计算机组成原理课件第四章并行除法运算
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计算机组成原理课件-4-运算方法与运算器
实验时间初步安排
实验都在周六做，初步安排如下： 3月28日周六上午3-5节（3月30日上午不上课） 3月28日周六下午6-8节（3月30日晚上不上课） 4月25日周六上午3-5节（4月27日上午不上课） 4月25日周六下午6-8节（4月27日晚上不上课） 5月23日周六上午3-5节（5月18日上午不上课） 5月23日周六下午6-8节（5月18日晚上不上课） 5月30日周六上午3-5节（5月25日上午不上课） 5月30日周六下午6-8节（5月25日晚上不上课）
13
2、补码加减运算的溢出判断
对于加减运算，可能发生溢出的情况：同号（两数）相加， 或者异号（两数）相减。 确定发生溢出的情况： 正数相加，且结果符号位为1；（教材P105 例4.2 (1)） 负数相加，且结果符号位为0；（教材P105 例4.2 (2)） 负数－正数，且结果符号位为0；（教材P105 例4.2 (3)） 正数－负数，且结果符号位为1；（教材P105 例4.2 (4)）
28
三、移码加减运算与判溢
[例] 已知x=1011，y=-1110，用移码运算方法计算 x+y，同时指出运算结果是否发生溢出。
[例] 已知x=1001，y=-1100，用移码运算方法计算 x-y，同时指出运算结果是否发生溢出。
例，教材P111例4.5
29
4.2
一 二 三
定点数的乘法运算及实现
2、补码加减运算的溢出判断
当运算结果超出机器数的表示范围时，称为溢出。计 算机必须具备检测运算结果是否发生溢出的能力，否 则会得到错误的结果。 【例】 设字长为8位(包括1位符号)，若十进制数 x= –73，y= –83，用二进制补码求[x+y]补。 解： x=(–73)10=(–1001001)2，[x]补＝10110111 y=(–83)10=(–1010011)2，[y]补＝10101101 则 [x+y]补=10110111+10101101 =01100100 （溢出）
实验都在周六做，初步安排如下： 3月28日周六上午3-5节（3月30日上午不上课） 3月28日周六下午6-8节（3月30日晚上不上课） 4月25日周六上午3-5节（4月27日上午不上课） 4月25日周六下午6-8节（4月27日晚上不上课） 5月23日周六上午3-5节（5月18日上午不上课） 5月23日周六下午6-8节（5月18日晚上不上课） 5月30日周六上午3-5节（5月25日上午不上课） 5月30日周六下午6-8节（5月25日晚上不上课）
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2、补码加减运算的溢出判断
对于加减运算，可能发生溢出的情况：同号（两数）相加， 或者异号（两数）相减。 确定发生溢出的情况： 正数相加，且结果符号位为1；（教材P105 例4.2 (1)） 负数相加，且结果符号位为0；（教材P105 例4.2 (2)） 负数－正数，且结果符号位为0；（教材P105 例4.2 (3)） 正数－负数，且结果符号位为1；（教材P105 例4.2 (4)）
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三、移码加减运算与判溢
[例] 已知x=1011，y=-1110，用移码运算方法计算 x+y，同时指出运算结果是否发生溢出。
[例] 已知x=1001，y=-1100，用移码运算方法计算 x-y，同时指出运算结果是否发生溢出。
例，教材P111例4.5
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4.2
一 二 三
定点数的乘法运算及实现
2、补码加减运算的溢出判断
当运算结果超出机器数的表示范围时，称为溢出。计 算机必须具备检测运算结果是否发生溢出的能力，否 则会得到错误的结果。 【例】 设字长为8位(包括1位符号)，若十进制数 x= –73，y= –83，用二进制补码求[x+y]补。 解： x=(–73)10=(–1001001)2，[x]补＝10110111 y=(–83)10=(–1010011)2，[y]补＝10101101 则 [x+y]补=10110111+10101101 =01100100 （溢出）
