专题14 直角三角形存在性问题-中考数学二次函数压轴题核心考点突破
BN C2
易证△AMB∽△BNC2
AM MB =
BN NC2
由A、B坐标得AM=2，BM=4，NC2=3
3 代入得：BN=
2
x
13 故C2坐标为（ 2 ，0）
C3、C4 求法相同，以 C3 为例：
y
AM MC3
易证△AMC3∽△C3NB，C3N = NB
B
由A、B坐标得AM=1，BN=3， 设MC3=a，C3N=b
y
N
Q
C
D AO
M
Bx P
y
D ON
AM
Q
P
C Bx
y
M D AO
C P Bx
N
Q
②当∠OPQ 为直角时，如图构造△OMP≌△PNQ，可得：PM=QN．
设
P
点坐标为
m,
1 2
m2
m
3 2
，
则 PM
0
1 2
m
2
m
3 2
1 m2 2
m
3 2
， QN =
m
1
，
∴ 1 m2 m 3 m 1 ，
2 3
m2
4 3
m
2=m
1 ，解得：
m1
7
4
73
（图
1）， m2
7
4
73
（图 4）
对应 N
点坐标分别为
7
4
73 , 3 4
73
、
7
4
73 , 3 4
73
；
2 3
m2
4 3
m
2=
m
1
，解得：
m3
1 4
73
（图 2）、 m4
1 4
73
（图 3）
对应 N
点坐标分别为
1
4
73 , 3 4
斜边AB绕点A顺时针旋转90°，得到AD
AB=AD
BAD=90° ACB=90°
2+3=90° 3+1=90°
1=2
ACB=90°，DEAC
BCA=AED=90°
E
A
C
2
3
D
1
B
△ABC≌△DAE（AAS）
AC=DE，BC=AE
【模型迁移】
二次函数 y ax2 bx 2 的图像交 x 轴于点 A（-1,0），B（4,0）两点，交 y 轴于点C ．动点 M
（1）求该抛物线的解析式 ．
（2）点 Q 在抛物线的对称轴上运动，当 OPQ 是以 OP 为直角边的等腰直角三角形时，
y
请直接写出符合条件的点 P 的坐标．
C
【分析】 D
（1） y 1 x2 x 3 ；
2
2
AO
Bx
（2）①当∠POQ 为直角时，
考虑 Q 点在对称轴上，故过点 Q 向 y 轴作垂线，垂线段长为 1，可知过点 P 向 x 轴作
坐标为
3 2
,
0
．
确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~
【小结】 几何法：（1）“两线一圆”作出点；
（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．
代数法：（1）表示点 A、B 、C 坐标； （2）表示线段 AB 、AC、BC； （3）分类讨论 ①AB²+AC²=BC²、②AB ²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²； （4）代入列方程，求解．
三角形，且 MNO 为直角？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理
由．
y
y
P
C
C
A
DO B
x
A
OB
x
备用图
【分析】 （1） y 2 x2 4 x 2 ；
33 （2）连接 A C，将四边形面积拆为△APC 和△ADC 面积，考虑△ADC 面积为定值，故只需
△APC 面积最大即可，铅垂法可解；
（3）过点 N 作 NE⊥x 轴交 x 轴于 E 点， 如图 1，过点 M 向 NE 作垂线交 EN 延长线于 F 点， 易证△OEN≌△NFM，可得：NE =FM．
设
N
点坐标为
m,
2 3
m2
4 3
m
2
，则
NE
2 m2 3
4m2 3
， FM
m 1
，
∴ 2 m2 4 m 2 m 1 33
从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AB 方向运动，过点 M 作 MN x 轴交直线 BC 于点 N ，交抛物线于点 D ，连接 AC ，设运动的时间为t 秒．
（1）求二次函数 y ax2 bx 2 的表达式；
（2）在直线 MN 上存在一点 P ，当 PBC 是以 BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时
小，求出点 M 的坐标； （3）设点 P 为抛物线的对称轴 x 1 上的一个动点，求使 BPC 为直角三角形的点 P 坐标．
y
C
B
-1 O A
x
【分析】 （1）直线 BC： y x 3
抛物线： y x2 2x 3 ；
（2）将军饮马问题，考虑到 M 点在对称轴上，且点 A 关于对称轴的对称点为点 B ，故 MA+MC=MB +MC，∴当 B、M、C 三点共线时，M 到 A 和 C 的距离之后最小，此时 M 点坐标为（-1，2）；
y
C M
AO P
Bx
y
C M
AO
P Bx
【2017 本溪中考】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 1 x2 bx c 与 x 轴交于 A 、B 两点，点 B（3,0）， 2
经过点 A 的直线 AC 与抛物线的另一交点为C(4, 5) ，与 y 轴交点为 D，点 P 是直线 AC 下 2
方的抛物线上的一个动点（不与点 A、C 重合）．
4 2
，解得：
a b
1 3
．
y D
故 D 点坐标为（1,3）．
C N
M AO
H
P
B x
Q
同理可求此时 D 点坐标为（3,2）．
y H C
AO
PQ D N M Bx
思路 2：等腰直角的一半还是等腰直角． 如图，取 BC 中点 M 点，以 BM 为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为 P 点．根 据 B 点和 M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为 1 和 2，故 P 点坐标易求． P 点横坐标同 D 点，故可求得 D 点坐标．
点 D 的坐标．
y
【分析】 （1） y 1 x2 3 x 2 ；
22
D C
N
AO M
Bx
（2）本题直角顶点 P 并不确定，以 BC 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为 P 点，再 过点 P 作水平线，得三垂直全等． 设 HP=a，PQ=b，则 BQ=a，CH=b，
由图可知：
a b
b a
垂线，长度必为 1，故 P 的纵坐标为±1．如下图，不难求出 P 点坐标．
设
P
点坐标为
m,
1 2
m2
m
3 2
，
可得： 1 m2 m 3 1 ．
2
2
解得： m1 1 2 ， m2 1 2 ， m3 1 6 ， m4 1 6 （舍）．
如下图，对应 P 点坐标分别为 1 2,1 、 1 2, 1 、 1 6,1 ．
【对称轴上寻找点】
（2018·安顺中考）如图，已知抛物线 y ax2 bx c(a 0) 的对称轴为直线 x 1 ，且抛
物线与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中 A(1,0) ，C(0,3) ． （1）若直线 y mx n 经过 B 、 C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴 x 1上找一点 M ，使点 M 到点 A 的距离与到点C 的距离之和最
中物理
直角三角形
存在性问题
【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为（1,1），点 B 坐标为（5,3），在 x 轴上找一点 C 使得△ABC 是直角三角形，求点 C 坐标．
y
A O
B x
【几何法】两线一圆得坐标
（1）若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C；
y D
C
A O
B x
【分析】
（1）抛物线： y x2 2x 3 ，直线 AC：y=3x+3；
（2）看图，M 点坐标为（0,3）与 C 点重合了．
y D
CM
A
B'
O
B x
（3）考虑到 AC 为直角边，故分别过 A、C 作 AC 的垂线，与抛物线交点即为所求 P 点， 有如下两种情况，
73
、
1
4
73 , 3 4
73
．
y 图1
M
CF N
y
A
O EB x
C
E
A
OB x
图2
N
y
F
M
图3
C N
AE
OB x
M
F
E A
N
F
y C OB x 图4 M
当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归 结为同一个方程：NE =FM．故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存 在的其他情况． 一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰 的条件只能得到三垂直相似． 而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等．
b2
故可解： b1
中考数学压轴题解题策略(3)-直角三角形的存在性问题解题策略
直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例❶如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝45．D、E为线段BC上的两个动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E 作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值．图1-1【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点．在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝45，所以BH＝8．所以BC＝16．由EF//AC，得BF BEBA BC=，即31016BF x+=．所以BF＝5(3)8x+．图1-2 图1-3 图1-4①如图1-3，当∠BDF＝90°时，由4cos5BDBBF∠==，得45BD BF=．解方程45(3)58x x=⨯+，得x＝3．②如图1-4，当∠BFD ＝90°时，由4cos 5BF B BD ∠==，得45BF BD =． 解方程5154885x x +=，得757x =． 我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC 的“限制”，只需要取其确定的∠B ． 例❷ 如图2-1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，，，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成 △ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．图2-1【解析】△ABC 的三边长都可以表示出来，AC ＝1，AB ＝x ，BC ＝3－x ．如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根．②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x （如图2-2）． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x （如图2-3）． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形．图2-2 图2-3例❸ 如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2, 0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标．图3-1【解析】A 、B 两点是确定的，以线段AB 为分类标准，分三种情况．如果线段AB 为直角边，那么过点A 画AB 的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B 画AB 的垂线，有1个交点．以AB 为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那4=MN 1=MA 1>MB么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．由题意，得点B 的坐标为（2，0），且∠BAP 不可能成为直角．①如图3-2，当∠ABP ＝90°时，点P 的坐标为（2，1）．②方法一：如图3-3，当∠APB ＝90°时，OP 是Rt △APB 的斜边上的中线，OP ＝2．设P 2(,)x x ，由OP 2＝4，得2244x x+=．解得x =P (2,2)．图3-2 图3-3方法二：由勾股定理，得P A 2＋PB 2＝AB 2．解方程2222222(2)()(2)()4x x x x +++++=，得x =方法三：如图3-4，由△AHP ∽△PHB ，得PH 2＝AH ·BH ．解方程22()(2)(2)x x x =+-，得x =图3-4 图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x 2－2)2＝0．这个四次方程的解是x 1＝x 2＝2，x 3＝x 4＝它的几何意义就是以AB 为直径的圆与双曲线相切于P 、P ′两点（如图3-5）．例❹ 如图4-1，已知直线y ＝kx －6经过点A (1,－4)，与x 轴相交于点B ．若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．图4-1【解析】和例题3一样，过A 、B 两点分别画AB 的垂线，各有1个点Q ．和例题3不同，以AB 为直径画圆，圆与y 轴有没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的．将A (1,－4)代入y ＝kx －6，可得k ＝2．所以y ＝2x －6，B (3,0)．设OQ 的长为m ．分三种情况讨论直角三角形ABQ ：①如图4-2，当∠AQB ＝90°时，△BOQ ∽△QHA ，BO QH OQ HA =．所以341m m -=． 解得m ＝1或m ＝3．所以Q (0,－1)或(0,－3)．②如图4-3，当∠BAQ ＝90°时，△QHA ∽△AGB ，QH AG HA GB =．所以4214m -=． 解得72m =．此时7(0,)2Q -． ③如图4-4，当∠ABQ ＝90°时，△AGB ∽△BMQ ，AG BM GB MQ =．所以243m =． 解得32m =．此时3(0,)2Q ．