刘鸿文《材料力学》学习辅导书(扭 转)【圣才出品】
第3章 扭 转
3.1 复习笔记
扭转是杆件的基本变形之一，它是由大小相等，方向相反，作用线都垂直于杆轴的两个力偶引起的，表现为杆件的任意两个截面发生绕轴线的相对转动。
一、外力偶矩的计算和扭矩及扭矩图 1．外力偶矩的计算公式
式中，P 为轴的输入功率；n 为转速。
2．扭矩T （1）扭矩计算
利用截面法，根据静平衡条件求得。
（2）符号规定
若按右手螺旋法把T 表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，T 为正；反之为负。
3．扭矩图
表示各截面上扭矩沿轴线变化情况的图线，即用平行于杆轴线的坐标x 表示横截面的位
{}{}{}kW
e N m r min 9549
P M n =
置；用垂直于杆轴线的坐标T表示横截面上的扭矩。
提示：正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。
二、纯剪切
1．薄壁圆筒（δ≤r/10）扭转时的切应力
图3-1-1
横截面应力特征：
横截面无正应力，只有切应力，且切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的方向一致，如图3-1-1所示。
切应力计算公式：
2．切应力互等定理
2
2
e
M
r
τ
πδ
=
单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。
3．剪切胡克定律 （1）纯剪切
若单元体的各个侧面上只有切应力并无正应力，这种情况称为纯剪切。
（2）切应变
对于长为l 的圆筒，两端相对扭转角为φ，则切应变γ＝r φ/l 。
（3）剪切胡克定律
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变与切应力成正比，即τ＝G γ，其中，G 为材料的切变模量。
（4）弹性常量间关系
对于各向同向材料，弹性模量E 、泊松比μ、切变模量G 三者之间的关系为
4．剪切应变能
在应力小于剪切比例极限的情况下，单位体积内的剪切应变能密度为
上述公式主要用于线弹性范围内纯剪切应力状态下剪切应变能密度的计算。
()
21E
G μ=
+2
122νG
εττγ==
三、圆轴扭转时的应力和变形
1．圆轴扭转时的应力
（1）应力计算公式
推导圆轴扭转时的应力计算公式，需同时考虑变形几何、物理和静力三方面的关系。
①变形几何关系：圆轴扭转的平面假设；
②物理关系：剪切胡克定律；
③静力关系：横截面上的内力系对圆心的力矩合成为扭矩。
如图3-1-2所示，横截面上任一点的切应力为
τρ＝Tρ/I p
圆截面边缘的最大切应力
τmax＝TR/I p＝T/W t
式中，ρ为应力点到圆心的距离；I p为横截面的极惯性矩；W t为扭转截面系数。
图3-1-2
对于直径为D实心圆形截面
I p＝πD4/32，W t＝πD3/16
对于内径为d，外径为D的空心圆截面
式中，α＝d/D 。
上述公式只适用于等直杆和线弹性范围。
（2）强度条件 对于等直杆 τmax ＝T max /W t ≤[τ]
对于变截面杆件需综合考虑T 和W t ，以求得切应力的最大值。
强度条件的应用：
①强度校核：T max /W t ≤[τ]。
②截面选择：W t ≥T max /[τ]。
③计算许可荷载：T max ≤W t [τ]。
2．圆轴扭转时的变形 （1）变形量计算 ①相对扭转角
等直杆扭转时，相距为l 的两截面间的相对扭转角为
式中，GI p 称为扭转刚度。
()4
4
π132p D I α=-()()443
4ππ12
1616p t D d I D W D D
α-=
=
=-p
Tl
GI ϕ=
对于各段内T 或I p 不同的等直轴，相对扭转角为
②单位扭转角
单位扭转角的计算公式为
对于截面间T 相等的等直杆，单位扭转角计算公式可写为
上述扭转角和单位扭转角的计算公式适用于材料在线弹性范围内的圆杆。
（2）刚度条件
工程中，单位扭转角的常用单位为（°）/m ，刚度条件为
四、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 1．弹簧横截面的应力计算 （1）近似计算
计算假定：簧丝曲率较小时，不考虑其影响，并认为剪切力引起的剪应力均匀分布，采用直杆计算公式，则截面最大切应力为
1n
i i
i pi
Tl
GI ϕ==∑d d p
T x GI ϕϕ'==
p T GI l
ϕϕ'==
[]()max max
180m π
p T GI ϕϕ''=⨯≤︒。
刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第1~2章【圣才出品】