计算机组成原理第4章
第4章 数值的机器运算
本章学习要求
• 掌握：定点补码加法和减法运算方法 • 理解：3种溢出检测方法 • 理解：补码移位运算和常见的舍入操作方法 • 了解：串行加法器与并行加法器 • 理解：进位产生和进位传递 • 掌握：定点原码、补码乘法运算方法 • 掌握：定点原码、补码加减交替除法运算方法 • 理解：浮点加减乘除运算 • 理解：逻辑运算 • 了解：运算器的基本结构及浮点协处理器
第4章 数值的机器运算
设操作数信号为4、3、2、1、（最低 位信号为1）。向最低位进位的信号为C0、 Gi、Pi 分别是各位的进位产生函数和进位 传递函数。
（1）完善第4位先行进位信号的逻辑表达 式。 C4=G4+P4G3+……
（2）基于操作数，试述表达式中各项的 实际含义。
第4章 数值的机器运算
[-Y]补=[[Y]补]变补
第4章 数值的机器运算
2.补码减法（续）
“某数的补码表示”与“变补”是两个不 同的概念。一个负数由原码转换成补码时，符 号位是不变的，仅对数值位各位变反，末位加 “1”。而变补则不论这个数的真值是正是负， 一律连同符号位一起变反，末位加“1”。[Y]补 表示的真值如果是正数，则变补后[-Y]补所表示 的真值变为负数，反之亦然。
第4章 数值的机器运算
16位单级先行进位加法器
S1 6～S1 3
S1 2～S9
S8～S5
S4～S1
C16 4位CLA C12 4位CLA C8 4位CLA C4 4位CLA
加法器
加法器
加法器
加法器
C0
A1 6～A1 3
A1 2～A9
B1 6～B1 3
B1 2～B9
A8～A5 B8～B5
本章学习要求
• 掌握：定点补码加法和减法运算方法 • 理解：3种溢出检测方法 • 理解：补码移位运算和常见的舍入操作方法 • 了解：串行加法器与并行加法器 • 理解：进位产生和进位传递 • 掌握：定点原码、补码乘法运算方法 • 掌握：定点原码、补码加减交替除法运算方法 • 理解：浮点加减乘除运算 • 理解：逻辑运算 • 了解：运算器的基本结构及浮点协处理器
第4章 数值的机器运算
设操作数信号为4、3、2、1、（最低 位信号为1）。向最低位进位的信号为C0、 Gi、Pi 分别是各位的进位产生函数和进位 传递函数。
（1）完善第4位先行进位信号的逻辑表达 式。 C4=G4+P4G3+……
（2）基于操作数，试述表达式中各项的 实际含义。
第4章 数值的机器运算
[-Y]补=[[Y]补]变补
第4章 数值的机器运算
2.补码减法（续）
“某数的补码表示”与“变补”是两个不 同的概念。一个负数由原码转换成补码时，符 号位是不变的，仅对数值位各位变反，末位加 “1”。而变补则不论这个数的真值是正是负， 一律连同符号位一起变反，末位加“1”。[Y]补 表示的真值如果是正数，则变补后[-Y]补所表示 的真值变为负数，反之亦然。
第4章 数值的机器运算
16位单级先行进位加法器
S1 6～S1 3
S1 2～S9
S8～S5
S4～S1
C16 4位CLA C12 4位CLA C8 4位CLA C4 4位CLA
加法器
加法器
加法器
加法器
C0
A1 6～A1 3
A1 2～A9
B1 6～B1 3
B1 2～B9
A8～A5 B8～B5
计算机组成原理 第4章 数值的机器运算PPT课件
+P4*P3*P2*P1*C0
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第4章 数值的机器运算
2.分组并行进位方式（续） 成组先行进位电路BCLA，其延迟时
间是2ty。利用这种4位的BCLA电路以及 进位产生/传递电路和求和电路可以构成4 位的BCLA加法器。16位的两级先行进位 加法器可由4个BCLA加法器和1个CLA电 路组成。
22
32
第4章 数值的机器运算
补码减法示例