图4-2 图4-3 图4-4三种情况的直角三角形ABQ ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便．已知A (1,－4)、B (3,0)，设Q (0, n )，那么根据两点间的距离公式可以表示出AB 2，AQ 2和BQ 2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了．例❺ 如图5-1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只．．．有．三个时，求直线l 的解析式．图5-1【解析】有且只有三个直角三角形ABM 是什么意思呢？过A 、B 两点分别画AB 的垂线，与直线l 各有一个交点，那么第三个直角顶点M 在哪里？以AB 为直径的⊙G 与直线l 相切于点M 啊！ 由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得A (－4, 0)、B (2, 0)，直径AB ＝6． 如图5-2，连结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．因此3tan 4GEM ∠=． 设直线l 与y 轴交于点C ，那么OC ＝3．所以直线l （直线EC ）为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =-．图5-2例❻ 如图6-1，在△ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝8，4cos 5A ∠=．点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连结CE 、DE ．（1）求底边AB 上的高；（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长；（3）连结AE ，当△ADE 是直角三角形时，求AD 的长．图6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D 看作主动点，那么CE 就是从动线段．反过来画图，点E 在以CA 为半径的⊙C 上，如果把点E 看作主动点，再画∠ACE 的平分线就产生点D 了．（1）如图6-2，设AB 边上的高为CH ，那么AH ＝BH ＝4．在Rt △ACH 中，AH ＝4，4cos 5A ∠=，所以AC ＝5，CH ＝3． （2）①如图6-3，当∠AFC ＝90°时，F 是AB 的中点，AF ＝4，CF ＝3． 在Rt △DEF 中，EF ＝CE －CF ＝2，4cos 5E ∠=，所以52DE =．此时52AD DE ==．②如图6-4，当∠ACF＝90°时，∠ACD＝45°，那么△ACD的条件符合“角边角”．作DG⊥AC，垂足为G．设DG＝CG＝3m，那么AD＝5m，AG＝4m．由CA＝5，得7m＝5．解得57m=．此时2557AD m==．图6-2 图6-3 图6-4 （3）因为DA＝DE，所以只存在∠ADE＝90°的情况．①如图6-5，当E在AB下方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝135°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH－DH＝1．②如图6-6，当E在AB上方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝45°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH＋DH＝7．图6-5 图6-6。
专题14二次函数解答压轴题(共32题)-2021中考数学真题分项汇编(解析版)【全国通用】(第1期)
专题14二次函数解答压轴题（共32题）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第01期）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上． （1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由．【答案】（1）1x =-；（2）213y y y <<，理由见解析【分析】（1）由题意易得点()1,3和点()3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当0,0m n <>时和当0,0m n ><时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．【详解】解：（1）当3,15m n ==时，则有点()1,3和点()3,15，代入二次函数()20y ax bx a =+>得： 39315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为22y x x =+，∴抛物线的对称轴为12b x a=-=-； （2）由题意得：抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，则由0mn <可得：∴当0,0m n ><时，由抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0可得此时的抛物线开口向下，即0a <，与0a >矛盾；∴当0,0m n <>时，∴抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0， ∴此时抛物线的对称轴的范围为1322x <<，∴点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上，∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为()3513571,2,4222222x x x <--<<-<<-<， ∴0a >，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴213y y y <<．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点． （1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1b =-；（2）1；（3）0a <或45a >． 【分析】（1）将点()()2,1,2,3--代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（3）分0a <和0a >两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：（1）将点()()2,1,2,3--代入2y ax bx c =++得：421423a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩，两式相减得：44b -=，解得1b =-；（2）由题意得：0a ≠，由（1）得：2211()24y ax x c a x c a a =-+=-+-， 则此函数的顶点的纵坐标为14c a-， 将点()2,3-代入2y ax x c =-+得：423a c -+=-，解得41a c -=+，则1141c c a c -=++，下面证明对于任意的两个正数00,x y ，都有00x y +≥2000(0x x y -=+-≥，00x y ∴+≥00x y =时，等号成立）， 当1c >-时，10c +>，则11111111c c c c +=++-≥=++（当且仅当111c c +=+，即0c 时，等号成立）， 即114c a-≥， 故当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由423a c -+=-得：41c a =--，则二次函数的解析式为241(0)y ax x a a =---≠，由题意，分以下两种情况：∴如图，当0a <时，则当1x =-时，0y >；当3x =时，0y <，即141093410a a a a +-->⎧⎨---<⎩， 解得0a <；∴如图，当0a >时，当1x =-时，14130y a a a =+--=-<，∴当3x =时，93410y a a =--->， 解得45a >， 综上，a 的取值范围为0a <或45a >． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．【答案】（1）1a =；（2）12y y >，见解析；（3【分析】（1）根据对称轴2b x a=-，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出1x =±再表示出|1(1)|AB =-，12CD x x =-=3=即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：212x a-=-= 1a（2）抛物线对称轴为直线1x =，且10a =>∴当1x <时，y 随x 的增大而减小，当1x >时，y 随x 的增大而增大．∴当111x -<<时，y 1随x 1的增大而减小，1x =-时，4y =，0x =时，1y =114y ∴<<同理：212x <<时，y 2随x 2的增大而增大1x =时，0y =．2x =时，1y =201y ∴<<12y y ∴>（3）令221x x m -+=22(1)0x x m -+-=2(2)41(1)m ∆=--⋅⋅-4m =1x ∴==±11x ∴=21x =|1(1)|AB ∴=-=令23(1)x m -= 2(1)3m x ∴-=11x ∴=+21x =+ 12CD x x ∴=-3=AB CD ∴==∴AB 与CD【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．【答案】（1）24y x =+；（2）6【分析】（1）确定B 点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深 CD ′ 与杯高 OD ′ 之比为0.6，求出OD ′ ，接着利用抛物线解析式求出B '或A '横坐标即可完成求解．【详解】解：（1）设24y ax =+，∴杯口直径 AB =4 ，杯高 DO =8 ，∴()2,8B将2x =，8y =代入，得1a =，24y x ∴=+．（2）0.6CD OD ''=， 0.64CD CD'∴=+'， 6CD ∴'=，10OD '=，当10y =时，2104x =+，1x 2x =A B ∴''=即杯口直径A B ''的长为【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-+；（3）EM MP PB ++存在最小值，1+，此时点M 的坐标为51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】 （1）由题意易得5AD AB ==，进而可得()4,0A -，则有()10B ,，然后把点B 、D 代入求解即可； （2）设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分∴当BF BE =时，∴当EF BE =时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM 、DM ，由题意易得DM =EM ，四边形BOMP 是平行四边形，进而可得OM =BP ，则有1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，则有当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，然后问题可求解．【详解】解：（1）∴四边形ABCD 为正方形，()4,5D -，∴5AD AB ==，()4,0A -，∴4AO =，∴OB =1，∴()10B ,， 把点B 、D 坐标代入得：164510b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）由（1）可得()10B ,，抛物线解析式为223y x x =+-，则有抛物线的对称轴为直线1x =-， ∴点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称， ∴()2,5E ，∴由两点距离公式可得()()222120526BE =-+-=，设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：∴当BF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22BF BE =，即()()2211026a ++-=，解得：a =∴点F 的坐标为(-或(1,-； ∴当EF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22EF BE =，即()()2221526a ++-=，解得：5a =，∴点F 的坐标为(1,5-或(1,5-+；综上所述：当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-+； （3）由题意可得如图所示：连接OM 、DM ，由（2）可知点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，()10B ,， ∴1OB =，DM =EM ，∴过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，∴1,//PM OB PM OB ==，∴四边形BOMP 是平行四边形，∴OM =BP ，∴1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，∴当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，此时OD 与抛物线对称轴的交点为M ，如图所示：∴()4,5D -，∴OD ==∴1DM MO ++1，即EM MP PB ++1+，设线段OD 的解析式为y kx =，代入点D 的坐标得：54k =-，∴线段OD 的解析式为54y x =-， ∴51,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为52x =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）254y x x =-+；（2）四边形OCPQ 是平行四边形，理由见详解；（3）（0，258）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）设抛物线(1)(4)y