引入新课提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生补充．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题4：由以上两个问题我们发现：A 23＝3×2＝6，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A 2n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素a 1，a 2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A 2n .由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n －1)种填法，∴A 2n ＝n(n －1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A 3n ，A m n 吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A 3n 可以按依次填3个空位来考虑，∴A 3n ＝n(n －1)(n －2)，求A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ，n ∈N ，m≤n)．说明：(1)公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数；(2)全排列：当n ＝m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n(n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！＝A n n A n －m n －m. 设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．理解新知分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．活动成果：(1)是 (2)不是 (3)是 (4)是 (5)不是 (6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定．(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．设计意图：加深对排列和排列数的理解．应用新知例1解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，∵x≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23，∵x≥3，且x ∈N ，∴原方程的解为x ＝5. 点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A m n 中，m ，n ∈N 且m≤n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．【巩固练习】1．解不等式：A x 9>6A x －29.2．求证：(1)A n n ＝A m n ·A n －m n －m (2)（2n ）！2n ·n ！＝1·3·5…(2n －1)．解答或证明：1.解：原不等式即9！(9－x)！>6·9！(11－x)！，也就是1(9－x)！>6(11－x)·(10－x)·(9－x)！，化简得：x 2－21x ＋104>0，解得x<8或x>13，又∵2<x≤7，且x ∈N ，所以，原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．2．证明：(1)A m n ·A n －m n －m ＝n ！(n －m)！(n －m)！＝n ！＝A n n ，∴原式成立． (2)2n ！2n ·n ！＝2n·(2n －1)·(2n －2)…4·3·2·12n ·n ！＝2n n·(n －1)…2·1·(2n －1)(2n －3)…3·12n ·n ！＝n ！·1·3…(2n －3)(2n －1)n ！＝1·3·5…(2n －1)＝右边， ∴原式成立．点评：公式A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)常用来求值，特别是m ，n 均为已知时；公式A m n ＝n ！(n －m)！常用来证明或化简．【变练演编】化简：(1)12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！；(2)1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n ！. (1)解：原式＝1！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1n －1！－1n ！＝1－1n ！. (2)提示：由(n ＋1)！＝(n ＋1)n ！＝n×n ！＋n ！，得n×n ！＝(n ＋1)！－n ！，原式＝(n ＋1)！－1.【达标检测】1．计算：(1)A 310；(2)A 812A 712. 2．若A m n ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝______，m ＝______.3．若n ∈N *，且55＜n ＜69，则(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示为______．答案：1.(1)720 (2)5 2.17 14 3.A 1569－n课堂小结1．知识收获：排列概念、排列数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．若x ＝n ！3！，则x ＝( ) A ．A 3n B ．A n －3n C ．A n 3 D ．A 3n －32．与A 310·A 77不等的是( ) A ．A 910B ．81A 88C ．10A 99D ．A 10103．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．74．计算：2A 59＋3A 699！－A 610＝________；(m －1)！A n －1m －1·(m －n)！＝________. 【拓展练习】5．若2<(m ＋1)！A m －1m －1≤42，则m 的解集是________． 6．(1)已知A m 10＝10×9×…×5，那么m ＝__________； (2)已知9！＝362 880，那么A 79＝__________；(3)已知A 2n ＝56，那么n ＝____________；(4)已知A 2n ＝7A 2n －4，那么n ＝____________.答案：1.B 2.B 3.A 4.1 1 5.{2,3,4,5,6}6．(1)6 (2)181 440 (3)8 (4)7设计说明本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式．本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导．备课资料可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题．在这类问题使用住店处理的策略中，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数．例1 (1)将6个不同的小球放到3个不同的盒子中，有多少种不同的方法？(2)6个人争夺3个项目的冠军，有多少种不同的方法？解析：(1)36；(2)63.例2由1,2,3,4,5,6这6个数字共可以组成多少个不同的7位数？解析：完成此事共分7步，第一步：从6个数字中任取一个数字放在首位，有6种不同的办法，第二步：从6个数字中任取一个数字放在十万位，有6种不同的办法，依次类推，由分步乘法计数原理知共可以组成67个不同的7位数．(设计者：殷贺)。

人教新课标版数学高二-A版选修2-3 二项式定理课时作业