例4：A=0.1011，B=-0.0010，求A-B ∵[A]补=0.1011 [B]补=1.1110 [-B]补=0.0010 0.1011 [A]补 + 0.0010 [-B]补 0.1101 [A-B]补 ∴[A-B]补=0.1101 A-B=0.1101
字长为16位的两级先行进位加法器?第一小组的最高位进位c4?c4g4p4g3p4p3g2p4p3p2g1p4p3p2p1c0组进位产生函数g1组进位传递函数p1依次类推?c8g2p2g1p2p1c0c12g3p3g2p3p2g1p3p2p1c0c16g4p4g3p4p3g2p4p3p2g1p4p3p2p1c0计算机组成原理152012年3月22日星期四41基本算术运算的实现cla电路4位bcla加法器4位bcla加法器4位bcla加法器4位bcla加法器a4?a1a8?a5a12?a9a16?a13b16?b13b12?b9b8?b5b4?b1s4?s1s8?s5s12?s9s16?s13c0c16p2p1p3p4g1g2g3g4c4c8c12计算机组成原理162012年3月22日星期四41基本算术运算的实现若不考虑gipi的形成时间?c0经过2ty产生第1小组的c1c2c3及所有组进位产生函数gi和组进位传递函数pi?再经过2ty?产生c4c8c12c16?最后经过2ty后?才能产生第234小组内的c5?c7c9?c11c13?c15
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第4章 数值的机器运算
2.分组并行进位方式（续） 成组先行进位电路BCLA，其延迟时
间是2ty。利用这种4位的BCLA电路以及 进位产生/传递电路和求和电路可以构成4 位的BCLA加法器。16位的两级先行进位 加法器可由4个BCLA加法器和1个CLA电 路组成。
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第4章 数值的机器运算
补码减法示例
例4：A=0.1011，B=-0.0010，求A-B ∵[A]补=0.1011 [B]补=1.1110 [-B]补=0.0010 0.1011 [A]补 + 0.0010 [-B]补 0.1101 [A-B]补 ∴[A-B]补=0.1101 A-B=0.1101
字长为16位的两级先行进位加法器?第一小组的最高位进位c4?c4g4p4g3p4p3g2p4p3p2g1p4p3p2p1c0组进位产生函数g1组进位传递函数p1依次类推?c8g2p2g1p2p1c0c12g3p3g2p3p2g1p3p2p1c0c16g4p4g3p4p3g2p4p3p2g1p4p3p2p1c0计算机组成原理152012年3月22日星期四41基本算术运算的实现cla电路4位bcla加法器4位bcla加法器4位bcla加法器4位bcla加法器a4?a1a8?a5a12?a9a16?a13b16?b13b12?b9b8?b5b4?b1s4?s1s8?s5s12?s9s16?s13c0c16p2p1p3p4g1g2g3g4c4c8c12计算机组成原理162012年3月22日星期四41基本算术运算的实现若不考虑gipi的形成时间?c0经过2ty产生第1小组的c1c2c3及所有组进位产生函数gi和组进位传递函数pi?再经过2ty?产生c4c8c12c16?最后经过2ty后?才能产生第234小组内的c5?c7c9?c11c13?c15
4并行除法运算解读
2. 比较r0和2－1ｙ， 因r0>2－1ｙ, 表示够减, 小数点后第一位商“1”,作r0－2－1ｙ，
得余数r1。 3. 比较r1和2－2ｙ， 因r1>2－2ｙ, 表示够减, 小数点后第二位商“1”, 作r1－2－2
ｙ， 得余数r2。
4. 比较r2和2－3ｙ， 因r2<2－3ｙ, 不够减, 小数点后第三位商“0”, 不作减法, 得 余数r3(＝r2)。 5. 比较r3和2－4ｙ， 因r3>2－4ｙ, 表示够减, 小数点后第四2位商“1”, 作r3－2－4
计算机组成原理 2
手算运算步骤
