函数过程
函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数的概念在数学上被广泛应用，它是描述自变量和因变量之间关系的一种数学工具。
在数学的发展历史上，函数的概念经历了漫长的发展过程，从最初的平面几何到现代的抽象代数，函数的概念不断得到丰富和深化。
本文将从古希腊时期的几何学开始，对函数的概念发展历史进行全面梳理。
古希腊时期的函数概念古希腊的几何学家在研究曲线的运动过程中，开始对函数的概念进行初步的探讨。
在古希腊时期，数学家们主要从几何的角度来研究函数，如阿基米德、亚历山大的庞德等人。
他们主要关注几何图形的变化规律，即自变量和因变量之间的关系。
在这一时期，函数的概念主要是从曲线的运动、几何图形的变化中产生，并没有形成系统的数学理论。
17世纪的微积分学在17世纪，微积分学的发展推动了函数概念的进一步深化。
牛顿和莱布尼兹等数学家发展了微积分学，首次明确地提出了函数的概念，并将其作为研究曲线和图形的基本工具。
微积分学将函数的概念与导数、积分等概念结合起来，形成了现代函数论的雏形。
在这一时期，函数的概念逐渐从几何的范畴中脱离出来，成为了一种独立的数学对象。
19世纪的分析学19世纪是函数概念发展的一个重要时期，分析学的兴起推动了函数概念的进一步发展。
在这一时期，柯西、魏尔斯特拉斯等数学家对函数的性质进行了深入研究，提出了连续性、可导性等概念，逐渐建立起了现代函数论的基本框架。
函数的概念开始从简单的数学工具演变为一种抽象的数学对象，其研究不再局限于几何或微积分学的范畴，而是成为了一种独立的数学分支。
20世纪的抽象代数与拓扑学20世纪是函数概念发展的一个新阶段，随着抽象代数和拓扑学的兴起，函数的研究逐渐从实数域扩展到了更一般的数学结构。
在这一时期，泛函分析、代数拓扑等新的数学分支涌现出来，为函数概念的进一步深化提供了新的视角。
函数不再局限于实数域或复数域，而是被推广到了更一般的数学结构上，如度量空间、拓扑空间等。
函数概念在数学应用中的发展除了在纯数学理论中的发展，函数的概念在数学应用中也得到了广泛的应用。
PASCAL中常用的函数和过程
随机数在信息学奥林匹克中可用于随机化搜索、穷举等算法，以优化其性能， 也可用于在快速排序中选择关键数，以使其快速排序算法的最坏情况没有固定的 相应数列。
另外，System 单元中随机种子变量的标识符为 RandSeed，你也可以手动修 改它。如果你希望使用了随机数的程序对同一个输入数据能有恒定的输出结果， 可以设置 RandSeed 为一个定值。
附： 如何获取随机数？
随机数是指理论上没有规律可循、在指定范围内每个数的出现几率相等、无 法根据之前的数来预测下一个数的数列。一般随机数生成器的基本原理是：首先 初始化一个随机种子，其初始值可以是任意的整数；在每次获取随机数时，以随 机种子为基础进行某种特殊的运算，获得一个随机数并返回之，然后再对随机种 子进行某种运算，改变随机种子的值。这样，就可以生成许多比较随机的数，但 同一个初始值的随机种子将会生成完全相同的随机数列。
Writeln(-1.5, 'rounds to ', Round(-1.5));{ -2 } end.
5、取小数函数 frac(x) 定义：function Frac(X: Real): Real; 注意：X 是实型表达式. 结果返回 X 的小数部分; 也就是说， Frac(X) = X - Int(_X). 例子： var R: Real; begin R := Frac(123.456); { 0.456 } R := Frac(-123.456); { -0.456 } end.