a x x =--，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），得到PQ =()224x --+，从而求出线段PQ 长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q 作QM ∴y 轴，过点Q 作QN ∴y 轴，过点E 作EN ∴x 轴，交于点N ，推出MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，从而得MQ NE MD NQ=，进而求出E （5，4），设F （0，y ），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∴抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线52x =， ∴B （4，0），C （0，4），设抛物线(1)(4)y a x x =--，把C （0，4）代入得：)40(0)1(4a ⨯-=-，解得：a =1，∴抛物线的解析式为：254y x x =-+；（2）∴B （4，0），C （0，4），∴直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），∴PQ =-x +4-(254x x -+)=24x x -+=()224x --+，∴当x =2时，线段PQ 长度最大=4，∴此时，PQ =CO ，又∴PQ ∴CO ，∴四边形OCPQ 是平行四边形；（3）过点Q 作QM ∴y 轴，过点Q 作QN ∴y 轴，过点E 作EN ∴x 轴，交于点N ，由（2）得：Q （2，-2），∴D 是OC 的中点，∴D （0，2），∴QN ∴y 轴，∴ODQ DQN ∠=∠，又∴2DQE ODQ ∠=∠，∴2DQE DQN ∠=∠，∴MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，∴tan tan MDQ EQN ∠=∠，即：MQ NE MD NQ =， 设E （x ，254x x -+），则222454(2)x x x -=-+--，解得：15=x ，22x =（舍去）， ∴E （5，4）， 设F （0，y ），则()()222240016BF y y =-+-=+， ()()()2222504254EF y y =-+-=+-，()()222544017BE =-+-=，∴当BF =EF 时，()2216254y y +=+-，解得：258y =， ∴当BF =BE 时，21617y +=，解得：1y =或1y =-，∴当EF =BE 时，()225417y +-=，无解，综上所述：点F 的坐标为：（0，258）或（0，1）或（0，-1）． ．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．7．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值： x … 1- 0 1 2 3 …y 03 4 3 0 … （1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值； （3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）()214y x =--+；()1,4M ；（2131+；（3）是，1． 【分析】（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用平移和找对称点的方式，将AQ QP PC ++的长转化为1PE PC ++，再利用两点之间线段最短确定PE PC +的最小值等于CE 的长，加1后即能确定1PE PC ++的最小值；（3）设出圆心和D 点的坐标，接着表示出E 点的坐标，利用圆心到B 点的距离等于圆心到D 点的距离，求出q 和e 的关系，得到E 点的纵坐标，进而确定EF 的长为定值．解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）设抛物线解析式为：()214y a x =-+，将点（0,3）代入解析式得：3=a +4，∴1a =-，∴抛物线解析式为：()214y x =--+，顶点坐标()1,4M ． （2）由表格可知，抛物线经过点A （-1,0），C （0,3），如图3，将A 点向上平移一个单位，得到()'1,1A -，则'//'=AA PQ AA PQ ，，∴四边形'AA PQ 是平行四边形，∴'=PA QA ，作'A 关于MQ 的对称点E ，则()3,1,E∴'=PA PE ，∴=1AQ QP PC PE PC ++++，当P 、E 、C 三点共线时，PE PC +最短，设直线CE 的解析式为：y mx n =+，将C 、E 两点坐标代入解析式可得：331n m n =⎧⎨+=⎩， ∴323n m =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线CE 的解析式为：233y x =-+， 令1x =，则73y =， ∴当713P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，P 、E 、C 三点共线，此时=PE PC EC +∴AQ QPPC ++1．理由：设,D p q （），因为A 、B 两点关于直线x =1对称，所以圆心位于该直线上，所以可设ABD △的外接圆的圆心为()'1,O e ，作'O N DF ⊥，垂足为点N ，则,N p e （），由DF x ⊥轴，∴,2E p e q -（），∴'='O D O B ，且由表格数据可知()3,0B∴()()()()2222310=1e p q e -+--+-，化简得：()()22241e p q e +=-+-，∴点D 是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为()214y x =--+，∴()214q p =--+，∴()214p q -=-，∴()2244e q q e +=-+-，∴0q ≠，∴21e q -=-， ∴,1E p -（），∴1EF =，即EF 的长不变，为1．【点睛】本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念与公式，能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量，对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求，本题蕴含了数形结合的思想方法等．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：直线1y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 为直线AB 上一动点，连接OC ，AOC ∠为锐角，在OC 上方以OC 为边作正方形OCDE ，连接BE ，设BE t =． （1）如图1，当点C 在线段AB 上时，判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）真接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；（3）若tan AOC k ∠=，经过点A 的抛物线()20y ax bx c a =++>顶点为P ，且有6320a b c ++=，POA 的面积为12k ．当22t =时，求抛物线的解析式．【答案】（1）BE ∴AB ，理由见解析；（2）（,1）；（3）243y x x =-+ 【分析】（1）先求出点A 、B 的坐标，则可判断∴AOB 是等腰直角三角形，然后结合正方形的旋转可证明∴AOC ∴∴BOE （SAS ），可得∴OBE =∴OAC =45°，进而可得结论；（2）作辅助线如图1（见解析），根据正方形的性质可证∴MOC ∴∴NEO ，可得CM =ON ，OM =EN ，由（1）的结论可得AC =BE =t ，然后解等腰直角∴ACM ，可求出2AM CM ==，进而可得答案；（3）由抛物线过点A 结合已知条件可求出抛物线的对称轴是直线x =2，然后由（2）可求出当t =时k =1，进一步即可求出点P 的纵坐标，从而可得顶点P 的坐标，于是问题可求解． 【详解】解：（1）BE ∴AB ，理由如下：对于直线y =-x +1，当x =0时，y =1，当y =0时，x =1， ∴B （0，1），A （1，0）， ∴OA =OB =1， ∴∴OBA =∴OAB =45°， ∴四边形OCDE 是正方形， ∴OC =OE ，∴COE =90°， ∴∴AOB =90°， ∴∴AOC =∴BOE ， ∴∴AOC ∴∴BOE （SAS ）， ∴∴OBE =∴OAC =45°，∴∴EBC =∴EBO +∴OBA =45°+45°=90°， 即BE ∴AB ；（2）作CM ∴OA 于点M ，作EN ∴x 轴于点N ，如图1，则∴CMO =∴ENO =90°， ∴∴EON +∴NEO =∴EON +∴COM =90°， ∴∴NEO =∴COM ， 又∴OC =OE ，∴∴MOC ∴∴NEO ， ∴CM =ON ，OM =EN ，在∴ACM 中，∴CMA =90°，∴MAC =45°，AC =BE =t ， ∴22AM CM t ==， ∴212OM t =-， ∴点E 在第二象限， ∴点E 的坐标是（22,122t t --）；（3）∴抛物线过点A （1，0）， ∴a +b +c =0， ∴6320a b c ++=， ∴消去c 可得b =-4a ，∴抛物线的对称轴是直线x =2，如图1，当t =时，由（2）可得AC =， ∴12AM CM ==， ∴11122OM CM =-==，∴tan 1AOC ∠=，即k =1， ∴∴POA 的面积为12， 即11122P y ⨯⨯=，解得1P y =， ∴a ＞0，∴顶点P 的纵坐标是-1， ∴点P （2，-1）， 设()221y a x =--，把点A （1，0）代入，可求得a =1，∴抛物线的解析式是()222143y x x x =--=-+．9．（2021·四川资阳市·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当5D N CN '+的值最小时，求MN 的长．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）(1,4)P 或(2,3)P ；（3）34． 【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点P 的坐标为2(,23)P a a a -++，先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再根据:1:2PE BE =可得点E 的坐标，代入直线AC 的解析式求解即可得；（3）先根据2DD CD '=求出点2DD CD '=的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点M 的坐标，从而可得点N D N CN '+，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得． 【详解】解：（1）由题意，将点()()1,0,0,3B C -代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++； （2）对于二次函数2y x 2x 3=-++，当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =，(3,0)A ∴，设点P 的坐标为2(,23)(03)P a a a a -++<<，点E 的坐标为11(,)E x y ，:1:2,(1,0)PE BE B =-，1121111223102a x x a a y y -⎧=⎪+⎪∴⎨-++-⎪=⎪-⎩，解得121213324233x a y a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，22124(,2)3333E a a a ∴--++，设直线AC 的解析式为y kx t =+，将点(3,0),(0,3)A C 代入得：303k t t +=⎧⎨=⎩，解得13k t =-⎧⎨=⎩，则直线AC 的解析式为3y x =-+， 将点22124(,2)3333E a a a --++代入得：22124323333a a a -++=-++， 解得1a =或2a =，当1a =时，2231234a a -++=-++=，此时(1,4)P ， 当2a =时，22342233a a -++=-+⨯+=，此时(2,3)P ， 综上，点P 的坐标为(1,4)P 或(2,3)P ；（3）二次函数2223(1)4y x x x =-++=--+的顶点D 坐标为(1,4)D ，设点D 的坐标为22(,)D x y '，2,(0,3),(1,4)DD C D D C '=， 2212104243x y -⎧=⎪⎪-∴⎨-⎪=⎪-⎩，解得2236x y =⎧⎨=⎩，(3,6)D '∴，则平移后的二次函数的解析式为22(3)663y x x x =--+=-+-， 设直线OD '的解析式为0y k x =，将点(3,6)D '代入得：036k =，解得02k =， 则直线OD '的解析式为2y x =，设点M 的坐标为2(,63)(3)M m m m m -+-<，则点N 的坐标为(,2)N m m ，如图，连接AD '，过点N 作NF AD '⊥于点F ，过点C 作CG AD '⊥于点G ，交OD '于点N '，连接CF ，(3,0),(3,6)D A '，AD x '∴⊥轴，3FN m ∴=-，2255(3)(62)35D N CN m m CN m CN FN CN '+=-+-=-+=+， 由两点之间线段最短得：FN CN +的最小值为CF ，由垂线段最短得：当点F 与点G 重合时，CF 取得最小值CG ，此时点N 与点N '重合， 则点N '的纵坐标与点C 的纵坐标相等， 即23m =，解得32m =， 则2263243MN m m m m m =-+--=-+-，233()4322=-+⨯-，34=．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键．10．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为112100z x=-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）【答案】（1）苹果的进价为10元/千克；（2）10(100)8200(100)x xyx x≤⎧=⎨+>⎩；（3）要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．