课时作业(七)一、选择题1．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得()A．x4B．(x－1)4C．(x＋1)4D．x5解析：原式＝(x－1＋1)4＝x4.故选A.答案：A2．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于()A．9 B．10C．11 D．8解析：∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n ＝11.故选C.答案：C3．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为()A．－210 B．210C．－120i D．－210i解析：由通项公式得T7＝C610·(－i)6＝－C610＝－210.答案：A4．若C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n能被7整除，则x，n的值可能为()A．x＝5，n＝5 B．x＝5，n＝4C．x＝4，n＝4 D．x＝4，n＝3解析：C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n＝(1＋x)n－1，检验得B正确．答案：B5．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30 B．20C．15 D．10解析：只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C.答案：C6．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于( )A ．45B ．55C ．70D ．80解析：由二项式定理得(1＋2)5＝1＋C 15·2＋C 25·(2)2＋C 35·(2)3＋C 45·(2)4＋C 55·(2)5 ＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292，即a ＝41，b ＝29，所以a ＋b ＝70.答案：C二、填空题7．若x >0，设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的展开式中的第三项为M ，第四项为N ，则M ＋N 的最小值为________．解析：T 3＝C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝54x ， T 4＝C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＝52x，故M ＋N ＝5x 4＋52x ≥2258＝522. 答案：5228．已知2×1010＋a (0≤a <11)能被11整除，则实数a 的值为________．解析：根据题意，由于2×1010＋a ＝2×(11－1)10＋a ，由于2×1010＋a (0≤a <11)能被11整除，根据二项式定理展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a 能被11整除，可知a ＝9.答案：99．(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x10－r a r ，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12. 答案：12三、解答题 10．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项．解：方法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8，则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数为C 48·24＝1 120. (2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6＝112x 2. 方法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48·(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x ，则第5项的二项式系数是C 48＝70，第5项的系数是C 48·24＝1 120. (2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2. 11．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除．证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1 ＝(31＋1)n －1＝C 0n ·31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31＋C n n－1 ＝31(C 0n ·31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ·31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n为整数，∴原式能被31整除．12．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列，求： (1)展开式中含x 的一次幂的项；(2)展开式中的所有有理项．解：(1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，解得n ＝8或n ＝1(舍去)．T k ＋1＝C k 8(x )8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x k ＝C k 8·2－k ·x 4－34k ，令4－34k ＝1，得k ＝4.所以x 的一次项为T 5＝C 482－4x ＝358x . (2)令4－34k ∈Z ，且0≤k ≤8，则k ＝0,4,8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.。

2020-2021学年数学人教A版选修2-3课时作业：1-3-1 二项式定理

课时作业7 二项式定理时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共计40分) 1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( D ) A ．20 B ．40 C ．80D ．160解析：方法1：设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6x 6－r ·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.方法2：根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2的次数和为6，则根据题意满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.2．(1－i)10(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为( A ) A ．－210 B ．210 C ．－120iD ．－210i解析：由通项公式得T 7＝C 610(－i )6＝－C 610＝－210.3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( A ) A ．840 B ．－840 C ．210D ．－210解析：在通项T r ＋1＝C r 10(－2y )r x 10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840.4．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn 等于( C )A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n解析：逆用二项式定理，将1看成公式中的a ，－2看成公式中的b ，可得原式＝(1－2)n ＝(－1)n .5．使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( B )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n 展开式中的第r ＋1项为C r n (3x )n －r x －32r ＝C r n 3n －rxn －52r ，若展开式中含常数项，则存在n ∈N *，r ∈N ，使n －52r ＝0，故最小的n 值为5，故选B.6．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( D ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1解析：因为(1＋x )5的二项展开式的通项为C r 5x r(0≤r ≤5，r ∈Z )，则原式中含x 2的项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a＝－1.7．