函数过程
过程本章要点●子过程的概念和应用。
●函数过程的概念和应用。
●过程的参数传递：传值与传址；对象参数。
●标准模块与Sub Main过程的应用。
●常用的键盘和鼠标事件过程。
在Visual Basic 6.0中，常用的过程主要有两类：一类由系统提供，包括事件过程和内部函数过程，这是我们在前面的章节中多次使用的过程；另一类是自定义过程，由程序设计者根据需要自行编制，主要包括通用过程和自定义函数过程。
事件过程和通用过程合称为子过程（Sub过程），自定义函数过程简称函数过程（Function过程）。
使用过程是体现结构化（模块化）程序设计思想的重要手段。
当问题比较复杂时，可根据功能将程序分解为若干个小模块。
若程序中有多处使用相同的代码段，也可以将其编写为一个过程，程序中的其他部分可以调用这些过程，而无须重新编写代码。
过程的应用大大提高了代码的可复用性，简化了编程任务，并使程序更具可读性。
运用过程还可以把大的程序分成相对独立的子程序，便于调试和维护。
8.1 子过程子过程即Sub过程，VB中的子过程分为事件过程和通用过程两类。
事件过程：当发生某个事件时，对该事件做出响应的程序段，它是VB应用程序的主体。
窗体的事件过程名称为：Form_事件名，如Form_Click。
控件的事件过程名称为：控件名_事件名，如Command1_Click。
通用过程：有时多个不同的事件过程可能要使用同一段程序代码，这时可将这段程序代码独立出来，编写为一个共用的过程，称为通用过程。
它独立于事件过程之外，可供其他事件过程、通用过程或函数过程调用。
8.1.1 通用过程的定义1. 通用过程的语法格式通用过程的语法格式如下：[Public | Private] [Static] Sub 过程名([形参表])[局部变量或常数声明][语句块][Exit Sub][语句块]End Sub说明：（1）[Public | Private]：可选。
指定过程的作用范围。
欧拉函数证明过程
欧拉函数证明过程
欧拉函数是数论中一个重要的概念,它定义为小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数,记作φ(n)。
欧拉函数的证明过程如下:
1. 先证明当n是质数的时候,φ(n)=n-1。
证明:对于质数n,任何小于n的正整数与n都是互质的,因此φ(n)=n-1。
2. 对于合数n,假设n的质因数分解为n=p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak,其中pi是质数,ai是正整数。
3. 考虑小于或等于n的所有正整数,按照是否被某个质因数pi整除,可以分为k+1组:
- 第一组:被所有质因数整除的数,只有一个,即n本身。
- 第二组:被p1整除,但不被其他质因数整除的数,共有(p1^a1-p1^(a1-1))个。
- 第三组:被p2整除,但不被p1和其他质因数整除的数,共有(p2^a2-p2^(a2-1))个。
- ...
- 第k+1组:不被任何质因数整除的数,共有(n/p1^a1 * n/p2^a2 * ... * n/pk^ak)个。
4. 由于互质的条件是两个数的最大公约数为1,所以与n互质的数就是不被任何质因数整除的数,即第k+1组。
5. 根据包含-排除原理,第k+1组的个数为:
φ(n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * ... * (1 - 1/pk)
6. 这就是著名的欧拉函数公式。
通过这个公式,我们可以计算出任意正整数n的欧拉函数值φ(n)。
以上就是欧拉函数的证明过程,它揭示了与一个正整数n互质的数的个数与n的质因数分解有着内在的联系。
欧拉函数在数论和密码学等领域有着广泛的应用。
函数调用过程
函数调用过程
函数调用过程：
1. 传递参数：当函数被调用时，实参（实际参数）和形参（形式参数）的值被传递到参数列表中。
2. 将指令传送到调用程序：编译器将向调用函数的代码发送一组指令，用于准备在调用时执行相应操作。
3. 控制流转移：在调用函数之前，编译器将控制流转移到函数体中，调用函数的代码继续执行。
4. 执行代码或函数体：函数体中的代码被执行，实参和形参的值替换为参数传递的值，执行函数体（或代码块）中的操作。
5. 返回值：函数在完成执行后，将返回一个值（如果没有设置返回值，则为undefined）。
6. 返回函数调用：函数调用的指令将返回到调用函数的代码，函数调用完成。
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函数概念发展的历史过程
函数概念发展的历史过程函数概念的发展是数学领域的一项重要进展，经历了长时间的发展过程。
本文将从古希腊时期的初步思考开始，逐步介绍函数概念的发展历程直至现代数学的函数定义。
最早对函数的思考可以追溯到古希腊数学家们对几何曲线的研究。
古希腊的数学家们研究了一系列的曲线，如圆、椭圆和抛物线等等。
他们发现几何曲线上的每一个点都可以通过其坐标来确定，这种坐标的确定性使得数学家们开始思考是否可以将曲线上的点表示为一个或多个变量的函数关系。
直到17世纪，数学家马克思·奥雷利（Marquis de l'Hôpital）首次提出了函数这一词汇，但在这之前，欧洲数学界对于函数的定义还没有达成一致。
那时的数学家们对于函数抱有一种“坐标”的观念，即函数可以描述曲线上的点与坐标的关系。
在18世纪初，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）对函数的研究做出了重要贡献。
他将函数的概念扩展到了复变函数，并系统地研究了指数函数、三角函数和对数函数等等。
他的研究成果对现代数学的发展起到了重要的推动作用。