图 1-2-5 解：（1）应用截面法，叏 1-1 截面以下部分迚行叐力分枂，如图 1-2-6（a）所示。 由平衡条件可得：∑MA＝0，FN1lsinα－Fx＝0； 解得：FN1＝Fx/（lsinα）； 故当 x＝l 时，1-1 截面内力有最大值：FN1max＝F/sinα。 （2）应用截面法，叏 1-1 截面以下，2-2 截面右侧部分迚行叐力分枂，如图 1-2-6（b） 所示。 由平衡条件可得 ∑Fx＝0，FN2－FN1cosα＝0 ∑Fy＝0，FS2－FN1sinα－F＝0 ∑MO＝0，FN1（l－x）sinα－M2＝0 解得 2-2 截面内力：FN2＝Fxcotα/l，FS2＝（1－x/l）F，M2＝xF（l－x）/l。 综上可知，当 x＝l 时，FN2 有最大值，且 FN2max＝Fcotα；当 x＝0 时，FS2 有最大值， 且 FS2max＝F；当 x＝l/2 时，弯矩 M2 有最大值，且 M2max＝Fl/4。
Δx 的比值为平均正应发，用 εm 表示，即
εm＝Δs/Δx 平均正应发的枀限值即为正应发，用 ε 表示，也即
lim s
x0 x
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微体相邻棱边所夹直角改发量，称为切应发，用 γ 表示，单位为 rad，若 α 用表示发 形后微体相邻棱边的夹角，则
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由平衡条件可得
∑Fy＝0，F－FS＝0
∑MC＝0，Fb－M＝0
则 n-n 截面内力为：FS＝F，M＝Fb。
图 1-2-2 1.2 试求图 1-2-3 所示结极 m-m 和 n-n 两截面上的内力，并挃出 AB 和 BC 两杆的 发形属于何类基本发形。
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ρ＝a＝75mm，p1＝120MPa。
由只有内压力壁圆筒的应力计算公式得
径向应力
b
p1a2 2 a
2
b2 2
1
120106 752 1252
1252 752
752
1 Pa
120MPa
周向应力
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b2 2
1
20 56.52 972
972
56.52
56.52
1 MPa
40.4MPa
第三强度理论的相当应力σr3
σr3＝2p1b2/（b2－a2）＝2×20×972/（972－56.52）MPa＝60.4MPa
16.2 某型柴油机的连杆小头如图 16-2-2 所示。小头外径 d3＝50mm，内径 d2＝ 39mm。青铜衬套内径 d1＝35mm。连杆材料的弹性模量 E＝220GPa，青铜衬套的弹性模 量 E1＝115GPa，两种材料的泊松比皆为μ＝0.3。小头及铜衬套间的过盈量按直径计算为 （0.068＋0.037）mm，其中 0.068mm 为装配过盈，0.037mm 为温度过盈。试计算小头 与衬套间的压力。
252 252
19.52 19.52
0.3
27.6MPa
16.3 炮筒内直径为 150mm，外直径为 250mm。射击时筒内气体的最大压力为 p1
＝120MPa。试求炮筒内侧面的周向应力及径向应力。
解：炮筒属于只有内压的情况，且 a＝150/2mm＝75mm，b＝250/2mm＝125mm，
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-能量方法(圣才出品)
=
EA( l )2 2l
线弹性范围内，纯剪切的应变能密度为：v ε
=
1 2
τγ
=
τ2 2G
杆件总的应变能为：Vε
=
v dV
Vε
（3）扭转
在扭矩 T 作用下，杆件总的应变能为：
（4）弯曲
线弹性范围内，全梁的应变能为：
2．普遍表达式
V ε
=
1Fδ 2
式中， δ 为 F 作用点沿 F 方向因 F 作用而引起的位移。
图 13-7 解：设左、右两支座为 A、B，则由静力平衡条件得 A、B 的支反力分别为：
合力为： 因此，轴的应变能：
，方向均向上。
13.5 (1)在外伸梁的自由端作用力偶矩 M e ，试用互等定理，并借助于教材表 6.1，求 跨度中点 C 的挠度△c。
(2)用互等定理求解题 13.6、13.7 和 13.8。
后引起的 C 点挠度的叠加。
查教材表
6.1
可知在
F
作用下，悬臂梁
C
点的挠度 1
=
Fa3 3EI
故
。
（2）用互等定理求题 13.7
①将均布载荷作用力看做是第一组力，其在 B 点产生的挠度为 ，在 B 点的角位移为