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( B )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1，又∵13a ＝7b ，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，即137＝2m ＋1m ＋1.解得m ＝6.故选B.8．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( B ) A ．x ＝5，n ＝5 B ．x ＝5，n ＝4 C ．x ＝4，n ＝4 D ．x ＝4，n ＝3解析：C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，检验得B 正确．二、填空题(每小题6分，共计18分)9．在(x －a )10的展开式中，x 7的系数是15，则实数a ＝－12.解析：T 4＝C 310x 7(－a )3，则C 310(－a )3＝15，解得a ＝－12.10．(3x ＋32)100的展开式中，系数为有理项的共有17项．解析：T r ＋1＝C r 100(3x )100－r(32)r ＝C r 100·350－r2·2r3·x 100－r (r ＝0,1,2，…，100)，为使系数为有理数，r 必为2与3的倍数，即6的倍数，故r ＝0,6,12，…，96，共有17个．11．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是3.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－r·(－1)r ＝(－1)r C r 51x10－2r .令10－2r ＝2或10－2r ＝0，解得r ＝4或r ＝5.故(x 2＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是(－1)4×C 45＋2×(－1)5×C 55＝3.三、解答题(共计22分)12．(10分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －124x n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项． (2)求展开式中所有的有理项．若T k ＋1是常数项，则16－3k4＝0，即16－3k ＝0，∵k ∈Z ，这不可能，∴展开式中没有常数项．(2)由(1)知，若T k ＋1是有理项，当且仅当16－3k4为整数．∵0≤k ≤8，k ∈Z ，∴k ＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.13．(12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋23x n的展开式的前三项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项？一次项？若没有，请说明理由；若有，请求出来．解：∵T r ＋1＝C r n (x x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x r ＝C r n·2r·x 9n －11r 6 ，r ＝0,1,2，…，n ， ∴由题意C 0n ·20＋C 1n ·21＋C 2n ·22＝129. 结合组合数公式，有1＋2n ＋2n (n －1)＝2n 2＋1＝129，∴2n 2＝128，n 2＝64.∴n ＝8.∴T r ＋1＝C r 8·2r·x 72－11r6 ，r ＝0,1,2， (8)若展开式中存在常数项，则72－11r ＝0，则r ＝7211∉N ＋， ∴展开式中不存在常数项．若展开式中存在一次项，则72－11r6＝1， ∴72－11r ＝6.∴r ＝6.∴展开式中存在一次项，它是第7项，T 7＝C 68·26x ＝C 28·26x ＝1 792x .——素养提升——14．(5分)设m 为大于1且小于10的正整数，若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－1x 2m的展开式中有不含x 的项，则满足这样条件的m 有1个．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－1x 2m的展开式的通项为T r ＋1＝C r m ·(x 3)m －r ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2r ＝(－1)r ·C r m ·x 3m －5r . 因为展开式中有不含x 的项，所以有3m －5r ＝0，即3m ＝5r .又1<m <10(0≤r ≤m )，且m ∈N *，r ∈N ，所以满足条件的只有m ＝5.15．(15分)求证：32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除．证明：32n ＋2－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182，该式每一项都含因式82，故能被64整除．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

(人教版)高中数学选修2-3课时作业3 Word版含答案

第一章第课时一、选择题(每小题分，共分)．下列问题中：()本不同的书分给位同学，每位一本；()位同学互通一次电话；()位同学互通一封信；()个没有任何三点共线的点构成的线段．属于排列的有( )．个．个．个．个解析：由排列与顺序有关，可知()()是排列，()()不是排列，故选.答案：．(·桂林市高二期末测试)×××…××等于( )．．．．解析：由排列数公式知，选.答案：．在，，，四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有选法( )．种．种．种．种解析：这是一个排列问题，即从四个不同元素中选出两个元素的排列数，由公式知＝×＝，故选.答案：．已知＝，则等于( )．．．．解析：由已知得(－)＝，即－－＝，∴＝或＝－(舍去)，故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．从，，，，五个元素中每次取出三个元素，可组成个以为首的不同的排列，它们分别是.解析：画出树形图如下：可知共个，它们分别是，，，，，，，，，，，.答案：，，，，，，，，，，，．(·江苏省徐州市高二期末测试)用这四个数字能组成没有重复数字的三位数个．(用数字表示)解析：这是一个排列问题由排列数公式可知，可组成＝××＝(个)没有重复数字的三位数．答案：三、解答题(每小题分，共分)．判断下列问题是否是排列问题：()某班共有名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？()从到十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？()会场有个座位，要求选出个座位安排个客人就座，有多少种不同的方法？()某班有名学生，假期约定每人通电话一次，共需通电话多少次？解析：()是．选出的人，担任正、副班长任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题．()是．任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关．()是．“入座”问题同“排队”一样，与顺序有关，故选个座位安排位客人是排列问题．()不是．通电话一次没有顺序，故不是排列问题．．()从四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？()由四个数字共能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．解析：()由题意作树形图，如图．故所有的两位数为，共有个．()直接画出树形图．由上面的树形图知，所有的四位数为：.共个四位数．。

2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3课时训练：3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 Word版含答案