【分析】（1）设苹果的进价为x元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）分两种情况：当x≤100时，当x＞100时，分别列出函数解析式，即可；（3）分两种情况：若x≤100时，若x＞100时，分别求出w关于x的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：（1）设苹果的进价为x元/千克，由题意得：30020022x x=+-，解得：x=10，经检验：x=10是方程的解，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克；（2）当x≤100时，y=10x，当x＞100时，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，∴10(100)8200(100)x xyx x≤⎧=⎨+>⎩；（3）若x ≤100时，w =zx -y =21112102100100x x x x x ⎛⎫-+-=-+ ⎪⎝⎭=()21100100100x --+， ∴当x =100时，w 最大=100， 若x ＞100时，w =zx -y =()2111282004200100100x x x x x ⎛⎫-+-+=-+- ⎪⎝⎭=()21200200100x --+， ∴当x =200时，w 最大=200，综上所述：当x =200时，超市销售苹果利润w 最大，答：要使超市销售苹果利润w 最大，一天购进苹果数量为200千克． 【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分式方程，是解题的关键．11．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标．【答案】（1）265y x x =---；（2）6311-；（3）(3,26N --【分析】（1）将点()1,0A -和点()5,0B -代入解析式，即可求解；（2）由tan 2ACM ∠=想到将ACM ∠放到直角三角形中，即过点A 作AE AC ⊥交CM 的延长线于点E ，即可知2AEAC=，再由90AOC EAC ∠=∠=︒想到过点E 作EF x ⊥轴，即可得到AOC EFC ∆∆∽，故点E 的坐标可求，结合点C 坐标可求直线CE 解析式，点M 是直线CE 与抛物线交点，联立解析式即可求解； （3）过点M 作L 的垂线交于点D ，故设点M 的横坐标为m ，则点M 的纵坐标可表示，且MD 的长度也可表示，由//HM NQ 可得AHM AQN ∆∆∽即可结合两点间距离公式表示出MN ，最后由3MD MN =即可求解 【详解】解：（1）将点()1,0A -和点()5,0B -代入25y ax bx =+-得5025550a b a b --=⎧⎨--=⎩，解得：16a b =-⎧⎨=-⎩ 265y x x ∴=---（2）点A 作AE AC ⊥交CM 的延长线于点E ，过E 作EF x ⊥轴于,E 如下图EF x ⊥轴，AE AC ⊥ 90EFA EAC ∴∠=∠=︒ 90FAE OAC ∴∠+∠=︒又90ACO OAC ∴∠+∠=︒EAF ACO ∴∠=∠ AOC EFA ∴∆∆∽AC AO COEA EF AF∴==tan 2ACM ∠=即2AEAC= 12AC AO CO EA EF AF ∴=== 当0x =时，5y =-()0,5C ∴-即5OC =2,10EF AF ∴==即()11,2E --∴设直线CE 的解析式为()0y kx b k =+≠，并将C 、E 两点代入得1125k b b -+=-⎧⎨=-⎩解得3115k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 3511y x ∴=-- 点M 是直线CE 与抛物线交点2351165y x y x x ⎧=--⎪∴⎨⎪=---⎩解得1263,011x x =-=（不合题意，舍去） ∴ 点M 的横坐标为6311-（3）设过点M 垂直于L 的直线交x 轴于点H ，对称轴交x 轴于点Q ，M 的横坐标为m 则OH m =-1AH m ∴=--265y x x =---∴对称轴32bx a∴P 、Q 、N 的横坐标为3-，即3OQ =2AQ OQ OA ∴=-=∴当3x =-时，()()233654y =----⨯-= ()3,4P ∴-∴点D 的纵坐标为4∴()()222465693MD m m m m m =----=++=+ //HM NQ∴AHM AQN ∆∆∽AH HM AQ QN ∴=即21652m m m QN--++= 210QN m ∴=--()3,210N m ∴-+()()()2222223652103351MN m m m m m m ⎡⎤⎡⎤∴=-+-----=+++⎣⎦⎣⎦ 3MD =223MD MN ∴=，即()()()42233351m m m ⎡⎤+=+++⎣⎦， 30,3m m +==-不符合题意，舍去，当30m +≠时，2224690,m m ∴++=解得122m -=，由题意知122m --= (3,2N ∴--【点睛】本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点间的距离公式，属于综合运用题，难度偏大．解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想．12．（2021·湖北十堰市·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．【答案】（1）2144m x =-+；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）02n <≤【分析】（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入，利用待定系数法即可求解； （2）分别写出当120x ≤≤时与当2040x <≤时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴16220n +≤，求解即可．【详解】解：（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入可得： 1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2144k b =-⎧⎨=⎩， ∴2144m x =-+；（2）当120x ≤≤时，销售利润()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+， 当16x =时，销售利润最大为1568元；当2040x <≤时，销售利润20302160W my m x =-=-+，当21x =时，销售利润最大为1530元；综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为： ()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-， ∴120x ≤≤时，'W 随x 的增大而增大，∴对称轴16220n +≤，解得02n <≤．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．13．（2021·四川达州市·中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？【答案】（1）2504009000W x x =-++，9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43【分析】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入2x =求出对应函数值即可；（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）令9750W =可解出对应的x 的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的x 的值即可．【详解】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克，∴()()500504830W x x =+--，整理得：2504009000W x x =-++，当2x =时，2502400290009600W =-⨯+⨯+=，∴每天的利润为9600元；（2）()225040090005049800W x x x =-++=--+，∴500-<，∴当4x =时，W 取得最大值，最大值为9800，∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令9750W =，得：()297505049800x =--+，解得：15=x ，23x =，∴要让利于民，∴5x =，48543-=（元）∴定价为43元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．14．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ．【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ， 根据题意可得：()()4430205w z z =--+，化简得：2550280w z z =-++， 当()505225b z a =-=-=⨯-时， 255505280405max w =-⨯+⨯+=，∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．（3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①② 将∴代入∴可得：()100002010930m W b m -=-+⨯， 化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+，使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变，则40b -=，得4b =，当4b =时，3000W =，∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．15．（2021·湖北黄冈市·中考真题）已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ⊥于点D ，当n 为何值时，PDG BNG ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB ∠=______；①当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）2n =（3）∴12；∴251013(9+或2513(,0)9-． 【分析】（1）根据点,A B 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先根据抛物线的解析式可得点,C P 的坐标，再利用待定系数法可得直线BC 的解析式，从而可得点G 的坐标，然后分别求出,PG BG 的长，最后根据全等三角形的性质可得PG BG =，由此建立方程求解即可得；（3）∴先利用待定系数法求出直线BD 的解析式，再根据平移的性质可得直线1OB 的解析式，从而可得点E 的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；∴先求出直线1NN 的解析式，再与直线1OB 的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点1N 的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得．。
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习(含答案解析)
中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）； （3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。
备考2024年中考数学专题突破(全国通用)二次函数的存在性问题(原卷版)