例: 设被除数x=0.1001， 除数y=0.1011， 仿十进制除法运算， 手算求x÷y的过程。 0.1 1 0 1 0.1 0 0 1 0 －0.0 1 0 1 1 0.0 0 1 1 1 0 －0.0 0 1 0 1 1 0.0 0 0 0 1 1 0 －0.0 0 0 1 0 1 1 0.0 0 0 0 1 1 0 0 －0.0 0 0 0 1 0 1 1 －0.0 0 0 0 0 0 0 1 商q ｘ ( r0 ) 2－ 1ｙ r1 2－ 2ｙ r2 2－ 3ｙ r3 2－ 4ｙ r4
计算机组成原理
13
最上面一行所执行的初始操作经常是减法。因此最上面一行的控制 线P固定置成“1”。减法是用2的补码运算来实现的，这时右端各CAS单 元上的反馈线用作初始的进位输入。每一行最左边的单元的进位输出决 定着商的数值。将当前的商反馈到下一行，我们就能确定下一行的操作。 由于进位输出信号指示出当前的部分余数的符号，因此，它将决定下一 行的操作将进行加法还是减法。
ｙ， 得余数r4，
计算机组成原理
共求四位商， 至此除法完毕。
4
机器运算与手算的不同 (1) 在计算机中，小数点是固定的，不能简单地采用手算的办法。为便于 机器操作， 除数Y固定不变， 被除数和余数进行左移 (相当于乘2) (2)机器不会心算，必须先作减法，若余数为正， 才知道够减；若余数为负， 才知道不够减。不够减时必须恢复原来的余数，以便再继续往下运算。这种 方法称为恢复余数法。 (3)要恢复原来的余数， 只要当前的余数加上除数即可。但由于要恢复余数， 使除法进行过程的步数不固定， 因此控制比较复杂。 实际中常用不恢复余数法，又称加减交替法。其特点是运算过程中如出 现不够减，则不必恢复余数，根据余数符号，可以继续往下运算，因此步数 固定，控制简单。
计算机组成原理ppt文档
⒌可靠性：指在规定的时间内，存储器无故障读/写的概率。通 常用MTBF(Mean Time Between Failures)。可以理解为连续两次故 障之间的平均间隔。
⒍性能价格比C/S
C是指存储器价格： S是存储器的总容量。
4.1.4存储器系统的层次结构 存储大量数据的传统办法是采用如图4-3所示的层次存储结构。
⑴Cache-M•M层次 ⑵M•M-A•M层次
4.2 半导体存储器
半导体读写存储器简称RWM，也称为RAM。具有体积小、速度 快等到优点，按不同 的工艺半导体RAM分为双极型和MOS型 RAM两大类，主要介绍MOS型RAM。
4.2.1 半导体存储器的分类
1
1.RAM
由于随机存取存储器可读可写， 有时它们又被称为可读写存储器。 随机存取存储器分为三类：静态 RAM、动态RAM和非易失性RAM
4.1.3 存储器的主要性能指标
⒈存储容量S
存储容量：主存所能容纳的二进制信息总量。 对于字编址的计算机以字数与字长的乘积来表示容量。 例：某计算机的容量为64K16，表示它有64K个字，字长为16位。 若用字节表示，则可记为128KB。 1K=210=1024 1M=210K=220=1 048 576 1G= 210M=220K=230=1 073 741 824 1T=210G= 220M=230K=240=1 099 511 627 776
Ⅱ 是存储容量逐渐增大。
寄存器有128个字节就很合适； 高速缓存可以是几MB； 主存储器பைடு நூலகம்几十MB到数千MB之间； 磁盘的容量应该是几GB到几十GB； 磁带和光盘一般脱机存放，其容量只受限于用户的预算。
Ⅲ C/S即存储每位的价格逐渐减小。 主存的价格应该是每兆(M)字节几个美元， 磁盘的价格是每兆(M)字节几个美分， 磁带的价格是每吉(G)字节几个美元或更低一些。
⒍性能价格比C/S
C是指存储器价格： S是存储器的总容量。
4.1.4存储器系统的层次结构 存储大量数据的传统办法是采用如图4-3所示的层次存储结构。
⑴Cache-M•M层次 ⑵M•M-A•M层次
4.2 半导体存储器
半导体读写存储器简称RWM，也称为RAM。具有体积小、速度 快等到优点，按不同 的工艺半导体RAM分为双极型和MOS型 RAM两大类，主要介绍MOS型RAM。
4.2.1 半导体存储器的分类
1
1.RAM
由于随机存取存储器可读可写， 有时它们又被称为可读写存储器。 随机存取存储器分为三类：静态 RAM、动态RAM和非易失性RAM