到了19世纪，法国数学家阿道夫·科斯提（Augustin-Louis Cauchy）和德国数学家卡尔·威尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出了一种更加严格的函数定义。
科斯提提出了连续函数的严格定义，并发展了复变函数的理论基础。
威尔斯特拉斯则通过严格的极限定义来定义函数。
这些严格的函数定义使得数学研究更加系统和准确。
20世纪初，法国数学家勒贝格（Henri Léon Lebesgue）提出了测度论的概念，并将其应用于函数的理论研究中。
他提出了勒贝格积分的概念，从而为函数的积分提供了新的方法和工具。
随着数学的发展和应用的拓宽，函数的概念也得到了进一步的发展。
在现代数学中，函数被定义为将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
这是一种更加抽象和广泛的定义，使得函数的研究可以应用于各个数学领域，如代数、几何、拓扑等等。
Pascal中常用的函数和过程
Pascal中常用的函数和过程1、求绝对值函数abs(x)定义：function Abs(X): (Same type as parameter);说明：X可以是整型，也可以是实型；返回值和X的类型一致例子：varr: Real;i: Integer;beginr := Abs(-2.3); { 2.3 }i := Abs(-157); { 157 }end.2、取整函数int(x)定义：function Int(X: Real): Real;注意：X是实型数，返回值也是实型的；返回的是X的整数部分，也就是说，X 被截尾了（而不是四舍五入）例子：var R: Real;beginR := Int(123.567); { 123.0 }R := Int(-123.456); { -123.0 }end.3、截尾函数trunc(x)定义：function Trunc(X: Real): Longint;注意：X是实型表达式. Trunc 返回Longint型的X的整数部分例子：beginWriteln(1.4, ' becomes ', Trunc(1.4)); { 1 }Writeln(1.5, ' becomes ', Trunc(1.5)); { 1 }Writeln(-1.4, 'becomes ', Trunc(-1.4)); { -1 }Writeln(-1.5, 'becomes ', Trunc(-1.5)); { -1 }end.4、四舍五入函数round(x)定义：function Round(X: Real): Longint;注意：X是实型表达式. Round 返回Longint型的X的四舍五入值.如果返回值超出了Longint的表示范围，则出错.例子：beginWriteln(1.4, ' rounds to ', Round(1.4)); { 1 }Writeln(1.5, ' rounds to ', Round(1.5)); { 2 }Writeln(-1.4, 'rounds to ', Round(-1.4));{ -1 }Writeln(-1.5, 'rounds to ', Round(-1.5));{ -2 }end.5、取小数函数frac(x)定义：function Frac(X: Real): Real;注意：X 是实型表达式. 结果返回 X 的小数部分; 也就是说，Frac(X) = X - Int(_X).例子：varR: Real;beginR := Frac(123.456); { 0.456 }R := Frac(-123.456); { -0.456 }end.6、求平方根函数sqrt(x)和平方函数sqr(x)定义：平方根：function Sqrt(X: Real): Real;注意：X 是实型表达式. 返回实型的X的平方根.平方：function Sqr(X): (Same type as parameter);注意：X 是实型或整型表达式.返回值的类型和X的类型一致，大小是X的平方，即X*X.例子：beginWriteln('5 squared is ', Sqr(5)); { 25 }Writeln('The square root of 2 is ',Sqrt(2.0)); { 1.414 }end.7、求字符序号ord(ch)和序号转换字符函数chr(x)定义：字符序号：function Ord(ch: char): integer;注意： ch是字符型，返回的是整型。
三角函数积分公式推导过程
三角函数积分公式推导过程三角函数积分公式的推导过程如下：我们从简单的三角函数积分开始推导。
假设我们要求解的是正弦函数的积分：∫sin(x) dx.首先，我们可以使用换元法，令 u = cos(x)，则 du = -sin(x) dx。
将这个代入原式中，我们可以得到：∫sin(x) dx = -∫du.这个积分很容易求解，得到的结果是：-∫du = -u + C.但是我们需要将结果回代到原变量 x 上。
回忆一下我们之前设定的 u = cos(x)，代入上式，我们可以得到：-∫du = -u + C = -cos(x) + C.所以，∫sin(x) dx = -cos(x) + C，这就是正弦函数的积分公式。
接下来，我们可以使用同样的方法推导余弦函数的积分。
我们要求解的是：∫cos(x) dx.同样地，我们可以使用换元法，令 u = sin(x)，则 du =cos(x) dx。
将这个代入原式中，我们可以得到：∫cos(x) dx = ∫du.这个积分很容易求解，得到的结果是：∫du = u + C.将之前设定的 u = sin(x) 代入上式，我们可以得到：∫cos(x) dx = u + C = sin(x) + C.所以，∫cos(x) dx = sin(x) + C，这就是余弦函数的积分公式。