专题3-2一网打尽14类·二次函数存在性问题解题策略梳理题型一等腰直角三角形存在性问题本溪中考辽宁阜新中考2023·湖南娄底·统考中考真题2023·四川广元·中考真题题型二等腰三角存在性问题山东泰安中考甘肃白银中考江苏盐城中考（删减）贵港中考（删减）四川眉山中考删减辽宁葫芦岛中考（删减）题型三直角三角形存在性问题兰州中考（删减）辽宁本溪中考贵州安顺中考真题怀化中考真题2023·四川内江·中考真题2023·海口华侨中学考模题型四平行四边形存在性问题【例4.1】对边相等【例4.2】两定两动：x轴+抛物线【例4.3】两定两动：对称轴+抛物线【例4.4】两定两动：斜线+抛物线【例4.5】两定两动：抛物线+抛物线【例4.6】三定一动2023·四川南充·中考真题2023·山东聊城·中考真题2023·四川巴中·中考真题2023-2024学年武汉市洪山区九年级统考题型五正方形存在性问题例5.1：两动点：构造等腰直角定第3点例5.2：两定两动：抛物线+抛物线南充中考真题2023·黑龙江绥化中考真题2023·四川凉山·中考真题2022·四川遂宁·中考真题2023年广西钦州市一模2020·四川德阳·中考真题题型六菱形存在性问题例6.1例6.2例6.32023·湖南邵阳市·中考真题2023·四川广安·中考真题题型七矩形存在性问题【例7.1】【例7.2】两定两动2023·海南·中考真题2023·内蒙古自治区呼伦贝尔市、兴安盟中考真题2022·贵州黔西·中考真题2022·贵州黔东南·中考真题2022·湖北随州·中考真题题型八相似三角形存在性问题【例8.1】【例8.2】【例8.3】【练习1】【练习2】【练习3】2022·湖南张家界·中考真题题型九角的存在性问题之转化为相似或全等三角形2023厦门一中模拟2023-2024学年福建省福州屏东中学月考2023-2024学年湖北天门市九年级月考2024届福州市晋安区统考深圳福田区模拟题型十角的存在性问题之转化为等腰三角形2023年武汉市外国语学校中考模拟武汉·中考真题题型十一角的存在性问题之化为正切或斜率【例11.1】【例11.2】题型十二角的存在性问题之与特殊角结合【例12.1】【例12.2】2023·浙江湖州·统考一模题型十三角的存在性问题之2倍角或半角2024届·武汉市武珞路中学期中2022年长沙市雅礼教育集团中考一模锦州中考真题江苏盐城中考真题题型十四角的存在性问题之动点是角的顶点：构造圆【例14】内蒙赤峰·中考真题：一题四法山东日照中考真题甘肃兰州·中考真题四川资阳·中考真题解题策略梳理一、等腰三角形的存在性问题：几何法与代数法讲解【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有AB =AC ；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有BA =BC ；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C ，有CA =CB ．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．C 21+23,0()C 11-23,0()C 1H =C 2H =13-1=23作AH x 轴于H 点，AH =1AC 1=AB=4-1()2+3-1()2=1334C C 、同理可求，下求5C ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A 、B 均往下移一个单位，当点A 坐标为（1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：故C 5坐标为（196,0）解得：x =1363-x ()2+22=x 2设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-xAH =3，BH =2而对于本题的5C ，或许代数法更好用一些．二、直角三角形存在性问题：几何法与代数法讲解【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（5,3），在x 轴上找一点C 使得△ABC 是直角三角形，求点C坐标．【几何法】两线一圆得坐标（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）重点还是如何求得点坐标，12C 、2【构造三垂直】34C C 、求法相同，以3C 为例：构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．【代数法】表示线段构勾股还剩下1C 待求，不妨来求下1C ：（1）表示点：设1C 坐标为（m ，0），又A （1，1）、B （5，3）；（2）表示线段：AB 1AC 1BC（3）分类讨论：当1BAC 为直角时，22211AB AC BC ；（4）代入得方程： 2222201153m m ，解得：32m．三、等腰直角三角形在性问题方法突破【三垂直构造等腰直角三角形】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt △ABC ，∠ACB =90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90 得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC =DE ，BC =AE ．我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型迁移】【兰州中考（删减）】二次函数22y ax bx 的图像交x 轴于点A （-1,0），B （4,0）两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22y ax bx 的表达式；（2）在直线MN 上存在一点P ，当PBC 是以BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标．【分析】（1）213222y x x ；（2）本题直角顶点P 并不确定，以BC 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P 点，再过点P 作水平线，得三垂直全等．设HP=a ，PQ=b ，则BQ=a ，CH=b ，由图可知：42a b b a ，解得：13a b．故D 点坐标为（1,3）．同理可求此时D 点坐标为（3,2）．思路2：等腰直角的一半还是等腰直角．如图，取BC 中点M 点，以BM 为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P 点．根据B 点和M 点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为1和2，故P 点坐标易求．P 点横坐标同D 点，故可求得D点坐标．四、平行四边形存在性问题方法突破考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：A B D CAB DC x x x x y y y y ，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．y D -y Cx D -x Cy A -y Bx -x A BC（2）对角线互相平分转化为：2222A CB DAC BD x x x x y y y y ，可以理解为AC 的中点也是BD的中点．D【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D BA B D C A C D B x x x x x x x x y y y y y y y y，2222A CB DAC BD x x x x y y y y→A C B D A C B D x x x x y y y y ．当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D （各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：D 之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．【题型分类】平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．1．三定一动已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得：（1）BC 为对角线时，531352m n ，可得 17,6D ；（2）AC 为对角线时，135253mn ，解得 21,4D ；（3）AB 为对角线时，153235mn，解得 33,0D．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：1=D B C A ，2=D A C B ，3D A B C ．（此处特指点的横纵坐标相加减）2．两定两动已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）．（1）当AB 为对角线时，130120m n ，解得43m n ，故C （4，0）、D （0，3）；（2）当AC 为对角线时，130102m n ，解得21m n ，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，103120m n ，解得21m n，故C （-2，0）、D （0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：（1）对边平行且相等；（2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式：A C B DAC BD x x x x y y y y ，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．五、矩形的存在性问题方法突破矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角为直角的四边形．【题型分析】矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：A CB D AC BD x x x x y y y y（AC 为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．题型如下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；（2）1个定点+3个半动点．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在平面中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】点C 满足以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点C 有14,03C 、214,03C、 32,0C 、 43,0C在点C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D 的坐标．【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D 点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此．思路2：先平行，再矩形当AC 为对角线时，A 、B 、C 、D 满足以下3个等式，则为矩形：A C B D A C B D x x x x y y y y其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在坐标系中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】设C点坐标为（a，0），D点坐标为（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考虑平行四边形存在性：（1）AB为对角线时，14120a bc，满足此条件的C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，另外AB=CD综合以上可解：323abc或233abc．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．（2）AC为对角线时，14102a bc，另外AC=BD，得合以上可解得：143531abc．故C14,03、D5,13．（3）AD为对角线时，14120b ac，另外AD=BC综合以上可解得：431331abc．故C14,03、D13,13．【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算的故事．【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点5C 坐标为（m ，0），又A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段：5AC，5BC （3）分类讨论：根据55AC BC ，可得：，（4）求解得答案：解得：236m，故5C 坐标为23,06．【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．六、菱形的存在性问题方法突破作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：（1）有一组邻边相等的平行四边形菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边都相等的四边形是菱形．坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD 是菱形，则其4个点坐标需满足：A CB D AC BD x x x x y y y y考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等．即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同．因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点（2）1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种：思路1：先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A +C =B +D ”（AC 、BD 为对角线），再结合一组邻边相等，得到方程组．思路2：先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点．1．看个例子：如图，在坐标系中，A 点坐标（1,1），B 点坐标为（5,4），点C 在x 轴上，点D 在平面中，求D 点坐标，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形．思路1：先平四，再菱形设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（p ，q ）．（1）当AB 为对角线时，由题意得：（AB 和CD 互相平分及AC =BC ） 2222151********m p q m m，解得：398985m p q（2）当AC 为对角线时，由题意得：（AC 和BD 互相平分及BA =BC ） 2222151041514504m p qm，解得：223m p q 或843m p q（3）当AD 为对角线时，由题意得：2222151401514110p mq m，解得：153m p q153m p q思路2：先等腰，再菱形先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C，再确定D点．（1）当AB=AC时，C点坐标为1 ，对应D点坐标为5 ；C点坐标为1 ，对应D点坐标为5 ．（2）当BA=BC时，C点坐标为（8，0），对应D点坐标为（4，-3）；C点坐标为（2，0），对应D点坐标为（-2，-3）．（3）AC=BC时，C点坐标为39,08，D点坐标为9,58．以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法．七、正方形的存在性问题方法突破作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：（1）2个定点+2个全动点；（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;甚至可以有：（3）4个半动点．