4.1.3 存储器的主要性能指标
⒈存储容量S
存储容量：主存所能容纳的二进制信息总量。 对于字编址的计算机以字数与字长的乘积来表示容量。 例：某计算机的容量为64K16，表示它有64K个字，字长为16位。 若用字节表示，则可记为128KB。 1K=210=1024 1M=210K=220=1 048 576 1G= 210M=220K=230=1 073 741 824 1T=210G= 220M=230K=240=1 099 511 627 776
Ⅱ 是存储容量逐渐增大。
寄存器有128个字节就很合适； 高速缓存可以是几MB； 主存储器பைடு நூலகம்几十MB到数千MB之间； 磁盘的容量应该是几GB到几十GB； 磁带和光盘一般脱机存放，其容量只受限于用户的预算。
Ⅲ C/S即存储每位的价格逐渐减小。 主存的价格应该是每兆(M)字节几个美元， 磁盘的价格是每兆(M)字节几个美分， 磁带的价格是每吉(G)字节几个美元或更低一些。
计算机组成原理(本全)ppt课件
定点数的加减法实现
通过硬件电路实现定点数的加减法，包括加 法器、减法器等。
浮点数的加减运算
浮点数的表示方法
包括IEEE 754标准中浮点数的表示方法、规格化表示 和精度。
浮点数的加减法规则
包括阶码和尾数的运算规则、对阶操作、尾数加减运 算和结果规格化等。
浮点数的加减法实现
通过硬件电路实现浮点数的加减法，包括浮点加法器 、浮点减法器等。
指令的执行过程与周期
指令执行过程
取指、译码、执行、访存、写回等阶段 。
VS
指令周期
完成一条指令所需的时间，包括取指周期 、间址周期、执行周期等。
07
中央处理器（CPU）
CPU的功能与组成
控制器
负责指令的取指、译码和执行，控制 数据和指令在CPU内部的流动。
运算器
执行算术和逻辑运算，包括加、减、 乘、除、与、或、非等操作。
多核处理器与并行计算
多核处理器
将多个处理器核心集成在一个芯片上，每个核心可以独立执行指令，提高处理器的并行 处理能力。
并行计算
利用多核处理器或多个处理器同时处理多个任务或数据，加速计算过程，提高计算效率 。
08
输入输出系统
I/O接口与I/O设备
I/O接口的功能
实现主机与外设之间的信息交换，包括数据 缓冲、信号转换、设备选择等。
乘法与除法运算
浮点数的乘除法运算
包括浮点数的乘法、除法和平方根运算等。
定点数的乘除法运算
包括原码一位乘法、补码一位乘法、原码除 法和补码除法等。
乘除法运算的实现
通过硬件组成与设计
运算器的基本组成
包括算术逻辑单元（ALU）、寄存器组、数据总线等。
运算器的设计原则
计算机组成原理第4章浮点数运算方法ppt课件
因此如果求阶码和可用下式完成： [jx]移+[jy]补= 2n+ jx +2n+1+ jy = 2n+ [2n +( jx + jy)] = [jx +
jy]移 (mod 2n+1) 则直接可得移码形式。
同理，当作除法运算时，商的阶码可用下式完成： [jx]移+[-jy]补 = [jx - jy]移
11
5. 溢出判断
在浮点规格化中已指出，当尾数之和(差)出现 01.××…×或10.××…×时，并不表示溢出，只有 将此数右规后，再根据阶码来判断浮点运算结果是否 溢出。
若机器数为补码，尾数为规格化形式，并假设阶符取 2位，阶码取7位，数符取2位，尾数取n位，则它们能 表示的补码在数轴上的表示范围如下图。
浮 点 数 加 减 运 算 流 程 图
16
浮点加减法运算
1. 大型计算机和高档微型机中，浮点加减法运算是由 硬件完成的。低档的微型机浮点加减法运算是由软 件完成的，但无论用硬件实现或由软件实现加减法 运算，基本原理是一致的。
2. 浮点加减法运算要经过对阶、尾数求和、规格化、 舍入和溢出判断五步操作。其中尾数运算与定点加
23
2. 尾数运算
（1）浮点乘法尾数运算 （2）浮点除法尾数运算
24
（1）浮点乘法尾数运算
预处理：检测两个尾数中是否有一个为0， 若有一个为0，乘积必为0，不再作其他操 作；如果两尾数均不为0，则可进行乘法运 算。
相乘：两个浮点数的尾数相乘可以采用定 点小数的任何一种乘法运算来完成。
规格化：相乘结果可能要进行左规，左规 时调整阶码后如果发生阶下溢，则作机器 零处理；如果发生阶上溢，则作溢出处理。