3．1 回归分析的基本思想及其初步应用[学习目标]1．了解随机误差、残差、残差图的概念．2．会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果． 3．掌握建立线性回归模型的步骤． [知识链接]1．什么叫回归分析？答回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法． 2．回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？答不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等． [预习导引] 1．线性回归模型(1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系． (2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (3)对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i－nx －y－∑n i ＝1x 2i －nx －2，a ^＝y －－b ^x －，其中(x －，y －)称为样本点的中心．(4)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中a 和b 是模型的未知参数，e 称为随机误差，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量． 2．残差的概念对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )而言，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1，2，…，n ，其估计值为e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^，i ＝1，2，…，n ，e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差． 3．刻画回归效果的方式 (1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高． (2)残差平方和法残差平方和∑ni ＝1(y i －y ^i )2，残差平方和越小，模型拟合效果越好． (3)利用R 2刻画回归效果R 2＝1－∑ni ＝1（y i －y ^i ）2∑n i ＝1 （y i －y －）2；R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R 2越接近于1，表示回归的效果越好.要点一求线性回归方程例1 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)画出散点图；(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．解 (1)散点图如图．(2)x －＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2， y －＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑5i ＝1x i y i＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054. ∑5i ＝1x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. 所以b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625. a ^＝y －－b ^x －≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y 对x 的回归直线方程是y ^＝0.625x ＋22.05. (3)x ＝96，则y ^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82.规律方法 (1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．跟踪演练1 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．解 (1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x －＝15∑5i ＝1x i ＝109，∑5i ＝1(x i －x －)2＝1 570， y －＝23.2，∑5i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝308.设所求回归直线方程为y ^＝b^x ＋a ^，则b^＝∑5i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑5i ＝1（x i －x －）2＝3081 570≈0.196 2，a ^＝y －－b ^x －＝0.181 42.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. 回归直线如上图所示．(3)据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．要点二线性回归分析例2 为研究重量x (单位：克)对弹簧长度y (单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：(1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R 2； (3)进行残差分析．解 (1)散点图如图x －＝16(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，y －＝16(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，∑6i ＝1x 2i＝2 275，∑6i ＝1x i y i ＝1 076.2 计算得，b^≈0.183，a ^≈6.285，所求回归直线方程为y ^＝0.183x ＋6.285. (2)列表如下：所以∑6i ＝1(y i －y ^i )2≈0.013 18，∑6i ＝1(y i －y －)2＝14.678 4.所以，R 2＝1－0.013 1814.678 4≈0.999 1，回归模型的拟合效果较好．(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．规律方法在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，通过残差e ^1，e ^2，…，e^n来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．若残差点比较均匀地分布在水平带状区域内，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．跟踪演练2 已知某种商品的价格x (元)与需求量y (件)之间的关系有如下一组数据：求y 对x 的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．解 x －＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18， y －＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑5i ＝1x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑5i ＝1x i y i＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b^＝∑5i ＝1x i y i－5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15.a^＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求回归直线方程是y ^＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表：所以，∑5i ＝1(y i －y ^i )2＝0.3，∑5i ＝1(y i －y －)2＝53.2，R 2＝1－∑5i ＝1 （y i －y ^i ）2∑5i ＝1 （y i －y －）2≈0.994，所以回归模型的拟合效果很好．