不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！常用处理方法：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．如图，一共6个这样的点C 使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．至于具体求点坐标，以1C 为例，构造△AMB ≌△1C NA ，即可求得1C 坐标．至于像5C 、6C 这两个点的坐标，不难发现，5C 是3AC 或1BC 的中点，6C 是2BC 或4AC 的中点．题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．八、相似三角形存在性问题【模型解读】在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了．九、角的存在性问题方法突破除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；（3）等腰三角形：等边对等角；（4）全等（相似）三角形：对应角相等；（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．圆周角定理： 1= 221三角函数：若tan 1=tan 2，则 1= 2全等三角形： 1= 212等腰三角形： 1= 212角平分线： 1= 212平行： 1= 3， 2= 3321想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．题型一等腰直角三角形存在性问题本溪中考1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c与x 轴交于A 、B 两点，点B （3,0），经过点A 的直线AC 与抛物线的另一交点为5(4,2C ，与y 轴交点为D ，点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动，当OPQ 是以OP 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P 的坐标．ABCD Oxy辽宁阜新中考2．如图，抛物线22y ax bx 交x 轴于点(3,0)A 和点(1,0)B ，交y 轴于点C ．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D 的坐标为(1,0) ，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使MNO 为等腰直角三角形，且MNO 为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．备用图2023·湖南娄底·统考中考真题3．如图，抛物线2y x bx c 过点 1,0A 、点 5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求b ，c 的值．(2)点 000,05P x y x 是抛物线上的动点，过点P 作PE x 轴，交BC 于点E ，再过点P 作PF x ∥轴，交抛物线于点F ，连接EF ，问：是否存在点P ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2023·四川广元·中考真题4．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx 的图象与x 轴交于点 2,0A ， 4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ，求出点F 的坐标.题型二等腰三角存在性问题山东泰安中考5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c 交x 轴于点(4,0)A 、(2,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ，在y 轴上有一点(0,2)E ，连接AE ．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．甘肃白银中考6．如图，抛物线24y ax bx 交x 轴于(3,0)A ，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；江苏盐城中考（删减）7．如图所示，二次函数2(1)2y k x 的图像与一次函数2y kx k 的图像交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，直线AB 分别与x 、y 轴交于C 、D 两点，其中0k ．（1）求A 、B 两点的横坐标；（2）若OAB 是以OA 为腰的等腰三角形，求k的值．贵港中考（删减）8．如图，已知二次函数2y ax bx c 的图像与x 轴相交于(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴相交于点(0,3)C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PH x轴于点H，与线段BC交于点M，的坐标．连接PC．当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P四川眉山中考删减9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线249y x bx c 经过点(5,0)A 和点(1,0)B ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作DMN DBA ，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．辽宁葫芦岛中考（删减）10．如图，直线4y x 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接AM 交BC 于点D ，当PDM 是等腰三角形时，直接写出t的值．题型三直角三角形存在性问题兰州中考（删减）11．通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在Rt △ABC ，∠ACB =90°，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90 得到AD ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，可以推理得到△ABC ≌△DAE ，进而得到AC =DE ，BC =AE ．我们把这个数学模型成为“K 型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数22y ax bx 的图像交x 轴于点A （-1,0），B （4,0）两点，交y 轴于点C ．动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数22y ax bx 的表达式；（2）在直线MN 上存在一点P ，当PBC 是以BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标．辽宁本溪中考如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c 与x 轴交于A 、B 两点，点B （3,0），经过点A 的直线AC 与抛物线的另一交点为5(4,)2C ，与y 轴交点为D ，点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点（不与点A 、C 重合）．（1）求该抛物线的解析式．（2）点Q 在抛物线的对称轴上运动，当OPQ 是以OP 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标．。
二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)
_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式〔1〕、【一般式】抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解； 〔2〕、【顶点式】抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进展判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况 △ ＞ 0与x 轴交点 方程有的实数根△ ＜ 0 与x 轴交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴交点方程有的实数根3、抛物线上有两个点为A 〔x 1，y 〕，B 〔x 2，y 〕 (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式： 两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 那么由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：A 〔0，5〕和B 〔－2，3〕，那么AB ＝。
4、 常见考察形式1〕A 〔1,0〕，B 〔0，2〕，请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线〞：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2〕A 〔-2,0〕，B 〔1，3〕，请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆〞：分别过线段的两个端点作线段的垂线，再以线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：〔1〕直接用面积公式计算；〔2〕割补法；〔3〕铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽〞〔a 〕，中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高〞〔h 〕． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
2019数学中考复习——二次函数中直角三角形存在性问题
二次函数中直角三角形存在性问题
解题方法
一、代数法：
（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方
（2）以直角顶点分三种情况，根据勾股定理列方程，解方程
（3）根据题目条件及方程解确定坐标
二、几何法：
（1）先分三种情况进行构造：若已知边做直角边，过直角边的两端点作垂线，则第三个顶点在垂线上，若已知边为斜边，可取斜边为直径作圆，直角顶点在圆上
（2）计算：注意题目的几何背景，如有直接的相似则表示线段长度，进行相似求解，无直接相似则围绕顶点分别做坐标轴的平行线，构造一线三角模型进行相似求解。
专题训练
例1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
几何法：
例2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；
例3.如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的图象过点，并与直线相交于、两点. 求抛物线的解析式（关系式）；
过点作交轴于点，求点的坐标；
除点外，在坐标轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
123y x =-
+x P y A 212
y x bx c =-++(1,0)E -A B ⑴⑵A AC AB ⊥x C C ⑶C M MAB ∆M。
二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选
九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选y =ax bx C 与X 轴正半轴交于 A 、B 两点，与y 轴交于点C ,直线y =X -2经过A 、C 两点，且 AB=2. (1) 求抛物线的解析式；(2) 若直线DE 平行于X 轴并从C 点开始以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于点E 、D ,同时动点P 从点B 出发，沿BO 方向以每秒2个单位速度运动，(如图2);当点P运动到原点 O 时，直线 DE 与点P 都停止运动，连 DP ,若点P 运动时间为t 秒；设S = ED O P ,当 ED OPt 为何值时，S 有最小值，并求出最小值。
(3) 在(2)的条件下，是否存在 t 的值，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ ABC 相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。
∙/ AB=2 ,∙∙∙ B (4, 0)。
y =a X -2 X -4 ,代入点 C ( 0,— 2)得1I O 3•抛物线的解析式为厂一4八2 X"」4X2^2。
由题意：CE=t , PB=2t , OP=4 — 2t 。
【例1 ].已知：如图一，抛物线 ∙可设抛物线的解析式为【答案]由 y=0 得 x=2 ,∙∙∙ A (2,0)。
九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》∙.∙ED 〃BA ,•△CED -COB o ∙O D =CO ,即E 4S o∙ED =2t oED +OP_2t+(4 —2t )_ 4 _ 1^ ED OP 2t 4 —2t -4t 2+8t _ t -1 2+12•••当t=1时，—(t —1 ) +1有最大值1。
•••当t=1时，S=ED OP 的值最小，最小值是 10ED OP(3) 存在。
设 BC 所在直线的解析式为 y=kx+b ,由B (4, 0), C (0,— 2)由题意可得：D 点的纵坐标为t — 2,贝U D 点的横坐标为2to2 2 —• BD= 4 -2t t -2 = 5 2 -t 。
二次函数综合题--二次函数与直角三角形有关的问题(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