最后，我们可以利用这两个基本的三角函数积分公式，推导其他三角函数的积分公式。
例如，我们可以通过将正弦函数除以余弦函数来得到正切函数的积分公式：∫tan(x) dx = ∫(sin(x)/cos(x)) dx.使用换元法，令 u = cos(x)，则 du = -sin(x) dx。
将这个代入原式中，我们可以得到：∫tan(x) dx = -∫(1/u) du = -ln|u| + C.回代之前设定的 u = cos(x)，我们可以得到：∫tan(x) dx = -ln|u| + C = -ln|cos(x)| + C.所以，∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C，这就是正切函数的积分公式。
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Sub过程的调用： 形式1：call 过程名(参数) 形式2：过程名 参数 注意：第一种形式参数必须括起来，第二 种形式，参数不能括起来。 Function过程的调用 过程名(参数) 不管是Sub过程还是function过程定义时不 能放在已有事件中，或者放在模块中。
Private function jc(m) as double s=1 For i=1 to m s=s*I Next i Jc=s End function Private Sub Command1_Click() Picture1.Print JC(8) / JC(5) / JC(3) End Sub 思考题:编写一个求三角形面积的function过程
Sub过程的结构 [Public|Private] sub 过程名(参数) …… End sub Function 过程的结构 [Public|Private] function 过程名(参数) [as 数据类型] …… End function Sub过程和function过程的创建均可采用两种方法： 1、直接在代码窗口输入过程的结构语句 2、通过“工具”菜单中的添加“过程”
• Function与sub过程的返回值区别 Function可通过函数名返回值 Sub过程无法通过函数名返回值，但可 以通过其他方式返回值，如：通过 定义窗体模块级变量或者通过按地 址传递的参数
vb中过程分为事件过程和通用过程，事件过程 是当事件触发时系统自动执行，而通用过程被其它 程序调用时才执行。所以编写通用过程的程序，既 要编写调用该过程的主程序(一般是事件过程，该事 件过程包括调用通用过程的语句)，又要编写该过程。
Dim
过程 Static 过程
总结： 1：作用范围 2：多次运行时每次是否重新定义（即 变量值变为0或者说变量之前的值会 丢失） 。只有过程级中的dim定义 的变量会丢失一般主调过程和被调过程之 间有数据传递，即将主调过程的实参传递给被调 的过程。有两种方式：传址和传值。 形参前加 “Byval”是传值，形参前加“Byref”是传址，默 认是传址。 采用传址方式时，对形参的操作相当于对实 参的操作，因此形参的值将影响对应的实参。 采用传值方式时，实参将数值传递给形参后， 两者就断开了联系，因此形参的值不影响对应的 实参。
(1)重复写三个循环的程序段分别求8!,3!,5!,但麻 烦! (2)单独写一个求阶乘的程序段,需要的时候,调用 它。这样做增强了程序的独立性，体现了模块 化设计思想。
我们把这种可以重复调用的程序段叫做过程或函 数。
这个独立的程序段叫通用过程，通用过程又可 根据其是否返回值分为sub过程和function过程。 Sub过程不返回值，而function过程返回一个值。 Sub过程和function过程除了在返回值上有区别 外在结构和调用方式上也有点区别。 重点把握通用过程的创建、调用、参数传递及 变量的作用域。
以下程序的运行结果是：
Private Sub Command1_Click() Dim a As Integer a=2 For i = 1 To 3 Sum = Sum + f(a) Next i Print Sum End Sub Function f(a As Integer) b=0 Static c b=b+1 c=c+1 f=a+b+c End Function
Private Sub Command1_Click() Dim a As Integer a=2 For i = 1 To 3 call f(a) Sum = Sum + a Next i Print Sum End Sub Sub f(a As Integer) b=0 Static c b=b+1 c=c+1 a=a+b+c End sub
第六章 过 程
6.1 函数过程 6.2 变量作用范围 6.3 参数传递
引例 6.1 求 C
5 8 =8!/(3!*5!)
分析: 先求出3个数的阶乘; s1=1 for i=1 to 8 s1=s1*I next I s2=1 for i=1 to 3 s2=s2*I next I s3=1 for i=1 to 5 s3=s3*I next I
Form1
Form1
注意 Function过程通过过程名返回值，所以在过程体 重要有给过程名赋值的语句。 函数过程不能单独作为一条语句，函数过程的调 用必须作为表达式或表达式的一部分，再配以其 它的语法成分构成语句。 Sub过程必须单独作为一条语句。 如果说sub过程可以返回值的话，其值是通过参 数传递的
变量作用范围:vb中变量的作用范围因定义的关键
字的不同和位置的不同而不同 名称 作用域 整个应用程 序 关键字 定义位置
全局变量
Public Private
通用声明段 通用声明段 通用声明段
窗体/模块级 本窗体/本模 变量 块
窗体/模块级 本窗体/本模 变量 块 本过程（或 过程级变量 事件）
过程级静态 本过程（或 变量 事件）