jy]移 (mod 2n+1) 则直接可得移码形式。
同理，当作除法运算时，商的阶码可用下式完成： [jx]移+[-jy]补 = [jx - jy]移
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5. 溢出判断
在浮点规格化中已指出，当尾数之和(差)出现 01.××…×或10.××…×时，并不表示溢出，只有 将此数右规后，再根据阶码来判断浮点运算结果是否 溢出。
若机器数为补码，尾数为规格化形式，并假设阶符取 2位，阶码取7位，数符取2位，尾数取n位，则它们能 表示的补码在数轴上的表示范围如下图。
浮 点 数 加 减 运 算 流 程 图
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浮点加减法运算
1. 大型计算机和高档微型机中，浮点加减法运算是由 硬件完成的。低档的微型机浮点加减法运算是由软 件完成的，但无论用硬件实现或由软件实现加减法 运算，基本原理是一致的。
2. 浮点加减法运算要经过对阶、尾数求和、规格化、 舍入和溢出判断五步操作。其中尾数运算与定点加
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2. 尾数运算
（1）浮点乘法尾数运算 （2）浮点除法尾数运算
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（1）浮点乘法尾数运算
预处理：检测两个尾数中是否有一个为0， 若有一个为0，乘积必为0，不再作其他操 作；如果两尾数均不为0，则可进行乘法运 算。
相乘：两个浮点数的尾数相乘可以采用定 点小数的任何一种乘法运算来完成。
规格化：相乘结果可能要进行左规，左规 时调整阶码后如果发生阶下溢，则作机器 零处理；如果发生阶上溢，则作溢出处理。
计算机组成原理课件第四章计算机中的算术运算
采用双符号位的判断方法
每个操作数的补码符号用两个二进制数表示，称为 变形补码，用“00”表示正数，“11”表示负数，左边第 一位叫第一符号位，右边第一位称为第二符号位，两个 符号位同时参加运算，如果运算结果两符号位相同，则 没有溢出发生。如果运算结果两符号位不同，则表明产 生了溢出。“10”表示负溢出，说明运算结果为负数， “01”表示正溢出，说明运算结果为正数。
原码两位乘法
◦ 两位乘法即从乘数的最低位开始每次取两位乘数与被乘数 相乘得到一次部分积。 ◦ Yi-1yi=00，相当于0×x，部分积加0,右移两位 ◦ Yi-1yi=01，相当于1×x，部分积加|x|,右移两位 ◦ Yi-1yi=10，相当于2×x，部分积加2|x|,右移两位 ◦ Yi-1yi=11，相当于3×x，部分积加3|x|,右移两位
×
+
0. 1 0 0 0 1 1 1 1
运算法则:
计算机中执行乘法时，积的符号位由被乘数和乘数 的符号位通过一个半加器实现，数值部分的运算规则是： 从最低位Y0开始，当乘数Yi为1时，将上次部分积加上被 乘数的绝对值，然后右移一位，得到新的部分积；当Yi 为0时，将部分直接右移一位，得到新的部分积。重复 “加—右移”操作N次，可得到最后的乘积。
[Z]原=0 . 10001111
X*Y=0.10001111
原码一位乘法的逻辑电路图
Ｒ０存放部分积，Ｒ２存放被乘数，Ｒ１存放 乘数。 一、 R0清零，R2存放被乘数，R1存放乘数。 乘法开始时，“启动”信号时控制ＣＸ臵１， 于是开启时序脉冲Ｔ， 当乘数寄存其Ｒ１最末位为“１“时， 部分积Ｚ和被乘数Ｘ在加法器中相加，其结果 输出至Ｒ０的输入端。一旦打入控制脉冲Ｔ到 来，控制信号ＬＤＲ０使部分积右移１位，与 此同时，乘数寄存其Ｒ１也在控制型号ＬＤＲ １作用下右移一位，且计数器Ｉ记数一次， 二、 将步骤三重复执行N次 三、 当计数器Ｉ＝n时，计数器Ｉ的溢出信号 使控制触法器ＣＸ臵０，关闭时序脉冲Ｔ，乘 法宣告结束。
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CAS CAS CAS CAS CAS
1.