θB。
a．求 B 截面挠度
取第二组力，在 B 点作用一竖直向下的单位力 F，在 F 力作用下，梁的挠曲线方程为：
根据互等定理有：
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2．位移的互等定理
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F1 作用点沿 F1 方向因作用 F3 而引起的位移，等于 F3 作用点沿 F3 方向因作用 F1 而引起
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-扭转(圣才出品)
（1）一般矩形截面( h 10) b
分布特点：周边各点切应力与周边相切，没有垂直于周边的切应力分量，顶点处切应力 等于零，切应力变化情况如图 3-3（a）所示。
横截面上的最大切应力 max 发生在长边中点处
短边上切应力最大值发生在中点处
矩形截面扭转时，相对扭转角
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；R 为弹簧圈平均半径， 。
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五、非圆截面杆扭转的概念 1．基本概念 （1）翘曲：扭转变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。 （2）自由扭转：等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲不受任何限制的扭转。 变形和受力特点：各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化；横截面上只有切 应力。 （3）约束扭转：等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲受到限制的扭转。 变形和受力特点：各横截面的翘曲程度不同，相邻两截面间纵向纤维的长度改变；横截 面上有切应力和正应力。
WP
=
D3 16
式中， = d 。 D
上述公式只适用于等直杆和线弹性范围。 （2）强度条件 对于等直杆
对于变截面杆件需综合考虑 T 和 Wt，以求得切应力的最大值。
强度条件的应用：
①强度校核
Tmax [ ] Wt
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②截面选择
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G
=
E
2(1+
)
4．剪切应变能
在应力小于剪切比例极限的情况下，单位体积内的剪切应变能密度为
=
1 2
=
2 2G ， v
= 1 2
上述公式主要用于线弹性范围内纯剪切应力状态下剪切应变能密度的计算。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第三章 扭转3.1-3.3
318N.m 795N.m
x
x
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵 向平行线和圆周线划分； 两端施以大小相等方向相 反一对力偶矩。
观察到：
圆周线大小形状不变， 各圆周线间距离不变；纵 向平行线仍然保持为直线 且相互平行，只是倾斜了 一个角度。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m)
P M e 9 5 5 0 (N m) n M 如果输出功率的单位是马力
第三章
扭 转
第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切
§3.4 圆轴扭转时的应力
§3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 圆非圆截面扭转的概念
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
§3.1 扭转的概念和实例
b
1 1 dW (dzdy)( dx ) dV 2 2
由剪切胡克定律
G
´
c z dx d
x dz 应变能密度：
dW 1 1 2 1 2 v G dV 2 2 2 G
例题
传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率PA=45kW,三 个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的 扭矩图.