要点三非线性回归分析例3 下表为收集到的一组数据：(1)作出x 与y 的散点图，并猜测x 与y 之间的关系； (2)建立x 与y 的关系，预报回归模型并计算残差； (3)利用所得模型，预报x ＝40时y 的值．解 (1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x 与y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y ＝c 1e c 2x 的周围，其中c 1，c 2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z ＝ln y ，则有变换后的样本点应分布在直线z ＝bx ＋a (a ＝ln c 1，b ＝c 2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y 与x 之间的非线性回归方程了，数据可以转化为求得回归直线方程为z ^＝0.272x －3.849， ∴y ^＝e 0.272x －3.849. 残差(3)当x＝40时，y＝e0.272x－3.849≈1 131.规律方法解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y；(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；(3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题；(4)分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果；(5)写出非线性回归方程．跟踪演练3为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：(1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图；(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系；(3)计算相关指数．解(1)作散点图如图所示．(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1e c2x的周围，于是令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y 与x 之间的非线性回归方程了，数据可以转化为由计算器得：z ^＝0.69x ＋1.115，则有y ^＝e 0.69x ＋1.115. (3)y －＝3776，∑n i ＝1e ^21＝∑n i ＝1(y i －y ^)2＝4.816 1， ∑n i ＝1(y i－y －)2＝24 642.8，R 2＝1－4.816 124 642.8≈0.999 8，即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了99.98%.1．下列各组变量之间具有线性相关关系的是( ) A ．出租车费与行驶的里程 B ．学习成绩与学生身高 C ．身高与体重 D ．铁的体积与质量答案 C2．若劳动生产率x (千元)与月工资y (元)之间的线性回归方程为y ^＝50＋80x ，则下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1 000元时，月工资为130元B ．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元C ．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元D ．月工资为210元时，劳动生产率为2 000元答案 B3．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A.y^＝－10x＋200B.y^＝10x＋200C.y^＝－10x－200D.y^＝10x－200答案 A解析由于销售量y与销售价格x成负相关，故排除B、D.又当x＝10时，A中y＝100，而C中y＝－300，C不符合题意，故选A.4．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．解(1)设所求的线性回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^＝∑5i＝1（x i－x－）（y i－y－）∑5i＝1（x i－x－）2＝1020＝0.5，a^＝y－－b^x－＝0.4.所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y^＝0.5x＋0.4.(2)当x＝11时，y^＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．回归分析的基本思路(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y ^＝b ^x ＋a^)； (4)按一定规则估计回归方程中的参数；(5)提出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等.一、基础达标1．在下列各量之间，存在相关关系的是( )①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电价之间的关系．A ．②③B ．③④C ．④⑤D ．②③④ 答案 D2．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 答案 D解析由回归方程为y ^＝0.85x －85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系；由最小二乘法建立回归方程的过程知y ^＝b ^x ＋a ^＝b ^x ＋y －－b ^x －(a^＝y －－b ^x －)，所以回归直线过样本点的中心(x －，y －)；利用回归方程可以估计总体，所以D 不正确．3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元答案 B解析 ∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋544＝42，又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)，∴42＝72×9.4＋a^，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6(万元)时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和∑ni ＝1(y i －y ^i )2如下表哪位同学的实验结果体现拟合A ，B 两变量关系的模型拟合精度高？( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁答案 D5．如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为________，残差平方和为________，相关指数为________．答案 0 0 16．对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2，3)点，则这条回归直线的方程为________．答案 y ^＝－10＋6.5x解析由题意知x －＝2，y －＝3，b ^＝6.5，所以a ^＝y －－b ^x －＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为y ^＝－10＋6.5x .7．某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据如下表：(1)求样本中心点； (2)画出散点图；(3)求纯获利y 与每天销售件数x 之间的回归方程．解 (1)x －＝6，y －＝79.86，中心点(6，79.86)． (2)散点图如下：(3)因为b ^＝∑7i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑7i ＝1（x i －x －）2≈4.75， a ^＝y －－b ^x －≈51.36，所以y ^＝4.75x ＋51.36.二、能力提升8．