二次函数综合题-中考数学重难点题型二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）1.（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）根据解析式求出A ，B ，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x=1，设P （1，t ），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M（m,m 2-2m-3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．(1)223y x x =--与x 轴交点：令y=0，解得121,3x x =-=，即A （-1，0），B （3，0），223y x x =--与y 轴交点：令x=0，解得y=-3，即C （0，-3），∴AO=1,CO=3,∴AC ==(2)抛物线223y x x =--的对称轴为：x=1，设P （1，t ），∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222210313PC t t =-++=++，∴24t +()213t =++∴t=-1，∴P （1，-1）；(3)设点M （m,m 2-2m-3），()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时，()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，∴M （1，-4）；②当222BM BC CM +=时，()())222222323182m m m m m m-+--+=+-，解得，12m =-，23m =（舍），∴M （-2，5）；③当222BM CM BC +=时，()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，解得，m =，∴M ⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭；综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或1522⎛+ ⎪ ⎪⎝⎭或1522⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．2.（2021·四川中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，6），抛物线的顶点坐标为E （2，8），连结BC 、BE 、CE ．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE 的形状，并说明理由；（3）如图2，以C 为半径作⊙C ，在⊙C 上是否存在点P ，使得BP ＋12EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12-x 2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，2【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；（3）在CE 上截取CF=2（即CF 等于半径的一半），连接BF 交⊙C 于点P ，连接EP ，则BF 的长即为所求．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E （2，8），∴设该抛物线的表达式为y=a （x-2）2+8，∵与y 轴交于点C （0，6），∴把点C （0，6）代入得：a=12-，∴该抛物线的表达式为y=12-x 2+2x+6；（2）△BCE 是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，∴当y=0时，12-（x-2）2+8=0，解得：x 1=-2，x 2=6，∴A （-2，0），B （6，0），∴BC 2=62+62=72，CE 2=（8-6）2+22=8，BE 2=（6-2）2+82=80，∴BE 2=BC 2+CE 2，∴∠BCE=90°，∴△BCE 是直角三角形；（3）如图，在CE 上截取CF=2（即CF 等于半径的一半），连接BF 交⊙C 于点P ，连接EP ，则BF 的长即为所求．连接CP ，∵CP 为半径，∴12CF CP CP CE ==，又∵∠FCP=∠PCE ，∴△FCP ∽△PCE ，∴12CF FP CP PE ==，FP=12EP ，∴BF=BP+12EP ，由“两点之间，线段最短”可得：BF 的长即BP+12EP 为最小值．∵CF=14CE ，E （2，8），∴F （12，132），∴2【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．3.（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；（3）如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标【答案】（1）223y x x =--；（2）()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【分析】（1）由()1,0A -和D ()1,4-，且D 为顶点列方程求出a 、b 、c ，即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，②在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ；（3）QMN 为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当90QM MN QMN =∠=︒，；②当90QN MN QNM =∠=︒，；③当90QM QN MQN =∠=︒，．【详解】解：（1）将()1,0A -和D ()1,4-代入2y ax bx c=++得04a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩又∵顶点D 的坐标为()1,4-∴12ba-=-∴解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：223y x x =--．（2）∵()3,0B 和()1,4D -∴直线BD 的解析式为：26y x =-∵抛物线的解析式为：223y x x =--，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于点()1,0A -和点B，则C 点坐标为()0,3-，B 点坐标为()3,0．①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，则直线1CP 的解析式为23y x =-，结合抛物线223y x x =--可知22323x x x --=-，解得：10x =（舍），24x =，故()14,5P ．②过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，由OB OC =可知四边形OBGC 为正方形，∵直线1CP 的解析式为23y x =-∴1CP 与x 轴交于点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ∴OCE FCG∠=∠又∵OC=CG ，90COE G ∠=∠=︒∴OEC △≌()GFC ASA ，∴32FG OE ==，33,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又由()0,3C -可得直线CF 的解析式为132y x =-，结合抛物线223y x x =--可知212332x x x --=-，解得10x =（舍），252x =，故257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，符合条件的P 点坐标为：()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）∵()3,0B ，()0,3C -∴直线BC 的解析式为3BC y x =-设M 的坐标为()3m m -，，则N 的坐标为()223m m m --，∴()22=3233MN m m m m m----=-∵()1,0A -，()0,3C -∴直线BC 的解析式为33AC y x =--∵QMN 为等腰直角三角形∴①当90QM MN QMN =∠=︒，时，如下图所示则Q 点的坐标为33m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴4=33m mQM m ⎛⎫--=⎪⎝⎭∴24=33mm m -解得：10m =（舍去），2133m =，353m =∴此时154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当90QN MN QNM =∠=︒，则Q 点的坐标为222233m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∴222=33m m m mQM m -+-=∴22=33m mm m +-解得：10m =（舍去），25m =，32m =∴此时()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；③当90QM QN MQN =∠=︒，时，如图所示则Q 点纵坐标为()()22211113236=32222m m m m m m m -+--=----∴Q 点的坐标为22111136622m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∴Q 点到MN 的距离=221151+6666m m m m m--=∴22511+=3662m m m m ⋅-（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：10m =（舍去），27m =，31m =∴此时()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．综上所述，点M 及其对应点Q 的坐标为：154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形．该题综合性较强，属于中考压轴题．4.（2021·湖北中考真题）抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，若DEF 是等腰直角三角形，求DEF 的面积；（3）若()3,P t 是对称轴上一定点，Q 是抛物线上的动点，求PQ 的最小值（用含t 的代数式表示）．【答案】（1）263y x x =-+-；（2）4；（3）6(6)116(6)211()2t t PQ t t t ⎧⎪-≥⎪⎪=-<<⎨≤【分析】（1）与y 轴相交于点()0,3C -，得到3b =-，再根据抛物线对称轴，求得1a =-，代入即可．（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，可知E 、F 两点关于对称轴对称，DEF 是等腰直角三角形得到45FED ∠=︒，设(,)(0)E m n n >，根据等腰直角三角形的性质求得E 点坐标，从而求得DEF 的面积．（3）(,)(6)Q p q q ≤，根据距离公式求得222(21)6PQ q t q t =-+++，注意到q 的范围，利用二次函数的性质，对t 进行分类讨论，从而求得PQ 的最小值．【详解】解：（1）由抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -得到3b =-抛物线的对称轴为3x =，即232b a--=，解得1a =-∴抛物线的方程为263y x x =-+-（2）过点E 作EM AB ⊥交AB 于点M ，过点F 作FN AB ⊥，交AB 于点N ，如下图：∵DEF 是等腰直角三角形∴DE DF =，45FED ∠=︒又∵EF x ∥轴∴45EDM ∠=︒∴EMD 为等腰直角三角形∴EM DM=设(,)(0)E m n n >，则(,0)M m ，3,DM m EM n=-=∴3n m=-又∵263n m m =-+-∴2363m m m -=-+-2760m m -+=解得1m =或6m =当1m =时，2n =，符合题意，2,4DM EM MN ===142DEF S MN EM =⨯=△当6m =时，30n =-<，不符合题意综上所述：4DEF S = ．（3）设(,)(6)Q p q q ≤，Q 在抛物线上，则263q p p =-+-222222(3)()692PQ p q t p p q tq t =-+-=-++-+将263q p p =-+-代入上式，得222(21)6PQ q t q t =-+++当112t >时，2162t +>，∴6q =时，2PQ 最小，即PQ 最小22223612661236(6)PQ t t t t t =--++=-+=-PQ =6(6)6116(6)2t t t t t -≥⎧⎪-=⎨-<<⎪⎩当112t ≤时，2162t +≤，∴212t q +=时，2PQ 最小，即PQ 最小22344t PQ -=，2PQ =综上所述6(6)116(6)211()2t t PQ t t t ⎧⎪-≥⎪⎪=-<<⎨≤【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公5.（2020•泸州）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣2，0），B （4，0），C （0，4）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B 的直线交y 轴于点D ，交线段AC 于点E ，若BD ＝5DE ．①求直线BD 的解析式；②已知点Q 在该抛物线的对称轴l 上，且纵坐标为1，点P 是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l 右侧，点R 是直线BD 上的动点，若△PQR 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，求点P 的坐标．