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-厚壁圆简和旋转圆盘(圣才出品)
第16章厚壁圆简和旋转圆盘16.1 复习笔记一、厚壁圆筒厚壁圆筒的壁厚与半径属于同一量级，其几何和载荷都具对称性，因此，属于对称性问题。
对于厚壁圆筒的应力和变形的分析要综合考虑几何关系，静力平衡和物理三方面的关系。
在内压力p1和外压力p2作用下的厚壁圆筒，线弹性情况下，应力和变形分别为：1．应力径向应力：周向应力：2．变形筒壁内任一点的径向位移：二、等厚旋转圆盘对于以匀角速度 旋转的等厚圆盘，属于轴对称问题，其应力计算如下。
1．实心圆盘径向应力：周向应力：在圆盘中心，二者均达到最大值：2．有孔圆盘圆盘中心有半径为a的圆孔，径向应力和周向应力分别为：在处，有：在圆孔内边缘处，有：16.2 课后习题详解16.1 万能试验机油缸外径D=194 mm，活塞面积为0.01 m2。
F=200 kN。
试求油。
缸内侧面的应力，并求第三强度理论的相当应力3r图16-1解：根据题意，筒内径：故，圆筒所承受的内压力：3120010200.01F p MPA ⨯===，油缸内侧的应力：径向应力周向应力第三强度理论的相当应力3r σ：。
16.2 某型柴油机的连杆小头如图16-2所示。
小头外径d 3=50 mm ，内径d 2=39 mm 。
青铜衬套内径d 1=35 mm 。
连杆材料的弹性模量E=220 GPa ，青铜衬套的弹性模量E 1=115 GPa ，两种材料的泊松比皆为μ=0.3。
小头及铜衬套间的过盈量按直径计算为(0.068+0.037)mm ，其中0.068 mm 为装配过盈，0.037 mm 为温度过盈。
试计算小头与衬套间的压力。
图16-2解：根据题意，内外筒的参数如下： 内筒：，装配过盈量：外筒：，，则装配压力：16.3 炮筒内直径为150 mm ，外直径为250 mm 。
射击时筒内气体的最大压力为P 1=120 MPa 。
试求炮筒内侧面的周向应力及径向应力。
解：炮筒属于只有内压的情况，且1502507512522，====a mm b mm ，=75a mm ρ=，1=120MPa ρ。
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第 10 章 动载荷
10.1 复习笔记
本章节的主要研究内容是构件作匀加速运动时，或受到作匀加速运动的物体作用时，以 及构件受到冲击时的应力和变形计算。
静载荷：载荷由零平缓地增加到最终值，且之后载荷值再也不变化。 动载荷：随时间明显变化的载荷，即具有较大加载速率的载荷。 一、动静法的应用 动静法是将动力学问题转化为静力学问题的方法，来自于达朗贝尔原理：假想地在做加 速运动的质点系上的每一个质点上施加惯性力，使原力系与惯性力系组成平衡力系。质点上 的惯性力等于该质点质量 m 与其加速度 a 的乘积，惯性力方向与加速度反向。 对于匀加速平动杆件或者匀角加速转动杆件，使用动静法作动应力分析的一般步骤： （1）求出动荷系数 Kd； （2）按静载荷求解应力 σst、变形 Δst 等； （3）将所得结果乘以动荷系数 Kd 可得动载荷作用下的动应力和变形分别为 σd＝Kdσst Δd＝KdΔst
= st
1−
Fd P
2．交变应力 在静平衡位置上下作受迫振动的杆件，其上各点应力作周期性交替变化。交变应力下的 强度条件不可用静载的方法建立。
3．动应力、动荷载与放大因子的关系（
曲线）
①ω/ω0→1：即干扰力频率接近系统固有频率，此时 β 最大，引起共振。通过改变 ω/ω0 或增大阻尼 δ 可降低 β 避免共振。
dmax
= st
1+
Fd st
= st
1+
Fd P
=
Kd st
式中，振动的动荷载因数
Kd
=1+
Fd st
=1+
Fd P
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Fd 为干扰力 Fd 按静载荷方式作用在弹性系统上的静位移。
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（d）已知 则应力幅： 平均应力： 故斜率： 对应点如图 11-10 所示。
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图 11-8
解：（1）校核 1-1 截面
该截面的弨矩：
则该截面最大正应力：
根据题意，1-1 截面： D 133 1.23, R 20 0.185
d 108
d 108
由此查表得弨曲时的有效应力集中系数：
二、交变应力的循环特征、应力幅和平均应力
图 11-1
如图 11-1 所示，按正弦曲线变化的应力 ζ 不时间 t 的关系，在一个周期 T 内完成一个
应力循环，该交变应力的最大应力和最小应力分别记作 σmax 和 σmin，则该交变应力有：
循环特征（应力比）：