(2013·福建)已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( ) A.b^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′ 答案 C解析 x －＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝72，y －＝0＋2＋1＋3＋3＋46＝136，b^＝∑ni ＝1x i y i－nx － y －∑n i ＝1x 2i －nx －2＝57，a ^＝y －－b ^x －＝－13，b ′＝2－02－1＝2＞b^，a ′＝－2＜a ^. 9．下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归方程必过( )A.点(2，3) B ．点(1.5，4) C ．点(2.5，4) D ．点(2.5，5) 答案 C解析回归方程必过样本点的中心(x －，y －)，即(2.5，4)．10．如图是x 和y 的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．答案 D (3，10)解析去掉D (3，10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大． 11．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据处理如下：对处理的数据，容易算得x －＝0，y －＝3.2，b ^＝（－4）×（－21）＋（－2）×（－11）＋2×19＋4×29－5×0×3.2（－4）2＋（－2）2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a ^＝y －－b ^x －＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y ^－257＝6.5(x －2 006)＋3.2.即y ^＝6.5(x －2 006)＋260.2.(2)利用所求得的直线方程，可预测2012年的粮食需求量为6.5×(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．12．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－20，a ^＝y －－b ^x －；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入—成本)解 (1)x －＝8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋96＝8.5，y －＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80∵b ^＝－20，a ^＝y ^－b ^x －， ∴a^＝80＋20×8.5＝250 ∴回归直线方程y ^＝－20x ＋250；(2)设工厂获得的利润为L 元，则L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20(x －334)2＋361.25∴该产品的单位应定为334元，工厂获得的利润最大．三、探究与创新13．(2013·重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x －＋a^；(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx － y －∑n i ＝1x 2i－nx －2，a ^＝y －－bx －，其中x －，y －为样本平均值．解 (1)由题意知n ＝10，x －＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8，y －＝1n ∑n i ＝1y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －nx －2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑ni ＝1x i y i －nx －y －＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝l xy l xx＝2480＝0.3，a ^＝y －－b ^x －＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x }，若M ∪N={0，1，2，3}，则x 的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A ．球B ．圆柱C ．圆台D ．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A ．B ．C ．D ．4．某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。

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课时作业(二十一)
．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期
望．解析由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：；乙组同学的植树棵数是.分别从甲、乙两
组中随机选取一名同学，共有×＝种可能的结果，这两名同学植树总棵数的可能取值为.事件“＝”等价于“甲组选出的同学植树棵，乙组选出的同学植树棵”，所以该事件有种可能的结
果，因此(＝)＝＝，同理可得(＝)＝，(＝)＝，(＝)＝，(＝)＝.
所以随机变量的分布列为：
)
＝×＋×＋×＋×＋×＝.．某渔船要对下月是否出海作出决策，如果出海后遇到好天气，可得收益元，如果出海
后天气变坏将损失元．若不出海，无论天气如何都将承担元损失费．据气象部门的预测，下月好天气的概率是，天气变坏的概率为，请你为该渔船作出决定，是出海还是不出海？依据是
什么？
解析若选择出海，设为渔船的收益，则由题知的可能取值为元，－元，
(＝ )＝，(＝－ )＝.
∴()＝×＋(－)×＝.
若选择不出海，则损失元．
∵>－，∴应选择出海．．在甲、乙等个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一
起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为，…，)，求：
()甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
()甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．
解析()设表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的序号均为偶
数”，由等可能性事件的概率计算公式，得()＝－()＝－＝－＝.
()ξ的所有可能值为，且(ξ＝)＝＝，
(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝，(ξ＝)＝＝，
(ξ＝)＝＝.
从而知ξ的分布列为
．为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业
建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有名工人独立地从中任选一
个项目参与建设．
()求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；()记ξ为人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数
学期望．解析记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件，，，＝，由题意知，，相互独立，，，相互独立，，，相互独立，，，(，，＝，且，，互不相同)相
互独立，且()＝，()＝，()＝.
()他们选择的项目所属类别互不相同的概率
＝！()＝()()()＝×××＝.
()解法一设名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，
由已知，η～(，)，且ξ＝－η，
所以(ξ＝)＝(η＝)＝()＝，
(ξ＝)＝(η＝)＝()()＝，
(ξ＝)＝(η＝)＝()()＝，
(ξ＝)＝(η＝)＝()＝.
故ξ的分布列是
.
解法二记第名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件，＝.
由已知，，，相互独立，且。