Q1
CAS CAS CAS CAS CAS
Q2
CAS CAS CAS CAS CAS
Q3
CAS CAS CAS CAS CAS
Q4 Cf=Qn 符号位进位=商
CAS CAS CAS CAS CAS
R4 R5
R6 R7
R8
15
原码阵列除法器延迟
0.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
控制逻辑
10
例
用原码不恢复余数法计算[X]补[Y]补。 (1) X = 0.10101，Y = 0.11011
[-Y]补=1.00101
11
被除数/余数 商
00.10101 +[–Y]补 11.00101
11.11010 11.10100 +[Y]补 00.11011 00.01111 00.11110 +[–Y]补 11.00101 00.00011 00.00110 +[–Y]补 11.00101
需要进行恢复余数的操作 恢复余数的操作次数不确定，故运算时间不固定，因此控制
比较复杂。 实际中常用不恢复余数法，又称加减交替法。其特点是运算
过程中如出现不够减，则不必恢复余数，根据余数符号，可 以继续往下运算，因此步数固定，控制简单。
7
加减交替法
上述恢复余数法由于要恢复余数，使得除法的步数不固定， 控制比较复杂。实际上常用的是加减交替法。
00. 0001
商 上商位 0 0
0.1 0.11 0.110 0.110 0.1101
说明
减Y比较
余数=R00<0，商 加Y恢复余数 左移一位
减Y比较
余数R1>0，商上1 左移一位 减Y比较
R2>0，商上1 左移一位 减Y比较 R3<0，商上0 加Y恢复
左移一位 减Y比较
R4>0，商上1
6
恢复余数乘法问题
定点除法运算
计算机组成原理 计算机学院
定点除法运算
原码除法运算
原码除法运算原理 设有n位定点小数： 被除数 x，其原码为 [x]原＝xf . xn－1… x1 x0 除数 y，其原码为 [y]原＝yf . yn－1… y1 y0
则有商q＝ｘ/ｙ，其原码为
[q]原＝(xf⊕yf) + (0. xn－1…x1x0 / 0.yn－1… y1y0) • 商的符号运算qf＝xf⊕yf 与原码乘法一样; • 商的数值部分的运算，实质上是两个正数求商的运算。
13
当P＝1时，则得求差公式：
Si＝Ai⊕Bi⊕Ci Ci＋1＝AiBi＋BiCi＋AiCi
Yi Xi P
=1
Ci
FAi
Ci+1
Si
(a) 电路
Yi Xi
P Ci
CASi
C除法器
0.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
P=1 0.
0.