；
应力幅：
；
平均应力：
。
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②查教材图 11-8（c）， b 920 MPa ，插值得扭转时的有效应力集中因数 K 1.26 ； 查教材表 11.1，得扭转时的尺寸因数 0.81。
11.5 货车轮轴两端载荷 F＝110 kN，材料为车轴钢，σb＝500 MPa，σ-1＝240 MPa。 规定安全因数 n＝1.5。试校核 1-1 和 2-2 截面的弫度。
解：根据题意，最大应力：
最小应力： 则平均应力： 应力幅：
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循环特征：
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曲线如图 11-4 所示。
图 11-4
11.3 某阀门弪簧如图 11-5 所示。当阀门关闭时，最小工作载荷 Fmin＝200 N；当阀
门顶开时，最大工作载荷 Fmax ＝500 N。设簧丝的直徂 d＝5 mm，弪簧外徂 D1＝36 mm，
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2．受扭杆件
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其单元刚度方程
km
GIp l
1
1
1
1
3．受弯杆件
受弯杆件称为梁单元，其单元刚度矩阵为
12 6l 12 6l
km
EI l3
6l
12
4l 2 6l
6l 12
1
1
1
1
u1 u2
84
106
1 1
1 0
1
u2
①
FN23 FN24
AE2 l
1
1
1
1
u3 u4
28
106
1 1
1 0
1
2l 2
6l
6l
2l 2
6l
4l 2
二、梁单元的中间载荷 作用于梁上节点之间的载荷称为中间载荷，为简便运算，常将中间载荷置换为作用在节 点上的载荷。表 17-1-1 为几种常见情况的固端反力和反力矩。
表 17-1-1
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FN12 =84106u2 55.4kN
FN24 =28106 0.5u2 9.22kN
17.2 图 17-2-2 所示圆钢杆与铝套筒在端截面刚性连接。两者的横截面面积分别为： A 钢＝1000mm2，A 铝＝500mm2。l＝1m。弹性模量分别为：E 钢＝210GPa，E 铝＝70GPa。
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图 6-1-3
（1）对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的，
所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程，只增加了（x－a）的项；
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图 6-1-1
2．挠曲线微分方程
（1）由纯弯曲变形和横力弯曲变形忽略剪切应力的情况下，弯矩与曲率间的关系式
1
x
M x
EI
并根据数学计算得挠曲线的微分方程
d2w
dx2
3
1
dw dx
2
2
M x
确定的挠度和转角，在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯一的。
三、用叠加法求弯曲变形
1．叠加原理
梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项载荷（可以是集中力，集中力偶
或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一载荷单独作用下该截面的挠度和转角
的叠加。当每一项载荷所引起的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向），其转角是在同一平面
（2）对（x－a）的项作积分时，应该将（x－a）项作为积分变量，从而简化了确定积
分常数的工作；
（3）凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
（4）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（5）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应
作为分段点；
（6）凡分段点处应列出连续条件，根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一
内（如均在 xy 平面内）时，则叠加就是代数和，即