【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出a，即可得出结论；（2）①先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；②先确定出点Q的坐标，设点P（x，−12x2+x+4）（1＜x＜4），得出PG＝x﹣1，GQ=−12x2+x+3，再利用三垂线构造出△PQG≌△QRH（AAS），得出RH＝GQ=−12x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，进而得出R（−12x2+x+4，2﹣x），最后代入直线BD的解析式中，即可求出x的值，即可得出结论．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4，∴a=−12，∴抛物线的解析式为y=−12（x+2）（x﹣4）=−12x2+x+4；（2）①如图1，设直线AC的解析式为y＝kx+b'，将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得−2k+b'=0b'=4，∴k=2b'=4，∴直线AC的解析式为y＝2x+4，过点E作EF⊥x轴于F，∴OD∥EF，∴△BOD∽△BFE，∴OB BF=BD BE，∵B（4，0），∴OB＝4，∵BD＝5DE，∴BD BE=BD BD+DE=5DE5DE+BE=56，∴BF=BE BD×OB=65×4=245，∴OF＝BF﹣OB=245−4=45，将x=−45代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（−45）+4=125，∴E（−45，125），设直线BD的解析式为y＝mx+n，∴4m+n=0−45m+n=125，∴m=−12n=2，∴直线BD的解析式为y=−12x+2；②∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点Q（1，1），如图2，设点P（x，−12x2+x+4）（1＜x＜4），过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，∴PG＝x﹣1，GQ=−12x2+x+4﹣1=−12x2+x+3，∵PG⊥l，∴∠PGQ＝90°，∴∠GPQ+∠PQG＝90°，∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，∴∠PQG+∠RQH＝90°，∴∠GPQ ＝∠HQR ，∴△PQG ≌△QRH （AAS ），∴RH ＝GQ =−12x 2+x+3，QH ＝PG ＝x ﹣1，∴R （−12x 2+x+4，2﹣x ），由①知，直线BD 的解析式为y =−12x+2，∴x ＝2或x ＝4（舍），当x ＝2时，y =−12x 2+x+4=−12×4+2+4＝4，∴P （2，4）．6.（2020·甘肃兰州?中考真题）如图，抛物线24y ax bx =+-经过A （－3，6），B （5，－4）两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB 平分CAO ∠；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以AB 为直角边的直角三角形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）215466y x x =--；（2）详见解析；（3）存在，点M 的坐标为（52，－9）或（52，11）．【解析】【分析】（1）将A （-3，0），B （5，-4）代入抛物线的解析式得到关于a 、b 的方程组，从而可求得a 、b 的值；（2）先求得AC 的长，然后取D （2，0），则AD=AC ，连接BD ，接下来，证明BC=BD ，然后依据SSS 可证明△ABC ≌△ABD ，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB=∠BAD ；（3）作抛物线的对称轴交x 轴与点E ，交BC 与点F ，作点A 作AM′⊥AB ，作BM ⊥AB ，分别交抛物线的对称轴与M′、M ，依据点A 和点B 的坐标可得到tan ∠BAE=12，从而可得到tan ∠M′AE=2或tan ∠MBF=2FM 和M′E 的长，故此可得到点M′和点M 的坐标．【详解】解:（1）将A （-3，0），B （5，-4）两点的坐标分别代入，得9340,25544a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得1,65,6a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故抛物线的表达式为y ＝215466y x x =--．（2）证明：∵AO=3，OC=4，∴．取D （2，0），则AD=AC=5．由两点间的距离公式可知=5．∵C （0，-4），B （5，-4），∴BC=5．∴BD=BC ．在△ABC 和△ABD 中，AD=AC ，AB=AB ，BD=BC ，∴△ABC ≌△ABD ，∴∠CAB=∠BAD ，∴AB 平分∠CAO ；（3x 轴与点E ，交BC 与点F ．抛物线的对称轴为x=52，则AE=112．∵A （-3，0），B （5，-4），∴tan ∠EAB=12．∵∠M′AB=90°．∴tan ∠M′AE=2．∴M′E=2AE=11，∴M′（52，11）．同理：tan ∠MBF=2．又∵BF=52，∴FM=5，∴M （52，-9）．∴点M 的坐标为（52，11）或（52，-9）．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM 和M′E 的长是解题的关键7.（2020·内蒙古通辽?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，且直线6y x =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以,,Q M N 三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）256y x x =-++；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，4+）或（0，4-）.【解析】【分析】（1）根据直线6y x =-求出点B 和点D 坐标，再根据C 和D 之间的关系求出点C 坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；（2）设点P 坐标为（m ，0），表示出M 和N 的坐标，再利用三角形面积求法得出S △BMD =231236m m -++，再求最值即可；（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.【详解】解：（1）∵直线6y x =-过点B ，点B 在x 轴上，令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，∴B （6，0），D （0，-6），∵点C 和点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），∵抛物线2y x bx c =-++经过点B 和点C ，代入，03666b c c =-++⎧⎨=⎩，解得：56b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为：256y x x =-++；（2）设点P 坐标为（m ，0），则点M 坐标为（m ，256m m -++），点N 坐标为（m ，m-6），∴MN=256m m -++-m+6=2412m m -++，∴S △BMD =S △MNB +S △MND =()2141262m m ⨯-++⨯=231236m m -++=-3（m-2）2+48当m=2时，S △BMD 最大=48，此时点P 的坐标为（2，0）；（3）存在，由（2）可得：M （2，12），N （2，-4），设点Q 的坐标为（0，n ），当∠QMN=90°时，即QM ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点M 的纵坐标相等，即Q （0，12）；当∠QNM=90°时，即QN ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点N 的纵坐标相等，即Q （0，-4）；当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图，分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F，∵∠MQN=90°，∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，∴∠NQF=∠QME，∴△MEQ∽△QFN，∴ME EQQF FN=，即21242nn-=+，解得：n=4+或4-，∴点Q（0，4+）或（0，4-），综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，4+）或（0，4-）.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.。
二次函数中直角三角形存在性问题.doc
二次函数中直角三角形存在性问题1. 找点:在己知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点•以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直 径构造圆找点2. 方法:以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1以已知线段为斜边时，利用K 型图，构造双垂直模 型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示Z 后，利用勾股定理求解例一:如图，抛物线y =加空一2加兀+3加 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点.(1) 请求出抛物线顶点M 的坐标(用含m 的代数式表示)，A 、B 两点的坐标;(2) 经探究可知，A BC M 与A ABC 的而积比不变，试求出这个比值；(1) 求该抛物线的解析式； (2) M 为第一象限内抛物线上一动点，点M 在何处时，△ ACM 的面积最大；(3) 在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P,使得△ PAC 为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P 的坐标; 若不存在，请说明理由.(3)是否存在使A BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出;如果不存在，请说明理由0), B(4, 0),与y 轴交于点C.练习：1.如图.C知抛物线y=ar±bx+c (a«)的顶点M在第一象限，抛物线bx轴相交FA、B两点(点A 住点B的左边),f jy轴交万点C, O为唯标原点，如果ZkABM是何角二角形，AB=2, OM= J5(1)求点M的坐标;(2)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；(3)在抛物线的对称轴匕是否存在点P,使W APAC为直角三角形？若存在.请求出所有符合条件的点P 的坐标：若不存在•请说明理由.2.如图，抛物线y =〒一2加兀(m>0)与x轴的另一个交点为A,过P(l, -m)作PM丄x轴于点M,交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对称点为C.(1)若m二2,求点A和点C的坐标；(2)令m>l,连接CA,若AACP为直角三角形，求m的值；(3)在坐标轴上是否存在点E,使得APEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，抛物线y =衣+分+2与x轴交于点A(l, 0)和B(4, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC〃x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C,且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P,使AOCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.4、在平面直角坐标系中，抛物线y = ++仗一1)兀一比与直线y二kx+1交于A, B两点，点A在点B的左侧.(1)如图1,当k二1吋，直接写出A, B两点的坐标；(2)在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求岀AABP面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2,抛物线y =兀2+仗_1)兀一比(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧)，在直线y二kx+1 使得Z0QC=90° ?若存在，请求出此吋k的值；若不存在，请说明理由.5.如图，直线y=x+2与抛物线y = ajc^-bx^6 (a#0)相交于A (2, 2)和B(4, m),点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC丄x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由;(3)求厶PAC为直角三角形时点P的坐标.6、如图，抛物线y = ci^+bx+c经过A(-3, 0)、C(0, 4),点B在抛物线上，。
二次函数中直角三角形存在性问题的解法与计算技巧
二次函数中直角三角形存在性问题的解法与计算技巧
第一问比较简单，直接代入两点，列方程组即可解决！
第二问的①使用锐角三角形即可解决，也比较简单。
另外，也可以用三角形ABC与三角形QEC相似来做。
第二问的②是常见的直角三角形存在性问题，需要分三大类情况，由于D，Q两点是已知点。
所以当D或Q点作为直角顶点时，比较容易求出F点，参考答案把这里略写了，我说一下解题思路。
利用两垂直直线斜率乘积为-1来解即可，比如当∠FDQ=90°时，利用直线DQ 斜率与直线FD斜率乘积为-1即可算出直线FD斜率，进而求出直线FD斜率，然后结合D点就可以求出直线FD解析式，再联立直线FD 与二次函数即可求出F点。
至于第三种情况，本质上是利用勾股定理逆定理列一个二次方程，解出方程即可！总体来说，这种内问题主要是计算量比较大，需要计算能力较好。