Y1 Y2 Y3 Y4
+[–Y]补 11.0101
11.1110 + 00.1011
00.1001 01.0010 +[–Y]补 11.0101
00.0111 00.1110 +[–Y]补 11.0101
00.0011 00.0110 +[–Y]补 11.0101 11.1011 + 00.1011 00.0110 00.1100 +[–Y]补 11.0101
特点：当运算过程中出现不够减的情况，不必恢复余数，而是 根据余数的符号，继续往下运算，因此步数固定，控制简单。 不恢复余数法： 若第i-1次商的余数为Ri-1，下一次求商的办法是：Ri=2Ri-1-Y 当Ri<0时，第i位商0，恢复余数法的结果为（ Ri’=Ri+Y ） 第i+1次商的余数为Ri+1， Ri+1= 2Ri’- Y
11.1110 11.1100 +[Y]补 00.1011 00.0111 00.1110 +[–Y]补 11.0101 00.0011 00.0110 +[–Y]补 11.0101
11.1011 11.0110 +[Y]补 00.1011 00. 0001
上商位
0 0.1 0.11 0.110 0.1101
2
定点除法手工计算
0.1011
0.1101 0.10010
- 0.01011
0.001110 - 0.001011
0.0000110 - 0.0001011
0.00001100
- 0.00001011
0.00000001
不够减，商上零， 除数右移1位，够减，减除数，商上1 除数右移1位，够减，减除数，商上1 除数右移1位，不够减，商上零 除数右移1位，够减，减除数，商上1
4
原码恢复余数除法
如何判断是否够减 原码运算判断借位 利用补码作减法，判断余数符号即可
余数为负数时，必须恢复余数 即将余数加除数，恢复成原来的值。
求下一位商，必须将余数左移一位，再与除数比较 比较，上商（恢复），余数移位，再比较，
直到获得商所需要的位数为止。
5
被除数/余数 00.1001
R2>0，商上1 左移一位，减Y比较
R3<0 商上零 左移一位，加Y比较
R4<0，商上0 左移一位，加Y比较
R5<0 商上零
12
阵列除法器
1.可控加法/减法(CAS)单元 阵列除法器有多种多样形式，如不恢复余数阵列除法器，
补码阵列除法器等等。 首先介绍可控加法/减法(CAS)单元，它将用于并行除法流
00.0011 00.0110 00.1100 + 11.0101
第二次余数r2 r2左移一位 ，2r2<y，商0 r3左移一位 ，2r3=4r2>y，商1 减y
00.0001
第四次余数r4
结果与手算相同，但余数不是真正的余数，多乘了2n，故正确的余数应 为2-n×rn，即：0.00000001
3
原码一位除法
00.1101 00.1011 00.1001
x=0.1001, y=0.1011，[-y]补=1.0101 x<y，商0
01.0010 + 11.0101
00.0111 00.1110 + 11.0101
被除数左移一位，2x>y，商1 减y，即+[-y]补
r第1左一移次一余位数，r1 2r1>y，商1 减y
Ri+1=2(Ri+Y)-Y=2Ri + Y
2Ri + y 的结果与恢复余数后左移一位再减y是等效的
原码加减交替法 ：通式 Ri+1=2Ri+(1-2Qi)Y Qi为第i次所得的商。若部分余数为正，则Qi=1
若部分余数为负，则Qi=0
加（-y） 加y
8
被除数/余数 商
00.1001 +[–Y]补 11.0101
16
除法器延迟
n*n个CAS延迟单元 每一个CAS包含4级门电路延迟T 故总延迟为 (n*n) ×4T
17
P=1 0.
0.
CAS
1.
Y1 Y2 Y3 Y4
CAS CAS CAS CAS
Q1
CAS CAS CAS CAS CAS
Q2
CAS CAS CAS CAS CAS
Q3
CAS CAS CAS CAS CAS
Q4 Cf=Qn 符号位进位=商
CAS CAS CAS CAS CAS
R4 R5
R6 R7 R8
说明
减Y比较 R0 <0 商上零 左移一位 加Y比较 R1>0，商上1 左移一位，减Y比较 R2>0，商上1 左移一位，减Y比较 R3<0 商上零 左移一位，加Y比较
R4>0，商上1
9
不恢复余数除法逻辑结构
R0 被除数/余数 Σ→R0 加法器 c
=1
R2 除数
R1 商 移位控制
上商位
Qn
1 Σ0
计 数 器
11.01011 10.10110 +[Y]补 00.11011 11. 10001 11. 00010 +[Y]补 00.11011
11. 11101
上商位 0 0.1
0.11 0.110 0.1100 0.11000
说明
减Y比较
R0 <0 商上零 左移一位 加Y比较 R1>0，商上1 左移一位，减Y比较
水逻辑阵列中，它有四个输出端Si、 Ci＋1 、Bi、P和四个输入 端Ai、Bi、P、Ci 。 当输入线P＝0时，CAS作加法运算；当P＝1时，CAS作减法运算。
CAS单元的输入与输出的关系可用如下一组逻辑方程来表 示：
Si＝Ai⊕(Bi⊕P)⊕Ci Ci＋1＝(Ai＋Ci)·(Bi⊕P)＋AiCi 当P＝0时，上式即是我们熟悉的一位全加器(FA)的公式： Si＝Ai⊕Bi⊕Ci Ci＋1＝AiBi＋BiCi＋AiCi